Dokumen tersebut membahas algoritma metode numerik biseksi untuk menemukan nilai x yang memaksimumkan suatu fungsi. Langkah-langkahnya meliputi penentuan batas interval awal, pembagian interval menjadi dua bagian yang sama, evaluasi fungsi pada titik tengah interval, dan penyempitan interval berdasarkan tanda fungsi hingga mencapai ketelitian yang diinginkan. Contoh soal diberikan untuk mencari pembuat maksimum fungsi f(x)=1

1. Tugas Kelompok
Metode Numerik Biseksi
Dimas Febriyan (1384202209)
Dwi Wahyuningrum (1384202011)
Nur Aliyah (1384202043)
Nur Ukhti Salamah (1384202147)
09 Maret 2016
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

2. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

3. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

4. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

5. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

6. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

7. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

8. Contoh Soal
Carilah nilai x yang memaksimumkan
f (x) = 1, 5x − x2
dengan δ = 0.1 dan selang
−1 ≤ x ≤ 1
Dengan metode numerik Biseksi.
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

9. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

10. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

11. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

12. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

13. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

14. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

15. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

16. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

17. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

18. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

19. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

20. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

21. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

22. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

23. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

24. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

25. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

26. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

27. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

28. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

29. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

30. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

31. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

32. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

33. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

34. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

35. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

36. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

37. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

38. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

39. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

40. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

41. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

42. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 75 +
0, 125
2
= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

43. Tabel Iterasi Kondisi 1
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

44. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

45. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

46. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

47. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

48. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

49. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

50. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

51. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 625 +
0, 125
2
= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

52. Tabel Iterasi Kondisi 2
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

53. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

54. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

55. Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang