Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης για το lisari

1. Δπαλήθεςζη, Πολςηέλεια ή Αναγκαιόηηηα;
Θεόδωπορ Παγώνηρ
Φπονηιζηήπιο Φάζμα, Γ. Σηαίκος 1, Αγπίνιο, e-mail: theomath@yahoo.gr,
theomath1@gmail.com
Κύξηνο ζθνπόο ηεο εηζήγεζεο απηήο είλαη λα θαηαδείμεη ηελ αλαγθαηόηεηα, ηεο
επαιήζεπζεο ησλ ιύζεσλ ησλ αζθήζεσλ ζηηο νπνίεο δελ πιεξνύληαη νη ηζνδπλακίεο ζε
νιόθιεξε ηελ δηαδηθαζία ηεο επίιπζεο. Σν εγρείξεκα απηό αθνξά ηελ επαιήζεπζε ζε όιεο
ηηο ηάμεηο ηνπ Λπθείνπ, κε ηδηαίηεξε έκθαζε ζηελ Γ΄, ρσξίο βέβαηα λα παξαγθσληζηνύλ νη
ππόινηπεο. Θα γίλεη πξνζπάζεηα, ώζηε λα αλαδεηρζεί ε αλάγθε γηα ηελ επαιήζεπζε ζε
όιν ην εύξνο ησλ ηάμεσλ ηνπ Λπθείνπ. Φπζηθά, ζα δνζεί έκθαζε ζηελ Γ΄ Λπθείνπ ρσξίο
όκσο λα ππνηηκεζνύλ νη ππόινηπεο ηάμεηο.
Πέξαλ ηνπ ρηιηνεηπσκέλνπ θαη ρηιηνγξακκέλνπ παξαδείγκαηνο (Αλ ηζρύεη
1ax
e x  , γηα θάζε x , λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ a ), ζα ππνδεηρηνύλ
πνιιά άιια παξαδείγκαηα, πξσηόηππα ζε θαηαζθεπή.
Θα ηνληζζεί, όηη ε δηαδηθαζία ηεο επαιήζεπζεο θξίλεηαη αξθνύληνο ζεκαληηθή ζε
κεγάιν πιήζνο αζθήζεσλ. Απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε, όκσο είλαη νη ιύζεηο πνπ
πξνθύπηνπλ θαη είλαη πξνο εμέηαζε λα είλαη ξεηέο. ΢ηελ πεξίπησζε πνπ νη ιύζεηο είλαη
άξξεηεο ηόηε ε δηαδηθαζία ηεο επαιήζεπζεο είλαη αξθεηά ρξνλνβόξα θαη αζύκθνξε. Μηα
αθόκε παξάκεηξνο, ε νπνία θάλεη ηελ επαιήζεπζε κηα δύζθνιε δηαδηθαζία, είλαη νη ιύζεηο
ηεο εμίζσζεο λα είλαη ξεηνί αξηζκνί αιιά λα έρνπλ δύζθνινπο ππνινγηζκνύο. Βέβαηα δελ
ζα πξέπεη λα παξαβιέπνπκε ην γεγνλόο, όηη όπνπ είλαη δπλαηόλ παίξλνπκε πεξηνξηζκνύο
αλ θαη εθόζνλ απηνί ππάξρνπλ.
Σν ίδην ην ζρνιηθό βηβιίν ζε πνιιέο πεξηπηώζεηο εκκέλεη ζηελ επαιήζεπζε (π.ρ.
Παξάγξαθνο 4.4, Παξαδείγκαηα, 2ν
θαη 3ν
), θάηη πνπ δπζηπρώο παξαβιέπεηαη από
πνιινύο ζπλάδειθνπο.
΢ην ηέινο ηεο εηζήγεζεο ζα δηεμαρζεί δηάινγνο θαη αληαιιαγή απόςεσλ από
έκπεηξνπο ζπλαδέιθνπο ώζηε νη λεώηεξνη λα απνθνκίζνπλ πνιιαπιά νθέιε πνπ ζα
αμηνπνηήζνπλ ζην παηδαγσγηθό ηνπο έξγν.
Λέμεηο θιεηδηά: επαιήζεπζε, αλαγθαηόηεηα, πξωηόηππα παξαδείγκαηα, δηάινγνο.

2. επαιήζεπζε (ε) [1867] {-εο θ. -εύζεσο | -εύζεηο, -εύζεσλ}
1. ε απόδεημε ηήο νξζόηεηαο πξνβιέςεσο: ε ~ ησλ πξνβιέςεσλ || ηα πνζνζηά ησλ
δεµνζθνπήζεσλ αλαδεηνύλ ηελ ~ ηνπο ζηα εθινγηθά απνηειέ- ζµαηα ANT. δηάςεπζε
2. ΜΑΘ. επηβεβαίσζε ηνύ απνηειέζκαηνο αξηζκεηηθήο πξάμεο: θάλσ ηελ ~ || πώο γίλεηαη ε
~ ζηνλ πνιιαπιαζηαζµό; ΢ΤΝ. δνθηµή
3. (γεληθόη.) ε επηβεβαίσζε πιεξνθνξίαο: γηα ~ ζα ειέγ- μσ αλ ε ρξνλνινγία πνπ µαο είπε
είλαη ε ζσζηή ΢ΤΝ. έιεγρνο. — επαιεζεπηηθόο, -ή, -ό. [ΔΣΤΜ. Μεηάθξ. δάλεην από γαιι.
vérification].
επαιεζεύσ ξ. µεηβ. [αξρ.] (επαιήζεπ-ζα,-ζεθα,-µέλνο]
απνδεηθλύσ (θάηη) αιεζηλό, νξζό ή αθξηβέο: ηειεθώλεζα ζηελ εθεµεξίδα γηα λα
επαιεζεύζσ ηελ είδεζε || ~ ην απνηέιεζµα ηνύ πνιιαπιαζηαζµνύ || νη πξνβιέςεηο ηνπ
επαιεζεύζεθαλ από ηα γεγνλόηα ΢ΤΝ. επηβεβαηώλσ, απνδεηθλύσ, επηθπξώλσ.
Μπακπηληώηεο, Γ., Γ., (2002)

