Visualisasi orbital atom hidrogen (skripsi lengkap wahab abdullah)

i
VISUALISASI ORBITAL ATOM HIDROGEN TANPA
GANGGUAN DAN DENGAN GANGGUAN MEDAN LISTRIK
(EFEK STARK ATOM HIDROGEN UNTUK KEADAAN
EKSITASI PERTAMA) MENGGUNAKAN BAHASA
PEMROGRAMAN MATLAB
SKRIPSI
WAHAB ABDULLAH
NIM 013224021
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA dan ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2006

ii
PEMROGRAMAN MATLAB
SKRIPSI
Telah diuji
pada tanggal : 20 juni 2006
PENGUJI TANDA TANGAN
1. Drs. Hainur Rasyid A, M.Si …………………
NIP: 131 460 080
2. Drs. Madlazim, M.Si …………………
NIP: 132 002 340
3. Drs. Supardiyono, M.Si …………………
NIP: 132 002 340
Mengetahui
Dekan FMIPA
Universitas Negeri Surabaya
Dr. Budi Jatmiko, M.Pd
NIP: 131 406 183

iii
PEMROGRAMAN MATLAB
Telah layak untuk diuji / diseminarkan
sebagai persyaratan mendapat Gelar Sarjana
WAHAB ABDULLAH
013224021
PEMBIMBING TANDA TANGAN
Drs. Supardiyono, M.Si ……………………..
NIP: 132 002 340

HALAMAN PERSEMBAHAN
Untuk
Ayah dan ibu (yang tidak perlu membaca skripsi ini)
Adik-adikku (yang mungkin nanti perlu membacanya)
Teman-teman fisika UNESA (yang perlu membacanya)

iv
VISUALISASI ORBITAL ATOM HIDROGEN TANPA GANGGUAN DAN
DENGAN GANGGUAN MEDAN LISTRIK (EFEK STARK ATOM
HIDROGEN UNTUK KEADAAN EKSITASI PERTAMA)
MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB
Wahab Abdullah
ABSTRAK
Atom hidrogen merupakan atom yang paling sederhana. Hasil pemecahan
persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen menghasilkan fungsi
gelombang (orbital) yang bergantung pada jarak dari inti dan angular. Fungsi
tersebut mengandung polinomial Legendre dan polinomial Laguerre. Dalam
bahasa pemrograman Matlab tersedia fungsi khusus dari polinomial tersebut
sehingga dapat digunakan untuk visualisasi orbital atom hidrogen. Hasil
visualisasi menunjukkan bahwa ketergantungan orbital pada jarak dari inti
ditentukan oleh bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum orbital l.
Ketergantungan pada angular ditentukan oleh bilangan kuantum orbital l dan
bilangan kuantum magnetik m. Untuk keadaan eksitasi pertama, bila ada
gangguan medan listrik luar maka terjadi degenerasi nilai eigen energi yang
dikenal dengan efek Stark orde pertama yang menyebabkan terjadinya polarisasi
pada orbital.
Kata kunci: atom hidrogen, orbital, efek Stark, degenerasi.

v
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Dzat yang mengetahui posisi dan momentum elektron
secara tepat dan serentak, yang tidak terpengaruh oleh prinsip ketidakpastian
Heisenberg. Sholawat dan salam bagi Rasul-Nya (Muhammad SAW) yang diutus
untuk seluruh manusia, jin dan malaikat.
Skripsi ini ditulis untuk memenuhi sebagian syarat memperoleh gelar
sarjana sains bidang studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Negeri Surabaya. Skripsi ini membahas sebagian dari sifat-sifat
orbital atom hidrogen dan visualisasinya menggunakan bahasa pemrograman
MATLAB.
Ucapan terima kasih sebesar-besarnya penulis tujukan kepada:
1. Orang tua dan saudara penulis atas segala dukungannya.
2. Drs. Supardiyono, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini.
3. Drs. Hainur Rasyid Achmadi, M.S (selaku ketua jurusan Fisika) dan Drs.
Madlazim, M.Si selaku dosen penguji skripsi.
4. Dr. Budi Jatmiko, M.Pd selaku dekan FIMPA Universitas Negeri
Surabaya.
5. Bapak dan ibu dosen yang telah mentransfer pengetahuannya kepada
penulis.

vi
6. Pengasuh dan keluarga besar PP. Al-Idris Surabaya (KH. Mashari, Gus
Shohib wa akhuhu, Mas Rois, Mas Arief wa siwahum min ath-thullab)
yang menyirami rohaniku.
7. Teman-teman jurusan fisika angkatan 2001 (Anyim, Eni, Ria, Tria, Feve,
Putri, Echi, Uut, Ummy, Widya, Mamiek, Nana, Fida, Anang, Seagate,
Ropeq, Jenny, Imam, Onie, Sitorus, Hendro, Supri dan teman-teman yang
pindah ke hati (jurusan) yang lain) atas segala obrolannya, ide-idenya dan
bantuannya.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis, pembaca dan semua
pihak pada umumnya.
Surabaya, Juni 2006
Penulis

vii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Judul Gambar Halaman
2.1
Pola dari pemisahan Stark dari atom hidrogen pada
eksitasi pertama n = 2. Empat garis tebal degenerasi
terpisah sebagian oleh efek Stark.
13
3.1
Flowchart untuk program menampilkan grafik fungsi
radial dan probabilitasnya.
15
3.2 Flowchart untuk program harmonik bola. 16
3.3 Flowchart untuk program harmonik bola (lanjutan). 17
3.4
Flowchart untuk program ketergantungan harmonik
bola pada angular.
18
3.5 Flowchart untuk program orbital. 19
3.6 Flowchart untuk program efek Stark. 20
3.7
Beberapa sketsa distribusi |Ylm|2
di bidang z-x dalam
diagram polar .
22
3.8
Representasi polar untuk nilai-nilai absolut dari fungsi
gelombang angular untuk orbital p dan s.
23
3.9
Fungsi gelombang radial dan distribusi probailitas atom
hydrogen.
23
3.10 Orbital pz dan px dalam 2D. 24
3.11
Efek Stark orbital atom H eksitasi pertama serta
probabilitas radialnya.
24
4.1 Tampilan menu program AtomHidrogen. 27
4.2 Tampilan menu program HarmonikBola. 27
4.3 Tampilan menu program FungsiAngular. 28
4.4 Tampilan menu program FungsiRadial. 29
4.5 Tampilan menu program orbital. 30
4.6 Tampilan menu program EfekStark. 30
4.7 Plot fungsi radial untuk N = 1, L = 0. 32
4.10
Fungsi gelombang radial atom hidrogen Rnl (r) untuk n
=1, 2 dan 3 dan l = 0 dan 1.
34
4.11 Plot kerapatan probabilitas radial untuk N =1, L=0. 35
4.12 Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=2, L=0. 35
4.13 Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=3, L=0. 36
4.14
Fungsi distribusi electron 4r2
[Rnl(r)]2
untuk atom
hidrogen
37
4.15 Plot kuadrat amplitudoY(0, 0) dalam diagram polar. 38

viii
4.17 Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY(1, 1). 39
4.26
Ketergantungan Y(0, 0) pada angular ( dan ) untuk
orbital s.
44
4.27 Gambar pembanding untuk orbital s. 44
4.28 Ketergantungan Y(1, 0) pada angular ( dan ). 44
4.29 Gambar pembanding untuk Orbital pz. 45
4.30 Orbital p (px). 47
4.31 Orbital 2d, terlihat seperti penggabungan dua orbital p. 48
4.32 Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=0 dan M=0. 49
4.33
Orbital atom hidrogen untuk N=2, L=0 dan M=0.
Terlihat bahwa jarak dari inti lebih lebar dari gambar
4.25.
49
4.34 Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=1 dan M=1. 50
4.35
Gambar pembanding untuk orbital N = 1, L = 1 dan
M= 1.
50
4.36
Akibat adanya medan listrik terjadi polarisasi orbital
atom H.
51
4.37 Gambar pembanding untuk gambar 4.36. 51
4.38 Plot probabilitas radial untuk gambar 4.29. 52
4.39 Gambar pembanding untuk gambar 4.38. 52
4.40
Polarisasi orbital atom H akibat medan listrik. Energi
orbital ini lebih rendah daripada orbital pada gambar
4.29.
53
4.41 Probabilitas radial untuk gambar 4.31. 53

ix
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran
Judul Lampiran Halaman
1 Harmonik bola untuk cos() dalam (0,1) ketika  = 0 59
2 Listing program 60
3
Pemecahan persamaan Schrodinger untuk elektron
dalam atom hidrogen
75

x
DAFTAR ISI
No. Halaman
1. Halaman Pengesahan …………………… ii
2. Halaman Persetujuan …………………… iii
3. Abstrak …………………… iv
4. Kata Pengantar …………………… v
5. Daftar Gambar …………………… vii
6. Daftar Lampiran …………………… ix
7. Daftar Isi : …………………… x
BAB I PENDAHULUHAN …………………… 1
A. Latar Belakang Masalah …………………… 1
B. Rumusan Masalah …………………… 3
C. Tujuan Penelitian …………………… 3
D. Manfaat Penelitian …………………… 4
E. Batasan Masalah …………………… 4
BAB II KAJIAN PUSTAKA …………………… 5
A. Persamaan Scrhodinger Untuk
Elektron Dalam Atom Hidrogen …………………… 5
B. Solusi Persamaan Scrhodinger
Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen …………………… 7
C. Bilangan Kuantum …………………… 8
D. Peluang Mendapatkan Elektron …………………… 9

xi
E. Efek Stark Dalam Atom Hidrogen …………………… 9
BAB III METODE PENELITIAN …………………… 14
A. Modifikasi Program …………………… 14
B. Pengujian Program …………………… 21
C. Penerapan Program …………………… 25
BAB IV HASIL dan PEMBAHASAN …………………… 26
A. Program Komputer dan Pembahasan …………………… 26
B. Pembahasan Secara Fisis …………………… 31
C. Keunggulan dan Keterbatasan Program …………………… 54
BAB V SIMPULAN dan SARAN …………………… 56
8. Daftar Pustaka …………………… 57
9. Lampiran
Lampiran 1 …………………… 59
Lampiran 2 …………………… 60
Lampiran 3 …………………… 75

1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Hidrogen, dengan hanya satu elektron, adalah sistem atom yang paling sederhana
yang mungkin. Masalah dari struktur atom hidrogen adalah masalah yang paling
penting dari struktur atom dan molekul, tidak hanya karena perlakuan teoritik dari
atom ini lebih sederhana daripada atom-atom dan molekul-molekul yang lain, tetapi
juga sebagai dasar bagi diskusi untuk banyak sistem atomik yang lebih kompleks
(Pauling, 1935: 112). Sehingga masalah atom hidrogen umumnya menjadi materi
wajib dalam buku teks maupun perkuliahan fisika modern dan fisika kuantum.
Walaupun fungsi gelombang untuk elektron atom hidrogen hasil pemecahan
persamaan Schrodinger tidak mempunyai tafsiran fisis, tetapi kuadrat besaran
mutlaknya yang dicari pada suatu tempat tertentu berbanding lurus dengan peluang
(probabilitas) untuk mendapatkan elektron di tempat tersebut. Fungsi gelombang
tersebut ada yang bergantung pada pada jarak dari inti yang disebut fungsi gelombang
radial dan ada yang bergantung pada sudut angular yang disebut fungsi harmonik
bola. Solusi lengkapnya adalah perkalian dari fungsi-fungsi tersebut. Tetapi bila
fungsi besaran kuadrat dari fungsi-fungsi tersebut kita plot maka akan diperoleh hasil
berupa visualisasi orbital atom dari atom hidrogen. Fungsi gelombang elektron atom
hidrogen tersebut dikenal sebagai orbital.
1

