Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut dan lingkaran, termasuk definisi, macam-macam irisan kerucut, persamaan lingkaran dengan berbagai pusat dan jari-jari, garis singgung lingkaran, dan latihan soal. Secara ringkas, dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep geometri irisan kerucut dan lingkaran beserta contoh soalnya.

1. MODUL
MATEMATIKA
IRISAN KERUCUT
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com
34

2. BAB 14. IRISAN KERUCUT
A. Pengertian Irisan kerucut
1. Definisi Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut
lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.
2. Macam – Macam Irisan Kerucut
Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik,
garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
 Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa
titik.
 Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang
terbentuk berupa sebuah garis.
 Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas,
maka irisan terbentuk berupa segitiga.
 Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak,
maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
 Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk
berupa parabla.
 Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak
sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa
elips.
 Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak
sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.
B. Pengertian lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik
tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.
C. Menentukan Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
Perhatikan gambar di bawah ini !
Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada
Gambar di samping adalah :
x2
+ y2
= r2
35
Kegiatan Belajar 1 : Lingkaran
P(x, y)
Y
X

3. Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar
limgkaran.
a. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2
+ y2
= r2
.
b. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2
+ y2
< r2
.
c. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2
+ y2
> r2
.
Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !
Jawab:
x2
+ y2
= r2
⇔ x2
+ y2
= 52
⇔ x2
+ y2
= 25
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2
+ y2
= 5 !
Jawab:
Pusat lingkaran x2
+ y2
= 5 adalah (0,0). Jari-jari r2
= 5 berarti r = 5 .
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik
(5,12) !
Jawab:
Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti :
52
+ 122
= r2
⇔ 25 + 144= r2
⇔ r2
= 169
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah
x2
+ y2
= 169.
4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x2
+ y2
= 81 !
Jawab:
x2
+ y2
= 22
+ 52
= 4 + 25 = 29
Sedangkan r2
= 81, maka : x2
+ y2
< r2
atau 29 < 81.
Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x2
+ y2
= 81.
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r
Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !
Jawab:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
⇔ (x – 3)2
+ (y – 6)2
= 72
⇔ (x – a)2
+ (y – b)2
= 49
2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan
lingkarannya !
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
36
P(x, y)
(a, b)
a
b
0
Y
X
r

4. Jawab:
Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :
(4 + 2)2
+ (9 – 1)2
= r2
⇔ 62
+ 82
= r2
⇔ r2
= 100
Persamaan lingkarannya :
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= 100
3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang
mempunyai persamaan (x – 2)2
+ (y – 1)2
= 36 ?
Jawab:
(x – a)2
+ (y – b)2
= (3 – 2)2
+ (4 – 1)2
= 12
+ 32
= 10
r2
= 36
10 < 36 atau (x – 2)2
+ (y – 1)2
< r2
Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)2
+ (y – 1)2
= 36.
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
kita jabarkan menjadi suku-suku
yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
x2
– 2ax + a2
+ y2
– 2by + b2
= r2
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
= r2
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
- r2
= 0
atau ditulis :
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
Dengan :
1) Pusat lingkaran P(-
2
1
A, -
2
1
B)
2) Jari-jari lingkaran r = CBA −+ 22
)
2
1
()
2
1
(
Contoh:
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2
+ y2
+ 6x + 4y – 3 = 0 !
Jawab:
Pusat lingkaran = P(-
2
1
A, -
2
1
B) = P(-3, -2)
Jari-jari lingkaran :
r = 416349323 22
==++=++
Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2
+ 3y2
- 4x + 8y – 1 = 0 !
Jawab:
3x2
+ 3y2
- 4x + 8y – 1 = 0
x2
+ y2
-
3
4
x +
3
8
y –
3
1
= 0
Pusat P(-
2
1
A, -
2
1
B) = P(
6
8
,
6
4
− ) = P(
3
4
,
3
2
− )
Jari-jari r = CBA −+ 22
)
2
1
()
2
1
(
r =
3
1
)
3
4
()
3
2
( 22
++
r = 23
3
1
9
23
=
37

