Статика

1. Державна служба з надзвичайних ситуацій
Національний Університет цивільного захисту України
Інститут пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля
Кафедра будівельних конструкцій
СТАТИКА
Курс лекцій
з теоретичної механіки
Черкаси 2015

2. Дагіль В.Г., Малигін Г.О. Курс лекцій з теоретичної механіки: навчальний
посібник. Статика. Черкаси: ЧІПБ ім. Героїв Чорнобиля ДСНС України, 2015. -
46 с.
Навчальний посібник створено відповідно до навчальної програми з
дисципліни „Теоретична механіка” для вищих закладів освіти ДСНС України і
призначений для курсантів і студентів, які навчаються за спеціальностями
6.092800 „Пожежна безпека”. Посібник містить основні теоретичні положення
статики. До кожної теми додається завдання для самопідготовки у додатковій
літературі.
Посібник може бути корисним для курсантів та слухачів заочного
відділення.
Протокол № 8 від 27.10. 2015 року
Методичної ради
Черкаського інституту пожежної безпеки їм. Героїв Чорнобиля НУЦЗ України

3. 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І АКСІОМИ СТАТИКИ
1.1 Предмет і аксіоми статики.
1.2 В’язі та реакції в’язів.
1.3 Аксіома в’язів.
1.1 Предмет і аксіоми статики.
Статикою називають розділ теоретичної механіки, який розглядає
загальні властивості сил в умовах рівноваги матеріальних тіл, тобто умов,
за яких прикладені до тіла сили не змінюють його руху.
Під рівновагою розуміють стан спокою тіла по відношенню до інших
матеріальних тіл. Якщо рухом тіла по відношенню до якого вивчають
рівновагу, можна знехтувати, то рівновагу умовно називають абсолютною, в
іншому випадку - відносною.
Стан рівноваги або руху даного тіла залежить від характеру його
механічних взаємодій з іншими тілами, тобто від тиску, притягання або
відштовхування, яке тіло відчуває внаслідок цих взаємодій. Величина, яка є
кількісною мірою механічної взаємодії матеріальних тіл, називають силою.
Сила є величиною векторною. Її дія на тіло визначається: 1) чисельною
величиною або модулем, 2) напрямом сили, 3) точкою прикладання сили.
Точкою прикладання сили називається матеріальна частинка тіла,
на яку безпосередньо діє сила.
Напрям сили є напрям того прямолінійного руху, якого дана сила
надала б точці її прикладання, якщо б ця частинка тіла була вільною та
знаходилася в стані спокою до початку дії сили. Так, наприклад, сила
тяжіння напрямлена вниз вертикально, оскільки в цьому напрямку падають
всі тіла, які знаходилися у стані спокою за відсутності дії на них інших сил.
Пряма, по якій направлена сила, „ е
називається лінією дії сили. Вектор АВ = Р -
вектор сили, а пряма ОЕ - лінія дії сили.
(Рис.1.1.1)
Приймемо такі означення:
♦ тіло, яке не з’єднане з іншими тілами, тобто тіло, якому можна надати
будь-яке переміщення у просторі називається вільним тілом;
♦ сукупність сил, які діють на дане тіло, називають системою сил. Сили, які
входять до складу даної системи, називаються складовими цієї системи;
♦ якщо система сил така, що під її дією вільне тіло не змінює свого руху, то
така система сил називається врівноваженою системою;
♦ сила, яка, при приєднанні до деякої системи сил, що діють на тіло,
приводить систему до рівноваги, називається врівноважуючою силою для
даної системи;
© ВоЬо - РиЬіізИіпд. 2007 2

4. ♦ дві системи сил називаються еквівалентними, якщо вони чинять однакову
механічну дію на одне й те саме вільне тверде тіло;
♦ одна сила, яка еквівалентна даній системі сил, називається рівнодійною
цієї системи;
♦ сили, що діють на дане тіло з боку інших тіл, називають зовнішніми
силами. Сили взаємодії між частинками даного тіла називають внутрішніми
силами.
Всі теореми і рівняння статики виводяться з декількох початкових
положень, які приймаються без математичних доведень і називаються
аксіомами або принципами статики.
А к с і о м а 1 . Якщо на вільне
абсолютне тверде тіло діє дві сили, то тіло
може знаходитися в рівновазі тоді і тільки
тоді, якщо ці сили рівні за модулем (F^= F2) і
напрямлені вздовж однієї прямої в F
протилежні боки. (Рис. 1.1.2)
Аксіома 1 визначає найпростішу
врівноважену систему сил, оскільки досвід показує, що вільне тіло, на яке діє
лише одна сила, знаходиться у стані рівноваги не може.
А к с і о м а 2. Дія даної системи сил на абсолютно тверде тіло не
зміниться, якщо до нього додати або від нього відняти врівноважену
систему сил.
Ця аксіома встановлює, що дві системи сил, які відрізняються одна від
одної на зрівноважену систему, еквівалентні одна одній.
Н а с л і д о к з 1-ї та 2-ї а к с і о м . Дія сили на абсолютно тверде
тіло не зміниться, якщо перенести точку прикладання сили вздовж її лінії
дії в будь-яку іншу точку тіла.
Даний наслідок буде справедливим лише для сил, які діють на
абсолютно тверде тіло. Ним можна користуватися тоді, коли визначають
умови рівноваги конструкції і не розглядають внутрішні зусилля, які
виникають в її частинах. При визначені внутрішніх зусиль переносити точку
прикладання сили вздовж лінії дії сили не можна.
А к с і о м а 3 (аксіома паралелограма сил). Дві
сили, прикладені до тіла в одній точці, мають
рівнодійну, прикладену до тієї ж точки, яка
зображується діагоналлю паралелограма, що р11с. ї ї.з
побудований на цих силах, як на сторонах. (Рис.1.1.3)
А к с і о м а 4. За будь-якої дії одного матеріального тіла на інше має
місце така ж за величиною, але протилежна за напрямком протидія.
В л а с т и в і с т ь в н у т р і ш н і х с ил . За аксіомою 4 будь-які дві
частинки твердого тіла будуть діяти одна на одну з рівнимизамодулем і
протилежними за напрямом силами. Таким чином, всівнутрішні сили
утворюють врівноважену систему сил, якою за аксіомою 2 можна знехтувати.
© Bobo - Publishing. 2007 3

5. Тоді, при вивченні умов рівноваги тіла необхідно враховувати лише зовнішні
сили, які діють на це тіло.
А к с і о м а 5 (принцип тверднення). Рівновага тіла, що
деформується, яке знаходиться під дією даної системи сил, не
порушиться, якщо тіло вважати затверділим (абсолютно твердим).
Принцип тверднення широко застосовується в інженерних розрахунках.
Він дозволяє при складанні умов рівноваги розглядати будь-яке змінне тіло
(пасок, трос, ланцюг і так далі) як абсолютно жорстке і застосовувати до
нього методи статики твердого тіла.
1.2 В’язі та реакції в’язів.
При розв’язку більшості задач механіки приходиться мати справу з
невільними тілами, тобто тілами, які торкаються інших тіл або з’єднані з
іншими тілами, завдяки чому стає неможливим те чи інше переміщення
даного тіла.
Якщо тіло невільне, то кажуть, що на нього накладені в’язі. Все, що
обмежує переміщення даного тіла у просторі, називають в’яззю.
Так, для тіла, що лежить на столі, в’яззю є стіл; для валу, що лежить у
підшипниках, в’язями є підшипники; для драбини, що приставлена до стіни,
в’язями є стіна і підлога.
Якщо під дією прикладених до нього сил тіло намагається здійснити
переміщення, якому заважає в’язь, то кажуть, що тіло діє на в’язь із силою
тиску. Одночасно, за аксіомою 4, в’язь буде діяти на тіло з такою ж за
модулем, але протилежною за напрямом силою.
Сила, з якою в’язь діє на тіло, перешкоджаючи його переміщенню в
будь-якому напрямку, називається силою реакції (протидії) цієї в’язі.
За законом рівності дії та протидії сила реакції в’язів рівна за модулем
силі тиску на в’язь і направлена в бік, протилежний цій силі.
Всі сили, що діють на тіло можна поділити на активні сили та сили
реакції в’язів. До активних сил відносять всі сили, що не є реакціями в’язів.
На відміну від активних сил, сила реакції в’язів залежить як від інших
сил, які діють на тіло, так і від руху тіла і характеру накладених на нього
в’язів. Вона існує лише тоді, коли тіло під дією прикладених до нього
активних сил здійснює тиск на дану в’язь. Якщо немає дії на в’язь, то не буде
і реакції в’язі.
Модуль сили реакції в’язів завжди наперед невідомий. Напрям цієї сили
наперед відомий в тому випадку, коли дана в’язь може перешкоджати руху
тіла лише в одному напрямку. В інших випадках напрям сили реакції в’язів
також наперед невідомий і визначається лише в результаті розв’язку
відповідної задачі.
© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2007 4

