SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 19
Baixar para ler offline
Instituto Federal do Pará
Campus Belém
Professor: André Maurício Damasceno Ferreira
Graduação em Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Controle Adaptativo
Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo:
Exemplos do Capítulo 5 do Livro Adaptive Control escrito por Karl J.
Astrom & Bjorn Wittenmark
Arthur Coelho Pereira
Jean Rafael Nonato Neves
Pedro Barata Piquia Junior
Renan Paraense Godinho
Belém – PA
2016
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará
Campus Belém
Professor: André Maurício Damasceno Ferreira
Graduação em Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Controle Adaptativo
Turma: C310-8MM
Arthur Coelho Pereira
Jean Rafael Nonato Neves
Pedro Barata Piquia Junior
Renan Paraense Godinho
Matrícula:2011310003
Matrícula: 2011310033
Matrícula: 2010310025
Matrícula: 2009310028
Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo:
Exemplos do Capítulo 5 do Livro AdaptiveControl escrito por Karl J.
Astrom e Bjorn Wittenmark
Atividade acadêmica desenvolvido
para a disciplina Controle
Adaptativo, do curso de Engenharia
de Controle e Automação, sob
orientação do professor André
Maurício Damasceno Ferreira
como parte integrante da nota
correspondente à 2ª Avaliação.
Belém – PA
2016
EXEMPLO 5.1 ADAPTAÇÃO DE UM GANHO FEEDFORWARD
Considere um sistema estável de uma entrada e uma saída (SISO)
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡))
onde
 𝑦(𝑡) é a saída do sistema
 𝐺(𝑝) é uma função de transferência conhecida e estável
 𝑢(𝑡) é o sinal de entrada
 𝑘 é um ganho constante desconhecido
o problema é encontrar o controlador 𝑢(𝑡) =
𝑇(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑢 𝑐 para seguir
𝑦 𝑚(𝑡) = 𝐺 𝑚(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
onde k0 é um ganho constante
se 𝑘 fosse conhecida poderíamos resolver o problema
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡)) → 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
usando um simples controlador proporcional
𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡)
Isto , de fato, funciona porque se 𝜃 é escolhida como
𝜃 =
𝑘0
𝑘
então
𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘𝐺(𝑝) (
𝑘0
𝑘
𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑦 𝑚(𝑡)
agora devemos utilizar algum recurso para adaptar o valor de θ, vamos
considerar o erro entre a saída real e a saída simulada
𝑒(𝑡, 𝜃) = 𝑦(𝑡) − 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡)) – 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡))
vamos atualizar 𝜃(𝑡) de um jeito que 𝑒(𝑡, 𝜃) fique mínimo, vamos considerar a
função custo que mede o valor de 𝑒(𝑡, 𝜃)
𝐽(𝑡, 𝜃) = |𝑒(𝑡, 𝜃)|²
Sua derivada em função do tempo é dada pela regra da cadeia
𝑑𝐽
𝑑𝑡
=
𝑑𝐽
𝑑𝑡
+
𝑑𝐽
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Sua derivada deveria ser negativa
𝑑𝐽
𝑑𝑡
= . . . +
𝑑𝐽
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[
𝑑𝐽
𝑑𝜃
]
𝑑𝐽
𝑑𝑡
= . . . + 2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
]
Calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃 temos
𝑑𝑒
𝑑𝜃
=
𝑑
𝑑𝜃
[ 𝑘𝐺( 𝑝)(θ(t)uc(t)] = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) =
𝑘
𝑘0
𝑘0𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) =
𝑘
𝑘0
𝑦𝑚(𝑡)
Então a lei de atualização para θ se torna
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −γ [2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, θ)
Onde 𝛾𝑛 > 0, é arbitrário desde que 𝛾𝑛 = 𝛾
𝑘
𝑘0
com um valor arbitrário de 𝛾 > 0
Lembrando que: 𝐽(・) = |𝑒(・)| →
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= − 𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡). 𝑠𝑖𝑔𝑛[𝑒(𝑡, 𝜃)].
A função de transferência utilizado no exemplo é:
𝐺(𝑠) =
1
𝑠 + 1
E
𝑘 = 1, 𝑘0 = 2
A lei de atualização para θ
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= -γ[2𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝜃
] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, 𝜃)
Foi feita simulações com os valores de gamma
𝛾 = 0.5, 1, 2
o sinal de entrada é igual 𝑢 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Figura 1: diagrama de blocos do MRAS do exemplo 1
Fonte: Autores
Figura 2: comportamento de y e ym para gama = 0.5
