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何もないところから数を作る
- 6. ピタゴラス教団のシンボル 1 ⻩⾦⽐ φ 👈 これも無理数 ぐぬぬ…
- 9. 代数⽅程式の解としての「無理数」 ' : 1 = 1 : ' 1 , '(' 1) = 1 , '2 ' 1 = 0 ' = 1 ± p 5 2
- 11. 17世紀：科学⾰命 ニュートン、ライプニッツによって微積分学が発明される。 位置や速度など連続的に変化する量を扱う解析学が確⽴される。 アイザック・ニュートン （1642 〜 1727） G・ライプニッツ （1646 〜 1716）
- 14. 1X n=0 ( 1)n = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ... = 0 = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)... = 1 0 = 1
- 16. コーシーとワイエルシュトラウスによって無限⼩や極限が定式化される！ 19世紀：数学の基礎と抽象化 オーギュスタン＝ルイ・コーシー （1789 〜 1857） カール・ワイエルシュトラス （1815 〜 1897）
- 19. 実数の公理 1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 20. 実数の公理 👆 この「連続性」が有理数との決定的な違い！ しかしこの事実を定式化するのはとても難しい… 1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 21. 「連続性」の定式化 • R の空でない有界な部分集合は上限を持つ。 • R の上に有界な単調増加数列は収束する。 • R の有界な数列は収束部分列を持つ。 • 中間値の定理、最⼤値の定理が成り⽴つ。 • … → 実は全部同値になる。これが「定理」ではなく「公理」。
- 22. 実数の公理 1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。 → 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義して いけば、解析学は曖昧さや⽭盾なく作り上げていくことができる！
- 23. 「実無限」は不思議なことだらけ G. Cantor (1845 - 1918) 対⾓線論法によって #N < #R を⽰した。
- 26. 実数 R
- 27. 実数 R 有理数 Q 整数 Z ⾃然数 N 構成 構成 構成
- 28. ⾃然数 N 構成 ?空集合
- 30. 集合の復習 1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { }
- 32. ⾃然数の公理 1. 最初の数 0 ∈ N が存在する 2. 任意の a ∈ N にはその「次」 a+ が存在する 3. a+ = 0 なる a は存在しない（N は 0 から始まる） 4. a ≠ b ならば a+ ≠ b+ （a+ は単射） 5. N では数学的帰納法が成⽴する 以上を満たす集合 N を⾃然数系と呼ぶ
- 33. フォン・ノイマンによる⾃然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a} ジョン・フォン・ノイマン (1903〜1957)
- 34. • 0 = {} • 1 = 0+ = 0 ∪ {0} = {0} • 2 = 1+ = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} • 3 = 2+ = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
- 35. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
- 36. • 0 = {} • 1 = {0} = { {} } • 2 = {0, 1} = { {}, { {} } } • 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } } • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
- 37. → 難しい場合は、空集合を 猫 に置き換えて考えましょう。
- 38. • 0 = 🐱 • 1 = {0} = { 🐱 } • 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真 • 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } } • ... 1. 0 = 🐱 2. a+ = a ∪ {a} 空集合はただのプレースホルダー
- 40. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • … 集合として 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ … となっている。 ⊂ を ≦ とすれば⾃然数系には順序が⼊る。
- 41. • a + 0 = a • a + (b+) = (a + b)+ 和 a + b の定義 3 + 2 = (3 + 1)+ = ((3 + 0)+ )+ = (3+ )+ = 4+ = 5
- 42. 3 × 2 = (3 × 1) + 3 = ((3 × 0) + 3) + 3 = (0 + 3) + 3 = 3 + 3 = 6 積 a × b の定義 • a × 0 = 0 • a × (b+) = (a × b) + a
- 44. struct N: Equatable, Printable { private let val: [Any] private init(_ val: [Any]) { self.val = val } static var zero: N { return N([]) } } postfix operator + {} postfix func +(n: N) -> N { return N(n.val + [n.val]) } func +(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return n } else { return (n + m-)+ } } func *(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return N.zero } else { return (n * m-) + n } } http://qiita.com/taketo1024/items/2ab856d21bf9b9f30357 作ってみた
- 47. 次、整数 Z を作ります。 （ Z はドイツ語の「数」を意味する Zahlen から）
- 48. N-N 0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 N を⼆つ 0 のところで貼り合わせて、 正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。
- 49. もっとカッコイイやり⽅： N 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 N