6. Правильне визначення напрямку реакції в’язів відіграє при розв’язку
задач статики важливу роль. Тому розглянемо детальніше, як напрямлені
реакції деяких основних видів в’язів.
□ Гл ад к а о п о р н а п о в е р х н я . Гладкою називають поверхню, тертям об
яку можна знехтувати. Оскільки гладка поверхня не перешкоджає
в) г)
Рис. 1.2.1
ковзанню по її поверхні тіла, то реакція N гладкої поверхні (рис. 1.2.1,а)
направлена завжди по загальній нормалі до поверхні тіла та поверхні
в’язі в їх точці дотику. Якщо одна з поверхонь має загострення
(рис. 1.2.1,6), то реакція повинна бути напрямлена по нормалі до іншої.
Нитка. В’язь у вигляді гнучкої нерозтяжної нитки (рис. 1.2.1,в) не дає тілу
М віддалятися від точки підвісу у напрямку АМ. Тому реакція Т
натягнутої нитки напрямлена вздовж нитки до точки її підвісу.
Ц и л і н д р и ч н и й ш а р ні р ( п і д ш и п н и к ) . Циліндричним шарніром
називають з’єднання двох тіл за допомогою пальця (прогонича), що
проходить через отвори в цих тілах. Осьова лінія прогонича називається
віссю шарніру. Тіло АВ (рис. 1.2.1,г) може обертатися як завгодно навколо
осі шарніру (у площині креслення); до того ж кінець А не може
переміститися в напрямку перпендикулярному осі шарніра. Тому реакція
Я циліндричного шарніру може мати будь-який напрям в площині, яка
перпендикулярна до осі шарніра. Для сили Я наперед невідомі ні її
модуль ні напрям (кут а).
Ш а р о в и й ш а р ні р і п і д п ’ ятник. Цей вид в’язі закріпляє будь-яку
точку тіла так, що вона не може здійснювати жодного переміщення у
просторі. Реакція Я шарового шарніру або підп’ятника може мати будь-
який напрям у просторі. Для неї наперед невідомі ні модуль сили реакції,
ні кути, що утворює вектор сили реакції з осями х,у,г.
С т е р ж е н ь . Нехай в деякій конструкції в’яззю буде
стержень АВ (Рис. 1.2.2), закріплений на кінцях
шарнірами. Вагою стержня, в порівнянні з
навантаженням, яке він сприймає, знехтуємо. Тоді на
стержень будуть діяти лише дві сили, які прикладені в
шарнірах А і В. За аксіомою 1 прикладені в точках А і
В сили повинні бути напрямлені вздовж однієї прямої, тобто вздовж осі
стерня. Навантажений на кінцях стержень, вагою якого в порівнянні з
© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2007 5

7. навантаженнями на нього можна знехтувати, працює на розтяг або на
стиснення. Реакція N стержня буде напрямлена вздовж осі стержня.
1.3 Аксіома в’язів.
Рівновагу невільних тіл вивчають в статиці на основі наступної аксіоми:
будь-яке невільне тіло можна розглядати як вільне, якщо відкинути в’язі і
замінити їх дію реакціями цих в’язів (принцип звільнення, або аксіома в’язів).
Наприклад, для бруса АВ
вагою Р в’язями є опора О,
площина ОЕ і трос КО
(Рис. 1.3.1). Брус АВ можна
розглядати як вільне тіло, яке
знаходиться у рівновазі під дією
заданої сили Р і реакцій в’язів
Й А, і Т . Модулі цих
реакцій, які наперед не задані, можна знайти з умов рівноваги сил, що діють
на тепер вже вільне тіло. В цьому і полягає основний метод розв’язування
задач статики.
Висновок.Визначення реакцій в’язів має те практичне значення, що,
знаючи їх, мибудемо знати і силитиску нав’язі, які необхідні для розрахунків
міцності відповідних частин конструкцій.
Завдання на самопідготовку.
ТаргС.М., Краткий курс теоретической механики, М., «Наука», 1968 -
глава 1, §§ 1-5.
Никитин Е.М., Теоретическая механика для техникумов, М., «Наука»,
1972 - Введение §§ 1-5; глава 1, §§ 1-2.
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 6

8. 2. ПЛОСКА СИСТЕМА СИЛ, ЩО ЗБІГАЮТЬСЯ
2.1 Збіжні сили. Геометричний спосіб додавання сил.
2.2 Розкладання сил. Проекції сил на вісь і на площину.
2.3 Аналітичний спосіб задавання та додавання сил.
2.1 Збіжні сили. Геометричний спосіб додавання сил.
Розв’язок багатьох задач механіки пов’язано з відомою операцією
векторної алгебри додавання векторів, зокрема сил. Вивчення статики
почнемо з розгляду геометричного способу додавання сил. Величину, що
дорівнює геометричній сумі сил будь-якої системи, називають головним
вектором даної системи сил. Поняття про геометричну суму сил не слід
підміняти поняттям про рівнодійну; для багатьох систем сил рівнодійної
взагалі не існує, а геометричну суму можна знайти завжди.
При вивченні статики ми послідовно будемо переходити від розгляду
більш простих систем до більш складних. Почнемо з
розгляду системи збіжних сил (сил, що збігаються).
Збіжними називають сили, лінії дії яких
перетинаються в одній точці. Якщо ми перенесемо всі
сили даної системи по лініях їх дії в загальну точку
перетину цих ліній, то, згідно з першим наслідком з
аксіом статики, дія системи на абсолютно тверде тіло
не зміниться. (Рис. 2.1.1) Рис. 2.1.1
В С В х F. Сі
F,
Р
Ах
Рис. 2.1.2
Д о д а в а н н я д в о х сил. Геометричну суму Я двох сил ґ, і р 2
знаходять або за правилом паралелограма (рис. 2.1.2,а), або побудовою
силового трикутника (рис. 2.1.2,6), який
зображує половину цього
паралелограма.
Модуль Я визначають як сторону
A^C^ трикутника А1В1 С1 за допомогою
теореми косинусів:
Я2 = Р 2 + /%2 —2/^7% соб ер. (2.1.1)
Або
Я2 = і^2 + ^ 22 + 2 7 ^ соб а ,
де а - кут між силами Рхі Р2.
б)
(2.1.2)
Кути р і у, які сила R утворює з силами Fx і F2, знаходять за теоремою
синусів:
К F, Я
= = - ------ (2.1.3)
sin у sin р sin а
© Bobo - Publishing. 2007 7

9. Д о д а в а н н я т р ь о х сил, що не л е ж а т ь в
одні й п л ощ и н і . Геометрична сума Й трьох сил Д ,
Д і Д, що не лежать в одній площині, зображують
діагоналлю паралелепіпеду, який побудований на цих
силах (правило паралелепіпеду). У слушності цього
переконуємося, застосовуючи послідовно правило
паралелепіпеду. (Рис. 2.1.3)
Д о д а в а н н я с и с т е м и сил. Геометрична сума
(головний момент) будь-якої системи сил визначається або послідовним
додаванням сил системи за правилом паралелограму, або побудовою
силового багатокутника. Другий спосіб є більш простим і зручним. Для
знаходження цим способом суми сил Д, Д, Д, ..., Д (рис. 2.1.4,а)
відкладаємо від довільної точки О (рис. 2.1.4,б) вектор Д, потім Д і так далі.
З’єднуємо початок першого вектору з кінцем останнього і отримуємо вектор
ЇЇ., який зображує геометричну суму або головний вектор сил:
Й = Р1+ Р 2 +... + Рп або Й = ^ Р к - (2.1.4)
Модуль і напрям вектора Й не
залежить від порядку відкладання векторів
сил. Виконана побудова являє собою
послідовне застосування правила
силового трикутника. Фігура, що
побудована на рис. 2.1.4,б називається
силовим (векторним) багатокутником.
Таким чином, геометрична сума або
головний вектор декількох сил
зображають стороною, яка замикає
силовий багатокутник, що побудований на
векторного багатокутника слід пам’ятати, що
стрілки повинні бути напрямлені в один бік (по обходу багатокутника), а у
вектора Й - в протилежний.
За наслідком з перших двох аксіом статики система збіжних сил, які
діють на абсолютно тверде тіло, еквівалентна системі сил, прикладених в
одній точці (точка А рис. 2.1.4,а).
Таким чином, система збіжних сил має рівнодійну, яка дорівнює
геометричній сумі (головному вектору) цих сил, яка прикладена в точці їх
перетину. Якщо сили Д, Д, ..., Д збігаються в точці А, то сила, яка
дорівнює головному вектору Й прикладена в точці А, буде рівнодійною цієї
системи сил.
а) б)
Рис. 2 14
цих
всі
силах.
вектори
При побудові
які додаються
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 8