Fonte: Autores
Figura 3: comportamento de 𝑦 e 𝑦 𝑚 para gama = 1
Fonte: Autores
Figura 4: comportamento de y e ym para gama = 2
Fonte: Autores
Figura 5: parâmetros do controlador quando o ganho adaptativo 𝛾 = 0.5; 1; 2
Fonte: Autores
EXEMPLO 5.2 MRAS PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Suponha que a dinâmica do sistema é
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑎𝑦 + 𝑏𝑢, 𝑦 =
𝑏
𝑝+𝑎
𝑢
Enquanto a dinâmica desejada para o sistema em malha fechada é
𝑑
𝑑𝑡
𝑦 𝑚
= −𝑎 𝑚 𝑦 𝑚
+ 𝑏 𝑚 𝑢 𝑐 → 𝑦 𝑚
=
𝑏 𝑚
𝑝 + 𝑎 𝑚
𝑢 𝑐
O controlador proporcional que resolve esse problema é dado por
𝑢(𝑡) =
𝑇(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑢𝑐(𝑡) −
𝑆(𝑝)
𝑅(𝑝)
𝑦(𝑡) = 𝜃1𝑢𝑐(𝑡) – 𝜃2𝑦(𝑡)
onde os ganhos para garantir a resposta do sistema desejado são
𝜃1 = 𝜃1
0
=
𝑏𝑚
𝑏
, 𝜃 2 = 𝜃2
0
=
𝑎𝑚−𝑎
𝑏
introduzindo o sinal do erro
𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) =
𝑏𝜃1
𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2
𝑢 𝑐(𝑡) −
𝑏𝜃1
𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2
calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃1 e 𝜃2, temos
𝜕𝑒
𝜕θ1
=
𝑏
𝑝+𝑎+𝑏θ2
𝑢 𝑐(𝑡)
𝜕𝑒
𝜕θ2
= −
𝑏θ1b
(𝑝+𝑎+𝑏θ2)²
𝑢 𝑐(𝑡)=
−𝑏
𝑝+𝑎+𝑏θ2
y(t)
Ambas as fórmulas podem ser não usadas para atualizar os valores de 𝜃1 e
𝜃2, entretanto as constantes 𝑎 e 𝑏 não são conhecidas, nada pode ser feito,
então assumiremos que podemos inicializar o valor de 𝜃2 arredondando o seu
valor nominal
𝜃2 ≈ 𝜃2
0
=
𝑎𝑚−𝑎
𝑏
→ (𝑎 + 𝑏𝜃2) ≈ 𝑎 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [
𝑎𝑚
𝑠+𝑎𝑚
𝑢 𝑐(𝑡)]
𝑑
𝑑𝑡
𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [
𝑎𝑚
𝑠+𝑎𝑚
𝑦(𝑡)]
Onde
𝛾𝑛 = 𝛾
𝑏
𝑎 𝑚
Figura 6: diagrama de blocos de um controlador modelo-referência para um processo de primeira
ordem
Fonte: Autores
Figura 7: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para 𝑔𝑎𝑚𝑎 = 0.2
Fonte: Autores
Figura 8: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 1
Fonte: Autores
Figura 9: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 5
Fonte: Autores
Figura 10: parâmetros dos tetas 1 e 2 para gama = 0.2, 1, 5
Fonte: Autores
EXEMPLO 5.3 FALHA NA CONVERGÊNCIA DOS PARÂMETROS
Considere o sistema estático com um ganho desconhecido 𝑘:
𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝐺(𝑠) = 1
e o problema de amplificar o sinal uc(t) foi escolhido
𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡)
com 𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡) introduzimos o erro
𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘(𝜃𝑢 𝑚(𝑡)) – 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡) = 𝑘(𝜃 – 𝜃0)𝑢 𝑐(𝑡)
com 𝜃0 = 𝑘0/𝑘
𝑑
𝑑𝑡
𝜃(𝑡) = −𝛾𝑘²(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0)
𝑑
𝑑𝑡
(𝜃(𝑡) − 𝜃0)= −𝛾𝑛 𝑘(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0)
( 𝜃(𝑡) − 𝜃0) = 𝑒𝑥𝑝 {−𝛾𝑛 𝑘 ∫(𝑢 𝑐(𝑡))²𝑑𝑡
𝑡
0
} ( 𝜃(0) − 𝜃0)
𝑒(𝑡) = 𝑘 exp {−𝛾𝑛 𝑘 ∫ (uc(t))
2
dt
t
0
} ( 𝜃(0) − 𝜃0
)⏟
𝜃(𝑡) − 𝜃0
u(t)
para o sistema e o modelo dado por
𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡)
defini-se 𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) e obtemos
𝑢(𝑡) = 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡),
𝑑
𝑑𝑡
𝜃(𝑡) = −𝛾𝑛 𝑢 𝑐(𝑡)𝑒(𝑡)
como resultado obtemos
𝜃(𝑡) = 𝜃0
+ 𝜎(𝑡) , 𝑒(𝑡) = 𝑘 𝜎(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡)
𝜎(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘2
𝐼𝑡}( 𝜃(0) − 𝜃0), 𝐼𝑡 = ∫ (𝑢 𝑐(𝜏))
2
𝑑𝜏
𝑡
0
se 𝜃(0) ≠ 𝜃0
o erro sempre irá convergir para zero quando 𝑡 ⟶ ∞, porque a
integral 𝐼𝑡 diverge ou 𝑢 𝑐(𝑡) ⟶ 0. Os valores limites do parâmetro 𝜃 dependem
das propriedades do sinal de entrada. É comum o erro tornar-se nulo sem que
os parâmetros convirjam para seus corretos valores, uma característica de todo
sistema adaptativo. Além disso, o sinal de entrada deve apresentar
determinadas propriedades para que ocorra a convergência desses
parâmetros, ou seja, o sinal de entrada do processo deve ser persistentemente
excitante.
𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘 𝐼𝑡} → 0 ou 𝑢 𝑐 → 0 ou It = ∫ (uc(t))
2
dt
t
0
→ ∞
Figura 11: diagrama de blocos do exemplo 5.3
Fonte: Autores
Figura 12: comportamento de erro e convergência dos parâmetros
Fonte: Autores
Podemos perceber que neste exemplo proposto, os parâmetros tiveram suas