3. ΢ηελ παξνύζα εηζήγεζε, κέζα από έλα πιήζνο παξαδεηγκάησλ, κε αλαθνξά ζε
όιεο ηηο ηάμεηο ηνπ ιπθείνπ, ζα πξνζπαζήζνπκε λα θάλνπκε ζαθέο όηη ε επαιήζεπζε είλαη
κηα αλαγθαηόηεηα θαη όρη κηα πνιπηέιεηα, ηόζν γηα ηνλ καζεηή όζν θαη γηα ηνλ θαζεγεηή.
Έρνπκε ρσξίζεη, ηα παξαδείγκαηα πνπ αθνινπζνύλ, ζε 5 (πέληε) κεγάιεο θαηεγνξίεο.
Ζ 1ε
θαηεγνξία αθνξά ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ ρσξίο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε
θαζόινπ πεξηνξηζκνύο. Ζ θαηεγνξία απηή ρσξίδεηαη ζε δπν ππνπεξηπηώζεηο.
Ζ 1ε
πεξίπησζε αθνξά ζηελ επίιπζε ελόο πξνβιήκαηνο δίρσο ν καζεηήο λα
ζθεθηεί όηη ρξεηάδεηαη λα πάξεη πεξηνξηζκνύο. Δλώ νη πεξηνξηζκνί είλαη εκθαλείο ηνπο
αγλνεί, ιόγσ πεξηνξηζκέλσλ καζεκαηηθώλ ηθαλνηήησλ θαη μεθηλά λα ιύλεη ηελ άζθεζε.
Δδώ ηα πξνβιήκαηα είλαη κεγάια. Τπάξρνπλ πεξηπηώζεηο ζηηο νπνίεο ε επαιήζεπζε
κπνξεί λα επηθέξεη ηελ ζσζηή απάληεζε αιιά θαη πεξηπηώζεηο ζηηο νπνίεο ε ζύγρπζε
είλαη κεγάιε. Δίλαη ζαθέο πσο ζε θάζε κία από απηέο ηηο πεξηπηώζεηο ε ρξήζε ησλ
πεξηνξηζκώλ ζεσξείηε επηβεβιεκέλε. Ζ επαιήζεπζε εδώ δξα επηθνπξηθά θαη δελ έρεη
θπξίαξρν ξόιν.
Ζ 2ε
πεξίπησζε «πξνέθπςε» από ηελ παξαθνινύζεζε κηαο άζθεζεο ζην
δηαδίθηπν. Καη ζε απηή ηελ πεξίπησζε νη πεξηνξηζκνί αγλννύληαη (κέζνδνο πνπ πξνηείλεη
Καλαδόο καζεκαηηθόο Ross Honsberger) όρη από παξάιεηςε αιιά ιόγσ άπνςεο.
Παξνπζηάδνπκε δπν ηξόπνπο ιύζεο γηα ηελ ίδηα άζθεζε θαη ηα ζπκπεξάζκαηα δηθά ζαο.
Ζ 2ε
θαηεγνξία αθνξά πξνβιήκαηα ζηα νπνία νη πεξηνξηζκνί θάλνπλ ηελ
«εκθάληζε» ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα επίιπζεο ελόο πξνβιήκαηνο. Γελ είλαη νξαηνί αξρηθά
αιιά αλαθύπηνπλ ζηελ εμέιημε ηεο επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο («εκθαλίδνληαη») κε
ζπλέπεηα πνιιέο θνξέο ν καζεηήο λα ηνπο πξνζπεξλά (είηε ιόγσ θνύξαζεο είηε ιόγσ
αθνζίσζεο ζηελ κέζνδν ηνπ) θαη λα ζπλερίδεη ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ζαλ λα κελ
ππάξρνπλ θαζόινπ. Ζ επαιήζεπζε θη εδώ θξίλεηαη αλαγθαία.
Ζ 3ε
θαηεγνξία αθνξά πξνβιήκαηα ζηα νπνία ελώ νη πεξηνξηζκνί είλαη άκεζα
νξαηνί, νη καζεηέο ζηελ πιεηνςεθία ηνπο, είλαη δύζθνιν αιιά θαη ρξνλνβόξν λα ηνπο
αληηκεησπίζνπλ. Δίλαη ηέηνηα ε δνκή ησλ πξνβιεκάησλ, πνπ ε επαιήζεπζε θξίλεηαη
αλαγθαία.
Ζ 4ε
θαηεγνξία πεξηιακβάλεη ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ ζηα νπνία νη ηειηθέο
ζρέζεηο δελ είλαη ηζνδύλακεο κε ηηο αξρηθέο, ρσξίο λα κπνξεί λα ειεγρζεί θαη λα
αληηκεησπηζζεί ην ζεκείν εθείλν ζην νπνίν, δηεθόπε ε ηζνδπλακία. Δίλαη θαηά βάζε
ζεσξήκαηα, ζηα νπνία δελ ηζρύεη ε αληίζηξνθε πξόηαζε. Δδώ ε επαιήζεπζε θαληάδεη σο
κνλαδηθόο ηξόπνο ηεο νξζήο αληηκεηώπηζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.
Ζ 5ε
θαηεγνξία ζρεηίδεηαη κε ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ κόλν κε ηελ ρξήζε ηεο
επαιήζεπζεο. ΢ε απηή ηελ πεξίπησζε δελ ππάξρεη θάπνην «νξγαλσκέλν» ζρέδην γηα ηελ
επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο, νπόηε ε επαιήζεπζε είλαη κνλόδξνκνο
Δπηγξακκαηηθά έρνπκε:
1η
καηηγοπία
Ά πεπίπηωζη: Αδπλακία εληνπηζκνύ πεξηνξηζκώλ.
Β πεπίπηωζη: Δθνύζηα παξάβιεςε ησλ πεξηνξηζκώλ.
2η
καηηγοπία:
Οη πεξηνξηζκνί «εκθαλίδνληαη» ζηελ δηάξθεηα ηεο επίιπζεο.
3η
καηηγοπία:
Υξνλνβόξνη θαη πνιύπινθνη πεξηνξηζκνί.
4η
καηηγοπία:
Απνπζία, άκεζσλ πεξηνξηζκώλ.
5η
καηηγοπία:
Μόλν κε επαιήζεπζε.