10. 2.2 Розкладання сил. Проекція сил на вісь і на площину.
По суті справи розкладання сил є задача обернена до додавання сил.
Розкласти дану силу на декілька складових - означає знайти таку систему
сил для яких дана сила є рівнодійною. Дана задача є невизначеною, оскільки
за даною діагоналлю можна побудувати безліч паралелограмів. Таким
чином, щоб розв’язок був визначеним, необхідно задати додаткові умови
(розглянемо розкладання на дві збіжні сили):
□ задавання двох напрямків, по яких повинні діяти складові;
□ задавання модуля і напрямку однієї із складових сил;
□ задавання модулів обох складових сил;
□ задавання модуля однієї складової сили і напрям другої.
Розглянемо перший випадок, як найбільш поширений. Силу Р
необхідно розкласти на дві складові по напрямкам, що визначають прямі АВ і
АО (сила та прямі лежать в одній
площині). Для розв’язку задачі
проводимо через початок і кінець
сили Р прямі, паралельні АВ і АО.
Сили Р і О будуть складовими, які
шукають, оскільки Р + 0 = Р .
Розклад можна також провести
побудовою силового трикутника (рис. 2.2.1,6). Для цього від довільної точки а
відкладається сила Р і через її кінці проводять прямі, які паралельні АВ і ДО,
до їх взаємного перетину. Знайдені сили Р і О замінюють силу Р , якщо їх
прикласти до точки А або у будь-якій точці на лінії дії сили Р .
Якщо задані напрямки не лежать в одній площині, то задача є
визначеною і приводиться до побудови такого паралелепіпеду, у якого
діагональ зображує задану силу Р , а ребра паралельні заданим напрямкам.
Перейдемо до розгляду аналітичного (чисельного) методу розв’язку
задач статики. Цей метод ґрунтується на понятті про проекцію сили на вісь.
Як і для будь-якого іншого вектору, проекцією сили на вісь називається
скалярна величина, яка дорівнює довжині відрізку, взятого з відповідним
знаком, що обмежується проекціями початку і кінця сили. Проекція має
позитивний знак, якщо переміщення від її початку до кінця відбувається в
додатному напрямі осі, і негативний знак - якщо у від’ємному (Рис. 2.2.2). З
означення випливає, що проекція даної
сили на будь-які паралельні й однаково
направлені вісі рівні між собою. Цим
зручно користуватися при обчисленні АГ
а
проекції сили на вісь, що не лежить в о_[
одній площині із силою. Позначати
проекцію сили Р на вісь Ох будемо
І'х ь (І Ох
Рис. 2.2.2
х
© ВоЬо - РиЬІІзИІпд. 2007 9

11. символом Рх. Тоді для сил, які зображені на рис. 2.2.2 отримаємо:
Рх = АВг = аЬ , (9Л. = - £ Ц = -е с і.
Але з рисунку також видно, що АВХ= Р соъ а, <2х = -()£0$(р = (2£0$а1,
тобто проекція сили на вісь дорівнює добутку модуля сили на косинус кута
між напрямом сили і додатним напрямом осі. Зрозуміло, що проекція буде
позитивною, якщо кут між напрямом осі та напрямом сили буде гострий,
негативною, якщо цей кут - тупий; якщо сила перпендикулярна до осі, то її
проекція на вісь дорівнює нулю.
Проекцією сили Р на вісь Оху називається вектор Рху= ОВх, який
обмежений проекціями початку і кінця сили Р на цю площину (Рис. 2.2.3).
Таким чином, на відміну від проекції сили на вісь,
проекція сили на площину є величина векторна,
оскільки вона характеризується не тільки своїм
чисельним значенням, але і напрямком в площині
Оху. За модулем Г ху= Г с о з в , де в - кут між
напрямком сили Р та її проекції Рху fy
z В
А 4 Л
О
1
1
і Fy . У
/ < р 1— ^
/
/
/
F,ху
X
Рис. 2.2.3
У деяких випадках для знаходження
проекції сили на вісь зручно знайти спочатку
проекцію сили на площину, у якій лежить ця вісь,
а потім знайдену проекцію на площину
проектують на дану вісь. Наприклад випадок, що зображено на рис. 2.2.3,
знаходять
F = cos (р = F cos в cos со,
F v = Fxy sin ( p - F cos 0 sin (p.
2.3 Аналітичний спосіб задавання та додавання сил.
Для а н а л і т и ч н о г о з а д а в а н н я сили необхідно вибрати систему
координатних осей Охуг, по відношенню до якої буде визначатися напрям
сили у просторі (Рис. 2.3.1).
Вектор, який зображує силу Р ,
можна побудувати, якщо відомі модуль
цієї сили Р і кути а, Д у, які сила утворює
з даними осями координат. Задавання
величин Р, а, р, у і визначає дану силу
Р . Точка А прикладання сили повинна
бути задана додатково її координатами
х, у, і.
Для розв’язку задач статики буває
більш зручним задати силу її проекціями.
Сила Р буде задана, якщо будуть відомі
її проекції Рх, Ру, Рг на осі прямокутної
© Bobo - Publishing. 2007 10

12. декартової системи координат.
Fx = F cos а , Fv = F cos /?, Fz = F cos f .
Якщо піднести ці рівності почленно до квадрату і додавши їх отримаємо
F =4 F* +F1 +F* ; (2.3.1,а)
F F
cos а = — , cos 0 = —
F F
Fz
cos у = — . (2.3.1,б)
Формули (2.3.1) дозволяють знайти модуль сили Р і кути з осями, якщо
відомі проекції цієї сили на осі координат.
А н а л і т и ч н и й с п о с і б д о д а в а н н я сил. Перехід від залежності
між векторами до залежності між їх проекціями здійснюють за допомогою
такої теореми геометрії: проекція вектору суми на будь-яку вісь дорівнює
алгебраїчній сумі проекцій векторів, що додаються на ту саму вісь. Звідси
випливає, що якщо Я = Рх+Р2+...+ Рп, то Ях = ГХх+ Р1х + ... + і гизе. Тобто для
будь-якої системи СИЛ її ГОЛОВНИЙ вектор Й = Тоді згідно до теореми
к=
R, =L-Ft, ■ R, = ~LFk . К =S Fhk=l k=l k=l
Якщо відомі Rx, Ry і Rz, то за формулами (2.3.1) знаходять:
cos«
R = № + B $ + R
Rx n К
— COS P - — cos у
R
(2.3.2)
(2.3.3,a)
(2.3.3,6)
д Я
Формули (2.3.3) дозволяють розв’язати задачу про додавання сил
аналітично.
Приклад Знайти рівнодійну трьох сил, що лежать в одній площині,
якщо відомо: Р= 17.32 Н, Т= 10 Н, Р - 24 Н, (р- 30°, в - 60°/
т
У
F
Р
а)
Тоді за формулами (2.3.3)
R =f +T+P„
б)
Розв’язок:
Обчислюємо проекції заданих сил
на осі координат:
Fx = F cos <р,
Тх = - Т cos# , (1)
Р*= о.
F = - F sin <р,
Ту = Т sin в ,
РУ =~Р-
(2)
Ry =Fy + Ty + Py
R = J r I + If: ;cos^> = — ; cos^ = — .М х у ’ 'Ґ p ’ г,R R
© Bobo - Publishing. 2007
11

13. Завдання на самопідготовку.
Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики, М., «Наука», 1968
глава II, §§6-10.
Никитин Е.М., Теоретическая механика для техникумов, М., «Наука»
1972-гл ава II, §§8 -1 3.
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 12