2
Adanya medan listrik luar mengakibatkan adanya pergeseran (degenerasi) energi
pada atom hidrogen (efek Stark) sehingga fungsi gelombang ikut berubah. Pada
keadaan dasar tidak terjadi degenerasi, tetapi pada keadaan eksitasi pertama terjadi
degenerasi yang dikenal sebagai efek Stark orde pertama (linier di dalam medan
listrik ). Pada penelitian ini yang divisualisasikan hanya efek Stark pada atom
hidrogen pada keadaan eksitasi pertama.
Salah satu kesulitan dalam visualisasi orbital atom hidrogen adalah fungsinya
mengandung polinom Legendre dan polinom Laguerre. Kesulitan ini dapat diatasi
dengan komputasi menggunakan program Matlab yang menyediakan fungsi khusus
Legendre dan Laguerre. Telah ada yang membuat program komputer untuk
memvisualisasikan orbital atom hidrogen antara lain buatan Kevin Chu dengan
bahasa pemrograman Matlab yang menampilkan plot 3D dari pemecahan persamaan
Schrodinger yang telah diketahui untuk orbital 1s, 2s, 2p_z, 3d_z2
dan 3d_xy dan plot
fungsi dan probabilitas radialnya (Chu, 2005). Program dalam matlab yang lain
adalah buatan L. Kocbach yang menampilkan fungsi radial dan fungsi probabilitas
radial serta plot masing-masing (Kocbach, 2005). Ada juga dalam bahasa Maple
buatan Takeuchi yang mendemonstrasikan gambaran 3D dari berbagai variasi orbital
atom hidrogen atau probabilitas dari densitas kemungkinan keberadaan elektron
(Takeuchi, 2005).
Program yang dipakai dalam penelitian ini adalah hasil modifikasi dari program
dalam bahasa Matlab buatan Goran Lindblad (Department of Physics Royal Institute

3
of Technology Stockholm Sweden) yang menampilkan plot fungsi dan probabilitas
radial serta plot 3D beberapa orbital (Lindblad, 2005). Yang menarik dari program ini
adalah control window dan menunya dan banyaknya gejala fisis yang ditampilkan.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, maka dirumuskan masalah:
1. Bagaimana membuat program komputer yang dapat memplot orbital atom
hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial maupun fungsi harmonik bola dan
ketergantungannya terhadap sudut angular) dan orbital atom hidrogen pada
keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark dengan bahasa pemrograman Matlab.
2. Bagaimana hasil plot program komputer tersebut di atas.
C. Tujuan Penelitian
1. Membuat program komputer (hasil modifikasi program buatan Goran Lindbald)
yang dapat memplot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial
maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan
orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark dengan
bahasa pemrograman Matlab.
2. Mengetahui hasil plot program komputer tersebut di atas.

4
D. Manfaat Penelitian
1. Mengetahui plot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial
maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan
orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark.
2. Menambah pengetahuan tentang atom hidrogen, karena dengan adanya visualisasi
ini maka akan menambah tafsiran fisisnya.
3. Dapat digunakan untuk membuat media pembelajaran dalam perkuliahan fisika
modern dan fisika kuantum.
E. Batasan Masalah
1. Yang divisualisasikan adalah orbital atom hidrogen (baik fungsi radial,
probabilitas radial maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap
sudut angular) dan orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat
efek Stark dengan bahasa pemrograman Matlab.
2. Program yang dipakai adalah modifikasi dari program buatan Goran Lindblad.

5
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen
Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton (partikel bermuatan +e) dan
sebuah elektron (partikel bermuatan –e) yang 1836 kali lebih ringan dari proton.
Dalam pembahasan di sini proton dianggap diam di pusat koordinat dan elektron
bergerak mengelilinginya dibawah pengaruh medan atau gaya Coulumb.
Pendekatan lebih baik dilakukan dengan memandang kedua partikel berotasi di
sekitar pusat massa bersama yang berada (sedikit) di dekat proton, tetapi efek ini
diabaikan (Purwanto, 1997:115). Persamaan Scrhodinger untuk elektron
dalam tiga dimensi yang harus dipakai untuk persoalan atom hidrogen adalah
(Beiser, 1992: 204)
  0
2
22
2
2
2
2
2











VE
m
zyx
e

(1)
dengan me adalah massa elektron. Energi potensial V ialah energi potensial listrik
dari suatu muatan –e pada jarak r dari muatan +e
r
e
V
o4
2
 (2)
Mengingat sistem mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila
persamaan Schrodinger dinyatakan dalam koordinat bola sehingga pers. (1)
menjadi (setelah mensubstitusikan pers.(2))
5

6
0
4
2
sin
1
sin
sin
11
2
22
2
22
22
2
2







































r
e
E
m
r
rr
r
rr
o
e

(3)
Persamaan (3) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas, masing-
masing hanya mengandung satu koordinat saja. Fungsi gelombang  (r,,)
mengambil bentuk perkalian tiga fungsi yang berbeda
         rRr ,, (4)
Fungsi R(r) memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron  berubah
sepanjang vektor jari-jari dari inti, dengan  dan  konstan. Fungsi ()
memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron  berubah terhadap sudut zenit
 sepanjang meridian pada bola yang berpusat pada inti, dengan r dan  konstan.
Fungsi () memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron  berubah
terhadap sudut azimut  sepanjang garis pada bola yang berpusat pada inti,
dengan r dan  konstan (Beiser,1992: 207).
Hasil pemisahan variabel dari persamaan (3) adalah:
02
2
2


m
d
d

(5)
  0
sin
1sin
sin
1
2
2











 



m
ll
d
d
d
d
(6)
 
0
1
4
21
2
0
2
2
2








 














R
r
ll
E
r
em
dr
dR
r
dr
d
r
e

(7)
(Beiser, 1992: 209)

7
B. Solusi Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen
Solusi dari persamaan (5) adalah
     
 2
 imim
m AeAe (8)
dengan A adalah konstanta normalisasi yang besarnya 2/1 .
      cos
m
llmlm PN (9)
m
lP ditentukan dengan rumus Rodrigues untuk polinom Legendre
     l
ml
ml
m
l
m
l x
dx
d
x
l
xP 11
!2
1 22/2
 

(10)
(Boass, 1982:505)
Nlm adalah konstanta normalisasi yang besarnya
   
 !
!
2
12
ml
mll
Nlm


 (11)
(Yariv, 1982:66)
Fungsi yang berhubungan angular total adalah harmonik bola yaitu
        
mm
lY 1, (12)
dengan    *
1 m
l
mm
l YY 
(Gate, 1989:17).
       122/ 


 l
ln
l
nlnl LeNrRrR (13)
Nnl adalah konstanta normalisasi yang besarnya
 
  
2/1
3
3
0 !2
!12

















lnn
ln
na
Nnl (14)

8
Besar  adalah
0
2
na
r
 dengan 22
0 / ema e .
 12 l
nlL adalah polinom Laguerre terasosiasi yang dapat ditentukan dengan rumus
     xL
dx
d
xL pq
q
qq
p 1 (15)
Lp(x) ditentukan dengan rumus
   xp
p
p
x
p ex
dx
d
exL 
 (16)
(Boass, 1982:533)
Jadi solusi lengkap persamaan fungsi gelombang elektron atom hidrogen
adalah
      ,,, m
lnlnlm YrRr  (17)
Jika elektron dijelaskan oleh salah satu fungsi gelombang ini, dikatakan bahwa
elektron itu menempati orbital tersebut. Jadi, elektron yang digambarkan oleh
fungsi gelombang 100 disebut menempati orbital dengan n=1, l=0, dan m=0.
C. Bilangan Kuantum
Tiga bilangan kuantum yang timbul dari pemecahan persamaan Scrhodinger
elektron atom hidrogen adalah n, l dan m. Bilangan n dinamakan bilangan
kuantum utama yang besarnya n=1,2,3….dan l dinamakan bilangan kuantum
orbital yang besarnya l=0,1,2,3,…,(n-1) dan m dinamakan bilangan kuantum
magnetik yang besarnya m=0, 1, 2, , …,l. Bilangan n menentukan energi
total elektron 





 22
0
2
4
1
32 n
em
E e
n

, bilangan l menentukan besar momentum

9
sudut elektron terhadap inti   1 llL , dan bilangan m menentukan arah
momentum sudut mLz  .
Biasanya keadaan momentum sudut orbital diberi nama dengan huruf s untuk
l = 0, p untuk l = 1, d untuk l = 2, f untuk l = 3, g untuk l = 4 dan seterusnya.
D. Peluang Mendapatkan Elektron
Peluang mendapatkan elektron pada titik r, ,  berbanding lurus dengan
2

dengan
2222
 R . Peluang untuk mendapatkan elektron atom hidrogen
pada suatu tempat antara r dan r + dr dari inti ialah (Beiser, 1992: 220)
 
drRr
dddrRr
dddrrdVdrrP
22
2
0
2
0
222
222
sin
sin







(18)
E. Efek Stark Dalam Atom Hidrogen
Sebelum membahas efek Stark, perlu diketahui dulu tentang teori gangguan
(perturbation theory). Alasan adanya teori gangguan adalah bahwa pada level
terendah dari (solusi) aproksimasi, dapat diketahui bagaimana pergeseran energi
dan bagaimana fungsi eigen berubah akibat perubahan potensial.
Nilai eigen dan set lengkapdari fungsi eigen ternormalisasi untuk Hamiltonian
(tanpa gangguan) Ho
 
nnno EH  0
 (19)
(Gasiorowicz, 2003: 174)

10
Adanya gangguan mengakibatkan
  nnno EHH   1 (20)
Solusinya memberikan (untuk pergeseran orde pertama)
 
nnnn HE  1
1
 (21)
Jika H1 hanya tergantung pada r, maka
 
     

 rrr nnn VrdE  31
(22)
Lebih jauh, persamaan pergeseran orde pertama
     
j
i
n
i
n
j
n EH   1
1 (23)
dengan  merupakan koefisien. Ini merupakan masalah nilai eigen dimensi
terbatas. Sebagai contoh, jika ada dua garis degenerasi, dan jika kita
menggunakan notasi    
ji
i
n
j
n hH  1 , persamaan tersebut terbaca
 
 
2
1
222121
1
1
212111


n
n
Ehh
Ehh


Aplikasi teori gangguan pada masalah yang nyata adalah efek Stark pada
atom hidrogen. Efek Stark merupakan peristiwa pergeseran tingkat energi atom
hidrogen sebagai akibat gangguan medan listrik yang lemah dan serba sama pada
atom tersebut (Tjia, 1999:93). Hamiltonian tidak terganggu
r
e
m
H
o
o
42
22

p
(24)

11
yang fungsi eigennya  rnlm . Potensial pengganggu
zeeH   r1 (25)
di mana  adalah medan listrik. Pergeseran energi dari keadaan dasar yang mana
tidak terdegenerasi diberikan oleh
 
  zrrdezeE
2
100
3
100100
1
100  (26)
Integral ini lenyap karena kuadrat dari fungsi gelombang selalu berupa fungsi
genap sedang potensial pengganggu adalah fungsi ganjil. Jadi (26) menunjukkan
tidak adanya pergeseran energi untuk keadaan dasar yang linier di dalam medan
listrik.
Sebagai contoh untuk mengilustrasikan teori gangguan degenerasi adalah efek
Stark pada keadaan eksitasi pertama (n = 2). Untuk sistem yang tak terganggu ada
empat keadaan n = 2 yang energinya sama yaitu 200 , 211 , 210 dan 1,1,2  .
Fungsi dengan l=0 mempunyai paritas genap dan l=1 mempunyai paritas ganjil.
Kita ingin memecahkan persamaan mirip pers. (23). Karena potensial pengganggu
dalam z maka ini hanya berhubungan dengan nilai-m yang sama, adanya paritas
membuat potensial pengganggu berhubungan dengan suku l=1 hingga l=0, yaitu
01,1,21,1,2   z (27)
kemudian matriks pada pers. (23) hanya matriks 2x2.