4.  1η
καηηγοπία
Α΄ πεπίπηωζη
Παπάδειγμα 1: (Γ΄ Γςμναζίος, Κλαζμαηικέρ εξιζώζειρ)
Να ιπζεί ε εμίζσζε:
2
2
2 4
3
2 2
x
x x x
 
 
(΢ρνιηθό βηβιίν, Μαζεκαηηθά Γ΄ Γπκλαζίνπ)
Λύζη: (ςποθεηική λύζη μαθηηή)
Ζ δνζείζα εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη:
2
2
2 4
3
2 2
x
x x x
 
 
 
2
2 4
3
2 2
x
x x x
 
 
Οπόηε έρνπκε:
 
2
2 4
3
2 2
x
x x x
 
 
 2x x 
 
2
2
2
x
x x 
   3 2 2x x x x   
4
2x 
2 2
2 3 6 4x x x x  
2
2 0x x 
 2 0x x  
0x  ή 2x  
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 0x  ε αξρηθή εμίζσζε γίλεηαη:
2
2
2 0 4
3
0 2 0 0 2

 
  
Γηα ηελ νπνία είλαη πξνθαλέο, όηη δελ νξίδεηαη ε παξάζηαζε
2
2
2 0
0 2 0

 
Δπνκέλσο ην
0x 
δελ επαιεζεύεη ηελ αξρηθή εμίζσζε, νπόηε δελ απνηειεί ιύζε απηήο, άξα απνξξίπηεηαη.
 Γηα 2x   ε αξρηθή εμίζσζε γίλεηαη:
2
2
2 ( 2) 4
3
( 2) 2 ( 2) 2 2
 
 
     
Γηα ηελ νπνία είλαη πξνθαλέο, όηη δελ νξίδνληαη νη παξαζηάζεηο

5. 2
2
2 ( 2)
( 2) 2 ( 2)
 
   
,
4
2 2 
Δπνκέλσο ην
2x  
δελ επαιεζεύεη ηελ αξρηθή εμίζσζε, νπόηε δελ απνηειεί ιύζε απηήο, άξα απνξξίπηεηαη.
΢πκπεξαζκαηηθά, θακία από ηηο δπν ιύζεηο πνπ βξήθακε δελ επαιεζεύνπλ ηελ αξρηθή
εμίζσζε, νπόηε θαη είλαη αδύλαηε.
Παξαηήξεζε: Καηά ηελ δηάξθεηα επίιπζεο ηεο εμίζσζεο ζα κπνξνύζακε λα είρακε πάξεη
ηνπο παξαθάησ πεξηνξηζκνύο
 2 0 0 2x x x x      
΢ε απηή ηελ πεξίπησζε ε δηαδηθαζία ηεο επαιήζεπζεο ζα ήηαλ πεξηηηή.
΢ρνιηαζκόο:
Ο ηξόπνο πνπ επηιέρζεθε γηα λα ιπζεί ην παξαπάλσ παξάδεηγκα είλαη ν ζπλήζεο
γηα πιεζώξα καζεηώλ (ζπλήζσο ησλ αδύλαησλ καζεηώλ). Δίλαη πξνθαλέο πσο ζε απηή
ηελ πεξίπησζε ε επαιήζεπζε θάλεη ηελ εκθάληζε ηεο, ζαλ πνιπηέιεηα παξά ζαλ αλάγθε.
Παξ’ όια απηά όκσο δελ ζα πξέπεη λα παξαβιέπνπκε ην γεγνλόο όηη πνιινί καζεηέο καο,
εηδηθόηεξα ζηηο κηθξόηεξεο ηάμεηο, ιεηηνπξγνύλ κε πνιύ ελζνπζηαζκό θαη θαζόινπ ζύλεζε
ζηελ επίιπζε ησλ αζθήζεσλ κε απνηέιεζκα νη πεξηνξηζκνί λα «πεγαίλνπλ πεξίπαην».

6. Παπάδειγμα 2: (Α΄ Λςκείος Άλγεβπα, Ππαγμαηικοί απιθμοί)
Να ιπζεί ε εμίζσζε
1 1x x   , όπνπ x
(θαηαζθεπή: Παλαγηώηεο Γθξηκπαβηώηεο)
Λύζη: (ςποθεηική λύζη μαθηηή)
Δίλαη:
1 1x x  
 
2 2
1 1x x   
2 2
2 1 2 1x x x x     
0 0 
Άξα ε εμίζσζε είλαη ηαπηόηεηα.
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 2x  , έρνπκε:
2 1 2 1  
ην νπνίν πξνθαλώο ηζρύεη, επνκέλσο ε ιύζε 2x  είλαη δεθηή.
Όκνηα βξίζθνπκε σο δεθηέο ηηο ιύζεηο, 19x  , 9x  , 2014x  θ.ν.θ.
 Γηα 3x   , έρνπκε:
3 1 3 1    
4 4  
ην νπνίν πξνθαλώο δελ ηζρύεη, επνκέλσο ε ιύζε 3x   απνξξίπηεηαη.
Όκνηα απνξξίπηνληαη σο ιύζεηο ηα 5x   , 8x   , 21x   θ.ν.θ.
Παξαηήξεζε: Από ηηο «δύζθνιεο» πεξηπηώζεηο γηα ηνπο καζεηέο. Δδώ ε δηαδηθαζία ηεο
επαιήζεπζεο δεκηνπξγεί πξόβιεκα ζηνλ καζεηή.
΢ρνιηαζκόο:
Με απηό ην παξάδεηγκα θαίλεηαη όηη ν καζεηήο ζα πξέπεη λα είλαη πνιύ
πξνζεθηηθόο ζηελ εύξεζε ησλ πεξηνξηζκώλ. Τπάξρνπλ πεξηπηώζεηο ζηηο νπνίεο ε
επαιήζεπζε δελ ιύλεη ην πξόβιεκα κε θαλέλα ηξόπν.
Ζ Α΄ πεξίπησζε ηεο 1ε
θαηεγνξίαο δελ ζα καο απαζρνιήζεη πεξεηαίξσ θαζώο ε
επαιήζεπζε είλαη κηα δηαδηθαζία πνπ κπνξεί λα απνθεπρζεί.

