Cours Béton Armé II _ Nguyen Quang Huy

Béton Armé II
Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Département GCU
Cours de 4ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.frVersion 1.7
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Table des matières
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Béton Armé I
• Chapitre 1: Introduction
• Chapitre 2: Propriétés des bétons
• Chapitre 3: Propriétés des aciers d’armature
• Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
• Chapitre 5: Bases générales de la flexion
• Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
• Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures
Béton Armé II
• Chapitre 9: Effort tranchant à l’ELU
• Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS
• Chapitre 11: Flexion composée
• Chapitre 12: Flexion déviée
• Chapitre 13: Effort rasant
• Chapitre 14: Torsion
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Les différents Eurocodes
NF EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
NF EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures
NF EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton
NF EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
NF EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton
NF EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois
NF EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie
NF EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique
NF EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes
NF EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en alliages d'aluminium
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EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode 1
Actions
EN 1992
Eurocode 2
Béton
EN 1993
Eurocode 3
Acier
EN 1994
Eurocode 4
Acier-béton
EN 1995
Eurocode 5
Bois
EN 1996
Eurocode 6
Maçonnerie
EN 1999
Eurocode 9
Aluminium
EN 1997
Eurocode 7
Géotechnique
EN 1999
Eurocode 8
Séisme
Sécurité structurale, aptitude au
service, durabilité et robustesse
Actions et charges sur les
structures
Conception, dimensionnement
et dispositions constructives:
règle de calcul pour différents
matériaux
Calcul géotechnique et
sismique
Lien entre les Eurocodes
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Projet de conception d’un bâtiment
1. Modèle structure
2. Actions sur la structure
• Charges permanentes
 poids propres (plan architectural)
 équipements …
• Charges variables
 Surcharges d’exploitation (catégorie du bâtiment)
 Surcharges climatiques
o Vent (EC1)
o Neige (EC1)
 Action sismique
3. Combinaison des actions (Chapitre 4 et EC0)
4. Descente de charges (TD BA1 et BA2)
5. Analyse structurale (Chapitre 4)  sollicitations de calcul à l’ELU et à l’ELS
Problème de dimensionnement
6. Calcul des armatures à l’ELU et vérification à l’ELS
• Poutres et dalles (Chapitre 5, 6, 9,10, 12, 13 et 14)
• Poteaux et voiles (Chapitre 9, 10, 11 et 12)
Problème de vérification
7. Calcul de résistance de chaque élément structural: XRd ≥ XEd
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6
Plan d’architecte
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7
Régions de vent Eurocode 1 France - EN1991-1-4 NA
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8
Régions de neige Eurocode 1 France - EN1991-1-3 NA:2007
Régions: A1 A2 B1 B2 C1 C2 D E
Valeur caractéristique
(Sk en kN/m2) de la
charge de neige sur le
sol à une altitude
inférieure à 200m
0,45 0,45 0,55 0,55 0,65 0,65 0,9 1,4
Valeur de calcul S,d
de la charge
exceptionnelle de
neige sur le sol
- 1 1 1,35 - 1,35 1,8 -
Loi de variation de la
charge caractéristique
pour une altitude
supérieure à 200m
Δs2Δs1
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Zonage sismique de la France
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Chapitre 9: Effort tranchant 2
9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant
9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant
9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré
9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU
9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch
9.4.1 Résistance des armatures d’effort tranchant
9.4.2 Résistance des des bielles de compression du béton
9.4.3 Règle du décalage de moment
9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis
9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant
9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence
9.5.2 Vérifications
9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales
9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant
9.6.1 Cas général des armatures inclinées
9.6.2 Cas particulier des armatures droites
9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites
9.7 Éléments de hauteur variable
9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant
9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant
9.9.1 Principe du calcul des répartitions
9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
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9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
• Tout élément linéaire soumis à un moment fléchissant variable M subit simultanément un effort tranchant
V = dM/dx, qui produit des contraintes de cisaillement 𝜏 (appelées aussi contraintes tangentielles).
• Ces contraintes influencent la valeur et la direction des contraintes principales de traction et de compression.
Trajectoires des contraintes principales dans une dans une poutre simple soumise à une charge
uniformément repartie à l’état non fissuré
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• L’élément de trace BD est soumis à une contrainte de traction égale à 𝜏b  risque de fissuration à 45° là où 𝜏b
est élevé (voisinage des appuis)
• L’élément de trace AC est soumis à une contrainte de compression égale à 𝜏b  risque d’écrasement du
béton suivant les « bielles » découpées par les fissures
Remarques:
 lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion 𝜎𝑡 = 𝜎𝑐 = 𝜏 𝑏 n’est plus valable. Il y a redistribution
des efforts entre les armatures d’âme tendues et les bielles comprimées.
 Les champs des contraintes principales de compression du béton sont appelés des bielles de compression.
Trajectoires des contraintes principales à l’état fissuré
Trajectoires de traction
Trajectoires de compression
Contraintes
de flexion
Contraintes
de cisaillment
b
b
b
b
A
C
B
D
Zone de
compresion
B
D
b
b
C
t
Traction
C
om
pression
b
b
A
CD
c

dx
dy
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• Afin d’empêcher le développement de fissures dues aux cisaillements, il est nécessaire de mettre en place
des armatures transversales, souvent nommées « armatures d’effort tranchant ». Ces armatures compensent
le mauvais comportement du béton en traction.
• Dans certains cas, notamment pour les dalles, la mise en place d’une armature transversale, sous forme
d’étriers, s’avère compliquée et coûteuse. Sous certaines conditions, il est possible de s’en passer, si les
contraintes 𝜏 sont suffisamment faibles.
Poutre sans armature d’effort tranchant:
système porteur arc-tirant
q
• En cas d’absence d’armatures d’effort tranchant, le
comportement structural de la poutre change et
s’approche de celui d’un arc à tirant.
Remarques:
 Comme les contraintes principales sont orientées à ± 45°,
l’utilisation des armatures transversales inclinées du même
angle est mécaniquement plus efficace. L’EC2 permet une
telle inclinaison.
 En pratique, les armatures transversales droites sont
beaucoup plus simple à mettre en place sur le chantier et
surtout qu’elles évitent une inversion (toujours possible) de
la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles sont
presque toujours privilégiées par rapport à des armatures
inclinées
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Rupture par cisaillement
Raison ?
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9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant
De nombreux essais effectués sur des poutres rectangulaires simplement appuyées soumises à un effort
croissant provoqué par l’application d’une charge ponctuelle, ont montré que le mode de rupture dépend
fortement du rapport av/d entre la distance de l’appui au point d’application de la charge (av) et la hauteur
effective de la poutre (d). Ceci permet de distinguer les modes principaux de rupture suivants:
1. av/d > 6: Les poutres pour lesquelles le rapport av/d est aussi élevé atteignent la rupture par flexion.
2. 2.5 < av/d < 6: Les poutres avec un rapport av/d inférieur à 6 tendent à se rompre par effort tranchant.
Lorsque l’effort V augmente, la fissure de flexion a-b la plus proche de l’appui se propage vers le point
d’application de la charge en s’inclinant graduellement (fissure diagonale a-b-c).
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Avec l’augmentation de la charge, la rupture se produit habituellement selon un des deux modes suivants:
(a) Si av /d est relativement élevé (≈ 6), la fissure diagonale va rapidement atteindre le point e, provoquant la
rupture par séparation de la poutre en deux morceaux. Ce mode de rupture est souvent appelé rupture par
“traction diagonale” ; pour un tel mode de rupture, la charge ultime est sensiblement la même que la charge
nécessaire pour faire apparaître la fissure diagonale.
(b) Si av /d est relativement faible (≈ 2,5), la propagation de la fissure tend à s’arrêter quelque part près du
point j; un certain nombre de fissures peuvent se développer dans le béton autour de l’armature longitudinale.
Lorsque l’effort V augmente encore, la fissure diagonale s’ouvre et se propage horizontalement au niveau de
l’armature longitudinale (fissure g-h). En augmentant, l’effort de cisaillement provoque la destruction
d’adhérence entre le béton et l’armature longitudinale, menant généralement au fendage du béton le long de la
ligne g-h. À nouveau, la charge ultime n’est pas fort différente que la charge qui produit la fissure diagonale.
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3. 1 < av/d < 2.5: Pour des rapports av/d inférieurs à environ 2,5 mais supérieur à 1, la fissure diagonale se
forme souvent indépendamment et non comme l’extension d’une fissure de flexion.
4. av/d < 1: Pour des si faibles rapports av/d, la fissure diagonale forme approximativement une ligne
droite entre l’appui et le point d’application de la charge.
La poutre reste stable après l’apparition d’une telle
fissure. Une augmentation de la charge V provoque la
pénétration de la fissure diagonale dans la zone de
compression du béton près du point d’application de la
charge, jusqu’à ce que se produise la rupture par
écrasement du béton. Ce mode de rupture est
habituellement appelé rupture par “compression
cisaillement” . Pour ce mode de rupture, la charge ultime
sera parfois plus du double de la charge provoquant la
fissure diagonale.
Cette fissure s’initie habituellement à hauteur d'environ
un tiers de la hauteur d. Lorsque la charge augmente, la
fissure diagonale se propage simultanément vers le
point de chargement et vers l’appui. Lorsque celle-ci a
pénétré suffisamment en profondeur la zone de
compression près du point d’application de la charge ou,
plus fréquemment au droit de l’appui, la rupture par
écrasement du béton se produit. Pour ce mode de
rupture du type “poutre cloison”, la charge ultime vaut
généralement plusieurs fois la charge pour laquelle
apparaît la fissure diagonale.
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9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant
Considérons un morceau de poutre entre deux fissures de flexion. Dans la section de la fissure, l’effort tranchant
est repris par trois forces :
• les contraintes de cisaillement dans le béton comprimé (non fissuré) au-dessus de la fissure,
• le transfert de forces de cisaillement entre les faces de la fissure,
• l’effet de goujon dû à l’armature principale de flexion (dowel action).
Le mécanisme exact de l’apparition de fissures d’effort tranchant n’est pas connu avec précision mais on sait
qu’il est gouverné essentiellement par la combinaison de ces trois forces.
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• Si la présence de la fissure ne provoque aucune perte de raideur au cisaillement, la distribution des contraintes
aura la forme parabole-rectangle et la fissuration d’effort tranchant apparaîtrait quand la résistance à la traction
du béton serait atteinte.
La réalité se situe entre ces deux extrêmes.
• Si aucun effort de cisaillement n’est transmis à
travers la fissure, la “dent” de béton comprise entre
deux fissures de flexion, devrait se comporter comme
une “console”, fixée dans la zone supérieure
comprimée et sollicitée dans sa partie inférieure par les
forces d’adhérence de l’armature principale comme le
montre la figure ci-contre. Dans ce cas la résistance du
système reposerait sur la résistance à la flexion de
cette “console”.
Les nombreux essais, qui ont été réalisés sur des poutres, en forme de I et de Té, montrent que les facteurs
principaux qui conditionnent la résistance à la fissuration d’effort tranchant sont :
• les dimensions de la section (la hauteur effective d, et la largeur de l’âme bw),
• les propriétés du béton (la résistance),
• le pourcentage d’armature longitudinale l = Asl / (bw.d) exprimé par rapport aux dimensions de l’âme,
• le rapport M / (V.d)
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9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré
Le calcul en phase élastique non fissurée reste toutefois indispensable lorsqu’il s’agit d’éviter la formation de
fissures obliques dans l’âme (dites fissures d’effort tranchant) comme, par exemple, pour les grands ponts
précontraints.
Des fissures se forment lorsque les contraintes principales de traction atteignent la résistance du béton à la
traction (σI,max > fct). Pour déterminer les contraintes principales, il faut connaître les contraintes tangentielles .
Conformément à la théorie générale de l’élasticité, la contrainte de cisaillement y au niveau y de la section
droite est calculée par la formule:
( )
( )y
V S y
I b y
 
