Este documento describe los números perfectos, defectivos y abundantes. Define cada categoría y proporciona ejemplos. Explica que los números perfectos son aquellos cuya suma de divisores propios es igual al número, mientras que los defectivos son aquellos cuya suma es menor y los abundantes mayor. También explora las propiedades y orígenes históricos de cada categoría.

1. NÚMEROS
PERFECTOS, ABUNDANTES
Y DEFECTIVOS
ALICIA ALTABA, SOFÍA PÉREZ Y ÁNGELA MARTÍN

2. ÍNDICE
01
02
03
04
05
INTRODUCCIÓN
NÚMEROS PERFEFCTOS
NÚMEROS DEFECTIVOS Y ABUNDANTES
APLICACIONES Y CURIOSIDADES
CONCLUSIONES

3. INTRODUCCIÓN

4. Números perfectos
DEFINICIONES
Números defectivos
Números abundantes
Las categorías de números perfectos, defectivos y abundantes desempeñan un papel esencial en la teoría de
números, una disciplina matemática dedicada al análisis de las propiedades de los números enteros.
Veamos brevemente cada categoría.
Son aquellos cuya suma de sus divisores propios es igual al número original.
Un ejemplo de éstos es el número 6 ya que sus divisores (1,2,3) suman 6.
Son aquellos cuya suma de divisores propios es menor que el número.
Un ejemplo es el 15, pues la suma de sus divisores propios (1,3,5) es 9<15.
Son aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que el número mismo.
El 12 es un ejemplo ya que la suma de sus divisores (1,2,3,4,6) es 16>12.

5. NÚMEROS
PERFECTOS

6. Definición detallada
Ejemplo
DEFINICIÓN Y
EJEMPLOS
Los números perfectos son una intrigante clasificación en la teoría de números. Su definición, comentada
anteriormente, revela un concepto interesante: un número perfecto es aquel cuya suma de sus divisores propios
(sin incluir el propio número) es igual al valor original.
Un número n es perfecto si la suma de sus divisores propios D(n) es igual a n.
Matemáticamente, , donde son los divisores propios de n.
Tomemos el caso clásico del 28. Sus divisores propios son 1, 2, 4, 7, y 14.
D(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, lo que confirma que 28 es un número perfecto.

7. Vínculo con números primos Infinitud y desafíos
PROPIEDADES
CLAVE
Los números perfectos destacan no solo debido a su definición distintiva, sino también por una serie de
características fascinantes que los conectan con otros conceptos dentro de la teoría de números.
Todos los números perfectos pares están
relacionados con los números primos de la
forma , donde es primo.
Esta relación es conocida como la
“conjetura de Euclides”.
Para ejemplificar, tomemos el número 28
como antes. Éste está vinculado a 2 (2 - 1)
donde (2 - 1) es un número primo.
3
2
3
La interrogante sobre la presencia de
números perfectos impares continúa siendo
un misterio en la teoría de números. A pesar
de haber identificado numerosos números
perfectos pares, sorprendentemente, aún
desconocemos si existen números perfectos
impares, lo que plantea un desafío intrigante.

8. NÚMEROS
DEFECTIVOS Y
ABUNDANTES

9. Números defectivos
Números abundantes
DEFINICIÓN Y
EJEMPLOS
Son aquellos números naturales que son mayores que la suma de todos sus divisores exceptuándose a él mismo, es
decir, donde son los divisores propios de n.
EJEMPLO
El número 15 sería un ejemplo de este tipo ya que sus divisores propios son 1, 3 y 5.
D(15) = 1 + 3 + 5 = 9 y puesto que 9 < 15 esto nos confirma que, en efecto, es un número defectivo.
Los números abundantes son números naturales menores que la suma de todos sus divisores exceptuándose a él mismo,
es decir, donde donde son los divisores propios de n.
EJEMPLO
El número 12 sería un ejemplo de este tipo ya que sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6.
D(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 y puesto que 16 > 12 esto nos confirma que, en efecto, es un número abundante.