7.  1η
καηηγοπία
Β΄ πεπίπηωζη
Παπάδειγμα 1: (Β΄ Λςκείος, Δκθεηική-Λογαπιθμική Σςνάπηηζη)
Να ιπζεί ε εμίζσζε:
 
3 52
3 1 1
x
x x

  
(΢ρνιηθό βηβιίν, Μαζεκαηηθά Β Λπθείνπ)
Σσολιαζμόρ άζκηζηρ: Καηά ηελ δηάξθεηα ζπγγξαθήο ηεο εηζήγεζεο, βξήθακε κε ηνπο
ζπλεξγάηεο κνπ ηελ παξαπάλσ άζθεζε, ιπκέλε ζην Μαζεκαηηθό Δξγαζηήξη
(https://www.facebook.com/groups/119060981470596/?fref=ts), κε δπν δηαθνξεηηθνύο
ηξόπνπο, από δπν εμαίξεηνπο ζπλαδέιθνπο, ηνπο Θαλάζε Ξέλν θαη Υξήζην Κπξηαδή.
Ο ηξόπνο ηνπ Θ. Ξέλνπ ήηαλ λα γξάθεη θαη λα παξαθνινπζεί όινπο ηνπο πεξηνξηζκνύο ηεο
άζθεζεο ώζηε ηα βήκαηα επίιπζεο λα είλαη ζπλερώο ηζνδύλακα.
Ο ηξόπνο ηνπ Υ. Κπξηαδή είρε σο βάζε θαη έκπλεπζε ηνλ Καλαδό καζεκαηηθό Ross
Honsberger, ν νπνίνο ζεσξεί όηη ζε θάζε εμίζσζε δελ είκαζηε ππνρξεσκέλνη λα πάξνπκε
αξρηθνύο πεξηνξηζκνύο. Λύλνπκε ηελ άζθεζε θαη ζην ηέινο ππνρξεσηηθά πξνβαίλνπκε ζε
επαιήζεπζε.
Αο παξαθνινπζήζνπκε ηνπο δύν ηξόπνπο επίιπζεο ηεο άζθεζεο…
Λύζη:
1ορ
ηπόπορ, Υξήζηνο Κπξηαδήο:
(Γελ ζα πάξνπκε αξρηθά πεξηνξηζκνύο, όρη από παξάιεηςε!)
Έζησ x κηα πξαγκαηηθή ξίδα ηεο δνζείζαο εμίζσζεο, ηόηε έρνπκε:
 
3 52
3 1 1
x
x x

  
 
3 52
3 1 1
x
x x

   
3 52
3 1 1
x
x x

   
 3 52
ln 3 1 0
x
x x

   
  2
3 5 ln 3 1 0x x x    
 2
3 5 0 ln 3 1 0x x x      
2 25
3 1 1 3 1 1
3
x x x x x
 
           
 
5
0 3 1 2
3
x x x x x
 
          
 
Από απηέο ηηο ηηκέο, ε 2x  δελ επαιεζεύεη ηελ (1) ελώ όιεο νη ππόινηπεο ηελ
επαιεζεύνπλ.
Άξα νη ιύζεηο είλαη
5
0 3 1
3
x x x x      

8. 2ορ
ηπόπορ, Θαλάζεο Ξέλνο
Δπίιπζε ηεο εμίζσζεο
 
( )
( ) 1
g x
f x 
Καη’ αξράο, απαηηνύκε λα ηζρύεη
f gx D D
i. Αλ ( ) 0f x  , ε εμίζσζε έρεη λόεκα γηα νπνηνδήπνηε ( )g x  θαη γξάθεηαη:
 
( )
ln ( ) ln1
g x
f x 
( )ln ( ) 0g x f x 
( ) 0 ( ) 1g x f x   
 
( )
ln ( ) ln1
( )ln ( ) 0
( ) 0 ( ) 1
g x
f x
g x f x
g x f x

 
   
ii. Αλ ( ) 0f x  , ηόηε:
 
( )
( ) 0
g x
f x  , γηα νπνηαδήπνηε ( ) 0g x 
θαη ε εμίζσζε δελ αιεζεύεη.
iii. Αλ ( ) 0f x  , ηόηε ε εμίζσζε έρεη λόεκα κόλν αλ ε g παίξλεη αθέξαηεο ηηκέο.
 Αλ ( )g x  πεξηηηόο, ηόηε  
( )
( ) 0
g x
f x  θαη ε εμίζσζε δελ αιεζεύεη.
 Αλ ( )g x  άξηηνο, ηόηε ε εμίζσζε γξάθεηαη:
 
( )
( ) 1
g x
f x 
 ( )ln ( ) 0g x f x  
( ) 0 ( ) 1g x f x    
Σςμπέπαζμα: Οη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο  
( )
( ) 1
g x
f x  , είλαη νη ιύζεηο ησλ
i. g( ) 0 ( ) 0x f x  
ii. ( ) 1f x 
iii. ( ) 1 ( )f x g x   =άξηηνο

9.  2η
καηηγοπία:
Παπάδειγμα 1: (Α΄ Λςκείος, Άλγεβπα, Ππαγμαηικοί απιθμοί)
Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a , ώζηε νη παξαζηάζεηο 1 3a    θαη
1
a
  λα
παξηζηάλνπλ αληίζηξνθνπο αξηζκνύο.
(θαηαζθεπή: Παύινο Σξύθσλ)
Λύζη:
Αξρηθά ζα πξέπεη:
1a  θαη 0a 
Γηα λα παξηζηάλνπλ αληίζηξνθνύο αξηζκνύο ηα 1 3a    θαη
1
a
  , ζα πξέπεη:
1 
 1
1 3 1a
a
   
1 3
1
a
a
 
 
1 3a a   
1 3a a   
Γηα λα «θύγεη» ε ξίδα, πςώλνπκε ζην ηεηξάγσλν θαη έρνπκε:
   
2 2
1 3a a  
2
1 6 9a a a    
2
7 10 0a a   
2 5a a   
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 2a  πξνθύπηνπλ νη αξηζκνί:
2
1 3 4
a
a

   θαη
21 1
2
a
a


νη νπνίνη πξνθαλώο δελ είλαη αληίζηξνθνη.
 Γηα 5a  πξνθύπηνπλ νη αξηζκνί:
5
1 3 5
a
a