5. D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2
+ y2
= r2
maka persamaaan garis
singgung di titik P(x1,y1) adalah :
x1. x + y1. y= r2
Contoh:
Sebuah lingkaran dengan persamaan x2
+ y2
= 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan
persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !
Jawab:
x1. x + y1. y= r2
3x + 4y = 25
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :
y = mx ± r 12
+m
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 yang tegak lurus dengan garis
4x – 3y – 5 = 0 !
Jawab:
Untuk x2
+ y2
= 25, maka r = 5
Untuk 4x – 3y – 5 = 0, maka gradien m1 =
3
4
Gradien garis singgung m2 = -
4
3
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y = m2x ± r 12
+m
y = -
4
3
x ± 5 1
16
9
+
y = -
4
3
x ± 5.
4
5
38
P(x, y)
X
Y
g
o
r
P(a, b)
g1
g2
Y
X
O

6. y = -
4
3
x +
4
25
atau y = -
4
3
x -
4
25
3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m
Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan
sebagai berikut :
y - b = m(x – a) ± r 12
+m
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2
+ y2
+2x –4y –5 = 0!
Jawab:
Pusat lingkaran x2
+ y2
+ 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari 10 , maka persamaan
garis singgungnya :
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
⇔ (2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10
⇔ 3(x + 1) – 1(y – 2) = 10
⇔ 3x + 3 – y + 2 = 10
⇔ 3x – y = 5
E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam
1. Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl)
Panjang garis singgung persekutuan luar (Sl) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r
dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :
Sl = 22
)( rRd −−
Contoh:
Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q
berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.
Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !
Jawab:
Buat QT sejajar dengan SR
Sl = 22
)( rRd −−
39
A
B
O
R
P
r
L1
L2
Q
Sl
d
S
R
QP
T

7. QT = 22
)( QRPSPQ −−
= 22
)24(10 −−
= 96
= 4 6 cm.
2. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd)
Panjang garis singgung persekutuan dalam (Sd) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r
dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :
Sl = 22
)( rRd +−
Contoh:
Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan
jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.
Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !
Jawab:
Buat PS sejajar QR
Sd = 22
)( rRd +−
PS = 22
)( RSOROP +−
= 22
)12(5 +−
= 16
= 4 cm.
LATIHAN 14.1
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan :
a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6
b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16
2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4)
b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1)
3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !
a. 3x2
+ 3y2
= 6
b. (x – 1)2
+ (y + 8)2
= 9
40
R
O P
r
Sd
d
N
L2
L1
M
Q
Q
R
S
O P

8. 4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini !
a. x2
+ y2
+ 2x + 6y – 15 = 0
b. 4x2
+ 4y2
– 16x + 8y + 11 = 0
5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan ( 2 ,2) terhadap lingkaran x2
+ y2
= 6 !
6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)2
+ (y – 2)2
= 50 !
7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X !
8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 di titik (3, 4) !
9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 4 yang bergradien 3 !
10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2
+ y2
– 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) !
11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0!
12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm.
a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya.
b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.
A. Pengertian Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama
dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).
B. Persamaan Parabola
1. Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0)
Perhatikan gambar berikut ini !
Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p,0) adalah :
y2
= 4px
Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola
- Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola
- Garis x = -p adalah garis direktriks
- Sumbu X adalah sumbu simetri
- L1L2 adalah lactus rectum = 4p
Parabola terbuka ke kanan
Contoh:
Diketahui peramaan parabola y2
= 16x. Tentukan koordinat puncak, koordinat focus,
persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya !
Jawab:
a. koordinat puncak O(0,0)
41
Kegiatan Belajar 2 : Parabola
P(x, y)
F(p, 0)
X
Y
L2
L1
x= -p
O
A
B Q
d

