Кинематика

1. Державна служба з надзвичайних ситуацій
Національний Університет цивільного захисту України
Інститут пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля
Кафедра будівельних конструкцій
Кінематика
Курс лекцій
з теоретичної механіки
Черкаси 2015

2. Дагіль В.Г., Малигін Г.О. Курс лекцій з теоретичної механіки: навчальний
посібник. Кінематика. Черкаси: ЧІПБ ім. Героїв Чорнобиля ДСНС України,
2015. - 49 с.
Навчальний посібник створено відповідно до навчальної програми з
дисципліни „Теоретична механіка” для вищих закладів освіти ДСНС України
і призначений для курсантів і студентів, які навчаються за спеціальностями
6.092800 „Пожежна безпека”. Посібник містить основні теоретичні
положення кінематики. До кожної теми додаються питання для
самоконтролю та задачі для самостійного розв’язування різного рівня
складності.
Посібник може бути корисним для курсантів та слухачів заочного
відділення.
Протокол № 8 від 27.10. 2015 року
Методичної ради
Черкаського інституту пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля НУЦЗ України

3. 1. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ
1. Предмет і метод теоретичної механіки.
2. Предмет і задачі кінематики.
3. Основні поняття кінематики та кінематичні
характеристики руху.
4. Способи задавання руху точки (природній,
координатний, векторний).
5. Швидкість точки.
1.1 Предмет і метод теоретичної механіки.
Розвиток сучасної техніки ставить перед інженерами певні задачі, які
пов’язані з розрахунками різних споруд (будівель, мостів, каналів, гребель,
тощо), з проектуванням, виробництвом і експлуатацією різних машин,
механізмів, двигунів і так далі. Не дивлячись на багатогранність цих проблем,
їх розв’язок певною частиною ґрунтується на деяких загальних принципах і
мають загальну наукову базу. Пояснити це можна тим, що в наведеному
переліку задач значне місце займають питання, які потребують вивчення
законів руху або рівноваги тих чи інших матеріальних тіл.
Наука про загальні закони руху та рівноваги матеріальних тіл і про
взаємодію між тілами, яка виникає внаслідок цього руху, називається
теоретичною (загальною) механікою. Теоретична механіка являє собою
одну з наукових остов сучасних технічних дисциплін.
Під рухом в механіці розуміють механічний рух. тобто зміну взаємного
розташування матеріальних точок в просторі, яке відбувається протягом
часу.
Механічною взаємодією між двома тілами називають такий вид
взаємодії, в результаті якого відбувається зміна руху цих тіл або зміна їх
форми (деформація).
Величина, яка є кількісною мірою механічної взаємодії тіл, називають
силою.
Основною задачею теоретичної механіки є вивчення загальних законів
руху і рівноваги матеріальних тіл під дією прикладених до них сил.
За характером задач, що розглядаються, механіку поділяють на
статику, кінематику і динаміку. В статиці викладається вчення про сили та
про умови рівноваги матеріальних точок під дією сил. В кінематиці
розглядають загальні геометричні властивості руху тіл. В динаміці вивчають
закони руху матеріальних тіл під дією сил.
За властивостями об’єкту, що вивчається, теоретичну механіку
поділяють на
♦ механіку матеріальної точки, тобто тіла, розмірами якого можна
знехтувати при вивчені його руху (або рівноваги), і механіку системи
матеріальних точок;
E-mail: g_malygin@ukr.net
2

4. ♦ механіку твердого тіла, тобто тіла, деформацією якого при вивчені
його руху (або рівноваги) можна знехтувати;
♦ механіку тіла змінної маси;
♦ механіку деформованого тіла (теорія пружності та пластичності);
♦ механіку рідини (гідродинаміку);
♦ механіку газу (аеромеханіка і газова динаміка).
В загальному курсі теоретичної механіки вивчається механіка
матеріальної точки і твердого тіла та загальні закони руху систем
матеріальних точок.
Теоретична механіка відноситься до природничих наук, тобто до наук
про природу. Роль і значення теоретичної механіки полягає в тому, що вона є
науковою базою багатьох галузей сучасної техніки, її закони і методи
дозволяють вивчати і пояснювати низку важливих явищ в оточуючому світі та
сприяють подальшому росту і розвитку природознавства в цілому, а також
виробленню правильного матеріалістичного світогляду.
1.2. Предмет і задачі кінематики
Кінематикою називають розділ теоретичної механіки, який вивчає рух
тіл лише з геометричної точки зору, не залежно від факторів, що
обумовлюють той чи інший характер цього руху.
Тобто в кінематиці вивчаються геометричні властивості руху тіл, без
урахування їх інертності (маси) і сил, що діють на ці тіла. Подібно до
геометрії, яка, вивчаючи просторові властивості тіл, не розглядає всі інші
матеріальні признаки (вага, міцність тощо), Кінематика розглядає рух тіл, як
процес безперервної зміни їх положення у просторі, і не розглядає питання
про зв’язок цього руху з матеріальною структурою цих тіл і сил, що на них
діють. Тіло, яке рухається, розглядається в кінематиці як деякий
геометричний образ.
Кінематика цілком ґрунтується на аксіомах і положеннях геометрії, але
на відміну від неї, крім простору, що проходить тіло, розглядає ще і час, за
який відбувається рух. Нагадаємо, що під рухом ми розуміємо зміну
положення тіла у просторі відносно інших тіл протягом деякого проміжку
часу.
Кінематика має важливе значення не лише для вивчення останнього
розділу теоретичної механіки - динаміки, але і для дослідження
геометричних властивостей руху частин різного роду механізмів. Прогрес
техніки, задачі конструювання складних механізмів і машин привели у першій
половині XIX століття до відокремлення кінематики в самостійний розділ
теоретичної механіки. Подальший розвиток кінематики також йде головним
чином по шляху її прикладання до конструювання і дослідження механізмів і
машин.
Основна задача кінематики полягає в тому, щоб, знаючи закон руху
даного тіла (точки), визначити всі кінематичні величини, що
© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2006 З

5. характеризують як рух тіла в цілому, так і рух кожної його точки окремо.
Для розв’язку даної задачі необхідно, щоб безпосередньо був заданий закон
руху даного тіла, або закон руху будь-якого іншого тіла, кінематично
пов’язаного з даним.
1.3. Основні поняття кінематики та кінематичні характеристики руху
Будь-який механічний рух матеріального тіла можна спостерігати і
вивчати лише по відношенню до деяких інших тіл. Якщо б у просторі
знаходилося лише одне дане тіло і не було б інших, то ми взагалі не мали б
можливості говорити про зміну його положення у просторі, а значить і про
його рух. Для визначення положення тіла (точки), що рухається, з тілом, по
відношенню до якого вивчають рух, жорстко зв’язують систему координат.
Система координат, яка зв’язана з тілом, відносно якого досліджують
рух, називають системою відліку.
Рух тіла здійснюється у просторі протягом часу. Простір у механіці ми
розглядаємо, як тривимірний евклідовий простір. Всі вимірювання у ньому
відбуваються за методами евклідової геометрії. Час у механіці вважається
універсальним, тобто таким, що протікає однаково у всіх системах відліку.
Евклідовий простір та універсальний час відображають реальні
властивості простору і часу лише наближено. Однак, для руху, що
розглядають у механіці, таке наближення дає достатню для практики
точність.
Час є скалярною величиною, яке безперервно змінюється. В задачах
кінематики час ґ приймають за незалежну змінну. Всі інші змінні величини
(відстань, швидкість і т.д.) розглядають як такі, що змінюються з часом, тобто
є функціями часу. Відлік часу ведеться з деякого початкового моменту
(ґ0= 0). Будь-який момент часу ґ визначається кількістю секунд, які пройшли
від початкового моменту до даного; різниця між будь-якими двома
послідовними моментами часу називають проміжком часу.
Протягом свого руху точка послідовно займає різні положення відносно
прийнятої системи відліку, до того ж ці положення слідують безперервно
одне за одним.
Лінія, яку описує точка під час свого руху в просторі, називається
траєкторією руху цієї точки.
Рух буде прямолінійний, якщо траєкторія є прямою лінією, і
криволінійний, якщо траєкторія - крива. В залежності від форми кривої рух
може бути: коловим рухом; еліптичним; гвинтовим і т.д.
Якщо точка за рівні, довільні, проміжки часу проходить шляхи
однакової довжини, то рух точки називають рівномірним, в іншому випадку
рух точки називають нерівномірним або змінним.
E-mail: g_malygin@ukr.net
4

