Apostila matemática básica

1. MATEMÁTICAMATEMÁTICA
BÁSICABÁSICA
Universidade Católica Brasília – UCB

2. SUMÁRIO
1 – CONJUNTO NÚMERICOS .........................................................................................................4
Conjunto dos Naturais.............................................................................................................................4
Conjunto dos Inteiros Relativos..............................................................................................................4
Conjunto dos Racionais..........................................................................................................................4
Conjunto dos Irracionais.........................................................................................................................4
Conjunto dos Reais.................................................................................................................................4
2 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS NOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ...............5
2.1 Sinais resultantes nas Operações......................................................................................................5
2.1.1 Regra dos Sinais nas Operações Adição e Subtração....................................................................5
2.1.2 Regras dos Sinais nas Operações Multiplicação e Divisão...........................................................5
2.1.3 Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais.......................................6
3 – OPERAÇÕES E SUAS INVERSAS ..........................................................................................13
3.1 Regra das Operações Adição e Subtração......................................................................................13
3.2 Regra das Operações Multiplicação e Divisão...............................................................................14
3.3 Potenciação-Radiciação-Logaritmação..........................................................................................15
4 - PRIORIDADES NAS OPERAÇÕES..........................................................................................19
5 – RELAÇÕES E FUNÇÕES ..........................................................................................................13
5.1 Plano Cartesiano.............................................................................................................................22
5.2 Função do 1º Grau...........................................................................................................................23
5.3 Função do 2º Grau ou Quadrática...................................................................................................26
5.4 Função Exponencial........................................................................................................................29
5.5 Função Logarítmica........................................................................................................................31
5.6 Funções Trigonométricas ...............................................................................................................32
6 - SOLUÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES.........................................................................33
7 – RAZÃO PROPORÇÃO – REGRA DE TRÊS – PORCENTAGENS - MÉDIAS.................36
7.1 Razão...............................................................................................................................................36
7.2 Proporções.......................................................................................................................................36
7.3 Números e Grandezas Proporcionais Simples e Compostas..........................................................36
7.3.1 São Diretamente Proporcionais...................................................................................................36
7.3.2 São Inversamente Proporcionais..................................................................................................38
7.3.3 Regra de Três Compostas Com Grandezas Diretas e Inversamente Proporcionais....................39
7.3.4 Porcentagens ...............................................................................................................................40

3. 7.4 Média...............................................................................................................................................42
7.4.1 Média Aritmética Simples...........................................................................................................42
7.4.2 Média Aritmética Ponderada.......................................................................................................42
7.4.3 Média Geométrica........................................................................................................................43
8 – OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINOMIAIS.............................43
8.1 Adição e Subtração de Expressões.................................................................................................44
8.2 Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis..................................44
8.2.1 Produtos Notáveis........................................................................................................................44
8.3 Divisão de Expressões Algébricas e Polinomiais...........................................................................45
8.4 Fatoração e Simplificação...............................................................................................................46
9 – TRIGONOMETRIA E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.......48
9.1 Relações Trigonométricas ..............................................................................................................48
9.2 Relações Métricas ..........................................................................................................................50
10 – MEDIDAS E GRANDEZAS FÍSICAS – PROPRIEDADES E OPERAÇÕES...................51

4. MMATEMÁTICAATEMÁTICA BBÁSICAÁSICA
Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas,
palavras, frases, vírgulas, pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos
algarismos, números, símbolos, sinais, prioridades e propriedades nas operações para
que possamos equacionar criar fórmulas, realizar cálculos tão necessários em nosso
quotidiano em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a calculadora
ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado
destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.
1 – Conjunto Numérico
O conjunto dos números reais ( R ) é o que melhor atende a solução dos problemas
básicos de nosso quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos:
Conjunto dos Naturais { },...4,3,2,1,0=N
Conjunto dos Inteiros Relativos
{ }...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z
Conjunto dos Racionais { }...3...2...1...0...1...2...3... −−−=Q
2
9−
2
1−
...555,0− 2,0 25,2
Conjunto dos Irracionais { }......3...2...2... π−=I
Obs.: 14159,1=π
Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais ( R ). Note que
R
I
QZN
⊂


⊂⊂
Obs. ⊂ ( está contido )
Conseguimos escrever
na forma de fração
decimal exatas,
dizimas periódicas
simples e compostas.
N
Z
Q
I
R
Não conseguimos escrever na forma de fração
negativos e positivos

5. 2 - Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais
2.1 Sinais resultantes nas operações
2.1.1 Regra dos sinais nas operações adição e subtração.
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja + 3 + 4 = 7
Obs. Quando é positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta.
( - ) com ( - ) dá ( - ). Veja - 3 - 4 = - 7
( + ) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja






=+=−+
−=−+
1113
253
( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja






−=+−
=+=+−
123
2253
2.1.2 Regra dos sinais nas operações Multiplicação e Divisão.
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja






=+=÷=+÷+
=+=⋅=+⋅+
3326)2(6
6623)2(3
Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e
divisão.
( - ) com ( - ) dá ( + ). Veja






=+=−÷−
=+=−⋅−
5,15,1)2(3
66)2(3
( + ) com ( - ) dá ( - ). Veja






−=−÷+
−=−⋅+
3)2(6
6)2(3
( - ) com ( + ) dá ( - ). Veja






−=+÷−
−=+⋅−
3)2(6
6)2(3
Símbolos de multiplicação e divisão, podemos usar:






−
=
−
⋅==÷
=⋅=
−
b
a
b
a
bababa
abbaaxb
1
/ Divisão
Deixar o sinal negativo da fração, quanto tiver,
sempre no numerador.
Multiplicação

6. 2.1.3 Veja outras propriedades básicas para realizar operações no conjunto dos
reais.
1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale ( 1 ),
veja:
120
= ; ( ) 12
0
=− ; 1
5
3
0
=





; ( ) 12
0
=
2º) Não tem divisão de número por zero
veja:
?
0
7
= (impossível, confira na calculadora).
3º) Zero dividido por qualquer número dá zero, , veja:
0
7
0
= (confira na calculadora).
4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos.
Índice par
Ran
∉−
Índice (2) não se escreve
R∉−4 Não tem solução em R.
Não pertence ao conjunto dos reais.
Índice Par
R∉−4
4
Obs. Cuidado, se o índice for impar tem raiz, veja:
Índice Impar
283
−=−
10
=a
)(
0
impossível
a
=
0
0
=
a