• V est l’effort tranchant de la section considérée
• S(y) est le moment statique par rapport au centre de gravité yG, de la partie de section située au-dessus du
niveau y:
• I est l’inertie de la section
• b(y) est la largeur de la section au niveau y
Note: cette formule n’est valable que pour des poutres à inertie constante
 ( ) . ( )
h
Gy
S y y y b x dx 
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Les contraintes principales peuvent être déterminées grâce à la relation:
L’angle  entre la direction de σII et l’axe de la poutre vaut :
2
2
,
2 2
x y x y
I II xy
   
 
  
   
 
 
2
tan(2 )
xy
x y


 


Contraintes principales dans une poutre fléchie à l’état non fissuré
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• En pratique, le calcul des contraintes principales s’avère nécessaire lorsque l’on veut éviter la formation de
fissures inclinées. Cette condition de non fissuration se présente souvent pour les structures en béton
précontraint.
• Les sections sont donc sollicitées par de la flexion composée (effort normal = force de précontrainte)
combinée à un effort tranchant V . La répartition des contraintes dans ce cas est présentée à la figure ci-
dessous
• On constate que même dans la zone comprimée (en flexion), il subsiste toujours des contraintes des traction
σI dues à l’effort tranchant V . Si l’on veut supprimer toute traction, il faut prévoir une précontrainte verticale
(ou oblique) produisant des contraintes σy de compression (précontrainte transversale).
Remarque: Il convient de noter que les expressions précédentes, basées sur la théorie des poutres, ne
s’appliquent pas dans les zones d’introduction de grandes forces telles que les réactions d’appui ou les forces
de précontrainte (théorème de Saint-Venant).
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9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU (état fissuré)
L’EC2 distingue les éléments sans armature d’effort tranchant (principalement les dalles) et les éléments avec
armatures d’effort tranchant (les poutres). Au niveau des notations, l’EC2 introduit:
• VEd effort tranchant résultant des combinaisons des charges à l’ELU;
• VRd,c effort tranchant résistant du béton en l’absence d’armatures d’effort tranchant;
• VRd,s effort tranchant résistance repris par les armatures d’effort tranchant;
• VRd,max effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté par la poutre sans provoquer
l’écrasement des bielles de compression du béton;
Dans le cas d’éléments de hauteur variable, il définit les valeurs ci-après:
• Vccd la valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de
la force de compression, dans le cas d’une membrure
comprimée inclinée;
• Vtc la valeur de calcul de la composante d’effort
tranchant de la force dans l’armature tendue, dans
le cas d’une membrure tendue inclinée;
• VRd effort tranchant résistance d’un élément comportant des
armatures d’effort tranchant:
En terme de résistance, la présence d’armature d’effort tranchant n’est pas nécessaire si VEd ≤ VRd,c. Dans le cas
contraire, il faut réaliser le dimensionnement et la disposition des cadres pour les poutres de telle sorte que VEd ≤
VRd
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9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch
Le fonctionnement d’une poutre en BA après la fissuration oblique peut être modélisé comme celui d’une poutre à
treillis plan multiple avec bielles et tirants (treillis de Ritter-Mörsh) dans laquelle:
• La membrure tendue est constituée par les armatures longitudinales tendues (tirants);
• La membrure comprimée est constituée par la zone comprimée de la poutre (béton + armatures éventuelles);
• La hauteur est égale au bras de levier des forces internes 𝑧, pris égal à 𝑧 = 0,9𝑑 pour des éléments en béton
armé fissurés;
• Les diagonales comprimées sont les bielles de béton découpées par les fissures obliques d’inclinaison 𝜃 sur la
ligne moyenne de la poutre;
• Les diagonales tendues sont les cadres:
 Inclinés d’un angle 𝛼 sur la ligne moyenne;
 section Asw par nappe;
 espacement s mesuré parallèlement à la ligne moyenne.
z
cadre
bielle
Armature longitudinale
 
cotz  cotz 
Treillis avec bielles et armatures inclinées
d
A
B C
A
B
C
bielle
cadre
Fissures
obliques
Treillis multiples de Ritter-Mörsch
swA
s
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Différents modèle de treillis multiples
• Chaque cadre du modèle représente
un certain nombre de cadres réels. Le
treillis (a) est isostatique, tandis que le
treillis (b), qui peut sembler plus réaliste,
est hyperstatique.
• Le treillis (c) est un modèle plus raffiné
pour représenter ce qui se passe dans la
région située près de l’appui. Ce modèle
donne les mêmes résultantes de forces
dans l’âme que le modèle original (a).
• L’angle θ que forment les bielles
inclinées avec l’axe de la poutre n’est
pas fixé à priori, puisque même si des
fissures ayant une autre inclinaison sont
présentes, des efforts de cisaillement
peuvent être transmis à travers elles.

s
z
sF
cF
Compression (bielle)
Traction (tirant)
EdV
sF
cF
EdV
sF
cF
EdV
( )a
( )b
( )c
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9.4.1 Équation pour VRd,s : Résistance des armatures d’effort tranchant
• Considérons les treillis multiples de Ritter-Mörsch d’une poutre dont les armatures d’effort tranchant sont
espacées régulièrement de 𝑠.
• Dans un treillis quelconque, il y a 𝑛 armatures transversales. 𝑛 représente le nombre de treillis multiples
superposés et participant à la résistance du treillis étudié (en gris) sur la distance 𝑧 cot𝜃 + cot𝛼 . Donc 𝑛 est
déterminé par:
(cot cot ) 0.9 (cot cot )z d
n
s s
    
 
Équilibre vertical des forces dans la section A-A:
Par définition 𝑉 𝐸𝑑 = 𝑉 𝑅𝑑, 𝑠 lorsque 𝜎sw
= 𝑓𝑦𝑑  d’où l’expression de (6.13) de l’EC2
sw
Ed sw sw sw swsin sin (cot cot )sin
A
V F n A z
s
         
sw
Rd,s yd(cot cot )sin
A
V z f
s
   
EdM
EdV
EdN
s

A
A
EdM
EdV
EdN

A
A
sw
cdF
(cot cot )z  
z
swF
tdF
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9.4.2 Équation pour VRd,max : Résistance des bielles de compression du béton
Équilibre vertical des forces dans la section B-B:
La résistance des bielles est atteint lorsque
 d’où l’expression (6.14) de l’EC2
EdM
EdV
EdN
s

B
B
z
EdM
EdV
EdN
B
B
cw
cwF
sin( )
sin
z  


cdF
tdF
Ed cw w cw w cw 2
sin( ) cot cot
sin sin
sin 1 cot
z
V F b b z
   
   
 
 
  

cw Rd,c cw cdf    
 
 


Rd,max cw 1 cd w 2
cot cot
1+cot
V f b z
(dite contrainte résistante des bielles)


 
   
1 ck
1 ck ck
0.6 pour f 60MPa
0.9 f / 200 0.5 pour f 60MPa
𝜐1 est le facteur de réduction de la résistance
du béton fissuré à l’effort tranchant.
où α𝑐𝑤 est un coefficient tenant compte de l'état
de contrainte dans la membrure comprimée
(voir formule 6.11 de l’EC2-1-1).
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9.4.3 Règle du décalage de moment
"Par suite de la fissuration oblique, l’effort de traction supporté par une armature tendue dans une section (A)
d’abscisse 𝑥 correspond au moment dans une section (B) d’abscisse 𝑥 + 𝑎 "
• Treillis simple:
• Treillis multiple de Ritter-Mörsch:
L’effort de traction au point A de la membrure tendue est égal à la
somme des efforts de traction élémentaires de tous les treillis simples
compris entre les treillis élémentaires B1C1A et B2AD2 :
…
td td
( ) ( )
( ) A
B
MM x a M x
M M x a z F F
z z z

      
2
1
td
B B
B
B B
M
F
n z


 
td
( )
( )
( )
0.5(cot cot ) ( )
M x a
F V x
z z
M x
V x
z
 
 
  
Conclusion: En un point de moment nul (M=0),
l’effort de traction 𝐹 𝑠 n’est pas nul mais égal à
𝑎
𝑧
𝑉(𝑥)
B
A D D2
B2B1
C1 C
cotz cotz 
(cot cot )/ 2z  
 
AV
AM
x x a
z
 
(S)
tdF
cwF
x x a
B
A DC
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Règle du décalage de moment selon l’EC2
On distingue deux cas :
• L’élément ne comporte pas d’armatures d’effort tranchant (dalle), on décale la courbe des moments de 𝑎 = 𝑑
• L’élément comporte des cadres d’effort tranchant, on décale la courbe des moments de
EC2-1-1§6.2.3(7)
𝑎 = 0,5 𝑧 cot𝜃 = 0,45 𝑑 cot𝜃
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9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis
Cas des charges réparties
Conclusion: Pour des éléments soumis principalement à des charges réparties, la détermination des armatures
d’effort tranchant près des appuis est effectuée avec la valeur de l’effort tranchant à la distance max(𝑑; 𝑙) du nu
d’appui :
Remarques:
• Les armatures d’effort tranchant doivent être disposées à partir du nu d’appui
• La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe
des charges aux appuis.
EC2 §6.2.1
EC2 §6.2.3
max
Ed,cal max( ; )EdV V p d l 
Ed Rd,maxV V
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Cas des charges concentrées
la valeur de l’effort tranchant développé par ces charges est minorée par
Remarques:
• Il revient au même de prendre pour valeur de ces charges concentrées:
• La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe des charges aux
appuis.
uPPour les charges concentrées au voisinage des appuis vérifiant les
conditions suivantes :
• la distance de leur point d’application au nu d’appui vérifie:
• les charges sont appliquées à la face supérieure de l’élément;
• les armatures longitudinales sont totalement ancrées au-delà du nu d’appui;
0.5 2vd a d 
1
max( ; )
2 4
va
d
 
