1. Curso: Ciência da Computação
Turma: 3º Semestre
Matemática Discreta
Aula 3
Arranjos, Permutações e Combinações

2. Notas de Aula
✔
O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro
do Gersting.
2/18
Matemática Discreta

3. Permutações
Permutação é um arranjo ordenado de objetos.
●
A ordem dos elementos é importante.
● Exemplo: dois sorteios da mega sena pode ter o seguinte
resultado
●
1º - 5 10 21 50 33 14
● 2º – 14 21 10 5 50 33
●
Os resultados são iguais?
●
No entanto quando pegamos os números de telefone
23416079 e 32416079 eles são diferentes.
●
Na permutação a ordem dos elementos é importante. 3/18
Matemática Discreta

4. Permutações
Exemplo: Queremos descobrir quantos números podem ser
formados com 4 algarismos sem repetição dentro do números
naturais.
– Pela regra da multiplicação temos 10.9.8.7.
– Isso significa escolher 4 objetos distintos de um total de 10
elementos.
– Podemos escrever P(10,4) → Permutação de 10 tomados 4 a 4.
A fórmula da permutação pode ser escrita na forma de fatorial.
Para um inteiro positivo n, fatorial de n é definido como n(n - 1)(n -
2)...1 e denotado por n!; além disso, 0! é definido como tendo
valor 1.
Pela definição de n!, vemos que n! = n(n - 1)!
4/18
Matemática Discreta

5. Permutações
Em geral a fórmula da permutação é:
P(n,r) = n!/(n-r)! para 0 <= r <=n
5/18
Matemática Discreta

6. Exemplos: Permutações
P(4,2) = 4!/(4-2)! = 4*3*2*1/2*1 = 12.
Calcule
P(7,3)
P(5,2)
6/18
Matemática Discreta

7. Casos de Fronteira
Vamos calcular
P(n,0) = ??
P(n,n) = ??
P(n,1) = ??
5 minutos para calcular
7/18
Matemática Discreta

8. Permutações: Casos de Fronteira
Vamos calcular
P(n,0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1
P(n,n) = n!/(n-n)! = n!/1 = n!
P(n,1) = n!/(n-1)! = n(n-1)!/(n-1)! = n
8/18
Matemática Discreta

9. Permutações: Exemplo
Qual é o número de permutações possíveis de 3
objetos a, b, c?
n=3er=3
P(3,3) = 3!/(3-3)! = 3! = 3*2*1 = 6
São eles:
– abc acb bac bca cab cba
9/18
Matemática Discreta

10. Permutações: Exemplo
Quantas palavras de três letras (não
necessariamente com sentido) podem ser
formadas com as letras da palavra "compilar",
se não pudermos repetir letras?
2 minutos para fazer.
10/18
Matemática Discreta

11. Permutações: Exemplo
Uma biblioteca tem quatro livros sobre sistemas operacionais, sete sobre
programação e três sobre estrutura de dados.
Vamos ver de quantas maneiras esses livros podem ser arrumados em uma
prateleira, considerando que todos os livros de cada assunto precisam
estar juntos.
Podemos pensar neste problema como uma sequência de sub-tarefas.
Primeiro consideremos a sub-tarefa de arrumar os três assuntos.
Existem 3! maneiras de fazer isto, isto é, 3! maneiras de ordenar os assuntos
dos livros na prateleira.
As etapas seguintes são arranjar os livros sobre sistemas operacionais (4!
maneiras), arrumar os livros sobre programação (7! maneiras) e, então,
arrumar os livros sobre estrutura de dados (3! maneiras).
Portanto, pelo Princípio da Multiplicação, o número final de arranjos
possíveis de todos os livros é (3!) (4!) (7!) (3!) = 4.354.560.
11/18
Matemática Discreta

12. Permutações: Exemplo
Quantas palavras de três letras (não
necessariamente com sentido) podem ser
formadas com as letras da palavra "compilar",
se não pudermos repetir letras? Neste caso,
desejamos saber o número de permutações de
três objetos distintos tomados dentre oito
objetos.
A resposta é P(8, 3) = 8!/5! = 336.
12/18
Matemática Discreta

13. Combinações
Às vezes, desejamos selecionar r objetos de um
conjunto de n objetos, mas não desejamos
relevar a ordem na qual eles são arranjados.
Neste caso, estamos contando o número de
combinações de r objetos distintos escolhidos
dentre n objetos distintos, denotadas por
C(n, r).
13/18
Matemática Discreta

14. Combinações
C(n,r) = n!/(n-r)!r!
A ordem dos elementos não é importante.
Exemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um
amarelo, um azul e outro verde. Quantas
combinações de 2 carros podemos fazer.
C(4,2) = 4!/(4-2)!2! = 4.3.2.1/2.2 = 6.
Porque não é 12?
14/18
Matemática Discreta

15. Combinações
Exemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um
amarelo, um azul e outro verde. Quantas
combinações de 2 carros podemos fazer.
Vamos descrever todas as combinações.
(Ver, Ama)(Ver, Azu)(Ver,Verd)
(Ama, Azu)(Ama,Verd)(Azu,Verd)
Porque não podemos colocar o (Ama,Ver)?
15/18
Matemática Discreta

16. Combinações: Casos Especiais
Os casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n,
1) e C(n, n).
Calcule
C(n,0) = ???
C(n,1) = ???
C(n,n) = ???
16/18
Matemática Discreta

17. Combinações: Casos Especiais
Os casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n,
1) e C(n, n).
C(n,0) = n!/(n-0)!0! = n!/n! = 1
C(n,1) = n!/(n-1)!1! = n(n-1)!/(n-1)! = n
C(n,n) = n!/(n-n)!n! = n!/(o)!n! = 1
17/18
Matemática Discreta

18. Lista de Exercícios
18/18
Matemática Discreta