convergências completadas, isso se deve ao fato da amplitude do sinal de
entrada ser pequeno.
EXEMPLO 5.4 ESCOLHA DO GANHO DE ADAPTAÇÃO
Reaproveitando a função do exemplo 5.1
𝐺(𝑠) =
1
𝑠+1
, 𝑘 = 1, 𝑘0 = 2
A equação característica é
𝑠 + 𝜇
1
𝑠 + 1
= 0 ↔ 𝑠² + 𝑠 + 𝜇 = 0
tem um zero estável se e somente se:
𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚
0
𝑢0 𝑐 = 𝛾(𝑘0 𝐺(0)𝑢0 𝑐)𝑢0 𝑐 = 2𝛾(𝑢0 𝑐)² > 0
então γ > 0 funcionará, perceba, entretanto, que o transitório depende de 𝑢 𝑐
0
o amortecimento relativo é ζ ≈
1
2√ 𝜇
=
1
2√2γ
(𝑢 𝑐
0
)-1
μ ≈ 1 é razoável ← sendo γ ≈ 0.5 para 𝑢 𝑐
0
≈ 1 em média
Seguindo a equação 5.13 do livro, o sistema adaptativo será instável se a
função de transferência G(s) tiver um pólo em excesso maior que 1 e o
parâmetro μ na equação 5.14 for suficientemente grande. O parâmetro μ é
grande se os sinais forem grandes ou se o ganho de adaptação for grande. O
comportamento do sistema depende drasticamente do nível do sinal.
Figura 13: diagrama de blocos do exemplo 5.4
Fonte: Autores
Figura 14: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e θ para um sinal de entrada uc = 1
Fonte: Autores
Figura 15: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 2
Fonte: Autores
Figura 16: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 5
Fonte: Autores
EXEMPLO 5.5 ESTABILIDADE DEPENDENDO DA AMPLITUDE DO SINAL
Considere o sistema estável com grau relativo = 2
𝐺(𝑠) =
1
𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
; 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0
A equação característica
𝑠 + 𝜇
1
𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2
= 0 ↔ 𝑠³ + 𝑎1𝑠² + 𝑎2𝑠 + 𝜇 = 0
tem zeros estáveis se e somente se
𝜇 > 0 e 𝑎1 𝑎2 > 𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚
0
𝑢0 𝑐
com qualquer escolha de 𝛾 > 0, a estabilidade é perdida para magnitudes
suficientemente grandes do sinal de referencia 𝑢 𝑐
0
. Nesta simulação foi inserido
um valor para 𝜇 = 0.0001, obedecendo a condição acima.
Figura 17: diagrama de blocos do exemplo 5.5
Fonte: Autores
Figura 18: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1
Fonte: Autores
Figura 19: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1
Fonte: Autores
Figura 20: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1
Fonte: Autores
A Figura acima mostra claramente que a convergência da saída depende da
amplitude do sinal de entrada, sendo muito lenta quando a amplitude é baixa
ou se tornando instável quando ela é relativamente alta. Para se resolver este
problema a regra MIT foi alterada para não ser mais dependente da amplitude
do sinal de entrada.
Reescrevendo-se a Regra MIT, tem-se:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝛾𝜑𝑒
Onde 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ . Introduz-se então, a seguinte regra de ajuste denominada
Regra MIT Normalizada, onde a equação abaixo é a derivada de sensibilidade
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝛾𝜑𝑒
𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑
onde 𝛼 > 0 para evitar problemas quando 𝜑 for pequeno.
Desta forma, a estabilidade passa a ser avaliada pela equação:
𝑠 + 𝛾
𝜑 𝑜
𝑢 𝑐
𝑜
𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑
𝑘𝐺(𝑠) = 0
Obs: de acordo com o livro 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ , onde: 𝜕𝑒 𝜕𝜃 =⁄ k/k0 𝑦 𝑚, como neste
exemplo k = k0 = 1, para simulação foi considerado −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ = 𝑦 𝑚
Como 𝜑 𝑜
é proporcional a 𝑢 𝑐
𝑜
, a raiz da equação acima não irá sofrer grandes
alterações com a variação da amplitude do sinal.
Os gráficos da Figura 5 foram gerados com as mesmas condições que os
gráficos da Figura 4, ou seja, 𝑘 = 𝑎1 = 𝑎2 = 1 e 𝛾 = 0,1, neste caso temos o
acréscimo do parâmetro 𝑎 = 0.001. Isto deixa claro que a regra MIT
normalizada obtém respostas bem mais satisfatórias a qualquer que seja a
amplitude do sinal de entrada, do que a regra MIT convencional.
Figura 21: Diagrama de blocos do exemplo 5.5 para regra MIT normalizada
Fonte: Autores
Figura 22: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1
Fonte: Autores
Figura 23: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 1
Fonte: Autores
Figura 24: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 3.5
Fonte: Autores

