O documento apresenta um problema de decisão multicritério com 5 propostas avaliadas segundo 3 critérios: preço, qualidade técnica e situação econômico-financeira. Pede-se para fazer análise de dominância, recomendar decisão com pesos específicos e analisar sensibilidade ao peso do critério preço.

1. Teoria da Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 14 – Enunciado
Metodologia multicritério
Num concurso para uma empreitada pública foi deliberado que a decisão de adjudicação seria baseada
em três critérios: preço, prazo e qualidade técnica da proposta.
Apresentaram-se 5 concorrentes, indicando-se no quadro abaixo as avaliações das propostas segundo os
critérios referidos (no referente à qualidade técnica das propostas, estas foram pontuadas numa escala de
0 a 100, em que 0 é a pior).
PROPOSTAS
Custo
(106 euros)
Prazo
(meses)
Qualidade
Técnica
A
13
35
10
B
15
32
85
C
17
38
100
D
16
30
90
E
15
32
0
Na Comissão da Avaliação geraram-se os seguintes consensos:
-admitir que as funções de valor dos critérios “Custo” e “Prazo” são lineares,
-considerando apenas os critérios “Custo" e “Prazo", as propostas D e E são equivalentes,
-considerando apenas os critérios “Custo" e “Qualidade Técnica", as propostas A e B são
1
equivalentes.
(Continua)

2. Teoria da Decisão
Exercício 14 – Enunciado (Continuação)
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
a) Faça uma análise de dominância.
b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja
compatível com aquelas avaliações.
c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório,
faça uma proposta fundamentada da adjudicação.
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos
dos outros dois critérios se mantém.
2

3. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
a) Faça uma análise de dominância.
Matriz de impactos/níveis de desempenho
Gestão e Teoria da Decisão
PROPOSTAS
Custo
(106 euros)
Prazo
(meses)
Qualidade
Técnica (QT)
A
13
35
10
B
15
32
85
C
17
38
100
D
16
30
90
E
15
32
0
max/min
17/13
38/30
100/0
Avaliação parcial: Associação de pontuações (valores cardinais numa escala predefefinida) aos níveis de
desempenho de cada critério por via da construção e aplicação de funções de valor.
 Customax − Custoi
Função de valor linear para o critério (Custo) : V ( Custo ) = 
 Customax − Customin

 , preferência crescente com custo

decrescente
 Prazomax − Prazoi 
Função de valor linear para o critério Prazo : V ( Prazo ) = 

 Prazomax − Prazomin 
3
Função de valor para o critério qualidade técnica (QT ) : V ( QT ) = QT / 100

4. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
a) Faça uma análise de dominância.
Matriz de pontuações/valores
Gestão e Teoria da Decisão
PROPOSTAS
V(Custo)
[0, 1] *
V(Prazo)
[0, 1] *
V(QT)
[0, 1] *
A
1.00
0.375
0.10
B
0.50
0.75
0.85
C
0.00
0.00
1.00
D
0.25
1.00
0.90
E
0.50
0.75
0.00
*Escala de intervalo alternativa: [0,100]
Resposta:
•Nenhuma proposta é a melhor segundo os três critérios considerados. A proposta A é a melhor no
critério Custo, a proposta D no critério de Prazo e a proposta C no critério de Qualidade Técnica.
•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados.
• A proposta E é dominada pela proposta B, porque a proposta E é pior que a proposta B no critério da
Qualidade Técnica e não é melhor nos restantes critérios. A proposta E pode ser eliminada em
4
posteriores considerações.

5. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja compatível com aquelas avaliações.
Razões de compensação
•As propostas D (i =4) e E (i =5) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' (j =1) e 'Prazo' (j =2) :
Valores, Vi , das propostas D (i = 4) e E ((i =5) segundo os critérios j =1 e j =2 :
V4 = λ1V4,1 + λ2V4,2 e V5 = λ1V5,1 + λ2V5,2
Equivalência ⇒ V4 = V5 ⇔ λ1V4,1 + λ2V4,2 = λ1V5,1 + λ2V5,2 ⇔ λ1 (V4,1 − V5,1 ) + λ2 (V4,2 − V5,2 ) = 0
⇒
(V4,2 − V5,2 ) = − (1.00 − 0.75) = − 0.25 = 1
λ1
=−
λ2
(V4,1 − V5,1 ) ( 0.25 − 0.50 ) −0.25
(razão de compensação)
•As propostas A (i =1) e B (i =2) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' (j =1) e 'Qualidade Técnica' (j =3)
Equivalência ⇒ V1 = V2 ⇔ λ1V1,1 + λ2V1,3 = λ1V2,1 + λ2V2,2 ⇔ λ1 (V1,1 − V2,1 ) + λ3 (V1,3 − V2,3 ) = 0
⇒
(V1,3 − V2,3 ) = − ( 0.10 − 0.85) = − −0.75 = 1.5  ou 3  (razão de compensação)
λ1
=−


