SlideShare uma empresa Scribd logo

M a t r i ks

•Transferir como DOCX, PDF•
•
K
kusnadiyoan

Dalam modul ini, kita mempelajari tentang : Pengertian dan Notasi Matriks Ordo Matriks Jenis-jenis Matriks Kesamaan dua Matriks Transpose matriks Operasi Matriks ( Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks ) Invers Matriks

Educação
1 de 19
MODUL MATEMATIKA MATRIKS KUSNADI, S.Pd www.mate-math.blogspot.com
M A T R I K S A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS 1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ]. Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya. Contoh 1: Diketahui matriks A =              240 533 421 Tentukan : a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3 b. banyak kolom e. 2.3b c. elemen-elemen baris ke-2 f. 3.1b Penyelesaian : a. banyak baris = 3 baris b. banyak kolom = 3 kolom c. celemen-elemen baris ke-2 = 3, 3, - 5 d. elemen-elemen kolom ke-3 = 4, - 5, - 2 e. 2.3b = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = - 4 f. 3.1b = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 4 Contoh 2: Diketahui            63 52 41 X Tentukan letak elemen 2 dan 6 ! Penyelesaian : elemen 2 = .21x elemen 6 = .32x 2. ORDO MATRIKS
Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. mxnA artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah. Contoh 3: Diketahui         3205 4231 P Tentukan ordo matriks P Penyelesaian : Ordo matriks P = 2 x 4 3. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks Nol Yaitu matriks yang setiap elemennya nol. Misal :        00 00 A 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris Misal :  3201B 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Misal :            0 1 2 C 4. Matriks Bujur sangkar Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja. Misal :             032 120 321 D 5. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya. Misal :            300 020 001 E 6. Matriks Satuan (Identitas)
Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol. Misal :            100 010 001 F 7. Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol. Misal :            300 030 003 G 8. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. Misal :             500 410 312 H 9. Matriks Segitiga Bawah Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. Misal :             231 044 003 K LATIHAN SOAL 1. Diketahui              53101 35230 54211 P Tentukan : a. elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen kolom ke-2 c. elemen-elemen kolom ke-4 d. elemen baris ke-1 kolom ke-3 e. elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2. Diketahui               6204 0413 1532 X
Tentrukan : a. ordo X b. elemen-elemen baris ke-2 c. 3.2x d. 1.3x e. 2.3x 3. Diketahui                 423 151 520 642 A Tentukan letak elemen : a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0 4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ? a.        10 21 A b.  201B c.            334 031 003 C d.            400 040 004 D 5. Berikan contoh lain dari matriks : a. skalar b. segitiga bawah c. segitiga atas d. Diagonal 4. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.
Contoh 1: Mana matriks yang sama ?        43 21 A        31 42 B        43 21 C        2 29 41 D Penyelesaian : Matriks yang sama yaitu matriks A dan C Contoh 2: Tentukan x dan y dari               52 3 50 13 y x Penyelesaian : x = 1 2y = 0  y = 0 5. TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan T A atau A’. Contoh 3: Jika        654 321 P maka tentukan T P Penyelesaian :            63 52 41 t P LATIHAN SOAL 1. Tentukan x dan y dari : a.                52 93 58 33 y x b.                 xy x 0 14 30 1 2 1 c.                35 24 32 14 x xy x y d.               4 12 yx yx 2. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.              46 25 43 625 b b a b.                  8 6 2 2 10 c a bda c b c.                      52 3 2 1 3 a d b c d b a d.               58 151 23 43 cadb dbca 3. Tentukan transposenya dari : a.        054 321 A b.             521 305 124 B 4. Tentukan c jika        cb a A 32 44 ,          14224 26 ba abc B dan T BA  B. OPERASI MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen- elemen yang seletak. Contoh 1: Jika         21 43 A dan        50 23 B maka tentukan A + B Penyelesaian : A + B = … Contoh 2: Jika        31 02 A ,        42 13 B dan         04 25 C , tentukan : a. A + B b. B + A c. A + (B + C) d. (A + B) + C Penyelesaian : a. A + B = … b. B + A = … c. A + (B + C) = … d. (A + B) + C = …
Contoh 3: Diketahui        43 21 A ,          43 21 A dan        00 00 O . Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A Penyelesaian : a. A + (-A) = … (-A) + A = … b. A + O = … O + A = … Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. A + B = B + A (bersifat komutatif) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif) 3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan) 4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan) 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh 4: Jika          41 32 A dan          53 14 B , maka tentukan : a. A – B b. B – A Penyelesaian : a. A – B = … b. B – A = … Sifat-sifat Pengurangan matriks : 1. A – B  B – A (tidak komutatif) 2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif) LATIHAN SOAL
1. Sederhanakanlah ! a.              5 3 2 10 b.                510 43 51 12 c.  31 2 5        d.                74 32 51 20 e.                 753 143 824 315 f.                        53 21 40 37 12 45 g.                       01 24 15 27 34 12 h.      454312  i.                 yxx xy xyy xyx 45 3 532 2 2. Tentukan x jika                32 41 54 32 x 3. Tentukan x jika                 36 27 53 14 x 4. Tentukan a, b, c dan d dari : a.                     11 30 51 48 dc ba b.                      51 04 53 24 dcc aba 3. PERKALIAN MATRIKS