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (12)

Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)
Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)
Estudos de Controle - Aula 4: Modelagem (2)
 
Estudos de Controle - Aula 1: Introdução
Estudos de Controle - Aula 1: IntroduçãoEstudos de Controle - Aula 1: Introdução
Estudos de Controle - Aula 1: Introdução
 
Algoritmo equacao da reta 2 teste de mesa para impressão
Algoritmo equacao da reta 2   teste de mesa para impressãoAlgoritmo equacao da reta 2   teste de mesa para impressão
Algoritmo equacao da reta 2 teste de mesa para impressão
 
Análise da Resposta Transitória
Análise da Resposta TransitóriaAnálise da Resposta Transitória
Análise da Resposta Transitória
 
Detetor Geiger-Müller
Detetor Geiger-MüllerDetetor Geiger-Müller
Detetor Geiger-Müller
 
Laplace
LaplaceLaplace
Laplace
 
14.3 derivadas parciais [pt. 1]
14.3 derivadas parciais [pt. 1]14.3 derivadas parciais [pt. 1]
14.3 derivadas parciais [pt. 1]
 
Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo
 
Exercício 4 transformada de laplace
Exercício 4   transformada de laplaceExercício 4   transformada de laplace
Exercício 4 transformada de laplace
 
Sintonia de controladores pid
Sintonia de controladores pidSintonia de controladores pid
Sintonia de controladores pid
 
Tarefa 01
Tarefa 01Tarefa 01
Tarefa 01
 
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivaçãoCalculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
 

Destaque

Model Reference Adaptive Control-Based Speed Control of Brushless DC Motor wi...
Model Reference Adaptive Control-BasedSpeed Control of Brushless DC Motorwi...Model Reference Adaptive Control-BasedSpeed Control of Brushless DC Motorwi...
Model Reference Adaptive Control-Based Speed Control of Brushless DC Motor wi...Risfendra Mt
 
1 mrac for inverted pendulum
1 mrac for inverted pendulum1 mrac for inverted pendulum
1 mrac for inverted pendulumnazir1988
 
Introduction to MARS (1999)
Introduction to MARS (1999)Introduction to MARS (1999)
Introduction to MARS (1999)Salford Systems
 
Adaptive control System
Adaptive control SystemAdaptive control System
Adaptive control SystemSUMIT ATTRI
 
Adaptive cruise control
Adaptive cruise controlAdaptive cruise control
Adaptive cruise controlJinu Joy
 
Adaptive Cruise control
Adaptive Cruise controlAdaptive Cruise control
Adaptive Cruise controlShijo T Daniel
 
Data Science - Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival Analysis
Data Science -  Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival AnalysisData Science -  Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival Analysis
Data Science - Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival AnalysisDerek Kane
 

Destaque (8)

Model Reference Adaptation Systems (MRAS)
Model Reference Adaptation Systems (MRAS)Model Reference Adaptation Systems (MRAS)
Model Reference Adaptation Systems (MRAS)
 
Model Reference Adaptive Control-Based Speed Control of Brushless DC Motor wi...
Model Reference Adaptive Control-BasedSpeed Control of Brushless DC Motorwi...Model Reference Adaptive Control-BasedSpeed Control of Brushless DC Motorwi...
Model Reference Adaptive Control-Based Speed Control of Brushless DC Motor wi...
 
1 mrac for inverted pendulum
1 mrac for inverted pendulum1 mrac for inverted pendulum
1 mrac for inverted pendulum
 
Introduction to MARS (1999)
Introduction to MARS (1999)Introduction to MARS (1999)
Introduction to MARS (1999)
 
Adaptive control System
Adaptive control SystemAdaptive control System
Adaptive control System
 
Adaptive cruise control
Adaptive cruise controlAdaptive cruise control
Adaptive cruise control
 
Adaptive Cruise control
Adaptive Cruise controlAdaptive Cruise control
Adaptive Cruise control
 
Data Science - Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival Analysis
Data Science -  Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival AnalysisData Science -  Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival Analysis
Data Science - Part XV - MARS, Logistic Regression, & Survival Analysis
 

Semelhante a MODEL-REFERENCE ADAPTIVE SYSTEMS (MRAS)

Desenvolvimento análise de sistemas lineares
Desenvolvimento análise de sistemas linearesDesenvolvimento análise de sistemas lineares
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
 
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuoExercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuoAlessandro Beda
 
189778 integral indefinida
189778 integral indefinida189778 integral indefinida
189778 integral indefinidaCicero Laurindo
 
Teoria de estimação
Teoria de estimaçãoTeoria de estimação
Teoria de estimaçãoManuel Vargas
 
Revisão de matemática para vestibular
Revisão de matemática para vestibularRevisão de matemática para vestibular
Revisão de matemática para vestibularLucas Garcia Borges
 
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptx
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptxCópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptx
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptxKlebyanoCosta2
 
Controle Ótimo de Reatores Químicos
Controle Ótimo de Reatores QuímicosControle Ótimo de Reatores Químicos
Controle Ótimo de Reatores QuímicosMaria Soares
 
Gerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricosGerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricosSandro de Macedo
 
Tce pe cespe estatística final
Tce pe cespe estatística finalTce pe cespe estatística final
Tce pe cespe estatística finalArthur Lima
 
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdf
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdfmat_ii_aula-2_integral-definida.pdf
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdfRuanFurtado2
 
