'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 0 –
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 0

- 1 –
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.
Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση
με δύο αγνώστους κάθε εξίσωση
της μορφής α x +β y =γ .
Η εξίσωση x =κ παριστάνει
γραφικά ευθεία παράλληλη προς
τον άξονα yy΄, δηλαδή ευθεία
κάθετη στον άξονα xx΄ και τέμνει
τον xx΄ στο σημείο (κ,0).
Η εξίσωση y =α x +β είναι η
εξίσωση ευθείας που
περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που
δεν είναι παράλληλες στον yy΄.
Η γραμμική εξίσωση της μορφής α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει όλες τις
παραπάνω ευθείες γιατί:
α γ α γ
+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον xx΄).
Αν α ≠ 0 και β=0 τότε x 0y x x
γ
α
+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον yy΄).
χ β γ β γ
Αν α=0 και β ≠ 0 τότε 0 y y y
γ
β
α γ
Αν α ≠ 0 και β ≠ 0 τότε y x y ( )
= − ⇔ = − + (είναι της μορφής y =α x +β ,
β γ α χ
β β
δηλαδή είναι εξίσωση ευθείας που περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που δεν είναι
παράλληλες στον yy΄).
Οπότε: Η γραμμική εξίσωση α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει οποιαδήποτε ευθεία.
Ονομάζουμε σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων δύο γραμμικές εξισώσεις των οποίων ζητάμε
τις κοινές λύσεις και γράφουμε
συμβολικά:
Σ 
( )
 + =
α β γ
α β γ
x y
΄x ΄y ΄
 + =

- 2 –
Λύση ενός συστήματος ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος 0 0 (χ ,y ) που επαληθεύει τις
εξισώσεις του.
Επίλυση ενός συστήματος ονομάζουμε την εύρεση όλων των λύσεών του.
•
Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων της μορφής:
α β γ
α β γ
+ = 
 + =
x y
΄x ΄y ΄
1) Μέθοδος αντικατάστασης.
Πρώτα λύνουμε την μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο (π.χ. ως προς x).
Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την
εξίσωση που προκύπτει με την αντικατάσταση ως προς τον άλλο άγνωστο y. Αντικαθιστούμε
την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο x.
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής).
Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι
συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι.
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο,
την οποία και επιλύουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις
αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου.
Η επίλυση ενός συστήματος γίνεται με την κατάλληλη μετατροπή του σε άλλα συστήματα
που έχουν τις ίδιες ακριβώς με αυτό λύσεις. Τα συστήματα αυτά λέγονται ισοδύναμα.
Η μετατροπή συστήματος σε ισοδύναμο γίνεται συνήθως με έναν από τους παρακάτω
τρόπους:
i. Λύνουμε την μία εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον
αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.
ii. Αντικαθιστούμε μία από τις εξισώσεις (ε) ή (ε΄) του συστήματος, π.χ. την (ε) με την
εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με
λ ≠ 0 προσθέσουμε τα μέλη της (ε΄) πολλαπλασιασμένα με λ΄.
Η εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε΄). Η
απόδειξη ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα,
στηρίζεται στις ιδιότητες της ισότητας και των πράξεων που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο: «αν
γ ≠ 0 τότε α=β⇔ α ⋅ γ = β ⋅ γ », και «αν α=β και γ=δ τότε α+γ=β+δ».

- 3 –
Λύση
x + 2 y = 4 ⇔ x = 4 − 2 y οπότε η (2) γράφεται
2 1 2(4 2 ) 1 8 4 1 3 1 8 3 9 3 9
+ = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − ⇔− = − − ⇔− = − ⇔ = ⇔
= ⇔ =
x y y y y y y y y
y y
Αντικαθιστώ την τιμή του y στην x = 4 − 2y και έχω: x = 4 − 2 ⋅ 3 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2.
Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).
+ = − + = −
−3y = −9 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3. Αντικαθιστώ την τιμή του y σε μία από τις δύο πρώτες εξισώσεις
του συστήματος και έχουμε: x + 2 ⋅ 3 = 4 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2. Άρα η λύση του συστήματος
είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).
3
A(0,2)
2
1
Μ(-2,3)
Δ(-1/2,0)
 + =
2 4 (1)
x y
x y
Σ 
 + =
2 1 (2)
+ = − − − = −
2 4 2 2 4 8
(+ )
1 2 -2 -1 0
1 2 3 4
-1
-2
B(4,0)
Γ(0,-1)
1. Να λυθεί το σύστημα:
( ) :
9
3.
3
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών.
x y x y
⇔
x y x y
2 1 1 2 1
3) Γραφική επίλυση του συστήματος.
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που
παριστάνουν οι εξισώσεις του
συστήματος.
i. X+2y=4. Άρα για x=0 τότε
0+2y=4⇔2y=4⇔y=2 άρα σημείο το
Α(0,2).
Για y=0 τότε x=4 άρα σημείο το Β(4,0).
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης
x+2y=4 είναι η ευθεία ΑΒ.
ii. 2x+y=-1. Άρα για x=0 τότε y=-1, το
σημείο είναι Γ(0,-1).
Για y=0 είναι
1
x
= − άρα το σημείο
2
είναι Δ(-1/2,0).
2x+y=-1 είναι η ευθεία ΓΔ.

- 4 –
Οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι x=-2 και y=3. Άρα η λύση
του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).
•
2. Να λυθεί το σύστημα (Σ):
+ = 
 + = −
3 3 (1)
x y
x y
2 6 5 (2)
Λύση
x + 3y = 3 ⇔ x = 3 − 3y . Οπότε η (2) γράφεται:
2(3 − 3y) + 6y = −5 ⇔ 6 − 6y + 6y = −5 ⇔ 6 = −5 δεν ισχύει οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
+ = − − − = −
x 3y 3 2 2x 6y 6
⇔
2x 6y 5 1 2x 6y 5
+ = − + = −
(+) (απαλοιφή του x)
0x+0y=-11⇔0=-11 δεν ισχύει άρα το σύστημα είναι αδύνατο.(Δηλαδή δεν
υπάρχουν x, y που να επαληθεύουν το σύστημα).
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος.
i. X+3y=3. Άρα για x=0 τότε
0 + 3y = 3 ⇔ 3y = 3 ⇔ y = 1 άρα
σημείο το Α(0,1).
Για y=0 τότε x = 3 άρα σημείο το Β(3,0).
x+3y=3 είναι η ευθεία ΑΒ.
ii. 2x+6y=-5. Άρα για x=0 τότε
5
= − ⇔ = − άρα το σημείο
6y 5 y
6
είναι το Γ(0,-5/6).
Για y=0 τότε
5
= − ⇔ = − άρα
2x 5 x
2
το σημείο είναι το Δ(-5/2,0).
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2x+6y=-5 είναι η ευθεία ΓΔ.
Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες γιατί αν τις λύσουμε ως προς y έχουμε
1
y = − x ⇔ y = − x +
3 3 1
3

- 5 –
2 5 1 5
y = − − x ⇔ y = − x − ⇔ y = − x − .
6 5 2
6 6 3 6
Έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης το -1/3. Επειδή όμως δεν υπάρχει κοινό σημείο, δεν
υπάρχει λύση του συστήματος.
•
+ = − 
 + =
2 2 (1)
x y
x y
2 4 -4 (2)
Λύση
x + 2y = −2⇔ x = −2 − 2y . Άρα η (2) γράφεται
2(−2 − 2 y) + 4 y = −4⇔ −4 − 4 y + 4 y = −4 ⇔ −4 = −4 . Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα
έχει άπειρες λύσεις (Α.Λ.).
Έστω x=κ, τότε
− −
2 κ
+ = − ⇔ = − − ⇔ = οπότε οι Α.Λ. είναι της μορφής
κ 2y 2 2y 2 κ y
2
− −
2 κ
= με κ∈ ℝ .
(χ, y) (κ, )
2
+ = − − − − =
2 2 2 2 4 4
(+) (απαλοιφή του x)
x y x y
⇔
x y x y
+ = − + = −
2 4 4 1 2 4 4