12
 




















2
11
2
1
210210200210
210200200200






 E
zz
zz
e (28)
Elemen-elemen diagonal adalah nol, karena paritas, dan elemen-elemen diagonal
yang lain sebanding, karena mereka adalah konjugat kompleks satu sama lain, dan
masing-masing boleh dipilih menjadi real. Kita punya
 
 
o
oo
ar
o
a
YYYd
a
r
a
r
eadrrz o
3
3/4.
2
1
3
2
2
101000
0
/32
210200
















(29)
dan kemudian pers. (28) menjadi
 
 
0
3
3
2
1
1
1




















Eae
aeE
o
o
(30)
Nilai eigen darinya adalah
 
oaeE 31
 (31)
dan keadaan eigen yang berkorespondensi ketika dinormalisasi adalah






1
1
2
1
dan 





1
1
2
1
(32)
Jadi efek Stark linier untuk n = 2 menghasilkan pemisahan (splitting) dari level-
level degenerasi seperti pada gambar 2.1.

13
m = 0
m = +1
m = 0
 210200
2
1
 
 210200
2
1
 
1,1,2 
4 degenerasi
keadaan n = 2
Gambar 2.1. Pola dari pemisahan Stark dari atom hidrogen pada eksitasi
pertama n = 2. Empat garis tebal degenerasi terpisah sebagian oleh efek
Stark. Keadaan m = + 1 tetap degenerasi dan tanpa pergeseran dalam
efek Stark (Gasiorowicz, 2003: 183).

14
BAB III
METODE PENELITIAN
Secara garis besar metode penelitian ini ada tiga tahap, yaitu modifikasi
program komputer buatan Goran Lindblad, pengujian program tersebut dan
penerapan program.
A. Modifikasi Program
Modifikasi-modifikasi program antara lain sebagai berikut:
1. Tampilan menu yang berbahasa Indonesia untuk memudahkan pengguna.
2. Keterangan – keterangan pada m-file berbahasa Indonesia untuk memudahkan
pengembangan lebih lanjut dan penerapan pada program yang lain (karena
tampilan menunya yang menarik).
3. Untuk program fungsi radial dan distribusi probabilitasnya, masukannya
bilangan kuantum utama N dan orbital M, tidak lagi N saja.
4. Untuk program plot 3D atau ketergantungan harmonik bola pada angular,
masukannya tidak lagi L, tetapi L dan M (bilangan kuantum magnetik).
5. Membuat program untuk efek Stark pada atom hidrogen pada keadaan eksitasi
pertama (program ini tidak ada pada program buatan Goran Lindblad). Untuk
polt orbitalnya, dibuat berdasarkan program buatan Goran Lindblad sedangkan
plot probabilitas radialnya berdasarkan program buatan Kevin Chu.
14

15
mulai
Masukkan nilai N, L
y=radial1(N, L, x')
plot(x,y)
selesai
y=(x'.*ones).*y
plot(y)
plot(x,y.^2)
Gambar 3.1. Flowchart untuk program menampilkan
grafik fungsi radial dan probabilitasnya.
Berikut adalah flowchart beberapa program hasil penelitian ini.

16
mulai
Masukkan nilai L
x=linspace(0,1)
y1=ylm(L,x)
plot(x, y1)
for n=1:L+1
l1=plot(x, y1(n,:));
axis(x,y);
set(l1,’LineWidth’,2)
plot(x, y1)
1
Gambar 3.2. Flowchart untuk
program harmonik bola.

17
X=linspace(0,2*pi,200)
y1=ylm(L,cos(X))
for n=1:L+1
selesai
y2=y1(L+n,:).^2;
yy=y2.*cos(X); xx=y2.*sin(X);
plot(xx,yy)
Gambar 3.3. Flowchart untuk
program harmonik bola (lanjutan).
1

18
mulai
Masukkan nilai L, M
theta=pi*linspace(0,1,60); phi=2*pi*linspace(0,1,90);
sph=ylm(L,cos(theta));
sph=sph(L+M+1,:);
dd=abs(sph' * cos(M*phi));
norm=max(max(dd));
dd=dd/norm;
X=dd.*(sin(theta)'*cos(phi));
Y=dd.*(sin(theta)'*sin(phi));
Z=dd.*(cos(theta)'*ones(size(phi)));
selesai
mesh(X,Y,Z)
Gambar 3.4. Flowchart untuk program ketergantungan
harmonik bola pada angular.

19
mulai
Masukkan nilai N, L, M
w=hydrogen(N,L,M,x,y);
mm=max(max(abs(w)));
w=30*w./mm;
selesai
surf(x,y,w)
Gambar 3.5. Flowchart untuk program orbital.

20
mulai
Masukkan nilai N1, L1,
M1, N2, L2, M2
w1=hydrogen(N1,L1,M1,x,y);
mm1=max(max(abs(w1)));
w1=30*w1./mm1;
w2=30*w2./mm2;
w=((1/sqrt(2))*(asinh(w1)-asinh(w2))).^2;
selesai
surf(x,y,w)
Gambar 3.6. Flowchart untuk program efek Stark.
a0=1;
r=1/a0 * [-10:0.01:0];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2+r).*exp(r/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r.*exp(r/2);
psi_1=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
r1=1/a0 * [0:0.01:10];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2-r1).*exp(-r1/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r1.*exp(-r1/2);
psi_2=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
plot(r, psi_1.^2, r1, psi_2.^2);

21
B. Pengujian Program
Untuk mengetahui benar atau tidaknya program yang dihasilkan dalam
penelitian ini perlu diadakan pengujian. Pengujian untuk program hasil modifikasi
dilakukan dengan membandingkan gambar hasil program dengan gambar hasil
program aslinya, selain itu juga dibandingkan dengan gambar-gambar yang
relevan yang ada pada buku-buku teks. Di dalam buku teks hanya ada beberapa
gambar plot orbital untuk state-state tertentu, sehingga gambar hasil program yang
diuji juga untuk gambar-gambar tertentu. Meskipun demikian, bila terjadi
kecocokan antara gambar hasil program dan gambar pada buku teks maka
dianggap program ini benar dan bisa diterapkan.
Pengujian program HarmonikBola.m dilakukan dengan membandingkan
keluarannya dengan gambar 3.7. Gambar 3.7 ini dibandingkan dengan gambar
4.16 hingga gambar 4.25, setelah dibandingkan terlihat adanya kecocokan
sehingga program HarmonikBola.m dapat dipakai. Beberapa hasil program
FungsiAngular.m (orbital 3D) yaitu gambar 4.26, 4.28 dan 4.30 dibandingkan
dengan gambar 3.8, terlihat juga adanya kecocokan sehingga program
FungsiAngular.m juga dapat dipakai. Hasil program FungsiRadial.m
dibandingkan dengan gambar 3.9. Gambar 3.9 ini dibandingkan dengan gambar
4.7 hingga gambar 4.13. Didapatkan kecocokan dari hasil perbandingan tersebut,
sehingga program FungsiAngular.m dapat diterapkan. Gambar 3.10 merupakan
gambar pembanding hasil program orbital.m (orbital 2D) yaitu gambar 4.25, 4.27
dan 4.28. Hasil perbandingan tersebut memperlihatkan kecocokan sehingga
program orbital.m dapat dipakai. Untuk program tentang efek Stark, hasil

22
Gambar 3.7. Beberapa sketsa distribusi |Ylm|2
di bidang z-x
dalam diagram polar (Gasiorowicz, 2003: 141).
keluarannya dibandingkan dengan gambar 3.11 yang berasal dari pustaka internet.
Ternyata ada kecocokan antara progam efek Stark dengan gambar 3.11 (seperti
yang terlihat pada gambar 4.36 hingga gambar 4.41). Secara umum hasil
pengujian memperlihatkan kecocokan sehingga program hasil penelitian ini benar
dan dapat diterapkan. Di dalam bab IV sebagian dari gambar-gambar berikut
ditampilkan untuk mempermudah dalam melakukan pembandingan.

23
Gambar 3.8. Representasi polar untuk nilai-nilai absolut dari fungsi
gelombang angular untuk orbital p dan s (Pauling, 1935:150).
Gambar 3.9. Fungsi gelombang radial dan distribusi probailitas atom
hidrogen (Pauling, 1935: 142-143).

24
Gambar 3.11. Efek Stark orbital atom H eksitasi pertama serta
probabilitas radialnya (www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html, 2006).
Gambar 3.10. Orbital pz dan px dalam 2D (Tung, Khoe Yao, 2003: 292-301).

25
C. Penerapan Program
Setelah melakukan modifikasi dan pengujian program, maka dilakukan
penerapan program untuk mendapatkan gambar-gambar hasil program kemudian
dijelaskan arti fisisnya seperti yang ada pada bab IV.

26
26
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara garis besar hasil penelitian ini ada dua macam, yaitu program komputer
dalam bahasa MATLAB dan hasil terapan program komputer tersebut.
Pembahasan juga ada dua macam, yaitu pembahasan program komputer dan
pembahasan hasil terapan program secara fisis. Dibahas juga keunggulan dan
keterbatasan program hasil penelitian.
A. Program Komputer dan Pembahasan
Pada penelitian ini dihasilkan 19 file-file program yang dapat dilihat pada
lampiran 2. File-file tersebut merupakan modifikasi dari file-file buatan Goran
Lindblad dan satu file tambahan untuk menampilkan orbital atom hidrogen pada
eksitasi pertama di dalam medan listrik (efek Stark). Berikut akan dibahas
beberapa file.
1. File AtomHidrogen.m
File ini adalah menu untuk program-program beberapa eigenstate (keadaan
eigen) atom hidrogen. Dengan file ini kita dapat memanggil file-file:
HarmonilBola.m (tombol “Harmonik Bola”), FungsiAngular.m (tombol “Orbital
Atom 3D”), FungsiRadial.m (tombol “Fungsi Gelombang Radial”), orbital.m
(tombol “Orbital Atom 2D”) dan file EfekStark.m (tombol “EfekStark”). File
AtomHidrogen.m ini juga dilengkapi dengan tombol ”BERHENTI” untuk keluar
dari program.

27
Gambar 4.1. Tampilan menu program AtomHidrogen.m.
Gambar 4.2. Tampilan menu program HarmonikBola.m.
2. File HarmonikBola.m
File HarmonikBola.m menampilkan harmonik bola untuk  = 0.1 dan  = 0
(dapat dilihat pada lampiran 1) dengan masukan bilangan kuantum orbital L. Juga
ditampilkan harmonik bola Y(L, M) dalam plot kuadrat amplitudo dalam diagram
polar.

28
Gambar 4.3. Tampilan menu program FungsiAngular.m.
3. File FungsiAngular.m
File ini menampilkan ketergantungan harmonik bola pada angular dengan
masukan bilangan kuantum angular (orbital) L dan bilangan kuantum magnetik
M. Besaran yang ditampilkan adalah nilai absolut dari bagian real dari fungsi
Ylm(,). File ini menggunakan fungsi file ylm.m. Dalam file aslinya (buatan
Goran Lindblad), masukanya berupa L saja, jadi file tersebut menampilkan nilai
absolut Ylm(,) secara beruntun dan otomatis untuk nilai M = 0 hingga M = L
sehingga lebih sulit dalam penyimpanan gambar serta harus menunggu untuk
memperoleh gambar yang kita inginkan.
4. File FungsiRadial.m
File FungsiRadial.m menampilkan plot fungsi radial, plot fungsi radial
dikalikan r dan plot distribusi probabilitas radial. Fungsi gelombang radial
didefinisikan dalam bentuk polinomial Laguerre dan dihitung dengan

29
Gambar 4.4. Tampilan menu program FungsiRadial.m.
menggunakan algoritma dalam fungsi file radial1.m dan laguerre.m. Masukan file
ini adalah bilangan kuantum utama N dan bilangan kuantum orbital L. Berbeda
dengan file aslinya yang menampilkan seluruh fungsi gelombang radial untuk N
dengan L = 0 hingga L = N - 1 dalam satu grafik sehungga sulit untuk
mengidentifikasi mana plot fungsi gelombang radial untuk N = 4 dan L = 2
misalnya, karena ada 4 plot (yaitu untuk M = 4 dan L = 0, 1, 2 dan 3).
5. File orbital.m
File ini menamplikan orbital hidrogen dengan masukan bilangan kuantum N,
L, M. File ini menghitung nilai real dari orbital hidrogen untuk  = 0 dan
amplitudo digambar dalam colormap. Colormap yang dipakai adalah jet. Bila kita
ingin tampilan warna yang lain kita dapat mengganti colormap tersebut. File
orbital.m ini menggunakan fungsi file hydrogen.m.