Controlador de velocidade de máquina a vapor.
Controlador de velocidade de máquina a vapor.Controlador de velocidade de máquina a vapor.
Controlador de velocidade de máquina a vapor.João Marcos Gomes Vieira
 
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
8ºano mat correcao teste5  8ano_v18ºano mat correcao teste5  8ano_v1
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1silvia_lfr
 
Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)Iago Lira
 
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdfAlexSouza974126
 
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdf
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdfCapítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdf
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdfJacquesCousteau1
 

Semelhante a MODEL-REFERENCE ADAPTIVE SYSTEMS (MRAS) (20)

Desenvolvimento análise de sistemas lineares
Desenvolvimento análise de sistemas linearesDesenvolvimento análise de sistemas lineares
Desenvolvimento análise de sistemas lineares
 
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuoExercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo
Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo
 
189778 integral indefinida
189778 integral indefinida189778 integral indefinida
189778 integral indefinida
 
Teoria de estimação
Teoria de estimaçãoTeoria de estimação
Teoria de estimação
 
Revisão de matemática para vestibular
Revisão de matemática para vestibularRevisão de matemática para vestibular
Revisão de matemática para vestibular
 
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptx
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptxCópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptx
Cópia de Aula 01-Operações Fundamentais.pptx
 
Controle Ótimo de Reatores Químicos
Controle Ótimo de Reatores QuímicosControle Ótimo de Reatores Químicos
Controle Ótimo de Reatores Químicos
 
Gerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricosGerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricos
 
Passo adaptativo stiff
Passo adaptativo stiffPasso adaptativo stiff
Passo adaptativo stiff
 
Tce pe cespe estatística final
Tce pe cespe estatística finalTce pe cespe estatística final
Tce pe cespe estatística final
 
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdf
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdfmat_ii_aula-2_integral-definida.pdf
mat_ii_aula-2_integral-definida.pdf
 
Controlador de velocidade de máquina a vapor.
Controlador de velocidade de máquina a vapor.Controlador de velocidade de máquina a vapor.
Controlador de velocidade de máquina a vapor.
 
MMQ_CasoDiscreto.pdf
MMQ_CasoDiscreto.pdfMMQ_CasoDiscreto.pdf
MMQ_CasoDiscreto.pdf
 
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
8ºano mat correcao teste5  8ano_v18ºano mat correcao teste5  8ano_v1
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
 
Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)
 
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf
407432875-AMPOP-EXERCICIOS-RESOLVIDOS.pdf
 
PDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptxPDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptx
 
Modulo 2
Modulo 2Modulo 2
Modulo 2
 
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdf
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdfCapítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdf
Capítulo 4 - Resposta no domínio do tempo.pdf
 
aula-3_integrais-indefinidas.pdf
aula-3_integrais-indefinidas.pdfaula-3_integrais-indefinidas.pdf
aula-3_integrais-indefinidas.pdf
 

Último

Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...
Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...
Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...migorof964
 
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...migorof964
 
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxFASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxhefifo4687
 
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...hefifo4687
 
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdf
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdfGerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdf
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdfLeonardo Martins
 
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...xokece8239
 
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxFASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxmigorof964
 
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...migorof964
 
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...migorof964
 

Último (9)

Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...
Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...
Você já agiu sem pensar Muitas vezes, somos precipitados, porque o comportame...
 
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...
Na unidade I, Valenciano (2024) cita três lições para a melhor compreensão da...
 
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxFASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
 
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...
Para Aguera (2008), a emoção pode ser representada por impulsos que podem ser...
 
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdf
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdfGerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdf
Gerenciando_pequenos_projetos_com_Notion_Leonardo_Martins_AgileTrends2024.pdf
 
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...
Com base na imagem apresentada e em seus conhecimentos sobre a implementação ...
 
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docxFASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
FASE A1 de 2024 - Logica de Programacao e Algoritmos.docx
 
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...
Quando se trata de inteligência emocional, encontramos inúmeras definições na...
 
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...
O horário político obrigatório suscitou inúmeros questionamentos em D. Matild...
 

MODEL-REFERENCE ADAPTIVE SYSTEMS (MRAS)