2
λ3

(V1,1 − V2,1 ) (1.00 − 0.50 ) 0.50
Cálculo dos pesos λ j , j = 1, 2,3 (Resolver sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas)
2
3





8λ1 = 3
λ1 =
λ1 + λ2 + λ3 = 1 λ1 + λ1 + λ1 = 1 8λ1 = 3



3
8





3





⇔ λ2 = λ1
⇔ λ2 = λ1 ⇔ λ2 = λ1 ⇔ λ2 =
λ2 = λ1
8





2
2
2
2
2 3 2





λ3 = 3 λ1
λ3 = 3 λ1
λ3 = 3 λ1
λ3 = 3 λ1
λ3 = 3 × 8 = 8





5

6. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório, faça uma proposta fundamentada
da adjudicação.
Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou
estratégia compensatória).
Matriz de pontuações/valores
3
PROPOSTAS
V(Custo)
V(Prazo)
V(QT)
Vi = ∑ λ jVi , j
j =1
A
1.00
0.375
0.10
0.54
B
0.50
0.75
0.85
0.68
C
0.00
0.00
1.00
0.25
D
0.25
1.00
0.90
0.69
E
0.50
0.75
0.00
0.47
Pesos (λj)
λ1=3/8
λ2=3/8
λ3=2/8
0.69 (D)
Resposta: A proposta a adjudicar é a proposta D, com um valor agregado de 0.69. A segunda melhor
proposta é a B, com um valor agregado de 0.68.
6

7. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se
mantém.
Gestão e Teoria da Decisão
Pesos λ j , j = 1, 2,3 em função de λ2 (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)
(Exprimir λ1 e λ3 em função de λ2 )
2
3


5


λ1 = 1 − λ2 − λ1
λ1 = 1 − λ2
λ1 = (1 − λ2 )
λ1 + λ2 + λ3 = 1 λ1 = 1 − λ2 − λ3







3

3
5
⇔
⇔
⇔
⇔

λ = 3 λ
λ = 2 λ
λ = 2 λ
λ = 2 λ
λ = 2 (1 − λ )
2
 1 2 3
 3 3 1
 3 3 1
 3 3 1
 3 5





Matriz de pontuações/valores
3
PROPOSTAS
V(Custo)
V(Prazo)
V(QT)
Vi = ∑ λ jVi , j
j =1
A
1.00
0.375
0.10
V1 = 1×0.6× (1-λ2)+0.375×λ2 +0.1×0.4× (1-λ2) = 0.64 – 0.265λ2
B
0.50
0.75
0.85
V2 = 0.50×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.85×0.4× (1-λ2)
= 0.64 + 0.11λ2
C
0.00
0.00
1.00
V3 = 0×0.6× (1-λ2)+0×λ2 +1.0×0.4× (1-λ2)= 0.40 - 0.40λ2
D
0.25
1.00
0.90
V4=0.25×0.6× (1-λ2)+1.0×λ2 +0.9×0.4× (1-λ2) = 0.51 + 0.49λ2
E
0.50
0.75
0.00
V5 = 0.5×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.0×0.4× (1-λ2)=0.30 + 0.45λ2
Pesos (λj)
λ1=0.6(1-λ2)
λ2
λ3=0.4(1-λ2)
7

8. Teoria da Decisão
Exercício 14 - Resolução
Metodologia multicritério
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se
mantém.
Valor da proposta Vi, i = A, B, C, D, E
Gestão e Teoria da Decisão
Análise de sensibilidade ao peso λ2 (Critério “Prazo”)
Proposta D
Proposta B
λ2 ≅ 0.34
8

9. Teoria da Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 20 – Enunciado
Metodologia multicritério
No programa de concurso de uma obra de engenharia civil são indicados os três seguintes critérios de
avaliação das propostas concorrentes, por ordem decrescente de importância : preço (C1), qualidade
técnica (C2) e situação económico-financeira do concorrente (C3).
Apresentaram-se a concurso 5 empresas (A1 a A5) e na matriz multicritério seguinte indicam-se as
performances dos concorrentes para os três critérios. As performances segundo C1 vêm expressas em
milhares de euros e as performances segundo C2 e C3 são pontuações atribuídas pelo júri numa escala
crescente de 0 a 100, após análise das propostas. O júri decidiu ainda que a função de valor em termos
 x − xi 
de preço (x) é do tipo V ( x ) = 100 ×  max

 xmax − xmin 
1
2
C1
C2
C3
A1
1560
75
60
A2
1500
80
40
A3
1410
65
80
A4
1380
50
50
A5
1350
55
55
9
(Continua)