30
Gambar 4.5. Tampilan menu program orbital.m.
Gambar 4.6. Tampilan menu program EfekStark.m.
6. File EfekStark.m
File ini tidak ada dalam file-file buatan Goran Lingblad. File ini menampilkan
orbital H untuk eksitasi pertama (n = 2) dalam medan listrik untuk  = 0 dan
amplitudo digambar dalam colormap. File ini juga menampilkan fungsi distribusi
probabilitas radialnya.

31
B. Pembahasan Secara Fisis
Berikut akan dibahas tentang keadaan normal atom hidrogen, fungsi
gelombang radial atom hidrogen, ketergantungan fungsi gelombang pada pada
sudut  dan , orbital s, p dan d serta efek Stark untuk n = 2.
1. Keadaan normal dari atom hidrogen
Sifat-sifat dari atom hidrogen pada keadaan normalnya (n = 1, l = 0, m = 0)
diterangkan oleh fungsi gelombang (gambar 4.7)
oar
o
e
a
/
3
100
1 



Orbital pada keadaan ini disebut juga orbital 1s. Interpretasi fisis mempostulatkan
untuk fungsi gelombang membutuhkan
oar
o
e
a
/2
3
1 



sebagai fungsi distribusi probabilitas untuk elektron relatif terhadap inti. Karena
ekspresi ini bebas dari  dan , atom hidrogen normal adalah simetri bola. Simetri
bola ini merupakan sifat yang tidak diajukan oleh atom Bohr normal, untuk orbit
Bohr dibatasi ke sebuah bidang tunggal (single plane) (Pauling, 1935: 139).
Dengan menggunakan
  drRrdrr
22
P 
diperoleh fungsi distribusi radial
  oar
o
er
a
rP /22
3100
4 

yang terlihat pada gambar 4.10 adalah fungsi dari r, jarak
dari inti.
Probabibilitas yang mana elektron tetap di sekitar
o
1A dari inti adalah besar,
inilah “ukuran” dari atom hidrogen yang sama dengan yang diberikan oleh atom

32
Gambar 4.7. Plot fungsi radial untuk N = 1, L = 0.
Bohr. Jarak yang paling mungkin dari elektron terhadap inti, yaitu nilai r pada
P(r) saat nilai maksimum adalah tepat jari-jari orbit Bohr normal ao untuk
hidrogen (Pauling, 1935: 140).
Fungsi
2
100 mempunyai nilai maksimum pada r = 0, menunjukkan bahwa
posisi paling mungkin untuk elektron adalah dekat inti, maka dari itu kesempatan
elektron tinggal di dalam volume kecil sangat dekat inti adalah lebih besar
daripada kesempatan elektron tersebut tinggal di elemen volume dengan ukuran
yang sama pada jarak yang lebih besar dari inti (Pauling, 1935: 141).
2. Fungsi gelombang radial atom hidrogen
Fungsi gelombang radial
 rRnl untuk n = 1, 2 dan 3 dan l = 0 plotnya
ditunjukkan pada gambar – gambar berikut.

33

34
Gambar 4.10. Fungsi gelombang radial atom hidrogen Rnl (r)
untuk n =1, 2 dan 3 dan l = 0 dan 1 (Pauling, 1935: 142).
Pada plot fungsi radial di atas sumbu horisontal merepresentasikan nilai r,
oleh karena itu skala horisontal harus ditingkatkan dengan faktor n dengan tujuan
untuk menunjukkan R(r) sebagai fungsi jarak elektron-inti r.
Gambar 4.10 berikut merupakan gambar pembanding dari gambar 4.7 hingga
gambar 4.9 di atas. Terlihat bahwa antara gambar hasil program dengan gambar
yang ada di buku teks terdapat kecocokan. Dengan demikian program file
FungsiRadial.m untuk plot fungsi radial benar dan dapat dipakai.
Fungsi distribusi radial
   22
nlP rRrr nl
yang direpresentasikan dari fungsi
r dari keadaan-keadaan untuk n = 1, 2 dan 3 dan l = 0 plotnya ditunjukkan pada
gambar – gambar berikut.

35
Gambar 4.12. Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=2, L=0.
Gambar 4.11. Plot kerapatan probabilitas radial untuk N =1, L=0.

36
Gambar 4.13. Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=3, L=0.
Dari gambar 4.11 hingga gambar 4.13 dengan melihat puncak-puncak
gelombang dari plot di atas (denga l = 0 untuk n = 1 ada satu puncak, untuk n = 2
ada dua puncak dan untuk n = 3 ada tiga puncak) kita boleh mengatakan bahwa
selama waktu satu periode elektron mungkin dipertimbangkan, pada keadaan
normal (n = 1, l = 0) membentuk sebuah bola sekitar inti, pada keadaan 2s (n = 2,
l = 0) membentuk sebuah bola dan sebuah lapisan yang lebih luar, pada keadaan
3s (n = 3, l = 0) membentuk sebuah bola dan dua lapisan yang terpusat demikian
seterusnya (Pauling, 1935: 143).
Gambar 4.14 berikut adalah gambar pembanding dari gambar 4.11 hingga
gambar 4.13. Seperti pada fungsi radial sebelumnya, terlihat adanya kecocokan
antara gambar hasil program dengan gambar yang ada pada buku teks, sehingga

37
Gambar 4.14. Fungsi distribusi electron 4r2
[Rnl(r)]2
untuk
atom hidrogen (Pauling, 1935: 143).
program file FungsiAngular.m untuk plot probabilitas radial benar dan dapat
dipakai.
3. Ketergantungan fungsi gelombang pada sudut  dan 
Fungsi gelombang dengan nilai l yang sama dan nilai m yang berbeda
merepresentasikan keadaan-keadaan dengan momentum angular yang sama tetapi
dengan orientasi-orientasi yang berbeda dalam ruang.
Plot fungsi distribusi pada keadaan-keadaan dengan m =  l dan untuk l = 0, 1,
2 dan 3 terlihat pada gambar - gambar berikut (terdapat pula sebagian gambar-
gambar pembanding dari buku teks).

38
Gambar 4.16. Plot kuadrat amplitudoY(1, 1) dalam diagram polar.

39
Gambar 4.17. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY(1, 1).

40
Dari gambar-gambar harmonik bola di atas terlihat bahwa l meningkatkan
fungsi distribusi probabilitas menjadi lebih terkonsentrasi sekitar bidang xy
(Pauling, 1923: 147). Hal tersebut ditunjukkan oleh sumbu horisontalnya yang
semakin melebar. Hal ini karena besar momentum sudut yang dimiliki elektron
semakin besar ketika l makin besar. Terlihat pula bahwa untuk selain l = 0,
probabilitas dekat inti adalah kecil, ini alibat efek sentrifugal (adanya momentum
sudut) yang menjauhkan elektron dari inti.
Kelakuan dari fungsi dristibusi untuk nilai-nilai l = 3 dan m = 0, 1, 2 dan 3
ditunjukkan pada gambar-gambar berikut.

41

42
.

43
Terlihat dari plot-plot kuadrat harmonik bola di atas, bahwa m menentukan
arah dari momentum sudut elektron, untuk l yang sama, semakin besar m fungsi
distribusi semakin menjauh dari sumbu z.
Dengan melihat gambar hasil program file HarmonikBola.m dengan gambar
yang ada pada buku teks, terlihat adanya kecocokan sehingga program file
tersebut dapat benar dan dapat diterapkan atau digunakan.
Semua gambar di atas adalah untuk ketergantungan pada  dengan  konstan.
Ketergantungan fungsi distribusi probabilitas pada angular dalam bentuk nyata (
dan  ) seperti terlihat pada gambar-gambar berikut (bersama dengan gambar-
gambar dari buku teks sebagai pembanding, yaitu gambar 4.27 dan gambar 4.29).

44
Gambar 4.28. Ketergantungan Y(1, 0) pada angular ( dan ).
Gambar 4.26. Ketergantungan Y(0, 0) pada angular ( dan )
untuk orbital s.
Gambar 4.27. Gambar pembanding untuk orbital s.

45
Gambar 4.29. Gambar pembanding untuk Orbital pz.
Yang diamati dari gambar 4.26 dan gambar 4.28 hanyalah “tumpahan”
distribusi elektron, dengan distribusi ruang yang diberikan oleh probabilitas
2
 ,
kita tidak mungkin mengamati secara langsung gerak elektron di dalam atom
hidrogen (Krane,1992: 280).
Dari perbandingan gambar hasil program FungsiAngular.m dengan gambar
dari buku teks terlihat adanya kecocokan sehingga program tersebut benar dan
dapat digunakan.
4. Orbital s
Kurva rapat elektron untuk orbital 2s mengungkapkan dua daerah dengan
rapat elektron tinggi yang terpisah oleh titik nol (gambar 4.12). Titik nol ini
disebut simpul, dan menyatakan daerah dalam ruang yang kebolehjadian
menemukan sebuah elektron sangat kecil. Semua orbital kecuali orbital 1s
mempunyai simpul (Fessenden, 1997: 2). Semua orbital s adalah simetri bola,
karena tidak mengandung komponen angular.

46
5. Orbital p
Sebuah elektron p mempunyai momentum sudut (dengan besaran 2 ), dan
momentum ini mempunyai efek yang besar pada bentuk fungsi gelombang di
dekat inti: orbital p mempunyai amplitudo nol pada r = 0. Hal ini dapat dipahami
secara klasik, berkenaan dengan efek sentrifugal momentum sudut, yang
menjauhkan elektron itu dari intinya. Hal ini juga merupakan sesuatu yang kita
duga dari bentuk energi potensial efektif, yang naik sampai tak terhingga ketika r
menuju nol dan mengeluarkan fungsi gelombang dari inti.
Efek sentrifugal yang sama, tampak pada semua orbital dengan l > 0,
konsekuensinya amplitudo nol pada inti sehingga peluang menemukan elektron
pada inti adalah nol (Atkins, 1994: 387). Setiap orbital p mempunyai dua cuping
yang terpisah oleh simpul (bidang simpul dalam hal ini) pada inti. Orbital p, dapat
diandaikan mempunyai berbagai orientasi sekeliling inti. Ketiga orbital 2p
terdapat pada sudut yang saling tegak lurus. Orbital p yang saling tegak lurus
kadang-kadang ditandai sebagai px, py, pz. Huruf subskrip x, y, z yang dapat
digambarkan lewat gambar dari orbital p ini (Fessenden, 1997: 3).
Orbital 2p dibedakan karena tiga nilai m yang berbeda. Karena bilangan
kuantum m menyatakan momentum sudut disekitar sumbu maka perbedaan nilai
m menyatakan orbital tempat elektron mempunyai momentum sudut yang berbeda
disekitar sumbu-z sembarang, tetapi besaran momentumnya sama (karena l nya
sama). Misalnya, orbital dengan m = 0 mempunyai momentum sudut di sekitar
sumbu-z sama dengan nol. Orbital ini membentuk f(r) cos, kerapatan elektron
yang sebanding dengan cos2
 mempunyai nilai maksimum pada kedua sisi inti,

47
Gambar 4.30. Orbital p (px).
sepanjang sumbu-z (untuk  = 0 dan 180o
). Karena alasan ini, orbital ini disebut
pz (gambar 4.28). Orbital dengan m = 1 (yang sebanding dengan 
 i
e
sin )
mempunyai sudut disekitar sumbu-z. Orbital dengan faktor i
e
berkaitan dengan
rotasi satu arah dan orbital dengan faktor i
e
, berkaitan dengan gerakan dengan
arah yang berlawanan. Orbital itu mempunyai amplitudo nol bila  = 0 dan 180o
(sepanjang sumbu-z) dan amplitudonya maksimum pada saat  = 90o
, yang
berada pada bidang xy. Untuk menggambarkan fungsi itu, biasa diambil
kombinasi linier real
 
  yffeef
xffeef
ii
ii








sinsinsin
cossinsin
yang (jika ternormalisasi) disebut orbital px (gambar 4.23) dan py (Atkins, 1994:
387). Karena orbital 2p ekuivalen dalam bentuk dan dalam jarak dari inti mereka
mempunyai energi yang sama. Orbital yang memiliki energi yang sama, seperti
orbital 2p, dikatakan terdegenerasi (Fessenden, 1997: 4).