3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR) Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. Contoh 1: Jika          53 12 A maka tentukan : a. 2A b. A 2 1  Penyelesaian : a. 2A =                 106 24 53 12 2 b. A 2 1  = … Contoh 2: Jika         31 24 A dan         13 46 B maka tentukan : a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A Penyelesaian : a. 2(A + B) = … b. 2A + 2B = … c. 2(3A) = … d. 6A = … Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks : 1. k(A + B) = … 2. (k + l)A = … 3. k(lA) = … LATIHAN SOAL 1. Jika         13 52 A dan        02 41 B , maka tentukan : a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. )( 2 1 BA  d. –4(A – B) 2. Tentukan matriks X jika:
a.         810 64 2X b.               03 67 45 23 2X c.               42 31 010 15 2X d.                  1 2 1 30 2 1 10 01 X 3. Tentukan a, b, c dan d dari : a.                      54 75 3 1 3 1 2 2 c b d a b.                        64 2 3 642 284 2 1 3 1 4 cb c db ab ca 4. Diketahui        cb a A 32 4 dan          7 1232 ba abc B . Jika T BA 2 , maka tentukan nilai c ! 3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil perkalian matriks mxnA dengan nxpB , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino). Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian). Misal :        dc ba A dan        usq trp B maka : AB =             usq trp dc ba =         ductdscrdqcp buatbsarbqap Contoh 1: Diketahui  53, 4 2 , 43 21              CBA dan        87 65 D . Terntukan : a. AB b. AC c. AD
Penyelesaian : a. AB = … b. AC tidak dapat dikalikan, karena … c. AD = … Contoh 2: Diketahui              12 04 , 32 21 BA dan         31 23 C . Tentukan : a. AB b. BA c. (AB)C d. A(BC) e. A(B + C) f. AB + AC g. AI h. IA Penyelesaian : a. AB = … b. BA = … c. (AB)C = … d. A(BC) = … e. A(B + C) = … f. AB + AC = … g. AI = … h. IA = … Sifat-sifat perkalian matriks : 1. Umumnya tidak komutatif (AB  BA)
2. Asosiatif : (AB)C = A(BC) 3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA 4. Identitas : IA = AI = A 5. k(AB) = (kA)B LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan ! a.          2 5 43 b.           40 13 21 c.              3 1 2 1 98 64 d.              1 5 14 30 e.              12 53 01 43 f.              203 412 31 42 g.                  30 24 13 524 301 h.                          332 514 421 207 364 125 2. Diketahui         42 13 X . Jika XXX .2  dan XXXX ..3  maka tentukan : a. 2 X b. 3 X 3. Jika        243 021 A dan            00 11 24 B maka tentukan : a. T BA)( b. T AB)( 4. Tentukan a jika                               1 12 34 12 3 54 3 1 ac c bb d C. INVERS MATRIKS 1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2
Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu        10 01 I maka A dan B dikatakan saling invers. Invers matriks A dinotasikan 1 A . Misal        dc ba A dan        sr qp B maka : AB = I                    10 01 sr qp dc ba                10 01 dscqdrcp bsaqbrap ap + br = 1  bcad d p   dan bcad c r    cp + dr = 0 aq + bs = 0  bcad b q    dan bcad a s   cq + ds = 1 Karena 1  AB =       sr qp maka           ac bd bcad A 11 ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi bcadAAD  )det( . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc 0 maka matriks A disebut matriks Non Singular. Contoh 1: Tentukan determinan          15 32 A Penyelesaian : ....A Contoh 2: Tentukan invers dari         13 25 P Penyelesaian : ....1  P
Contoh 3: Tentukan x jika         x A 2 65 merupakan matriks singular ! Penyelesaian : ad – bc = 0  … Contoh 4: Tentukan matriks X jika                23 313 23 12 X Penyelesaian : XA = B  X = 1 BA = … Jika ada persamaan matriks berbentuk : AX = B maka X BA 1  XA = B maka X = 1 BA LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinannya ! a.        23 35 A b. B =       32 64 c.         13 32 C d.          32 54 D 2. Tentukan inversnya ! (jika ada) a.        35 11 A b.          04 15 B c.         63 84 C d.          58 610 D 3. Tentukan x jika          xx x P 2 8 singular 4. Tentukan matriks X jika :
a.             1514 58 02 54 X b.              12 34 43 21 X c.               14 28 41 23 X d.                   210 514 28 14 12 X 2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3 2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5 2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.            333231 232221 131211 aaa aaa aaa A  det (A) = 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa A  = ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … ) Contoh 1: Jika            341 431 321 P maka tentukan P
Penyelesaian : ........ ........ ........ ............ ............ ............ P = … = … MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan ijM . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian ijM dengan   ji 1 dan ditulis dengan ijA . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A). Contoh 2: Diketahui               112 211 121 M . Tentukan : a. 12M b. 22M c. 31A d. 23A e. Adj(M) Penyelesaian : a. 12M = .... ........ ........  b. 22M = .... ........ ........  c. 31A =   .... ........ ........ 1 .......   d. 23A =   .... ........ ........ 1 .......  
e. Adj(M) = T                       ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... = T           ......... ......... ......... =           ......... ......... ......... 2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus : )( 11 AAdj A A  Contoh 3: Tentukan invers dari            541 431 321 P Penyelesaian : .... ...... ...... ...... ......... ......... ......... P                       ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... )(PAdj =….
.... ......... ......... ......... ... ...1             P LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinan dari : a.            130 123 021 A b.               211 033 124 B c.               214 301 425 C 2. Tentukan x jika 35 312 104 13    x 3. Diketahui              143 110 224 X . Tentukan : a. 21M b. 33M c. 12A d. 22A e. Adj(X) 4. Tentukan inversnya dari : a.             011 231 204 P b.              210 433 125 Q

