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- 6. 𝑑 𝑒𝑥2 𝑦 = 𝑒𝑥2 𝑥3 𝑑𝑥 → ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥2 𝑥3𝑑𝑥 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥22𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥2 𝑥3𝑑𝑥 = 1 2 𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢 → 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑔′ = 𝑓𝑔 − 𝑓′𝑔 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 = 𝑢 ; 𝑔′ = 𝑒𝑢 1 2 𝑒𝑢𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 𝑢 ∗ 𝑒𝑢 − 1 ∗ 𝑒𝑢 = 1 2 𝑒𝑢 𝑢 − 1 + 𝐶 𝑒𝑥2 𝑦 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥2 − 1 + 𝐶 𝑦 = 1 2 𝑒𝑥2 𝑥2 − 1 + 𝐶 𝑒𝑥2 = 1 2 𝑥2 − 1 + 𝐶𝑒−𝑥2
- 8. Ecuación Diferencial Homogénea: 𝒇𝒏 𝒙 𝒅𝒏 𝒚 𝒅𝒙𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒅𝒏−𝟏 𝒚 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝟑𝒙𝒚′′′ + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟎 Ecuación Diferencial completa 𝒇𝒏 𝒙 𝒅𝒏𝒚 𝒅𝒙𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒅𝒏−𝟏𝒚 𝒅𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝒇𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝟑𝒙𝒚′′′ + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟐
- 9. ¿Qué fuerzas actúan? 𝐹1 = 𝑚𝑔 → 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 Σ𝐹 = 𝑚𝑦′′ 𝑡 → 2° 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 Por tanto tenemos: 𝑚𝑦′′ 𝑡 = 𝑚𝑔 → 𝐸𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑔 → 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔𝑡 + 𝐶1 → 𝑌𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦′ 𝑑𝑦 = (𝑔𝑡 + 𝐶1) 𝑑𝑡 ⇒ 𝑦 𝑡 = 1 2 𝑔𝑡2 + 𝐶1𝑡 + 𝐶2 Solución general, está dada por la suma de las soluciones de la homogéna y la particular
- 12. Resuelvo como una cuadrática, es decir r = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 y me pueden dar 3 posibles resultados según el discriminante: raíces reales iguales, raíces reales distintas o raíces complejas conjugadas