7. 5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica
positivo.
n (Expoente par)
> (Maior que zero, positivo)
Veja:
( ) ( ) ( ) 44222
2
=+=−⋅−=−
( ) 813
4
=−
Obs. Cuidado: ( ) 22
22 −≠−
É diferente pois
( ) ( ) ( )



−=⋅−=−
=−⋅−=−
4222
4222
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) 82222
3
−=−⋅−⋅−=− (número negativo elevado ao expoente impar o resultado
fica negativo)
6º) Potência de potencia multiplicamos os expoentes,
veja:
15
8
5
4
3
25
4
3
2
3
2
3
2
3
2
−





−
⋅
−






=





=
















7º)Uma potencia troca de sinal quando muda de posição numerado denominador (sobe
ou desce a alinha)
veja:
a) 3
3
2
1
2 =−
b)
5
5
3
3
1
=−
8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração
veja:
9
16
3
4
4
3
22
=





=





−
; 8
1
2
2
1
33
=





=





−
( ) 0>−
n
a
( ) nmnm
aa ⋅
=
n
n
a
a −
=
1
n
n
a
a
1
=−
nnnn
a
b
b
a
ou
a
b
b
a






=











=





−−

8. 9º) Equivalência potenciação radiciação ( como tirar do radical e retornar)
veja:
a) 2
5
2 5
33 =
b)
7
3
7
3
3
2
3
2






=





c) 55 15
1
777 ==
10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador, veja:
a)
5
4
4
2
+
Achando o m.m.c: mínimo múltiplo comum de 4 e 5 fatoramos assim:
5
2
2
1
5
1
2
4
Logo: m.m.c = 2 . 2. 5 = 20
20 é o m.m.c de 4 e 5.
2÷
10
13
02
62
20
1610
5
4
4
2
=
//
//
=
+
=+
2÷
Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que da ( 5 ) multiplica pelo numerador 2
dando 10 etc. Ao simplificar 





20
26
você deve dividir numerador e denominador por um
mesmo número.
n
m
n m
aa =

9. b)
60
23
60
3512
12
7
15
3 −
=
−
=−
m.m.c de 15 e 12:
5
3
2
2
1
3
6
12
1
5
15
Logo: m.m.c = 2.2.3.5 = 60
c)
5
4
2
2
3
+− lembre que
1
2
2
−
=− logo o m.m.c de 2, 1, 5 é:
5
2
111
512
Logo: m.m.c = 2 . 5 = 10
10
3
10
82015
5
4
2
2
3
=
+−
=+−

10. 11º) Para multiplicação de frações multiplicamos numerador pelo numerador e
denominador pelo denominador, veja.
a)
15
8
5
4
3
2
=⋅
b)
7
24
7
3
8
−
=⋅−
Lembre que
1
8
8
−
=−
4÷
c)
15
1
06
4
4
1
3
2
5
2 −
=
//
/−
=⋅




 −
⋅
4÷
12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração, veja:
2÷
a)
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅=÷ ou
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅=
2÷
b)
2
15
2
5
3
5
2
3 =




 −
⋅=




 −
÷ lembre que
1
3
3 =
c) ( )
15
2
3
1
5
2
3
5
2
=




 −
⋅
−
=−÷
−
lembre que -3 =
1
3−
13º) Multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os
expoentes nmnm
aaa ⋅
=⋅ (a = base; m e n = expoentes), veja:
a) 127575
3333 ==⋅ +
b) 1515
1
15
109
3
2
5
3
3
2
5
3
222222 ====⋅
−
−
−
c)
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
12
2
1
1
2
1
1
=





=





=





=





=





⋅





−+−
+−−

11. d) 10122122
10101010 −−−
==⋅
14º) Divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes
nmnm
aaa −
=÷ (a = base; m e n = expoentes) veja:
a)
9
1
3
1
3333 2
27575
====÷ −−
b) 1037
3
7
55
5
5 −−−
−
==
c)
15
2
15
1210
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2






=





=





=





=





÷





+−
+
−





 −
−
−−−
d) 51510
15
10
1010
10
10 −−
==
15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero veja:
a) →= 4,0
5
2
tem uma casa decimal (casa depois da vírgula)
b) →= 25,0
4
1
tem duas casas decimais
c) →353,2 tem três casas decimais
Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos:
• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula.
• Denominador:colocamos 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casa
decimais (casas depois da vírgula) veja:
a)
5
2
01
4
4,0 =
//
/
=
b)
4
1
001
52
25,0 =
///
//
=
c)
1000
2353
353,2 =
16º) Dizima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá
exata e logo depois da vírgula aparece um número que se repete denominado de
período, veja:
a) 0,33... Também representado por 3,0
b) 0,272727...ou 27,0
c) 2,444... ou 4,2

12. Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos:
Numerado: Colocamos o período (parte que se repete)
Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período. Veja:
a)
3
1
9
3
33,0 =
/
/
=
b)
11
3
33
9
99
27
...272727,0 ===
c)
9
23
9
518
9
5
2...555,02...555,2 =
+
=+=+=
Parte inteira não entra na regra.
17º) Dizima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e
depois da vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de
um período (parte que se repete). Veja:
Parte não periódica (que não se repete) (4)
a) 0,4333...
Parte periódica (que se repete) (3)
Não periódica (23)
b) 2,23717171...
Periódica (71)
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta
fazemos:
Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor a parte não
periódica.
Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido
de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja:
Parte não periódica
Periódica
Parte não periódica
a)
30
13
09
93
90
443
...4333,0 =
//
//
=
−
=
Parte não periódica (23)
Um zero só pois a parte não periódica só é
constituída de um algarismo que é o 4.
Um nove só pois a parte periódica só é
constituída de um algarismo que é o 3.

13. Período ( 71)
b)
2475
587
2
2475
587
2
0594
4711
2
0099
8432
2
9900
232371
2...23717171,2 +⇒+=
////
////
+=
////
////
+=
−
+=
Parte inteira não entra na regra (2)
2475
5537
2475
5874950
=
+
3 - Operações e Suas Inversas
Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou
variáveis necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim
temos:
Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores fazemos operações inversas. Para
trocar de membro um valor qualquer fazemos operação inversa. É errado dizer que
trocamos de sinal quando passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos
operação inversa.
3.1 Regra das operações Adição inversa subtração. Veja o exemplo:
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Potenciação Radiciação Logaritmação
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
1º Membro à esquerda
da igualdade
2º Membro à direita
da igualdade.
inversa
inversa
=