   θαη
51 1
5
a
a


νη νπνίνη πξνθαλώο είλαη αληίζηξνθνη.
Παξαηήξεζε: Καηά ηελ δηάξθεηα επίιπζεο ηεο εμίζσζεο, ρξεηάζηεθε λα πςώζνπκε ζην
ηεηξάγσλν. ΢ε απηό ην ζεκείν «ράζεθε» ε ηζνδπλακία κε ζπλέπεηα ζηηο ιύζεηο πνπ
βξήθακε ε κηα λα απνξξίπηεηαη. Σν ζσζηό ζα ήηαλ λα πάξνπκε επηπιένλ πεξηνξηζκό
3 0 3a a    .
Δπεηδή όκσο ν πεξηνξηζκόο πξνθύπηεη θαηά ηελ επίιπζε ηεο άζθεζεο, πνιινί είλαη
καζεηέο νη νπνίνη ηνλ παξαβιέπνπλ, κε απνηέιεζκα λα δίλνπλ ιαλζαζκέλεο απαληήζεηο.
Έηζη θαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε, θαιό ζα ήηαλ ν θαζεγεηήο, λα επηζεκάλεη ηελ αμία ηεο
επαιήζεπζεο.

10. Παπάδειγμα 2: (Β΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Γιανύζμαηα)
Γίλνληαη ηα ζεκεία  2 ,1 2x y y   θαη  2 , 1x y x   κε x y θαη ,x y  . Να βξείηε
ηνπο αξηζκνύο x θαη y έηζη ώζηε ην δηάλπζκα , λα έρεη κέηξν 2 θαη λα ζρεκαηίδεη κε
ηνλ άμνλα x x γσλία 135ν
.
(ηδηνθαηαζθεπή)
Λύζη:
Δίλαη:
 2 2 , 2 2x y x y x y      
 , 2 2x y x y    
Γηα λα ζρεκαηίδεη γσλία 135ν
κε ηνλ νξηδόληην άμνλα ζα πξέπεη:
0
135 
2 2
1
x y
x y
 
  

2 2x y x y      (1)
Δπίζεο πξέπεη:
2 
   
2 2
2 2 2x y x y     
Οπόηε από ηελ ζρέζε (1) έρνπκε:
   
2 2
2x y x y    
 
2
2 2x y  
 
2
1x y  
1 1x y x y      
1 1x y x y     
 Γηα 1x y  ε (1) γίλεηαη:
2 2x y x y    
2 2 0x y   
2 2 2 0y y    
4
3
y  , άξα
1
3
x 
 Γηα 1x y  ε (1) γίλεηαη:
2 2x y x y    
2 2 0x y   
2 2 2 0y y    
0y  , άξα 1x 
Δπαιήζεπζε:
 Γηα
1
3
x  ,
4
3
y  έρνπκε:
 1,1  

11.  Γηα 1x  , 0y  έρνπκε:
 1, 1  
Ζ νπνία πξνθαλώο απνξξίπηεηαη.
Παξαηήξεζε: Δδώ νη πεξηνξηζκνί είλαη θαιά «θξπκκέλνη» γηα ηνλ καζεηή. Θα πξέπεη ην
δηάλπζκα  λα βξίζθεηαη ζην 2ν
ηεηαξηεκόξην. Γειαδή πξέπεη λα έρεη αξλεηηθή
ηεηκεκέλε θαη ζεηηθή ηεηαγκέλε. Απηό απνηειεί έλα ιεπηό ζεκείν γηα πνιινύο καζεηέο. ΢ε
απηή ηελ πεξίπησζε είλαη πξνθαλέο όηη ε δηαδηθαζία ηεο επαιήζεπζεο είλαη αλαπόθεπθηε.

12.  3η
καηηγοπία
Παπάδειγμα 2: (Α΄ Λςκείος Γεωμεηπία, Ιζόηηηα ηπιγώνων)
Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a έηζη ώζηε ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο
λα είλαη ίζα.
(θαηαζθεπή: Παύινο Σξύθσλ-Θεόδσξνο Παγώλεο)
Λύζη:
Δπεηδή:
3    , 6   
γηα λα είλαη ίζα ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ, πξέπεη θαη αξθεί
  
Οπόηε, ηζνδύλακα έρνπκε:
2 1 14
4 1
a a
a a
 


ε νπνία γηα
1
0
4
a a    , γίλεηαη:
2 1 14
4 1
a a
a a
 


0
1
4
a
a
a


  
2 1
4 1
a
a
a

 4 1a a   14
4 1
a
a


    4 1 2 1 14a a a a    
2
7 8 1 0a a   
1a  ή
1
7
a 
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1a  , έρνπκε:
3  , 3  , 6 
θαη
3  , 3  , 6 
΢ε απηή ηελ πεξίπησζε παξαηεξνύκε όηη δελ είλαη δπλαηόλ λα ζρεκαηίδεηαη ηξίγσλν, αθνύ
δελ ηζρύεη ε ηξηγσληθή αληζόηεηα.
Δπνκέλσο ε ιύζε 2a  απνξξίπηεηαη.
 Γηα
1
7
a  , έρνπκε:
9  , 3  , 5 

13. θαη
9  , 3  , 6 
΢ε απηή ηελ πεξίπησζε παξαηεξνύκε όηη δελ είλαη δπλαηόλ λα ζρεκαηίδεηαη ηξίγσλν, αθνύ
δελ ηζρύεη ε ηξηγσληθή αληζόηεηα.
Δπνκέλσο ε ιύζε
1
7
a  απνξξίπηεηαη.
Οπόηε, δελ ππάξρεη ηηκή ηνπ a , ώζηε ηα δπν ηξίγσλα λα είλαη ίζα.
Παξαηήξεζε 1: Θα κπνξνύζακε από ηελ αξρή ηεο άζθεζεο λα απαηηήζνπκε λα
ηθαλνπνηείηαη ε ηξηγσληθή αληζόηεηα. Όκσο, νη γλώζεηο ησλ παηδηώλ ηεο Α Λπθείνπ δελ
ηνπο επηηξέπνπλ λα ιύλνπλ θιαζκαηηθέο αληζώζεηο.
Αθόκε όκσο θαη ζηελ πεξίπησζε, πνπ νη γλώζεηο ηνπο ήηαλ επαξθείο, νη αληζώζεηο πνπ
πξνθύπηνπλ είλαη πνιιέο θαη ρξνλνβόξεο. ΢ε θάζε πεξίπησζε ε επαιήζεπζε θξίλεηαη
αλαγθαία.
Παξαηήξεζε 2: Θα κπνξνύζε λα θαηαζθεπαζηεί κηα εμίζσζε ζηελ νπνία ε κηα ιύζε λα
είλαη δεθηή θαη ε άιιε λα απνξξίπηεηαη, πάιη ιόγσ ησλ πεξηνξηζκώλ από ηελ ηξηγσληθή
αληζόηεηα.