  • 1. Instituto Federal do Pará Campus Belém Professor: André Maurício Damasceno Ferreira Graduação em Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Controle Adaptativo Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo: Exemplos do Capítulo 5 do Livro Adaptive Control escrito por Karl J. Astrom & Bjorn Wittenmark Arthur Coelho Pereira Jean Rafael Nonato Neves Pedro Barata Piquia Junior Renan Paraense Godinho Belém – PA 2016
  • 2. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará Campus Belém Professor: André Maurício Damasceno Ferreira Graduação em Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Controle Adaptativo Turma: C310-8MM Arthur Coelho Pereira Jean Rafael Nonato Neves Pedro Barata Piquia Junior Renan Paraense Godinho Matrícula:2011310003 Matrícula: 2011310033 Matrícula: 2010310025 Matrícula: 2009310028 Atividade Acadêmica de Controle Adaptativo: Exemplos do Capítulo 5 do Livro AdaptiveControl escrito por Karl J. Astrom e Bjorn Wittenmark Atividade acadêmica desenvolvido para a disciplina Controle Adaptativo, do curso de Engenharia de Controle e Automação, sob orientação do professor André Maurício Damasceno Ferreira como parte integrante da nota correspondente à 2ª Avaliação. Belém – PA 2016
  • 3. EXEMPLO 5.1 ADAPTAÇÃO DE UM GANHO FEEDFORWARD Considere um sistema estável de uma entrada e uma saída (SISO) 𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡)) onde  𝑦(𝑡) é a saída do sistema  𝐺(𝑝) é uma função de transferência conhecida e estável  𝑢(𝑡) é o sinal de entrada  𝑘 é um ganho constante desconhecido o problema é encontrar o controlador 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑝) 𝑅(𝑝) 𝑢 𝑐 para seguir 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝐺 𝑚(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) onde k0 é um ganho constante se 𝑘 fosse conhecida poderíamos resolver o problema 𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢(𝑡)) → 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) usando um simples controlador proporcional 𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡) Isto , de fato, funciona porque se 𝜃 é escolhida como 𝜃 = 𝑘0 𝑘 então 𝑦(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑘𝐺(𝑝) ( 𝑘0 𝑘 𝑢 𝑐(𝑡)) = 𝑦 𝑚(𝑡) agora devemos utilizar algum recurso para adaptar o valor de θ, vamos considerar o erro entre a saída real e a saída simulada 𝑒(𝑡, 𝜃) = 𝑦(𝑡) − 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘𝐺(𝑝)( 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡)) – 𝑘0 𝐺(𝑝)(𝑢 𝑐(𝑡)) vamos atualizar 𝜃(𝑡) de um jeito que 𝑒(𝑡, 𝜃) fique mínimo, vamos considerar a função custo que mede o valor de 𝑒(𝑡, 𝜃) 𝐽(𝑡, 𝜃) = |𝑒(𝑡, 𝜃)|² Sua derivada em função do tempo é dada pela regra da cadeia
  • 4. 𝑑𝐽 𝑑𝑡 = 𝑑𝐽 𝑑𝑡 + 𝑑𝐽 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Sua derivada deveria ser negativa 𝑑𝐽 𝑑𝑡 = . . . + 𝑑𝐽 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 → 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = -γ[ 𝑑𝐽 𝑑𝜃 ] 𝑑𝐽 𝑑𝑡 = . . . + 2𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 → 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = -γ[2𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝜃 ] Calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃 temos 𝑑𝑒 𝑑𝜃 = 𝑑 𝑑𝜃 [ 𝑘𝐺( 𝑝)(θ(t)uc(t)] = 𝑘𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) = 𝑘 𝑘0 𝑘0𝐺(𝑝)(𝑢𝑐(𝑡)) = 𝑘 𝑘0 𝑦𝑚(𝑡) Então a lei de atualização para θ se torna 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = −γ [2𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝜃 ] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, θ) Onde 𝛾𝑛 > 0, é arbitrário desde que 𝛾𝑛 = 𝛾 𝑘 𝑘0 com um valor arbitrário de 𝛾 > 0 Lembrando que: 𝐽(・) = |𝑒(・)| → 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = − 𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡). 𝑠𝑖𝑔𝑛[𝑒(𝑡, 𝜃)]. A função de transferência utilizado no exemplo é: 𝐺(𝑠) = 1 𝑠 + 1 E 𝑘 = 1, 𝑘0 = 2 A lei de atualização para θ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = -γ[2𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝜃 ] = −𝛾𝑛 𝑦 𝑚(𝑡)𝑒(𝑡, 𝜃) Foi feita simulações com os valores de gamma 𝛾 = 0.5, 1, 2 o sinal de entrada é igual 𝑢 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