6. А
Рух точки характеризується ознаками, що встановлюються кожною з
двох наведених класифікацій. Як прямолінійний рух, так і криволінійний може
одночасно бути або рівномірним, або нерівномірним.
Для розв’язку задач кінематики необхідно, щоб рух який вивчається був
деяким чином заданий (описаний).
Кінематично задати рух або закон руху тіла (точки) значить задати
положення цього тіла (точки) відносно даної системи відліку у будь-який
момент часу. Встановлення математичних способів завдання руху точки або
тіла є однією з важливіших задач кінематики. Тому вивчення руху будь-якого
об’єкту ми будемо починати з встановлення способів задавання цього руху.
1.4. Способи задавання руху точки (природній, координатний,
векторний)
Природній спосіб задавання руху. Природнім способом
задавання руху зручно користуватися якщо траєкторія руху точки відома
наперед. Нехай точка М рухається відносно системи
відліку Охуг вздовж деякої траєкторії АВ. Виберемо
на цій траєкторії будь-яку нерухому точку Оі, яку
будемо вважати за початок відліку. Розглядаючи
траєкторію, як криволінійну координатну вісь,
встановимо на ній додатній і від’ємний напрям, як на
звичайній координатній осі. Таким чином, положення
точки М буде однозначно визначатися криволінійною
координатою 5, яка дорівнюватиме відстані від точки
О-і до точки М, що вимірюється вздовж дуги
траєкторії, взятою з відповідним знаком. При русі точка М буде
переміщуватися в положення М2, ... , тобто відстань 5 протягом часу буде
змінюватися. Щоб знати положення точки М на траєкторії, у будь-який
момент часу треба знати залежність
я = /(*)■ (1.4.1)
Дане рівняння виражає закон руху точки М вздовж траєкторії.
Таким чином, щоб задати рух точки природнім способом, треба
визначити:
□ траєкторію точки;
□ початок відліку на траєкторії з зазначенням додатного і від’ємного
напрямків відліку;
□ закон руху точки вздовж траєкторії у вигляді
■*=/(<)■
Координатний спосіб задавання руху.
Природній спосіб задавання руху достатньо наочний.
Однак траєкторія точки наперед відома не завжди. Тому
на практиці частіше користуються іншим способом
задавання руху точки - координатним.
У
© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2006 5

7. Положення точки по відношенню до даної системи відліку Oxyz можна
визначити за її декартовими координатами х, у, z. При русі точки М всі три
координати будуть змінюватися протягом часу. Щоб знати закон руху точки,
тобто знати її положення у просторі в будь-який момент часу, треба знати
значення координат точки для кожного моменту часу, тобто знати залежності
x = fXt). У = Л ( ( ) ’ г = /з(0- (1-4.2)
Ці рівняння являють собою рівняння руху точки в декартових
прямокутних координатах. Вони визначають закон руху точки при
координатному способі задавання руху.
Якщо рух точки відбувається в одній площині, то достатньо двох рівнянь
x = У = h it) . (1.4.3)
Рівняння (1.4.2) і (1.4.3) є одночасно рівняннями траєкторії точки в
параметричній формі, де роль параметру відіграє час t. Виключивши з
рівнянь руху час t, можна знайти рівняння траєкторії у звичному вигляді.
Приклад. Рух точки заданий рівняннями
х = 2 t , y =2t2.
В момент часу t = 0 точка М матиме координати х = 0; у = 0. В момент часу t = 1 точка
М матиме координати х = 2; у = 12 і т.д.
Виключимо з рівнянь час t. Тоді
х
,= і ;
у = Зх2.
Таким чином, траєкторією точки є парабола з вершиною в початку координат.
Векторний спосіб задавання руху. Нехай точка М рухається по
відношенню до деякої системи відліку Oxyz. Положення
цієї точки у будь-який момент часу можна визначити,
задавши вектор г , проведений з початку координат О в
точку М. Вектор г називають радіус-вектором точки М.
Під час руху точки М вектор г буде змінюватися
протягом часу і за модулем, і за напрямом. Таким чином,
вектор г є змінним вектором (вектором-функцією), яка
залежить від аргументу t.
г = r(t).
Рівність (1.4.4) визначає закон криволінійного руху точки
формі. Вона дозволяє в будь-який момент часу побудувати
вектор г і знайти положення точки, що рухається. Будь-яка крива, яка є
геометричним місцем кінців змінного вектора, що виходить з однієї точки і
є функцією часу fit), називають годографом вектора. Траєкторія точки є
годографом її радіус-вектора.
Векторний спосіб задавання руху зручний для встановлення загальних
залежностей, оскільки дозволяє описати рух точки одним векторним
рівнянням (1.4.4) замість трьох скалярних (1.4.2).
Рис. 1.4.3
(1.4.4)
у векторній
відповідний
E-mail: g_malygin@ukr.net
6

8. Зв’язок між координатним і векторним способами задавання руху легко
встановити, якщо ввести одиничні вектори (орти) осей Тоді вектор г
можна розкласти по осях Ох, Оу, От.
г = х і+ у у + г к . (1.4.5)
1.5. Швидкість точки
Однією з основних кінематичних характеристик руху точки є векторна
величина, яка називається швидкістю точки. Введемо поняття про середню
швидкість точки. Нехай точка, що рухається, знаходиться в деякий момент
часу ґ в положенні М, яке визначається радіус-вектором
г, а в момент и переходить в положення яке
визначається вектором гх. Тоді переміщення точки за
проміжок часу = визначається вектором М М 1,
який буде вектором переміщення точки.
З трикутника ОММі видно, що г + М М Х= гх, тобто
М М Х= т - г - Аг .
Відношення вектору переміщення точки до відповідного проміжку часу
дає векторну величину, яка називається середньою за модулем і напрямом
швидкістю за проміжок часу Дґ:
^ ММ, Аг .. с
V = ------ 1= — . (1.5.1)
Аґ Аґ
Модуль середньої швидкості визначається формулою
М М Х с ол0 „ = — . (1.5.2)
Вектор иср напрямлений так само, як і вектор М М Х.
Очевидно, що чим менше буде проміжок часу = тим точніше
величина йср будехарактеризувати рух точки. Щоботриматихарактеристику
руху, якане залежить від вибору проміжку часу Дґ,вводять поняття про
швидкість точки у даний момент часу (миттєва швидкість).
Швидкістю точки у даний момент часу ґ називають векторну величину и ,
до якої прямує середня ШВИДКІСТЬ V , якщо проміжок часу Дґ прямує до нуля
и = іт(и )= І іт — . (1-5.3)
Дґ—»04 р ' Дґ—»0А/
Це є ні що інше як перша похідна від вектора г по аргументу ґ і
позначається
СІГ
и = — . (1.5.4)
СІІ
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 7

9. Вектор швидкості точки у даний момент часу дорівнює першій
похідній від радіус-вектора точки по часу.
Питання для самоконтролю
1. Що вивчає теоретична механіка?
2. Що називають механічним рухом?
3. Що називають механічною взаємодією?
4. Що називають силою?
5. Сформулюйте основну задачу теоретичної механіки.
6. Які розділи теоретичної механіки ви знаєте?
7. Що вивчає кінематика?
8. Сформулюйте основну задачу кінематики.
9. Що називають системою відліку?
10. Що називають траєкторією точки?
11. Який рух називають рівномірним? нерівномірним?
12. Що означає задати рух кінематично?
13. Які способи задавання руху вам відомі?
14. Що необхідно визначити, щоб задати рух точки природнім способом?
15. Запишіть рівняння руху точки в декартових прямокутних координатах.
16. Що називають годографом вектора?
17. Яким чином встановлюється зв’язок між координатним і векторним
способами задавання руху?
18. Що називають середньою швидкістю точки?
19. Що називають миттєвою швидкістю точки?
*•" Яка існує залежність між елементом дугової координати і елементом
шляху?
*•" Чи можна, знаючи закон руху точки по траєкторії, визначити
траєкторію?
*•" В якому випадку пред інтегралом для визначення дугової координати
необхідно вибирати знак „+”, а коли
Задачі для самостійного розв’язування
1°. Кривошип ОА рівномірно обертається навколо нерухомої осі О і
приводить у рух повзун В за допомогою шатуна АВ, який з’єднаний шарнірно
з кривошипом і повзуном. Кут (р повороту змінюється з часом за законом
(р = Ш . Визначити в прямокутних координатах рівняння руху середньої точки
М шатуна і знайти траєкторію цієї точки. Довжина кривошипа ОА= АВ = і.
2°. Кінці лінійки АВ рухаються по двом взаємно перпендикулярним прямим,
причому кут ОВА = <р змінюється пропорційно часу за формулою (р = сої.
Складіть рівняння руху точки М, яка знаходиться від кінців лінійки на
відстанях АМ = а і ВМ = Ь, і визначте її траєкторію.
E-mail: g_malygin@ukr.net
8