14. Παπάδειγμα 2: (Β΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Κωνικέρ ηομέρ)
Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ  ώζηε ε εμίζσζε
     3 2 2 3 2
2 3 6 2 4 4 1 8 0x y x y                  λα παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ
νπνίνπ, λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.
(ηδηνθαηαζθεπή)
Λύζη:
Αλ πξνζπαζήζνπκε λα θέξνπκε ηελ εμίζσζε πνπ καο δίλεηαη, ζηελ κνξθή
2 2
0x y x y      ,
θαη λα απαηηήζνπκε (ώζηε λα παξηζηάλεη θύθιν)
2 2
4 0      ,
ε αλίζσζε πνπ πξνθύπηεη είλαη ζρεδόλ απίζαλν λα ιπζεί.
Δπνκέλσο ζα «θηλεζνύκε» δηαθνξεηηθά.
Αξρηθά πξέπεη:
3 2 3
2 3 6 2 4 4         
2
2 0    
1  ή 2  
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1  , έρνπκε:
2 2
6 6 2 8 0x y x y     
2 2 1 1 4
0
6 3 3
x y x y      (1)
Ζ (1) παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν
1 1
,
12 6
 
  
 
θαη αθηίλα
65
12
 

15.  Γηα 2   , έρνπκε:
2 2
12 12 2 16 0x y x y     
2 2 1 1 4
0
6 12 3
x y x y      (2)
H (2) δελ παξηζηάλεη θύθιν, αθνύ
2 2
4    
2 2
1 1 4
4
6 12 3
   
     
   
1 1 16
36 144 3
  
4 1 768
0
144 144 144
   
Δπνκέλσο γηα 1  , ε αξρηθή εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν.
Παξαηήξεζε: ΢ε απηή ηελ πεξίπησζε είλαη πξνθαλέο όηη ε δηαδηθαζία ηεο επαιήζεπζεο
είλαη θάηη πεξηζζόηεξν από αλάγθε.

16.  4η
καηηγοπία:
Παπάδειγμα 1: (Β΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Δςθείερ)
Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ  ώζηε νη επζείεο κε εμηζώζεηο 1 : 1y x   
θαη 2
2 : 1y x     ,  , λα είλαη θνξείο ησλ παξαιιήισλ πιεπξώλ ΑΓ θαη ΒΓ,
παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ.
(θαηαζθεπή: Παύινο Σξύθσλ)
Λύζη:
Δπεηδή ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν ζα ηζρύεη:
/ / 
1 2  
2
1  
1 1     
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1  έρνπκε:
1 : y x  , 2 : y x 
Όκσο νη επζείεο 1 1,  ηαπηίδνληαη θαη δελ ζρεκαηίδεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ.
Δπνκέλσο ε ηηκή 1  , απνξξίπηεηαη.
 Γηα 1   έρνπκε:
1 : 2y x   , 2 : 2y x  
΢ε απηή ηελ πεξίπησζε νη επζείεο 1 1,  είλαη παξάιιειεο (ρσξίο λα ηαπηίδνληαη).
Δπνκέλσο ε ηηκή 1   , είλαη δεθηή.
Παξαηήξεζε: ΢ε απηό ην παξάδεηγκα, δελ ππάξρνπλ πνπζελά, νξαηνί πεξηνξηζκνί. Ο
καζεηήο δελ αλαγλσξίδεη πνπζελά θαλέλα ζθάικα, ε όιε δηαδηθαζία είλαη ζσζηή νπόηε
ζπκπεξαίλεη όηη θαη νη δπν ιύζεηο είλαη δεθηέο.

17. Βέβαηα ηίζεηαη ην εμήο καζεκαηηθό ειιεληθό παξάινγν.
Με ύιε Α Λπθείνπ ν καζεηήο κπνξεί λα βξεη ηνπο πεξηνξηζκνύο αθνύ:
Δλώ κε ύιε ηεο Β Λπθείνπ, ζα ηελ ιύζεη «ιάζνο», αθνύ:
Υσξίο ζρόιηα….
Κξίλεηαη ινηπόλ αλαγθαίν λα γίλεη επαιήζεπζε ησλ ηηκώλ πνπ βξήθακε.

18. Παπάδειγμα 2: (Γ΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Όπια)
Έζησ      , 1 1,1 1,      θαη  . Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f   κε
2 2
3 2
2
( )
x x
f x
x x x

 
 

  
. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ  , ώζηε ην όξην ηεο ζπλάξηεζεο f ζην
0 1x  , λα είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
(ηδηνθαηαζθεπή)
Λύζη:
Παξαηεξνύκε όηη:
 3 2
1
0limx
x x x 

   
Δπνκέλσο, ν ζπλήζεο ηξόπνο πνπ εξγαδόκαζηε, είλαη:
Γηα x, έρνπκε:
2 2
3 2
2
( )
x x
f x
x x x

 
 

  
 2 2 3 2
2 ( )x x f x x x x         , κε
1
( )limx
f x

 
Οπόηε:
   2 2 3 2
1 1
2 ( )lim limx x
x x f x x x x  
 
     
2
1 0  
1 1     
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1  έρνπκε:
2
3 2
2
( )
1
x x
f x
x x x
 

  
 1
( )
x
f x

 
 
 
2
2
1
x
x

  1x 
  
2
( )
1 1
x
f x
x x

 
 
2 1
( )
1 1
x
f x
x x

  
 
Οπόηε:
1 1
2 1
( )
1 1lim limx x
x
f x
x x 

 
 
ην νπνίν όξην, πξνθαλώο δελ ππάξρεη, αθνύ:
1
( )limx
f x


  ,
1
( )limx
f x


 

19.  Γηα 1   έρνπκε:
2
3 2
2
( )
1
x x
f x
x x x
 

  
 1
( )
x
f x

 
 
 
2
1
x
x

  
2
1x 
 
2
2
( )
1
x
f x
x

 

Οπόηε:
 
2
1 1
2 3
( )
41
lim limx x
x
f x
x 

  


20. Οπόηε δεθηή ιύζε είλαη κόλν ην 1   .
Παξαηήξεζε: ΢ε απηό ην παξάδεηγκα, δελ ππάξρνπλ πνπζελά, νξαηνί πεξηνξηζκνί. Ο
καζεηήο δελ αλαγλσξίδεη πνπζελά θαλέλα ζθάικα. Ζ όιε δηαδηθαζία είλαη ζσζηή νπόηε
ζπκπεξαίλεη όηη θαη νη δπν ιύζεηο είλαη δεθηέο.
Κξίλεηαη ινηπόλ αλαγθαίν λα γίλεη επαιήζεπζε ησλ ηηκώλ πνπ βξήθακε.