0x+0y=0⇔0=0. Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις
της μορφής
− −
2
κ
= με κ∈ ℝ , τις οποίες υπολογίζουμε όπως στα προηγούμενα.
χ κ
( , ) ( , )
2
y
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος.
i. x+2y=-2. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Α(0,-1).
Για y=0 τότε το x=-2 άρα το σημείο είναι το Β(-2,0).
Η γραφική παράσταση της ευθείας x+2y=-2 είναι η ευθεία ΑΒ.
ii.2x+4y=-4. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Γ(0, -1).
Για y=0 τότε x=-2 άρα το σημείο είναι το Δ(-2, 0).
Παρατηρούμε ότι τα σημεία Α και Γ συμπίπτουν, όπως και τα Β και Δ. Άρα οι ευθείες ΑΒ και
ΓΔ ταυτίζονται και αυτό σημαίνει ότι παριστάνουν την ίδια ευθεία. Επομένως, κάθε σημείο
της ευθείας αυτής ορίζει και μία λύση του συστήματος, που είναι της μορφής
− −
2
κ
κ
( , )
2
όπου κ ∈ ℝ .

- 6 –
•
 
x + y x − y
= 5 3
 + − − = +

1
x y x y y
2 3 2
Λύση
Η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται
+ − + −
x y x y x y x y
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔
15 15 3( ) 5( ) 3 3 5 5
x y x y x y x y
5 3 5 3
3 x − 5 x + 3 y + 5 y = 0 ⇔ − 2 x + 8 y = 0 ⇔ − x + 4 y = 0 ⇔ x − 4 y
=
0
Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) γράφεται
+ − + −
x y x y y x y x y y
− = + ⇔ − = + ⋅ ⇔ + − − = + ⇔
1 6 6 6 6 1 3( x y ) 2( x y ) 3 y
6
2 3 2 2 3 2
3 x + 3 y − 2 x + 2 y = 3 y + 6 ⇔ 3 x + 3 y − 2 x + 2 y − 3 y − 6 = 0 ⇔ x + 2 y
=
6
Άρα (Σ)
 − =
4 0
2 6
x y
x y
⇔
 + =
και το λύνουμε κατά τα γνωστά.
( )
− = − =
4 0 1 4 0
+
x y x y
⇔
x y x y
+ = − − − = −
2 6 1 2 6
(απαλοιφή του x)
−6 y = −6 ⇔ y = 1 άρα x − 4y = 0⇔ x − 4 = 0⇔ x = 4 οπότε η λύση του (Σ)
είναι (x, y) = (4, 1).
•
5. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(4,5).
Λύση
Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή y=αx+β (1). Αφού η ευθεία με εξίσωση την (1) διέρχεται
από τα σημεία Α, Β οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την (1) άρα
2 =α ⋅3 + β ⇔ 3α + β = 2 και 5 = 4α + β ⇔ 4α + β = 5 .
Λύνουμε με τον γνωστό τρόπο το σύστημα
α β
α β
+ = 
 + =
3 2
4 5
οπότε έχουμε
+ = + =
3α β 2 1 3α β 2
⇔
4α β 5 1 4α β 5
+ = − − − = − (+) (απαλοιφή του β)
-α=-3⇔α=3 άρα 3α + β = 2⇔ 3⋅3 + β = 2⇔β = 2 − 9⇔β = −7 .
Οπότε αφού υπολογίσαμε τα α, β μπορούμε να προσδιορίσουμε την ζητούμενη ευθεία (1) για
την οποία θα έχουμε: y=3x-7.

- 7 –
3) Λύση συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών.
Έστω το σύστημα
+ = 
 + =
α β γ
α β γ
x y
΄x ΄y ΄
.
α β
α΄ β΄
D = =αβ΄ −α΄β λέγεται ορίζουσα του
συστήματος.
γ β
γ΄ β΄
x D = = γβ΄ − γ ΄β , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν στη θέση των
συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους.
α γ
α΄ γ΄
y D = =αγ΄ −α΄γ , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από τη D αν στη θέση των
συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους.
i. Αν D ≠ 0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την , x y D D
= = .
x y
D D
ii. Αν D=0 και 0 ή 0 x y D ≠ D ≠ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο.
iii. Αν 0 x y D = D = D = τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν α=α΄=β=β΄=0 και
γ ≠ 0 ή γ΄ ≠ 0 οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.
Κάθε σύστημα της μορφής
0
0
α β
α β
x + y
=  ΄x + 
΄y
=
ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ
αδύνατο. Έχει λύση πάντα τη μηδενική (x, y)=(0, 0) και εξετάζουμε αν έχει και άλλες λύσεις
εκτός από τη μηδενική.
i. Αν D ≠ 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την μηδενική.
ii. Αν D=0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις στις οποίες ανήκει και η μηδενική.
1. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ):
χ − = 
 + =
2 25 5
3 12
y
x y
.
Λύση
 − =  − =
 ⇔ 
 + =  + =
2 x 25 5 y 2 x 5 y
25
3 x y 12 3 x y
12
Βρίσκουμε την D
2 -5
D = = 2 − 3( − 5) = 2 + 15 = 17 ≠ 0
οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.
3 1

- 8 –
Βρίσκουμε τις Dx και Dy
25 -5
12 1 x D = = − − = + =
25 12( 5) 25 60 85
2 25
3 12 y D = = − = −
24 75 51
Οπότε η μοναδική λύση του συστήματος είναι
x y D D
85 51
= = = 5, = = − = − 3
.
x y
17 17
D D
•
2. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ):
λ − + = λ
−  λ − + 
λ = λ
−
( 1) x 2 y
2
( 1) x y
3( 2)
.
Λύση
Βρίσκουμε την
λ-1 2
D = = λ ( λ − 1) − 2( λ − 1) = ( λ − 1)( λ − 2)
. Μετά βρίσκουμε την
λ-1 λ
λ-2 2
D = = λ ( λ − 2) − 6( λ − 2) = ( λ − 2)( λ − 6)
x και την
3(λ-2) λ
λ-1 λ-2
D = = ( λ − 1) ⋅ 3( λ − 2) − ( λ − 1)( λ − 2) = ( λ − 2)[3( λ − 1) − ( λ − 1)] = 2( λ − 2)( λ − 1)
y .
λ-1 3(λ-2) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
1. D ≠ 0 ⇔ (λ −1)(λ − 2) ≠ 0 ⇔λ −1 ≠ 0 και λ - 2 ≠ 0⇔λ ≠ 1 και λ ≠ 2 . Τότε το σύστημα έχει
Μοναδική Λύση (Μ.Λ.) την
− − −
λ λ λ
( 2)( 6) 6
( 1)( 2) 1
x D
D
χ
= = =
− − −
λ λ λ
,
λ λ
λ λ
− −
2( 2)( 1)
2
= = =
− −
( 1)( 2)
y D
y
D
.
2. D=0⇔(λ −1)(λ − 2) = 0⇔λ −1 = 0 ή λ − 2 = 0⇔λ =1 ή λ = 2 .
i. Για λ=1 έχω (1 2)(1 6) ( 1)( 5) 5 0 x D = − − = − − = ≠ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