Recomendados

Modul 2 persamaan linear
Modul 2 persamaan linearModul 2 persamaan linear
Modul 2 persamaan linearFatimah Abdul Khalid
 
Modul 2 : Persamaan linear
Modul 2 : Persamaan linearModul 2 : Persamaan linear
Modul 2 : Persamaan linearFatimah Abdul Khalid
 
Modul 3 : Persamaan Kuadratik
Modul 3 : Persamaan Kuadratik Modul 3 : Persamaan Kuadratik
Modul 3 : Persamaan Kuadratik Fatimah Abdul Khalid
 
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...Hafidz Sa
 
Modul 2 : Set
Modul 2 : SetModul 2 : Set
Modul 2 : SetFatimah Abdul Khalid
 
Modul 4 graf fungsi ori
Modul 4 graf fungsi oriModul 4 graf fungsi ori
Modul 4 graf fungsi oriFatimah Abdul Khalid
 
Modul 3 matriks 2019
Modul 3 matriks 2019Modul 3 matriks 2019
Modul 3 matriks 2019Fatimah Abdul Khalid
 
Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsi Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsi Fatimah Abdul Khalid
 

Recomendados

Modul 2 persamaan linear
Modul 2 persamaan linearModul 2 persamaan linear
Modul 2 persamaan linearFatimah Abdul Khalid
 
Modul 2 : Persamaan linear
Modul 2 : Persamaan linearModul 2 : Persamaan linear
Modul 2 : Persamaan linearFatimah Abdul Khalid
 
Modul 3 : Persamaan Kuadratik
Modul 3 : Persamaan Kuadratik Modul 3 : Persamaan Kuadratik
Modul 3 : Persamaan Kuadratik Fatimah Abdul Khalid
 
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...
Matematik tambahan tingkatan 4 persamaan kuadratik {add math form 4 - quadr...Hafidz Sa
 
Modul 2 : Set
Modul 2 : SetModul 2 : Set
Modul 2 : SetFatimah Abdul Khalid
 
Modul 4 graf fungsi ori
Modul 4 graf fungsi oriModul 4 graf fungsi ori
Modul 4 graf fungsi oriFatimah Abdul Khalid
 
Modul 3 matriks 2019
Modul 3 matriks 2019Modul 3 matriks 2019
Modul 3 matriks 2019Fatimah Abdul Khalid
 
Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsi Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsi Fatimah Abdul Khalid
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nAchmad Sukmawijaya
 
Modul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add mathModul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add mathCikgu Pejal
 
Modul 1 algebra
Modul 1 algebraModul 1 algebra
Modul 1 algebraFatimah Abdul Khalid
 
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4Cikgu Marzuqi
 
Linear equation
Linear equationLinear equation
Linear equationRoiamah Basri
 
Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1Pauling Chia
 
Kartu soal nopliyanti sma 1 tebo
Kartu soal nopliyanti sma 1 teboKartu soal nopliyanti sma 1 tebo
Kartu soal nopliyanti sma 1 teboMaryanto Sumringah SMA 9 Tebo
 
Modul 1: Algebra
Modul 1: AlgebraModul 1: Algebra
Modul 1: AlgebraFatimah Abdul Khalid
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkapKira R. Yamato
 
Modul 3 matriks
Modul 3 matriksModul 3 matriks
Modul 3 matriksFatimah Abdul Khalid
 