- 50. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり⽅： 7 6 5 4 3 2 1 x - y = 0 x - y = 1 x - y = 2 x - y = 3 x - y = 4 x - y = 5 x - y = 6 x - y = 7
- 51. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり⽅： 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7
- 52. もっとカッコイイやり⽅： 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1-2-3-4-5-6-7 「直線上に並ぶ点たち」をまとめて⼀つの整数とすればいい。 👈 (n, 0) が n ≧ 0 に対応 (0, n) が n ≦ 0 に対応 👉
- 53. こうすることで演算が簡単に定まる： 例） 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8) = (5, 8) = (0, 3) = -3 例）3 × (-2) = (3, 0) + (0, 2) = (3 × 0 + 0 × 2, 3 × 2 + 0 × 0) = (0, 6) = -6
- 54. Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ 直ぐな整数として扱っていい。 Z は ＋, , × で閉じた「環」になる。
- 55. 次、有理数 Q を作ります。 （ Q はイタリア語の「商」を意味する Quoziente から）
- 56. Z (分⺟) Z (分⼦)
- 57. Z (分⺟) Z (分⼦) 34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = … 2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = … 1/2 「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q
- 58. Z (分⺟) Z (分⼦) 点 (p, q) を p = 1 に射影したものが q/p と考えても良い。 Q (5, 4) 4/5 1
- 59. 演算は⼩学校で習った通りに定義する 例） 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5) = (10, 15) + (9, 15) 👈 通分 = (19, 15) = 19/15 例）3/4 × 2/7 = (3, 4) × (2, 7) = (3 × 2, 4 × 7) = (6, 28) = (3, 14) 👈 約分 = 3/14
- 60. Q は ＋, , ×, ÷ で閉じた「体」になる。 限りなく密に分布しているが、まだ無理数の⽳が空いている。 Q
- 62. Q に空いている無理数の⽳はどうやったら埋められるか？ Q ⇡ep 2 0 1 2 3 4
- 63. Q の中で⽬標の無理数に近づいていく数列を考える。 例えばネイピア数 e は… Q e 0 1 2 3 4
- 64. ex = 1X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + ... e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... テイラー展開： より、 x = 1 として、 👈 有理数の無限和
- 65. e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... なので、有限部分和を取れば、 a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ... 👈 有理数の列
- 66. a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ... Q e 0 1 2 3 4 この数列は Q の中で e に近づいていくので、 この数列⾃体を e ってことにすればいい。
- 68. …？
- 72. 実数の公理 1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。 そうすることで、我々が求めていた実数が得られる。 （「公理」が「定理」になる！）
- 73. 「デーデキント・カット」 Q の「切断」⼀つ⼀つを実数ということにする。 Q e 0 1 2 3 4 また別のやり⽅ 切断 リヒャルト・デーデキント （1831 〜 1916）
- 75. 実数の公理 👆 当たり前だと思ってたこの性質がそれだけ特別だから！ 1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 76. ちなみに R から 複素数 C を作るのは簡単。 R×R に (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を⼊れるだけ。 R iR C z w zw
- 77. まとめ ∅ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！
- 78. まとめ ∅ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！ 👆 これは？
- 80. 集合の公理（の⼀部） 1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { } 👆 この公理は本当に正しいの？
- 83. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X ラッセルのパラドックス
- 84. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X B ⾃体も集合なので、 B ∈ U. U = A ∪ B より、 1) B ∈ A または、 2) B ∈ B のいずれか. ラッセルのパラドックス
- 85. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X 1) B ∈ A とすると、B ∈ B. すると B の定義より B ∈ B でなければいけない！ → ⽭盾B? ラッセルのパラドックス
- 86. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X 2) ⼀⽅ B ∈ B とすると、 B の定義より B ∈ B でなければいけない！ → ⽭盾B? ラッセルのパラドックス
- 87. U は「全ての集合の集合」のはずなのに、 集合 B は U に⼊れない！？ 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X B…!? ラッセルのパラドックス
- 88. 集合の公理（の⼀部） 1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { } 「素朴集合論」は⽭盾している！ 😱
- 92. 現代数学の⽴場：実在は問わない
- 93. 現代数学は形式的には A ⇒ B しか主張しない！ A ) B ならば
- 101. まとめ • 集合論の元で、空集合から⾃然数を、さらに整 数・有理数・実数まで作ることができた。 • 公理はあらゆる理論の出発点。何を仮定するか は⾃由に決めていい。 • 数学は実在については問わない。にも関わらず （だからこそ？）現実を理解するのに役に⽴つ。