10. Teoria da Decisão
Exercício 20 – Enunciado (Continuação)
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
a) Faça uma análise de dominância do problema.
b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3,
respectivamente.
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre
os pesos de C2 e C3.
10

11. Teoria da Decisão
Exercício 20 - Resolução
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
a) Faça uma análise de dominância do problema.
Avaliação parcial: Associação de
pontuações (valores cardinais
numa escala predefefinida) aos
níveis de desempenho de cada
critério por via da construção e
aplicação de funções de valor.
Matriz de pontuações/valores
V(C1)
[0, 100]
V(C2)=C2
[0, 100]
V(C3)=C3
[0, 100]
V ( C1 )
 C
− C1i 
= 100 ×  1max

 C1max − C1min 
1
2
75
60
A2
53.45
80
40
A3
84.52
65
80
92.58
50
50
A5
100.00
55
55
MIN
0.00
50
40
MAX
critério C1
0.00
A4
Função de valor para o (descritor do)
A1
100.00
80
80
Resposta:
•Nenhuma empresa é a melhor segundo os três critérios considerados. A empresa A5 é a melhor no critério Custo (C1),
a empresa A2 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A3 no critério da situação económico-financeira (C3).
•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados. A empresa A1 é a pior no critério Custo (C1), a
empresa A4 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A2 no critério da situação económico-financeira (C3).
•A proposta da empresa A4 é dominada pela proposta da empresa A5 pois, comparativamente, apresenta piores
11
valores para todos os critérios considerados. A proposta da empresa A4 pode ser eliminada/removida.

12. Teoria da Decisão
Exercício 20 - Resolução
Metodologia multicritério
Gestão e Teoria da Decisão
b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3, respectivamente.
Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou
estratégia compensatória).
Matriz de pontuações/valores
3
V(C1)
V(C2)=C2
V(C3)=C3
Vi = ∑ λ jVi , j
j =1
A1
0.00
75
60
36.75
A2
53.45
80
40
58.05
A3
84.52
65
80
77.53
A4
92.58
50
50
69.16
A5
100.00
55
55
75.25
Pesos (λj)
0.45
0.30
0.25
77.53 (A3)
Resposta: A empresa com a melhor proposta é A3, com uma pontuação/valor agregado de 77.53.
12

13. Teoria da Decisão
Exercício 20 - Resolução
Metodologia multicritério
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.
Pesos λ j , j = 1, 2,3 em função de λ1 (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)
Gestão e Teoria da Decisão
(Exprimir λ2 e λ3 em função de λ1 )
6
5



11

λ1 + λ2 + λ3 = 1 λ3 = 1 − λ1 − λ2
λ3 = 1 − λ1 − λ3
λ3 = 1 − λ1 λ3 = (1 − λ1 )






5

5
11
⇔
⇔
⇔
⇔

λ = 6 λ
λ = 6 λ
λ = 6 λ
λ = 6 λ
λ = 6 (1 − λ )
1
 2 11
 2 5 3
 2 5 3
 2 5 3
 2 5 3





3
V(C1)
V(C2)=C2
V(C3)=C3
Vi = ∑ λ jVi , j
j =1
A1
0.00
75
60
0.00×λ1+75×6/11×(1-λ1) + 60×5/11×(1-λ1)
=68.18 – 68.18*λ1
A2
53.45
80
40
53.45×λ1+80×6/11×(1-λ1) + 40×5/11×(1-λ1)
=61.81 – 8.37*λ1
A3
84.52
65
80
84.52×λ1+65×6/11×(1-λ1) + 80×5/11×(1-λ1)
=71.82 + 12.70*λ1
A4
92.58
50
50
92.58×λ1+50×6/11×(1-λ1) + 50×5/11×(1-λ1)
=50 + 42.58*λ1
A5
100.00
55
55
100.00×λ1+55×6/11×(1-λ1) + 55×5/11×(1-λ1)
=55 + 45*λ1
λ2 =6/11×(1-λ1)
λ3 =5/11×(1-λ1)
Pesos (λj)
λ1
13

14. Teoria da Decisão
Exercício 20 - Resolução
Metodologia multicritério
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.
Valor da proposta Vi, i = A1, A2, A3, A4, A5
Gestão e Teoria da Decisão
Análise de sensibilidade ao peso λ1 (Critério Custo)
Proposta empresa A3
λ1≅0.52
Proposta empresa A5
14