1. Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN LIÊN
QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm m ñeå haøm soá taêng (giaûm)
1.Haøm soá baäc 3 ( haøm soá höõu tyû )
Taäp xaùc ñònh
Ñaïo haøm y/
Haøm soá taêng treân R ( trong töøng khoaûng
xaùc ñònh): y/
0 x R
0
0a
Giaûi tìm m
Chuù yù:Neáu heä soá a cuûa y/
coù chöùa tham soá thì
phaûi xeùt khi a = 0
Töông töï cho haøm soá giaûm:
y/
0 x R
0
0a
2.Haøm soá nhaát bieán :
dcx
bax
y
Taäp xaùc ñònh
Ñaïo haøm y/
Haøm soá taêng (giaûm) trong töøng khoaûng xaùc
ñònh : y/
> 0 ( y/
< 0 ) . Giaûi tìm m
Chuù yù : Neáu heä soá c coù chöùa tham soá ta xeùt
theâm c = 0
Dạng 2: Duøng daáu hieäu 2 tìm cöïc trò
Taäp xaùc ñònh
Ñaïo haøm y/
Giaûi phương trình y/
= 0 tìm nghieäm x0
Ñaïo haøm y//
.Tính y//
(x0)
* Neáu y//
(x0) > 0 : haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x0
* Neáu y//
(x0) < 0 : haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x0
Dạng 3: Tìm m ñeå hàm số bậc 3 coù cöïc đại ,
cực tiểu
Taäp xaùc ñònh R
Ñaïo haøm y/
Haøm soá coù cöïc đại,cực tiểu khi y/
= 0 coù hai
nghieäm phaân bieät
0
0a
Giaûi tìm m
Dạng 4: Tìm m ñeå hàm số bậc 4 coù cöïc đại ,
cực tiểu (có 3 cực trị)
4 2
y ax bx c
Taäp xaùc ñònh R
Ñaïo haøm 3
4 2y ax bx
y/
= 0 3
2
0
4 2 0 (1)
4 2 0(2)
x
ax bx
ax b
Haøm soá coù cöïc đại, cực tiểu khi y/
= 0 coù ba nghieäm
phaân bieät pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
Giaûi tìm m
Dạng 5 Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc trò taïi x0
Taäp xaùc ñònh
Ñaïo haøm y/
Haøm soá ñaït cöïc trò taïi x0 :
y/
(x0) = 0 giải ra tìm m
Thử lại
Chú ý:
Ñaïo haøm y//
.Tính y//
(x0)
* Neáu y//
(x0) > 0 : haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x0
* Neáu y//
(x0) < 0 : haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x0
Dạng 6: Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0 taïi x0
Taäp xaùc ñònh
Ñaïo haøm y/
= f/
(x)
Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0 taïi x0 khi
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
Dạng 7 Tìm GTLN,GTNN treân ñoaïn [a,b]
Tìm xi [a,b]: f/
(xi) = 0 hoặc f/
(xi) khoâng xaùc ñònh
Tính f(a), f(xi) , f(b)
Keát luaän max max ( ); ( ); ( )i
D
y f a f x f b
min min ( ); ( ); ( )i
D
y f a f x f b
2. Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12http://caodangduochanoi.vn/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
Dạng 8: Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong ( C)
1.Tieáp tuyeán taïi M(x0,y0): y = f/
(x0).(x – x0 ) + y0
2.Tieáp tuyeán ñi qua A(xA ,yA):
(d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
Ñieàu kieän tieáp xuùc:
)()(
)()(
//
xgxf
xgxf
3.Tieáp tuyeán sg sg (d) y ax b thì 0f x a
4.Ttuyeán vuoâng goùc (d): y ax b thì 0
1
f x
a
Dạng 9; Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá
nghieäm phöông trình f (x) – g(m) = 0
Ñöa phöông trình veà daïng : f(x) = g(m) (*)
Ptrình (*) laø ptrình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa
(C) :y = f(x) vaø (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
Döïa vaøo ñoà thò bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông
trình. (2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì
phương trình có bấy nhiêu nhiệm)
Dạng 10; Bieän luaän soá giao ñieåm cuûa ( C)
vaø d
(d): y = k(x – xA) + yA = g(x)
Ptrình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*)
Neáu (*) laø phöông trình baäc 2:
1) Xeùt a= 0:keát luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø(d)
2) Xeùt a 0 : + Laäp = b2
– 4ac
+ Xeùt daáu vaø keát luaän
(Chuù yù: (d) caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät
0
0a
Neáu (*) laø phöông trình baäc 3:
1) Ñöa veà daïng (x – x0)(Ax2
+ Bx + C) = 0
(2))(02
0
xgCBxAx
xx
2) Xeùt tröôøng hôïp (2) coù nghieäm x = x0
3) Tính cuûa (2), xeùt daáu vaø keát luaän
(Chuù yù: (d) caét (C) taïi 3 ñieåm phaân bieät khi
phöông trình (2) coù 2 no pb x1 , x2 khaùc x0)
0)(
0
0
0
)2(
xg
A
ÑAÏO HAØM
2
//
2
///
//
///
///
.