10. 3°. Для умови задачі 2 прийняти, що повзун В рухається зі швидкістю щ в
додатному напрямі осі Ох. Знайти швидкість v2 повзуна А.
1 2
4°. Точка рухається по колу згідно рівняння ^ = 50 + 6/н-----1 . Визначити: 1)
1^
середню швидкість точки за перші шість секунд і другі шість секунд; 2)
швидкість точки на кінці шостої та на кінці дванадцятої секунди.
5. По заданих у векторній формі рівняннях руху точки визначити рівняння її
траєкторії:
1) r = (lt + 2)i + (3 -4 t)j 5) f = 3 sin t3i +2 cos f j
2) f = t2I + (б - At1)£; 6) ? = ti + (21- t 2)j ;
ox - 0 7й ~ ( л _ . 7tt~ 7) r = cos 2/7 + sin t i .
3 )r = 3cos —1 + 1 + 3sm— /; ' J
3 I 3 /
4) f = 6cos 3ti + 3tk ;
6. По заданих рівняннях руху точки визначити її початкове положення і
траєкторію в площині хОу:
5)х = 2 cos 2 м ; у = 3sin М ;
6) х = 4 sin2ґ; y = 2cost]
.У= 2 - 3sin ґ ; 7 ) x = 3f, y = 6 t - 5 t 2.
у =e- 2 t ;
^ = 3 - ґ 3;
1) х = 2 sin — ;
6
2) х = 2cos?;
3) х = л/21 ;
4) х = 2ґ3+ 2;
модуль
7. Задано рівняння руху точки г = 3 ії +4(/. Визначити координату уточки в
момент часу, коли г = 5 м.
8. Задані рівняння руху точки х = Зґ, у = ґ . Визначити відстань точки від
початку координат в момент часу ґ = 2 с.
9. Дано рівняння руху точки х = $т7ії. Визначити швидкість в найближчий
після початку руху момент часу ґ коли координата х = 0,5 м.
10. РІВНЯННЯ руху ТОЧКИ Х = ґ2, у = 8ІП 7й , г = СОБ7ІЇ. ВИЗНЭЧИТИ
швидкості в момент часу ґ = 1с.
11. Точка рухається по колу радіусом Я проти
годинникової стрілки так, що дуга яку вона проходить
змінюється за законом 8= Ш. Знайти рівняння руху
точки по відношенню до системи хОу з початком в
центрі кола, якщо горизонтальна вісь Ох проходить
через початкове положення точки.
12. Куліса ОМ довжиною / приводиться в рух
кривошипом ОИ, який обертається за законом (р= Ш2.
Скласти рівняння руху кінця куліси М, якщо 0^0 = О^А.
© Bobo - Publishing. 2006 9

11. 13*. Два катери А і В йдуть взаємно перпендикулярними курсами із сталими
та однаковими швидкостями, які рівні 20 вузлів (1 вузол дорівнює
1 миля /1 годину). Визначити закон зміни відстані 5 між ними, якщо в
початковий момент катери були в положеннях А0 і В0, до того ж
ОА0= ОВ0= 3 милі.
14*. Загону рятувальників, який знаходиться в точці А, на скелястому березі
моря необхідно опинитися в точці В, що знаходиться на гірському схилі на
відстані 9 км від берега. На якій відстані від точки А необхідно вийти
рятівникам на берег з човна, який рухається зі швидкістю щ = 1,5 м/с, щоб в
V ■ V ■ ■
наикоротшіи час дістатися точки В, якщо середня швидкість руху по схилу
і>2 —1,2 м/с, а відстань по прямій АВ = 41 км?
15*. Загін рятувальників отримав завдання в найкоротший час дістатися з
пункту А, що знаходиться на березі, на острів В, який лежить на відстані
17,3 км від берега. В якій точці С загін повинен чекати катер, якщо швидкість
катера 36 км/год, а швидкість автомобіля, на якому загін рухався на ділянці
гч
Ш
в* А t І)
До зад. 14 До зад. 15
А>Г^ /
_ *ТЛ _
До зад. 16
АС, дорівнює 72 км/год?
16*. У V - подібному двигуні кут між осями циліндрів а - 90°. Колінчастий вал
обертається за законом q>- cot. Скласти рівняння руху пальців В і С, якщо
довжина кривошипу ОА = R, а довжина шатунів АВ = АС = L.
© Bobo - Publishing. 2006 9

12. 2. ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ
1. Поняття про прискорення.
2. Дотичне і нормальне прискорення.
3. Окремі випадки руху точки.
4. Визначення прискорення точки по рівняннях
її руху в прямокутних координатах
2.1. Поняття про прискорення
Рух точки з незмінною за модулем і напрямком швидкістю на практиці
явище достатньо рідкісне. В більшості випадків швидкість точки під час руху
змінюється. Ця зміна може відбуватися або тільки за модулем (нерівномірний
прямолінійний рух), або тільки за напрямком (рівномірний криволінійний рух),
або і за модулем і за напрямком (загальний випадок нерівномірного
криволінійного руху). Для розділу динаміки важливо знати залежність між
зміною руху тіла та причиною, що викликала таку зміну - силою. Для цього
необхідно дати певну характеристику такої зміни і встановити її міру.
Величина, яка характеризує швидкість зміни вектора швидкості як за
модулем так і за напрямком, називається прискоренням.
Нехай точка рухається по криволінійній траєкторії і в деякий момент часу
ґ знаходиться в положенні М і має швидкість й, в момент и приходить у
положення М-і і має швидкість ц . Тоді за проміжок часу = вектор
швидкості точки отримає приріст А й = йг- й . Щоб побудувати вектор А й
відкладемо від точки М вектор, який дорівнює
ц , і побудуємо паралелограм, у якому
діагоналлю буде вектор ц , а однією з сторін
вектор й. Тоді очевидно, що інша сторона буде
вектором А й . Зазначимо, що вектор Ай завжди
Рис.2.і.і 1 ^ напрямлений в бік ввігнутості траєкторії.
Вектор А й повністю визначає зміну швидкості точки, яка відбулася за
час А/, і за модулем і за напрямком, тому відношення приросту вектора
швидкості Ай до відповідного проміжку часу А/ визначає вектор
середнього прискорення точки за цей проміжок часу.
^=І7 ' (2'11)
Вектор середнього прискорення має той самий напрям, що і вектор
приросту швидкості А й , тобто напрямлений в бік ввігнутості траєкторії.
Прискоренням точки у даний момент часу ґ називається векторна
величина бо якої прямує середнє прискорення м?ср, якщо проміжок часу
Аі прямує до нуля:
E-mail: g_malygin@ukr.net
10