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9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant (EC2-1-1 §6.2.2)
Dans les zones de l’élément où VEd ≤ VRd,c aucune armature d’effort tranchant est requise par le calcul;
9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence VRd,c
• Lorsque la section est fissurée en flexion, l’effort tranchant de référence est donné VRd,c par la formule (6.2) de
l’EC2
 fck est exprimé en MPa
 d et bw sont la hauteur utile de la section et la largeur de l’âme.
 1/3
Rd,c Rd,c ck 1 cp w min 1 cp w(100 ) vlV C k f k b d k b d        
  








 

Rd,c
3
min
1
0,18
avec v 0,035 et
0,15
c
ck
C
k f
k
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 k est un coefficient tenant compte de l’effet
d’échelle
 𝜎cp est la contrainte de compression du béton
au niveau du centre de gravité sous l’effet de
l’effort normal NEd ( > 0 pour la compression)
200
1 2 (d en mm)k
d
  
0,2 (en MPa)Ed
cp
c
N
A
  
 𝜌𝑙 est le ratio d’armature longitudinale tendue
prolongée sur une longueur ≥ (lbd + d) au-delà
de la section considérée.
Section considérée
w
0,02sl
l
A
b d
  
®QHN2017

En introduisant la valeur de CRd,c, vmin et k1 dans l’expression précédente, on peut définir la contrainte de
cisaillement 𝜏Rd,c
Rd,c 1/3 3
Rd,c ck cp cp
w
0,18
(100 ) 0,15 0,035 0,15l ck
c
V
k f k f
b d
   

        
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rd,c (MPa)
(%)l
≤ 200
d (mm)
250
300
350
400
500
600
800
1000
béton C30
1,5
0
c
cp




Conclusion: La résistance au cisaillement d’un élément sans armatures transversales ne dépasse pas 0,95 MPa
 très faible
®QHN2017

9.5.2 Vérifications
Nécessité de prévoir des armatures d’effort tranchant
• Il n’y a pas lieu de prévoir des armatures d’effort tranchant si:
Vérification de la compression des bielles
• Valeur 𝑉Rd,max de dans le cas des armatures d’effort tranchant inclinées:
• Pour le cas sans armatures d’effort tranchant, le résistance des bielles de compression est la valeur minimale
de 𝑉Rd,max obtenue pour 𝛼 = 90°
Ed Rd,maxV V
Ed
Ed Rd,c Ed Rd,cou
w
V
V V
b d
   

 

 Ed Rd,max cw 1 cd w 2
cot
1+cot
V V f b z
EC2 §6.2.2
 
 


Rd,max cw 1 cd w 2
cot cot
1+cot
V f b z
®QHN2017

Remarques sur l’application des articles §6.2.1(6) et §6.2.2(6) de l’EC2 dans le cas des éléments sans armatures
d’effort tranchant:
Cas de section à hauteur constante Vccd=Vtd=0
EC2 §6.2.2
EC2 §6.2.1
Remarque: Cette condition est satisfaite si §6.2.1 est respecté

 

 Ed Rd,max cw 1 cd w 2
cot
1+cot
V V f b z
®QHN2017

9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales (EC2-1-1 §6.2.1(4) et §9.2.2)
• Même lorsque aucune armature d’effort tranchant est requise, il convient de prévoir un ferraillage transversal
minimal Asw,min. Le taux d’armatures d’effort tranchant minimales est donné par:
 Asw : l’aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s
 s : l’espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément
 𝛼 : l’angle entre les armatures d’effort tranchant et l'axe longitudinal
Taux minimal d'armature d'effort tranchant ρw,min [%]
cksw
w,min
w ykmin
0,081
sin
fA
s b f


 
    
 
C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C70 C80 C90
0.055 0.064 0.072 0.080 0.088 0.095 0.101 0.107 0.113 0.119 0.124 0.134 0.143 0.152
• Ce ferraillage peut être omis dans les
éléments qui ont une capacité suffisante de
distribution transversale des charges tels
que les dalles (pleines, nervurées,
alvéolées);
• Le ferraillage minimal peut également être
omis dans les éléments secondaires
(linteaux de portée ≤ 2 m par exemple) qui
ne contribuent pas de manière significative à
la résistance et à la stabilité d'ensemble de
la structure.
®QHN2017

On remarque que, dans le cas d’élément en béton armé (𝜎𝑐𝑝 = 0), la résistance produite par l’armature d’effort
tranchant minimale couvre quasiment la résistance 𝜏Rd,c dans tous les cas.
cot
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rd(MPa)
(%)l
≤ 200
d (mm)
250
300
350
400
500
600
800
1000
o
béton C30; 1,5 ; 0 ; 500MPa ; / 0,9 ; cot 0; 90c cp ykf z d        
Rd w,min cotyd
z
f
d
  
Rd,c
®QHN2017

9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant
Principe: Dans les zones de l’élément où VEd > VRd,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant telle
sorte que:
9.5.1 Cas général des armatures inclinées
• La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations :
• Si l’on définit le pourcentage géométrique d’armatures d’effort tranchant :
• L’angle θ pour lequel VRd = VRd,max = VRd,s vaut :
• Relation entre la résistance réduite à l’effort tranchant et le pourcentage géométrique d’armatures d’effort
tranchant
Ed Rd Rd,s Rd,maxmin( ; )V V V V 
 
 
 

  

 
  
Ed Rd,max cw 1 cd w 2
sw
Ed Rd,s yd
cot cot
1+cot
cot cot sin
V V f b z
A
V V z f
s
sw
w
w sin
A
b s



 

 
 cw 1 cd
2
w yd
cot 1
sin
f
f
   

     
 
   
  
 
2
w ydRd cw 1 cd
2
cw 1 cd w cw 1 cd w yd
sin
1 cot
. . sin
fV f
f b z f f
 Résistance des bielles
 Résistance des tirants
®QHN2017

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.11.1
45  
60  
75  
90  
Armatures droites

Rd
1 cd w. .
V
f b z


w yd
1 cd
f
f
• L’avantage principal de l’utilisation d’armatures d’effort tranchant inclinées est de pouvoir réduire la
contrainte dans les bielles comprimées et permettre ainsi de reprendre un effort tranchant plus important
pour des dimensions d’âme (bw et d) fixées.
• Un autre avantage d’armatures
d’effort tranchant inclinées provient
de la réduction de l’effort
complémentaire apporté dans le
tirant inférieur par rapport à des
étriers verticaux.
td Ed0.5(cot cot )F V   
Ed w cw 2
cot cot
1 cot
V b z
 





Note: En pratique, les armatures transversales droites sont beaucoup plus simple à mettre en place sur le
chantier et surtout qu’elles évitent une inversion de la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles
sont presque toujours privilégiées par rapport à des armatures inclinées.
®QHN2017

9.5.2 Cas particulier des armatures droites 𝛼 = 90°
• La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations :
• Si l’on choisit l’angle θ de sorte que ces deux
résistances soient égales on obtient les relations :

 


 
 
sw
Ed Rd,s yd
cot
1+cot
cot
V V f b z
A
V V z f
s
  
    
 


 
 
w ydRd cw 1 cd
cw 1 cd w cw 1 cd w
cw 1 cd
yd
y
w
d
1
cot 1
fV f
f b z f f
f
f
où w est le pourcentage d’armatures transversale
sw
w
w
A
b s
 
Effort tranchant résistant en fonction du pourcentage
d’armatures transversales (cadres verticaux)

 
w yd
cw 1 cd
f
f
 
Rd
cw 1 cd w
V
f b z
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
cot 2.5 
2.5 cot 1 
cot 1 
cot
1


®QHN2017

9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites (𝛼 = 90°)
• On est totalement libre du choix de l’angle  en respectant la condition 1 ≤ cot  ≤ 2,5
• La valeur de  doit être choisie pour minimiser la quantité totale d’armatures (longitudinales et d’effort
tranchant)
• Si les barres longitudinales ne sont pas arrêtées, on peut choisir  de manière à vérifier que l’effort tranchant
maximal pris en compte dans les calculs est au plus égal à VRd,max
• Dans le cas général, on peut dimensionner les armatures d’effort tranchant de telle sorte que
Remarque: Pour tenir compte du phénomène de transmission directe dans les cas des charges au voisinage de
l’appui ou de charge uniformément répartie, on prendrait la valeur de calcul de l’effort tranchant à la place
de (dans la deuxième équation) pour le calcul des armatures près des appuis

 


 
 
sw
Ed Rd,s yd
cot
1+cot
cot
V V f b z
A
V V z f
s
Ed,calV
EdV
®QHN2017

1. Détermination de l’angle 𝜃 des bielles
• Si avec
• Si
• Si
 cot𝜃 est déterminé en résolvant la première équation
2
c,Rd w c,Rd w
Ed Ed
cot 1
2 2
1 2.5
b z b z
V V
 

 
 

 




Ed c,Rd w 2
2.5
1 2.5
V b z

  c,Rd cw 1 cdf désignant la contrainte résistante des
bielles
Ed Rd,max 1 cot 2.5V V       on choisira une valeur de cot  entre 1 et 2,5
Conseil: cot  = 2 afin de réduire la quantité d’armatures
nécessaire
Ed c,Rd w 2
1
1 1
V b z

Ed Rd,max 1 cot 2.5V V     
 la résistance de bielles n’est pas suffisante  utiliser un béton de classe supérieure ou augmenter
les dimensions de la section (en pratique ce cas est très rare).
c,Rd w Ed c,Rd w2 2
2.5 1
1 2.5 1 1
b z V b z  
 
®QHN2017

2. Une fois cot déterminé, on le reporte dans la deuxième équation, On obtient:
3. Choisir la section Asw d’une nappe d’armatures d’effort tranchant, en déduire l’espacement de ces armatures,
vérifier que les conditions relatives à l’espacement (§9.2.2(5) et (6)) sont bien remplies et que le pourcentage
minimal (§9.2.2(4)) est bien respecté.
Ed Ed,calsw
yd
(ou )
cot
V VA
s f z 

Remarque: Il est à noter que le décalage de la courbe de moment servant pour le calcul des
armatures longitudinales doit être fait avec la valeur de θ choisie pour le calcul (ou la vérification) des
armatures transversales.
®QHN2017

9.7 Éléments de hauteur variable
• Les forces internes dues à l’action du moment fléchissant développent une composante verticale Vccd + Vtd qui
compense une part de l’effort tranchant de calcul VEd
• La résistance à l’effort tranchant d’un élément comportant des armatures d’effort tranchant est donnée par
Rd Rd,s ccd ctV V V V  
• VRd,s effort tranchant résistante repris par les armatures d’effort tranchant
• Vccd composante parallèle à la force de compression dans la zone comprimée
• Vtd composante parallèle à la force de traction dans les armatures tendues
Toutes les formules développées pour éléments
de hauteur constante peuvent s’appliquer en
remplaçant VEd par VEd-(Vccd+Vtd)
®QHN2017

Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant (EC2-1-1 §9.2.2)
Les armatures d’effort tranchant doivent former un angle de 90° à 45° avec la ligne moyenne de l’élément
considéré.
a. Elles peuvent être composées d’une combinaison de:
• Cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée;
• Barres relevées;
• Cadres ouvertes, échelles, épingles, etc. sans entourer les armatures longitudinales mais correctement
ancrés dans les zones comprimée et tendue.
b. Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical
situé près de la surface de l’âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la
torsion.
c. Au moins 50% des armatures d’effort tranchant nécessaires doivent être prévues sous forme de cadres,
étriers ou épingles.
®QHN2017

Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
d. La quantité d’armatures d’effort tranchant doit être au moins égal à:
e. L’espacement longitudinal maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant doit être au plus égal
à 𝑠𝑙,max:
f. L’espacement longitudinal maximal entre les barres relevées doit être au plus égal à:
g. Dans le sens transversal (l’épaisseur de l’âme), l’espacement des brins verticaux dans une série de
cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant doit être au plus égal à:
,max 0,75. (1 cot )ls s d   
,max 0,6. (1 cot )r bs s d   
,max 0,75. 600 mmt ts s d  
cksw
w,min w w
ykmin
0,08
sin sin
fA
b b
s f
  
 
   
 
barre relevée
®QHN2017

• L’effort tranchant de calcul des aciers à proximité du nu d’appui
• L’effort tranchant de calcul des aciers « tous les )𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 plus loin »
9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant
9.9.1 Principe du calcul des répartitions
9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
A. Cas des charges réparties
Soit une poutre non soumise à une charge concentrée à
proximité du nu de l’appui.
Si la poutre de section 𝑏 𝑤ℎ et de hauteur utile 𝑑 est soumise
principalement à des charges réparties, la vérification à
l’effort tranchant se fait à une distance 𝑑 de l’appui. Les
armatures d’effort tranchant requises sont alors maintenues
jusqu’au droit de l’appui (EC2-1-1 §6.2.1(8)).
nu
Ed,cal Ed avec max ; (cot cot )u r rV V p l l d z      
 
 Ed,cal Edmin (sur (cot cot ))V V z   
EC2 §6.2.3
L
d
Charges
transmises
directement
Charges
transmises
directement
Chargement de calcul
d
®QHN2017

On calcule l’espacement 𝑠0 des aciers à
la distance 𝑙 𝑟 du nu d’appui, et on
conserve jusqu’à l’appui, puis
l’espacement 𝑠 des aciers « tous les
)𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 », qu’on conserve
constant sur chaque escalier.
Pour ce faire, on choisit Asw et on
applique:
Cas des armatures transversales
droites:
 
Ed,calsw
0 yd
(ou ) cot cot sin
VA
s s f z   


EdV Ed,calV
1.8d
0 d 1.8d
Edcourbe d'effort tranchant V
Diagramme de calcul avec charges uniformes et cotθ = 2
SdV
0 d 1.9d
Diagramme de calcul avec charges uniformes et cotθ = 1
0.9z d
z
z
z
Ed,calcourbe de calcul V
1.35 1.5up g q 
Ed,calV
1.8d 1.8d 1.8d
Ed,calsw
0 yd(ou ) cot

VA
s s f z
®QHN2017

Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant
Données:
• Caractéristiques mécaniques: béton C30, acier B500A
• Chargements appliqués:
Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements?
35kN/m
28 kN/m


G
Q
u
ck
cd
c
yk
yd
s
1.35 1.5 89.25kN/m
30
20MPa
1.5
500
435MPa
1.15


  
  
  
p G Q
f
f
f
f
cw
1
c,Rd cw 1 cd
flexion simple 1
0.6
12 MPa


  
 

 f



 
 
w
9.6 m
10 m
400mm
0.9 720mm
0.9 648 mm
nu
eff
L
L
b
d h
z d
Calcul préliminaire:
9.6m
0.8 m
0.4 m 0.4 m
up
0.4 m4HA20
®QHN2017

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
X: 8.504
Y: 338.6
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
X: 7.208
Y: 213.4
Effort tranchant théorique
Effort tranchant de calcul
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
X: 1.496
Y: -312.7
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
X: 2.792
Y: -197.1
Tracer le diagramme de l’effort tranchant
Les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires? (EC2-1-1 §6.2.2)
VEd ≥ VRd,c donc les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.
Choisir l’angle  des bielles
Afin d’optimiser les armatures d’effort tranchant on choisit
Rd,c 124.7 kNV
Rd,s,min 197.5 kNV
Quantité minimale à placer
Ed Rd,c w 2
2.5
1244 kN
1+2.5
  x V b z  La résistance des bielles est
surabondante
cot 2 
Ed Rd,max( )V x V  
®QHN2017

Calculer la quantité nécessaire des armatures d’effort tranchant
• On constate qu’en dehors de la zone à proximité des appuis l’effort tranchant résistant calculé avec la
quantité minimale est plus grand que l’effort tranchant de calcul. Il suffit d’y mettre une quantité minimale
imposée par l’EC2.
• On a donc à calculer seulement la quantité nécessaire pour la zone à proximité des appuis:
nu
Ed,cal Ed 428.4 89.25 0.648 2 312.7 kN      u rV V p l
3
Ed,cal 2sw
0 yd
312.7 10
0.555mm /mm
cot 435 648 2

  
 
VA
s f z
2sw
0
0
soit un cadre HA8 avec un espacement s =18 cm 0.558 mm /mm 
A
s
Remarque: conformément à la clause 6.2.1(8) de l’EC2 1-1, les cadres doivent être sont maintenus
jusqu’au droit de l’appui.
cksw
w
ykmin
0,08
0.35
fA
b
s f
 
   
 
2sw
soit un cadre HA8 avec un espacement s=28 cm
0.359mm /mm
A
s
 
®QHN2017

Vérifier les conditions d’espacement (clause 9.2.2(6))
,max ,max0,75 75 cm sl ls d s ok    
Disposition des armatures d’effort tranchant
®QHN2017

B. Cas des charges ponctuelles et réparties
Calcul de l’effort tranchant VEd,cal à l’about
Selon la disposition de la charge ponctuelle près de l’appuis, on distingue les deux cas suivants:
• Si elle est placée au-delà de 2d, cette charge intervient en totalité dans le calcul.
• Si elle est appliquée sur la face supérieure de la poutre à une distance av<2.d du nu de l’appui  la zone
d’about est discontinue.
nu
Ed,cal Ed
( )
avec max ; 0.9 (cot cot )
u u
u r r
p P
V V p l l d d  

    
 
up uP
va
nu nu
nu nu
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
: prédominance des charges réparties
: sinon
u u
u u
u
p P
p P
V V p d V
V V V


  
 
1
avec max( ; )
2 4
va
d
 
Remarque: il convient d’appliquer la réduction par 𝛽 pour le seul calcul des armatures d’effort tranchant. La
vérification de la bielle est faite avec la valeur non réduite de VEd. De plus toutes les armatures longitudinales
doivent être ancrées à l’about.
les cadres doivent être sont
maintenus jusqu’au droit de
l’appui.
Il convient de vérifier que la part
d’armatures centrées sur 0,75av
coud bien la part de Pu transférée
sur l’appui
®QHN2017

Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant dans le cas de charge ponctuelle à l’about
Données:
• Caractéristiques dimensionnelles:
• Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500A
• Chargements appliqués:
Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements?
5m ; 200mm ; 500mm; 450mmwL b h d   
50kN/m ; P 150kN appliqué à 500 mm du nu de l'appuiu up  
ck
cd
c
yk
yd
s
35
23.33MPa
1.5
500
435MPa
1.15
0.9 405mm
f
f
f
f
z d


  
  
 
cw
1
c,Rd cw 1 cd
flexion simple 1
0.6
12 MPa


  
 

 f
50kN/mup 
150kNuP 
0.5 5m
EdV (kN)
260 231
81
15
200 171
87.7
Ed,calV
En présence d’une charge ponctuelle, il faut délimiter les zones de
discontinuité. Comme la charge est située à une distance av égale à
0,5m <2.d, cette zone d’about est considérée comme discontinue.
nu nu nu
nu nu
Ed Ed Ed
( ) ( )
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
260kN
200kN
u u
u u
p P
p P
V V V
V V V
  
  
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Choisir l’angle de la bielle d’about
Déterminer la section des cadres
• La bielle d’about de 21,8° intéresse la poutre sur 𝑧 cot𝜃 = 1m > 0,5m où est appliquée la charge ponctuelle. Il
faut donc vérifier que la part d’armatures centrées sur 0,75av = 375 mm coud bien la part de Pu transférée sur
l’appui (EC2-1-1 §6.2.3(8))
• Il faut que l’effort tranchant de calcul soit inférieur ou égal à la résistance des armatures d’effort tranchant
 ok
Conclusion: pour la zone d’about il faut prévoir 9 cadres HA8 espacés
de 11 cm sur 1m.
nu
Ed Rd,c w 2
2.5
260kN 336.2kN
1+2.5
V b z  
2sw
0
0
soit un cadre HA8 avec un espacement s =11 cm 0.914 mm /mm
A
s
 