  • 5. Figura 1: diagrama de blocos do MRAS do exemplo 1 Fonte: Autores Figura 2: comportamento de y e ym para gama = 0.5 Fonte: Autores Figura 3: comportamento de 𝑦 e 𝑦 𝑚 para gama = 1 Fonte: Autores
  • 6. Figura 4: comportamento de y e ym para gama = 2 Fonte: Autores Figura 5: parâmetros do controlador quando o ganho adaptativo 𝛾 = 0.5; 1; 2 Fonte: Autores EXEMPLO 5.2 MRAS PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM Suponha que a dinâmica do sistema é 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −𝑎𝑦 + 𝑏𝑢, 𝑦 = 𝑏 𝑝+𝑎 𝑢 Enquanto a dinâmica desejada para o sistema em malha fechada é 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 𝑚 = −𝑎 𝑚 𝑦 𝑚 + 𝑏 𝑚 𝑢 𝑐 → 𝑦 𝑚 = 𝑏 𝑚 𝑝 + 𝑎 𝑚 𝑢 𝑐 O controlador proporcional que resolve esse problema é dado por 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑝) 𝑅(𝑝) 𝑢𝑐(𝑡) − 𝑆(𝑝) 𝑅(𝑝) 𝑦(𝑡) = 𝜃1𝑢𝑐(𝑡) – 𝜃2𝑦(𝑡) onde os ganhos para garantir a resposta do sistema desejado são
  • 7. 𝜃1 = 𝜃1 0 = 𝑏𝑚 𝑏 , 𝜃 2 = 𝜃2 0 = 𝑎𝑚−𝑎 𝑏 introduzindo o sinal do erro 𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑏𝜃1 𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2 𝑢 𝑐(𝑡) − 𝑏𝜃1 𝑝 + 𝑎 + 𝑏𝜃2 calculando a derivada parcial do erro em função de 𝜃1 e 𝜃2, temos 𝜕𝑒 𝜕θ1 = 𝑏 𝑝+𝑎+𝑏θ2 𝑢 𝑐(𝑡) 𝜕𝑒 𝜕θ2 = − 𝑏θ1b (𝑝+𝑎+𝑏θ2)² 𝑢 𝑐(𝑡)= −𝑏 𝑝+𝑎+𝑏θ2 y(t) Ambas as fórmulas podem ser não usadas para atualizar os valores de 𝜃1 e 𝜃2, entretanto as constantes 𝑎 e 𝑏 não são conhecidas, nada pode ser feito, então assumiremos que podemos inicializar o valor de 𝜃2 arredondando o seu valor nominal 𝜃2 ≈ 𝜃2 0 = 𝑎𝑚−𝑎 𝑏 → (𝑎 + 𝑏𝜃2) ≈ 𝑎 𝑚 𝑑 𝑑𝑡 𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [ 𝑎𝑚 𝑠+𝑎𝑚 𝑢 𝑐(𝑡)] 𝑑 𝑑𝑡 𝜃2 ≈ −𝛾𝑛 𝑒(𝑡) [ 𝑎𝑚 𝑠+𝑎𝑚 𝑦(𝑡)] Onde 𝛾𝑛 = 𝛾 𝑏 𝑎 𝑚
  • 8. Figura 6: diagrama de blocos de um controlador modelo-referência para um processo de primeira ordem Fonte: Autores Figura 7: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para 𝑔𝑎𝑚𝑎 = 0.2 Fonte: Autores
  • 9. Figura 8: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 1 Fonte: Autores Figura 9: comportamento de 𝑦 𝑚, 𝑦 e u para gama = 5 Fonte: Autores
  • 10. Figura 10: parâmetros dos tetas 1 e 2 para gama = 0.2, 1, 5 Fonte: Autores EXEMPLO 5.3 FALHA NA CONVERGÊNCIA DOS PARÂMETROS Considere o sistema estático com um ganho desconhecido 𝑘: 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝐺(𝑠) = 1 e o problema de amplificar o sinal uc(t) foi escolhido 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡) com 𝑢(𝑡) = 𝜃𝑢 𝑐(𝑡) introduzimos o erro 𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘(𝜃𝑢 𝑚(𝑡)) – 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡) = 𝑘(𝜃 – 𝜃0)𝑢 𝑐(𝑡) com 𝜃0 = 𝑘0/𝑘 𝑑 𝑑𝑡 𝜃(𝑡) = −𝛾𝑘²(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0) 𝑑 𝑑𝑡 (𝜃(𝑡) − 𝜃0)= −𝛾𝑛 𝑘(𝑢 𝑐(𝑡))²( 𝜃(𝑡) − 𝜃0) ( 𝜃(𝑡) − 𝜃0) = 𝑒𝑥𝑝 {−𝛾𝑛 𝑘 ∫(𝑢 𝑐(𝑡))²𝑑𝑡 𝑡 0 } ( 𝜃(0) − 𝜃0) 𝑒(𝑡) = 𝑘 exp {−𝛾𝑛 𝑘 ∫ (uc(t)) 2 dt t 0 } ( 𝜃(0) − 𝜃0 )⏟ 𝜃(𝑡) − 𝜃0 u(t) para o sistema e o modelo dado por 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝑦 𝑚(𝑡) = 𝑘0 𝑢 𝑐(𝑡)
  • 11. defini-se 𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) – 𝑦 𝑚(𝑡) e obtemos 𝑢(𝑡) = 𝜃(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡), 𝑑 𝑑𝑡 𝜃(𝑡) = −𝛾𝑛 𝑢 𝑐(𝑡)𝑒(𝑡) como resultado obtemos 𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜎(𝑡) , 𝑒(𝑡) = 𝑘 𝜎(𝑡)𝑢 𝑐(𝑡) 𝜎(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘2 𝐼𝑡}( 𝜃(0) − 𝜃0), 𝐼𝑡 = ∫ (𝑢 𝑐(𝜏)) 2 𝑑𝜏 𝑡 0 se 𝜃(0) ≠ 𝜃0 o erro sempre irá convergir para zero quando 𝑡 ⟶ ∞, porque a integral 𝐼𝑡 diverge ou 𝑢 𝑐(𝑡) ⟶ 0. Os valores limites do parâmetro 𝜃 dependem das propriedades do sinal de entrada. É comum o erro tornar-se nulo sem que os parâmetros convirjam para seus corretos valores, uma característica de todo sistema adaptativo. Além disso, o sinal de entrada deve apresentar determinadas propriedades para que ocorra a convergência desses parâmetros, ou seja, o sinal de entrada do processo deve ser persistentemente excitante. 𝑒𝑥𝑝{−𝛾𝑛 𝑘 𝐼𝑡} → 0 ou 𝑢 𝑐 → 0 ou It = ∫ (uc(t)) 2 dt t 0 → ∞ Figura 11: diagrama de blocos do exemplo 5.3 Fonte: Autores