13. А V сій с12г
(2.1.2)
Аг Ж йг2 '
Таким чином, вектор прискорення точки у даний момент часу дорівнює
першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіус-
вектора по часу.
При прямолінійному русі вектор прискорення # має напрям вздовж
прямої, по якій рухається точка. Якщо траєкторія точки плоска крива, то
вектор прискорення #, так само як і вектор # , лежить в площині цієї кривої
і напрямлений в бік її ввігнутості.
2.2, Дотичне і нормальне прискорення
Якщо рух точки заданий природнім способом, то прискорення # точки
зазвичай розкладають на складові, які направлені по дотичній і нормалі до
траєкторії точки. Таке розкладання зручне і тому, що дані складові відіграють
різну роль в зміні руху точки. Дані осі називаються осями природного
тригранника (або швидкісними осями) і напрямлені таким чином: Мт -
вздовж дотичної до траєкторії в бік додатного відліку відстані 5; Мп - по
нормалі, яка лежить у площині траєкторії і напрямлена в бік ввігнутості
траєкторії; МЬ - перпендикулярно до перших двох так, щоб утворювати з
ними праву трійку. Вісь Мп називається головною нормаллю; вісь МЬ -
бінормаллю.
Розглянемо випадок, коли точка
рухається по дузі кола. В момент часу ґ
точка була у положенні М, в момент часу
г+ Аг - у положенні М-і. Швидкості, що
відповідають цим положенням відповідно
V І Ц . Перенесемо вектор Ц З ТОЧКИ М-І в
точку М. З’єднаємо кінці векторів швидкості
(точки А і В) і доповнимо отриманий
трикутник МАВ до паралелограма МАВС.
Вектор МС є геометричним
приростом А и вектора швидкості точки за
проміжок часу А/. Відкладемо по дотичній до траєкторії в точці М відрізок
МО = МВ =иь Тоді чисельне значення вектора А Б буде
ЛИ = М Б -М Л = ц - V = А и , тобто дорівнюватиме приросту чисельного
значення швидкості и точки за проміжок часу Дґ. Розкладемо вектор
А и = ЛВ на дві складові вектора: А^й = Л Б і А2и = И В , перший з яких
відомий за модулем і напрямком. Величину і напрям другого знайдемо, якщо
з’єднаємо вектором точки О і В. З векторного трикутника АОВ випливає, що
Ай = А1й + А2й .
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 11

14. Прискорення точки в момент ґбуде
^ Ай А,й + А2й Аій А2й /о о ^
її’ = І1ГП------ = 1і т — ---------- — = п т — ^— ь І і т ^ — (2 .2 .1 )
Аґ^-0 Д/ Аґ^-0 Д/ Аґ^-0 Д/ Аґ^-0 Д/
Перший доданок #. = не залежить від величини проміжку часу
АГ^0 Д/
Дґ. Він направлений завжди так, як і вектор А ^ , по дотичній до траєкторії
руху точки у відповідному її положенні. Дана складова носить назву
дотичного прискорення (тангенціального). Чисельне значення цього вектору
Аги _сІи _ сі2з
Аг^° Аі сії сії
w = lim —— = ——= — гг. (2.2.2)L vn Aj. J j.
Чисельне значення дотичного прискорення точки дорівнює похідній по
часу від чисельної величини швидкості.
Якщо модуль швидкості протягом часу зростає (точка рухається
прискорено), то похідна додатна, тоді тангенціальне прискорення
направлене по дотичній в бік руху точки. Якщо модуль швидкості протягом
часу зменшується (точка рухається уповільнено), то похідна від’ємна і
тангенціальне прискорення напрямлено по дотичній проти напрямку
швидкості точки.
- ,• А
Розглянемо другу складову м? = 1 ш і^ —. Напрям даного вектора
АГ^0 Д/
. А 0й
співпадає з граничним положенням вектора , а значить з граничним
А/
положенням вектора А2и . Відповідні математичні перетворення дають
чисельне значення для цього доданку
и 2
^ . (2 .2 .3 )
Р
Дана складова носить назву нормального (доцентрового) прискорення.
Таким чином проекція прискорення точки на дотичну дорівнює першій
похідній від чисельної величини швидкості або другій похідній від відстані
(криволінійної координати) з по часу, а проекція прискорення на головну
нормаль дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни
траєкторії в даній точці кривої, проекція прискорення на бінормаль
дорівнює нулю (м?ь =0). Ці результати виражають одну з важливих теорем
кінематики.
E-mail: g_malygin@ukr.net
12

15. 2.3. Окремі випадки руху точки
Прямолінійний рух. Якщо траєкторія точки є пряма лінія, то р = оо.
V і .
Тоді w = — = 0 і повне прискорення точки дорівнює лише дотичному
Р
прискоренню:
du
w = wT= — . (2.3.1)
dt
Оскільки в даному випадку швидкість змінюється лише чисельно, то
можна зробити висновок, що дотичне прискорення характеризує зміну
модуля швидкості.
Рівномірний прямолінійний рух. Рівномірним називають такий
криволінійний рух точки, в якому чисельне значення швидкості (модуль) весь
т ■ d v . .
час залишається сталим: v = const. Тоді wT= — = 0 і повне прискорення
dt
точки дорівнює лише нормальному прискоренню:
Vі
w = w«= — ■ (2.3.2)
Р
Вектор прискорення w направлений весь час по нормалі до траєкторії
точки.
Оскільки в даному випадку прискорення з’являється лише за рахунок
зміни напрямку швидкості, то можна зробити висновок, що нормальне
прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком.
ds
Запишемо закон рівномірного криволінійного руху. З формули и = —
dt
маємо d s -v d t. Нехай у початковий момент часу точка знаходиться від
початку відліку на відстані s0. Тоді, взявши від лівої і правої частини рівняння
інтеграл у відповідних межах отримаємо:
5 t
jds = ju d t або s - s 0 = u t, (2.3.3)
s0 0
оскільки v = const. Остаточно запишемо закон рівномірного криволінійного
руху точки у вигляді
s = s0+ ut. (2.3.4)
Рівномірний прямолінійний рух. Для такого випадку wn = wT= 0,
а значить іw = 0. Єдиним рухом, в якому прискорення точки весь час
дорівнює нулю, є рівномірний прямолінійний рух.
© Bobo - Publishing. 2006 13

16. Рівнозмінний криволінійний рух. Рівнозмінним називається
такий криволінійний рух точки при якому дотичне прискорення точки
залишається весь час сталою величиною: wT- const. Запишемо закон цього
руху, якщо при t = 0 s = s0, а о = и0, де l>0 - початкова швидкість точки.
Згідно формули (2.3.1) dv = wTdt.
Взявши від лівої і правої частини рівняння інтеграл у відповідних межах
отримаємо
u = u0+ w Tt. (2.3.5)
Формулу (2.3.5) можна представити у вигляді
ds
— = и0+ wTt
dt г
або ds = undt + w td t
у
Ще раз взявши інтеграл, знайдемо закон рівно змінного криволінійного
руху точки у вигляді
t2
s = s0+ v 0t + wT— .
Швидкість цього руху визначається рівнянням (2.3.5).
Якщо при криволінійному русі точки модуль швидкості зростає, то рух
називається прискореним, а якщо спадає - уповільненим.
2.4. Визначення прискорення точки по рівняннях її руху в
прямокутних координатах
Нехай точка здійснює плоский рух згідно рівнянням
* = /і(0> У = І г і ї -
Візьмемо положення М І M-І точки, що
рухається в моменти часу t і t + At. Швидкості точок
в цих положеннях, позначимо відповідно й і ц .
Проекції цих векторів на вісь Ох позначимо через
°х ' °х- Перенесемо початок вектора ц в точку М і
побудуємо вектор А й геометричного приросту
швидкості точки Мза час A t:
A v = vx- v . (2.4.1)
Але проекція геометричної суми векторів на
будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових векторів на ту
саму вісь:
(ДО), = Ч , - ° , - (2.4.2)
Таким чином, проекція на вісь Ох вектора А й геометричного приросту
швидкості точки дорівнює приросту А их проекції швидкості точки на цю вісь.
Проекція их швидкості точки на вісь х (тобто швидкість проекції даної точки
E-mail: g_malygin@ukr.net 4
Рис.2.4.1