nu 2sw
yd sw yd sw Ed
0.75 0 0
( )
0.75
0.826mm /mm
v
u
v
a
P
a A
f A f A V
s s
   
sw
Ed,cal Rd,s yd
0
200kN cot 402.6 kN
A
V V f z
s
   
cot 1z m 
0.75 va
va
11
Ed Rd,max( )V x V    La résistance des
bielles est surabondante
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Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 2
10.1 Généralités
10.2 Limitation des contraintes
10.2.1 Dispositions au niveau béton
10.2.2 Dispositions au niveau acier
10.3 Limitation des flèches
10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS
10.4.1 Module effectif du béton
10.4.2 Coefficient d’équivalence αe
10.5 Maîtrise de la fissuration
10.5.1 Considérations générales
10.5.2 Notion d’ouverture de fissures
10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct
10.6 Calcul des contraintes à l’ELS
10.6.1 Hypothèses
10.6.2 Notations
10.6.3 Section rectangulaire non fissurée
10.6.4 Section en T non fissurée
10.6.5 Moment de fissuration Mcr
10.6.6 Section rectangulaire fissurée
10.6.7 Section en T fissurée
10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS
10.7.1 Section rectangulaire
10.7.2 Section en T
10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des
armatures à l’ELS
10.7.4 Exemple d’application
10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS
10.8.1 Vérification des contraintes
10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul
10.8.3 Vérification des flèches par le calcul
10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par le calcul direct
10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature
10.8.6 Exemple d’application
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10.1 Généralités
 Les éléments de structure en béton armé, soumis à un moment de flexion simple sont généralement
dimensionnés à l’ELS dans les cas suivants:
• Fissuration préjudiciable.
• Fissuration très préjudiciable.
 Les vérifications à effectuer concernant l’ELS vis à vis de la durabilité de la structure conduit à s’assurer du
non-dépassement des contraintes limites de calcul à l’ELS :
• Compression du béton
• Traction des aciers suivant le cas de fissuration envisagé (état limite d’ouverture des fissures)
Nous abordons dans ce chapitre les points suivants:
 Dimensionnement à l’ELS
 Vérification à l’ELS
 Limiter l’ouverture des fissures pour ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure
 Tenir compte de la fissuration, du fluage et du retrait
 Assurer une section minimale d’armature
 Limiter la flèche structurale
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10.2 Limitation des contraintes (EC2-1-1 §7.2)
10.2.1 Dispositions au niveau béton
• La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales, les micro-
fissures ou encore des niveaux élevés de fluage, lorsque ceux-ci pourraient avoir des effets inacceptables
pour le fonctionnement de la structure.
• L’EC2 rappelle que, en l’absence de dispositions complémentaires, des fissures longitudinales peuvent
apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique de charges excède une valeur
critique. Il propose de limiter la compression à 0,6fck pour les zones soumises aux classes d’exposition XD, XF
et XS.
• Sous la combinaison quasi-permanente des charges:
 le fluage linéaire si σc ≤ 0,45fck ,
 le fluage non linéaire si σc > 0,45fck
10.2.2 Dispositions au niveau acier
• Les contraintes de traction dans les armatures doivent être limitées afin d'éviter les déformations inélastiques
ainsi qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable.
• Nous pouvons considérer qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable est évité si, sous la
combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans les armatures n'excède pas 0,8fyk.
Lorsque la contrainte est provoquée par une déformation imposée, il convient de limiter la contrainte de
traction à fyk.
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10.3 Limitation des flèches (EC2-1-1 §7.4)
EC2-1-1§7.4.1:
• La déformation d'un élément ou d'une structure ne doit pas être préjudiciable à leur bon fonctionnement ou à
leur aspect.
• Il convient de fixer des valeurs limites appropriées des flèches, en tenant compte de la nature de l’ouvrage,
des finitions, des cloisons et accessoires, et de sa destination.
• Il convient de limiter les déformations aux valeurs compatibles avec les déformations des autres éléments liés
à la structure tels que cloisons, vitrages, bardages, réseaux ou finitions. Dans certains cas, une limitation des
déformations peut être nécessaire afin d'assurer le bon fonctionnement de machines ou d'appareils supportés
par la structure, ou pour éviter la formation de flaques sur les toitures-terrasses.
• L'aspect et la fonctionnalité générale de la structure sont susceptibles d'être altérés lorsque la flèche calculée
d'une poutre, d'une dalle ou d'une console soumises à des charges quasi-permanentes est supérieure à
L/250 où L représente la portée. La flèche est évaluée par rapport aux appuis à proximité. Une contre-flèche
peut être prévue pour compenser en partie ou en totalité la déformation ; toutefois, il convient de ne pas
dépasser généralement une limite supérieure de L/250.
• Il convient de limiter les déformations susceptibles d'endommager les éléments de la structure avoisinants
l'élément considéré. Pour la déformation après construction, L/500 représente normalement une limite
adéquate pour les charges quasi-permanentes. D'autres limites peuvent être envisagées, en fonction de la
sensibilité de ces éléments avoisinants.
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10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS
10.4.1 Module effectif du béton
EC2-1-1§7.4.3(5)
Remarques sur la clause 7.4.3(5) de l’EC2:
• 𝜑 ∞, 𝑡0 représente le fluage final à long terme du béton donc sous des charges permanentes
• Le texte qui accompagne la définition de 𝜑 ∞, 𝑡0 précise bien qu’il s’agit d’un coefficient de fluage qui tient
compte du chargement dans un intervalle de temps considérés [t0, t]. Il faut donc comprendre qu’il est
question ici de 𝜑 𝑡, 𝑡0 puisque ce dernier permet de tenir compte non seulement des charges à long terme
(t= ∞) mais aussi à plus au moins court terme (comme les charges d’exploitation). 𝜑 𝑡, 𝑡0 doit donc être
utilisé avec la combinaison caractéristique de charges.
• Les clauses 7.2 et 7.3 des ‘‘Recommandations professionnelles pour l'application de la norme NF EN 1992-1-
1 (NF P 18-711-1) et de son annexe nationale (NF P 18-711-1/NA-Eurocode 2, partie 1-1) relatives au calcul
des structures en béton’’ stipulent que:
Eqp
, 0
Ed,ELS
avec ( , )
1
cm
c eff ef
ef
ME
E t
M
 

  

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10.4.2 Coefficient d’équivalence αe
• En BA les sections sont pratiquement homogénéisées en assimilant la section d’acier à une section
équivalente de béton  travailler avec un seul matériau
• Il nécessite d’exprimer un coefficient d’équivalence entre l’acier et le béton:
• Pour de charges essentiellement permanentes (tenant compte du fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 ):
• Pour de charges de plus ou moins courte durée et à longue durée (avec le fluage réduit 𝜑 𝑒𝑓):
• Pour de charges de courte durée (sans fluage)


 
 ,
, 0
avec
1 ( , )
s cm
e c eff
c eff
E E
E
E t
 Combinaison quasi-permanente des actions
  

   

Eqp
, 0
, Ed,ELS
avec et ( , )
1
s cm
e c eff ef
c eff ef
ME E
E t
E M
 Combinaison caractéristique des actions
  s
e
cm
E
E
  s
e
c
E
E
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10.5 Maîtrise de la fissuration (EC2-1-1 §7.3)
10.5.1 Considérations générales
• La fissuration est normale dans les structures en béton armé soumises à des sollicitations de flexion, d'effort
tranchant, de torsion ou de traction résultant soit d'un chargement direct soit de déformations gênées ou
imposées.
• La fissuration doit être limitée afin de ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure et de ne
pas rendre son aspect inacceptable (notion d’apparence).
• Les fissures peuvent également avoir d'autres causes telles que le retrait plastique ou des réactions
chimiques expansives internes au béton durci. L'ouverture de telles fissures peut atteindre des valeur
inacceptables mais leur prévention et leur maîtrise n'entrent pas dans le cadre de l’EC2.
• Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles ne
soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure.
10.5.2 Notion d’ouverture de fissures
• Il convient de définir une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) en tenant compte de la
nature et du fonctionnement envisagés de la structure ainsi que du coût de la limitation de la fissuration.
Valeurs recommandées de wmax par l’EC2
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• L’EC2 renvoie aux Annexes nationales pour fixer les limites des ouvertures des fissures. La valeur de wmax à
utiliser est donnée dans le tableau de l’Annexe nationale française (tableau 7.1NF)
Valeurs recommandées de wmax suivant l’AN française (ANF 7.1)
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10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (EC2-1-1 §7.3.3)
• Cette méthode permet de s’affranchir de la vérification complète de l’ouverture de fissure. Elle s’apparence
donc à une méthode forfaitaire
• Il convient dans le cas de fissures principalement dues aux charges, de limiter la contrainte dans l’acier aux
valeurs forfaitaires du tableau 7.2N et du tableau 7.3.N de l’EC2 en fonction du diamètre obtenu dans le cas
d’un calcul tenant compte de la fissuration
Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres ∅ 𝑠* pour la maîtrise de la fissuration
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration
k k k
k k k𝜎 𝑠
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En flexion simple, le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit :
où:
• 𝜙𝑠 est le diamètre maximal modifié de la barre
• 𝜙𝑠
∗
est le diamètre maximal de la barre donné dans le Tableau 7.2
• ℎ est la hauteur totale de la section
• ℎ𝑐𝑟 est la hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration sous combinaison quasi-permanente des actions
• 𝑑 est la hauteur utile au centre de gravité du lit extérieur d'armatures.
• 𝑘 𝑐 est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement avant la
fissuration ainsi que de la modification du bras de levier. En flexion simple:
 Pour des sections rectangulaires et les âmes des sections en T:
 Pour les membrures des sections en T:
𝐹𝑐𝑘 est la valeur absolue de l'effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du
moment de fissuration calculé avec 𝑓ct,eff
𝐴 𝑐𝑡 est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le
calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure
ct,eff
0.9
0.5ck
c
ct
F
k
A f
 
0.4ck 
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Espacement réel des barres longitudinales
Soit n le nombre de barres longitudinales
L’espacement réel des armatures du 1er lit
est calculé par:
Conclusion: Pour que le contrôle de la fissuration sans calcul direct de l’ouverture des fissures soit assuré, il suffit
que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite:
w nom ,réel
réel
2( )
1
t Lb c n
a
n
   


wb
nomc nomc,réelL
,réelL ,réelL
t t
réela réela
 

,réel
réel
ou
L s
a a
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10.6 Calcul des contraintes à l’ELS
10.6.1 Hypothèses
• Les sections planes restent planes et conservent leurs dimensions
• Il n’y pas de glissement à l’interface béton-armatures
• Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques
• L’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton
• L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité
10.6.2 Notations
• xs : hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée
• 1/r : courbure
• 𝜀𝑐𝑠 : déformation libre de retrait
• fct,eff : contrainte limite de la fissuration du béton
• MEd,ELS : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison caractéristique
• MEqp : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison quasi permanente
• Mcr : moment de fissuration
• II : moment d’inertie de la section homogénéisée non fissurée
• III : moment d’inertie de la section homogénéisée fissurée
• wk : ouverture des fissures
• hcr : hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration
• 𝜎 𝑠 : contrainte maximale admise dans l’armature après la formation de la fissure
• 𝜎 𝑐 : contrainte maximale admise dans le béton sous la combinaison caractéristique
• Ecm : module sécant du béton
• Ec,eff : module effectif du béton
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 Armatures tendues:
 Armatures comprimées:
10.6.3 Section rectangulaire non fissurée
• Aire de la section complète homogénéisée
• Position de l’axe neutre
• Inertie non fissurée
• Contraintes dans la section
 Fibre la plus tendue du béton:
 Fibre la plus comprimée du béton:
3 3
2 2w w
I 1 1 2 2
( )
( ) ( )
3 3
s s
e s s e s s
b x b h x
I A d x A d x 

     
 w 1 2e s sA b h A A  
  2
1 1 2 2 w / 2e s s
s
A d A d b h
x
A
  

ser
c s
I
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
I
M
d x
I
 ser
ct s
I
M
h x
I
  
 ser
2 2
e
s s
I
M
x d
I

  
1d
sx
c
1s
A.N.
zone
comprimée
déformations
serM
1sA
2sA
h
2d 2s
ct
2 /s e 
1 /s e 
ct
c
contraintes
wb
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10.6.4 Section en T non fissurée
• Aire de la section complète homogénéisée
• Position de l’axe neutre
• Inertie non fissurée
   