10. Números defectivos
PROPIEDADES
• Todos los números primos son defectivos ya que la
suma de los divisores de cualquier número
primo siempre es igual a 1
• Todas las potencias primas pk son defectivos
porque sus únicos divisores propios son 1, p, p2, ... ,
pk-1, que suman (pk - 1)/(p – 1) , que es como
mucho pk – 1
• Todos los divisores propios de números defectivos
son defectivos. Además, todos los divisores propios
de números perfectos son defectivos.
Números abundantes
• El número abundante impar más pequeño es 945.
• El número abundante más pequeño que no es
divisible por 2 o 3 es 5391411025, cuyos factores
primos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29
• Todo múltiplo de un número perfecto (excepto el
propio número perfecto) es abundante. Por ejemplo,
todo múltiplo de 6 mayor que 6 es abundante porque
1 + n/2 + n/3 + n/6 = n + 1
• Todo múltiplo de un número abundante es
abundante. Por ejemplo, todos los múltiplos de
20 son abundantes ya que n/2 + n/4 + n/5 + n/10 +
n/20 = n + n/10
La teoría de números revela propiedades muy curiosas a cerca de tanto los números abundantes como de los deficientes.

11. HISTORIA Y
ORIGEN

12. Origen
HISTORIA
El primero en referirse a ellos fue nada menos que Euclides, en su influyente obra "Los elementos", publicada en el año
300 a.C. Había descubierto cuatro números perfectos, y en su libro revelaba una forma segura de hallar otros.
Euclides no sólo descubrió cuatro de esos selectos números: 6, 28, 496 y 8128; sino que inspiró a las siguientes
generaciones de matemáticos a continuar la búsqueda.
La historia de los números perfectos forma parte de una de las más antiguas y fascinantes ramas de las matemáticas:
la teoría de los números.
4, 5, 6, 7, 9 números perfectos
Pasarían más de 1750 años antes de que se se indentificara otro número perfecto. En 1456, alguien registró en un
manuscrito medieval otro número perfecto: 33550336. Y en 1588, el matemático italiano Pietro Antonio Catldi encontró
otros dos: 8589869056 y 137438691328.
El octavo número perfecto, que sería descubierto dos siglos más tarde, fue identificado por el grandioso Leonhard Euler
en 1772, tenía 19 dígitos y, según el matemático inglés del siglo XIX Peter Barlow, era "probablemente el más grande que
jamás se vaya a descubrir".
Estaba equivocado ya que dos décadas después de su muerte, se encontró el noveno y, gracias a los avances en la
tecnología y en la teoría de los números, los plazos entre uno y otro descubrimiento se fueron acortando al punto que en
este milenio se han ido encontrando casi uno al año.
Ahora conocemos un total de 51 números perfectos. El más reciente tiene 49.724.095 dígitos.

13. CONCLUSIONES

14. CONCLUSIÓN
Dada la cantidad de personas importantes del mundo matemático que le ha dedicado tiempo y
materia gris a los números perfectos quizás es natural preguntarse cuál es su importancia.
Y no hay nada más grato que encontrarse con una maravillosa respuesta, como la que dió
David E. Joyce, profesor de Matemáticas e Informática de la Universidad de Clark, en el portal
Quora:
"Los criterios tradicionales de importancia en la teoría de números son estéticos e históricos.
Lo que la gente considera importante es lo que le interesa. Eso difiere de persona a persona"
En pocas palabras, los números perfectos, abundantes y defectivos son importantes porque
son interesantes. Además, una de las cosas más fascinantes de las matemáticas es que a
menudo nos revela maravillas que sólo con el tiempo llegamos a comprender.

15. BIBLIOGRAFÍA
• https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_defectivo
• https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_abundante
• https://www.bbc.com/mundo/noticias-
55179824#:~:text=El%20primero%20en%20referirse%20a,Segura%2C%20aunque%20dif%C3%ADcil%20y%2
0laboriosa
• https://www.superprof.uy/blog/utilidad-numeros-perfectos/
• https://fastercapital.com/es/contenido/Numeros-perfectos--compuestos-perfectos--la-busqueda-de-la-
perfeccion-matematica.html