14. a) x + 4 = 12 : isolando o x passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o
( x ) para o segundo membro fazendo operação inversa, isto é subtração, logo:
x = 12 – 4
b) x - 7 = 17 isolando o x passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde
estará somando fazendo assim operação inversa, logo:
x = 17 + 7
c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa
subtraindo.
20 - x = 30
- x = 30 – 20
- x = 10
Em (– x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto podemos
multiplicar por ( - 1 ) os dois membros da igualdade.
- x = 10 (-1)
3.2 Regra das operações Multiplicação inversa Divisão. Veja o exemplo:
a) 2 x = - 14: isolando o ( x ) passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o
segundo membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo.
Logo: 7
2
14
−=⇒
−
= xx
b) 4
3
2
=
x
isolando o ( x ) passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro
multiplicando, operação inversa. Veja: 122432 =⇒⋅= xx e o dois que está
multiplicando o x para o 2º membro dividindo, operação inversa.
6
2
12
=⇒= xx
c) 2
8
44
3
2
−
−
=
+− xx
achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois
1
2
2 =
x = -10
x = 24
x = 8

15. 3
2
2
2
1
1
1
2
4
8
1
3
Logo: m.m.c = 2 . 2. 2 . 3 = 24
⇒
−−
=
+−
24
481212
24
168 xx
Mesmo denominador em ambos os membros podemos
simplificar.
⇒−−−=−− 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro
e os números para o 2º membro fazendo operações inversas.
⇒−=− 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos.
7620 −=− x (-1)
⇒= 7620x Isolando o x passamos o ( + 20) que está multiplicando o x para o 2º
membro dividindo e depois simplificamos:
5
19
01
83
02
67
=
//
//
=
//
//
=x
3.3 Regra das operações
Potenciação Radiciação Logaritmação.
Inversa
Inversa
Inversa
Inversa

16. Determinar ( b ) é calcular o logaritmo (log)
cab
=
Determinar o ( c ) é calcular a potência
Determinar o ( a ) é calcular a raiz
⇒= b
ax Potenciação (isola a potência)
⇒=⇒= bb
cxcx radiação (isola a base)
Aplicando radiciação ( )b
c em ambos os membros para isolar o x temos:
bb b
cx =/
da onde obtemos: b
cx =
⇒=⇒=
a
b
xba x
log
log
logaritmação (isola o expoente)
Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x temos:
bax
loglog = onde, usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever
bax loglog = da onde obtemos: a
b
x
log
log
= .
Propriedades dos logarítmos.
Quando a base é 10 não representamos. AA 10loglog =
Para números fatoráveis calculamos estes valores com segue. Veja o exemplo.
a) ⇒=⇒⋅⋅=⇒= 822223
xxx Potência
b) ⇒=⇒= 3
2282 xx
Mesma base igualamos os expoentes.
Fatorando (8)
1) yxyx logloglog +=⋅
2) yx
y
x
logloglog −=
3) xmxm
loglog =

17. 3
2
2
2
2
1
2
4
8
⇒







Logo: x = 3 aritmolog⇒
c) ⇒=⇒= 333
28 xx Mesmo expoente igualamos as bases logo: ⇒=2x
raiz.
Obs. 8 (fatorando) = 3
28 =
Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração usamos a
calculadora cientifica ou a tabela produzirá para esta finalidade. Veja alguns exemplos
usando a calculadora cientifica.
a) x=3
2
8=x
b) 82 =x
2log
8log
=x
3=x
Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de
calculadoras.
c) 83
=x
3
8=x
2=x
Tecla: 2
Tecla: yx
ou ∧
Tecla: 3
Tecla: =
Tecla: log ou ln
Tecla: 8
Tecla: ÷
Tecla: log ou ln
Tecla: 2
Tecla: =
Tecla: 3
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 8
Tecla: =

18. Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de
calculadoras.
Resolvendo outros exemplos:
d) x=5,1
2
...828427,2=x
e) x=− 5,1
2
f) 7,45,2
=x ou 5,2
7,4=x
g) 32 =x
ou ...584962,1
2log
3log
==x
h) 7,195,1 =x
35,7
5,1log
7,19log
==x
Tecla: 2
Tecla: yx
ou ∧
Tecla: 1,5
Tecla: =
Tecla: 2
Tecla: ∧ ou x
y
Tecla: 1,5
Tecla: ±
Tecla: =
Tecla: 2,5
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 4,7
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 3
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 2
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 19,7
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 1,5
Tecla: =

19. i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter
fórmulas. Dada à fórmula do montante no sistema de capitalização composta
t
iCM )1( +=
M = Montante no final do período de aplicação
C = Capital
i = Taxa
t = Tempo de aplicação
Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas.
1º) Para calcular o ( M ) a fórmula já está pronta pois o mesmo já está isolado:
t
iCM )1( +=
2º) Para calcular ( C ) passamos t
i)1( + que está multiplicando o C para o outro lado
(membro) dividindo. Logo: t
i
M
C
)1( +
=
3º) Para calcular o ( t ) que é expoente usamos logaritmos. Em t
iCM )1( += passamos
o ( C ) que está multiplicando para o outro lado dividindo ficando assim: ( )t
i
C
M
+= 1 .
Agora aplicamos logaritmação isolando o ( t ), veja:
)1log(
log
i
C
M
t
+
=
4º ) Para calcular o ( i ) que é base usamos radiciação. Em t
iCM )1( += passamos o
( C ) para o outro lado ficando assim: ( )
C
M
i
t
=+1 . Agora aplicamos radiciação isolando
o ( i ), veja: 11 −=⇒=− tt
C
M
i
C
M
i
Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais
usada no mundo dos juros e montante composto.

20. 4 - Prioridades nas Operações
(Quem resolver primeiro?).
Quando as (sete)7 operações estão aparecendo em parte ou todas numa mesma
expressão numérica ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de
resolução: 1ª ( ), 2ª [ ], 3ª { }, e quanto as operações devemos resolver na seguinte
ordem:
(1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da
esquerda para a direita.
(2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem.
(3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem.
Exemplos:
a) 33
8100log4425242 −−−÷+⋅−
1º lugar (Potenciação, radiciação, logaritmação)
224285242 −⋅−−÷+⋅−
2º lugar (Multiplicação, divisão)
375,17282625,082 −=−−−+−
3º lugar (Adição e subtração)
b) 24538log416243 22
÷⋅−−−÷−÷+
1º lugar
24539031,01642432
÷⋅−−−÷−÷+
2º lugar
1531,31039031,025,029 −=−−−−+
3º lugar
c) ( )[ ]{ }342423543 2
−÷−−−⋅−⋅
22 0,25 -10
4 16 0,90315
0,625 28
228