- 9 –
ii. Για λ=2 έχω Dx = 0 και Dy = 0 . Επειδή ένας τουλάχιστον συντελεστής των αγνώστων είναι
διάφορος του μηδενός (π.χ. του y στην πρώτη εξίσωση), το σύστημα έχει άπειρες λύσεις
δηλαδή είναι αόριστο. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του.
Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται:
(2 1) 2 0 2 0
 − + =  + =
 ⇔  ⇔ + =
 − + = −  + =
2 0
x y x y
(2 1) 2 3(2 2) 2 0
x y
x y x y
. Θέτω x= κ οπότε
= − ⇔ = −κ ⇔ = − άρα οι άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής
2 2
κ
2
y x y y
κ
= κ − με κ ∈ ℝ .
( , ) ( , )
2
x y
•
2 2
 − =

 − =
λ λ
λ λ λ
2
x y
x y
.
Λύση
2
λ -λ 2 3 2 2
D = = −λ ⋅λ − λ −λ = −λ + λ = −λ λ −
( ) ( 1)
λ -λ
Μετά την 2 2 -λ
x D = = − λ − λ −λ = − λ + λ = λ λ −
2 2 ( ) 2 2 2 ( 1)
2λ -λ
2
λ 2 3 2
D = = 2 λ − 2 λ = 2 λ ( λ − 1) = 2 λ ( λ − 1)( λ + 1)
y .
λ 2λ
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
1. D ≠ 0⇔ −λ 2 (λ −1) ≠ 0⇔ −λ 2 ≠ 0 και λ-1 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 1. Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ.
λ λ
−
λ λ λ
2 ( 1) 2
x D
x
= = = −
την 2
− −
( 1)
D
λ λ λ λ
− + +
2 ( 1)( 1) 2( 1)
y D
y
= = = −
, 2
− −
λ λ λ
( 1)
D
.
2. D = 0⇔ −λ 2 (λ −1) = 0⇔ −λ 2 = 0 ή λ −1 = 0⇔λ = 0 ή λ = 1.
i. Για λ=0 έχω 2 0(0 1) 0, 2 0(0 1)(0 1) 0 x y D = ⋅ − = D = ⋅ − + = . Οπότε το αρχικό σύστημα
παίρνει τη μορφή:
− =
− =
0 x 0 y
2
0 x 0 y
0
που είναι αδύνατο γιατί οι συντελεστές των αγνώστων

- 10 –
είναι μηδέν ενώ ένας σταθερός όρος είναι διάφορος του μηδενός (η πρώτη εξίσωση
δίνει 0=2).
ii. Για λ=1 έχω D 2 1(1 1) 0 Dx = ⋅ − = και Dy = 2 ⋅1(1−1)(1+1) = 0 . Δηλαδή είναι πάλι D=0,
0 x y D = D = . Αλλά τώρα για λ=1 το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή:
− =
− =
x y 2
x y 2
που
είναι αόριστο γιατί υπάρχει μη μηδενικός συντελεστής των x, y στις εξισώσεις του
συστήματος. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του.
 − =
2
 ⇔ − =
 − =
2
2
x y
x y
x y
. Θέτω x= κ οπότε − y = 2 − x ⇔ − y = 2 −κ ⇔ y =κ − 2 άρα οι
άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής (x, y)= (κ, κ-2) με κ ∈ ℝ .
•
λ + λ
+ =  
λ
+ =
( 1) 0
x y
x y
2 8 0
Λύση
Το σύστημα έχει φανερά τη μηδενική λύση (0, 0). Θε εξετάσουμε τώρα αν έχει και άλλες λύσεις
μη μηδενικές.
λ λ+1
D = = 8 λ − 2 λ ( λ + 1) = 2 λ (4 − ( λ + 1)) = 2 λ (4 −λ − 1) = 2 λ ( −λ + 3) = − 2 λ ( λ − 3)
.
2λ 8
0 λ+1
D = = 8 ⋅ 0 − 0( λ + 1) = 0
x ,
0 8 λ 0
D = = λ ⋅ 0 − 2 λ ⋅ 0 = 0
y .
2λ 0 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
1. D ≠ 0⇔ −2λ (λ −3) ≠ 0⇔−2λ ≠ 0 και λ − 3 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 3 , τότε το σύστημα έχει
Μ.Λ. την
x y D D
0 0
= = = = = =
0, y
0
− λ λ − − λ λ
−
2 ( 3) 2 ( 3)
D D
χ
.
2. D = 0⇔ −2λ (λ − 3) = 0⇔ −2λ = 0 ή λ − 3 = 0⇔λ = 0 ή λ = 3 .
i. Για λ=0 το σύστημα γίνεται
 0 χ + y = 0  y
=
0
 ⇔ 
 0 x + 8 y = 0
 x
∈ ℝ
οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις
της μορφής (x, 0) όπου x οποιοσδήποτε αριθμός.

- 11 –
ii. Για λ=3 το σύστημα γίνεται
 3 + 4 = 0  3 + 4 = 0  3 + 4 =
0
 ⇔  ⇔  ⇔ + =
 + =  + =  + =
3 4 0
x y x y x y
6 8 0 2(3 4 ) 0 3 4 0
x y
x y x y x y
. Έστω y= κ τότε
4
4
= − ⇔ = − , άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής κ
3x 4κ χ κ
3
− ∈ ℝ .
( κ,κ)
3
•
μ χ
− + =  μ χ + μ

= +
( 1) 4
y x
( y ) x
2
Λύση
 − + =  − + =
μχ μ 4 ( μ 1) χ 4
μ
μχ μ μ χ μ
y x y
y x y
⇔  ⇔ 
(Σ) 2 2
 + = +  − + =
2 ( 1) 2
. Βρίσκουμε την D.
2 2
D = = μ μ − − μ − = μ − μ − = μ − μ − μ + .
2
μ-1 4
( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 2)( 2)
μ-1 μ
3 2
x D = = μ − = μ − μ + μ +
2
μ 4
8 ( 2)( 2 4)
2 μ
μ-1 μ
D = = 2( μ − 1) − μ ( μ − 1) = ( μ − 1)(2 − μ ) = − ( μ − 1)( μ − 2)
y .
μ-1 2 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
1. D ≠ 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) ≠ 0 ⇔ μ −1 ≠ 0 και μ − 2 ≠ 0 και μ+2 ≠ 0 ⇔
μ ≠ 1 και μ ≠ 2 και μ ≠ −2
Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. την
( 2 )
( 2 2 4) 2 2 4
( 1 )( 2 )( 2 ) ( 1 )( 2
)
x D
D
μ μ μ μ μ
− + + + +
χ χ
= = ⇔ =
μ μ μ μ μ
− − + − +
,
( μ )( μ
)
− − −
1 2 1
= = = −
( )( )( )
μ μ μ μ
− − + +
1 2 2 2
y D
y
D
.
2. D = 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) = 0 ⇔ μ −1 = 0 ή μ − 2 = 0 ή μ + 2 = 0 ⇔
μ = 1 ή μ = 2 ή μ = −2 .