23 3 3
2 2w w f f
I 1 1 2 2 eff w eff w f
( )
( ) ( )
3 3 12 2
s s
e s s e s s s
b x b h x h h
I A d x A d x b b b b h x 
 
            
 
   w 1 2 eff w fe s sA b h A A b b h    
   2 2
1 1 2 2 w eff w f/ 2 / 2e s s
s
A d A d b h b b h
x
A
    

ser
c s
I
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
I
M
d x
I
 ser
ct s
I
M
h x
I
  
1sA
2sAfh
effb
wb
2 /s e 
1 /s e 
ct
c
sx
A.N.
2d
1dh
 ser
2 2
e
s s
I
M
x d
I

  
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10.6.5 Moment de fissuration Mcr
C’est un moment critique qui délimite l’apparition de la première fissure mécanique:
• Si MEd,ELS < Mcr : la section est non fissurée, toute la section participe à la résistance
• Si MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance
Mcr est déterminé en considérant que la fibre la plus tendue est à la contrainte limite de fissuration du béton fct,eff
Remarque:
• fct,eff est la valeur moyenne de la résistance en traction au moment où les premières fissures sont supposées
apparaître
• Quelle valeur du fluage est à considérer pour Ec,eff ? 𝜑 ∞, 𝑡0 ou 𝜑 𝑒𝑓𝑓? En effet la combinaison caractéristique
conduit aux sollicitations les plus sévères. Sous cette combinaison, le coefficient de fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 doit
être réduit pour obtenir 𝜑 𝑒𝑓𝑓. C’est donc Ec,eff obtenu avec 𝜑 𝑒𝑓𝑓 qu’il faut considérer pour le calcul de la section
non fissurée.
cr ,
I
ct eff
s
I
M f
h x


,
si nous prévoyons que la fissure aura lieu après 28 jours
( ) si nous prévoyons que la fissure aura lieu avant 28 jours
ctm
ct eff
ctm
f
f
f t

 

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10.6.6 Section rectangulaire fissurée
MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance
• Aire de la section complète homogénéisée:
• Position de l’axe neutre:
• Inertie fissurée:
3
2 2w
II 1 1 2 2( ) ( )
3
s
e s s e s s
b x
I A d x A d x     
 w 1 2e ss sxA b A A  
 1 1 2 2 w
2
/ 2e s s s
s
A x
x
d A d b
A
  

ser
c s
II
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
II
M
d x
I
0 section fissuréect  
 ser
2 2
e
s s
II
M
x d
I

  
1 2 w 1 1 2 2
2
w 1 2
( ) 2 ( )
1 1
( )
e s s s s
e s s
s
A A b A d A d
b A A
x


  
    
  
1d
sxzone
comprimée
serM
1sA
2sA
h
2d
wb
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10.6.7 Section en T fissurée
• Si xtest ≤ ℎt l’axe neutre est dans la table de compression (cas de section rectangulaire de largeur beff)
 Position de l’axe neutre:
 Inertie fissurée:
• Sinon, l’axe neutre est dans la nervure
 Aire de la section homogénéisée:
 Position de l’axe neutre:
 Inertie fissurée:
1 2 1 1 2 2
tes
eff
eff
t 2
1 2
( ) 2 ( )
1 1
( )
e s s s s
e s s
A A A d A d
x
A A
b
b


  
   
  
 Position de l’axe neutre d’une section rectangulaire
fissurée de largeur beff
testsx x
3
2 2
II 1 1 2
f
2
ef ( ) ( )
3
s
e s s e s s
x
I A d x A d
b
x     
   w 1 2 eff w fe ss sA b A A b b hx     
     
    
2
w 1 1 2 2 eff w f1 2 eff w f
2
w
1 2 eff w f
2 ( ) ( )
1 1
e s se s s
s
e s s
b A d A d b b hA A b b h
x
b
A A b b h


 
      
   
   
 
    2
1 1 2 2 w eff w
2
f/ 2 / 2e s
s
s sxA d A d b b b h
x
A
    

3 3
2 2eff eff w f
II 1 1 2 2
( )( )
( ) ( )
3 3
s s
e s s e s s
b x b b x h
I A d x A d x 
 
     
®QHN2017

10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS
Problème:
 Données: MEd,ELS, MEqp, bw, beff, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, wk
 Trouver As1 et As2
10.7.1 Section rectangulaire
1. Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant au cas où il n’y a pas d’armature comprimée et les
contraintes dans l’armature tendue et dans le béton atteignent les valeurs limites imposées par l’EC2:
Définition des pivots à l’ELS
ser 1
1
2 3
s
s c
x
M bx d
 
   
 
1
avec e c
s
e c s
x d
 
  


Remarque: Dans ce cas, la section est pratiquement
fissurée puisque 𝜎 𝑠/𝛼 𝑒 ≈ 23 MPa > fct,eff
a
b
a
b
sxsx
sx
ccc 
s
e


s
e


s
e



Pivot a Pivot b
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2. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0
• Position de l’axe neutre: est la solution de l’équation:
• Armature tendue nécessaire:
Question: Est-elle suffisante cette quantité d’armature pour assurer la sécurité à l’état-limite ultime de résistance
(ELU) ?
Conclusion: Si l’ouverture de fissures est limitée à 0,2mm (fissuration très préjudiciable), l’état-limite déterminant
est l’ELS. Une vérification à l’ELU ne présente aucun intérêt.
1
s
s
x
d
 
Ed,ELS Ed,ELS
s1
, 1
(1 / 3)s c s s s
M M
A
z d  
 

Ed,ELS3 2
ser ser 2
1
3 6 (1 ) 0 avec
e
s s s
s
M
bd

    

    
ser3
1 1 2
1 2 cos arccos où 2 1
3 3s

 
  
        
  
s1,ELU ,Ed
s1,ELS Ed,ELS 1
c ss
su c
A zM
A M z



Ed
Ed,ELS
1
,
1.5
280
0.64
435
1.05
s
su
c s
c
M
M
z
z






 




s1,ELU
s1,ELS
1
A
A
 
Cas de fissuration très
préjudiciable (wmax=0,2mm)
®QHN2017

3. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées. Trois solutions envisageables sont:
• Augmenter les dimensions de la section
• Utiliser un béton de classe supérieure
• Renforcer la section au moyen une nappe d’armatures en compression (As2 > 0)
On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2
sont respectées.
On fixe: 
• As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre:
4. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1)
1d
sx
A.N.
zone
comprimée
b
1sA
h
/s e 
c
contraintes
Ed,ELSM
2sA
2 /s e 
2d
1
c c
s s
 
 


1
e c
s s
e c s
x x d
 
  
 

2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
Ed,ELS ser 2 2 1 2 2
2 1 2
( )
( )s s s
s
M M
M M A d d A
d d



    

2 2
1 2 2 1
1
1 20
2
s c s s
s s s c s s s
s
bx A
A bx A A
 
  


    
®QHN2017

5. Déterminer le diamètre et l’espacement des barres pour la maîtrise de fissuration
• Déterminer la position de l’axe neutre xs et calculer l’inertie fissurée III en considérant le combinaison quasi
permanente (voir 8.4.5)
• Calculer la contrainte de l’acier:  Eqp
1 1
e
s s
II
M
d x
I

  
Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres pour la maîtrise de fissuration
k k k
k k k𝜎 𝑠
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de fissuration
Avec l’ouverture de la fissure wk
donnée et la contrainte de l’acier
calculée, on obtient par lecture
des tableaux 7.2N et 7.3.N de
l’EC2 un diamètre ∅ et
l’espacement des barres
®QHN2017

10.7.2 Section en T
1. Position de l’axe neutre correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a » et « b »
2. Si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ𝑡 puisque l’on cherche à atteindre la contrainte limite dans l’acier 𝜎 𝑠 (pivot a) donc l’axe neutre est
dans la table de compression  la poutre fonctionne en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff
(voir 10.7.1)
3. Si 𝑥 𝑠 > ℎ𝑡  calculer le moment de référence MTser
4. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la table de compression  la poutre fonctionne
en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff
5. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la nervure  la poutre fonctionne en T
Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a »
et « b »
2
eff f f
Tser 1
1 f
2 3
s
e
b h h
M d
d h


 
     
1
e c
s
e c s
x d
 
  


Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme
rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T.
sxfh
c
/s e 
  
2
eff w feff f
ser 1 1
2
2 3 2 3
s cs c s s
s
b b x hb x x x h
M d d
x
     
         
   
®QHN2017

6. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0
Le calcul exact de la section des armatures longitudinales tendues est assez compliqué et ne peut se faire sans
itération. Compte tenu des valeurs usuelles de hf/d1 ∈ [0,1; 0,3], on peut admettre, comme une expression
approchée du bras de levier zs, la formule suivante:
Ainsi, il est possible d’estimer la section d’acier tendu
nécessaire par:
7. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées  As2 > 0
On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2
sont respectées (pivot a-b).
On fixe: 
• As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre:
8. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1)
1 f
0.99 0.4s
z d h 
sx
c c 
cF
sz
Ed,ELS
s1
s s
M
A
z

s s
x x
2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
2
2 1 2
( )s
s
M M
A
d d



 w
eff w 2 2
1
1
2 2
fs c
f c s s
s
s
s
hb x
h b b A
x
A

 

 
    
 
 
®QHN2017

10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections
rectangulaires ou en T à l’ELS
1sA
2sA fh
effb
wb
1sA
2sA
1d
2d
wb
Données:
• Dimensions de la section: bw, beff, d1, d2, hf
• Matériaux: 𝜎 𝑐 et 𝜎 𝑠
• Sollicitations: MEd,ELS, MEqp
• Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable: wk
• Coefficient de fluage final: 𝜑 ∞, 𝑡0  coefficient d’équivalence: 𝛼 𝑒
®QHN2017

w effb b
2
eff f f
Tser 1
1 f2 3
s
e
b h h
M d
d h


 
     Section en T
non
Ed,ELS TserM M
w effb b
oui
Section
rectangulaire
non
Section en T
Données
Ed,ELS serM M
3
1 1 2
1 2 cos arccos
3 3s


  
     
  
non
s2 0A 
Ed,ELS
2
1
2
1
e
s
M
bd


  
oui
Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des
armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELS
1 e c
s
e c s
d
x
 
  


ser w 1
1
2 3
s
s c
x
M b x d
 
   
 
s2 0A  Ed,ELS
s1
1(1 / 3)s s
M
A
d 


2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 


 2 2
1
2
s c
s s
s
s
bx
A
A





Ed,ELS ser
2
2 1 2( )s
s
M M
A
d d



fsx h
oui
non
  
eff
ser 1
2
eff w f f
1
2 3
2
2 3
s c s
s c s
s
b x x
M d
b b x h x h
d
x


 
   
 
   
   
 
Ed,ELS serM M
non s2 0A 
oui
s2 0A 
1 f0.99 0.4sz d h 
Ed,ELS
s1
s s
M
A
z

 w
eff w 2 2
1
1
2 2
fs c
f c s s
s
s
s
hb x
h b b A
x
A

 