21. 1º lugar (parênteses)
( )[ ]{ }35,0229543 −−⋅−−⋅−⋅
( )[ ]{ }35,049543 −−−−⋅−⋅
( )[ ]{ }35,4543 −−⋅−⋅
2º lugar (colchetes)
[ ]{ }35,2243 −−⋅−⋅
{ }3903 −⋅
3º lugar (chaves)
{ } 261873 =⋅
d)






+





+





−−+ 162
8
1
3
2
4
1
3224
m.m.c de 3 e 8 é 24






+





+




 −
−+ 162
24
316
4
1
3224






+





+





−+ 162
24
13
4
1
3224






+





+−+ 162
96
13
3224
m.m.c de 1; 96;1 é 96






+




 +−
+ 16
96
192133072
24






+



//
/+ 16
69
3251
24
48
4211
48
9603251
20
48
3251
16
48
3251
4 =
+
=+=






++
5 - Relações e Funções

22. As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia
a dia. Todo o controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia,
estatística, enfim, tudo o que envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma
relações e funções. O que a matemática denomina de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c
=> coeficientes as outras áreas do conhecimento atribuem outros nome. Veja um
exemplo só:
⇒+= baxy
função do 1º grau em matemática
escoeficientba ⇒,
iáveisyx var, ⇒
)(livreteindependenx ⇒
dependentey ⇒ (depende de x)
As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas
diversas áreas do conhecimentos.
⇒+= oVatV Função da velocidade no MRUV
⇒+= oSVtS
Função da posição no MRU
⇒+= baPD
Função demanda de mercado
⇒+= baPS
Função oferta de mercado
⇒+= baqC
Função custo
Etc.etc.etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no nosso
quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no plano
cartesiano.
5.1 Plano Cartesiano

23. O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo ( x )
=> abscissas e eixo ( y ) => das ordenadas e os dois eixos permitem estabelecer as
coordenadas de cada ponto.
Ordenada (y)
( a , b ) Coordenadas do ponto ( P )
Abscissa (x)
Vejamos a localização de alguns pontos.
a
b
P
y
x
-4-6
-3 0
-5
4
2
4
6
y
x
A ( 0 ,0 )
B ( 4 , 2 )
C ( 0, 4 )
F ( -4 , 0)
E ( -6 , -5)
D ( -3, 6 )
P ( x , y )

24. 5.2 Função do 1º Grau
É uma relação do tipo baxy +=
cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta.
a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x )
b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y )
⇒
−
=
a
b
x raiz, onde a reta corta o eixo ( x )
Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a segui:
1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os
valores de y (método da tabela)
2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção
com os eixo (x) e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir.
1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y) temos
Exemplo (1) 62 −= xy
b = - 6
a = 2
1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores
(pontos)
4612
6602
4
6
1
0
−=−⋅=⇒
−=−⋅=⇒
−
−
y
y
yx
Ou escolha outros que achar mais fácil e útil determine os correspondentes em (y).
2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos.
Em ⇒+= baxy O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o
eixo (y)
Em 662 −=⇒−= bxy
b
x
a < 0
decrescente
x
y
x
b
crescente
x
y
a > 0
b
y
x
a = 0
constante
y
x
-4
-6
(0,-6)
(1,-4)

25. Em ⇒+= baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de
intersecção da reta com o eixo x que denominamos de raiz: logo
baxy +=
0=+ bax
⇒
−
=⇒−=
a
b
xbax Raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x.
Em



−=
=
⇒−=
6
2
62
b
a
xy
( ) ⇒=
−−
=
−
= 3
2
6
a
b
x raiz
Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico
a = 2 > 0 função crescente pois:
x => cresce
y => cresce
Note que:
y = ax + b
y = 2x - 6
a = 2 > 0 => indica que a função é crescente
Exemplo (2) y = -3x + 8
1º Método
1833
8803
1
8
3
0
−=+⋅−=⇒
=+⋅−=⇒
− y
y
yx
2º Método:
baxy
xy
+=
+−= 83




⇒+=
−
−
=
−
=
⇒=
...66,2
3
8
8
a
b
x
b
x
3
-6
y
y
x
8
-1
3
(0,8)
(3,-1)
Intersecção com o eixo (y)
Intersecção com o eixo (x) ou raiz

26. ⇒<−= 03a função decrescente pois:
x => cresce
y => decresce
Exemplo (3) 044 +=⇔= xyxy
1º Método:
414
4)1(4
4
4
1
1
=⋅=
−=−⋅/=→
→
−−
y
xy
yx
2º Método:
baxy
xy
+=
+= 04




⇒=
−
=
−
=
⇒=
0
4
0
0
a
b
x
b
⇒>= 04a Função crescente pois:
x => cresce
y => cresce
Exemplo (4) 606 +=⇔= xyy
1º Método:
Intersecção com o eixo (x)raiz
x
y
-1
1
-4
y
4
6
y
x
0 1
8/3
8
y
x
2,66...
Intersecção com o eixo (y)
0
x
y

27. 6610
6600
6
6
1
0
=+⋅=→
=+⋅=→
y
y
yx
2º Método:
y = 6 ou y = 0x + 6




⇒
−
=
−
=
⇒=
)(
0
6
)(secint6
impossível
a
b
x
yçãoerb
Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x),
É paralela a este eixo
⇒= 0a função constante pois:
x => cresce
y => constante (valor sempre 6)
5.3 Função do 2º grau ou quadrática
É uma relação do tipo: cbxaxy ++= 2
cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva
denominada de parábola.
c => indica onde a parábola corta o eixo (y)
a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB =
Concavidade Voltada para Baixo.
Fórmula de
Báscara
onde
x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que denominamos de raízes.
6
y
x
CVB
CVC
⇒
∆±−
==
a
b
xx
2
"' cab ⋅⋅−=∆ 42

28. a
b
xV
2
−
=
a
yV
4
∆−
=
(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola.
x’ xv
c
y
yv
x”
x

29. Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos.
1º Método:
Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y.
2º Método:
Método dos pontos importantes e propriedades.
Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos.
Exemplo (1)
cbxaxy ++= 2
62
−+= xxy





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
1º Método:
Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos
pontos. E este método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo
da parábola.
764)3(
062)2(
660)0(
462)2(
664)4(
7
0
6
4
6
3
2
0
2
4
2
2
2
2
2
=−+=→
=−+=→
−=−+=→
−=−−−=→
=−−−=→
−
−−
−
y
y
y
y
y
yx
1º Método:
Os pontos importantes e propriedades
cbxaxy ++= 2
62
−+= xxy