- 12 –
i. Για μ=1 έχω (1 2)(12 2 1 4) ( 1)(7) 7 0 x D = − + ⋅ + = − = − ≠ το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο.
ii. Για μ=2 έχω 0, 0 x y D = D = και επειδή ο συντελεστής του y στην πρώτη εξίσωση είναι
διαφορετικός από το μηδέν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τις οποίες θα προσδιορίσουμε.
Για μ=2 το σύστημα γίνεται
 + 4 =
2
 ⇔ + =
 + =
4 2
x y
4 2
x y
x y
. Αν y= κ τότε
x = 2 − 4 y ⇔ x = 2 − 4κ και επομένως οι άπειρες λύσεις έχουν τη μορφή (x, y)= (2- 4κ, κ)
με κ ∈ ℝ .
iii. Για μ=-2 έχω ( )(( ) ( ) ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 0 x D = − − − + − + = − + − = − ≠ το σύστημα
είναι αδύνατο.
•
6. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει
+ =
− =
D D D
D D D
3
x y
x y
Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί αυτή.
Λύση
Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D ≠ 0 οπότε έχουμε:
+ =
− =
D D D
D D D
3 ( + )
x y
x y
4
D
D = D ⇔ D = ⇔ D = D . Άρα 2 2 y y y D + D = D⇔ D = D − D⇔ D = −D. Η μοναδική
2 4 2
2 x x x
λύση του συστήματος είναι η
D 2
D
D D
= x = = 2 y και 1 x
D D
y
−
= = = − . Οπότε (x, y)= (2, -1).
D D
•
2 2 2 και D 0 x y x y D + D = D D ≠ . Αν x+y= 6 να βρεθούν τα x, y.
Λύση
Ισχύει 2 2 2 x y x y D + D = D D (1) και D ≠ 0 οπότε διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με 2 D και έχω:
2 2 2 2 2 2 2 2 Aφού D 0 τότε
+ 2
    ≠
2 2 x y x y x y x y x y x y D D D D D D D D D D D D
= ⇔ + = ⋅ ⇔   +   = ⋅ ⇔    
2 2 2 2 D D
x y
χ= και y=
D D
D D D D D D D D D D
( )x2 + y2 = 2xy ⇔ x2 + y2 − 2xy = 0⇔ x − y 2 = 0 ⇔ x − y = 0⇔ x = y .

- 13 –
 + =  + =
 ⇔   =  − =
x y 6 x y 6
x y x y 0
Άρα έχω ( +
)
2χ = 6 ⇔ χ = 3 . Άρα 3 + y = 6 ⇔ y = 3 οπότε (x, y)= (3, 3).
•
8. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:
2 2 2 4 2 5 x y x D + D + D = D + D − . Να δείξετε ότι:
i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 x y D − + D − + D =
ii. Να βρεθούν τα x, y.
Λύση
i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 4 4 2 1 2 2 x y x x y D − + D − + D = D − D + + D + − D + D
2 2 2 2 4 5 x y x = D + D + D − D − D + = 4 2 5 2 4 5 0 x D D D D χ + − − − + = .
ii. Από την i. έχω: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 2 0 και 1 0 και 0 x y x y D − + D − + D = ⇔ D − = D − = D = ⇔
2 και 1 και 0 x y D = D = D = .
Επειδή D = 2 ≠ 0 το σύστημα έχει λύση την
x y D 1 D 0
= = και = = = .
x y 0
D 2 D 2
•
9. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα 1 2 Σ , Σ να είναι συγχρόνως
αδύνατα.
( )
Σ 
1
α χ β
αχ
− − = 
1 2
:
0
y
+ 
y
= Σ 
και 2
 + =
3 1
:
2
x y
x α y
− + =
Λύση
Δουλεύουμε στο 1 Σ και έχουμε:
( ) α-1 -β
D = =α − −α −β =α − +αβ
1 1
α 1
( ) 2 -β
0 1 x D = = − −β =
2 0 2

- 14 –
α-1 2
Dy = = 0 − 2 α = − 2
α Οπότε για να είναι το Σ 1 αδύνατο θα πρέπει D= 0 και
α 0 ή x y D D ≠ 0 άρα α-1+αβ=0 και x D = 2 ≠ 0 δηλαδή
α-1+αβ=0 (1).
Δουλεύουμε στο 2 Σ και έχουμε:
( ) 1 3
D = = α − − = α +
1 3 3
-1 α
1 3
6
2 a x D = = α −
( ) 1 1
D = = 2 − − 1 1 = 2 + 1 = 3
y Οπότε για να είναι το σύστημα αδύνατο θα πρέπει D= 0 και
-1 2 ή x y D D ≠ 0 άρα α+ 3= 0 και y D = 3 ≠ 0 δηλαδή α+
3= 0 (2).
Λύνω το σύστημα
( ) 4
 α + αβ − 1 = 0  − 3 + − 3 β − 1 = 0  − 3 β − 4 = 0  − 3 β = 4
 
β
= −  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 α + =  α = −  α = −  α = −   α
= −
3
3 0 3 3 3 3
•
10. Δίνονται τα συστήματα
( )
Σ 
1
α χ β + − = 
1 1
:
+ = − 
1
y
x y
και
( )
( )
 + + = 2
+ Σ 
χ β α
χ α β
2 1
:
y
y
2 3
− − 
1
= .
Να δείξετε ότι εάν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις τότε το δεύτερο είναι αδύνατο.
Λύση
Δουλεύουμε στο σύστημα 1 Σ και έχουμε:
( ) α+1 -β
D = = α + − −β = α + + β
1 1 1
1 1
( )( ) 1 -β
D = = 1 − − 1 −β = 1
− β
x -1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 14

- 15 –
( ) α+1 1
Dy = = − α + 1 − 1 = −α − 1 − 1 = −α − 2
Αφού το Σ 1 έχει άπειρες λύσεις τότε το D= 0
1 -1 και x y D = D = 0 οπότε α+ β+ 1=0, 1- β= 0,
-α -2= 0.
Άρα: −β + 1 = 0 ⇔ −β = −1⇔ β = 1
−α − 2 = 0 ⇔ −α = 2⇔α = −2
− 2 + 1 + 1 = 0 .
Για τις τιμές β= 1, α= -2 που το 1 Σ έχει άπειρες λύσεις το 2 Σ γράφεται:
χ + =  + =  + =
3 y 5 x 3 y 5 1 x 3 y
5
( ) 2
Σ  ⇔  ⇔  + =  + = − − − = −
: +
3 1 3 1 1 3 1
x y x y x y
0x + 0y = 4⇔0 = 4 άρα το σύστημα είναι αδύνατο.
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ
ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ.
1. Να λυθεί το σύστημα ( )
 χ 2 − 2
=
3 y
2
:
8 2 3 2
17
x − y
= 
Σ 
Λύση
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 2 = 2 = x κ, y λ οπότε το σύστημα γίνεται:
 − = − =
κ λ κ λ
κ λ κ λ
( ) 3 2 8 24 8 16
( +
) Σ ⇔  ⇔
 − = − − + = −
8 3 17 3 24 9 51
λ = −35. Αντικαθιστώ την τιμή του λ στην
3κ −λ = 2 ⇔ 3κ − (−35) = 2 ⇔ 3κ + 35 = 2 ⇔ 3κ = −33⇔κ = −11 .
Επομένως έχουμε 2 = − x 11 (αδύνατη) και 2 = − y 35 (αδύνατη). Άρα το σύστημα (Σ) είναι
αδύνατο.
•
3 5
1
 + =  − 2 +
3
Σ :

y
χ
2 1
5
− =
 − +
2 3
x y
Λύση

- 16 –
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι
1 1
=κ = λ
,
− +
x 2 y 3
. Θα πρέπει
χ ≠ 2 και y ≠ −3 . Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται:
( )  3 + 5 = 1 1 3 + 5 =
1
( +
) κ λ κ λ
κ λ κ λ
Σ ⇔  ⇔
 − = − =
2 5 5 10 5 25
13κ = 26 ⇔ κ = 2 οπότε αντικαθιστώ την τιμή του κ στην
2κ −λ = 5⇔ 4 −λ = 5⇔ −λ = 5 − 4⇔ −λ = 1⇔λ = −1 .
Επομένως
1 1 1
χ χ
= ⇔ − = ⇔ = + =
2 2 2 2, 5
2 2 2
χ
−
άρα χ = 2, 5 .
1
= − ⇔ + = − ⇔ = −
1 3 1 4
3
y y
y
+
.
Οπότε το (Σ) έχει λύση την (x, y ) = (2,5 , -4 ) .
•
 χ − =
4 2 y
11
:
6 5 15,5
x − y
= 
Σ 
Λύση
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι x = κ, y = λ οπότε το σύστημα γίνεται:
 − =  − =
κ λ κ λ
κ λ κ λ
( ) 4 2 11 3 12 6 33
( +
) Σ ⇔  ⇔ 
 − = − − + = −
6 5 15,5 2 12 10 31
1
λ = ⇔ λ = . Αντικαθιστούμε την τιμή του λ στην
4 2
2
4κ − 2λ = 11 και έχουμε:
1
κ − = ⇔ κ = ⇔κ = άρα χ = 3 ⇔ χ = 3 ή χ = −3
4 2 11 4 12 3
2
1 1 1
y = ⇔ y = ή
y = − οπότε το σύστημα (Σ) έχει τις ακόλουθες λύσεις
2 2 2
1 1
3, , 3,-
2 2
   