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan LinearRizky Wulansari
 
Set 3 sem 3
Set 3 sem 3Set 3 sem 3
Set 3 sem 3Fatimah Abdul Khalid
 
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]Karthik Karunanithy
 
Teknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spmTeknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spmTuan Azahan
 
Modul 6 spl
Modul 6 splModul 6 spl
Modul 6 splAchmad Sukmawijaya
 
Modul 1 : Asas Nombor
Modul 1 : Asas NomborModul 1 : Asas Nombor
Modul 1 : Asas NomborFatimah Abdul Khalid
 
Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsiModul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsiFatimah Abdul Khalid
 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleksUHN
 
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkjSistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkjRahman Nul Hakim
 
Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2Pauling Chia
 
Romeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas PekerjaRomeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas PekerjaPindai Media
 
Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014dallas60
 

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Modul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add mathModul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add mathCikgu Pejal
 
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4Cikgu Marzuqi
 
Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1Pauling Chia
 
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan LinearRizky Wulansari
 
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]Karthik Karunanithy
 
Teknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spmTeknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spmTuan Azahan
 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleksUHN
 
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkjSistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkjRahman Nul Hakim
 
Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2Pauling Chia
 

Mais procurados (20)

Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde n
 
Modul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add mathModul sbp 2014 perfect score add math
Modul sbp 2014 perfect score add math
 
Modul 1 algebra
Modul 1 algebraModul 1 algebra
Modul 1 algebra
 
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
Matematik Tamabahan Pertengahan Tahun Tingkatan 4
 
Linear equation
Linear equationLinear equation
Linear equation
 
Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1Matematik Tambahan Soalan set 1
Matematik Tambahan Soalan set 1
 
Kartu soal nopliyanti sma 1 tebo
Kartu soal nopliyanti sma 1 teboKartu soal nopliyanti sma 1 tebo
Kartu soal nopliyanti sma 1 tebo
 
Modul 1: Algebra
Modul 1: AlgebraModul 1: Algebra
Modul 1: Algebra
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkap
 
Modul 3 matriks
Modul 3 matriksModul 3 matriks
Modul 3 matriks
 
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear
 
Set 3 sem 3
Set 3 sem 3Set 3 sem 3
Set 3 sem 3
 
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
Trial spm smk_st_george_taiping_2013_maths_paper2_[q]
 
Teknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spmTeknik menjawab math spm
Teknik menjawab math spm
 
Modul 6 spl
Modul 6 splModul 6 spl
Modul 6 spl
 
Modul 1 : Asas Nombor
Modul 1 : Asas NomborModul 1 : Asas Nombor
Modul 1 : Asas Nombor
 
Modul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsiModul 4 graf fungsi
Modul 4 graf fungsi
 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleks
 
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkjSistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat x-tkj
 
Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2Matematik Tambahan Soalan set 2
Matematik Tambahan Soalan set 2
 

Destaque

Romeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas PekerjaRomeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas PekerjaPindai Media
 
Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014dallas60
 
FACTORS AFFECTING LLS
FACTORS AFFECTING LLSFACTORS AFFECTING LLS
FACTORS AFFECTING LLSMau5pls
 
Діагностика уваги
Діагностика увагиДіагностика уваги
Діагностика увагиyfnfkmz1990
 
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILE
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILEHARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILE
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILERagunath Padmanabhan
 
Movie assignment MoeR
Movie assignment MoeRMovie assignment MoeR
Movie assignment MoeRXin Yi Zyx
 
Klaster pariwisata desa sembungan
Klaster pariwisata desa sembunganKlaster pariwisata desa sembungan
Klaster pariwisata desa sembunganfebrinasas
 
Lo1b 141008082709-conversion-gate01
Lo1b 141008082709-conversion-gate01Lo1b 141008082709-conversion-gate01
Lo1b 141008082709-conversion-gate01David Lunn
 
Para cuando tengas un problema
Para cuando tengas un problemaPara cuando tengas un problema
Para cuando tengas un problemajicazuu
 
ljknисследования константина иовкова
ljknисследования константина иовковаljknисследования константина иовкова
ljknисследования константина иовковаBuTCHeR1337
 
2014 2015 ieee dotnet projects lists
2014 2015 ieee dotnet projects lists2014 2015 ieee dotnet projects lists
2014 2015 ieee dotnet projects listsIEEEJAVAPROJECTS
 
Designed slide - Định giá BĐS
Designed slide - Định giá BĐSDesigned slide - Định giá BĐS
Designed slide - Định giá BĐSVu Tuyen Hoang
 
First Asignment On Classroom Research
First Asignment On Classroom ResearchFirst Asignment On Classroom Research
First Asignment On Classroom ResearchAndreBaquero10
 
Java Programming for Beginners - Practice java tests
Java Programming for Beginners - Practice java testsJava Programming for Beginners - Practice java tests
Java Programming for Beginners - Practice java testsMeritCampus
 
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣ
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣСистемаи муодилаҳои нишондиҳандагӣ
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣАюбджон Саидов
 