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y)
b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x)
cab ⋅⋅−=∆ 42
25)6(1412
=−⋅⋅−=∆
6
2 3
-4
y
7
-2
-4
x

30. ⇒
∆±−
==
a
b
xx
2
"'






=
+−
=
−=
−−
=
⇒
±−
=
⋅
±−
=
2
2
51
"
3
2
51
'
2
51
12
251
x
x
x
c) vértice:
25,6
4
25
14
25
4
5,0
2
1
12
1
2
−=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
d) a = 1 > 0: CVC
Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola.
Exemplo (2)
532 2
+−−= xxy
Resolvendo só pelo 2º método
a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y)
b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x)
acb 42
−=∆
494095)2(4)3( 2
=+=⋅−⋅−−=∆
4
73
)2(2
49)3(
2 −
±
=
−⋅
±−−
=
∆±−
=
a
b
x
5,2
4
73
' −=
−
+
=x
1
4
73
" =
−
−
=x
c) vértice
a) a = -2 < 0: Logo CVB
Exemplo (3)125,6
8
49
)2(4
49
4
75,0
4
3
4
3
)2(2
)3(
2
+=
−
−
=
−⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
−
=
−⋅
−−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
CVB
-2,5 -0,75 1
6,125
5
y
x-0,5
-6,25
6
2-3

31. 2
4xy = note que é uma função do 2º grau incompleta pois cbxaxy ++= 2
falta os
termos bx e c onde concluímos que:
a = 4
b = 0
c = 0
Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método
(pontos principais e propriedades). Vamos usar o 2º método.
a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y)
b) raízes: onde intercepta o eixo (x)
acb 42
−=∆ = 004402
=⋅⋅−
0
8
0
8
00
)4(2
00
2
==
±
=
⋅
±−
=
∆±−
=
a
b
x
c) vértice
0
16
0
44
0
4
0
8
0
42
0
2
=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
d) a = 4 > 0 : CVC logo
5.4 Função Exponencial
É uma relação do tipo x
ay =
cujo gráfico depende do valor de (a).
Se a > 1, temos gráfico do tipo:
Crescente.
Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo:
Decrescente.
CVC
x
y
x
y
1
y
1
x

32. Exemplo (1)
x
y 2=
Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y).
x y
-2 0,25 25,0
4
1
2
1
)2( 2
2
====→ −
y
-1 0,5 ( ) 5,0
2
1
2
1
2 1
1
====→
−
y
0 1 1)2( 0
==→ y
1 2 2)2( 1
==→ y
Crescente
x => cresce
y => cresce
Exemplo (2)
x
y 





=
2
1
:
Usando o método da tabela temos:
x y
-2 0,25 25,0
4
1
2
1
)2( 2
2
====→ −
y
-1 0,5 ( ) 5,0
2
1
2
1
2 1
1
====→
−
y
0 1 1)2( 0
==→ y
1 2 2)2( 1
==→ y
Decrescente
x => cresce
y => decresce
5.5 Função Logarítmica
1
0,5
0,25
1
-2 -1
2
1
2
4
0,5
1-1-2

33. É uma relação do tipo xy alog= cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1 obtemos
gráfico do tipo:
Se 0 < a < 1 obtemos gráfico do tipo:
Exemplo xxy log2log2 10 == usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para
x temos:
Usando (log) na calculara cientifica.
401,0log22
2)1(21,0log22
0)0(21log20
21210log21
01,0
1,0
1
10
−==→−
−=−⋅==→−
===→
=⋅==→
y
y
y
y
yx
São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico.
Vejamos só mais uma.
5.6 Funções Trigonométricas
Exemplo: )(10 xseny =
Ângulo
crescente
y
x1
decrescente
y
x1
1
0,01 0,1
10
-4
-2
2

34. Seno
Pelo método da tabela temos:
X Y
0º y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0
90º y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10
180º y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0
270º y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10
360º y = 10 sen 360º = 10 (0) 0
450º y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10
540º y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0
630º y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10
720º y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0
540450
x
y
-10
10
360 7206300 27018090

35. 6 - Soluções de Sistemas de Equações
Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem
simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns as funções. Graficamente significa
determinar o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano
cartesiano.
São inúmeras as aplicações deste campo da matemática de pontos comuns como:
• Equilíbrio oferta-demanda
• Ponto de nivelamento custo-receita
• Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento
• Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc.
São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são:
• Método da adição
• Método da substituição
• Método da comparação
Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano.
2x - y = 6
- x + 3y = - 2
Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2º equação por (2) para que
somando com a1º possamos eliminar uma das variáveis.
( )


⋅⇔−=+−
−=−
223
62
yx
yx



−=+//−
−=−//
⇒
462
62
yx
yx
2
5
10
105 −=⇒
−
=⇒−=⇒ yyy
Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x
correspondente. Escolhendo a 1º temos:
4
2
8
82
262
622
6)2(2
62
−=⇒=⇒−=
−−=
−=+
−=−−
−=−
xxx
x
x
x
yx
y
x
x
y2
y1

36. Logo: a solução do sistema é (-4 ,-2)
Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º
método (tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja
Usando o 2º método, isolando (y) temos:
)º1(626262 funçãoxyxyyx ⇔+=⇒−−=−⇒−=−
)º2(
3
2
3
1
2323 funçãoxyxyyx −=⇒−=⇒−=+−
⇒= 6b onde corta o eixo (y) para 1º função
⇒
−
=
3
2
b onde corta o eixo (y) para 2º função
⇒−− )2,4( ponto comum para a 1º e 2º função.
Exemplo (2)



⇒=−
⇒=−
)º2(22
)º1(42
yx
yx
Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das
equações e substituímos na outra.



=−
+=⇒=−
22
4242
yx
yxyx
Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2º equação.
2
3
6
63823284
2)42(2
−=⇒
−
=⇒−=⇒−=⇒=−+
=−+
yyyyyy
yy
Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4 para determinar (x) teremos:
x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2)é a solução do sistema(intersecção das retas).
Para traçar o gráfico podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde
cada uma corta o eixo x)
6
-4
1º
2º
-2/3
-2
Isolamos (x) da 1º equação e substituímos na 2º

37. 



−=⇒+−=−⇒=−
−=⇒+−=−⇒=−
222222
2
2
1
4242
xyxyyx
xyxyyx
raizfunção
a
b
xba
raizfunção
a
b
xba
)º2(1
2
)2(
2;2
)º1(4
2
1
)2(
2;
2
1
=
−−
=
−
=⇒−==
=
−−
=
−
=⇒−==
(0, -2) => ponto comum para a 1º e 2º função
Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as
seguintes funções de demanda e oferta.