   
   
,
1 1
3, , 3, .
2 2
 −   − −     
   
•

- 17 –
 + =
2 x 3 y
5
:
3 x 5 y
7
Σ 
+ = 
Λύση
Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.
 + = − − − = −
κ λ κ λ
κ λ κ λ
2 3 5 3 6 9 15
Λύνω το σύστημα ( ) ( +
) Σ ⇔  ⇔
 + = + =
3 5 7 2 6 10 14
λ = −1
Οπότε για λ=-1 έχω: 2κ + 3λ = 5⇔ 2κ + 3(−1) = 5⇔ 2κ − 3 = 5⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 .
Οπότε χ = 4 ⇔ χ = 16 και y = −1(αδύνατη) άρα το σύστημα είναι αδύνατο.
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ
ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.
+ λ = λ
−
+ = −
2 x y
2
λχ λ
2 y
4 8
Βρίσκουμε τις ορίζουσες D, Dx, Dy οπότε:
λ
2 ( )( ) 2
= = − = − +
λ λ λ
4 2 2
2
D
λ
( ) ( ) ( ) ( )( )
−
λ λ
2
= = − − − = − − − = − − =
−
λ
4 8 2
( )( )
λ λ λ λ λ λ λ λ
2( 2) 4 8 2 2 4 2 2 2 4
Dχ
λ λ
= − −
2 2 1 2
λ
−
2 2
( λ ) λ ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) ( λ )( λ
) = = − − − = ⋅ − − − = − −
2 4 8 2 2 4 2 2 2 8
D
y λ 4 λ
−
8 Βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες
D = 0⇔(2 −λ )(2 +λ ) = 0⇔ 2 −λ = 0 ή 2 +λ = 0⇔ −λ = −2 ή λ = −2⇔λ = 2 ή λ = −2
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

- 18 –
1. Αν λ ≠ 2 κ α ι λ ≠ − 2 τότε D ≠ 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την:
2 2 1 2 2 2 1 2 2 (1 2 )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
λ − − λ − − λ − λ − −
λ
= = = =
− + − + +
λ λ λ λ λ
2 2 2 2 2
x D
x
D
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
D y λ 2 8 λ 2 λ 8 λ 8 λ
y
− − − − − −
= = = = −
− + − + +
D 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ
2. Αν λ=2 το σύστημα γράφεται
 2 χ + 2 =
0
 ⇔ + =
 + =
2 2 0
y
2 2 0
x y
x y
έχει άπειρες λύσεις.
Έστω x=κ τότε 2κ + 2 y = 0 ⇔ 2 y = − 2κ ⇔ y = −κ άρα το σύστημα έχει
άπειρες λύσεις της μορφής (x, y) = (κ, -κ) με κ∈ ℝ .
 − = − 
− + = − 
2 2 4
3. Αν λ=-2 το σύστημα γράφεται ( +
) x y
x y
2 2 1 6
0x + 0 y = −20⇔ 0 = −20 δεν ισχύει άρα το σύστημα
είναι αδύνατο.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ
χ + =

 − =
2 2 y
2 6
3
x y
Λύση
( )2 2 2 6 2 2 2 6 3 2 2 2 6 2 9 6 2 2 6
 x + y =  x + y =  y + + y =  y + + y + y
=
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔
 x − y = 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y
+
3
( ) ( )3 2 6 3 0 3 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 0
 y + y + =  y + y + =  y + y + =  y
+ =
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔
 x = y + 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y
+
3

- 19 –
 + =  = −  = −
 ⇔  ⇔ 
 = +  = − +  =
1 0 1 1
y y y
x y x x
3 1 3 2
άρα το σύστημα έχει λύση την ( x, y ) = (2, −1) .
 + =

 =
2 2 5
x y
xy
2
Λύση
( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 2 4 5 2 9 9
 x + y =  x + y − xy =  x + y − =  x + y =  x + y
=
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy
=
2
Και
 + = −  + =  χ
+ = −
 ⇔  
 =  =  χ
=
9 3 3
x y x y y
και
xy xy y
2 2 2
Λύση του
3
x + y
=  xy

=
2
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης κ 2 − 3κ + 2 = 0 ⇔
κ =1 ή κ = 2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: ( x = 1 και y = 2) ή (χ = 2 και y=1) .
Λύση του
3
x + y
= −  
xy
=
2
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ω 2 − (−3)ω + 2 = 0 ⇔
ω 2 + 3ω + 2 = 0 ⇔ω = −1 ή ω = −2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (χ = −1 και y = −2) και
( x = −2 και y = −1) .
Άρα οι λύσεις του
 + =

 =
2 2 5
x y
xy
2
είναι (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).
2 2 2 ( 2)
 + = + 
x y xy
x y
6
+ = 
Λύση

- 20 –
Το σύστημα γράφεται
2 2 2 4 ( )2 2 2 4
 x + y = xy +  x + y − xy = xy
+
 ⇔  ⇔
 x + y = 6  x + y
=
6
 36 − 2 xy = 2 xy + 4 − 4 xy = 4 − 36 − 4 xy = − 32  4 xy = 32  xy
=
8
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 + =  + =  + =  + =  + =
6 6 6 6 6
x y x y x y x y x y
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ϕ 2 − 6ϕ + 8 = 0 ⇔ϕ = 4 ή ϕ = 2 . Άρα οι λύσεις
του συστήματος είναι (χ = 4 και y = 2) ή (χ = 2 και y = 4) .
4. Να λυθεί το σύστημα

 − 2
− = 2 5 0
xy y y
y x 2
x
= − + 
4 3
Λύση
( )
( )
 2 xy − y 2
− 5 y = 0  y 2 x − y − 5 = 0  y = 0 ή 2 x − y − 5 = 0  y
=
0
 ⇔  ⇔  ⇔ 
 y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2
− x
+
1
4 3 4 3 4 3 4 3
− − = 
 = − +
2 5 0
x y
y x x
( ) 2
ή 2
4 3
Λύση του πρώτου συστήματος
( χ
) ( )
 =  =  =  =
 ⇔  ⇔  ⇔ 
 = − +  − + =  = =  =
0 0 , 1, 0
y y o y y
y x x x x x x y
2 4 3 2 4 3 0 1 ή χ
3 ( , ) ( 3, 0
)
Λύση του δεύτερου συστήματος
 2 x − y − 5 = 0  y = 2 x − 5  y = 2 x − 5  y = 2 x
−
5
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔
 y = x 2 − 4 x + 3  2 x − 5 = x 2 − 4 x + 3  x 2 − 4 x + 3 − 2 x + 5 = 0  x 2
− 6 x
+ 8 =
0
 = −  = − =
 ⇔ 
 = =  = =
2 5 1 και 3
2 ή 4 2 και 4
y x y y
x χ x χ
άρα οι λύσεις του δεύτερου συστήματος είναι
(χ , y ) = (2, −1) και ( x, y) = (4,−3) .
Επομένως το δεύτερο σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (1, 0), (3, 0), (2, -1) και (4, -3).

