funksionet ne mat

1. Funksioni
Relacioni f me bashkesi fillimi X dhe bashkesi mbarimi Y quhet funksion kur cdo element i X-it lidhet
me nje element te vetem te Y-it. Funksioni f: XY ,ku X-i dhe Y-i jane nenbashkesite bashkesise se
numrave reale R quhet funksion numerik .Grafiku I funksionit numerik f: XR ne planin koordinativ
xOy quhet bashkesia e te gjitha pikave (x, f(x)), ku xєX.
1. Grafiku I funksionit linear y=ax+b (ku a≠0)
eshte nje drejtez jo paralele me me boshtin
Oy. Per ndertimin e saj mjafton te gjejme 2
pika te drejtezes,bashkesia e percaktimit te
funksionit eshte R.
2. Grafiku I funfsionit te fuqise se dyte y=ax2
+bx+c
xєR eshte nje parabole .Per ta ndertuar ate gjejme
kulmin C(m;n) m=−
𝑏
2𝑎
dhe n=−
𝐷
4𝑎
dhe dy pika te
tjera ne secilen ane te kulmit .
3. Grafiku I funksionit perpjestimor te zhdrejte
𝑦 =
𝑎
𝑥
,xєR*
(a≠0) eshte nje vije e perkulur
(hiperbole )e perbere nga dy pjese. Kur a>0 njera
nga keto pjese ndodhet ne kuadratin e pare dhe
tjetra ne kuadratin e trete. Kur a<0 pjeset
ndodhen njera ne kuadratin e dyte tjetra ne
kuadratin e katert.

2. 4.Grafiku I funksionit Y=ax2
,x𝜖R (ku aє0) eshte nje
vije e perkulur (parabole) qe ka si boshte simetrie
boshtin Oy dhe si kulm origjinen O. Kur a>0 kjo
parabole ndodhet ne gjysme planin e siperm dhe
deget e saj shkojne lart pambarimisht ;a<0 kjo
parabole ndodhet ne gjysme planin e poshtem dhe
degte e saj shkone poshte pambarimisht.
5.Grafiku I funksionit eksponencial Y=ax
, xєR kur a>1 eshte nje vije e lemuar ,
ndodhet mbi boshtin Ox dhe pret
boshtin Oy ne piken me koordinata (0;1).
Me rritjen e abshises x,rritet dhe
ordinate y e pikes. Kur a<1 eshte nje vije
e lemuar , ndodhet mbi boshtin Ox dhe e
prêt boshtin Oy ne piken me kooordinata
(0;1). Me rritjen e abshises ordinata y e
pikes zvogelohet.
6.Grafiket e funksioneve y=ax
,xєR dhe y=(
1
𝑎
)x
,xєR jane simetrike te mjeri-tjetrit kundrejt bushtit Oy.

3. 7.Grafiku I funksionit y= log 𝑎 𝑥 ku 0<a≠1 xє ]0,+∞[
eshte nje vije e lemuar. Grafiku eshte I vendosur ne te
djathte te boshtit oy dhe e pret boshtin ox ne piken (1,0).
Me rritjen e vlerave te x-it grafiku vjen duke u rritur (kur
a>1) dhe duke zbritur (kur o<a<1).
8.Sinusi I x-it quhet ordinate e pikes M:sinx=yM. Sinx є
R. sinx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare dhe te dyte
ndersa negative(-) ne kuadratin e trete dhe te katert.
Eshte periodik T=2𝜋 ,eshte I kufizuar .Sin(-x)=-sinx
funksioni y=sinx eshte tek ne R.
9.kosinusi I X-it quhet abshisa e pikes M:cosx=XM.
Cosx єR. cosx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare
dhe te katert ndersa negativ(-) ne kuadratin e dyte
dhe te trete.Eshte periodic
T= 2𝜋 ,eshte I kufizuar. Cos(-x)=cosx funksioni
y=cosx eshte cift ne R.

4. Funksioni logaritmik
Funksion logaritmik quhet funksioni i formës y
=loga x ku a > 0, a ≠ 1 dhe x > 0.
Nisur nga ky përkufizim kemi njëvlershmërinë y
=log 𝑎 𝑥 <=> ay = x.
Për x ≠ 1 shprehja y = log1x, nuk vërtetohet. Pra,
formula y = log1x është funksion vetëm në se
bashkësia e fillimit është X = {1}. Po kështu do të
ndodhte nëse baza është 0 apo një numër negativ.
Bashkësia e përcaktimit është X = R*+, ndërsa
bashkësia e vlerave F = ]–∞; +∞[ = R.
Per a > 1 funksioni eshte rrites ne ] 0; +∞ [ dhe
rritet nga -∞ ne +∞
kur 0 < a < 1 funksioni eshte zbrites ne ] 0; +∞ [ dhe
zbret nga nga +∞ ne -∞ .Bashkesia e percaktimit E =
] 0; +∞[ Per a>1 funksioni eshte I kufizuar nga larte
dhe I pakufizuar nga poshte. Per o<a<1Funksioni
eshte I kufizuar nga poshte e I pakufizuar nga larte.
Minimumi I funksionit eksponencial eshte x=0 ,maksimumi I funksionit logaritmik eshte x=+∞.
Ky funksion e pret boshtin e abshisave ne piken (1;0).
Funksioni eksponencial
Funksioni i formës f(x) = ax ku a > 0 dhe a ≠ 1 quhet
funksion eksponencial.
Bashkësia e përcaktimit është E = R = ]–∞; +∞[, ndërsa
bashkësia e vlerave është F = R*+. Në përkufizimin e dhënë
për funksionin eksponencial janë përjashtuar bazat a = 1, a
= 0. Është bërë për arsyen e thjeshtë se f(x) = 1x = 1 dhe f(x)
= 0x = 0 janë funksione konstante. Janë përjashtuar,
gjithashtu, edhe vlerat negative të a-së sepse numrat negativ
nuk mund të përdoren si baza. Funksioni eksponencial
eshte I kufizuar nga poshte dhe I pakufizuar nga larte. Per
a>1 funksioni eshte rrites . Per 0<a<1 funksioni eshte
zbrites. Minimumi I funksionit eksponencial eshte x=–∞,
maksimumi I funksionit eksponencial eshte x=+∞. Ky
funksion e pret boshti e ordinatave ne piken (0;1).