21. Παπάδειγμα 3: (Γ΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Ακπόηαηα)
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f  κε
2
3 21
( ) 1
3
a a
f x x ax x
 
    , x θαη a . Να
βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ a ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα παξνπζηάδεη αθξόηαην 0 1x  .
(θαηαζθεπή: Παύινο Σξύθσλ)
Λύζη:
Γηα λα παξνπζηάδεη ε ζπλάξηεζε f αθξόηαην ζηε ζέζε 0 1x  πξέπεη:
(1) 0f  
Δίλαη:
 2 2
( ) 1 2 1f x a a x ax     
άξα:
(1) 0f  
2
1 2 1 0a a a     
2
3 2 0a a   
1 2a a   
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1a  έρνπκε:
3
2
( ) 1
3
x
f x x x    , x
Γηα ηελ νπνία βξίζθνπκε (  
22
( ) 2 1 1 0f x x x x       ) όηη δελ παξνπζηάδεη ζε θαλέλα
ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ αθξόηαην.
Δπνκέλσο ε ηηκή 1a  , απνξξίπηεηαη.

22.  Γηα 2a  έρνπκε:
3 2
( ) 2 1f x x x x    , x
Γηα ηελ νπνία βξίζθνπκε εύθνια, όηη παξνπζηάδεη ηνπηθό ειάρηζην ζην 0 1x  .
Οπόηε ε ιύζε 2a  είλαη δεθηή.
Παξαηήξεζε: ΢ε απηό ην παξάδεηγκα, δελ ππάξρνπλ πνπζελά, νξαηνί πεξηνξηζκνί. Ο
καζεηήο δελ αλαγλσξίδεη πνπζελά θαλέλα ζθάικα, ε όιε δηαδηθαζία είλαη ζσζηή νπόηε
ζπκπεξαίλεη όηη θαη νη δπν ιύζεηο είλαη δεθηέο.
Κξίλεηαη ινηπόλ αλαγθαίν λα γίλεη επαιήζεπζε ησλ ηηκώλ πνπ βξήθακε.

23. Παπάδειγμα 4: (Γ΄ Λςκείος Καηεύθςνζη, Κςπηόηηηα-Σημεία καμπήρ)
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f  κε
2 3 2
( )
3 2
a x x
f x x a

    θαη ,a   . Να βξεζνύλ νη
ηηκέο ησλ παξακέηξσλ a θαη  ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα παξνπζηάδεη θακπή ζην ζεκείν
 1,1 .
(θαηαζθεπή: Παύινο Σξύθσλ)
Λύζη:
Αξρηθά πξέπεη:
(1) 1f 
2
1 1
3 2
a
a

    
2
2 3 6 0a a    (1)
Αλ ην  1,1 είλαη ζεκείν θακπήο, ηόηε ζα ηζρύεη:
(1) 0f  
Δίλαη:
2 2
( ) 1f x a x x    , x
2
( ) 2f x a x    , x
άξα:
(1) 0f  
2
2 0a   
2
2a   (2)
Λύλνληαο ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ (1) θαη (2), έρνπκε:
2
2
2 3 6 0
2
a a
a


   

 
2 2
2
2 6 6 0a a a
a
   
 
 
2
2
4 6 0a a
a
  
 
 
3
0
2
9
0
2
a a
 

  
 
    

Γειαδή:
0a   ή
3 9
2 2
a    
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 0a   έρνπκε:
( )f x x , x

24. Γηα ηελ νπνία είλαη πξνθαλέο όηη δελ παξνπζηάδεη ζε θαλέλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ
νξηζκνύ ηεο θακπή.
 Γηα
3 9
2 2
a     έρνπκε:
3 2
3 9 3
( )
4 4 2
x x
f x x    , x
Γηα ηελ νπνία βξίζθνπκε πνιύ εύθνια, όηη παξνπζηάδεη θακπή ζην ζεκείν  1,1 .
Οπόηε δεθηή ιύζε είλαη κόλν ην
3 9
2 2
a     .

25. Παξαηήξεζε: ΢ε απηό ην παξάδεηγκα, δελ ππάξρνπλ πνπζελά, νξαηνί πεξηνξηζκνί. Ο
καζεηήο δελ αλαγλσξίδεη πνπζελά θαλέλα ζθάικα, ε όιε δηαδηθαζία είλαη ζσζηή νπόηε
ζπκπεξαίλεη όηη θαη νη δπν ιύζεηο είλαη δεθηέο.
Κξίλεηαη ινηπόλ αλαγθαίν λα γίλεη επαιήζεπζε ησλ ηηκώλ πνπ βξήθακε.

26.  5η
καηηγοπία:
Παπάδειγμα 1: (Γ΄ Λςκείος Γενικήρ Παιδείαρ, Σηαηιζηική)
Γίλεηαη ην ζύλνιν  1,0,1   . Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a , ώζηε νη παξαηεξήζεηο 8
1a  ,
2a, 3 1a  λα έρνπλ δηάκεζν κηθξόηεξε από ηελ κέζε ηηκή ηνπο.
(ηδηνθαηαζθεπή)
Λύζη:
Δπαιήζεπζε:
 Γηα 1a   , νη παξαηεξήζεηο γίλνληαη:
0, 2, 2 
γηα ηηο νπνίεο έρνπκε:
2   ,
2 2 0 4
3 3
x
  
  
Παξαηεξνύκε όηη:
x 
επνκέλσο ε ηηκή 1a   , είλαη δεθηή.
 Γηα 0a  , νη παξαηεξήζεηο γίλνληαη:
1,0,1
γηα ηηο νπνίεο έρνπκε:
0  ,
1 0 1
0
3
x
  