48
Gambar 4.31. Orbital 2d, terlihat seperti penggabungan dua orbital p.
6. Orbital d
Jika n = 3, l dapat bernilai 0, 1, atau 2. Hasilnya adalah satu orbital 3s, tiga
orbital 3p, dan lima orbital 3d. Kelima orbital d mempunyai m = 2, 1, 0, -1, -2 dan
berkaitan dengan lima momentum sudut yang berbeda disekitar sumbu-z (tetapi
besarannya sama, karena pada setiap kasus l = 2). Berbeda dengan orbital p,
orbital d dengan nilai m yang berlawanan (sehingga arah gerakannya disekitar
sumbu-z juga berlawanan) dapat digabungkan secara berpasangan seperti pada
gambar 4.31 (Atkins, 1994: 387).

49
Gambar 4.32. Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=0 dan M=0.
Terlihat bahwa jarak dari inti lebih lebar dari gambar 4.25
Berikut adalah beberapa gambar orbital atom hidrogen dalam colormap dari
amplitudo hasil dari program file orbital.m.

50
Gambar 4.35. Gambar pembanding untuk orbital N = 1, L = 1
dan M = 1.
Dari perbandingan gambar 4.34 dan gambar 4.35 terlihat adanya kecocokan
sehingga program file orbital.m benar dan dapat diterapkan.

51
Gambar 4.36. Akibat adanya medan listrik terjadi polarisasi orbital atom H.
7. Efek Stark
Berikut adalah gambar-gambar dari orbital atom hidrogen yang terdegenerasi
dalam medan medan listrik untuk keadaan eksitasi pertama.
Gambar 4.37. Gambar pembanding untuk gambar 4.36.

52
Gambar 4.38. Plot probabilitas radial untuk gambar 4.29.
Gambar 4.39. Gambar pembanding untuk gambar 4.38.
Dari perbandingan gambar-gambar hasil program file EfekStark.m di atas
dengan gambar-gambar pembandingnya terlihat adanya kecocokan sehingga
program tersebut benar dan dapat digunakan.

53
Gambar 4.41. Probabilitas radial untuk gambar 4.31.
Gambar 4.40. Polarisasi orbital atom H akibat medan listrik.
Energi orbital ini lebih rendah daripada orbital pada gambar 4.29.

54
Dari gambar 4.36 hingga gambar 4.41 terlihat bahwa fungsi distribusi
terkonsentrasi pada sumbu z dan terpolarisasi. Dari plot fungsi distribusi radial,
terlihat bahwa probabilitas tertinggi adalah dekat inti.
Untuk mendapatkan beberapa dugaan intuisi dari apa yang terjadi, kembali ke
teori klasik tentang gerak partikel di bawah pengaruh gaya kuadrat terbalik, orbit-
orbit adalah berbentuk elips yang mempunyai pusat tarik-menarik pada salah satu
fokus. Karena partikel bergerak lebih lambat ketika benda lebih jauh dari pusat,
partikel tersebut menghabiskan waktu lebih lama pada salah satu sisi dari pusat
daripada sisi yang lain, jadi sebuah atom bila digambarkan dengan cara ini adalah
secara efektif terpolarisasi. Kombinasi-kombinasi linier ψ1 dan ψ2 adalah fungsi
gelombang yang sekurang-kurangnya secara kasar berkorespondensi dengan orbit-
orbit Keplerian klasik. Orbit-orbit itu dikenal sebagai orbit berpolarisasi stasioner,
yang muncul hanya untuk sebuah gaya kuadrat terbalik dan beberapa kasus yang
lain. Pada mekanika kuantum, degenerasi di antara state-state dari l yang berlainan
yang mana membuat segala sesuatu mungkin lenyap sesegera setelah gaya tarik-
menarik tidak lagi kuadrat terbalik. Jadi, gaya kuadrat terbalik bertanggung jawab
terhadap keberadaan dari momen listrik permanen menurut kedua teori (Park,
1992: 229-230).
C. Keunggulan dan Keterbatasan Program
1. Keunggulan
a. Dapat memplot 3D untuk orbital dengan masukan l dan m sembarang
(harus diingat batasan dari nilai-nilainya). Dengan demikian kita dapat

55
memperoleh informasi (gambar-gambar) yang lebih banyak dari yang ada
pada buku-buku teks.
b. Sama dengan poin satu di atas untuk plot fungsi radial dan
probabilitasnya dengan masukan n dan l.
c. Sama dengan poin satu di atas untuk plot harmonik bola dalam diagram
polar dengan masukan l.
d. Sama dengan poin satu di atas untuk plot orbital 2D dengan masukan n, l
dan m.
2. Keterbatasan
a. Tidak dapat menampilkan untuk masukan m yang negatif.
b. Tidak dapat menampilkan bentuk matematis (persamaan gelombang).

56
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
A. Simpulan
1. Penelitian ini menghasilkan program komputer dalam bahasa pemrograman
Matlab yang dapat memvisualisasikan orbital atom hidrogen tanpa gangguan
(fungsi radial dan distribusi probabilitasnya serta ketergantungan harmonik
bola pada angular) dan dengan gangguan medan listrik untuk keadaan eksitasi
pertama (efek Stark).
2. Hasil visualisasi menunjukkan:
a. Bentuk orbital atom hidrogen bergantung pada jarak dari inti r dan juga
pada angular (θ, ). Ketergantungan pada r ditentukan oleh state dari
elektron dengan bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum orbital l.
Ketergantungan pada angular ditentukan bilangan kuantum orbital l dan
bilangan kuantum magnetik m.
b. Adanya gangguan medan listrik menyebabkan terjadinya degenerasi nilai
eigen energi untuk keadaan eksitasi pertama (efek Stark orde pertama).
Adanya medan ini menyebabkan terpolarisasinya orbital atom hidrogen.
B. Saran
Program hasil penelitian ini tidak menampilkan bentuk matematis dari
persamaan elektron untuk atom hidrogen (orbital). Perlu dilakukan penelitian
lebih lanjut untuk menampilkan persamaan tersebut serta efek Stark untuk
keadaan eksitasi yang lebih tinggi.

57
57
DAFTAR PUSTAKA
Atkins, P.W. 1994. Kimia Fisika (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Beiser, Arthur. 1992. Konsep Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Boass, Mary. 1982. Mathematical Methods in the Physical Sciences. New York: John
Willey & Sons. Inc.
Chu, Kevin. http: // www.princenton.edu/ ~ktchu/ misc/ archives/ quantum_plots/
H_atoms/. Tanggal 12 Desember 2005.
Fessenden, Ralp. 1997. Kimia Organik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Gasiorowicz, Sthepen. 2003. Quantum Physics. Third edition. New York: John Wiley
& Sons Inc.
http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html. Tanggal 12 Desember 2005.
Kocbach. http://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/. Tanggal 12 Desember 2005.
Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: UI-Press.
Lindblad,Goran. http://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.html. Tanggal 12
Desember 2005.
Lindblad,Goran. http://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gz. Tanggal 12
Desember 2005.
Park, D. 1992. Introduction to the Quantum Theory. Third Edition. New York:
McGraw Hill.
Pauling, Linus. 1935. Introduction to Quantum Mechanics with Applications to
Chemistry. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd.
Purwanto, Agus. 1997. Pengantar Fisika Kuantum. Surabaya: Citra Media.
Takeuchi. http://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.html. Tanggal 12 Desember
2005.
Tjia, M.O. 1999. Mekanika Kuantum. Bandung: Penerbit ITB.

58
Tung, Khoe Yao. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika Dengan Aplikasi Program
Maple. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Woodgate, G.K. 1989. Elementary Atomic Structure. London: Oxford University
Press.
Yariv, Amnon. 1982. An Introduction to Theory and Applications of Quantum
Mechanics. New York: John Wiley & Sons. Inc.

5957
LAMPIRAN 1
HARMONIK BOLA UNTUK COS() DALAM (0,1) KETIKA  = 0
Gambar L.1. Harmonik bola dari derajat L = 3
untuk cos() dalam (0,1) ketika  = 0.
Gambar L.2. Harmonik bola Y (3,0) untuk
cos() dalam (0,1) ketika  = 0.

60
LAMPIRAN 2
LISTING PROGRAM
1. File AtomHidrogen.m
%> File <AtomHidrogen.m> merupakan menu untuk program-program
%> beberapa sifat dari eigenstate atom H.
%> File ini modifikasi dari <hatom.m> buatan
%> © Goran Lindblad - gli@theophys.kth.se
close, clear, disp('> Selamat Datang Di <AtomHidrogen>!');
q1=1;
axis('off');axis([0 1 0 1]), t1=title('Program Atom Hidrogen');
set(t1,'FontSize',18);
ww = {''
' Program ini menampilkan beberapa sifat atom hidrogen '
' untuk state-state yang terbatas, menampilkan grafik'
' ketergantungan pada radial dan angular '
' dan juga Efek Stark untuk eksitasi pertama.'};
text0([.15 .45 .75 .4], ww);
rbutt([.15 .36 .35 .06],'Harmonik Bola','close,q=1;')
rbutt([.15 .29 .35 .06],'Orbital Atom 3D','close,q=2;')
rbutt([.15 .22 .35 .06],'Fungsi Gelombang Radial','close,q=3;')
rbutt([.55 .36 .35 .06],'Orbital Atom 2D','close,q=4;')
rbutt([.55 .29 .35 .06],'Efek Stark n=2','close,q=5;')
bbutt([.55 .22 .35 .06],'BERHENTI','close,q=6;'),
uiwait
if q==6
return;
elseif q==2
FungsiAngular;return;
elseif q==4
orbital; return;
elseif q==5
EfekStark;return;
elseif q==1
HarmonikBola;return;
elseif q==3
FungsiRadial;return;
end
end
if q1==1
start;return
elseif q1==2
AtomHidrogen; return
end
disp('> Ketik AtomHidrogen untuk mengulangi!');
60