17. на цю вісь) є функція від часу ґ; А их є приріст даної функції, яке відповідає
Ап
приросту At аргументу ґ, і lim похідна даної функції. Тоді
Аґ->0 Д/
ії2X
Ж ,= — -*- = — г . (2.4.3)
(к Ж
За аналогічними міркуваннями, знайдемо проекцію прискорення точки на
вісь Оу:
W,
dvy _ d 2у
(2.4.4)
у Ж (її2
Проекція прискорення точки на нерухомі вісі координат дорівнюють
першим похідним по часу від проекцій швидкості точки на відповідні
координатні осі або другі похідні від відповідних координат точки.
За проекціями прискорення на координатні осі знаходять модуль
прискорення та його напрямок. Модуль прискорення точки
w
Ч
2 . 2
Wx + W y =
f J2 У
a x
d r
+
f J2 У
d У
d fV
(2.4.5)
Напрям вектора прискорення визначається з формул
cos
ж
(2.4.6)
X у
Якщо точка здійснює рух у просторі, то додавши третє рівняння точки
= /з(0> можна знайти аналогічним чином проекцію прискорення точки
на третю координатну вісь, а потім і модуль вектора прискорення точки і його
напрям у просторі.
Питання для самоконтролю
1. Як може змі швидкість точки, і який рух буде описувати така зміна?
2. Що називають прискоренням?
3. Що називають середнім прискоренням?
4. Що називають миттєвим прискоренням?
5. Що являє собою природній тригранник?
6. Як визначити чисельне значення дотичногоприскорення?
7. Що характеризує дотичне прискорення?
8. Як визначити чисельне значення нормального прискорення?
9. Що характеризує нормальне прискорення?
10. Дайте характеристику прямолінійному, рівномірному криволінійному,
рівномірному прямолінійному, рівнозмінному криволінійному рухам.
11. Як визначити прискорення точки по рівняннях її руху в прямокутній
системі координат?
12. Як визначити напрям вектора прискорення?
© Bobo - Publishing. 2006 'J 5

18. При якому русі точки дорівнює нулю дотичне прискорення, а при
якому - нормальне прискорення?
Як класифікувати рух точки по прискоренню?
В які моменти часу нормальне прискорення в криволінійному русі
може обернутися на нуль?
В які моменти часу дотичне прискорення в нерівномірному русі може
обернутися на нуль?
Задачі для самостійного розв’язування
1°. Написати рівняння руху в прямокутних координатах
і визначити швидкість і прискорення кінця М
кривошипа ОМ, який обертається навколо нерухомого
центру О. Довжина кривошипа ОМ = г. Кут повороту
кривошипа відносно горизонтальної осі змінюється за
законом ер= cot.
2°. Точку, яку кинули з горизонтальною швидкістю и0,
рухається за законом, що описуються рівняннями:
у,
^ >
/
/ X 4
І °< Л у _J-------------— і------^
*
X= <v.
Знайти: 1) рівняння траєкторії точки і побудувати її; 2) модуль швидкості; 3)
модуль прискорення; 4) модулі дотичного та нормального прискорень; 5)
радіус кривизни траєкторії.
3. Для рівнянь руху з умов задачі 5 параграфу 1 знайти швидкість та
прискорення точки. Побудувати годограф швидкості.
4. Для рівнянь руху з умов задачі 6 параграфу 1 знайти швидкість,
прискорення, а також тангенціальне та нормальне прискорення точки.
E-mail: g_malygin@ukr.net
16

19. З СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ
1. Абсолютний, відносний і переносний рухи точки.
2. Теорема про додавання швидкостей.
3. Розкладання швидкості точки на складові.
4. Додавання прискорень. Теорема Коріоліса.
3.1. Абсолютний, відносний і переносний рухи точки
Ми вже згадували, що будь-який рух тіла або точки є відносним, тобто
його можна розглядати та вивчати лише по відношенню до інших фізичних
тіл і пов’язаних з ними системами відліку.
Поки що ми вивчали рух точки або тіла по відношенню до однієї заданої
“нерухомої” системи відліку. Однак у ряді випадків для розв’язку задач
механіки виявляється доцільним (а іноді і необхідним) розглядати рух точки
(або тіла) одночасно по відношенню до двох систем відліку, одну з яких
вважають умовно нерухомою, а інша деяким чином рухається відносно
першої. Рух, який здійснює при цьому точка називається складеним або
складним.
Нехай куля котиться по палубі пароплава, що рухається. По відношенню
до берега такий рух буде складний: кочення по відношенню до палуби
(рухома система відліку) і рухом разом з палубою по відношенню до берега
(нерухома система відліку). Таким чином складний рух кулі розкладається на
два більш простих і таких, що легше досліджуються.
Розглянемо складний рух точки М (рис. 3.1.1), яка переміщується по
відношенню до рухомої системи відліку Охуг, що у свою чергу деяким чином
рухається відносно іншої системи відліку О-іх-і/іг-і, яку умовно вважають
нерухомою.
Введемо такі визначення:
□ рух точки по відношенню до рухомої
системи відліку називається відносним рухом.
Траєкторія АВ, яку описує точка при відносному
русі, називається відносною траєкторією.
Швидкість руху точки М по відношенню до осей
Охуг називається відносною швидкістю
(позначається ивд), а прискорення в цьому русі -
Рис 3 11
відносним прискоренням (позначається м?вд);
□ рух, який здійснює рухома система відліку Охуг і всі незмінно
пов’язані з нею точки простору, по відношенню до нерухомої системи
О^хфг^, називається переносним рухом. Щоб визначити переносний рух
деякої точки в даний момент часу, треба уявно припинити відносний рух
даної точки і визначити в цей момент її рух по відношенню до нерухомої
системи відліку як точки, що незмінно пов’язана з рухомою системою.
Швидкість тієї незмінно пов’язаної з рухомими осями Охуг точки т, з якою у
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 17

20. даний момент співпадає рухома точка М, називається переносною
швидкістю точки М в даний момент (позначається й ), а прискорення цієї
точки - переносним прискоренням точки М (позначається # ). Таким чином,
0 = 0 , # = # ,пр т 1 пр т '
де т - нерухома по відношенню до осей Охуг точка, з якою у даний момент
співпадає точка М, що рухається;
□ рух, який здійснює точка по відношенню до нерухомої системи
відліку називають абсолютним або складним. Траєкторія СО цього
руху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною
швидкістю (позначається 0а) і прискорення - абсолютним прискоренням
(позначається # а).
У наведеному вище прикладі рух кулі відносно палуби пароплава буде
відносним, а швидкість цього руху - відносною швидкістю кулі; рух пароплава
по відношенню до берега буде для кулі переносним рухом, а швидкість тієї
точки палуби, якої у даний момент торкається куля, буде в цей момент його
переносною швидкістю; швидкість кулі по відношенню до берега буде її
абсолютним рухом, а швидкість цього руху - абсолютною швидкістю кулі.
Для розв’язку відповідних задач кінематики необхідно встановити
залежність між відносним, переносними і абсолютними швидкостями та
прискореннями точки.
3.2. Додавання швидкостей. Теорема про додавання швидкостей
Розглянемо складний рух точки М (рис. 3.2.1) Нехай ця точка рухається
відносно деякої рухомої системи відліку Б і разом с цією системою
переміщується відносно нерухомої системи відліку Охуг. Нехай за деякий
проміжок часу Л/ = ^ - / 2 рухома система відліку Б переміщується з
положення / в положення II.
Якщо б точка М не мала відносного
руху, то вона перемістилася б при цьому
відносно нерухомої системи відліку Охуг по
дузі ММ-і деякої траєкторії з положення М в
положення М-і, займаючи відносно рухомої
системи Б незмінне положення.
о У
Вектор М М Х називають вектором Рис. 3.2 . 1
переносного переміщення точки М за даний проміжок часу А/. Внаслідок
відносного руху точки М вона переміщується за даний проміжок часу
відносно рухомої системи Б по дузі М^М' траєкторії її відносного руху і займе
деяке положення М'.
Вектор М ХМ ’ називають вектором відносного переміщення точки М за
даний проміжок часу.
E-mail: g_malygin@ukr.net
18