- 21 –
 + =

 + =
2 2 29
7
x y
x y
(1)
Λύση
( )2 2 29 2 2 29 49 2 29 2 20 2 20
 x + y =  x + y − xy =  − xy = − xy = −  xy
=
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔
 x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y
=
7
= 
 + =
x y 1 0
x y 7
κατά τα γνωστά οι x, y, είναι ρίζες της εξίσωσης ω2 −7ω +10 = 0⇔ω = 2 ή ω = 5.
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (x=2 και y=5) ή (x=5 και y=2). Δηλαδή (x, y)=(2, 5) και (x,
y)=(5,2).
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.
Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx+ βy+ γz= δ.
Ονομάζουμε σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους κάθε έκφραση της
μορφής ( )
+ + = 
α χ β γ ω δ
α χ β γ ω δ
α χ β γ ω δ
y
y
y
1 1 1 1
Σ + + = 
2 2 2 2
 + + =
3 3 3 3
:
.
Ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζεται κλιμακωτό
όταν είναι ισοδύναμο με ένα σύστημα της μορφής:
+ + = 
κ χ λ μ ω ν
y
y
1 1 1 1
+ = 
 =
λ μ ω ν
2 2 2
μ ω ν
3 3
Λύση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε
κάθε διατεταγμένη τριάδα ( ) 0 0 0 χ , y ,ω που επαληθεύει τις εξισώσεις του.
Επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε
την εύρεση όλων των λύσεών του.
Η λύση ενός κλιμακωτού συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους
επιτυγχάνεται ως εξής:

- 22 –
i. Από την τρίτη εξίσωση υπολογίζουμε το ω.
ii. Αντικαθιστώντας την τιμή του ω που βρήκαμε στην δεύτερη εξίσωση
προσδιορίζουμε το y.
iii. Αντικαθιστώντας τις τιμές ω, y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση προσδιορίζουμε
το x.
Για να λύσουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους θα το
μετασχηματίσουμε πρώτα σε ένα ισοδύναμο κλιμακωτό σύστημα. Αρχικά, απαλείφουμε
τον ίδιο άγνωστο μεταξύ πρώτης και δεύτερης εξίσωσης και μεταξύ πρώτης και τρίτης
εξίσωσης. Στη συνέχεια, λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των δύο εξισώσεων με τους
ίδιους αγνώστους και αντικαθιστώντας στην εξίσωση με τους τρεις αγνώστους
προσδιορίζουμε και τον τρίτο άγνωστο.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
+ − =
5
3

α β γ
β γ
Σ α
− + = α β γ


: 2 10
3 2
2
3
− + = 3 6 2

Λύση
 + − =  + − =
    Σ ⇔   − +  = ⋅ ⇔  − + =
( )
5
5
β γ
3

α β γ
α β γ
α α β γ
6 2 6 10 12 2 9 60
3 2
     α − β + γ
=   − +     = ⋅
  
4 3 18
α β γ
2
6 6 3
3 6 2
Απαλείφουμε τον α μεταξύ πρώτης και δεύτερης, και μεταξύ πρώτης και τρίτης εξίσωσης.
( )
 α + β − γ = − − α − β + γ
= −
 ⇔   α − β + γ =  α − β + γ
=
5 12 12 12 12 60
+
12 2 9 60 1 12 2 9 60
−14β + 21γ = 0

- 23 –
( )
 α + β − γ = − − α − β + γ
= −
 ⇔   α − β + γ =  α − β + γ
=
5 4 4 4 4 20
+
4 3 18 1 4 3 18
−5β + 7γ = −2
Άρα ( )
5
α β γ
+ − = 
β γ
β γ
Σ ⇔ − + = 
14 21 0
5 7 2
− + = −
β γ β γ
β γ β γ
− + = −  − =
 ⇔ − + = − − + = −
14 21 0 5 70 105 0
λύνουμε το σύστημα: ( +
)
5 7 2 14 70 98 28
−7γ = −28⇔γ = 4
Τότε −14β + 21γ = 0⇔ −14β + 21⋅ 4 = 0⇔ −14β = −84⇔β = 6 . Αντικαθιστώντας τις τιμές που
βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση έχουμε: α + 6 − 4 = 5⇔α = 3 . Οπότε η λύση του (Σ) είναι: (3, 6,
4).
•
− = − 
2 3
x y z
x y z
x y z
Σ + = − 
: 3 8 14 9
2 3 5 7
 + + =
Λύση
( )
 − + =  = −  = −
  
2 3 0 2 3 2 3
x y z x y z x y z
x y z y z y z y z y z
x y z y z y z y z y z
Σ  + + = ⇔  − + + = ⇔  − + + = ⇔
: 3 8 9 14 3(2 3 ) 8 9 14 6 9 8 9 14
2 3 5 7 2 2 3 3 5 7 4 6 3 5 7
   + + =  ( − )
+ + =  
− + + =  = −  = −  = ⋅ −  =
   
 = ⇔  = ⇔  = ⇔  =
 − =  ⋅ − =  =  =    
2 3 2 3 2 1 3 2
x y z x y z x z x
y y y y
y z z z z
14 14 1 1 1
7 7 7 1 7 0 0
•
χ ω
χ ω
χ ω
5
− + = 
y
y
y
Σ − − = 
: 2 11
 − + =
3 7 3

- 24 –
Λύση
Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και στη συνέχεια μεταξύ πρώτης και
τρίτης.
( )
 χ − + ω = − − χ + − ω
= −
 ⇔   χ − − ω =  χ − − ω
=
5 2 2 2 2 10
+
y y
y y
2 11 1 2 11
y − 3ω = 1
( )
 χ − + ω = − − χ + − ω
= −
 ⇔   χ − + ω =  χ − + ω
=
5 1 5
+
y y
y y
3 7 3 1 3 7 3
−2y + 6ω = −2
οπότε το σύστημα γίνεται:
( )
5
χ ω
− + = 
y
y
y
ω
ω
Σ − = 
: 3 1
 − + = −
2 6 2
Λύνουμε το σύστημα

− ω
= − + = −
3 1
2 6 2
y
y
ω
ως εξής:
( )
ω ω
 − 3 = 1 2  2 − 6 =
2
 ⇔ − + = − − + = −
+
y y
ω ω
2 y 6 2 1 2 y
6 2
0 y + 0ω = 0 άρα 0=0 το οποίο ισχύει για κάθε y,ω ∈ ℝ . Δηλαδή το σύστημα
έχει άπειρες λύσεις της μορφής (y, ω)= (3κ+1, κ) όπου κ ∈ ℝ . Αντικαθιστώντας τις τιμές του y
και του ω στην πρώτη εξίσωση έχουμε:
χ − y +ω = 5⇔χ = 5 + y −ω = 5 + 3κ +1−κ = 6 + 2κ . Άρα το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις της
μορφής (x, y, ω)= (2κ+6, 3κ+1, κ) με κ ∈ ℝ .
•
χ ω
χ ω
χ ω
− + = 
5 y
3 4
: 3 y
2
3 2 y
2 2
Σ − + = 
 − + =
Λύση
Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, καθώς και πρώτης και τρίτης.