+−=
−=
pS
pD
28
534
ou



−=+−=
+−=−=
8228
345534
xxy
xxy
Pois



=
=
xp
yD
D => demanda (procura, compra de bens e serviços)
S => oferta (venda de bens e serviço)
P => preço por unidade
Resolvendo pelo método da comparação igualamos:
D = S
34 – 5p = -8 +2p
-5p -2p = -8 -34
-7p = -42
P = 6 (substituindo em uma das equações temos)
D = 34 – 5p
D = 34 – 5 . 6
D = 34 – 30
D = 4
y
x
1º f
1 4
-2
2º f
onde corta o eixo x
onde corta o eixo x
onde corta o eixo x

38. Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em
equilíbrio para a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema.
7 - Razões - Proporções – Regra de três – Porcentagens – Médias
7.1 Razão é uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b.
Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação
candidatos vagas?
Resolução: 1
80
50
4000
===
b
a
vaga
candidato
São 80 candidatos para dada vaga
Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40
unidades. Qual a razão entre (A) e (B).
Resolução:
1
4
50
200
==
B
A
. A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a
marca (A) vende 4 vezes mais que a marca B.
7.2 – Proporções é a igualdade entre duas razões. ⇒=
d
c
b
a
a está para b assim
como c está para d.
Propriedade das proporções.: a . d = b . c
7.3 – Números e grandezas proporcionais simples e compostas.
7.3.1 – São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da
seqüência
A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma
constante (K).
k
b
a
b
a
b
a
==== ...
3
3
2
2
1
1
No caso de grandezas vale a mesma relação pois serão diretamente proporcionais se o
aumento do valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as
razões de dois valores de uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na
outra.
2
1
2
1
1221
2
2
1
1
b
b
a
a
oubaba
b
a
b
a
==⇒=
6
D
S
S, D
34
-8
4
P

39. Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade) então está
montagem é denominado de regra de três simples. No esquema prático como são
grandezas diretamente proporcionais as setas terão mesmo sentido.
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↓ 2
1
2
1
b
b
a
a
= ou 1221 baba =

40. Exemplo (1) calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1).
Resolução:
124
20 yx
== ⇒=⇒⋅=⇒=⇒ 4042024
24
20
xx
x 10=x
⇒⋅=⇒= 1204
14
20
y
y 5=y
Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros?
Resolução: Comprimento (m) preço (R$)
Comprimento(m) Preço (R$)
8
5
↓
x
80
↓
Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra
em metros maior será o preço)
00,128:$
5
640
8085
80
8
5
Rxxx
x
=⇒=⇒⋅=⇒=
Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2
de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em
25 dias?
Dias Reboco (m2
)
25
4
↓
x
20
↓
2
125
4
500
25204
20
25
4
mxx
x
==⇔⋅=⇒=
Exemplo (4) Se a distância no mapa medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm
e a escala do mapa é 1/100000, qual a distancia real entre elas



==⇒⋅=⋅⇒== kmcmccmx
x
cm
realocompriment
mapaocompriment
escala 101000000101000001
10
100000
1
)(
)(

41. 7.3.2 São inversamente proporcionais quando a razão de cada número da
seqüência
A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...)
derem origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2,
a3,...) pelo correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante
(k).
kbababaK
b
a
b
a
b
a
......
111 332211
3
3
2
2
1
1
===⇔====
No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se o
aumento do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as
razões do valores de uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela
inversa da correspondente.
2
2
1
1
11
b
a
b
a
=
ou 2211 baba =
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade) então esta
montagem é denominada de regra de três simples.
No esquema prático como são grandezas inversamente proporcionais as setas terão
sentidos contrários.
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↑
Para igualar invertemos uma das setas com seus valores acompanhando.
2
1
a
a
↓
1
2
2
1
1
2
b
b
a
a
b
b
=⇒↓ ou 2211 baba =
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente
proporcionais aos números da sucessão (9, 12, 36)
Resolução:
1
3636
3694
3
1236
1294
361294
=
⋅=
⋅=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅=⋅
y
y
y
x
x
x
yx

42. Exemplo (2) três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min.
Quantas torneiras de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo
tanque em 54 min?
Tempo(m) nº torneias
54
90
↓
x
3
↑
Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais pois
diminuindo o tempo teremos que aumentar o número de torneias. Invertendo uma das
setas para ficarem com mesmo sentido temos:
Tempo(m) nº torneias
54
90
↓
x
3
↓
)(539054
354
90
torneirasxx
x
=⇒⋅=⇒=
7.3.3 Rega de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais.
Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas
e inversamente proporcionais só que agora uma grandeza varia em dependência com
duas ou mais grandezas.
Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas
pessoas trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças?
Resolução:
1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna
x
Pessoasn
10
º
7
5
º Diasn
8
6
º Horasn
500
400
º Peçasn
2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois
comparamos esta coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se
tratar de grandezas diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas
inversamente proporcionais, sem olhar para os números da coluna. Só pense no
comportamento da idéia da coluna.
x
Pessoasn
10
º
7
5
º Diasn
8
6
º Horasn
500
400
º Peçasn
Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem):
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças.

43. 3º Passo: Para resolver fazermos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna
da variável (x)
x
10
↓
5
7
↓
6
8
↓
500
400
↓
4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais
colunas.
⇔
///⋅/⋅
///⋅/⋅
=
00365
0048710
x
Simplificando
4
112
450
4510112
45
11210
≅⇒=⇒⋅=⇒= xxx
x
(aproximadamente 4 pessoas)
7.3.4 – Porcentagens
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito
utilizada no nosso quotidiano como taxa de impostos, taxas de juros, taxa previdência,
etc.
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva.
⇒=
100
10
%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas.
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.
⇒=
100
20
%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.
7.3.4.1 – Taxa de Porcentagem (i)
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100
Exemplo: ipercentualtaxaunitáriataxacentesimalrazão =−=−=− )%(2)(02,0)(
100
2
⇒== %202,0
100
2
(lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.
7.3.4.2 – Porcentagem
4
3

44. Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido
também recebe um nome especial: porcentagem.
P = Porcentagem
i = taxa de porcentagem
p = valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal)
Exemplo (1)Quanto é 4% de 750.
Resolução:
?
750
04,0
100
4
%4
=
=
===
P
p
i
3075004,0 =⋅⇒⋅= piP
Podemos também usar regra de três simples. Veja:
%4
%100
)( mporcentageTaxa
x
mPorcentage
750
30
100
3000
7504100
750
4
100
=∴=⇒⋅=⋅⇒= xxx
x
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse
objeto?
800
?
15,0
100
15
%15
=
=
===
P
p
i
33,5333:$
15,0
800
15,0800 RpppiP ==⇒⋅=⇒⋅=
Usando regra de três:
x→
→
%100
800%15
ou
x
800
100
15
=
33,5333:$
15
80000
80010015 Rxxx =⇒=⇒⋅=⋅
Exemplo (3) Ao pagar uma divida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00
de multa. De quanto por cento foi a multa?
Resolução:
00,1800
130
?
=
=
=
P
p
i
%2,7072,0
1800
130
1800130 ===⇒⋅=⇒⋅= iipiP
Ou regra de três:
P = i . p

45. %2,7
%1001301800
130
%1001800
=
⋅=
→
→
x
x
x
7.4 Média
É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a
finalidade de obter uma informação classificatória ou para comparar com outros valores
similares.
7.4.1 Média Aritmética Simples
Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n
(quantidade destes valores).
Exemplo:
As notas nos (4)bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3 ; 2º B = 5; 3º B
= 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética do ano?
5,5
4
8653
=
+++
=SX
7.4.2 Média Aritmética Ponderada
Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos (
nppp ,...21 ) pelos seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos.
Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B
= 5; 3º B = 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestre
foram:
1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4
3,6
10
63
4321
84635231
==
+++
⋅+⋅+⋅+⋅
=PX
n
nn
P
ppp
xpxpxp
X
+++
++
=
...
...
21
2211
n
xxxx
X n
S
...321 +++
=

46. 7.4.3 Média Geométrica
A média geométrica n números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre esses
números, isto é:
n
nG xxxxX ...321 ⋅⋅=
Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por:
47,15573303518137 44
==⋅⋅⋅=GX
Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2
?
64=⋅ba A média geométrica de ba ⋅ fornece este valor: ⇒== 864GX É o
quadrado de lado 8 cujo perímetro vale 32 cm.
8 - Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais
As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na
solução de problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento
quantitativo.
Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando
possuírem só um tipo de variável na forma dos exemplos a seguir:
⇒x3 Monômio (um termo)
⇒+ 23x Binômio (dois termos)
⇒−+ 122 2
xx Trinômio (três termos)
⇒+−+ 2325 23
xxx Polinômio (denominação genérica).
8.1 – Adição e subtração de expressões
Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal
com mesmo expoente.
Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy −++=−++−−
Exemplo (2)
58311)642545()6425()45( 33333
−+−=++−−+−=−−+−+− yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy
8.2 – Multiplicação de expressões algébricas polinomiais e produtos notáveis.
semelhantes
semelhantes
semelhantes
semelhantes

47. Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal.
Exemplo (1)
xyyx 15)3()5( −=−⋅
Exemplo (2)
4734343)1()43( 2222222
+−+−⇒+−++−=+⋅+− yxxyxyxxxyxxyx
Exemplo (3)
)2()222( 223
−⋅−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo em colunas.
Obs. O (-2) e o (x2
) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por
semelhança para somarmos em seguida.
3x3
-x2
-x -4
x2
-2
-6x3
2x2
+2x +8
-3x5
-x4
-x3
4x2
3x5
-x4
-7x3
-2x2
+2x
8.2.1 – Produtos Notáveis
Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja:
22222
2)()()(º1 bababbaababababa ++=+++=+⋅+=+⇒
22
2))(()()(º2 babababababa +−=−−=−⋅−⇒
22
)()(º3 bababa −=−⋅+⇒
Desenvolva usando produtos notáveis.
Exemplo (1)
22222
25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+
Exemplo (2)
Usando o 2º produto notável
2222
44222)2( xxxxx −−=+⋅−=−
a b b2
a2
2ab

48. Exemplo (3)
Usando o 3º produto notável
9253)5()35)(35()53()53( 222
−=−=+−=+⋅+− xxxxxx
8.3 – Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais
Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do
numerador pelo termo do denominador.
Exemplo (1)
xxxx
xx
x
x
xx
33
4
12
412 3
2
32
===÷
Exemplo (2)
yxxy
x
yxyx
x
yx
yx
yxxyx 2222
3
33
3
8
3
4
3
4
3
8
3
4
3
4
3)844( ++=++⇒÷++
Exemplo (3)
)2()233( 23
−÷−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a
divisão de polinômios. Lembre:
CR
RCBABA +⋅=⇔
A = Dividendo
B = Divisor
C = Quociente
R = Resto
2
210
512
− 22512 +⋅=
23
23
63
233
xx
xxx
−//−
−−−//
1793
2
2
+−
−
xx
x
a2
- 2ab + b2
a b
a2
– b2a ba b

49. xx
xx
189
29
2
2
+//+
−−//−
3471
271
+///−
−///
x
x
32
Podemos provar que: 32)2()1793(233 223
+−⋅+−=−−− xxxxxx
Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no
quociente multiplica por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do
dividendo com sinal contrário em colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo
procedimento podendo sobrar no final resto diferente de zero.
8.4 – Fatoração e Simplificação
Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão
numérica ou algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos.
• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração)
• Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que
sejam semelhantes (simplificação)
• Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação)
• Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração)
Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível.
Exemplo (1)
1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y)
do denominador por ser comum a cada termo.
)1(
)2(3
2
−
−
xy
yxy
2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos.
2
3
6
3
3 2
=
///
///
=
///
// /
yx
yx
y
yx
yx
Veja denominador
12
2
==
/
/
y
y
x
y
xy
yyx
xyxy
−
−
2
2
63
A resposta da divisão é
1793 2
+− xx com resto 32

50. 3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e
obtemos a resposta
)1(
)2(3
2
−/
−/
xy
yyx
1
)2(3
2
−
−
x
yx
Exemplo (2)
⇒





−
9
1
16 2
a (Fatoramos) lembrando o produto notável 22
)()( bababa −=−⋅+ . É só
extrair a raiz para obter os valores anteriores.
3
1
9
1
416 2
=
= aa
Logo: 





−⋅





+=−
3
1
4
3
1
4
9
1
16 2
aaa
Exemplo (3)
⇒+− 1682
xx vem de um produto notável do tipo:
bababababa +−=−=−⋅− 2)()()( 22
. Para achar a e b é só extrair a raiz de x2
e 16.
xx =2
416 =
Logo: )4()4(1682
−⋅−=+− xxxx
Exemplo (4)
⇒
+−
−
96
9
2
2
xx
x
Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos:
)3()3(92
−⋅+=− xxx
)3()3(962
−⋅−=+− xxxx
xx =2
39 =
Logo
3
3
)3)(3(
)3)(3(
96
9
2
2
−
+
=
−−
−+
=
+−
−
x
x
xx
xx
xx
x
Exemplo (5)
Cuidado nas simplificações numéricas.
• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser
simplificados com o denominador, pois equivale a por em evidencia. Veja
yx
yx
84
5
4020
+=
+
pois yxyx
yx
84)2(4
5
)2(20
+=+=
+
• Na multiplicação e divisão é um fator do numerador com um do denominador.
Veja.