21. Насправді ж обидва рухи (переносний і відносний) відбуваються
одночасно. Точка М проходить за даний проміжок часу з положення М в
положення М ' і переміщується відносно системи відліку Охуі по деякій дузі
ММ' траєкторії її абсолютного руху. Таким чином вектор М М ' буде
вектором абсолютного переміщення точки. З трикутника ММ^М'маємо:
М М ' = ММ + М ХМ '. (3.2.1)
Розділивши обидві частини цієї рівності на А/ і перейшовши до границі
отримаємо:
Лг^-0 Д^
Але за визначеннями
М М ' ММ, м ж
І1Ш-------= І1Ш-------І1ГП— -—
Лг^-0 Д/ Аг^-0 Д/
(3.2.2)
Ііш
Лг->0
М М '
Аі
Тоді
ІЛ
М М .
Ііш ------ к
Лг^-0 Д/
У + ^ Апер від
V.пер
М ,М '
Ііш — ^—
Аг^-0 Д^ ей '
(3.2.3)
Таким чином ми довели теорему про додавання швидкостей: при
складному русі абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі
відносної і переносної швидкостей.
Оскільки при геометричному додаванні двох швидкостей
точки її результуюча швидкість зображується за модулем і
напрямком діагоналлю паралелограма (рис. 3.2.2),
побудованому на складових швидкостях як на сторонах, то
дану теорему часто називають правилом паралелограма. А
побудовану ф ігу Р У паралелограмом швидкостей.
від 1ипер дорівнює а, то модульЯкщо кут між векторами и
абсолютної швидкості обчислюється за теоремою косинусів:
Ч
іи2.А+и2 +2и Аи соб авід пер від пер
(3.2.4)
3.3. Розкладання швидкості точки на складові
Дуже часто необхідно за відомою абсолютною швидкістю точки
визначати її складові, тобто розкладати абсолютну швидкість. Задача
додавання швидкостей аналогічна задачі додавання двох сил, прикладених
до однієї точки. Так само і задача розкладання абсолютної швидкості точки
на переносну і відносну швидкості аналогічна задачі розкладання сили на дві
збіжні складові. Розв’язок цих задач буде правильним в тому випадку, коли
абсолютна швидкість є діагоналлю паралелограма побудованого на векторах
переносної та відносної швидкостей точки. Оскільки за даною діагоналлю
можна побудувати безліч паралелограмів, то подібно задачі розкладання
сили, задача розкладання швидкості точки в загальному випадку є
невизначеною. Для визначеного розв’язку цієї задачі необхідно задавання
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 19

22. додаткових умов (або напрямку складових швидкостей, або модуля і
напрямку однієї з них і т.д.).
3.4. Додавання прискорень. Теорема Коріоліса
Знайдемо залежність між абсолютним, відносним
прискореннями точки. Для цього скористаємося рівністю
отримаємо
і переносним
(3.2.3). З нього
d v. doM do,
= + ■
пер
& (її (її
Обчислимо похідні, що стоять праворуч.
Нехай положення точки М (рис. 3.4.1), що
рухається у рухомих осях Охуг визначається її
координатами х, у, г. Тоді проекції векторів йвід
і # ей на вісі системи Охуг при будь-якому
переносному русі визначається формулами
(3.4.1)
~ ^ м
т,
О.
У
іївід = х і + ї ї + ік ,
™від= х і + у ] + ї к .
Де і ^ , к - одиничні вектори (орти).
о х
-*-Уі
(3.4.2) Хі
Рис. 3.4.1
Подальший розрахунок залежить від характеру переносного руху.
Розглянемо кілька випадків.
Додавання прискорень при пос тупальному переносному
русі. Якщо рухома система відліку Охуг переміщується по відношенню до
нерухомої ОіХ1у1г1 поступально, то вочевидь, що при будь-якому положенні
точки М буде
(3.4.3)К еР = -
де о0 і w0 - швидкість і прискорення початку О.
При поступальному русі осей Охуг їх орти, переміщуються паралельно
самим собі, але залишаються сталими. Тоді з рівностей (3.4.2) і (3.4.3)
отримаємо
dvвід
= хі + yj + їк - #
dvnep dv,о
d t вгд' d t
Тоді рівняння (3.4.1) можна записати
™а=™вгд+™пер- (3-4.4)
Отже, при поступальному переносному русі абсолютне прискорення
точки дорівнює геометричній сумі відносного та переносного прискорень.
Додавання прискорень при не поступальному
переносному русі. Теорема Коріоліса. Припустимо, що
переносний рух є обертальним з кутовою швидкістю о) (рис. 3.4.2). При цьому
вісь 0 0 може бути або нерухомою або миттєвою віссю обертання. В обох
dt
= wn = w .О пер
z
E-mail: g_malygin@ukr.net
20

23. випадках орти вже не будуть сталими, оскільки
обертаючись з осями системи Охуг, вони змінюють
свої напрямки, що не враховувалось при обчисленні
Тому з рівності (3.4.2) для будь-якоговід '
переносного руху отримаємо:
сійвід
СІІ =(.
..,-Л . сіі . ф . сік
хг + у/ + г к )+ х -----ьу ---- ьz—
1 1 (к сії сії
де через позначена друга дужка в правій частині
рівняння. І остаточно будемо мати
Рис. 3.4.2
сійвід
сіі
= К ,д + ^1
В даному рівнянні величина # ей враховує зміну вектора йвід лише при
відносному русі точки М, а додаткова складова щ враховує ту зміну
вектора ивід, яка відбувається при його повороті разом з тригранником
Охуг навколо осі ОД тобто в переносному русі.
Аналогічно можна знайти, що
сійпер
сіі
= ™пер+™2
В даному рівнянні величина м?пер враховує зміну вектора ипею лише припер
переносному русі, оскільки вона обчислюється як прискорення точки, що
незмінно пов’язана з осями О-Хфг^. Доданок # 2 враховує ту зміну
швидкості дпер, яка відбувається при відносному русі точки М.
Остаточно отримаємо
де
■А+М> + ж + ж ,від пер 1 2’
УГ = ж + ж ,.кор 1 2
(3.4.5)
(3.4.6)
Величина м?кор, яка характеризує зміну вектора відносної швидкості
йвід в переносному русі і вектора переносної швидкості ипер у відносному
русі, називається поворотним або коріолісовим прискоренням точки.
Формула = # еід + м?пер+ м?кор виражає теорему Коріоліса:
абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі трьох
прискорень: відносного, що характеризує зміну відносної швидкості точки у
відносному русі, переносного, що характеризує зміну переносної швидкості
точки в переносному русі, і коріолісова, що характеризує зміну відносної
швидкості точки в переносному русі і переносної швидкості точки у
відносному русі.
Модуль поворотного прискорення (прискорення Коріоліса) визначається як
модуль векторного добутку
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 21

24. = 2[® •йві0] м;с = 2 О)- иві0 •8Іп(<9, ивю) . (3.4.7)
Напрям поворотного прискорення визначається за правилом векторного
добутку.
Питання для самоконтролю
1. Дайте визначення відносного, переносного й абсолютного рухів.
2. Дайте визначення відносної, переносної й абсолютної швидкостей.
3. Дайте визначення відносного, переносного й абсолютного прискорень.
4. Сформулюйте теорему про додавання швидкостей.
5. Запишіть формулу для обчислення модуля абсолютної швидкості.
6. Як розкласти швидкість на складові? Які умови необхідно задати при
цьому?
7. Як визначити абсолютне прискорення точки при поступальному
переносному русі?
8. Як визначити абсолютне прискорення точки при пе поступальному
переносному русі?
9. Який рух характеризує переносне прискорення?
10. Який рух характеризує відносне прискорення?
11. Сформулюйте теорему Коріоліса.
** Які причини появи прискорення Коріоліса (поворотного прискорення)?
** Які модуль і напрям прискорення Коріоліса (поворотного
прискорення)?
** За яких умов поворотне прискорення дорівнюватиме нулю?
Задачі для самостійного розв’язування
1°. Клин, який рухається горизонтально з прискоренням
илі, переміщує вздовж вертикальної направляючої
стержень АВ. Визначити прискорення стержня, якщо кут
клину дорівнює а.
2°. Куліса ОА обертається із сталою швидкістю со
навколо осі О. По прорізу куліси ковзає повзун В із
сталою відносною швидкістю и. Визначити абсолютне
прискорення повзуна в залежності від його відстані х
до осі О.
3. Візок котиться прямолінійно за законом ъ= И.
Відносний рух точки М по візку заданий рівняннями
хм =3і
До зад. 2
та ум =Аі. Визначити абсолютну швидкість
точки М в момент часу ґ = 1 с.
4. Визначити абсолютну швидкість точки М в момент часу ґ = 1 с, якщо її рух
по квадратній пластині заданий рівнянням ВМ = 0.Ь2. Кривошипи
АВ = СО = 0,5 м обертаються за законом ер= 0.25м.
E-mail: g_malygin@ukr.net
2 2