61
2. File bbutt.m
function h = bbutt(xy,ww,action)
%> Ini adalah tombol biru standar
%> Panggil: bbutt(xy,ww,action)
%> Input: xy = position 4-vector [x1 y1 x2-x1 y2-y1]
%> ww = text string,
%> action = callback sebagai 'close' atau 'uiresume'
uicontrol('Style','pushbutton','Units','normalized',...
'Position',xy,'String',ww,...
'BackGroundColor',[.0 .0 .9],'ForeGroundColor','w',...
'Fontsize',12,'Callback',action)
3.File edit1.m
function f=edit1(xy,string);
%> file <edit1> mengijinkan kita untuk mengedit "string"
%> Panggil q = edit1(xy, string) dimana
%> xy = 4-vector memberikan posisi dan ukuran dari "window"
%> string = string yang diedit.
%> Bila kamu ingin sebuah "number", q=eval(q)
t0 = uicontrol('Style','edit','Units','normalized', ...
'BackgroundColor',[.9 .9 .9], ...
'Position',xy, 'String',string, ...
'Callback','uiresume');
uiwait;
f=get(t0,'String');delete(t0);
4. File FungsiAngular.m
%> <FungsiAngular.m> menampilkan ketergantungan harmonik bola terhadap angular
%> dengan masukan bilangan kuantum momemtum angular L (= bilangan bulat tidak negatif).
%> Besaran yang ditampilkan adalah
%> nilai absolut dari bagian real dari fungsi.
%> Menggunakan fungsi file <ylm.m>
%> File ini modifikasi dari <angl.m> buatan
%> © Goran Lindblad - gli@theophys.kth.se
disp('> Selamat datang di <FungsiAngular>!');
clear; close;q=0;
q=1;
str='[1,0]';
txt={' KETERGANTUNGAN HARMONIK BOLA PADA ANGULAR'
' '
' Menampilkan ketergantungan harmonik bola pada angular.'
' '
' Besaran yang ditampilkan adalah nilai absolut dari '
' bagian real fungsi YLM(theta, phi).'
' '
' '
' Masukkan L dan M di kotak'};

62
tt1=text0([.15 .45 .75 .4],txt);
ee = str;
gbutt([.75 .01 .15 .05], 'LANJUT', 'uiresume'),
ee=edit1([.7 .5 .2 .05],ee);
Q=eval(ee);
delete(tt1);
while q==1
L=Q(1);M=Q(2);
%%% Pengeplotan
zz=0.8*[-1 1 -1 1 -1 1]; % mendefinisikan sumbu aksis grafik i
%% Memilih kisi-kisi untuk grafik
theta=pi*linspace(0,1,60); phi=2*pi*linspace(0,1,90);
sph=ylm(L,cos(theta));
sph=sph(L+M+1,:);
dd=abs(sph' * cos(M*phi));
norm=max(max(dd));
dd=dd/norm;
X=dd.*(sin(theta)'*cos(phi));
Y=dd.*(sin(theta)'*sin(phi));
Z=dd.*(cos(theta)'*ones(size(phi)));
mesh(X,Y,Z),axis('off'),axis(zz),hold on,
l1=line([0,1.1],[0,0],[0,0]);set(l1,'LineWidth',2);
l1=line([0,0],[0,1.1],[0,0]);set(l1,'LineWidth',2);
l1=line([0,0],[0,0],[0,1.1]);set(l1,'LineWidth',2);
l1=text(2,0,-0.7,sprintf('L = %g',L));
set(l1,'FontName','palatino'); set(l1,'FontSize',18),
l1=text(2,0,-0.9,sprintf('M = %g',M));
set(l1,'FontName','palatino');set(l1,'FontSize',18),
l1=text(1.2,0,0,'x');
l1=text(0,1.2,0,'y');
l1=text(0,0,1.2,'z');
hold off, view([1,1 0.5]),
title('Ketergantungan harmonik bola pada angular'),
Lbutt(.75,.01);
rbutt([.45 .01 .15 .05],'L,M BARU ','uiresume; q=1;'),
bbutt([.6 .01 .15 .05],'MENU','close; q=2;'),
bbutt([.75 .01 .15 .05],'BERHENTI','close;q=0;'),
uiwait;
if q==1
FungsiAngular;
elseif q==2

63
clear; AtomHidrogen; return;
end
end
disp('> Ketik <FungsiAngular> untuk mengulangi!');
5. File FungsiRadial.m
disp('> Selamat datang di <FungsiRadial>');
clear; close;
str='[1,0]';
txt={' FUNGSI GELOMBANG RADIAL'
' '
' Fungsi gelombang radial didefinisikan dalam bentuk polinomial '
' Laguerre dan dihitung dengan menggunakan algoritma dalam '
' <radial1.m> dan <laguerre.m>. '
' '
' '
' Masukkan n dan l di kotak'};
tt1=text0([.15 .45 .75 .4],txt);
q=1;
ee = str;
ee=edit1([.7 .5 .2 .05],ee);
Q=eval(ee);
delete(tt1);
while q==1
figure(gcf);
N=Q(1);L=Q(2);
P='Plot fungsi radial untuk N = Q(1), L = Q(2)';
P=sprintf(strrep(P,'Q(1)','%g'),Q(1));
xmax=2+2*N*(N+1); x=linspace(0,xmax,300); y=radial1(N,L,x');
plot(x,y);axis('tight'),
title(P);xlabel('Satuan dalam jari-jari Bohr');
Lbutt(.75,.01);
P='Plot fungsi radial dikalikan r untuk N = Q(1), L = Q(2)';
y=(x'.*ones).*y;
plot(y), axis('tight'),
title(P);xlabel('Satuan dalam jari-jari Bohr');
Lbutt(.75,.01);
P='Kerapatan probabilitas radial untuk N = Q(1), L = Q(2)';
plot(x,y.^2), axis('tight'),
title(P);xlabel('Satuan dalam jari-jari Bohr')
Lbutt(.75,.01);
rbutt([.45 .01 .15 .05],'N,L BARU','uiresume; q=1;');

64
bbutt([.6 .01 .15 .05],'MENU','close; q=2;');
bbutt([.75 .01 .15 .05],'BERHENTI','close,q=0;');
uiwait;
if q==1
FungsiRadial;
elseif q==2
end
end
disp('> Ketik <FungsiRadial> untuk mengulangi!');
6. File orbital.m
%> File <orbital.m> menampilkan orbital hidrogen dengan
%> bilangan kuantum [N,L,M].
%> File ini menghitung nilai (real), dengan tanda, dari
%> orbital H dengan bilangan kuantum N,L,M (0 <= M <= L <= N-1)
%> untuk phi = 0 dan amplitudo digambar dalam color map.
clear; close; disp('> Selamat datang di <orbital>');
str='[1,0,0]';
txt={' ORBITAL HIDROGEN '
' '
' File ini menampilkan bentuk geometri atom hidrogen.'
' Penggambaranya dalam color map dari amplitudo, dengan skala '
' yang tidak linier untuk amplitudo yang bertujuan untuk memperoleh '
' kontras yang lebih baik untuk orbital yang berbeda.'
' Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum standar'
' [N,L,M], N > L >= M .'
''
''
''
' Tulis [N,L,M] pada kotak >> ' };
tt1=text0([.15 .45 .75 .4],txt);
% title(' Orbital Hidrogen'),
q=1;
ee = str;
ee=edit1([.7 .5 .2 .05],ee);
Q=eval(ee);
delete(tt1);
if isempty(Q)
Q=[1,0,0];
elseif length(Q)~=3
Q=[max(Q),0,0]
elseif Q(1)<=Q(2);
Q=[Q(2)+1,Q(2),0];
elseif Q(2) < abs(Q(3))
Q=[Q(1),Q(2),Q(2)]

65
end
while q == 1
Q(3)=abs(Q(3));
P='Amplitudo kuadran pertama untuk N = Q(1), L = Q(2), M = Q(3), satuan dalam jari-jari Bohr';
% disp(P);
figure(gcf);
N=Q(1);L=Q(2);M=abs(Q(3));
scale =1.1*(2*N*(N+1) - 0.5*L*(L+1) + 0.2*M*(M+1) + 4);
x=linspace(-scale,scale,100);
y=x;
w=hydrogen(N,L,M,x,y);
mm=max(max(abs(w)));
w=30*w./mm; %pengskalaan dapat dirubah untuk penyesuaian.
w=asinh(w); % membuat skala untuk logaritma amplitudo, dengan tanda!
surf(x,y,w); axis('tight'); axis('equal');
colormap(jet);
view(2);% view([1,-1,3]);
shading interp;%colorbar; % xlabel(P);
% title('Amplitudo orbital hidrogen, skala panjang dalam satuan jari-jari Bohr');
title(P), xlabel('Koordinat Radial'), ylabel('Koordinat Z');
gbutt([.75 .01 .15 .05], 'LALUI', 'uiresume; q=2'),
tt2=text0([.3 .85 .6 .05],'Pilih nilai baru [N,L,M] >> ');
ee=edit1([.7 .85 .2 .05],ee);
Q=eval(ee);delete(tt2);
end
Lbutt(.75,.01);
rbutt([.45 .01 .15 .05],'ULANG ','uiresume; q=1;');
bbutt([.75 .01 .15 .05],'BERHENTI','close;q=0;');
uiwait;
if q==1
orbital;
elseif q==2
end
disp('> Ketik <orbital> untuk orbital yang lain!');
7. File gbutt.m
function h = gbutt(xy,ww,action)
%> Ini adalah tombol hijau standar
%> Panggil: gbutt(xy,ww,action)

66
%> Input: xy = position 4-vector [x1 y1 x2-x1 y2-y1]
8. File HarmonikBola.m
disp('> Selamat datang di <HarmonikBola>!');
clear; close;q=0;
q=1;
txt={' HARMONIK BOLA'
''
' Harmonik bola didefinisikan dalam bentuk '
' fungsi Legendre terasosiasi.'
''
' Algoritma menghitung fungsi Legendre adalah '
' komponen standar dari MATLAB.'
''
' Masukkan bilangan bulat positif L di kotak'};
tt1=text0([.15 .45 .75 .35], txt);
str='3';
gbutt([.75 .01 .15 .05], 'LANJUT','uiresume'),
ee=edit1([.75 .45 .15 .05],str);
L =eval(ee);delete(tt1);
while q==1
%%%%%%% Masukan
x=linspace(0,1);
y1=ylm(L,x);
plot(x,y1);
xy=axis;
title(sprintf('Harmonik bola dari derajat L = %g',L));
xlabel('cos(theta) dalam (0,1), ketika phi = 0!');
str='Harmonik bola Y(L,M)';
str1=sprintf(strrep(str,'L','%g'),L);
Lbutt(.75,.01);
for n=1:L+1
l1=plot(x,y1(n,:));
axis(xy);
set(l1,'LineWidth',2);
str2=sprintf(strrep(str1,'M','%g'),n-1);
title(str2);
Lbutt(.75,.01);
end

67
plot(x,y1);
title(sprintf('Harmonik bola dalam derajat L = %g',L));
Lbutt(.75,.01);
drawnow;
X=linspace(0,2*pi,200);
y1=ylm(L,cos(X));
str='Harmonik bola Y(L,M), plot kuadrat amplitudo dalam diagram polar ';
str1=sprintf(strrep(str,'L','%g'),L);
for n=1:L+1
y2=y1(L+n,:).^2;
yy=y2.*cos(X); xx=y2.*sin(X);
l1= plot(xx,yy);axis('off');set(l1,'LineWidth',2);
axis('equal');xy=axis;
xmax=max(xy);
l1=line([0,0],1.1*[-xmax,xmax]);
set(l1,'LineWidth',3);
set(l1,'Color','r');
str2=sprintf(strrep(str1,'M','%g'),n-1);
title(str2);
l1=text(0.1*xmax, 1.05*xmax, 'z');
set(l1,'FontName','palatino'); set(l1,'FontSize',18);%set(l1,'Color','Black');
drawnow;
Lbutt(.75,.01);
end % dari iterasi dalam n
rbutt([0.45 .01 .15 0.05],'ULANG','uiresume; q=1;');
bbutt([0.6 .01 .15 0.05],'MENU','close, q=2;');
bbutt([0.75 .01 .15 0.05],'BERHENTI','close, q=0');
uiwait;
if q==1
HarmonikBola;
elseif q==2
end
end
disp('> Ketik <HarmonikBola> untuk mengulangi!');
9. File Hydrogen.m
function f=hydrogen(N,L,M,x,y);
%> file <hydrogen.m> menghitung amplitudo dari fungsieigen
%> dari atom hidrogen. Amplitudo dinormalisasi dengan sebuah extra
%> factor = sqrt(sin(theta)*radius^2) (berkorespondensi ke factor
%> sin(theta)*r^2 pada elemen integrasi)

68
%> Panggil: hydrogen(N,L,M,x,y)
%> Input: N,L,M integers, 0 ¾ M ¾ L ¾ N-1
%> x,y = vector-vector baris, Bohr radius units,
%> Output: sebuah matrix dari amplitudo real dalam bidang phi = 0,
%> [x,y] = r[cos(theta) , sin(theta)]
%>
unix=ones(size(x)); uniy=ones(size(y));
rr=(x.^2)'*uniy + unix'*y.^2 + eps;
rr=sqrt(rr);
cos=(x'*uniy)./rr;
rr=2*rr./N;
k=2*L+1; p=N-L-1;
norm=2*sqrt(fact(N-L-1)/fact(N+L))/N^2;
mm=exp(-0.5*rr);
mm=mm.*(rr.^L);%
% mm=mm.*sqrt(rr.*(unix'*y)+eps);ini adalah normalisasi extra
mm=norm*mm.*laguerre(k,p,rr);
mm=mm.*yl(L,M,cos);
f=mm;
10. File laguerre.m
function f=laguerre(k,n,x);
%> file <laguerre.m> menghitung niali-nilai dari
%> polinomial Laguerre.
%> Panggil: laguerre(k,n,x),
%> Input: k = real, n = non-negative integer, x = matrix dari nilai-nilai.
%> Output: sebuah matrix dari dimensi sama seperti x.
%> Referensi: HMF Ch 22.
x1=ones(size(x));
if n==0
w3=x1;
elseif n==1
w3=k+1-x;
else
w1=x1; w2=k+1-x;
for r=2:n
w3=2*w2-w1+((k-1-x).*w2 - (k-1)*w1)/r;
w1=w2; w2=w3;
end
end

69
f=w3;
11. File Lbutt.m
function h = Lbutt(x,y)
%> Ini adalah tombol standar "LANJUT" dengan
%> panjang = .15 dan tinggi = .05.
%> Panggil: Lbutt(x,y)
%> Input: x, y = posisi sudut kiri lebih rendah
%> callback adalah 'uiresume'.
'Position',[x,y,.15, .05],'String','LANJUT',...
'Fontsize',10,'Callback','uiresume'); uiwait;
11. File obutt.m
function h = obutt;
%> file <obutt.m> memberikan sebuah tombol abu-abu tanpa fungsi
%> pada sebuah posisi yang belum terdefinisi pada tombol dari figure.
%> Panggil: obutt
'Position',[.15 .01 .75 .05],'BackGroundColor',[.8 .8 .8])
12. File radial1.m
function f=radial1(N,L,x);
%> File ini menghitung fungsi radial untuk atom hidrogen
%> dalam satuan atomik, untuk range dari angular momenta.
%> Panggil: radial(n,x),
%> Input: n = positive integer, x = column vector.
%> Output: sebuah matrix dari n baris berhubungan dengan L = 0,...,n-1,
%> kolom dari size x.
y=2*x./N;
z=exp(-0.5*y);
w=[];
k=2*L+1; p=N-L-1;
norm=2*sqrt(prod(1:N-L-1)/prod(1:N+L))/N^2;
w=[w,norm*(y.^L).*z.*laguerre(k,p,y)];
f=w;
13. File rbutt.m
function h = rbutt(xy,ww,action)
%> Ini adalah tombol merah standar
%> Panggil: rbutt(xy,ww,action)
%> Input: xy = posisi 4-vector [x1 y1 x2-x1 y2-y1]

70
14. File text0.m
function f = text0(xy,ww)
%> Panggil f=text0(xy,'string');
%> dimana x adalah 4 - vector [x0 y0 dx dy];
%> ww adalah 'string' dalam 'cell array' .
f=uicontrol('Style','text','Units','normalized','FontSize',12,...
'String',ww, 'HorizontalAlignment','left','Position',xy,...
'BackgroundColor',[.93 .93 .93]);
15. File yl.m
function f=yl(L,M,x);
%> Panggil f=yl(L,M,x)
%> Input: 0 <= M <= L integers, x = matrix, values in [-1,1];
%> Output: yl(L,M,x) = matrix size(x).
%> Menghitung harmonik bola YLM(cos theta) = yl(L,M,x)
%> kecuali faktor bergantung-phi (phi = 0).
%> Ylm = yl(L,M,x).*exp(i*M*phi));
%>
norm=((-1).^M).*sqrt((2*L+1).*fact(L-M)./(fact(L+M)*4*pi));
f=norm*legf(L,M,x);
16. File legf.m
function f=legf(L,M,x);
%> file <legf.m> menghitung legendre(L,M,x),
%> fungsi legendre terasosiasi sebagaimana yang didefinisikan dalam HMF atau Messiah.
%> Panggil: legf(L,M,x),
%> Input: L,M = integers, 0 <= M <= L,
%> x = matrix dari dimensi yang berubah-ubah, nilai-nilai dalam (-1,1).
%> Output: sebuah matrix yang berdimensi sama dengan x.
%>
p0=[1];
p1=[1,0];
if L==0;
f=ones(size(x));
return
elseif L==1;
if M==1
f=sqrt(1-x.^2);

71
return
else
f=x;
return
end
end
for n=1:L-1
p=((2*n+1)/(n+1))*[p1,0]-(n/(n+1))*[0,0,p0];
p0=p1;p1=p;
end
nn=[0:L-M];
pp=p(1:L-M+1);
nn=fact(L-nn)./fact(L-M-nn);
pp=pp.*nn;
w=polyval(pp,x);
w=((1-x.^2).^(0.5*M)).*w;
f=w;
17. File fact.m
function f=fact(x);
%> file <fact.m> menghitung faktorial-faktorial fact(x) dari
%> sebuah matrix dengan masukan integer, men-set tak hingga untuk nilai-nilai negatif.
%> Panggil: fact(X)
%> Input: X = vector dari matrix, nilai-nilai integer
%> Output: sebuah vector atau matrix dari ukuran yang sama.
%> Bandingkan fungsi gamma standar matlab dari MATLAB.
%> Kita ingin menjauhi semua keluaran NaN!!!
%>
maxx=max(max(x)); y=zeros(size(x));
% iterasi the faculty untuk elemen-elemen dari nilai 1,2,...,maxx.
for n=0:maxx-1
z=~(x - maxx + n); y=y+z; y=(maxx-n)*y;
end
z=~x; % sekarang berurusan dengan argumen-argumen nol, jawabannya 1.
y=y+z;
% sekarang berurusan dengan semua semua elemen matrix yang tersisa -

72
% argumen-argumen adalah negatif, jawabannya harus tak hingga-
% set setiap elemen matrix terpisah
w=~y; [w1,w2]=find(w); nn=length(w1);
for m=1:nn
y(w1(m),w2(m))=inf;
end
f=y;
18. File EfekStark.m
%> File <EfekStark.m> menampilkan orbital hidrogen
%> dalam medan listrik untuk eksitasi pertama.
disp('> Selamat datang di <starkeffect>');
clear; close;q=0;
q=1;
txt={' EFEK STARK '
' '
' File ini menampilkan bentuk geometri atom hidrogen '
' dalam medan listrik (efek Stark) untuk eksitasi pertama.'
' Penggambaranya dalam color map dari kuadrat amplitudo.'
' Juga ditampilkan plot probabilitas radial.' };
tt1=text0([.15 .45 .75 .4],txt);
Lbutt(.75,.01);
delete(tt1);
figure(gcf);
N1=2;L1=0;M1=0;
N2=2;L2=1;M2=0;
scale =1.1*(2*N1*(N1+1) - 0.5*L1*(L1+1) + 0.2*M1*(M1+1) + 4);
x=linspace(-scale,scale,100);
y=x;
w1=30*w1./mm1;
w2=30*w2./mm2;
w=(1/sqrt(2))*(asinh(w1)-asinh(w2));
colormap(jet);
view(2);% view([1,-1,3]);
shading interp;%colorbar;
xlabel('Koordinat Radial'), ylabel('Koordinat Z');
title('Plot Kuadrat Amplitudo (( Psi200 - Psi210 )/2^1^/^2)^2 ');
Lbutt(.75,.01); %plot radial

73
a0=1;
r=1/a0 * [-10:0.01:0];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2+r).*exp(r/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r.*exp(r/2);
psi_1=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
r1=1/a0 * [0:0.01:10];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2-r1).*exp(-r1/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r1.*exp(-r1/2);
psi_2=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
plot(r, psi_1.^2, r1, psi_2.^2);
grid on;
xlabel('Koordinat Z (dalam jari-jari Bohr)');
title('Probabilitas Radial ( Psi200 - Psi210 )^2 ');
Lbutt(.75,.01);
w=(1/sqrt(2))*(asinh(w1)+asinh(w2));
colormap(jet);
view(2);% view([1,-1,3]);
shading interp;%colorbar;
xlabel('Koordinat Radial'), ylabel('Koordinat Z');
title('Plot Kuadrat Amplitudo (( Psi200 + Psi210 )/2^1^/^2)^2 ');
Lbutt(.75,.01); %plot radial
r=1/a0 * [-10:0.01:0];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2+r).*exp(r/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r.*exp(r/2);
psi_1=(1/sqrt(2))*(psi_20 + psi_21);
r1=1/a0 * [0:0.01:10];
psi_20=((1/(2*a0))^1.5) * (2-r1).*exp(-r1/2);
psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r1.*exp(-r1/2);
psi_2=(1/sqrt(2))*(psi_20 + psi_21);
plot(r, psi_1.^2, r1, psi_2.^2);
grid on;
xlabel('Koordinat Z (dalam jari-jari Bohr)');
title('Probabilitas Radial ( Psi200 + Psi210 )^2 ');
Lbutt(.75,.01);
rbutt([.45 .01 .15 .05],'ULANG ','uiresume; q=1;');
bbutt([.75 .01 .15 .05],'BERHENTI','close;q=0;');
uiwait;
if q==1
EfekStark;
elseif q==2

74
end
disp('> Ketik <EfekStark> untuk mengulangi');
19. File ylm.m
function f=ylm(L,x);
%> Panggil f= ylm(L,x)
%> Input: L = non-negative integer
%> x = row vector with values in [-1,1].
%> Output: ylm(L,x) = matrix of dimension (2*L+1) x length(x).
%> Menghitung harmonik bola untuk
%> m = -L,..,L, kecuali faktor bergantung-phi.
%> Ylm = ylm.*exp(i*m*phi); m=[-L:L]'.
%>
mm=[0:L]';
y=sqrt((2*L+1).*fact(L-mm)./fact(L+mm)/4/pi);
y=legendre(L,x).*(y*ones(size(x)));
%size(y)
y1=y(2:L+1,:);
y1=(cos([1:L]'*pi)*ones(size(x))).*y1;
y=flipud(y);
y=[y;y1];
f=y;

75
LAMPIRAN 3
PEMECAHAN PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ELEKTRON
DALAM ATOM HIDROGEN
A. Persamaan Schrodinger untuk Elektron dalam Atom Hidrogen
Persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen adalah
 EH  (1)*
dengan:  rV
m
H
e
 2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
zyx 








2
2
2222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11


 






















rrr
r
rr
r
e
V
o4
2

Bila ditulis lengkap persamaan (1)* menjadi
  0
2
22
2
2
2
2
2











VE
m
zyx
e

(2)*
Dalam koordinat bola (setelah memasukkan nilai V) persamaan (1)* menjadi
0
4
2
sin
1
sin
sin
11
2
22
2
22
22
2
2







































r
e
E
m
r
rr
r
rr
o
e

(3)*
Untuk memecahkan persamaan (3)* digunakan teknik pemisahan variabel
         rRr ,, (4)*
Substitusi pers. (4)* ke pers. (3)* diperoleh
0
4
2
sin
1
sin
sin
11
2
22
2
22
22
2
2






