Destaque (17)

Romeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas PekerjaRomeo-Juliet Kelas Pekerja
Romeo-Juliet Kelas Pekerja
 
Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014Horario cesanjose2014
Horario cesanjose2014
 
FACTORS AFFECTING LLS
FACTORS AFFECTING LLSFACTORS AFFECTING LLS
FACTORS AFFECTING LLS
 
Діагностика уваги
Діагностика увагиДіагностика уваги
Діагностика уваги
 
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILE
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILEHARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILE
HARVEST ENGINEERING INC - COMPANY PROFILE
 
Movie assignment MoeR
Movie assignment MoeRMovie assignment MoeR
Movie assignment MoeR
 
Elite group presentation brochure
Elite group presentation brochureElite group presentation brochure
Elite group presentation brochure
 
Klaster pariwisata desa sembungan
Klaster pariwisata desa sembunganKlaster pariwisata desa sembungan
Klaster pariwisata desa sembungan
 
สุภาษิต
สุภาษิตสุภาษิต
สุภาษิต
 
Lo1b 141008082709-conversion-gate01
Lo1b 141008082709-conversion-gate01Lo1b 141008082709-conversion-gate01
Lo1b 141008082709-conversion-gate01
 
Para cuando tengas un problema
Para cuando tengas un problemaPara cuando tengas un problema
Para cuando tengas un problema
 
ljknисследования константина иовкова
ljknисследования константина иовковаljknисследования константина иовкова
ljknисследования константина иовкова
 
2014 2015 ieee dotnet projects lists
2014 2015 ieee dotnet projects lists2014 2015 ieee dotnet projects lists
2014 2015 ieee dotnet projects lists
 
Designed slide - Định giá BĐS
Designed slide - Định giá BĐSDesigned slide - Định giá BĐS
Designed slide - Định giá BĐS
 
First Asignment On Classroom Research
First Asignment On Classroom ResearchFirst Asignment On Classroom Research
First Asignment On Classroom Research
 
Java Programming for Beginners - Practice java tests
Java Programming for Beginners - Practice java testsJava Programming for Beginners - Practice java tests
Java Programming for Beginners - Practice java tests
 
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣ
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣСистемаи муодилаҳои нишондиҳандагӣ
Системаи муодилаҳои нишондиҳандагӣ
 

Semelhante a M a t r i ks

Aljabar matriks rev1
Aljabar matriks rev1Aljabar matriks rev1
Aljabar matriks rev1abdul kahari
 
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilangAron Hazique
 
add math form4 ppt 2015
add math form4 ppt 2015add math form4 ppt 2015
add math form4 ppt 2015Norddin Ahmad
 
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej Vokasional
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej VokasionalSoalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej Vokasional
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej VokasionalHazlin Nazri
 
Latihan PA sem 2 dvm
Latihan PA sem 2 dvmLatihan PA sem 2 dvm
Latihan PA sem 2 dvmHazlin Nazri
 
Add math spm 2014 modul melaka gemilang
Add math spm 2014 modul melaka gemilangAdd math spm 2014 modul melaka gemilang
Add math spm 2014 modul melaka gemilangCikgu Pejal
 
Melaka 2 2010
Melaka 2 2010Melaka 2 2010
Melaka 2 2010sooklai
 
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skema
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skemaSpm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skema
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skemaCikgu Pejal
 
FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
FAKTORISASI BENTUK ALJABARFAKTORISASI BENTUK ALJABAR
FAKTORISASI BENTUK ALJABARlilisandriyani
 
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017saliza sham
 
Diskusi m2 kb 2
Diskusi m2 kb 2Diskusi m2 kb 2
Diskusi m2 kb 2Smp Musage
 

Semelhante a M a t r i ks (20)

Aljabar matriks rev1
Aljabar matriks rev1Aljabar matriks rev1
Aljabar matriks rev1
 
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang
242478442 add-math-spm-2014-modul-melaka-gemilang
 
Modul 3 k1 mt jpnk 2015
Modul 3 k1 mt jpnk 2015Modul 3 k1 mt jpnk 2015
Modul 3 k1 mt jpnk 2015
 
add math form4 ppt 2015
add math form4 ppt 2015add math form4 ppt 2015
add math form4 ppt 2015
 
Pat mat t4 p2
Pat mat t4 p2Pat mat t4 p2
Pat mat t4 p2
 
Spm kedah addmath_p2_2010
Spm kedah addmath_p2_2010Spm kedah addmath_p2_2010
Spm kedah addmath_p2_2010
 
Spl
SplSpl
Spl
 
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej Vokasional
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej VokasionalSoalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej Vokasional
Soalan Ulangkaji Matematik untuk Teknologi Semester 3 Kolej Vokasional
 