14. 3. РІВНОВАГА ЗБІЖНИХ СИЛ. МОМЕНТ СИЛИ
3.1 Рівновага збіжної системи сил.
3.2 Системи статично визначені та статично невизначені.
3.3 Момент сили відносно центру (точки).
3.4 Теорема Варіньона про момент рівнодійної.
3.1 Рівновага збіжної системи сил
Пригадаємо перший закон Ньютона. У ньому стверджується, що тверде
тіло, на яке діють взаємно врівноважені зовнішні сили, може не тільки
знаходитися у стані спокою, але й рухатися. Таким рухом буде, наприклад,
поступальний рівномірний і прямолінійний рух.
Звідси випливає два важливі висновки:
□ умовам рівноваги статики задовольняють сили, що діють як на тіло у
стані спокою, так і на тіло, яке рухається за інерцією;
□ зрівноваженість сил, які прикладені до вільного твердого тіла, є
необхідною, але не достатньою умовою рівноваги (спокою) самого тіла.
У стані спокою в такому випадку тіло буде знаходитися лише тоді, якщо
воно було у спокої і до моменту прикладання до нього врівноважених
сил.
Для рівноваги прикладених до твердого тіла системи збіжних сил
необхідно і достатньо, щоб рівнодійна цих сил дорівнювала нулю. Умови,
яким при цьому повинні задовольняти самі сили, можна виразити в
геометричній або аналітичній формі.
Г е о м е т р и ч н а у м о в а р і в н о в а г и . Оскільки рівнодійна Я збіжних
сил визначається як сторона, що замикає силовий багатокутник, який
побудований з цих сил, то Я може дорівнювати нулю тоді і тільки тоді, якщо
кінець останньої сили в багатокутнику співпаде з початком першої, тобто
коли багатокутник замкнеться.
Таким чином, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і
достатньо, щоб силовий багатокутник, який побудований з цих сил, був
замкненим.
А н а л і т и ч н і у м о в и р і в н о в а г и . Аналітично рівнодійна системи
збіжних сил визначається формулою
Абсолютно зрозуміло, що під коренем стоїть сума позитивних доданків. Тому
Я перетвориться в нуль лише за умови, що одночасно Ях = 0 , Я =0,
Я2 = 0, а таке можливо тоді коли сили, що діють на тіло, будуть
задовольняти рівностям:
(3.1.1)
2 ^ =о, І^ =о, Т К г = о . (3.1.2)
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 13

15. Рівності (3.1.2) виражає умову рівноваги в аналітичній формі: для
рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб
суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей були рівні нулю.
Якщо всі збіжні сили, що діють на тіло, лежать в одній площині, то вони
утворюють плоску систему збіжних сил. У випадку плоскої системи збіжних
сил отримаємо лише дві умови рівноваги:
1 ^ = 0, 1 ^ = 0 . (3.1.3)
Рівності (3.1.2) і (3.1.3) також виражають необхідні умови рівноваги
вільного твердого тіла, що -знаходиться під дією збіжних сил.
Т е о р е м а про три сили. При розв’язку задач статики іноді зручно
користуватися такою теоремою: якщо вільне тверде тіло знаходиться у
рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, то
лінії дії цих сил перетинаються в одній точці.
Слід зазначити, що обернена теорема не має сенсу, тобто якщо лінії дії
трьох сил перетинаються в одній точці, то тіло під дією цих сил може і не
знаходитися в рівновазі. Таким чином теорема про три сили виражає
необхідну, але не достатню умову рівноваги вільного твердого тіла під дією
трьох сил.
Приклад. Брус АВ закріплений в точці А шарнірно,
спирається на виступ О. Даний брус можна розглядати як В
вільний, якщо відкинути в’язі і замінити їх відповідними
реакціями. Таким чином брус буде у рівновазі під дією трьох
сил Р N і її , , тоді коли лінії дії цих сил будуть
перетинатися в одній точці. Але лінії дії сил Р,Й0 відомі;
вони перетинаються в точці К. Значить реакція шарніру, яка
прикладена в точці А, також повинна проходити через цю
точку, тобто повинна мати напрям АК. Теорема про три сили дозволила в даному
випадку визначити наперед невідомий напрям реакції шарніру А.
3.2 Системи статично визначені та статично невизначені
При розв’язку задач про рівновагу невільного твердого тіла реакції
накладених на нього в’язів наперед невідомі. Число цих невідомих залежить
від числа і характеру накладених в’язів. Відповідна задача статики може бути
розв’язана лише у тому випадку, якщо для неї число невідомих реакцій в’язів
не перевищує числа рівнянь рівноваги, які включають ці реакції. Такі задачі
називають статично визначеними, а системи тіл для яких дана умова має
місце, - статично визначеними системами.
Задачі, в яких число невідомих реакцій в’язів
більше за число рівнянь рівноваги, що містять ці
реакції, називають статично невизначеними, а системи
тіл, для яких дана умова має місце, - статично
невизначеними системами (Рис. 3.1.1).
Прикладом статично невизначеної системи може
бути вантаж, який висить на трьох нитках, що лежать в Рис 311
одній площині. Невідомих величин в даній задачі три (натяг ниток Т1 Т2 і Т3), а
© ВоЬо - РиЬИэЫпд. 2007 14

16. рівнянь рівноваги для випадку плоскої системи збіжних сил можна скласти
лише два [формули(3.1.3)]. Вочевидь, статична невизначеність з’являється
від накладання зайвих в’язів. У наведеному прикладі, щоб при довільних
кутах а і /? забезпечити рівновагу, достатньо підвісити вантаж на двох нитках,
третя нитка для забезпечення рівноваги не потрібна.
У подальшому ми будемо розглядати лише статично визначені системи.
Задачі статично невизначені розглядаються в курсах опору матеріалів або
статики споруд.
3.3 Момент сили відносно центру (точки)
Життєвий досвід показує, що під дією сили тверде тіло може разом з
поступальним рухом здійснювати і обертальний рух навколо деякого центру.
Обертальний ефект сили характеризується її моментом.
Розглянемо силу Р, яка прикладена до тіла в точці
А (Рис. 3.3.1). Припустимо, що сила намагається
повернути тіло навколо центру О. Перпендикуляр /7, який
проведений з центру О на лінію дії сили Р, називається
плечем сили відносно центру О. Оскільки точку
прикладання СИЛИ можна ДОВІЛЬНО переміщувати ВЗДОВЖ Рис. 3.3.1
лінії її дії, то обертальний ефект, вочевидь, буде
залежати від:
□ модуля сили Р і довжини плеча /7;
□ положення площини повороту ОАВ, яка проходить через центр О та
силу Р
□ напрямку повороту в цій площині.
Обмежимося поки що розглядом системи сил, яка лежать в одній
площині. В такому випадку площина повороту для всіх сил є загальною і не
вимагає додаткових завдань, а напрям повороту можна характеризувати
знаком, вважаючи умовно поворот в деякому напрямку позитивним, а у
зворотному напрямі - негативним.
Тоді для кількісного вимірювання обертального ефекту можна ввести
таке поняття про момент сили: момент сили Р відносно центру О
називається величина, яка дорівнює добутку модуля сили на довжину плеча
взятому з відповідним знаком.
Момент сили Р відносно центру О будемо позначати символом
М0(Р). Тобто,
М0(Р)=±Мг. (3.3.1)
В подальшому будемо вважати, що момент має знак плюс „+”, якщо
сила намагається повернути тіло навколо центру О проти годинникової
стрілки, і знак мінус - якщо за годинникової стрілки
Занотуємо наступні властивості моменту сили:
© ВоЬо - РиЬИэЫпд. 2007 15

17. □ момент сили не змінюється при переносі точки прикладання сили
вздовж лінії її дії;
□ момент сили відносно центру О дорівнює нулю тільки тоді, коли сила
дорівнює нулю або коли лінія дії сили проходить через центр О
(плече дорівнює нулю);
□ момент сили чисельно виражається подвійною площею трикутника
ОАВ
M0(F)=i2S,10AB. (3.3.2)
3.4 Теорема Варіньона про момент рівнодійної
Доведемо теорему, яка носить ім’я французького вченого П.Варіньона
(1654- 1722). Момент рівнодійної плоскої системи збіжних сил відносно
будь-якого центру дорівнює алгебраїчній сумі моментів сил, що
додаються, відносно того самого центру.
Розглянемо систему сил F1,F 2,...,Fn, які збігаються
в точці А. Оберемо довільний центр О і проведемо
через нього вісь Ох, яка перпендикулярна до прямої ОД;
додатній напрям осі Ох виберемо так, щоб знак проекції
будь-якої із сил на цю вісь співпадав із знаком її
моменту відносно центру О.
Для доведення цієї теореми знайдемо відповідні
вирази моментів М 0(Р[У М 0(Р2), ... .За формулою
(3.3.2) M 0(f ^)= +2SAOABi . Але, як видно з рисунку,
2Sm4Bi = ОА •ОЬ = ОА •FXx, де Flx - проекція сили F^ на вісь Ох; таким чином,
m 0{fx)= o a -fu . (3.4.1)
Аналогічно обчислюються моменти всіх інших сил. При цьому формула
(3.4.1) справедлива і для випадку, коли сила F проходить нижче лінії ОД;
момент тоді буде від’ємним, оскільки від’ємною буде проекція сили Fx.
Позначимо рівнодійну сил F1,F 2,...,Fn через R , де R = ^ F Тоді за
теоремою про проекцію суми сил на вісь, отримаємо Rx = Y,Fkx. Помножимо
обидві частини цієї рівності на ОД, отримаємо:
0-4-Rx= 1(0.4-F J
або
М0( й )= ІМ 0(і?). (3.4.2)
Формула (3.4.2) дає математичний вираз теореми Варіньона.
Розв’язування задач статики
Задачі, якірозв’язують методами статики можутьбути одного з двох
типів: 1) задачі, в якихвідомі (повністю або частково) сили, що діютьна тіло і
необхідно знайти, в якому положенні або при яких співвідношеннях між
© Bobo - Publishing. 2007 j g

