Expresiones Algebraicas

1. 3.4. PRODUCTOS NOTABLES VS FACTORIZACIÓN
PRODUCTOS NOTABLES
Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo
desarrollo se puede hacer por simple inspección.
BINOMIO AL CUADRADO
A. El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del
primer término mas el duplo del producto del primer término por el segundo más el
segundo al cuadrado.
  222
2 bababa 
Ejemplo:
         4236222323223
412392232323 yyxxyyxxyx 
      
2 22 2
6 2 6 6 12 36y y y y y      
B. El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer
término menos el duplo del producto del primer término por el segundo más
el segundo al cuadrado.
  222
2 bababa 
Ejemplo:
       25105525 2222
 xxxxx
         1441122212 3264232232232
 yxyxyxyxyx
PRODUCTODELASUMAPORLA DIFERENCIADEDOSTERMINOSALGEBRAICOS
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término.
   22
bababa 
Ejemplo:
       49777 222
 xxxx
       819939393 422222
 xxxx
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LAFORMA   bxax 
El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más
la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto
de los términos no comunes.

2.      abbaxbxax  2
Ejemplo:
     30116.56565 22
 xxxxxx
           65232323 22
 xxxxxx
           20454545 22
 xxxxxx
           352575757 22
 xxxxxx
BINOMIO AL CUBO
A. El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el
triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer
término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
  32233
33 babbaaba 
Ejemplo:
                125751512525315553535 232332233
 xxxxxxxxxx
            
       
32369
32369
323233333
125150608
12525235438
5523523252
yyxyxx
yyxyxx
yyxyxxyx



b. El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más
el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del
primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
  32233
33 babbaaba 
Ejemplo:
          
    
27279
27939
333333
23
23
32233



yyy
yyy
yyyy
            
     
15102546
15102546
3525252232352
860150125
84532253125
2253253525
bbabax
bbabax
bbabaaba



FACTORIZACION

3. La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos
llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que, al
multiplicarlos resulta el termino original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en
números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factorizaa x a. Cuando se factoriza
un polinomio como 652
 xx su resultado es   23  xx .
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
FACTOR COMUN
Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte
literal con menor exponente común de un polinomio.
Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que
resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplos
)2(4
comunFactor
48 22
baab
abba



)3(3
comunFactor
93
aby
yaby



TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 222
2 yxyxyx 
Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo
adelante.
Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización.
Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se
verifica que el doble producto figura en el trinomio dado, Si el doble producto figura en el
trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo
factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de
las raíces.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces
del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces
del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

4. Ejemplos:
1.
222
2
2
22
)3+2(=9124:Entonces
PerfectoCuadradoTrinomiounEs
123.2.2
39
24
9124
zxzxzx
xzzx
zz
xx
zxzx













2.
2336
33
36
36
)
4
1
+2(=
16
1
4:Entonces
PerfectoCuadradoTrinomiounEs
4
1
.2.2
4
1
16
1
24
16
1
4
xxx
xx
xx
xx















CUBO PERFECTO
 33223
33 yxyxyyxx 
Se identifican los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.
Luego calculo:
El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.
El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,
Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo
Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.

5. Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.
Ejemplos:
1.
33223
22
22
3 3
3 3
3223
3b)-2(=2754368:Entonces
PerfectoCubounEs
54)3).(2.(3
36)3.()2.(3
327
28
2754368
ababbaa
abba
baba
bb
aa
babbaa














2.
323
2
22
3
3 3
23
)1-
2
1
(=1
2
3
4
3
8
1
:Entonces
PerfectoCubounEs
2
3
)1.(
2
1
.3
4
3
)1.()
2
1
.(3
11
2
1
8
1
1
2
3
4
3
8
1
xxxx
xx
xx
xx
xxx


















DIFERENCIADE CUADRADOS
))((22
yxyxyx 
Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados
perfectos.
Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado
por dichos términos.
Ejemplos:
1.
9 25
9 3
25 5
9 25 3 5 3 5
2 2
2
2
2 2
x y
x x
y y
x y x y x y







   Entonces: ( )( )

6. 2.
4
9
4
9
2
3
4
9
2
3
2
3
6 4 2
6 3
4 2 2
6 4 2 3 2 3 2
x z y
x x
z y z y
Entonces x z y x z y x z y








  





 





:
TRINOMIO DE LAFORMADE LAFORMA
baxx 2
Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.
Se buscan dos números que multiplicados den el tercer termino y sumados el segundo
termino del trinomio
    bxaxabxbaxdcxx  22
Ejemplos:
    656.5653011 22
 xxxxxx
          23232365 22
 xxxxxx
          45454520 22
 xxxxxx
  573522
 xxxx
SUMADE CUBOS
  2233
babababa 
El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces
cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz
cubica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos
más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.
Ejemplo:
Factorizar 13
x
Aplicando el caso de factorización         223
1111  xxxx
Se obtiene como resultado:   111 23
 xxxx
RESTADE CUBOS

7.   2233
babababa 
El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz
cubica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más
el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.
Ejemplo:
Factorizar 13
x
Aplicando el caso de factorización         223
1111  xxxx
Se obtiene como resultado:   111 23
 xxxx
TRINOMIO DE LAFORMA
cbxax 2
Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener
coeficiente diferente de 1.
Se factoriza de la siguiente manera:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el
producto en el segundo término. Convirtiéndolo asíen un trinomio de la forma: baxx 2
Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.
Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma baxx 2
Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.
Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.
Ejemplo:
Factorizar 26 2
 xx 26 2
 xx
Se obtiene como resultado:   )12(2326 2
 xxxx