Linear inequalities
Linear inequalitiesLinear inequalities
Linear inequalities
 
Latihan PA sem 2 dvm
Latihan PA sem 2 dvmLatihan PA sem 2 dvm
Latihan PA sem 2 dvm
 
Integral easy
Integral easyIntegral easy
Integral easy
 
Add math spm 2014 modul melaka gemilang
Add math spm 2014 modul melaka gemilangAdd math spm 2014 modul melaka gemilang
Add math spm 2014 modul melaka gemilang
 
Melaka 2 2010
Melaka 2 2010Melaka 2 2010
Melaka 2 2010
 
20122 31-icl240-b-k-3
20122 31-icl240-b-k-320122 31-icl240-b-k-3
20122 31-icl240-b-k-3
 
The straight line
The straight lineThe straight line
The straight line
 
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skema
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skemaSpm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skema
Spm 2014 add math modul sbp super score post test [lemah] k2 set 5 dan skema
 
Matematik kertas 1
Matematik kertas 1Matematik kertas 1
Matematik kertas 1
 
FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
FAKTORISASI BENTUK ALJABARFAKTORISASI BENTUK ALJABAR
FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
 
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017
Sentuhan akhir sebelum 13 november 2017
 
Diskusi m2 kb 2
Diskusi m2 kb 2Diskusi m2 kb 2
Diskusi m2 kb 2
 

Mais de kusnadiyoan

Komposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsiKomposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsikusnadiyoan
 
T r a n s f o r m a s i
T r a n s f o r m a s iT r a n s f o r m a s i
T r a n s f o r m a s ikusnadiyoan
 
Persamaan trigonometri
Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri
Persamaan trigonometrikusnadiyoan
 
Barisan dan deret
Barisan dan deretBarisan dan deret
Barisan dan deretkusnadiyoan
 
Logika matematika
Logika matematikaLogika matematika
Logika matematikakusnadiyoan
 
Bentuk pangkat, akar dan logaritma
Bentuk pangkat, akar dan logaritmaBentuk pangkat, akar dan logaritma
Bentuk pangkat, akar dan logaritmakusnadiyoan
 

Mais de kusnadiyoan (20)

Program linear
Program linearProgram linear
Program linear
 
Program linear
Program linearProgram linear
Program linear
 
Suku banyak
Suku banyakSuku banyak
Suku banyak
 
Komposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsiKomposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsi
 
Limit fungsi
Limit fungsiLimit fungsi
Limit fungsi
 
T r a n s f o r m a s i
T r a n s f o r m a s iT r a n s f o r m a s i
T r a n s f o r m a s i
 
Persamaan trigonometri
Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri
Persamaan trigonometri
 
Irisan kerucut
Irisan kerucutIrisan kerucut
Irisan kerucut
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Barisan dan deret
Barisan dan deretBarisan dan deret
Barisan dan deret
 
Turunan fungsi
Turunan fungsiTurunan fungsi
Turunan fungsi
 
Statistika2
Statistika2Statistika2
Statistika2
 
Statistika1
Statistika1Statistika1
Statistika1
 
Peluang
PeluangPeluang
Peluang
 
Trigonometri
TrigonometriTrigonometri
Trigonometri
 
V e k t o r
V e k t o rV e k t o r
V e k t o r
 
Logika matematika
Logika matematikaLogika matematika
Logika matematika
 
Dimensi tiga
Dimensi tigaDimensi tiga
Dimensi tiga
 
Bentuk pangkat, akar dan logaritma
Bentuk pangkat, akar dan logaritmaBentuk pangkat, akar dan logaritma
Bentuk pangkat, akar dan logaritma
 
