3. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 3
º··Õè 2 ¡ÒÃãËŒà˵ؼÅ
การให้เหตุผล
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สําคัญมี 2 วิธี
1) การให้เหตุผลแบบอุปนัย 2) การให้เหตุผลแบบนิรนัย
การให้เหตุผลแบบอุปนัย
1) เป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่พบเห็น ไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม
2) วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนํามาสรุป
เป็นความรู้แบบทั่วไป
การให้เหตุผลแบบนิรนัย
เป็นการนําความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือ บทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและ
ยอมรับว่าเป็น จริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสู่ข้อสรุป
ข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผล
มีอยู่ 6 แบบ คือ
ข้อความ รูปวาด
1) สมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวเป็นสัตว์เลือดอุ่น
2) ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใด เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง ไม่มีงูตัวใดที่มีขา
3) สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ
4) สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ
5) มีสมาชิก A หนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สุนัขของฉันเป็นสุนัขพันธุ์ไทยแท้
6) มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวไม่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สุนัขของแตงไม่ใช่สุนัขพันธุ์ไทยแท้
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
7. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 7
º··Õè 5 ¿˜§¡ªÑ¹
คู่อันดับ
นิยาม คู่อันดับ (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a ∈ A และ b ∈ B
สัญลักษณ์ A×B เช่น A = {1,2} , B = {3,4,5} จะได้ AxB = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
สมบัติที่สําคัญของผลคูณคาร์ทีเชียน
1) ถ้า A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัว ∴ A×B มีสมาชิก mn ตัว
2) A × B = φ ก็ต่อเมื่อ A = φ หรือ B = φ
3) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
5) A × (B – C) = (A × B) – (A × C)
6) A × B ≠ B × A
ความสัมพันธ์
นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r ⊂ A × B ถ้า A × B มีสมาชิก n ตัว
เราสามารถสร้างความสัมพันธ์จาก A ไป B ได้ 2n
วิธี
การหาโดเมน และ การหาเรนจ์
จากความสัมพันธ์ r
- เรียก เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r ว่า โดเมน
- เรียก เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r ว่า เรนจ์
ฟังก์ชัน
นิยาม 𝑓𝑓 จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ 𝑓𝑓 เป็นความสัมพันธ์ ซึ่งมีเงื่อนไขว่า ถ้า (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦1) ∈ 𝑓𝑓 และ
(𝑥𝑥 , 𝑦𝑦2) ∈ 𝑓𝑓 แล้ว 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2
สรุปง่ายๆ ว่า ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใดๆ เหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกันด้วย
วิธีตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันโดยใช้กราฟ คือ ถ้าลากเส้นตรงขนานแกน y แล้วตัดกราฟ 1 จุด แปลว่าเป็นฟังก์ชัน
การหาโดเมน มีหลักการคิด ดังนี้
- จัดรูปสมการ ให้อยู่ในรูป y ในเทอม x
- พิจารณาเทอมของ x ว่า ค่า x มีข้อยกเว้นใดหรือไม่โดยดูจาก
1. ถ้าเป็นรูปเศษส่วน ∴ส่วนต้อง ≠ 0
2. ถ้าติดเครื่องหมายรากเลขคู่
∴ภายในเครื่องหมายรากต้อง ≥ 0
การหาเรนจ์ มีหลักการคิด ดังนี้
- จัดรูปสมการ ให้อยู่ในรูป x ในเทอม y
- พิจารณาเทอมของ y ว่า ค่า y มีข้อยกเว้นใดหรือไม่โดยดูจาก
1. ถ้าเป็นรูปเศษส่วน ∴ส่วนต้อง ≠ 0
2. ถ้าติดเครื่องหมายรากเลขคู่
∴ภายในเครื่องหมายรากต้อง ≥ 0
10. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 10
º··Õè 7 ÅíҴѺáÅÐ͹ءÃÁ
ลําดับ
1) ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว
พจน์ทั่วไป dnaan )1(1 −+= เมื่อ d คือ ผลต่างร่วม, 𝑎𝑎1 คือ พจน์ที่ 1
2) ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว
พจน์ทั่วไป 1
1
−
= n
n raa เมื่อ r คือ อัตราส่วนร่วม, 𝑎𝑎1 คือ พจน์ที่ 1
อนุกรม
1) สัญลักษณ์แทนการบวก ( ∑ อ่านว่า ซิกมา )
สมบัติของ ∑
2) อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
สูตรผลบวก [ ]dna
n
Sn )1(2
2
1 −+= หรือ [ ]nn aa
n
S += 1
2
มี 2 สูตร ต้องจําได้เลือกใช้ตามสะดวกเลยจ้า
3) อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
สูตรผลบวก
1
)1(
1
)1( 11
−
−
=
−
−
=
r
ra
r
ra
S
nn
n
∑∑∑ ===
−=−
N
i
i
N
i
i
N
i
ii yxyx
111
)(.4
cNccccc
N
N
i
=++++=∑=
....1
1
∑∑ ==
=
N
i
i
N
i
i xccx
11
.2
∑ ∑∑ = ==
+=+
N
i
N
i
ii
N
i
ii yxyx
1 11
)(.3
(ดึงค่าคงที่ไปอยู่หน้า ∑ ได้)
(∑ ผลบวก สามารถกระจายได้)
(∑ ผลลบ สามารถกระจายได้)
2
)1(
...321.5
1
+
=++++=∑=
nn
ni
n
i
6
)12)(1(
...321.6 2222
1
2 ++
=++++=∑=
nnn
ni
n
i
22
1
3333
1
3
2
)1(
...321.7
+
=
=++++= ∑∑ ==
nn
ini
n
i
n
i