Dokumen tersebut membahas tentang transformasi matematika yang mencakup pengertian transformasi, jenis transformasi (isometri dan non-isometri), dan contoh transformasi seperti translasi dan pencerminan beserta rumus-rumusnya.

1. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
1
MODUL
MATEMATIKA
TRANSFORMASI
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com

2. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
2
T R A N S F O R M A S I
PENGERTIAN TRANSFORMASI
Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lain. Dalam geometri, transformasi
ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada
bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang.
Ada 2 macam transformasi, yaitu :
1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merubah ukuran bangun semula.
Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan
pemutaran (rotasi).
2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang merubah ukuran bangun semula.
Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi)
Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks.
1. PERGESERAN (TRANSLASI)
Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi 






b
a
T menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y) T
P’(x’,y ’) dimana
x’ = x + a
y ’ = y + b
atau


















b
a
y
x
y
x
'
'
Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut :
Y
P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b)
b
P(x,y)
a
O X
Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi 






2
3
T
Penyelesaian : ……………………..
Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu dengan
menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang
ditranslasikan.
Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi 






4
3
T
Penyelesaian :
4'
3'
4
3
'
'




















yy
xx
y
x
y
x
Substitusi x dan y ke persamaan y = 2x – 1 sehingga :
9'2'1)3'(24'  xyxy
Jadi bayangannya y = 2x + 9

3. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
3
LATIHAN SOAL
1. Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi 







7
3
T . Tentukan koordinat titik A’ !
2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jika diketahui
titik B’ (-5,7) dan 






0
3
I
3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh 






7
5
1T kemudian ditranslasikan lagi oleh








3
2
2T , maka tentukan bayangan titik Q !
4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi 






k
h
T . Tentukan nilai h dan k !
5. Diberikan 

























5
10
9
2
,,
6
4
STdanRS
b
a
QRPQ . Jika translasi tunggal yang
mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah 







12
4
, tentukan QR !
6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T !
7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasi 






3
0
T
8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi 





2
1
9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasi 







9
7
10.
D C
P
A B
Jika AB mewakili translasi 





1
3
dan BD mewakili translasi 







4
2
maka nyatakan translasi yang
diwakili oleh PCdanAC !

4. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
4
2. PENCERMINAN (REFLEKSI)
suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Jarak bangun
mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu
pencerminan.
Sumbu pencerminan
A K A’
B B’
C M C’
Keterangan : AK = A’K, BL = B’L dan CM = C’M
2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X
Y
P(x,y)
O X
P’(x’,y’)



















y
x
y
x
10
01
'
'
2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y
Y
P’(x’,y’) P(x,y)
O X


















y
x
y
x
10
01
'
'

5. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
5
2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL
Y
P(x,y)
0 X
P’(x’,y’)




















y
x
y
x
10
01
'
'
2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k
Y
P’(x’,y’)
y = k
P(x,y)
0 X

























ky
x
y
x
2
0
10
01
'
'
2.5 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k
























0
2
10
01
'
' k
y
x
y
x
2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x


















y
x
y
x
01
10
'
'
2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x




















y
x
y
x
01
10
'
'

6. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
6
2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx
m
y
x
y
x
arctan,
2cos2sin
2sin2cos
'
'






















2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)


























b
a
y
x
y
x
2
2
10
01
'
'
2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h
P’’(x+2(h – k) , y)
2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h
P”(x , y + 2(h-k))
2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING TEGAK
LURUS
P”(2k – x , 2h – y)
Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh pencerminan terhadap garis
y = -x !
Penyelesaian : ……………
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh
pencerminan terhadap garis x = 6 !
Penyelesaian : ……………..
Contoh 3 : Tentukan bayangan titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkan
pencerminan terhadap garis y = 2 !

7. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
7
Penyelesaian : ……………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap :
a. sumbu X
b. sumbu Y
2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan
persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y !
3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 !
4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 !
5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkan
terhadap garis y = -1 !
6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0.
Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinatbayangan akhir segitiga ABC
tersebut !
7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan
terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y dan terakhir pencerminan terhadap
titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut !
8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y =
x. Tentukan koordinat bayangannya !
9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh
pencerminan garis x = 4 !
10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh
pencerminan terhadap garis y = 3 !

8. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
8
3. PERPUTARAN (ROTASI)
Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar.
Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum jam.
3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL
Y
P’(x’ , y’)
P(x,y)


0 X
  





cossinsincoscossinsin'
sincossinsincoscos)(cos'
),(')','('
),(),(
sin
cos
yxrrry
yxrrrx
rPyxP
rPyxP
ry
rx

















 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar 
90 dengan pusat putaran di titik pusat !
Penyelesaian : ………….
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar  sering ditulis R

9. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
9
3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b)
Y P’(x’,y’)
P(x,y)

A(a,b) 
X
Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang di translasikan sebesar 





b
a
.













 








by
ax
by
ax


cossin
sincos
'
'



















 






b
a
by
ax
y
x


cossin
sincos
'
'
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar 
90 dengan pusat (1,2) !
Penyelesaian : …………….

10. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
10
LATIHAN SOAL
1. Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi :
a. 
90
R
b. 
180
R
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) dan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut
karena rotasi 
90
R !
3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C(6,1) dan D(m,n)
karena rotasi 
180
R !
4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauh 
90 !
5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauh 
270 !
6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauh 
180 !
7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dan B(-3,4) yang diputar sejauh - 
90 dengan
pusat rotasi R(0,-2) !
8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi 
90
R dilajutkan dengan rotasi 
180
R
9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi 
180
R dilanjutkan 
90
R
10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi 





1
2
dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 dan
terakhir oleh rotasi 90R dengan pusat (1,2) !

11. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
11
4. PERKALIAN (DILATASI)
Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat perkalian dan faktor skala kR.
4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k
Y
P’(x’ , y’)
P(x,y)
O Q Q’ X


















y
x
k
k
y
x
0
0
'
'
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulis  ),kOD
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) !
Penyelesaian : ………………
4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k
Y
P’(x’ , y’)
P(x,y)
A(a,b)
0 X




















b
a
by
ax
k
y
x
'
'
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 !
Penyelesaian : ………………

12. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
12
LATIHAN SOAL
1. Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi  2,O !
2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi 





3
1
,O !
3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi  2),3,4(P !
4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi 






3
2
),1,3(P !
5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi 






2
1
),5,0(P !
6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi  2,O !
7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) oleh
dilatasi 





2
1
,O
8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi 
90
R dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5
dilanjutkan lagi dengan translasi 





2
2
dan diakhiri dengan dilatasi  4),3,0(P !
5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN
Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola
tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu
transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x dan y
dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke
persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan
variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (bayangan). Sehingga tanda aksennya bisa
dihilangkan.
Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola 12
 xy karena rotasi sebesar 
90 dengan pusat O !
Penyelesaian : Rotasi dengan pusat O sebesar 
90
'
'
01
10
90cos90sin
90sin90cos
'
'
xy
yx
x
y
y
x
y
x
y
x



















 













 








Substitusi 1'' 2
 xykexydanyx sehingga :
  11'' 22
 yxatauyx

13. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
13
LATIHAN SOAL
1. Tentukan persamaan garis 01  yxg terhadap pencerminan sumbu X !
2. Tentukan persamaan garis 01  yxg di atas oleh rotasi 
90
R !
3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 oleh transformasi 





10
21
!
4. Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasi 




 
10
12
!
5. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transformasi 







52
31
!
6. Tentukan bayangan lingkaran 922
 yx oleh transformasi 





10
11
!
7. Tentukan peta lingkaran 058422
 yxyx oleh pencerminan terhadap titik pusat !
8. Tentukan peta dari parabola 12 2
 xy oleh dilatasi  3,O !
9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar terhadap titik O sebesar 
45 !
10. Tentukan persamaan peta lingkaran 922
 yx oleh transformasi yang ditentukan :
yxy
yxx


21
1
6. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali terhadap suatu
objek (titik, garis atau kurva) tertentu.
6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI
Komposisi dari dua translasi 1T dan dilanjutkan dengan 2T ditulis 12 TT  . Jadi dalam suatu
komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( 1T ).
Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh 12 TT  dimana 












d
c
Tdan
b
a
T 21 maka bayangan titik P
oleh komposisi dua translasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :
P’’(x+a+c , y+b+d)
d
P’
c
b
P a

14. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
14
Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi 12 TT  dapat juga dengan
menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu
1
12 








db
ca
TT  baru hasil
komposisi translasi tersebut yaitu matriks 







db
ca
untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’.
Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi 







1
2
1T dilanjutkan







4
3
2T
Penyelesaian : 






















2
0
41
)3(2
5
1
)5,1)(( 12 TT 
Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi 21 TT  ! Apakah hasil bayangannya sama ?
Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua translasi tersebut ?
6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI
Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu dengan merotasikan satu per satu atau
dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua rotasi tersebut dengan
cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemudian
gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut.
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi 
90 dilanjutkan dengan rotasi 
180 !
Penyelesaian : Sudut hasil komposisi rotasi = 
18090  = 
270
































 

1
2
2
1
01
10
2
1
270cos270sin
270sin270cos
" 

A
6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI
Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan dilatasi satu
per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu dengan
mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukan satu
per satu.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x = 6
!
2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis x =
-1 !
3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika
direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 !

15. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI
15
4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan
terhadap sumbu Y !
5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap 
90
R dan dilanjutkan 
270
R !
6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap 
150
R dan dilanjutkan 
120
R !
7. Jika yM adalah pencerminan terhadap sumbu Y, 1M adalah pencerminan terhadap garis x = 6 dan
2M adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1), B(-
2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan :
a. 1MM y 
b. yMMM  12
8. Jika 1M , 2M dan 3M adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7 berturut-
turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi 321 MMM  !
9. Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = 3 oleh transformasi 123 MMM 
10. Diketahui transformasi 










 









1
2
01
10
,
1
2
901 IdanRT . Tentukan bayangan titik (7,10) oleh
transformasi 1902 TRT  !