Eksponen
EksponenEksponen
Eksponen
 

M a t r i ks

  • 2. M A T R I K S A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS 1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ]. Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya. Contoh 1: Diketahui matriks A =              240 533 421 Tentukan : a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3 b. banyak kolom e. 2.3b c. elemen-elemen baris ke-2 f. 3.1b Penyelesaian : a. banyak baris = 3 baris b. banyak kolom = 3 kolom c. celemen-elemen baris ke-2 = 3, 3, - 5 d. elemen-elemen kolom ke-3 = 4, - 5, - 2 e. 2.3b = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = - 4 f. 3.1b = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 4 Contoh 2: Diketahui            63 52 41 X Tentukan letak elemen 2 dan 6 ! Penyelesaian : elemen 2 = .21x elemen 6 = .32x 2. ORDO MATRIKS
  • 3. Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. mxnA artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah. Contoh 3: Diketahui         3205 4231 P Tentukan ordo matriks P Penyelesaian : Ordo matriks P = 2 x 4 3. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks Nol Yaitu matriks yang setiap elemennya nol. Misal :        00 00 A 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris Misal :  3201B 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Misal :            0 1 2 C 4. Matriks Bujur sangkar Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja. Misal :             032 120 321 D 5. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya. Misal :            300 020 001 E 6. Matriks Satuan (Identitas)
  • 4. Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol. Misal :            100 010 001 F 7. Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol. Misal :            300 030 003 G 8. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. Misal :             500 410 312 H 9. Matriks Segitiga Bawah Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. Misal :             231 044 003 K LATIHAN SOAL 1. Diketahui              53101 35230 54211 P Tentukan : a. elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen kolom ke-2 c. elemen-elemen kolom ke-4 d. elemen baris ke-1 kolom ke-3 e. elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2. Diketahui               6204 0413 1532 X
  • 5. Tentrukan : a. ordo X b. elemen-elemen baris ke-2 c. 3.2x d. 1.3x e. 2.3x 3. Diketahui                 423 151 520 642 A Tentukan letak elemen : a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0 4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ? a.        10 21 A b.  201B c.            334 031 003 C d.            400 040 004 D 5. Berikan contoh lain dari matriks : a. skalar b. segitiga bawah c. segitiga atas d. Diagonal 4. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.
  • 6. Contoh 1: Mana matriks yang sama ?        43 21 A        31 42 B        43 21 C        2 29 41 D Penyelesaian : Matriks yang sama yaitu matriks A dan C Contoh 2: Tentukan x dan y dari               52 3 50 13 y x Penyelesaian : x = 1 2y = 0  y = 0 5. TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan T A atau A’. Contoh 3: Jika        654 321 P maka tentukan T P Penyelesaian :            63 52 41 t P LATIHAN SOAL 1. Tentukan x dan y dari : a.                52 93 58 33 y x b.                 xy x 0 14 30 1 2 1 c.                35 24 32 14 x xy x y d.               4 12 yx yx 2. Tentukan a, b, c dan d dari :
  • 7. a.              46 25 43 625 b b a b.                  8 6 2 2 10 c a bda c b c.                      52 3 2 1 3 a d b c d b a d.               58 151 23 43 cadb dbca 3. Tentukan transposenya dari : a.        054 321 A b.             521 305 124 B 4. Tentukan c jika        cb a A 32 44 ,          14224 26 ba abc B dan T BA  B. OPERASI MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen- elemen yang seletak. Contoh 1: Jika         21 43 A dan        50 23 B maka tentukan A + B Penyelesaian : A + B = … Contoh 2: Jika        31 02 A ,        42 13 B dan         04 25 C , tentukan : a. A + B b. B + A c. A + (B + C) d. (A + B) + C Penyelesaian : a. A + B = … b. B + A = … c. A + (B + C) = … d. (A + B) + C = …
  • 8. Contoh 3: Diketahui        43 21 A ,          43 21 A dan        00 00 O . Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A Penyelesaian : a. A + (-A) = … (-A) + A = … b. A + O = … O + A = … Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. A + B = B + A (bersifat komutatif) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif) 3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan) 4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan) 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh 4: Jika          41 32 A dan          53 14 B , maka tentukan : a. A – B b. B – A Penyelesaian : a. A – B = … b. B – A = … Sifat-sifat Pengurangan matriks : 1. A – B  B – A (tidak komutatif) 2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif) LATIHAN SOAL
  • 9. 1. Sederhanakanlah ! a.              5 3 2 10 b.                510 43 51 12 c.  31 2 5        d.                74 32 51 20 e.                 753 143 824 315 f.                        53 21 40 37 12 45 g.                       01 24 15 27 34 12 h.      454312  i.                 yxx xy xyy xyx 45 3 532 2 2. Tentukan x jika                32 41 54 32 x 3. Tentukan x jika                 36 27 53 14 x 4. Tentukan a, b, c dan d dari : a.                     11 30 51 48 dc ba b.                      51 04 53 24 dcc aba 3. PERKALIAN MATRIKS