R
r
e
E
mR
r
R
rr
R
r
rr
o
e





75

76
kemudian dibagi dengan R diperoleh
0
4
2
sin
1
sin
sin
11
2
22
2
22
22
2
2
































r
e
E
m
r
rr
R
r
rRr
o
e





kemudian dikalikan dengan 22
sinr diperoleh
0
4
sin
21
sin
sinsin
2
22
22
2
2
2
































r
e
Er
m
r
R
r
rR
o
e








(5)*
misalkan 2
2
2
1
m


 
maka :
1. 02
2
2


m
d
d

(6.a)*
2.
0
4
sin
2
sin
sinsin 2
22
2
22
2



























r
e
Er
m
m
r
R
r
rR o
e







(6.b)*
(6.b)*
dibagi dengan 2
sin diperoleh
0
sin
sin
sin
1
4
21
2
22
2
2
2






























m
r
e
Er
m
r
R
r
rR o
e

misalkan
 1
4
21 2
2
2
2
















ll
r
e
Er
m
r
R
r
rR o
e

maka
 1
sin
sin
sin
1
2
2











ll
m



dengan sedikit aljabar diperoleh
  0
sin
1sin
sin
1
2
2











 



m
ll
d
d
d
d
(7)*

77
 
0
1
4
21
2
0
2
2
2








 














R
r
ll
E
r
em
dr
dR
r
dr
d
r
e

(8)*
B. Solusi persamaan (6.a)*
02
2
2


m
d
d

persamaan karakteristiknya
022
 m im , solusinya   
 imim
BeAe 

Karena tidak ada gelombang pantul maka suku yang ada konsanta B bernilai nol.
Dari gambar terlihat bahwa  dan  2 keduanya mengidentifikasi bidang
meridian yang sama sehingga     2 atau
     
 2
 imim
m AeAe (9)*
Karena fungsi gelombang harus bernilai tunggal maka untuk memenuhi pers (9)*
,
m harus berupa bilangan bulat.
m = 0, 1, 2, 3, …, l (10)*
Syarat normalisasi  


2
0
*
1d memberikan
2
1
A .
Gambar L.3.1. Sudut  dan  2 keduanya
mengidentifikasi bidang meridian yang sama.

78
C. Solusi persamaan (7)*
  0
sin
1sin
sin
1
2
2











 



m
ll
d
d
d
d
misal:
cosz dan    zP maka  ddz sin ,
22
1sin z dan 

sin
dz
dP
d
dz
dz
dP
d
d


sehingga pers (8)*
menjadi
    0
1
121 2
2
2
2
22







 P
z
m
ll
dz
dP
z
dz
Pd
z (11)*
Persamaan (11)*
identik dengan persamaan Legendre
    0
1
1'2"1 2
2
2







 y
x
m
llxyyx , 22
lm  (12)*
yang solusinya
     xP
dx
d
xxP lm
m
mm
l
2/2
1 (fungsi Legendre terasosiasi)
     l
ml
ml
m
l
m
l x
dx
d
x
l
xP 11
!2
1 22/2
 

(formula Rodriguez) (13)*
l = 0, 1, 2, 3, …
dengan konstanta normalisasi
    
 !
!
12
2
21
1
ml
ml
l
dxxPm
l




(14)*
Beberapa referensi mendefinisikan m
lP untuk lml  dengan
m
lP (Boass,
1982: 505).
Jadi solusi pers (7)*
atau pers (11)*
   zPNzP
m
llm
    cos
m
llm PN (15)*
lmN dicari dengan normalisasi  dengan bantuan pers (14)*
diperoleh

79
   
 !
!
2
12
ml
mll
Nlm


 (16)*
Dari hubungan lml  dan l = 0, 1, 2, 3, …diperoleh
m = 0,  1,  2,  3,…,  l.
l = |m|, |m| + 1, |m| + 2, …
D. Solusi persamaan (8)*
 
0
1
4
21
2
0
2
2
2








 














R
r
ll
E
r
em
dr
dR
r
dr
d
r
e

Diasumsikan inti diam dan karenanya energi kinetiknya nol, sehingga dengan
memilih referensi energi nol, keadaan batas dari sistem memiliki energi negatif:
E = -|E|
Dan didefinisikan
2
2
8

Eme
 r 
0
2
4
2



eme
 (17)*
maka pers (8)*
menjadi
  0
4
111
2
2
2














R
lldR
d
d





,  0 (18)*
dekat  solusinya dapat diaproksimasi dengan 0
4
1
2
2
 R
d
Rd

yang
mempunyai solusi 2/
 eR . Solusi 2/
e adalah tidak dapat diterima untuk
sebuah fungsi eigen, karena meningkat tanpa batas ketika  . Diasumsikan
    2/
 
 eLR s
(19)*
di mana L() adalah sebuah polinomial
  v
vo aaaaL   ...2
21 (20)*
dengan 0oa dan s adalah bilangan positif (jika s < 0 maka R jika
0 ). Substitusi pers (19)*
ke pers (18)*
diperoleh
          0111122
2
2
 Lllsss
d
dL
s
d
Ld




 (21)*

80
Untuk persaman (21)*, supaya menjaga validnya persamaan maka
    011  llss sehingga s = l atau s = - l(l+1), karena 0l maka s =-l(l+1)
tidak dapat diterima karena perlakuan pada pers (19)*
di mana s adalah bilangan
positif. Dengan menggunakan s = l maka pers (21)*
menjadi
     01122
2
 Ll
d
dL
l
d
Ld




 (22)*
substitusi pers (20)*
ke (22)*
dan dengan pengaturan koefisien dari  diperoleh :
  
  
 
   0...1
...32
...3212
1...1262
3
3
2
210
12
321
12
321
13
4
2
32







v
v
v
v
v
v
v
v
vaaaaa
vaaaa
vaaaa
avvaaa






Untuk koefisien 0
    0112 01  alal  atau
   010
22010
10
a
l
l
a




Untuk koefisien 1
    012122 1122  alaala  atau
   111
22111
11
a
l
l
a




Jadi secara umum
   vv a
lvv
lv
a
221
1
1




(23)*
Deret (20) harus berakhir pada beberapa nilai terbatas dari v. Dengan kata lain,
mengikuti pers (23)*
ketika v , vaa vv /1  , jadi  ,   
 eL  akan
divergen. Untuk menjamin pembatasan ekspansi deret (20)*
setelah (katakanlah)
suku v+1, dibutuhkan (menurut (23)*
) pemenuhan
 positifbulatbilangannlv  1 (24)*
Karena nilai terendah v dapat diasumsikan nol, maka
1 ln atau l = 0, 1, 2,…, (n-1) (25)*
Dengan meletakkan n pada pers (22)*
maka
     01122
2
 nl
nlnl
Lln
d
dL
l
d
Ld



 (26)*

81
Matematikawan, dengan alasan yang mereka punyai, telah memilih sebuah fungsi
 p
qL yaitu polinomial Laguerre terasosiasi yang mana memenuhi
     0122
2
 p
q
p
q
p
q
Lpq
d
dL
p
d
Ld



 (27)*
sebuah perbandingan dari (26)*
dan (27)*
menyatakan bahwa
    12 
 l
lnnl LL (28)*
menggunakan (20)*
dan (28)*
serta s = l diperoleh
       122/ 


 l
ln
l
nlnl LeNRR (29)*
Untuk menentukan nilai eigen (yaitu energi), dari keadaan (n, l, m) kita
kembali ke pers (16)*
, dengan meletakkan n diperoleh






 22
0
2
4
1
32 n
em
E e
n

(30)*
Menggunakan (30)*
pada ekspresi (16)*
untuk  diperoleh 0/2 na . Jadi
dengan meletakkan r  memberikan
       0
12/
0 /2/2 0
narLenarNRrR l
ln
narl
nlnl



  (31)*
Syarat normalisasi memberikan
   12
0
2122
3
2








dLe
N l
ln
lnl
Menggunakan tabel integral tentu
     
 !1
!2 3
2
0
2122







ln
lnn
dLe l
ln
l

diperoleh (di mana kita menggunakan 0/2 na )
 
  
2/1
3
3
0 !2
!12

















lnn
ln
na
Nnl (32)*

82
E. Bilangan Kuantum Orbital
Dari persamaan
 
0
1
4
21
2
0
2
2
2








 














R
r
ll
E
r
em
dr
dR
r
dr
d
r
e

(33)*
Persamaan ini hanya mempersoalkan gerak elektron dari aspek radial, yaitu gerak
mendekati atau menjauhi inti, di persamaan tersebut kita melihat E, energi total
elektron. Energi total E mencakup energi kinetik gerak orbital yang tak
berhubungan langsung dengan gerak radial.
Kontradiksi ini dapat dihilangkan degan jalan pikiran sebagai berikut :
Energi kinetik K elektron tersebut terdiri dari dua bagian, Kradial yang ditimbulkan
oleh gerak mendekati atau menjauhi inti, dan Korbital yang ditimbulkan oleh gerak
mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron adalah energi listrik :
r
e
V
o4
2

Jadi energi total elektron ialah
r
e
KK
VKKE
o
orbitalradial
orbitalradial
4
2


Dengan memasukkan rumusan E ke persamaan (33), setelah mengadakan
pengaturan kita peroleh
  0
2
121
22
2
2





 






R
mr
KK
m
dr
dR
r
dr
d
r
orbitalradial


Jika kedua suku yang terakhir dalam tanda kurung persegi dalam persamaan itu
saling meniadakan, sehingga kita peroleh apa yang kita inginkan yaitu persamaan
diferensial R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius r saja. Jadi
disyaratkan
 
2
2
1
mr
Korbital



(34)*
Energi kinetik orbital elektron adalah

83
2
2
1
orbitalorbital mvK 
karena momentum sudut elektron L ialah
rmvL orbital
maka energi kinetik orbital
2
2
2mr
L
Korbital 
Jadi persamaan (2)
 
2
2
2
2
2
1
2 mrmr
L 


atau
  1L (35)*
Seperti E, momentum sudut terkuantisasi dan kekal. Kuantitas
sJx
h
.10054,1
2
34



merupakan satuan alamiah dari momentum sudut.
F. Bilangan Kuantum Magnetik
Elektron yang mengelilingi inti dapat dipikirkan sebagai sosok arus kecil
dan memiliki dwikutub magnetik. Jadi elektron yang memiliki momentum sudut
berinteraksi dengan medan magnetik eksternal B. Bilangan kuantum magnetik m
memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah
medan. Gejala ini dikenal dengan kuantisasi ruang.
Jika kita ambil arah medan magnetik sejajar sumbu z, komponen L dalam
arah itu ialah
mLz  (35)*

84
2
Gambar L.3.3. Kuantisasi ruang momentumsudut orbital. Di
sini bilangan kuantum orbital l = 2, sehingga terdapat 2l + 1 = 5
harga yang mungkin untuk bilangan kuantum magnetic m
dengan masing-masing harga bersesuaiaan dengan orientasi
yang berbeda relatif terhadap sumbu z.
Jempol searah dengan
vektor momentum sudut
Jari tangan searah
dengan gerak rotasional
L
Gambar L.3.2. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut.

85
Pembuktian persamaan (35)*
sebagai berikut, kita punya operator momentum
angular


 i
zL
^
(36)*
dan persamaan eigen
   

zLi 


  (37)*
dimana Lz adalah nilai eigen dari
zL
^
. Solusi (37)*
adalah
   
 /zLi
e (38)*
dari pers. (9)*
dan pers. (38)*
diperoleh
mLz 

Visualisasi orbital atom hidrogen (skripsi lengkap wahab abdullah)

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Visualisasi orbital atom hidrogen (skripsi lengkap wahab abdullah)

Semelhante a Visualisasi orbital atom hidrogen (skripsi lengkap wahab abdullah) (20)

Visualisasi orbital atom hidrogen (skripsi lengkap wahab abdullah)