9. b. koordinat focus (4,0)
c. sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0
d. Persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :
y2
= -4px
Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola
- Titik F(-p, 0) adalah titik fokus parabola
- Garis x = p adalah garis direktriks
- Sumbu X adalah sumbu simetri
Parabola terbuka ke kiri.
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah :
x2
= 4py
Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola
- Titik F(0, p) adalah titik fokus parabola
- Garis y = -p adalah garis direktriks
- Sumbu Y adalah sumbu simetri
Parabola terbuka ke atas.
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :
x2
= -4py
Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola
- Titik F(0, -p) adalah titik fokus parabola
- Garis y = p adalah garis direktriks
- Sumbu Y adalah sumbu simetri
Parabola terbuka ke bawah.
2. Persamaan Parabola dengan Puncak P(α,β)
Perhatikan gambar berikut ini !
42
P(x, y)
F(4, 0)
x= -4
X
Y
Q
A
B
L1
L2
O
d
P(x, y)
F(α+p, β)
y = β
(α, β)
X
Y
O
d
A

10. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (α, β) adalah :
(y - β)2
= 4p(x - α)
Keterangan :
- titik puncak P(α, β)
- titik fokus F(α + p, β)
- persamaan direktriks : x = α - p
- persamaan sumbu simetri : y = β
Parabola terbuka ke kanan.
Contoh:
Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) !
Jawab:
Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4
Persamaan parbolanya :
(y - β)2
= 4p(x - α)
⇔ (y - 3)2
= 4.4(x - 2)
⇔ y2
– 6y + 9 = 16(x – 2)
⇔ y2
– 6y + 9 = 16x – 32
⇔ y2
– 6y – 16x + 41 = 0
Contoh:
Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2
+ 4y – 4x + 8 = 0.
Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks,
dan sketsa gambarnya !
Jawab:
y2
+ 4y – 4x + 8 = 0
⇔ y2
+ 4y = 4x - 8
⇔ (y + 2)2
– 4 = 4x - 8
⇔ (y + 2)2
= 4x - 4
⇔ (y + 2)2
= 4(x – 1) ⇔ (y - β)2
= 4p(x - α)
Berarti : β = -2; α = 1; p = 1
Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya (α + p, β) = (2, -2), persamaan sumbu
simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = α - p ⇔ x = 1 – 1 ⇔ x = 0
Grafiknya :
43
X
Y
F
y= -2
-2
-1
O
1 2

11. Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah :
(y - β)2
= -4p(x - α)
Keterangan :
- titik puncak P(α, β)
- titik fokus F(α - p, β)
- direktriks x = α + p
- persamaan sumbu simetri : y = β
Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke atas persamaannya adalah :
(x - α) 2
= 4p(y - β)
Keterangan :
- titik puncak P(α, β)
- titik fokus F(α, β + p)
- direktriks y = β - p
- persamaan sumbu simetri : x = α
Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah :
(x - α) 2
= -4p(y - β)
Keterangan :
- titik puncak P(α, β)
- titik fokus F(α, β- p)
- direktriks x = β + p
- persamaan sumbu simetri : x = α
LATIHAN 14.2
1. Tentukan koordinat titik fokus, persamaan sumbu simetri , persamaan direktriks, dan panjang
latus rectum parabola berikut :
a. y2
= 8x b. y2
= -8x c. x2
= 8y d. x2
= -8y
2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan keterangan sebagai berikut :
a. titik fokus di F(-3, 0) b. titik fokus di F(0, 3)
3. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus pada sumbu X dan melalui
titik (1, 2), kemudian gambar parabola tersebut !
4. Diketahui parabola dengan persamaan (y + 2)2
= 4(x – 1).
Tentukan: a. koordinat titik puncak
b. koordinat titik fokus
c. peramaan direktriks
d. persamaan sumbu simetri
5. Suatu parabola dengan persamaan x2
- 2x + 2y - 5 = 0.
Tentukan: a. koordinat titik puncak
b. koordinat titik fokus
44