 
    
 
 
2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
2
2 1 2( )s
s
M M
A
d d



1 ,min
1 2
Vérifier:
et 0.04
s s
s s c
A A
A A A


oui
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10.7.4 Exemple de calcul des armatures à l’ELS d’une poutre en T
Soit les poutres isostatiques de 55x125 cm² de portée 13,6m et de 1,5m d’entre axes, associée à une dalle de
béton de 15 cm d’épaisseur. Ces poutres reposent sur des appuis de 40cm.
• Caractéristique mécanique des matériaux: Béton C30; acier B500B
• Classe d’environnement: XD3
• Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 70 kN/m; charges d’exploitation Q = 55 kN/m
• Caractéristique pour le fluage
 Les charges sont appliquées à 28 jours
 Le coefficient de fluage 𝜑(∞, 𝑡0) = 2,5
• La maîtrise de la fissuration est requise
• Poutres dans un bâtiment de stockage
• Condition d’adhérence est bonne
• Taille du plus gros granulat: dg = 25 mm
50 cm
150 cm
15 cm
125 cm
®QHN2017

Ø25
Ø25
Ø25
25
50 cm
150 cm
15 cm
125 cm
cnom = 40 mm
3 lits de 5HA25
5HA12
(armature de montage)
HA10
cnom = 40 mm
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10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS
Après le dimensionnement à l’ELU, il est nécessaire d’effectuer des vérifications portant sur:
• Limitation de contrainte dans le béton et dans l’acier
• La limite de déformation (flèches)
• La limite d’ouverture des fissures
• Section minimale d’armature
Problème:
 Données: MEd,ELS, MEqp, b, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, As1 (As2 éventuel) , 𝛿ad et wmax
 Vérifier si 𝜎𝑐 ≤ 𝜎 𝑐 , 𝜎𝑠1 ≤ 𝜎 𝑠 , δ ≤ 𝛿ad et wk ≤ wmax
10.8.1 Vérification des contraintes
Remarques:
• La vérification des contraintes se fait avec la combinaison caractéristique des charges. Il faut donc prendre
Ec,eff calculé avec 𝜑 𝑒𝑓 (voir 10.3.2)
• Pour calculer 𝜑 𝑒𝑓, on doit savoir si le fluage est linéaire ou non. Pour cela, il est nécessaire de calculer la
contrainte dans le béton sous des charges quasi-permanentes et vérifier l’article 7.2(3) de l’EC2 (voir 10.2.1)
 Ed,ELS
1 1
(ou )
e
s s s
II I
M
d x
I I

   
Ed,ELS
(ou )c s c
II I
M
x
I I
  
Classe d’environnement 𝜎 𝑠 𝜎 𝑐
XD, XF, XS 0,8fyk 0,6fck
Autre 0,8fyk fck
Contraintes limites à l’ELS sous la
combinaison caractéristique (EC2-1-1§7.2)
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10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul (§7.4.2)
EC2-1-1§7.4.1
• Il n'est généralement pas nécessaire de calculer les déformations de manière explicite, des règles simples, telles que
limitation du rapport portée/hauteur, pouvant être formulées et suffisant pour éviter les problèmes de flèche en
situation normale. Des vérifications plus rigoureuses sont nécessaires pour les éléments ne satisfaisant pas ces
conditions limites.
• L’EC2 n’impose pas de calculer les flèches d’un élément si son rapport portée/hauteur L/d reste inférieur à des
limites définies par les formules suivantes:
 Pour les sections en Té pour lesquelles le rapport de la largeur de la membrure à la largeur de l'âme est supérieur à
3, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par l'Expression (7.16) par 0,8.
 Dans le cas des poutres et des dalles autres que les planchers-dalles, de portée supérieure à 7 m, supportant des
cloisons susceptibles d'être endommagées si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de L/d
données par l'Expression (7.16) par 7/Leff (Leff étant portée de calcul en mètres, voir chapitre 4).
 Dans le cas des planchers-dalles dont la plus grande portée est supérieure à 8,5 m et qui supportent des cloisons
susceptibles d'être endommagés si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par
l'Expression (7.16) par 8,5/Leff (Leff en mètres).
®QHN2017

Tableau 7.4N : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile en fonction de pourcentage d’armatures pour
des cas courants (C30, 𝜎s = 310 MPa)
• Les Expressions (7.16a) et (7.16b) ont été établies en admettant que la contrainte de l'acier, pour une
section fissurée à mi-portée d'une poutre ou d'une dalle, ou sur appui dans le cas d'une console, est égale
à 310 MPa sous les charges de calcul aux ELS. Lorsqu'on admet d'autres niveaux de contrainte, il
convient de multiplier les valeurs obtenues au moyen de l'Expression (7.16) par 310/ 𝜎s. On se place en
sécurité en admettant que :
®QHN2017

10.8.3 Vérification des flèches par le calcul (§7.4.3)
1. Cas des sections non fissurées
Dans cet état, l’acier et le béton agissent de manière élastique ; c’est la résistance des matériaux. On retient la
section béton.
Exemple d’une poutre simplement appuyée:
2. Cas des sections fissurées
Pour les éléments dont on prévoit qu'ils seront fissurés mais pas entièrement, il convient de les considérer
comme se comportant d'une manière intermédiaire entre l'état non fissuré et l'état entièrement fissuré; s’ils
travaillent principalement en flexion, l’expression suivante prévoit de manière appropriée leur comportement :
(1 )II I     

où:
• α est le paramètre de déformation considéré, qui peut être par exemple une déformation unitaire, une
courbure ou une rotation.
• αI, αII sont les valeurs du paramètre respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré
• est un coefficient de distribution (qui tient compte de la participation du béton tendu dans la section),
donné par l‘expression: 2
1
Eqp
crM
M
 
 
  
 
 
4
,
5
384
Eqp
c eff I
q L
f
E I
f
L
Eqpq
®QHN2017

La méthode la plus rigoureuse pour déterminer la flèche consiste à calculer la courbure
dans un grand nombre de sections le long de l'élément, puis à calculer la flèche
par intégration numérique
• 1/r représente la courbure totale qui est la somme des courbures dues aux actions mécaniques et au retrait.
§7.4.3(6)
1 1 1
(1 )
II I
r r r
 
   
     
   
1
f dx dx
r
 
  
 
 
®QHN2017

Principe du calcul des flèches par les courbures
r1, r2, r3, r4, r5
r1, r2, r3, r4, r5
L/4 L/4 L/4 L/4
1
2 f2
f3
f4
1 1 1
(1 )
II I
f dx dx
r r r
 
    
            
 
f2
f3
f4
L²/384
®QHN2017

Méthode simplifiée pour le calcul des flèches
• L’EC2 reconnaît que cette technique est assez laborieuse et autorise des méthodes simplifiées par lesquelles
on peut directement appliquer l’Expression (7.18) sur des flèches et non sur des courbures.
• L’EC2 propose d’évaluer la flèche en supposant la poutre non fissurée, puis en la supposant entièrement
fissurée. Il faut mener deux calculs, l’un en section non fissurée et l’autre en section fissurée, et ensuite
interpoler en utilisant l’Expression (7.18) pour obtenir le flèche
Remarques:
 Pour calculer les flèches, il suffit de déterminer par les formules bien connues de la structure la valeur des
flèches fissurées et non fissurées en prenant respectivement l’inertie fissurée et l’inertie non fissurée.
 Le module de Young concernant le béton doit tenir compte du fluage du béton si les charges sont à long
terme: Ec,eff (voir 10.3.2)
Exemple d’une poutre bi-encastrée:
Vérification des flèches:
• Pour des conditions d’utilisation normales, la flèche, calculée par rapport aux actions quasi permanentes, doit
être inférieure à L/250.
• Dans les cas de cloisonnement, la flèche maximum ne doit pas dépasser L/500.
(1 )II If f f   
f
L
Eqpq 4
,
1
384
Eqp
c eff II I
q L
f
E I I
  
   
 
®QHN2017

10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par un calcul direct (§7.3.4)
• Lorsque les conditions sur le diamètre maximal et l’espacement maximal des barres ne sont pas respectées
(voir 10.5.3), la maîtrise de la fissuration s’effectue par un calcul direct de l’ouverture des fissures. Il faut
vérifier que wk ≤ wmax
• L’ouverture de la fissure, wk, peut se déduire du produit entre l’espacement maximum sr,max des fissures et
une déformation moyenne entre aciers et béton :
où:
 Pour les poutres, l’espacement maximum sr,max des fissures peut être calculé au moyen de l’expression:
avec c enrobage et ∅ diamètre de la barre en mm,
k1 = 0,8 pour les barres HA,
k2 = 0,5 pour la flexion et k2 = 1 pour la traction pure;
k3 = 3,4 pour des enrobages inférieurs ou égaux à 25 mm; k3 = 3,4(25/c)2/3 pour des enrobages plus
grands (selon Annexe nationale française)
Ac,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-à-dire l'aire de la
section de béton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef, où hc,ef est la plus petite des trois
valeurs ci-après : 2,5(h – d), (h – x)/3 ou h/2
,
,
s
p eff
c eff
A
A
 
®QHN2017

 𝜀sm est la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges
considérée, incluant l'effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton
tendu.
 𝜀cm est la déformation moyenne du béton entre les fissures.
 𝜀sm - 𝜀cm peut être calculé au moyen de l’expression:
où: 𝜎s est la contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée.
𝛼e est le rapport Es/Ecm (selon 7.3.4(2))
𝑘𝑡 est un facteur dépendant de la durée de la charge: = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte
durée; = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue durée.
Remarques:
• Malgré que à l’ELS la combinaison caractéristique des actions conduise aux sollicitations les plus
défavorables la maîtrise de fissuration se réalise sous la combinaison quasi-permanente, car l’ouverture
des fissures maximale wmax donnée par l’EC2 est avec cette combinaison.
• La combinaison quasi-permanente des actions signifie que les actions considérées sont à long terme. Par
conséquent nous prenons kt = 0,4
®QHN2017

10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature (§7.3.2)
Il faut vérifier que As ≥ As,min
o Sans calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.4.3)
o Avec calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.5.1)
où :
• Act est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le
calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure
• k est un coefficient qui tient compte de l'effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisant à
une réduction des efforts dus aux déformations gênées :
= 1,0 pour les âmes telles que h ≤ 300 mm ou les membrures d'une largeur inférieure à 300 mm
= 0,65 pour les âmes telles que h ≥ 800 mm ou les membrures d'une largeur supérieure à 800 mm
les valeurs intermédiaires peuvent être obtenues par interpolation
• kc est défini au paragraphe 10.5.3
,min ,
ct
s c ct eff
s
A
A k k f