 
Παξαηεξνύκε όηη:
x 
επνκέλσο ε ηηκή 0a  , απνξξίπηεηαη.
 Γηα 1a  , νη παξαηεξήζεηο γίλνληαη:
0,2,4
γηα ηηο νπνίεο έρνπκε:
2  ,
0 2 4
2
3
x
 
 
Παξαηεξνύκε όηη:
x 
επνκέλσο ε ηηκή 1a  , απνξξίπηεηαη.
Παξαηήξεζε: ΢ε απηό ην παξάδεηγκα, ν κόλνο ηξόπνο λα ιπζεί ε άζθεζε είλαη ε κέζνδνο
ηεο επαιήζεπζεο. Δπεηδή δελ κπνξνύκε λα δηαηάμνπκε ηνπο αξηζκνύο πνπ δίλνληαη
αξρηθά, ώζηε λα βξνύκε ηελ δηάκεζν, δελ ππάξρεη θαλέλαο άιινο ηξόπνο λα ιπζεί ε
ζπγθεθξηκέλε άζθεζε. Κξίλεηαη ινηπόλ αλαγθαίν λα γίλεη επαιήζεπζε ησλ ηηκώλ πνπ
δίλνληαη.

27.  Γενικέρ παπαηηπήζειρ
 Παξόηη είδακε ηελ αλαγθαηόηεηα ηεο επαιήζεπζεο ζα πξέπεη λα ηνλίζνπκε όηη, απηή
είλαη εθηθηή όηαλ νη ιύζεηο πνπ βξίζθνπκε είλαη αθέξαηνη ή ξεηνί αξηζκνί. Αλ νη
ιύζεηο είλαη άξξεηνη αξηζκνί, ηόηε ε επαιήζεπζε δελ είλαη πάληα εύθνιε θαη εθηθηή.
Δπίζεο, όπσο παξαηεξήζακε, αλ νη ιύζεηο κηαο άζθεζεο είλαη άπεηξεο ή θαη
πεπεξαζκέλεο κεγάινπ πιήζνπο ηόηε πάιη δελ είλαη εύθνιν λα γίλεη επαιήζεπζε.
 Γίλεηαη θαλεξό, πσο όπνπ ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί θαιό είλαη λα ηνπο βξίζθνπκε θαη
αλ δελ είλαη εθηθηό ηνπιάρηζηνλ λα ηνπο αλαθέξνπκε. Απνηειεί ιεπηό ζεκείν, ζε
πνηεο πεξηπηώζεηο ε επαιήζεπζε αληηθαζηζηά (αλ ηνπο αληηθαζηζηά) ηνπο
πεξηνξηζκνύο. Ο καζεηήο αιιά θαη ν θαζεγεηήο πνπ ιύλεη ηελ άζθεζε, ζα πξέπεη
λα έρεη κεγάιε επρέξεηα, δηνξαηηθόηεηα αιιά θαη πείξα ώζηε λα είλαη ζε ζέζε λα
δηαρεηξηζηεί κηα άζθεζε ζηελ νπνία ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί.
 ΢ε όιεο ηηο εθθσλήζεηο δόζεθε έκθαζε ζηελ έθθξαζε «λα βξείηε…» , «λα
βξεζνύλ…» θαη όρη «λα απνδείμεηε…». Δίλαη πξνθαλέο όηη, αλ κηα άζθεζε καο δεηά
λα απνδείμνπκε κηα πξόηαζε, ηόηε δελ καο ελδηαθέξεη ε αιήζεηα ηεο πξόηαζεο. «Σε
γεληθέο γξακκέο, ε απόδεημε είλαη ε ζπιινγηζηηθή δηαδηθαζία, ε νπνία μεθηλά από έλα
ζύλνιν ππνζέζεωλ θαη κέζω κηαο ζεηξάο δηαδνρηθώλ ζπκπεξαζκάηωλ θαηαιήγεη ζ’
έλα ηειηθό ζπκπέξαζκα, κε ηέηνην ηξόπν ώζηε νπνηαδήπνηε ακθηβνιία γύξω από ην
ηειηθό ζπκπέξαζκα ζα πξέπεη λα αλαδεηεζεί πίζω ζηηο ππνζέζεηο κάιινλ, παξά
ζηελ ινγηθή αλαγθαηόηεηα ηωλ δηαδνρηθώλ ζπκπεξαζκάηωλ» (Σνπκάζεο, 1999α)

28. Βιβλιογπαθία
Αλδξεαδάθεο ΢., Καηζαξγύξεο Β., Παπαζηαπξίδεο ΢., Πνιύδνο Γ., ΢βεξθόο Α., (2008).
Άιγεβξα Α Λπθείνπ, Έθδνζε Ζ΄, ΟΔΓΒ, Αζήλα.
Αξγπξάθεο, Γ., Βνπξγάλαο, Π., Μεληήο, Κ., Σζηθνπνύινπ, ΢., Υξπζνβέξγεο, Μ. (2012)
Μαζεκαηηθά Γ΄ Γπκλαζίνπ, ΗΝ΢ΣΗΣΟΤΣΟ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ΢ ΤΠΟΛΟΓΗ΢ΣΩΝ ΚΑΗ
ΔΚΓΟ΢ΔΩΝ «ΓΗΟΦΑΝΣΟ΢», Αζήλα.
Βαξνπράθεο Ν., Αδακόπνπινο Λ., Αιεμαλδξήο Ν., Παπαθσλζηαληίλνπ Γ.Α.,
Παπακηθξνύιεο Α., Άιγεβξα Α Λπθείνπ, Έθδνζε Η΄, 1987, ΟΔΓΒ, Αζήλα.
Honsberger, R., (1997), In Polya's Footsteps: Miscellaneous Problems and Essays
(Dolciani Mathematical Expositions).
Μπακπηληώηε, Γ., Γ., (2002). Λεμηθό ηεο λέαο Διιεληθήο γιώζζαο: 638, ΚΔΝΣΡΟ
ΛΔΞΗΚΟΛΟΓΗΑ΢ ΔΠΔ, Αζήλα
Σνπκάζεο, Μ. (1999α). ΢ύγρξνλε Γηδαθηηθή ησλ Μαζεκαηηθώλ. Δθδόζεηο Gutenberg.