25. 5. Кривошип ОА = 0,2 м обертається навколо осі О з кутовою швидкістю
со-2 рад/с і приводить в рух кулісу 1, яка рухається поступально. Знайти
швидкість куліси при куті а - 30°.
6. По грані призми, що рухається зі швидкістю ие, ковзає кінець стержня АВ.
За якого кута а абсолютна швидкість точки А буде дорівнювати швидкості
призми ие1
в_
7. Конус обертається навколо осі О і з кутовою швидкістю со= 3 рад/с. По
його твірній із сталою швидкістю иг= 4 м/с рухається точка М в напрямку від
А до В. Визначити модуль абсолютної швидкості цієї точки в момент коли
відстань АМ = 2 м, якщо кут а - 30°.
8. Диск обертається навколо осі Ог за законом ср= 4§т^. По його ободу
рухається точка М згідно рівнянню АМ = 0 . 6 6 8 і п 6 ґ + 4 . Визначити абсолютну
швидкість точки М в момент часу ґ = 0,35 с, якщо радіус [?= ' м.
9. Пластинка ДВСО обертається навколо осі Ог з кутовою швидкістю со= 4ґ.
По стороні ВС в напрямку від В до С рухається точка М із сталою швидкістю
9 м/с. Визначити модуль абсолютної швидкості точки М в момент часу ґ = 3 с,
якщо довжина АВ = 1 м.
До зад. 8 До зад. 9 До зад. 10
10. Візок рухається по похилій площині з прискоренням уїє= 2 м/с2. По візку в
площині креслення рухається точка М згідно рівнянням хг=3ґ і у1= 4(2.
Визначити абсолютне прискорення точки.
11. Візок рухається по горизонтальній осі. В даний момент часу прискоренняо
візка ]А/пер= 2 м/с . По візку рухається точка М згідно рівнянням х1= о.зг2 і
>>! =о.5г. Визначити абсолютне прискорення точки М.
До зад 6
© ВоЬо - РиЬИэЫпд. 2006 23

26. 12. Точка М рухається від початку координат зі швидкістю и = 2 м/с по
стержню, що утворює кут 30° з вертикальною віссю обертання Ог. Кутова
У
с ш
швидкість со-4 рад/с. Визначити проекцію на вісь Ох коріолісова
прискорення точки М, коли стержень знаходиться у площині Оуг.
13. Трубка обертається навколо осі ООі з кутовою швидкістю
(о- 1,5 рад/с. Кулька М рухається вздовж трубки за законом
М0М = 4ґ. Знайти модуль прискорення Коріоліса кульки.
14*. В кривошипно-кулісному механізмі з кулісою, що
рухається поступально кривошип ОА довжиною г
обертається із сталою кутовою швидкістю а>0 і
приводить до руху кулісу ВВ, проріз якої утворює з
напрямком її переміщення сталий кут а =60°.
Визначити швидкість куліси та швидкість ковзання
повзуна А в прорізі куліси, якщо у початковий момент
часу кривошип займав ліве горизонтальне положення.
15*. Кільце радіусом Я = 1 д м обертається у
вертикальній площині навколо нерухомої осі О проти
годинникової стрілки за законом <р= лі ( ї- в секундах; <р- в
радіанах), де <р - кут між діаметром кільця ОА та
горизонтальною прямою (див. Рис.). По ободу кільця з точки
О рухається точка М за годинниковою стрілкою за
рівнянням 8 = лі (ґ —в секундах; 5 - в дециметрах).
Визначити абсолютне прискорення точки в моменти часу
и = 0.5 с і і2= 1 с.
ЯК
М0
С
S3
о
м
со
Оі
rs
До зад. 13
До зад. 14
E-mail: g_malygin@ukr.net
24

27. 4 ПРОСТІ ВИДИ РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА
1. Поступальний рух тіла.
2. Обертальний рух тіла.
3. Траєкторії швидкості та прискорення
точок твердого тіла, що обертається.
4. Окремі випадки обертального руху тіла.
В кінематиці, як і в статиці, ми будемо розглядати всі тверді тіла як
абсолютно тверді, тобто вважаємо, що відстань між будь-якими двома
точками тіла залишається сталим протягом всього руху.
Задачі кінематики твердого тіла розпадаються на дві частини:
□ задавання руху та вивчення кінематичних характеристик руху
всього тіла як єдиного;
□ вивчення руху кожної з точок тіла окремо.
4.1 Поступальний рух тіла
Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка
пряма, що проведена в цьому тілі, переміщується паралельно сама собі.
Поступальний рух не слід підміняти прямолінійним. При поступальному
русі тіла траєкторії його точок можуть бути будь-якими кривими лініями.
Властивості поступального руху визначаються наступною теоремою: при
поступальному русі всі точки тіла описують однакові (такі, що
співпадають при накладанні) траєкторії і мають в кожний момент часу
однакові за модулем і напрямком швидкості та прискорення.
Розглянемо тверде тіло, яке здійснює поступальний рух відносно
системи відліку Охуг. Візьмемо в тілі дві довільні точки А і В, положення яких
в момент часу ґ визначається радіус-векторами гЛ і гв . Проведемо вектор
А В , який з’єднує ці точки. Отримаємо:
гв = га +А В (4,1.1)
До того ж довжина АВ стала, а напрям АВ
залишається незмінним, оскільки тіло рухається
поступально. Таким чином, вектор АВ протягом
всього руху залишається сталим. Внаслідок цього
траєкторію точки В отримують з траєкторії точки
А паралельним переміщенням всіх її точок на
сталий вектор А В . Таким чином траєкторії точок
А І В будуть ДІЙСНО однакові криві. Рис. 4.1.1
Щоб знайти швидкості необхідно взяти
диференціал від обох частин рівності (4.1.1) по часу. Отримаємо:
© ВоЬо - РиЬІІзИіпд. 2006 25

28. dfB _ dfA dAB
dt dt dt
Але похідна від сталого вектора АВ дорівнює нулю. Похідні від векторів
г4 і гв по часу дають швидкості точок А і В. Таким чином
тобто швидкості точок Л і в у будь-який момент часу однакові і за модулем і
за напрямком. Ще одна похідна по часу дасть нам
d u d duR _ _ _
— —= — - або w 4 = w R,
dt dt
тобто прискорення точок Л і в у будь-який момент часу однакові і за модулем
і за напрямком. Оскільки точки були вибрані довільно, то висновки можна
поширити на всі точки тіла. Теорема доведена.
З доведеної теореми випливає, що поступальний рух твердого тіла
повністю визначається рухом однієї його точки. Таким чином, задача
вивчення поступального руху тіла зводиться до розглянутої раніше задачі
кінематики точки.
Швидкість і прискорення, загальні для точок тіла, що рухається
поступально, називаються швидкістю і прискоренням цього тіла.
4.2 Обертальний рух тіла
Обертальним рухом називається такий рух твердого тіла, при якому
будь-які дві його точки (чи незмінно з ним пов’язані), залишаються
нерухомими протягом всього руху. Пряма, що проходить через ці точки
називається віссю обертання.
При обертальному русі тіла різні його точки рухаються по різному. Однак
і для обертального руху можна знайти такі кінематичні характеристики, які
були б загальними для всіх точок тіла
Нехай будь-яке тверде тіло обертається навколо
нерухомої осі z. Проведемо через вісь обертання z
нерухому площину Р і площину Q, яка незмінно пов’язана з
тілом, що обертається.
Кут ф між нерухомою площиною, яка проходить через
вісь обертання, і площиною, яка незмінно пов’язана з тілом,
що обертається і також проходить через вісь обертання,
називається кутом повороту або кутовим переміщенням
даного тіла.
Кут ер будемо вважати додатнім, якщо він відкладається від нерухомої
площини проти годинникової стрілки. Вимірюється кут ^завжди у радіанах.
При обертанні тіла навколо осі z кут повороту змінюється протягом часу,
значить він є функцією часу
<p= f( t) . (4.2.1)
E-mail: g_malygin@ukr.net 2 6