12. c. peramaan direktriks
d. persamaan sumbu simetri
6. Tentukan persamaan parabola jika titik puncak A(2, 4) dan titik fokus di F(8, 4) !
A. Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu
mempunyai nilai yang tetap.
Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.
B. Persamaan Elips
1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)
Perhatikan gambar di bawah ini !
Persamaan Elips dengan Pusat di O(0,0) adalah :
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
atau b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
Keterangan :
- Pusat O(0,0)
- Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0)
- Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2
= b2
+ c2
- Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
- Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu
transversal.
- Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan.
- Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b
- Direktriks : x =
c
a2
±
- Eksentrisitas : e =
a
c
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan
sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.
2. Persamaan Elips dengan Pusat (α,β)
45
Kegiatan Belajar 3 : Elips
F2
O
F1
d2
d1
X
Y

13. 1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
y
a
x βα
Keterangan:
- Pusat (α, β)
- Puncak A1(α + a, β) dan A2(α - a, β)
- Fokus F1(α + c, β) dan F2(α - c, β)
- Sumbu simetri x = α dan y = β
- Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b
- Direktriks : x = ± α+
c
a2
- Eksentrisitas : e =
a
c
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
a
y
b
x βα
merupakan persamaan elips dengan pusat (α, β) yang sumbu
panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.
Contoh:
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan
eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :
a) 9x2
+ 25y2
= 900
b) x2
+ 4y2
– 4x + 24y + 4 = 0
Jawab:
a) 9x2
+ 25y2
= 900
1
36100
22
=+
yx
a = 10, b = 6, c = 8
pusat O(0,0)
Fokus (8, 0) dan (-8, 0)
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
Sumbu panjang = 2a = 20
Sumbu pendek = 2b = 12
Direktriks : x =
c
a2
± =
8
100
± =
2
1
12±
Eksentrisitas : e =
5
4
10
8
==
a
c
b) x2
+ 4y2
– 4x + 24y + 4 = 0
(x – 2)2
– 4 + 4(y + 3)2
– 36 = -4
(x – 2)2
+ 4(y + 3)2
= 36
1
9
)3(
36
)2( 22
=
+
+
− yx
pusat (2, -3)
a = 6, b = 3, c = 332793922
==−=−ba
Fokus (3 3 ± 2, -3)
Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3
Sumbu panjang = 2a = 12
Sumbu pendek = 2b = 6
Direktriks : x = ± α+
c
a2
= 2342
33
36
+±=+±
Eksentrisitas : e = 3
2
1
6
33
==
a
c
LATIHAN 14.3
46

14. 1. Diketahui elips dengan persamaan 1
916
22
=+
yx
.
Tentukan :
a) Koordinat titik puncak d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus e) Nilai eksentrisitas
c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
2. Diketahui elips dengan persamaan 1
2516
22
=+
yx
.
Tentukan :
a) Koordinat titik puncak d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus e) Nilai eksentrisitas
c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
3. Diketahui elips dengan persamaan 1
16
)1(
25
)2( 22
=
−
+
− yx
.
Tentukan :
a) Koordinat titik pusat d) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
b) Koordinat titik puncak e) Persamaan direktriks
c) Koordinat titik fokus f) Nilai eksentrisitas
A. Pengertian Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua buah
titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.
B. Persamaan Hiperbola
1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)
Perhatikan gambar berikut ini !
Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0) adalah :
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
atau b2
x2
- a2
y2
= a2
b2
Keterangan :
- Pusat O(0,0)
- Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2
= a2
+ b2
- Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a
- Persamaan direktriks : x =
c
a2
±
47
Kegiatan Belajar 4 : Hiperbola
X
Y g1
g2
F1
(c, 0)F2
(-c, 0) A1
A2 O
P