18. діючими силами тіло буде знаходитися у рівновазі; 2) задачі, в яких відомо,
що тіло знаходиться у рівновазі (або рухається „за інерцією”), а необхідно
знайти значення сил, які діють на це тіло. Реакції в’язів є величинами
наперед невідомими у всіх задачах статики.
Завдання на самопідготовку.
Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики, М., «Наука», 1968 -
глава II, §§11 -15.
Никитин Е.М., Теоретическая механика для техникумов, М., «Наука»,
1972-гл ава II, §§14-16.
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 17

19. 4. СИСТЕМИ ПАРАЛЕЛЬНИХ СИЛ РОЗТАШОВАНИХ В ОДНІЙ ПЛОЩИНІ
4.1 Додавання і розкладання паралельних сил.
4.2 Пара сил. Момент пари.
4.3 Еквівалентність пар.
4.4 Додавання пар. Умова рівноваги пар.
4.1 Додавання і розкладання паралельних сил
Крім системи збіжних сил, на тіло можуть діяти і паралельні сили. Як
знайти рівнодійну двох діючих на тіло сил, якщо точки їх прикладання не
співпадають? Тут можливі два випадки:
□ сили напрямлені в один бік;
□ сили напрямлені в протилежні боки.
Правило паралелограма при додаванні паралельних сил
безпосередньо застосувати неможливо, оскільки точка перетину ліній дії
паралельних сил знаходиться у безмежності. Для того, щоб вивести правило
додавання двох паралельних сил, замінимо ці сили еквівалентною системою
двох збіжних сил.
Д о д а в а н н я д вох сил, н а п р я м л е н и х в один бік. Розглянемо
тверде тіло на яке діють дві сили Д і Д , які мають точки прикладання А і В
відповідно (Рис. 4.1.1). Скориставшись аксіомами 1 і 2 статики, перейдемо
від даної системи паралельних сил до еквівалентної системи збіжних сил Q і
0 0. Для цього прикладемо до точок А і В дві врівноважуючи сили Рх і Д
(Р1= —Д ), які напрямлені вздовж прямої АВ, і додамо їх до сил Д і Д за
правилом паралелограма. Отримані сили Q і 0 2 перенесемо в точку О, в
якій перетинаються лінії дії цих
сил, і розкладемо їх на
попередні складові. Таким
чином в точці О будуть діяти дві
врівноважуючи сили Р1 і Д , які
можна відкинути згідно аксіоми
2, і дві направлені вздовж однієї
прямої сили Д і Д . Дані сили
перенесемо в точку С і замінимо
її рівнодійною R , модуль якої
дорівнює:
r = f1+f2.
Дана сила R і є рівнодійною
паралельних сил Д і Д ,
прикладених в точках А і В.
© Bobo - Publishing. 2007 j g
О д

20. Точка С лежить на перетині прямої АВ і лінії дії рівнодійної сили Я.
Трикутники ААОС ~ АаОк і АВОС-АЬОт подібні. З подібності цих
трикутників випливає
ВС АС АВ
(4.1.1)
F F2 R
Таким чином, рівнодійна двох діючих на абсолютно тверде тіло
паралельних сил, які напрямлені в один бік, рівна за модулем сумі модулів
цих сил, паралельна їм і направлена в той самий бік. Лінія дії рівнодійної
проходить між точками прикладання сил, що додаються, на відстанях від
цих точок, які обернено пропорційні даним силам.
Д о д а в а н н я д вох сил, н а п р я м л е н и х в різні боки. Нарисуємо
сили Fx і Д , які діють на тіло (Рис 4.1.2). Будемо вважати, що F ^>F2.
Візьмемо на продовження прямої ВА точку С і прикладемо до неї
врівноважуючи сили Я і Я ' , які паралельні силам Р[ і Д . До того ж модулі
сил і положення точки С вибираємо так, щоб задовольнити умови:
Я = Е
ВС
і
АС АВ
F F2
(4.1.2)
(4.1.3)
Додавши сили F0 і їх
Я
Я ' , знайдемо
рівнодійну О , яка за модулем буде дорівнювати
= і прикладена в точці А. Після цього
сили Рх і О можна відкинути як врівноважені.
Внаслідок чого задані сили і Р2будуть замінені
однією силою Я, яка і є їх рівнодійною. Модуль
цієї рівнодійної і точка прикладання визначається
за формулами (4.1.2) і (4.1.3).
Таким чином, рівнодійна двох діючих на абсолютно тверде тіло
паралельних сил, які напрямлені в протилежні боки, рівна за модулем
різниці модулів цих сил, паралельна їм і направлена в бік більшої сили. Лінія
дії рівнодійної проходить поза відрізком, який з ’єднує точки прикладання
сил, що додаються, на відстанях від цих точок, які обернено пропорційні
даним силам.
Р о з к л а д а н н я сил. За допомогою одержаних формул можна
розв’язувати і задачу обернену до додавання, тобто розкладання даної сили
на дві паралельні їй, і направлені або один бік, або в протилежні боки.
Задача буде визначеною, якщо задати додаткові умови (наприклад, лінії дії
обох сил, що шукають, або модуля і лінії дії однієї з них).
© Bobo - Publishing. 2007 19

21. 4.2 Пара сил. Момент пари
Парою сил називають систему двох рівних за модулем, паралельних і
направлених в протилежні боки сил, які діють на абсолютно тверде тіло.
Система сил, що утворюють пару (Рис. 4.2.1), природно, не знаходиться у
стані рівноваги. Одночасно, на відміну від розглянутих раніше систем, не має
рівнодійної. Пару сил не можна замінити або врівноважити однією силою.
Площина, яка проходить через лінії дії пари,
називається площиною дії пари. Відстань сі між лініями дії
сил пари називається плечем пари. Дія пари сил на тверде
тіло зводиться до деякого обертального ефекту, який
залежить від:
□ модуля Р сили пари і довжини її плеча с/;
□ положення ПЛОЩИНИ Д ІЇ пари; Рис. 4.2.1
□ напряму повороту в цій площині.
Для характеристики цього ефекту вводять поняття моменту пари.
Моментом пари називається величина, рівна добутку модуля однієї з
сил пари на її плече, взятий з відповідним знаком.
М = ± Г < і. (4.2.1)
Момент пари будемо вважати додатнім, якщо пара намагатиметься
повернути тіло проти годинникової стрілки, і від’ємним - коли за
годинниковою стрілкою.
З рисунку видно, що момент пари дорівнює моменту однієї з її сил
відносно точки прикладання іншої, тобто
М = М В( Р ) = М Л(Р'). (4.2.2)
Доведемо т е о р е м у про м о м е н т и сил пари: алгебраїчна сума
моментів сил пари відносно будь-якого центру, що лежить в площині її дії,
не залежить від вибору цього центру і дорівнює моменту пари.
Візьмемо в площині пари будь-яку точку О (Рис. 4.2.2). Знайдемо:
М 0( р ) = - Е - О а , М 0{Р ’) = Р'-ОЬ. Додавши ці рівності
почленно та врахувавши, що Т7' = Т7 і О Ъ - О а - сі
отримаємо:
М 0( ^ ) + М 0( ^ ') = М . (4.2.3)
Цією
обчисленні
центру.
О’
теоремою зручно користуватися при
моментів сил пари відносно будь-якого
© ВоЬо - РиЬИэЫпд. 2007 20