51. xy
yxyx
160
1
404
5
4020
=
⋅
=
/
⋅
y
x
y
x
yx
31
5
124
20
)124(20
−
=
−
=−÷ pois
)31(
5
)31(4
20
yy −
=
−
9 - Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo
A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e
aplicada pelos povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias,
alturas, topografia, etc. Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do
triangulo retângulo.
9.1 – Relações Trigonométricas
(Relações lodos ângulos)
tggente
seno
senoseno
alfaângulo
⇒
⇒
⇒
⇒
tan
coscos
)(α
α
α
α
αα
cos
1cos22
sen
tg
sen
=
=+
c
a
sen =α
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α
hipotenusac ⇒
c
b
=αcos
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α
hipotenusac ⇒
b
a
tg =α
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α
Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo (α ) e comprovar as demais
relações.
α
a
c
b
α
3
5
4

52. 75,0
4
3
8,0
5
4
cos
6,0
5
3
==
==
==
α
α
α
tg
sen
1cos22
=+ ααsen
1
25
16
25
9
1
5
4
5
3
22
=+⇒=





+





α
α
α
cos
sen
tg =
75,0
4
3
4
5
5
3
5
4
5
3
4
3
==
/
⋅
/
==
O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1
(0,6) na calculadora podemos obter este
valor.
sen 36,86989765º= 0,6
cos 36,86989765º=0,8
tg 36,86989765º=0,75

53. 9.2 – Relações Métricas
Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos (a2
+ b2
) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2
)
222
cba =+
Relações secundárias
hcba
nmc
nmh
ncb
mca
⋅=⋅
+=
⋅=
⋅=
⋅=
2
2
2
Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo.
25169543 222
=+⇒=+
5
16
54
5
9
53
22
22
=⇒⋅=⇒⋅=
=⇒⋅=⇒⋅=
nnncb
mmmca




==+
=+
5
5
25
5
16
5
9
cnm
4,2
5
12
5
43
5
16
5
92
==
⋅
=⋅=⋅=⇒⋅= nmhnmh
12124,2543 =⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ hcba
α
m
n
b = 4
ha = 3
c = 5
h
n
α
m
b
a
c

54. 10 - Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações
1. Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que podemos medir
ou contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um significado físico padrão
também denominado de unidade.
2. O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas científicas
se traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone celular, etc.
3. A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física.
Ex: massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança.
4. Sistemas de unidades – Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física.
Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas (SI)
também é denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas
fundamentais da mecânica.
Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir.
Unidades e subunidades
1 tonelada = 1t = 1.000 kg
tempo: 1h = 60 min = 3.600s
Exemplos:
1 km = 1.000 m
1 kg = 1.000 g
8 h = 28.800 s
5,80 m = 580 cm
600 g = 0,6 kg
1 mm = 0,001 m
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 
2 km2 = 2.000.000 m2
500  = 0,5 m3
5. É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como
incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do
instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros interferem no
valor da medida.
6. A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento.

55. Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança graduada em
dg (decigrama) tem precisão de decigrama.
7. Algarismo significativo é todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento
utilizado. Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor
divisão oferecida pelo instrumento, são chamados de algarismos significativos.
Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas até décimos
de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis com esta régua podemos
obter valores como 15,32 cm
duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento)
precisão do instrumento em (mm)
8. Arredondamentos: os valores das grandezas são arredondados para manter o número de
algarismos significativos da medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o
seguinte: se o algarismo imediatamente à direita do último algarismo a ser conservado for
inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os subseqüentes a ele, e o anterior fica como está;
se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado de uma unidade.
Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos:
Operações com algarismos significativos
Adição e subtração: o resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os
tiver:
Exemplos:
a)
b)
c)
Multiplicação e Divisão: o resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator
que menos os tiver.
Exemplos:
a)
20,345 cm = 20,35 cm.
20,3449 cm = 20, 34 cm.
7,49 kg → 2 casas
– 3,2 kg → 1 casa
4,29 kg
4,3 kg → 1 casa
8,389 m → 3 casas
+ 0,40 m → 2 casas
8,789 m
8,79 m → 2 casas
125,12 cm → 2
casas
+ 40,3 cm → 1 casa
165,42
165,4 cm → 1 casa

56. b)
9. Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois fatores,
onde o 1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10.
Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s.
1231m = 1,231 . 103m.
0,0021g = 2,1 . 10-3g.
carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb
Ano-luz 9,46 . 1015 metros.
N° de Avogadro 6,02 . 1023
Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas.
Operações:
Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107
Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108
Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109
Divisão:
10. Ordem de grandeza.
É a potência de dez mais próxima do valor da medida.
Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os seguintes passos:
1º passo: escrevemos o número em notação cientifica.
2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera 101
que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100
que não vai alterar a
potência anterior.
Ex.: 822  8,22 · 102
 101
· 102
 103
110  1,10 · 102
 100
· 102
 102
2,5 · 104
 100
· 106
 106
5,8 · 106
 101
· 106
 107
0,0055  5,5 · 10-3
 101
· 10-3
 10-2
11. Grandezas Físicas: é toda a grandeza que podemos medir.
Grandezas Escalares são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
Ex.:
Grandezas Vetoriais são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
– uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de vetor.)
Ex.:
3 → número (intensidade)
N → Newton (unidade de força)
direção: horizontal
3kg, 2 s
significado
físico
número

57. sentido: para direita
Operações com grandezas vetoriais
1. Adição
Seja a soma dos vetores
Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante.
1º) Regra da poligonal: os vetores são postos um após o outro.
2º) Regra do paralelogramo: os vetores têm a mesma origem.
3º) Regra da decomposição cartesiana
θ = 60º

58. V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5
V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598
Note que:
V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o eixo ou seja,
já se encontra projetado onde:
V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x)
V1y = 0 (sobre o eixo y)
Logo:
2. Subtração ou diferença
Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor .
Veja:
1º) Regra da poligonal
2º) Regra do paralelogramo
Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5
resultante sobre o eixo x
Ry = V2y = 2,598
resultante sobre o eixo y

59. ou
3º) Regra da decomposição cartesiana
V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5
V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598
Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5
Ry = V2y = –2,598