15. - Persamaan asymtot ; y =
a
b
± x
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada
sumbu Y.
Contoh:
Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P1(-5, 0) dan P2(5, 0) serta fokusnya
F1(-8, 0) dan F2(8, 0) !
Jawab:
Puncak (±5, 0), maka a = 5
Fokus (±8, 0), maka c = 8
b2
= c2
– a2
= 64 -25 = 39
Persamaan hiperbola : 1
3925
22
=−
yx
Contoh:
Diketahui hiperbola dengan persamaan 1
3664
22
=−
yx
.
Tentukan :
a) Koordinat puncak d) persamaan garis asymtot
b) Koordinat fokus e) Sketsa grafiknya
c) Persamaan garis direktriks
Jawab:
Hiperbola 1
3664
22
=−
yx
, berarti :
a2
= 64 → a =8
b2
= 36 → b =6
c = 10366422
=+=+ba
a) Koordinat puncaknya (8, 0) dan (-8, 0)
b) Titik fokusnya (10, 0) dan (-10, 0)
c) Persamaan garis direktriknya: x =
c
a2
± ⇒ x =
10
64
±
d) Persamaan garis asymtot : y =
a
b
± x ⇒ y =
8
6
± x
e) Grafiknya :
48
X
Y
F1
(10, 0)F2
(-10, 0) A1
(8, 0)A2
(-8, 0) O
-6
6
F1(10, 0)

16. 3. Persamaan Hiperbola dengan Pusat (α,β)
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
y
a
x βα
Keterangan:
- Pusat (α, β)
- Titik puncak A1(α + a, β) dan A2(α - a, β)
- Fokus F1(α + c, β) dan F2(α - c, β)
- Sumbu utama y = β dan sumbu sekawan x = α
- Direktriks : x = ± α+
c
a2
- Eksentrisitas : e =
a
c
- Asymtot : (y - β) =
a
b
± (x - α)
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
x
a
y αβ
merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (α, β) dan sumbu
utama sejajar sumbu Y.
Contoh:
Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut :
9x2
– 16y2
– 18x – 64y – 199 = 0.
Tentukan :
a) Koordinat titik pusat d) persamaan garis asymtot
b) Koordinat titik focus e) Sketsa grafiknya
c) Koordinat titik puncak
Jawab:
Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum :
9x2
– 16y2
– 18x – 64y – 199 = 0
⇔ 9x2
– 18x – 16y2
– 64y = 199
⇔ 9(x2
– 2x) – 16(y2
+ 4y) = 199
⇔ 9(x – 1)2
– 9 – 16(y + 2)2
+ 64 = 199
⇔ 9(x – 1)2
– 16(y + 2)2
= 199 + 9 - 64
⇔ 9(x – 1)2
– 16(y + 2)2
= 144
⇔ 1
9
)2(
16
)1( 22
=
+
−
− yx
Bandingkan dengan 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
y
a
x βα
Diperoleh:
α = 1 dan β = -2
a2
= 16 ⇒ a = 4
b2
= 9 ⇒ b = 3
c = 591622
=+=+ba
a) Koordinat titik pusat (1, -2)
b) Koordinat puncak (α ± a, β) = (5, -2) dan (-3, -2)
c) Koordinat fokus (α ± c, β) = (6, -2) dan (-4, -2)
d) Persamaan asymtot :
(y - β) =
a
b
± (x - α) ⇔ (y + 2) =
3
4
± (x - 1)
e) Grafiknya:
49

17. LATIHAN 14.4
1. Suatu hiperbola dengan persamaan 1
916
22
=−
yx
.
Tentukan :
a) Koordinat puncak d) Persamaan garis direktriks
b) Koordinat titik fokus e) Persamaan garis asymtot
c) Nilai eksentrisitas
2. Diketahui hiperbola : 1
9
)1(
16
)2( 22
=
+
−
− yx
a) Titik pusat e) Titik fokus
b) Titik puncak f) Eksentrisitas
c) Persamaan sumbu utama dan sekawan g) Persamaan direktriks
d) Persamaan asymtot
50
A1
(5, -2) F1
(6, -2)F2
(-4, -2) A2
(-3, -2)
X
Y
O