22. Рис. 4.3.1.
Щоб встановити умову еквівалентності пар, сформулюємо і доведемо
таку теорему: не змінюючи дію, яку чинить на абсолютно тверде тіло пара
сил, її можна замінити будь-якою іншою парою, яка лежить у тій самій
площині і має той самий момент.
Нехай на тверде тіло діє пара сил (Р,Р') з
плечем с/і (Рис. 4.3.1). Проведемо в площині дії пари
через довільні точки О і Е дві паралельні прямі до
перетину їх з лінями дії сил пари Р,Р') в точках А і
В і прикладемо сили (Р,Р') в цих точках. Відстань
між прямими АО і ВЕ буде с/2. Розкладемо силу Р
по напрямкам ВА і АО на сили (9 і Р , а силу Р' - по
напрямкам АВ і ВЕ на сили (7 і Р ' ■Сили 0 і 0 ', як врівноважені можна
відкинути. В результаті пара сил {Р,Р') буде замінена на пару
іншим плечем та іншими силами, які можна прикласти в точках О і Е на їх
лініях дії.
Покажемо, що моменти пар (Р,Р') і рівні. Оскільки сила Р є
рівнодійною сил 0 ' і Р ', то за теоремою Варіньона
_ м в ( Р ) = м в { р ) + м Х й ^
Але М в(Р)=РсІх, М в(Р) = Рс12, М в(б) = 0; отже = Рс12, тобто
моменти пар рівні один одному і теорема доведена.
З доведеної теореми випливають такі властивості пари сил:
□ дану пару можна переносити як завгодно у площині дії пари причому
дія, яку вона чинить на тіло не зміниться;
□ для даної пари можна довільно змінювати модулі сил або довжини
плечей при незмінному моменті так, що дія, яку вона чинить на тіло не
зміниться.
Звідси випливає, що дві пари, що лежать в одній площині і мають
однакові моменти, еквівалентні.
Щоб задати пару, яка лежить в даній площині, достатньо задати її
момент; чому дорівнюють при цьому сили пари або її плече і де пара
розташована у площині її дії - не суттєво. Тому в техніці пару сил часто
зображують коловою стрілкою, яка вказує напрям повороту, а не зображують
самі сили.
4.3 Еквівалентність пар
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 21

23. 4.4 Додавання пар. Умова рівноваги пар
Доведемо т е о р е м у про д о д а в а н н я пар: Система пар, які
лежать в одній площині, еквівалентна одній парі, яка лежить в тій самій
площині та має момент, рівний алгебраїчній сумі моментів пар, що
додаються.
Нехай на тіло діє три пари з моментами М-і, М2, М3 (Рис. 4.4.1). Згідно з
теоремою про еквівалентність пар можна замінити ці моменти трьома парами
(Д, Д/), (Д , Д'), (Д, Д'), які мають загальне плече с/ і такі самі моменти:
Рх<і = М1, - Р2сІ - М2, Р 4 - М,
Додавши окремо сили, прикладені в
точках А і В, отримаємо в точці В силу й , а в
точці А - силу Я ', які за модулем будуть
дорівнювати Я = Я' = Рг-Р 2+Р3. Внаслідок
чого вся система пар заміниться однією парою
(Д і? ') з моментом
М = Я<і = Рх<і + (- Р2сі)+ Р3сі = М1+ М2+ М3.
Для випадку трьох пар теорема доведена.
Цілком зрозуміло що такий самий результат
вийде при будь-якій кількості пар. Система, що
складається з п пар з моментами Мї , М2, ..., Мп, буде замінена однією парою
з моментом
М = ^ М , (4.4.1)
к=1
З доведеної теореми випливає, що для рівноваги плоскої системи пар
необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума моментів цих пар дорівнювала
нулю:
± М к = 0 (4.4.2)
к=1
Завдання на самопідготовку.
Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики, М., «Наука», 1968 -
глава III, §§ 17 - 20.
Никитин Е.М., Теоретическая механика для техникумов, М., «Наука»,
1972- глава III, §§ 18-20; глава IV, §§ 21 -24;.
© Bobo - Publishing. 2007 22

24. 5 СИСТЕМИ СИЛ ДОВІЛЬНО РОЗТАШОВАНИХ В ОДНІЙ ПЛОЩИНІ
5.1 Теорема про паралельний перенос сили (теорема Пуансо).
5.2 Зведення плоскої системи сил до даного центру.
Головний вектор і головний момент системи сил.
5.3 Зведення плоскої системи сил до найпростішого
вигляду.
5.4 Умова рівноваги довільної плоскої системи сил.
5.5 Внутрішні зусилля. Розподілені сили.
5.1 Теорема про паралельний перенос сили (теорема Пуансо)
Рівнодійна системи збіжних сил безпосередньо знаходиться за
допомогою аксіоми паралелограма сил. Для двох паралельних сил ця задача
розв’язується шляхом зведення паралельних сил до збіжних. Вочевидь, що
аналогічну задачу легко розв’язати і для довільної системи сил, якщо знайти і
для них метод зведення до сил, які прикладаються в одній точці. Такий метод
дає теорема Пуансо: не змінюючи дію сили на тіло, її можна переносити
паралельно своєму початковому напрямку в будь-яку точку тіла, додаючи
при цьому деяку пару.
Нехай на тверде тіло діє сила Р, яка
прикладена до точки А (Рис. 5.1.1). Дія цієї сили не
зміниться, якщо в будь-якій точці тіла В прикласти
дві врівноважуючи сили Р' і Р", такі, що Р' =Р ,
Р"= -Р. Система трьох сил, що вийшла, і являє
собою силу Рг, яка дорівнює Р, але прикладеною
до точки В, і пару (Р,Р”) з моментом
М= МВ(Р). (5.1.1)
Теорема доведена.
5.2 Зведення плоскої системи сил до даного центру. Головний
вектор і головний момент системи сил
Нехай на тверде тіло діє деяка система сил Р1,Р2,...,Рп, які лежать в
одній площині. Візьмемо в цій площині довільну точку О, яку назвемо точкою
(центром) зведення. Скористаємося теоремою Пуансо і перенесемо всі сили
в цю точку. Внаслідок таких дій на тіло буде діяти система сил
р;=р„ р;=р2.....р;= р„, (5.2.1)
які прикладені в точці О, і система пар, моменти яких згідно теоремі будуть
дорівнювати:
М, = М0{РХ М2=М0{Р2).....М. =М0{Р„). (5.2.2)
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 23

25. Сили, що прикладені до точки О, можна замінити однією силою R, яка
прикладена до тієї ж точки; до того ж R = YjFr а^°-згідно рівнянням (5.2.1)
R = Z F k . (5.2.3)
Вектор R , який дорівнює геометричній сумі всіх сил даної системи,
називається головним вектором цієї системи.
Аналогічно, за теоремою про додавання пар, всі пари можна замінити
однією парою, що лежить в тій самій площині. Момент цієї пари М 0 =
або згідно рівнянь (5.2.2)
M 0 = Z M 0( F j. (5.2.4)
Алгебраїчна сума моментів всіх даних сил, що розташовані довільно
на площині, відносно будь-якої точки О називається головним моментом
даної плоскої системи сил відносно цієї точки.
Результат, який був отриманий при зведенні до однієї точки системи
сил, що довільно розташована в площині, можна сформулювати таким
чином:
Будь-яку плоску систему сил завжди можна замінити однією силою,
яка дорівнює головному вектору системи прикладеному в довільній точці
О, і парою, момент якої дорівнює головному моменту даної системи сил
відносно цієї ж точки О.
Модуль і напрям головного вектора не залежить від вибору центра
зведення О, оскільки всі сили переносяться в точку О паралельно їх
початковим напрямкам, і силовий багатокутник буде в усіх випадках тим
самим. Навпаки, чисельне значення і знак головного моменту залежить від
вибору центру зведення, оскільки із зміною центра зведення змінюються
моменти даних сил відносно цього центру і, як наслідок, їх алгебраїчна сума.
Тому завжди необхідно указувати до якої точки відноситься момент.
5.3 Зведення плоскої системи сил до найпростішого вигляду
Розглянута у попередньому пункті теорема дозволяє знайти, до якого
найпростішого вигляду може бути зведена дана плоска система сил.
Результат буде залежати від того, яке значення буде приймати головний
вектор R і головний момент М0 даної системи.
1. Якщо для даної системи сил R = 0 і М 0 = 0, то вона знаходиться у
рівновазі.
2. Якщо для даної системи сил R = 0 і М 0 Ф 0, то вона зводиться до
однієї пари з моментом М 0 = ^ М 0{Рк). У даному випадку величина М0 не
буде залежати від вибору центру О.
3. Якщо для даної системи сил Й ф О, то вона зводиться до однієї
рівнодійної. При цьому можливі два випадки:
© Bobo - Publishing. 2007 24