,min ,
ct
s c ct eff
yd
A
A k k f
f

®QHN2017

10.8.6 Exemple de vérifications d’une poutre à l’ELS
Soit une poutre de 25x40 cm² de section et de 6m de portée entre axes de poteaux.
• Caractéristique mécanique des matériaux: Béton C30; acier B500B
• Classe d’environnement: XC3
• Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 9 kN/m; charges d’exploitation Q = 6kN/m
• Caractéristique pour le fluage
• Les charges sont appliquées à 28 jours
• Le coefficient de fluage φ(∞,t0) = 2,3
• Ces poutres sont dans un bâtiment d’habitation
• La maîtrise de la fissuration est requise
• Condition d’adhérence est bonne
• Taille du plus gros granulat: dg = 20 mm
40cm
25cm
5HA16
2HA8
Cadre
HA6
25mm
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Chapitre 11: Flexion composée 2
11.1 Généralités
11.1.1 Définition
11.1.2 Excentricité
11.2 Imperfections géométriques
11.2.1 Cas des éléments isolés
11.2.2 Cas des structures
11.3 Effets du second ordre
11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre
11.5 Sections partiellement comprimées
11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS
11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU
11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS)
11.5.4 Dimensionnement des armatures des sections rectangulaires (à l’ELU et à l’ELS)
11.5.5 Dimensionnement des armatures des sections en T à l’ELU
11.5.6 Vérification des contraintes à l’ELS
11.6 Sections entièrement tendues
11.7 Sections entièrement comprimées
11.7.1 Dimensionnement des armatures à l’ELU
11.7.2 Dimensionnement des armatures à l’ELS
11.7.3 Sections extrêmes d’armatures dans les poteaux
11.8 Diagrammes d’interaction
11.8.1 Équations nécessaires à l’établissement de diagrammes d’interaction
11.8.2 Courbe d’interaction
11.8.3 Cas limites
11.8.4 Tracé des diagrammes d’interaction
11.8.5 Propriétés des diagrammes d’interaction
11.8.6 Application à la détermination des armatures pour les sections rectangulaires
11.8.7 Application à la vérification des sections rectangulaires
11.8.8 Exemples d’application
®QHN2017

11.1 Généralités
11.1.1 Définition
Une section en BA est soumise à la flexion composée lorsqu’elle est sollicitée à la fois par
• un effort normal N (ultime ou service) ; par convention:
 Positif pour une compression
 Négatif pour une traction
• un moment de flexion MG (ultime ou service) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul
(de signe quelconque).
Ce type de sollicitation intervient aussi bien dans les poutres (action du vent, de poussée des terres, du freinage,
du séisme,...) que dans les colonnes soumises à des efforts horizontaux de même nature.
Note: en BA, les effets de V sont étudiés indépendamment de ceux de M et N
On peut distinguer trois cas de flexion composée en fonction de la distribution des contraintes qu’elle produit
dans la section:
y
z
G
MG
N
0x
1sA
2sA
c
1as
c
1as 1as
2as 2as 2as
Distribution des contraintes dans la section
cas 1 cas 2 cas 3


 cas 1: la section est entièrement tendue
 cas 2: la section est entièrement
comprimée
 cas 3: La section est partiellement
comprimée
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11.1.2 Excentricité
Il est souvent utile d’exprimer une sollicitation de flexion composée en terme d’effort normal excentré. Le système
(MG, N) est équivalent à une force unique équipollente à N et appliquée en un point C (centre de pression)
contenu dans le plan moyen. La distance GC est appelée excentricité de la force extérieure par rapport à G.
Remarques:
• En flexion composée, il faut toujours préciser en quel point on effectue la réduction des forces, car la valeur
du moment n’est pas indépendante de ce point
• Dans le but de simplifier les calculs, il est souvent pratique d’exprimer les sollicitations de flexion composée
par rapport au centre de gravité des armatures tendues. Ces sollicitations seront notées (MA, N) ou en terme
de l’effort normal excentré (N, eA).
• MGo est le moment résultant des calculs de RdM, son signe fournit la position des aciers les plus tendus
GM
GC e
N
 
A
MGo
N 0
MGo
e
N

dh
0
x N
A 0M =M +(d-x )NGo
NA
Go
C
A
~ ~Go Go
C
MA
A
e
N

®QHN2017

En repérant la position de l’axe neutre par sa profondeur x comptée positivement vers le bas
depuis la fibre supérieure, on a les cinq cas de figure possibles suivants lorsque MGo > 0 :
Remarque:
• L’état réel de contrainte du béton et des armatures n’est connu que lorsque les sections d’armatures sont
elles-mêmes connues. Lors du dimensionnement, au voisinage des frontières d’un cas à l’autre, il y a
nécessairement une hypothèse à faire, qui ne peut être évitée et dont la validité doit être contrôlée a
posteriori.
®QHN2017

Rupture par flambement de poteaux en béton armé
®QHN2017

11.2 Imperfections géométriques
• Les imperfections géométriques de la structure à l’ELU doivent être prises en compte dans les situations de
projets durables et dans les situations de projet accidentelles (EC2 §5.2(2)P).
• Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par
(EC2 §5.2 (5)):
La définition de l et de m dépend de l’effet considéré (EC2 §5.2 (6)):
 effet sur un élément isolé tenu ou libre en tête l = hauteur de l’élément et m = 1;
 effet sur le système de contreventement (ossatures à poteaux poutres continues) l = hauteur du bâtiment,
m = nombre d’éléments verticaux contribuant à la force horizontale appliquée au système de
contreventement
 effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures transmettant les forces
horizontales : l = hauteur de l’étage, m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage contribuant à la force
horizontale totale appliquée au plancher.
1 1
0.5(1 ) pour 4
200
1 1
0.5(1 ) pour 4 9
100
1 1
0.5(1 ) pour 9
300
i
l
m
l
ml
l
m


 


   


 

 l = longueur ou hauteur du
bâtiment ou de l’étage en
mètres
 m = nombre d’éléments
verticaux contribuant à
l’effet total
Imperfection
géométrique
®QHN2017

Dans le cas d’éléments isolés (poteau isolé), les effets des imperfections peuvent être pris en compte de deux
manières :
• soit on retient une excentricité de ei (du premier ordre) de la force extérieure:
• soit on remplace l’inclinaison par une force transversale Hi dans la position conduisant au moment maximal:
 pour les éléments non contreventés:
 pour les éléments contreventés:
0
2i i
l
e 
i iH N
2i iH N
Remarque: Une solution alternative
simplifiée, applicable aux voiles et aux
poteaux isolés dans les structures
contreventées consiste à prendre une
excentricité (EC2 §5.2(7)a + §5.2(9)) :
Cette simplification ne s’applique pas
aux ponts.
0
400i
l
e 
®QHN2017

• On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversale égale aux composantes horizontales des
efforts normaux dans les éléments inclinés(EC2 §5.2 (8)):
 système de contreventement:
 plancher de contreventement:
 diaphragme de toiture:
11.2.3 Prise en compte des écarts sur les dimensions des sections
• Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels
relatifs aux matériaux. En dehors du cas des sections droites avec un ferraillage symétrique, il n’y donc pas
lieu d’en tenir compte (EC2 §5.2(1)P).
• Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections dans le cas des sections droites avec un
ferraillage symétrique, il convient d’adopter à l’ELU une excentricité minimale (EC2 §6.1(4)):
Le moment sollicitant au premier ordre à prendre à l’ELU est:
 i i b aH N N 
( ) / 2i i b aH N N 
i i aH N
0,min max[20mm; / 30 ]e h
, 0Ed Go Ed EdM M e N 
0 0,minavec max[ ; ]ie e e
®QHN2017

11.3 Effets du second ordre (EC2 §5.1(4)).
• Les effets du second ordre traduisent l’influence des déformations sur le moment de flexion.
• Les effets du second ordre (voir l'EN 1990 Section 1) doivent être pris en compte lorsqu'on prévoit qu'ils
affecteront de manière significative la stabilité d'ensemble de la structure ainsi que l’atteinte de l'état-limite
ultime dans des sections critiques.
• Le calcul au second ordre
est très complexe et
nécessite des itérations afin
d’obtenir l’équilibre de la
section
• Pour les bâtiments, les
effets du second ordre
peuvent être négligés
lorsqu'ils sont inférieurs à
certaines limites
Note: Nous abordons dans ce chapitre un
calcul de flexion composée sans tenir
compte les effets du second ordre. Ils
seront traités dans un chapitre consacré à
l’instabilité de forme du flambement.
®QHN2017

11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre
• Selon EC2 §5.8.2(6), les effets du second ordre peuvent être négligés s'ils représentent moins de 10 % des
effets du premier ordre correspondants.
mais cela nécessite de réaliser un calcul au second ordre ...
• Selon EC2 §5.8.3.1, les effets du second ordre peuvent être négligés si l’élancement 𝜆 est inférieur à 𝜆lim
M01, M02 sont les moments
d'extrémité du premier
ordre, |M02| ≥ |M01|
®QHN2017

On peut négliger les effets globaux du second ordre dans les bâtiments lorsque (EC2 §5.8.3.3(1))
a) on a
où :
 FV,Ed est la charge verticale totale (sur les éléments contreventés et les éléments de contreventement)
 ns est le nombre d'étages
 L est la hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d'encastrement du moment
 Ecd est la valeur de calcul du module d'élasticité du béton .
 Ic est le moment d'inertie (section de béton non fissurée) de l'élément (des éléments) de
contreventement
 k1 = 0,31
remarque: lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés à l’ELU,
on peut prendre k1 = 0,62.
b) et les conditions suivantes sont remplie :
• la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ;
• les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreventement assuré par des voiles
sans grandes ouvertures) ;
• les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ;
• la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute leur hauteur;
• la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage ;
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11.5 Sections partiellement comprimées
11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS
a) Nser étant une compression (Nser > 0)
• La section rectangulaire sans aciers comprimés est partiellement comprimée si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ d’où:
avec: 𝑀serA moment de service par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀serGo)
• La nappe d’aciers n’est tendue que si la position de l’axe neutre est telle que 𝑥 𝑠 ≤ 𝑑

b) Nser étant une traction (Nser < 0)
La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures.
serA ser,lim w
1
2 3c
h
M M b h d
 
   
 
2
serA w
1
3 cM b d 
xs = h
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11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU
a) NEd étant une compression (NEd > 0)
• La section est partiellement comprimée si 𝑥 𝑢 ≤ ℎ
pour une section rectangulaire en l’absence d’aciers comprimés avec 𝑥 𝑢 = ℎ, on a:
La section est partiellement comprimée tant que :
avec: 𝑀EdA moment ultime par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀EdGo)
b) NEd étant une traction (NEd < 0)
La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures.
c w
2 BC
BC c c w BC 2
c w
1 1
2 2
2
cd
cd
cd
F b h f Mh h h h
M F z b d fh
d d d dz d b d f
 
 
   


   
           
     

cdfcdf
EdA
2
w
Ed,A BC
cd
M
b d f
  
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