- 25 –
χ ω χ ω
χ ω χ ω
 5 − y + 3 = 4 1  5 − y
+ 3 =
4
 ⇔  +  − y + = − − + y
− = −
( ) ( )
3 2 5 5 15 5 10
14 y − 2ω = −6 ⇔ 7 y −ω = −3
χ ω χ ω
 5 − y + 3 = 4 3  15 − 3 y
+ 9 =
12
 ⇔  − + = − − + − = −
( ) ( +
)
ω χ ω
3 x 2 y 2 2 5 15 10 y
10 10
7 y − ω = 2
Άρα το σύστημα γίνεται:
( )
ω
ω
ω
− + = 
5 x y
3 4
: 7 3
Σ − = − 
y
y
 − =
7 2
λύνουμε το σύστημα
− ω
= −  − ω
=

7 y
3
7 y
2
( )
 − ω = −  − ω
= −
 ⇔   − ω = −  − ω
= −
7 3 1 7 3
+
y y
y y
7 2 1 7 2
0 y − 0ω = −5 ⇔ 0 = −5 δεν ισχύει, άρα το σύστημα είναι αδύνατο οπότε
και το (Σ) είναι αδύνατο.
•
χ ω
χ ω
χ ω
+ + = 
4 3 y
17 0
: 5 4 y
22 0
4 2 y
19 0
Σ + + = 
 + + =
Λύση
Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές
λύσεις. Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και μεταξύ πρώτης και τρίτης
οπότε έχουμε:
( )
( )
 + + ω = − − χ − − ω
=
 ⇔   + + =  + + =
4 3 17 0 5 20 15 85 0
+
x y y
χ ω ω
5 4 y 22 0 4 20 x 16 y
88 0
y + 3ω = 0
( )
 χ + + ω = − − χ − − ω
=
 ⇔   χ + + ω =  + + ω
=
4 3 17 0 1 4 3 17 0
+
y y
y x y
4 2 19 0 1 4 2 19 0
−y + 2ω = 0

- 26 –
Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται:
( )
χ ω
+ + = 
4 3 17 0
ω
ω
Σ ⇔ + = 
3 0
2 0
y
y
y
 − + =
+ ω
= − + ω
=

3 0
y
y
Λύνουμε το σύστημα ( +
)
2 0
5ω = 0⇔ω = 0
Επομένως το (Σ) παίρνει τη μορφή
 4 χ + 3 y + 17 ω = 0  4 χ + 3 y
+ 17 ω = 0  4 χ
+ 3 ⋅ 0 + 17 ⋅ 0 =
0
  
 y + 3 ω
= 0 ⇔  y = 0 ⇔  y
= 0
⇔
  ω = 0   ω = 0  
ω
= 0
 χ =  χ
=
 
 = ⇔  =
   = 
= 4 0 0
0 0
0 0
y y
ω ω
άρα το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση την (x, y, ω)= (0, 0, 0).
•
χ ω
χ ω
χ ω
+ − = 
5 5 0
: 10 5 2 0
y
y
y
Σ + + = 
− + − =
5 15 9 0
Λύση
Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές
λύσεις. Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, όπως και μεταξύ πρώτης και τρίτης
οπότε έχουμε:
( )
 + − = − − − + =
 ⇔  + + = + + =
5 5 0 2 10x 10y 2ω 0
+
x y
x y
ω
ω
10 5 2 0 1 10x 5y 2ω 0
−5y + 4ω = 0
( )
 + − ω = − − χ − + ω
=
 ⇔  + − = + − =
5 5 0 1 5 5 0
+
x y y
χ ω χ ω
5 15 y 9 0 1 5 15 y
9 0
10y −8ω = 0⇔5y − 4ω = 0 . Έτσι το (Σ) γίνεται:

- 27 –
( )
ω
ω
ω
+ − = 
5 x 5 y
0
Σ ⇔ − = 
5 y
4 0
5 y
4 0
 − =
Λύνουμε το σύστημα
 5 − 4 ω
=
0
 ⇔ − ω
=
 − =
5 4 0
y
ω
5 4 0
y
y
Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της
μορφής ( ) 4
y , ω =  κ κ ,

5
 
με κ ∈ ℝ .
Αντικαθιστούμε τις τιμές του y, ω στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (Σ) και έχουμε:
4 3
χ + κ −κ = ⇔ χ + κ = ⇔ χ = − κ ⇔ χ = − κ Άρα το (Σ) έχει άπειρες λύσεις της
5 5 0 5 3 0 5 3 .
5 5
μορφής
3 4
 − κ , κ ,
κ  5 5


με κ ∈ ℝ .
•
x y
ω
 = = 
7. Να λυθεί το σύστημα ( ) 2 3 4
 − + ω
=
2 x y
2 18
Σ =
Λύση
x y
ω
= = = λ ⇔ χ = λ = λ ω = λ Αντικαθιστώ τις τιμές των x, y, ω στην
Θέτουμε 2 και 3 και 4 .
2 3 4
y
δεύτερη εξίσωση και έχουμε:
( ) ( ) 18
λ − λ + λ = ⇔ λ − λ + λ = ⇔ λ = ⇔ λ = =
2 2 3 2 4 18 4 3 8 18 9 18 2
9
Άρα x = 2 ⋅ 2 = 4, y = 3 ⋅ 2 = 6, ω=4 ⋅ 2=8 οπότε η λύση του (Σ) είναι (x, y, ω)= (4, 6, 8).
•
8. i)Να λυθεί το σύστημα
1 1
4
 + = x y
1 1

9

+ = y
ω
1 1
3
+ = ω

x
ii)Να λυθεί το σύστημα
 − = − 
2 x 3 y
19
6 x 2 y
6
− = 
Λύση
i)Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι έχουμε:

- 28 –
1 1 1
= κ = λ = μ χ ≠ ≠ ω
≠
, , , θα πρέπει 0, y 0, 0.
y
χ ω
4
9 +
3
κ λ
λ μ
μ κ
+ = 
Οπότε το σύστημα γίνεται ( ) ( )
Σ ⇔ + = 
 + =
Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:
2κ + 2λ + 2μ =16⇔κ +λ +μ = 8 οπότε
(κ +λ + μ ) − (κ +λ ) = 8 − 4⇔κ +λ + μ −κ −λ = 4⇔μ = 4 άρα
1 1
= ⇔ =
4
4
ω
ω
1
(κ +λ + μ ) − (λ + μ ) = 8 − 9⇔κ +λ + μ −λ −μ = −1⇔κ = −1 άρα = − ⇔ = −
1 χ 1
χ
(κ +λ + μ ) − (μ +κ ) = 8 − 3⇔κ +λ + μ −μ −κ = 5⇔λ = 5 άρα
1 1
= ⇔ =
5
5
y
y
Άρα το σύστημα (Σ) έχει λύση την ( ) 1 1
x , y , ω =  − 1, ,

5 4
 
.
ii) Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.
 − = − − − + =
κ λ κ λ
κ λ κ λ
2 3 19 3 6 9 57
Λύνω το σύστημα ( ) ( +
) Σ ⇔  ⇔
 − = − =
6 2 6 1 6 2 6
λ = 9
Οπότε για λ=9 έχω: 2κ − 3λ = −19⇔ 2κ − 3(9) = −19 ⇔ 2κ − 27 = −19 ⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 .
Οπότε x = 4 ⇔ x = 16 και y = 9 ⇔ x = 81