26. а) R ^ 0, М 0 = 0. У цьому випадку система одразу замінюється однією
силою, тобто рівнодійною R , яка проходить через центр О;
б) R ф О, М 0 ф 0. У цьому випадку пару з
моментом М0 можна зобразити двома силами R' ( о ^ S R'
і R” , взявши R' = R, a R" = - R (Рис. 5.3.1). До
того ж якщо d = ОС - плече пари, то повинно бути
Rd = M0. (5.3.1)
Відкинувши тепер сили R іR” , як врівноважені,знаходимо, що вся
система силзамінюється однією рівнодійною R' = R, якапроходить через
точку С. Положення точки С визначається двома умовами:
□ відстань ОС = d(pC JL /?) повинна задовольняти рівності (5.3.1);
□ знак моменту відносно центру О сили R ' , яка прикладена до точки С,
тобто знак M 0(r '), повинен співпадати зі знаком М0.
Висновок. Розглянуті випадки показують, що плоска система сил, якщо
вона не знаходиться у рівновазі, зводиться або до однієї рівнодійної (коли
R Ф 0), або до однієї пари (коли R = 0).
5.4 Умова рівноваги довільної плоскої системи сил
Для рівноваги будь-якої плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб
одночасно виконувалися умови:
^ = 0, М 0 = 0. (5.4.1)
Тут О - будь-яка точка площини, оскільки при ^ = 0 величина М0 від
вибору центру О не залежить.
Умови (5.4.1) є необхідними, оскільки якщо деяке з них не виконується,
то система діючих на тіло сил зводиться або до рівнод ійної (коли R ^ 0 ) , або
до пари (коли М 0 Ф 0) і, як наслідок, не є врівноваженою. Одночасно умови
(5.4.1) є достатніми, тому що при R - 0 система може зводитися лише до
пари з моментом М0, а оскільки М 0 = 0, то має місце рівновага.
Знайдемо аналітичні умови рівноваги, які випливають з рівності (5.4.1).
Ці умови можна отримати у трьох різних формах:
□ о с н о в н а ф о р м а у м о в р і в н о в а г и . Величини R і М0 визначають
рівностями:
« = M 0 = Z M 0 {Fk),
де Rx = Y j F Xh' Rv = ^ F vk- Але R може дорівнювати нулю лише тоді, коли
одночасно Rx = 0 і Rv = 0. Таким чином, умови рівноваги (5.4.1) будуть
виконані, якщо буде:
© Bobo - Publishing. 2007 25

27. 1 ^ = 0, 1 ^ = 0, і м о(і?)=0. (5.4.2)
Рівності (5.4.2) виражають наступні аналітичні умови рівноваги: для
рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб сума
проекцій всіх сил на кожну з двох координатних осей і сума їх моментів
відносно будь-якого центру, що лежить у площині дії сил, дорівнювали
нулю. Одночасно рівняння (5.4.2) виражають необхідні умови рівноваги
вільного твердого тіла, яке знаходиться під дією плоскої системи сил. Перші
дві умови виражають необхідні умови того, що тіло немає переміщення
вздовж осей координат, а третє є умовою відсутності обертання тіла у
площині Оху.
□ д р у г а ф о р м а у м ов р і в н о в а г и : для рівноваги довільної плоскої
системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів всіх цих сил
відносно будь-яких двох центрів А і В і сума їх проекцій на вісь Ох, яка не
перпендикулярна до прямої АВ, дорівнювали нулю:
ТМл(Рк)=0, ТМв{Рк)= 0, 2 ^ = 0. (5.4.3)
Необхідність цих умов очевидна, оскільки якщо б будь-яке з них не
виконувалось, то або Я Ф 0 або М А Ф 0 ( М в Ф 0) і рівноваги не буде.
□ третя ф о р м а у м о в р і в н о в а г и (рівняння трьох моментів): для
рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми
моментів всіх цих сил відносно будь-яких трьох центрів А, В і С, що не
лежать на одній прямій, дорівнювали нулю:
ТМА{Рк)= 0, ТМв{Рк)=0, 2]Мс (і?)=0. (5.4.4)
Необхідність цих умов очевидна. Достатність випливає з того, що якщо
при одночасному виконанні цих умов дана система не знаходилася у
рівновазі, то вона повинна була б зводитися до рівнодійної, яка одночасно
проходить через точки А,В і С, що неможливо, оскільки вони не лежать на
одній прямій.
В усіх розглянутих випадках для плоскої системи сил виходить три
умови рівноваги. Умови (5.4.2) вважають основними, бо при їх застосуванні
ніяких обмежень на вибір осей координат і центру моментів не накладається.
5.5 В н у т р іш н і з у с и л л я . Розподілені сили.
Внутрішніми зусиллями в деякому перерізі тіла або конструкції
називають сили, з якими частини тіла, що розділені цим перерізом, діють
одне на одне. Метод визначення внутрішніх зусиль аналогічний до методу,
який застосовувався при вивченні рівноваги систем тіл. Спочатку
розглядають рівновагу всього тіла в цілому і визначають реакції зовнішніх
в’язів. Потім перерізом, в якому необхідно знайти внутрішні зусилля
розділяють тіло на дві частини і розглядають рівновагу однієї з них. Тоді якщо
система діючих на тіло зовнішніх сил плоска, то дія відкинутої частини
заміниться у загальному випадку плоскою системою розподілених по
перерізу сил.
© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2007 26

28. В інженерних розрахунках часто приходиться зустрічатися з
навантаженнями, розподіленими вздовж даної поверхні за тим чи іншим
законом. Наведемо деякі найпростіші приклади розподілених сил, які лежать
в одній площині.
Плоска система розподілених сил характеризується її інтенсивністю д,
тобто величиною, яка припадає на одиницю довжини навантаженого відрізку.
Сили, які р і в н о м і р н о р о з п о д і л е н і в з д о в ж в і д р і з к у п ря м о ї
(Рис. 5.5.1,а). Для такої системи сил інтенсивність д є величиною сталою.
При статичних розрахунках цю систему сил можна замінити рівнодійною О.
За модулем
<2 = ад.
Сила О прикладена до середини відрізка АВ.
Сили, які р о з п о д і л е н і в з д о в ж в і д р і з к а п р я м о ї за
л і н і й н и м з а к о н о м (Рис. 5.5.1,б). Прикладом такої сили можуть бути сили
тиску води на греблю: найбільший тиск біля дна водойми і найменший на її
поверхні. Інтенсивність д в даному випадку є змінною величиною, що росте
до максимального значення дт . Рівнодійна О визначається за формулою
п і
£? = т а«'»-
^ а . ... .
Прикладається сила ц на відстані — від максимальної інтенсивності дт .
Сили, які р о з п о д і л е н і в з д о в ж ві дрі з ку п р я м о ї по
д о в і л ь н о м у з а к о н у (Рис. 5.5.1,в). Рівнодійна О таких сил буде
дорівнювати за модулем площі фігури АВйЕ, виміряній у відповідному
масштабі, і буде проходити через центр ваги цієї площі.
а С
а
ЗУ
в
,<2
а)
Рис. 5.5.1
Сили, р і в н о м і р н о р о з п о д і л е н і по дузі кола (Рис. 5.5.2).
Прикладом таких сил є сили гідростатичного тиску на бокові стінки
циліндричної посудини. Із симетрії видно, що сума проекцій цих сил на вісь
Оу, яка перпендикулярна осі симетрії Ох, дорівнює нулю. Таким чином,
рівнодійна таких сил напрямлена вздовж осі Ох. За модулем
е = й = і И . ) соъ(рк , де дЛІк - сила, що діє на елемент дуги довжиною
ЛІк ; <рк - кут, що утворює ця сила з віссю Ох. З рисунку видно, що
ЛІк со$фк = Лук . Взявши інтеграл по дузі АВ будемо мати
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 27

29. £>= #/?,
де /7- довжина хорди, що стягує дугу АВ.
Завдання на самопідготовку.
Тарг С.М., Краткий курс теоретической механики, М., «Наука», 1968 -
глава IV, §§ 21 - 28.
Никитин Е.М., Теоретическая механика для техникумов, М., «Наука»,
1972- глава IV, §§ 21 -24 ; глава V, §§ 2 5 - 3 2 , 34;.
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2007 28