  • 12. Figura 12: comportamento de erro e convergência dos parâmetros Fonte: Autores Podemos perceber que neste exemplo proposto, os parâmetros tiveram suas convergências completadas, isso se deve ao fato da amplitude do sinal de entrada ser pequeno. EXEMPLO 5.4 ESCOLHA DO GANHO DE ADAPTAÇÃO Reaproveitando a função do exemplo 5.1 𝐺(𝑠) = 1 𝑠+1 , 𝑘 = 1, 𝑘0 = 2 A equação característica é 𝑠 + 𝜇 1 𝑠 + 1 = 0 ↔ 𝑠² + 𝑠 + 𝜇 = 0 tem um zero estável se e somente se: 𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚 0 𝑢0 𝑐 = 𝛾(𝑘0 𝐺(0)𝑢0 𝑐)𝑢0 𝑐 = 2𝛾(𝑢0 𝑐)² > 0 então γ > 0 funcionará, perceba, entretanto, que o transitório depende de 𝑢 𝑐 0 o amortecimento relativo é ζ ≈ 1 2√ 𝜇 = 1 2√2γ (𝑢 𝑐 0 )-1 μ ≈ 1 é razoável ← sendo γ ≈ 0.5 para 𝑢 𝑐 0 ≈ 1 em média
  • 13. Seguindo a equação 5.13 do livro, o sistema adaptativo será instável se a função de transferência G(s) tiver um pólo em excesso maior que 1 e o parâmetro μ na equação 5.14 for suficientemente grande. O parâmetro μ é grande se os sinais forem grandes ou se o ganho de adaptação for grande. O comportamento do sistema depende drasticamente do nível do sinal. Figura 13: diagrama de blocos do exemplo 5.4 Fonte: Autores Figura 14: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e θ para um sinal de entrada uc = 1 Fonte: Autores
  • 14. Figura 15: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 2 Fonte: Autores Figura 16: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e 𝜃 para um sinal de entrada 𝑢 𝑐 = 5 Fonte: Autores
  • 15. EXEMPLO 5.5 ESTABILIDADE DEPENDENDO DA AMPLITUDE DO SINAL Considere o sistema estável com grau relativo = 2 𝐺(𝑠) = 1 𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2 ; 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0 A equação característica 𝑠 + 𝜇 1 𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎2 = 0 ↔ 𝑠³ + 𝑎1𝑠² + 𝑎2𝑠 + 𝜇 = 0 tem zeros estáveis se e somente se 𝜇 > 0 e 𝑎1 𝑎2 > 𝜇 = 𝛾𝑘𝑦 𝑚 0 𝑢0 𝑐 com qualquer escolha de 𝛾 > 0, a estabilidade é perdida para magnitudes suficientemente grandes do sinal de referencia 𝑢 𝑐 0 . Nesta simulação foi inserido um valor para 𝜇 = 0.0001, obedecendo a condição acima. Figura 17: diagrama de blocos do exemplo 5.5 Fonte: Autores
  • 16. Figura 18: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1 Fonte: Autores Figura 19: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1 Fonte: Autores
  • 17. Figura 20: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 1 Fonte: Autores A Figura acima mostra claramente que a convergência da saída depende da amplitude do sinal de entrada, sendo muito lenta quando a amplitude é baixa ou se tornando instável quando ela é relativamente alta. Para se resolver este problema a regra MIT foi alterada para não ser mais dependente da amplitude do sinal de entrada. Reescrevendo-se a Regra MIT, tem-se: 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝛾𝜑𝑒 Onde 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ . Introduz-se então, a seguinte regra de ajuste denominada Regra MIT Normalizada, onde a equação abaixo é a derivada de sensibilidade 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝛾𝜑𝑒 𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑 onde 𝛼 > 0 para evitar problemas quando 𝜑 for pequeno. Desta forma, a estabilidade passa a ser avaliada pela equação: 𝑠 + 𝛾 𝜑 𝑜 𝑢 𝑐 𝑜 𝛼 + 𝜑 𝑇 𝜑 𝑘𝐺(𝑠) = 0
  • 18. Obs: de acordo com o livro 𝜑 = −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ , onde: 𝜕𝑒 𝜕𝜃 =⁄ k/k0 𝑦 𝑚, como neste exemplo k = k0 = 1, para simulação foi considerado −𝜕𝑒 𝜕𝜃⁄ = 𝑦 𝑚 Como 𝜑 𝑜 é proporcional a 𝑢 𝑐 𝑜 , a raiz da equação acima não irá sofrer grandes alterações com a variação da amplitude do sinal. Os gráficos da Figura 5 foram gerados com as mesmas condições que os gráficos da Figura 4, ou seja, 𝑘 = 𝑎1 = 𝑎2 = 1 e 𝛾 = 0,1, neste caso temos o acréscimo do parâmetro 𝑎 = 0.001. Isto deixa claro que a regra MIT normalizada obtém respostas bem mais satisfatórias a qualquer que seja a amplitude do sinal de entrada, do que a regra MIT convencional. Figura 21: Diagrama de blocos do exemplo 5.5 para regra MIT normalizada Fonte: Autores Figura 22: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para 𝑢 𝑐 = 0.1 Fonte: Autores
  • 19. Figura 23: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 1 Fonte: Autores Figura 24: comportamento de 𝑦, 𝑦 𝑚 e teta para uc = 3.5 Fonte: Autores