  • 10. 3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR) Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. Contoh 1: Jika          53 12 A maka tentukan : a. 2A b. A 2 1  Penyelesaian : a. 2A =                 106 24 53 12 2 b. A 2 1  = … Contoh 2: Jika         31 24 A dan         13 46 B maka tentukan : a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A Penyelesaian : a. 2(A + B) = … b. 2A + 2B = … c. 2(3A) = … d. 6A = … Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks : 1. k(A + B) = … 2. (k + l)A = … 3. k(lA) = … LATIHAN SOAL 1. Jika         13 52 A dan        02 41 B , maka tentukan : a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. )( 2 1 BA  d. –4(A – B) 2. Tentukan matriks X jika:
  • 11. a.         810 64 2X b.               03 67 45 23 2X c.               42 31 010 15 2X d.                  1 2 1 30 2 1 10 01 X 3. Tentukan a, b, c dan d dari : a.                      54 75 3 1 3 1 2 2 c b d a b.                        64 2 3 642 284 2 1 3 1 4 cb c db ab ca 4. Diketahui        cb a A 32 4 dan          7 1232 ba abc B . Jika T BA 2 , maka tentukan nilai c ! 3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil perkalian matriks mxnA dengan nxpB , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino). Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian). Misal :        dc ba A dan        usq trp B maka : AB =             usq trp dc ba =         ductdscrdqcp buatbsarbqap Contoh 1: Diketahui  53, 4 2 , 43 21              CBA dan        87 65 D . Terntukan : a. AB b. AC c. AD
  • 12. Penyelesaian : a. AB = … b. AC tidak dapat dikalikan, karena … c. AD = … Contoh 2: Diketahui              12 04 , 32 21 BA dan         31 23 C . Tentukan : a. AB b. BA c. (AB)C d. A(BC) e. A(B + C) f. AB + AC g. AI h. IA Penyelesaian : a. AB = … b. BA = … c. (AB)C = … d. A(BC) = … e. A(B + C) = … f. AB + AC = … g. AI = … h. IA = … Sifat-sifat perkalian matriks : 1. Umumnya tidak komutatif (AB  BA)
  • 13. 2. Asosiatif : (AB)C = A(BC) 3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA 4. Identitas : IA = AI = A 5. k(AB) = (kA)B LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan ! a.          2 5 43 b.           40 13 21 c.              3 1 2 1 98 64 d.              1 5 14 30 e.              12 53 01 43 f.              203 412 31 42 g.                  30 24 13 524 301 h.                          332 514 421 207 364 125 2. Diketahui         42 13 X . Jika XXX .2  dan XXXX ..3  maka tentukan : a. 2 X b. 3 X 3. Jika        243 021 A dan            00 11 24 B maka tentukan : a. T BA)( b. T AB)( 4. Tentukan a jika                               1 12 34 12 3 54 3 1 ac c bb d C. INVERS MATRIKS 1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2
  • 14. Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu        10 01 I maka A dan B dikatakan saling invers. Invers matriks A dinotasikan 1 A . Misal        dc ba A dan        sr qp B maka : AB = I                    10 01 sr qp dc ba                10 01 dscqdrcp bsaqbrap ap + br = 1  bcad d p   dan bcad c r    cp + dr = 0 aq + bs = 0  bcad b q    dan bcad a s   cq + ds = 1 Karena 1  AB =       sr qp maka           ac bd bcad A 11 ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi bcadAAD  )det( . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc 0 maka matriks A disebut matriks Non Singular. Contoh 1: Tentukan determinan          15 32 A Penyelesaian : ....A Contoh 2: Tentukan invers dari         13 25 P Penyelesaian : ....1  P
  • 15. Contoh 3: Tentukan x jika         x A 2 65 merupakan matriks singular ! Penyelesaian : ad – bc = 0  … Contoh 4: Tentukan matriks X jika                23 313 23 12 X Penyelesaian : XA = B  X = 1 BA = … Jika ada persamaan matriks berbentuk : AX = B maka X BA 1  XA = B maka X = 1 BA LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinannya ! a.        23 35 A b. B =       32 64 c.         13 32 C d.          32 54 D 2. Tentukan inversnya ! (jika ada) a.        35 11 A b.          04 15 B c.         63 84 C d.          58 610 D 3. Tentukan x jika          xx x P 2 8 singular 4. Tentukan matriks X jika :
  • 16. a.             1514 58 02 54 X b.              12 34 43 21 X c.               14 28 41 23 X d.                   210 514 28 14 12 X 2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3 2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5 2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.            333231 232221 131211 aaa aaa aaa A  det (A) = 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa A  = ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … ) Contoh 1: Jika            341 431 321 P maka tentukan P
  • 17. Penyelesaian : ........ ........ ........ ............ ............ ............ P = … = … MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan ijM . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian ijM dengan   ji 1 dan ditulis dengan ijA . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A). Contoh 2: Diketahui               112 211 121 M . Tentukan : a. 12M b. 22M c. 31A d. 23A e. Adj(M) Penyelesaian : a. 12M = .... ........ ........  b. 22M = .... ........ ........  c. 31A =   .... ........ ........ 1 .......   d. 23A =   .... ........ ........ 1 .......  
  • 18. e. Adj(M) = T                       ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... = T           ......... ......... ......... =           ......... ......... ......... 2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus : )( 11 AAdj A A  Contoh 3: Tentukan invers dari            541 431 321 P Penyelesaian : .... ...... ...... ...... ......... ......... ......... P                       ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... )(PAdj =….
  • 19. .... ......... ......... ......... ... ...1             P LATIHAN SOAL 1. Tentukan determinan dari : a.            130 123 021 A b.               211 033 124 B c.               214 301 425 C 2. Tentukan x jika 35 312 104 13    x 3. Diketahui              143 110 224 X . Tentukan : a. 21M b. 33M c. 12A d. 22A e. Adj(X) 4. Tentukan inversnya dari : a.             011 231 204 P b.              210 433 125 Q