30. 6 ЕЛЕМЕНТИ ГРАФІЧНОЇ СТАТИКИ
6.1 Силовий і мотузковий багатокутники.
6.2 Загальні відомості про ферми та їхрозрахунки.
Спосіб вирізання вузлів. Спосіб перерізів (спосіб
Ріттера).
6.1 Силовий і мотузковий багатокутники
При інженерних розрахунках часто користуються графічними методами,
які хоча і є менш точними, ніж аналітичні, але дозволяють отримувати
результати більш швидким і наочним шляхом. Графічний метод розв’язку
задач зі статики для плоскої системи сил ґрунтується на побудові силового і
мотузкового багатокутників.
Нехай на тверде тіло діє система з трьох сил Д , Д , Д (Рис. 6.1.1).
Фігура abed (Рис. 6.1.1,б), яка побудована з цих сил, називається силовим
багатокутником. Якщо кінець останньої сили співпадає з початком першої,
то силовий багатокутник називають замкненим, в іншому випадку
розімкненим.
Візьмемо в
площині силового
багатокутника
довільну точку О
(полюс), яка не лежить
на сторонах
багатокутника або на
їх продовженнях, і а) 6j
з’єднаємо її з Рис. 6.1.1
вершинами
багатокутника променями Оа, ОЬ, Ос, Od, які пронумеруємо 01, 12, 23, ЗО
(читати: “нуль-один”, “о д и н -д в а ” і т.д.; цифри вказують номери сил, які
збігаються у вершині, куди проведений відповідний промінь).
Тепер візьмемо на основному кресленні (Рис. 6.1.1а) довільну точку А і
проведемо з неї пряму, паралельну до променя 01, до його перетину з лінією
дії сили Д в точці В. З точки В проводимо пряму, паралельну променю 12, до
перетину її з лінією дії сили Д в точці С і т.д. Побудована таким шляхом
фігура ABCDE називається мотузковим багатокутником. Така назва
пояснюється тим, що якщо мотузку закріпити в точках А і Е і прикласти до неї
в точках В, С і D сили Д , Д , Д , то вона при рівновазі матиме форму
ламаної ABCDE. Мотузковий багатокутник буде замкненим, якщо його крайні
сторони будуть напрямлені вздовж однієї прямої. В іншому випадку
багатокутник називають розімкненим.
© Bobo - Publishing. 2007 29

31. Користуючись такими побудовами, можна будь-яку плоску систему сил
замінити двома силами, які направлені по крайнім сторонам мотузкового
багатокутника.
Якщо силовий багатокутник, побудований для даної системи, не
замкнений, то ця система сил зводиться до однієї рівнодійної. Це буде
сторона ad, яка замикає силовий багатокутник. Щоб знайти лінію дії
рівнодійної, треба продовжити крайні лінії мотузкового багатокутника до їх
перетину. Тепер проведемо пряму паралельну рівнодійній через цю точку, це
і буде лінія дії рівнодійної.
6.2 Загальні відомості про Ферми та їх розрахунки. Спосіб
вирізання вузлів (кутів)
Фермами називають незмінні решітчасті конструкції, які складаються з
стержнів, що з’єднані між собою по кінцям шарнірами.
Якщо осі всіх стержнів ферми і прикладені до неї сили лежать в одній
площині, то ферма називається плоскою. Місця з’єднання стержнів ферми
називають вузлами ферми, а ті вузли, якими ферма спирається на основи,
називають опорними вузлами. Стержні плоскої ферми, розташовані по
верхньому контуру, утворюють верхній пояс, а розташовані по нижньому
контуру - нижній пояс ферми. Вертикальні стержні називають стійками, а
похилі - розкосами.
Все зовнішнє навантаження на ферму прикладається тільки у вузлах.
При розрахунках ферми тертям у вузлах і вагою стержнів нехтують або
розподіляють вагу стержня по вузлах. В такому випадку на кожен стержень
ферми будуть діяти дві сили, прикладені до його кінців, які при рівновазі
можуть бути напрямлені лише вздовж стержня. Таким чином, можна вважати,
що стержні ферми мають бути або розтягнуті, або стиснуті. Обмежимося
розглядом жорстких плоских ферм. Загальна кількість стержнів, які необхідні
для створення ферми з п вузлами буде
k = 2 n - 3 . (6.2.1)
Це - умова незмінності плоскої системи шарнірно-з’єднаних стержнів.
При меншій кількості стержнів система не буде жорсткою. При більшій -
ферма буде статично невизначеною.
Розрахунок ферми зводиться до визначення опорних реакцій і зусиль в
її стержнях. Опорні реакції можна знайти відомими методами статики, якщо
розглядати ферму в цілому як тверде тіло. Для визначення зусиль у
стержнях ферми існує ряд способів (як графічних так і аналітичних),
розглянемо два з них:
□ с п о с і б в и р і з а н н я в у зл і в (куті в). Цей спосіб полягає в тому,
що уявно вирізають вузли ферми, прикладаючи до них відповідні зовнішні
сили і реакції стержнів та складають по два рівняння сил, прикладених до
кожного вузла. Оскільки на початку розрахунку не відомо, які стержні
розтягнуті, а які стиснуті, то умовно вважають, що всі стержні розтягнуті
(реакції стержнів напрямлені від вузлів). Якщо в результаті обчислень
© Bobo - Publishing. 2007 3 Q

32. отримують відповідь зі знаком мінус, то відповідний стержень стиснутий.
Реакції стержнів дорівнюють за модулем внутрішнім зусиллям в них.
Послідовність вирізання кутів визначають так, щоб число невідомих сил,
прикладених до вузла, не перевищувало двох. Тоді ці невідомі визначаються
одразу з двох рівнянь рівноваги сил, що діють на цей вузол.
Щоб впевнитися у правильності виконаних обчислень, для сил, прикладених
до кожного вузла, можна побудувати багатокутник, який повинен бути
замкненим.
Визначимо способом вирізання кутів зусилля в стержнях даної ферми. Якщо
сила Р - 60 кН, яка прикладена до вузла Е ферми (Рис. 6.2.1), вертикальна і
реакція шарнірно-рухомої опори В також вертикальна і перпендикулярна до
опорної поверхні, то лінія дії реакції шарнірно-нерухомої опори А буде їм
паралельна, тобто також вертикальна.
З попереднього матеріалу
нам відомо, що силу Р
можна розкласти на дві
складові, які прикладені у
точках А і В. Модулі цих
складових сил обернено
пропорційні відстаням АЕ і
ВЕ, а їхня сума дорівнює
модулю сили Р. Ці сили,
які являють собою тиск ферми на опори, відповідає рівна за модулем
протидія у вигляді реакції опор, які визначаються за такими формулами:
с 4
ЯА+ Яв = Р = 60к Н ;
ЗВІДКИ
ЯА = 40кН
с
і
в
Яв АЕ
Яв = 20кН
= 2 ,
А Е
Я,
вузол А вузол Е
Яв вузол С
Р
вузол і 7 вузол В
^8д К-В
Рис. 6.2.2
Складемо два рівняння рівноваги сил, які прикладені до кожного з вузлів
ферми і для перевірки правильності виконаних обчислень побудуємо
багатокутники сил, які повинні бути замкненими. При побудові багатокутників
44
Л’
2 6Л’б
з
4 6
© ВоЬо - РиЬиэЫпд. 2007 зі

33. всі сили відкладаємо у деякому масштабі по їх напрямкам, що відповідають
розтягу або стисненню, керуючись результатами обчислень.
Розрахунок почнемо з вузла А, до якого прикладені лише дві невідомі сили
s t s 2.
Вузол А
= cos30 = 0 ;
= 0; Ra + Sxcos60 = 0;
= - Ш Н ; S2= -S xcos 30 = 69,2kH .S,=
R
cos 60
Вузол C
E ^ = 0; -*Sr1'cos30 + *Sr4 = 0;
1 ^ = 0; cos 60-^3 = 0 ;
S3= -s; cos 60 = 4 0 k ff; S4 = S[ cos 30 = -69,2kH .
Вузол E
£ F fa = 0; - S ’2+S 6+S 5cos30 = 0;
Z Fty = 0; 5"з - P + >S5cos 60 = 0;
5,- = =4 0 k # ; S. = S' - S, cos 30 = 34,6kH .
cos 60
Вузол F
Вузол В
I ^ „ = 0; -Уб+5,= 0; S, = = 34,6icff;
1 ^ = 0 ; S7=0.
£ i v , = 0 ; /?,, + S', cos 60 = 0;
В
cos 60
Складемо таблицю зусиль
= -40/сЯ
Таблиця 1
№ стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S (кн.) - 80 69,2 40 -69,2 40 34,6 0 34,6 -40
З наведеної таблиці видно, що верхній пояс ферми стиснений, а нижній
- розтягнутий. Зусилля в окремих стержнях навантаженої ферми можуть
дорівнювати нулю. Такі стержні називають нульовими стержнями.
Цим способом зручно користуватися, якщо необхідно знайти зусилля у
всіх стержнях ферми.
© Bobo - Publishing. 2007 32