.5
)0(
..
.4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
xx
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1/
/
/
sin
1
cot.18
cos
1
tan.17
sincos.16
cossin.15
1
ln.14
ln.
1
log.13
.12
ln..11
.2
1
.10
11
.9
...8
1.7
0.6
sin
cot
cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1
...
2
/
/
2
/
/
//
//
/
/
/
/
//
//
/
/
2
//
/1/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu
uu
dcx
bax
y
.19 ta coù 2
/
)( dcx
bcad
y
22
2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
ta coù
3. Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
2
22
2
2
22
11
22
112
22
11
/
2
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y
4. Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
LŨY THỪA
aaaan
....
( n thừa số)
n
m
nm
nmnm
n
n
a
a
a
aaa
a
a
a
.
1
10
nn
n mn
m
nmmnnm
n
nn
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
1
.
)()(
b
a
.).(
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
)()(
)()(
1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa
0)()().1(
0)()(
xgxfa
a
aa xgxf
)()(thì1a0
)()(ìth1a
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf
LOGARIT
)1a,0Na,(
loga
NaMN M
NaN
a log
01log a
1log aa
NN
alog
a
NkNN
k
N
a
N
NNa
a
N
N
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.loglog
1
log
log
1
log
loglog.log
log
log
log
logloglog
loglog.log
k
a
b
21
2
1
a
2121a
)()(0)(log)(logthì1a0
0)()()(log)(logthì1a
a
a
xgxfxgxf
xgxfxgxf
a
a
g(x)f(x)
)0g(x)(0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf aa
0g(x)]-1)[f(x)-(a
0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf aa
SỐ PHỨC
* 12
i
* 2
1
z
z
z
* 22
. baibaz
* ibazibaz ..
* 22
bazz
db
ca
idciba ..
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc
* 2121 zzzz
* 2121 zzzz
*
2
1
2
1
2121 ;..
z
z
z
z
zzzz
1. iba . .Gọi là căn bậc 2 của , ta có:
b ≥ 0 :
2
.
2
2222
baa
i
baa
b < 0 :
2
.
2
2222
baa
i
baa
2.
r
b
r
a
bar
irz
sin
cos)sin.(cos
22
3. )]sin(.)[cos(. 21212121 irrzz
4. )]sin(.)[cos( 2121
2
1
2
1
i
r
r
z
z
5. )]sin(.)[cos(
11
i
rz
6. )sin.(cos)sin.(cos ninrir nn
)sin.(cos)sin.(cos nini
n
TÍCH PHÂN
5. Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
)cot(
1
)(sin
cot
sin
)10
)tan(
1
)(cos
tan
cos
)9
)sin(
1
)cos(sincos)8
)cos(
1
)sin(cossin)7
ln
1
ln
)6
1
)5
)(
11
)(
11
)4
ln
1
ln
1
)3
1
)(1
)(
1
)2
)1
22
22
)(
)(
)()(
22
11
bax
abax
dx
x
x
dx
bax
abax
dx
x
x
dx
bax
a
dxbaxxxdx
bax
a
dxbaxxxdx
C
a
a
c
dxaC
a
a
dxa
Ce
a
dxeCedxe
C
baxabax
dx
C
x
dx
x
Cbax
abax
dx
Cxdx
x
C
bax
a
dxbaxC
x
dxx
CkxkdxCxdx
dcx
dcx
x
x
baxbaxxx
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1. )().( /)(
dxxuef xu
Đặt )(xut
2.
1
).(ln dx
x
xf Đặt )ln(xt
3. ).( dxbaxf n
Đặt n
baxt
4. dxxxf )cos,(sin
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
thức hạ bậc:
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos 22 x
x
x
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t
5. ).( 22
dxxaf Đặt tax sin
6. ).( 22
dxxaf Đặt tax tan
7. ).( 22
dxaxf Đặt
t
a
x
cos
8.
).
1
(
22
dx
ax
f Đặt 22
axxt
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
a
b
a
vdxu
a
b
vudxvu //
..
dxexP bax
).( .
Đặt baxbax
e
a
vev
xPxPu
1
chon
)(ucóta)(
/
//
dxbaxxP )cos().( .
Đặt:
)sin(
1
chon)cos(
)(ucóta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
dxbaxxP )sin().( .
Đặt:
)cos(
1
chon)sin(
)(ucóta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
dxxuxP )(ln).( .
Đặt:
dxxPvxPv
x
xu
)(chon)(
1
ucótaln
/
/
Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v/
là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích
phân mà nguyên hàm của phần này đã biết
DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
dxyyV
dxy
bxax
CC
H
b
a
CCOx
C
2
2
2
1
b
a
2C1
21
yS
b)(a,
)(và)(
)(
dyxxV
dyx
ddycy
CC
H
d
c
CCOy
C
2
2
2
1
d
c
2C1
21
xS
)(c,
)(và)(
)(