29. Рівняння (4.2.1), яке встановлює залежність між кутом повороту тіла і
часом його руху, називається рівнянням (законом) обертального руху тіла.
Основними кінематичними характеристиками обертального руху
твердого тіла є його кутова швидкість соі кутове прискорення є.
Якщо за проміжок часу Дґ тіло здійснює поворот на кут А<р, то відношення
приросту Аср кута повороту тіла за деякий проміжок часу Дґ до величини
цього проміжку називається середньою кутовою швидкістю тіла за цей
проміжок часу:
< О с = -^- (4.2.2)
Кутовою швидкістю тіла в даний проміжок часу називається границя,
до якої прямує середня кутова швидкість, якщо даний проміжок часу прямує
до нуля:
б»= 1 іт — або со= — . (4.2.3)
Аг_>0 А/ сІЇ
Таким чином, кутова швидкість тіла в даний момент часу чисельно
дорівнює першій похідній від кута повороту по часу.
Кутову швидкість тіла зображають у вигляді вектора 3 , який
напрямлений вздовж вісі обертання тіла в той бік, звідки обертання буде
видно проти годинникової стрілки.
Кутове прискорення характеризує зміну кутової швидкості тіла з
часом.
Якщо за проміжок часу Дґ кутова швидкість змінюється на величину Асо,
то відношення приросту кутової швидкості тіла Асо за деякий проміжок
часу Дґ до цього проміжку називається середнім кутовим прискоренням:
<«.<»
Кутовим прискоренням тіла в даний момент часу ґ називається
величина, до якої прямує значення єср, якщо проміжок часу Дґ прямує до нуля:
Асо сію с12ср
є = Ііш -----= ----- = — ^ . (4.2.5)
А/ Ж ш
Отже, кутове прискорення тіла в даний момент часу чисельно
дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута
повороту по часу.
Кутове прискорення тіла також можна зобразити у вигляді вектора, який
напрямлений вздовж вісі обертання. Напрям вектора є співпадає з
напрямом вектора со, якщо тіло обертається прискорено і протилежно при
уповільненому обертанні.
© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 27

30. 4.3 Траєкторії, швидкості та прискорення точок твердого тіла, що
обертається
При обертання тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують
кола, які лежать у площинах, перпендикулярних до осі обертання г.
Центри цих кіл лежать на осі обертання, а радіус кожного з них дорівнює
відстані відповідної точки тіла до осі обертання.
Нехай точка М знаходиться на відстані г від осі
обертання г. Якщо за час с/ґ відбувається
елементарний поворот тіла на кут с!<р, то точка М
здійснить елементарне переміщення сЬ = Ыср. Тоді
швидкість точки буде дорівнює відношенню
^ гіф Г- О „X
о = — = г —^ або о = гсо. (4.3.1)
сії Ж
Швидкість и називають лінійною швидкістю
точки М. Чисельне значення швидкості твердого
тіла, що обертається, дорівнює добутку кутової швидкості на відстань
цієї точки від осі обертання.
Вектор швидкості 0 напрямлений по дотичній до траєкторії точки в бік
руху точки. Оскільки для всіх точок тіла со має в даний момент часу одне
значення, то з формули (4.3.1) випливає, що лінійні швидкості точок тіла, що
обертається, пропорційні їх відстаням від осі обертання.
Щоб знайти прискорення точки М скористаємося формулами
Рис. 4.3.1
do V
w T= I Wn = (4.3.2)
dt р
Підставивши в цю формулу значення (4.3.1) і врахувавши, що р = г ,
маємо:
w T =
dv d dco
— = — гсо = г — = гє
dt dt dt
v
2 2
Г CD
W =w
2
= ГСО
p
Повне прискорення точки М буде
ч =v 2 :
г є 2 4
+ г со11’= д/^ = л /г V + г 2со4 = ГЛІє2 + б)4 .
Відхилення вектора повного прискорення від
радіуса кола, що описує точка, визначається кутом //,
який обчислюється за формулою
(4.3.3)
(4.3.4)
tgM =
wn aг
(4.3.5)
Формули (4.3.1) - (4.3.5) дозволяють визначити швидкість і прискорення
будь-якої точки тіла, якщо відомий закон обертання тіла і відстань даної
точки від осі обертання. По цим самим формулам можна за відомим законом
руху однієї точки тіла, знайти рух будь-якої іншої точки тіла, а також
характеристики руху тіла в цілому.
E-mail: g_malygin@ukr.net
28

31. 4.4 Окремі випадки обертального руху тіла
Рівномірне обертання. Рівномірним обертанням тіла
називається обертальний рух тіла із сталою кутовою швидкістю.
Рівномірно перемінне обертання. Рівномірно перемінним
обертанням тіла називають такий обертальний рух, при якому за рівні,
довільно взяті проміжки часу кутова швидкість тіла змінюється на одну й
ту саму величину.
Варто звернути увагу на аналогію між формулами кінематики для
поступального і обертального рухів.
____________________________________________________________ Таблиця
к
хар;
ха
інематичні
актеристики і
рактер руху
Рух точки Обертальний рух тіла
Рівнянняруху
Загальна
формула
Рівномірний
рух
Рівномірно
змінний рух
* = / ( ')
S= Sq+ ut
. Wtt2s = sn+ u nt -— -—
0 0 2
<p= f i t )
(p = (pQ+cot
St1
<p= % + m ()t +
Швидкість
Загальна
формула
Рівномірний
рух
Рівномірно
змінний рух
Лінійна
ds
u = —
dt
s - s 0
u = ------ -
t
u = u0+ w Tt
Кутова
dcp
CD= - L-
dt
t
CO= co0+ St
Прискорен
ня
Загальна
формула
Рівномірно
змінний рух
Дотична
do d 2s
WT= ---- = --- T-
dt dt
v - v 0
wr = --------
t
Кутове
dco d 2(p
£ = ---- = ---- r
dt dt
CO—COn,
є = ---------
t
Питання для самоконтролю
1. Назвіть основні види руху твердого тіла.
2. Який рух твердого тіла називають поступальним і які він має
властивості?
3. Який рух твердого тіла називають обертальним навколо нерухомої
осі?
4. Сформулюйте теорему про поступальний рух.
5. Що називають кутом повороту?
© Bobo - Publishing. 2006 29

32. 6. Що називають середньою кутовою швидкістю? миттєвою кутовою
швидкістю?
7. За якими формулами визначають модуль кутової швидкості?
8. Як напрямлений вектор кутової швидкості?
9. Що називають середнім кутовим прискоренням? миттєвим кутовим
прискоренням?
10. За якими формулами визначають модуль кутового прискорення?
11. Як напрямлений вектор кутового прискорення?
12. Запишіть формулу, що пов’язує лінійну швидкість з кутовою.
13. Запишіть формули для визначення тангенціального та нормального
прискорень через кутові величини.
** Виведіть формули модулів швидкості та прискорення точок твердого
тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
** За яких умов прискорення точки тіла, що обертається, складатиме з
відрізком, який з’єднує точку з центром кола, яке вона описує, кути 0,
45°, 90°?
** Прискорення яких точок тіла, що обертається:
а) рівні за модулем;
б) співпадають за напрямком;
в) рівні за модулем і співпадають за напрямком?
2°. Вал, що робить 90 об/хв., після вимкнення двигуна
починає обертатися рівносповільнено і зупиняється .
через и = 40 С. Визначити СКІЛЬКИ обертів зробив вал за До зад 1
цей час.
3°. Під час розгону маховик обертається за законом (р=^ ъ■ Визначити
лінійну швидкість і прискорення точки, яка знаходиться на відстані /7= 0,8 м
від осі обертання, у той момент, коли дотичне прискорення цієї точки
дорівнює нормальному. у в с
Задачі для самостійного розв’язування
1°. Маховик має у даний момент кутову швидкість
со= 27г с 1 і кутове прискорення є = - 3 с 2. Знайти
швидкість, обертальне, доцентрове і повне
прискорення точки М маховика, яка знаходиться на
відстані 0,8 м від осі обертання.
повне
4. Квадратна пластинка ДВСО здійснює поступальний рух
в площині Оху. Визначити прискорення точки С, якщоІ")
нормальне прискорення точки А мпА= 4 м/с , а дотичне
прискорення точки В штВ= 3 м/с2.
До зад. 4
E-mail: g_malygin@ukr.net
ЗО