- 29 –
Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς.
1)Η εξίσωση x3 − y = 4 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους . Σ Λ
2)Η εξίσωση (λ 2 −9)x + (λ − 3) y = 8 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους για κάθε
τιμή του λ ∈ℝ . Σ Λ
γ −
β
x
3)Το ζεύγος ( x
, ), α
0
α
≠ είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης β x +α y =γ . Σ Λ
4)Η εξίσωση 0x − y = 0 έχει λύσεις όλα τα ζεύγη της μορφής (λ,0),λ ∈ℝ. Σ Λ
5)Η εξίσωση (x − 2)2 − x2 + 2y = 0 είναι γραμμική. Σ Λ
6)Η εξίσωση x = 5 επαληθεύεται από όλα τα ζεύγη της μορφής (5,λ ),λ ∈ℝ Σ Λ
7 −
5
κ
7)Κάθε σημείο της μορφής
( , ),
3
κ κ
∈ℝ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση
7 − 3x = 5y . Σ Λ
8) Η ευθεία y = −2 είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ . Σ Λ
9) Η ευθεία α y +β x =γ τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο (0, )
γ
α
Σ Λ
10)Το σύστημα
+ = 
 + =
2 x y
1
2 x y
2
έχει άπειρες λύσεις . Σ Λ
11) Αν το σύστημα
β γ
+ = 
 + =
ax y
x y z
δ ε
είναι αδύνατο τότε οι ευθείες 1 2 ε ,ε με εξισώσεις
1 2 ε : ax +β y =γ , ε :δ x +ε y = z είναι παράλληλες . Σ Λ
12)Οι ευθείες 1 2 ε : y −λ x = −2 , ε :λ y + 4x −λ = 0 τέμνονται για κάθε λ ∈ℝ. Σ Λ
Ασκήσεις Για Λύση
1. Να εξετάσετε ποια από τα ζεύγη (1, 1) , (4 ,-10) , (3,7),
2
+
2 2 3
( , 2 1)
3
a
a
+ είναι λύσεις
της εξίσωσης 3x − y = 2
2. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα :
i)
− = 
 + =
2 0
3
x y
x y
ii)
− = 
 − =
2 x y
1
2 x y
3
3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών:
i)
+ = 
− + = −
3 x y
10
2 x 3 y
25
ii)
3
 + = 
 = −
2 1
x y
2
y x
6 2 8

- 30 –
4.Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i)
− = − 
 + =
4 x 3 y
4
7 x 3 y
26
ii)
 3 x + 1 4 y
− 10
− = 1
8 2
 7 − 2 + − 6

− =
0
x y x
2 5

iii)
+ − − − + = 
 − − + + = −
(6 x 1)( y 2) (2 x 1)(3 y
1) 3
3 x (4 y 1) (2 x 4)(6 y
1) 28
iv)
3 2
4
 − = − x y
4 3

7
− = −
x y

v)
 − = − 
2 x 3 y
19
6 x 2 y
6
− = 
5.Να βρείτε τις τιμές των κ ,λ ∈ ℝ ,ώστε η εξίσωση
(κ − 2λ − 1) x + (2κ − λ − 5) y + κ − 1 = 0
Να παριστάνει ευθεία.
6.Να βρεθούν οι τιμές των κ ,λ ∈ ℝ έτσι ώστε η εξίσωση (5κ −λ − 3)x + 2κ − 4λ + 6 = 0 να
έχει 1974 λύσεις.
λ λ
λ λ λ
+ + + = 
( 1) x ( 2 ) y
5
2 4 1 4
x + 
− y
= + για τις διάφορες τιμές του λ.
8.Αν το σύστημα
λ + = 
 + =
2 2
1
x y
x y
, είναι αόριστο , να δείξετε ότι το σύστημα
λ λ
x − y
=  x − 
y
=
4 3
λ
,είναι αδύνατο.
9. Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ , ώστε το σύστημα :
( 3) ( 1) 1
λ μ
μ λ
− x − + y
=  x + (2 + 1) y

=
7
Να έχει λύση (x,y)=(2,-3).
10. Δίνονται τα παρακάτω συστήματα:

2 + β = 5
− + − = −
( 1)
x y
( 1) 7
S
x a y
και

( − 1) − 2
= −  − − =
( 2)
β β
a x y
α β α
2( 2) 2
S
x y

- 31 –
Γνωρίζουμε ότι το S1 έχει μοναδική λύση .
i) Να αποδείξετε ότι και το S2 έχει μοναδική λύση.
ii) Να βρείτε την μοναδική λύση του S2.
11. Να λυθεί το σύστημα αν ισχύει
2 18 3 2 6 90 x y y x D + D + D − = −D + D − .
12.
(ε1): 5x-y=17
(ε2): y-2x=1
(ε2): 3x+2y=5
Με την χρήση του παραπάνω σχήματος να λυθούν τα παρακάτω συστήματα
i)
− = 
 − =
5 17
x y
y x
2 1
ii)
− = 
 + =
5 x y
17
3 x 2 y
5
iii)
− = 
 + =
2 1
y x
x y
3 2 5

- 32 –
13. Δίνονται οι ευθείες :
ε 1 : x − y = −1 ε 2 :λ x − y = −1
Να βρείτε τις σχετικές θέσεις των ευθειών 1 2 ε , ε για τις διάφορες τιμές του λ.
( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 4 0 x y D − + D − + D + = . Να λυθεί το σύστημα.
15.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες :
i)
3 2
1 0
ii)
4 2
4 3
iii)
1 5
2 6
2
-4
3
−
16.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες :
i)
α β α γ
− ii)
γ δ β δ
λα μβ α β
− λμ
λγ μδ γ δ
iii)
α β α β + κα
−
γ δ γ δ+κγ
17.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
2 2 2 2
−
2 4
x y y y
+
y 2 x 2 x 2 y
2
2 2
2
2
0
2
1
y
x
=
−
είναι αδύνατη για κάθε
τιμή των χ,y.
18.Δινεται η εξίσωση:
(5x − 6)λ + 2μ (x −1) = 3x − 4 ,λ ,μ ∈ ℝ
α) Να την μετασχηματίσετε στην μορφή ΑΧ=Β
β)Να βρείτε τις τιμές των λ,μ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

- 33 –
19.Να λύσετε τα συστήματα:
i)
+ + = 
− + = 
 =
2 11
3 2 2
1
x y z
y z
z
ii)
+ − = 
2 x y 3 z
0
3 x 2 y 4 z
1
3 x y z
5
+ + = 
− − − = −
iii)
3
4
5
+ = 
x y
x
ω
+ =  ω
+ y
=

(Υπόδειξη : Προσθέστε και τις τρεις εξισώσεις κατά μέλη )
20. Για τις εξισώσεις , , x y D D D ενός γραμμικού συστήματος δυο εξισώσεων με δυο
αγνώστους x και y ισχύουν οι σχέσεις :
2
2
8
 + =

D D
x
D D
D D
+ = − x y
 + = −
y
Να βρειτε την λυση ( x,y) του γραμμικου 
συστηματος .
21. Να λύσετε τα μη γραμμικά συστήματα:
2 x + y
= 5
 x − xy − y

= −
i) 2 2
2 1
ii)
+ + = 
 = −
3 1 0
2
x y
xy
iii)
 + =

 =
2 2 10
x y
xy
3
iv)
− = − 
2 3 1
y x
y x
+ = 
2 3
-
22.Συσκευασαμε 3 τόνους αναψυκτικού «Λόλα –κόλα» σε 1050 μπουκάλια
χωρητικότητας 1 και 4 λίτρων .Πόσα μπουκάλια του 1 λίτρου και πόσα μπουκάλια των
4 λίτρων χρησιμοποιήσαμε;

- 34 –
23. Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι
− +
α β β
6 2
, , 7 3
+ − − α ,β ∈ ℝ
α β α
2 2
Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο να δείξετε ότι και το τρίγωνο με μήκη πλευρών :
α β
+ −
2 3 5 1
, 2 ,
+ α ,β ∈ ℝ
3
αβ β
Είναι επίσης ισόπλευρο.
24. Το άθροισμα των ψηφιων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Αν εναλλάξουμε την θέση
των ψηφίων του, παίρνουμε αριθμό μικρότερο του αρχικού κατά 18.Να βρείτε τον αρχικό
αριθμό.

'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

Similar to 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα (20)

More from Θανάσης Δρούγας

More from Θανάσης Δρούγας (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα