SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 23
Baixar para ler offline
TEMEL F NANS MATEMAT Ğ



A.   1. G R Ş .................................................................................................... 2

B.   Gelecekteki ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ....... 6

C.   Basit ve bileşik faiz kavramları ...................................................................... 8

D.   Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler .................................................................. 9

E.   Borcun tfası ..............................................................................................15

F.   Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı .............................................................17

G.   Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity) .........................................................19

H.   Özet Ve Sonuçlar........................................................................................22




                                                                                                                  1
A. 1. G R Ş

Aslında temel finans matematiği karmaşık gibi görünen fakat basit bazı temel kurallar
öğrenildikten sonra hiç de zor olmayan hesaplamalar bütünü olarak tarif edilebilir. Şu an
sizlere birçok formül vermek yerine şöyle bir soru ile işe başlayalım;

100 liranızı bankaya 1 yıl vadeli olarak yıllık yüzde 25 faiz almak üzere yatırırsanız 1 yılın
sonunda paranız ne kadar olur?

Bu soruya hemen herkes hiçbir formül kullanmadan 125 Tl cevabını rahatlıkla verir.
Aslında yaptığı hesaplama basittir. 100 liranın yüzde 25’in hesaplar ve 100 liraya bunu
ekler. Çünkü bir yıl içinde 100 lirasına 25 lira kazanacaktır (100*0.25=25 lira)

Eğer kafadan basitçe yaptığımız bu hesaplamayı formüle dökecek olursak bunu şu şekilde
yazabiliriz;


 100 TL        +             (100 TL * 0.25)                  =           125 TL


Anapara        +   Faiz miktarı (Anapara * Faiz oranı)        =    Gelecekteki Değer


Yani 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 + (100*0.25) = 125 TL

Şimdi parantezin içindeki 100 rakamını dışarı çıkaralım;

100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl buluruz.

Varsayalım ki 100 lirasını %25 faizle bankaya yatıran tasarruf sahibi 1 yıl sonra 125 TL
sahibi oldu ve şimdi de bu parayı 1 yıl daha yüzde 25 faizle bankada tutmak istiyor olsun.
Bu durumda yine aynı mantıkla

125 liranın gelecekteki değeri = 125 + 125*0.25 = 125 + 31.25 = 156.25 Tl
olacaktır.

Yani ; 125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl
olacaktır.

Varsayalım ki finans matematiği konusunda hiç bilginiz yok veya şu ana kadar belki de
okuduğunuz okullarda bir yarıyıl okutulan bu ders ile ilgili olarak aklınızda sadece
karmaşık bir sürü formülden kırık dökük parçalar kaldı. Hiçbirşey hatırlamıyorsunuz.

Ama şimdi bu formüllerin hepsini unutmanızı istiyorum. Çünkü bu formüllere hiç
ihtiyacınız yok. Önemli olan nokta finans matematiğinin çekirdek mantığını anlamaktır.
Eğer bunu anlarsanız hangi formülü hangi şartlarda uygulamanız gerektiği konusu
netleşecektir. Bu mantığı şimdi çok net bir biçimde anlayacaksınız. Çünkü finans




                                                                                            2
matematiğinin sadece 1 tane olan can alıcı formülünü siz yaratacak ve önünüze çıkan
neredeyse bütün sorulara sadece 1 tane formül uygulayacaksınız.

Buna aslında formül de demek istemiyorum. Çünkü, ortada ezberlemeniz gereken bir
formül yok. Sadece yukarıda sorduğum soruyu hatırlamanız bütün finans problemlerini
çözmeniz için yeterli olacaktır. Belki çok iddialı ama, gerçekten de finans matematiğinin
sadece bir denklemi vardır ve her koşulda bu denklem geçerlidir.

Şimdi yukarıdaki soruya tekrar dönelim. 100 lirasını yıllık yüzde 25 faizle 2 yıl bankada
tutan birinin parası 156.25 Tl olmuştur. Bu rakama nasıl ulaştık?

1. YIL için:

100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl

2. YIL için

125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl

Eğer bu hesaplamayı tek tek yapmak yerine sadece bir defada yapabilir miyiz? Yukarıdaki
ikinci denklemi tekrar yazalım;

125*(1+0.25) = 156.25 şeklindeydi. Şimdi ilk rakam olan 125 yerine 100 (1+0.25)
yazalım; Çünkü bunu yukarıda hesaplamıştık.

100 * (1+0.25) * (1+0.25) =       100 * (1+0.25)2           = 156.25

Burada 100 TL başlangıçta yatırılan anaparadır (A), 0.25 rakamı faiz oranı (r) ve parantez
üzerindeki “2” rakamı da dönem sayısıdır. 156.25 rakamı da 100 liranın 2 dönem sonraki
değeri yani gelecekteki değeridir (G).

Bu soruyu formülüze edecek olursak;


                                  G = A * (1 + r)n
Şeklinde yazabiliriz. Demek ki belirli bir miktar parayı belirli bir dönem boyunca, bu
dönem için geçerli faiz oranından bankaya yatırırsak gelecekte elde edeceğimiz değeri
(G) bu formül ile bulabiliriz. Bu formülü kimse bize öğretmedi. Basit bir soru sorarak
formülü biz çıkardık. Bundan başka öğrenmeniz gereken formül kalmadı. Finans
matematiğinin bütün konuları ve sorularını bu formülü kullanarak çözebilirsiniz.

Yukarıdaki soruyu tekrar hatırlayalım; Adam 100 lirasını yıllık yüzde 25 faiz almak üzere
2 yıllığına bankaya yatırdığında parası ne kadar olur? Cevap 156.25 Tl olur.

Şimdi soruyu şöyle sormuş olalım;

“eğer bir adam yıllık yüzde 25 faiz ile parasını bankaya yatırırsa 2 yıl sonra
156.25 Tl sahibi olacaktır. Acaba adamın şu an kaç lirası vardır?


                                                                                        3
Veya soruyu şu şekilde de sorabiliriz;

Yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonraki 156.25 TL’nin şimdiki değeri nedir?

Veya soru şöyle de sorulabilir;

Şu an birisi kaç lirasını bankaya yıllık yüzde 25 faiz ile 2 yıllığına yatırırsa parası
156.25 TL olur?

Dikkat ederseniz soruların soruluş biçimi farklıdır fakat, istenilen sonuç hep aynıdır.
Şimdiki değeri soruyoruz. Yukarıudaki formüle göre bizden istenilen “A” paramatresidir.
Yani Anapara’yı ulmamızı istiyorlar.

Bu durumda yukarıdaki formülde A’yı denklemin sol tarafına alırsak şimdiki değer
formülünü elde etmiş olacağız.


                          G                             156.25
              A=                               A=               2
                                                                  = 100
                       (1 + r )n                      (1 + 0.25)
Bu formül aslında yeni bir formül değildir ve ilk bulduğumuz formülün sadece
parametrelerinin yeri değişmiş halidir. Bu formüle paranın zaman değeri veya şimdiki
değer formülü adını veriyoruz.

Yukarıda vermiş olduğumuz cevap için başka sorular da tyüretebiliriz;          şte bunlardan
bazıları;

   •   Yıllık mevduat faiz oranı yüzde 25 ise arkadaşınıza vermiş olduğunuz ve 2 yıl
       sonra alacağınız 156.25 TL’yi bugün kaç TL olarak alırsanız, karınız ya da zararınız
       olmaz (Paranızı sadece banka mevduatında değerlendirme seçeneğiniz var ve dah
       ayüksek getiri elde etme imkanınız yok); Cevap 100 TL’dir, çünkü yıllık yüzde 25
       faiz üzerinden 2 yıl sonra 156.25 TL şimdiki 100 TL yapmaktadır. Ya da
       arkadaşımdan şu an 100 TL alsam ve 2 yıl vadeli mevduata yatırsam zaten 156.25
       TL olacaktır.

Paranın bir zaman değeri vardır: Bugün alınacak 1 TL, 1 yıl sonra alınacak 1 TL'den daha
değerlidir. Bu olgu, 1 TL'nin 1 yıl sonra kesin olarak alınması durumunda ve ayrıca
paranın satın alma gücünü düşüren enflasyonun olmaması durumunda bile geçerlidir.
Paranın zaman değerini yaratan nedenler aşağıda sıralanmıştır:

Bireyler güncel tüketimi gelecek tüketime yeğlerler. Bireylere şimdiki tüketimden
vazgeçmeleri için gelecekte çok daha fazla şeyin sunulması gerekir.

Risk. Gelecekteki nakit    akımlarıyla ilgili risk arttıkça bu risk nakit akımlarının değerini
düşürür.




                                                                                            4
Gelecekte beklenen enflasyon. Enflasyon paranın değerini düşürür. Enflasyon ne denli
yüksekse bugünkü değerle gelecek değer arasındaki fark o kadar büyür. Bu nedenle
yüksek enflasyon dönemlerinde yatırımcıların yüksek nominal getiri talep etmeleri o
kadar doğaldır.

Bu etmenleri yansıtmak için nakit akımlarının ayarlanması indirgeme olarak adlandırılır.
Yani biz 156.25 TL’yi yukarıdaki soruda bugüne indirgedik. Bu etmenlerin büyüklüğü
iskonto oranının büyüklüğü ile yansıtılır. Burada iskonto oranı dediğimiz şey aslında yüzde
25 olarak verilen faiz oranıdır. Eğer mevduat yapmaktan başka seçeneğim yoksa 156.25
TL’yi bugüne indirgerken iskonto oranı olarak yüzde 25’i kullandım.

Şimdi çok önemli bir nüansı vurgulamak istiyorum. Eğer ticaretle uğraşıyorsam ve banka
faiz oranları yüzde 25 iken, yıllık bazda yüzde 40 getiri sağlayan, yani 100 liramı
yatırdığımda bana yılda 40 lira kar sağlayan bir işim varsa; acaba 2 yıl sonra elime
geçecek 156.25 TL’yi borç verdiğim kişi bana bana 100 TL olarak ödemek istrerse kabul
etmeli miyim?

Eğer ben de banka faizi kadar getiri sağlıyor olsaydım başabaş olacaktı fakat şimdi
156.25 TL’yi yüzde 40 iskonto oranı ile indirgeyelim (Eğer yüzde 25 ile indirgersek zaten
sonucun 100 Tl olduğunu biliyoruz.)


                                      156.25
                               A=             2
                                                = 79.72
                                     (1 + 0.4)
Burada sonuç 79.72 TL çıkmıştır. Eğer biz şimdi 79.72 Tl alırsak ve yüzde 40 getiri
sağlayarak 2 yıl değerlendirirsek 156.25 TL olacaktır. Dolayısıyla biz bırakın 100 TL’yi bize
79.72 Tl bile verse zararımız olmayacaktır. Eğer bize şu an 100 TL veriyorsa bu 100
TL’nin bizim için gelecekteki (2 yıl sonraki) değeri;

                   100 * (1+0.4)2 = 196 Tl olacaktır.
Dolayısıyla iskonto oranları aletrantif getiri oranını, güncel tüketimi gelecek tüketime
yeğlemeyi, nakit akımlarının riskini ve enflasyon oranlarını yansıtır.

Örnek: Şimdi 100 dolar mı almak istersiniz, yoksa yıllık dolar basit faizinin %10
olduğunu düşünürsek, 3 yıl sonra 133 dolar almak daha mı karlı olur?

Aşağıda cevap verilmiştir. Gelecekte elde edeceğimiz 133 doları (G) yıllık %10 basit dolar
faizi üzerinden bugüne indirgersek, 3 yıl sonraki 133 doların şu an kaç dolara denk
geldiğini buluruz (A). Dolayısıyla iki seçenekten birini uygulamanın farksız olduğunu
söyleyebiliriz (aşağıda yaklaşık değerler kullanılmıştır).




                                                                                           5
133           133        133
      Şimdiki Deger = A =                             3 =         3 =        = 100
                                          (1 + 0 . 1)     (1 . 1)     1 . 33

B. Gelecekteki Değer ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

Şimdi gelecekteki değer formülünü tekrar yazalım.


                                 G = A * (1 + r)n
Burada faiz oranı ( r ) dönemin getiri oranını yansıtmaktadır. (n) ise ilgili faiz oranının kaç
kere tekrarlandığını göstermektedir. Şimdi “bunu zaten biliyoruz” diyeceksiniz. Finans
matematiği soruları çözümlenirken, karşılaşılan en büyük zorluk bu iki parametrenin iyi
anlaşılmamasından kaynaklanmaktadır.

“n” değeri geçerli olan “r” getirisinin kaç kere tekrarlandığını göstermelidir. Bir soru
sorarak şöyle açıklayalım;

Haftalık bazda binde 5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta sonra ne
kadar olur?

Burada G = ?          A= 100 TL             r=0.005               n=9 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9 = 104.6 TL olarak bulunacaktır.

Burada [(1+0.005)9=1.0459] olarak hesaplanır. Yani 1.005’in dokuzuncu kuvvetini
alıyoruz.

Peki şimdi buna çok benzer bir soruyu şöyle soralım.

ÖRNEK: Aylık bazda yüzde 1.5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta
sonra ne kadar olur? (not: bir ay 30 gün veya dört haftadır )

Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da              diyebilirsiniz) aylık bazda
verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre haftalık bazda verilmiştir.
Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) aylık bazda yazarsanız, dönem sayısını
da (n) aylık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.

Bu soru için “r” yerine 0.015 (%1.5) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki
“r” yi aylık bazda yazarsak n değerine 9 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki
paramızı 9 ay işletmiş gibi oluruz. O zaman 9 haftayı aya çevireceğiz. 9 hafta = 9/4
aydır. Çünkü 4 hafta 1 ay yapıyorsa 9 hafta 9/4= 2.25 hafta yapmaktadır. Şimdi soruyu
çözelim;

Burada G = ?          A= 100 TL             r=0.015               n=9/4 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9/4 = 103.41 TL olarak bulunacaktır.



                                                                                             6
Burada [(1+0.005)9/4=1.03406] olarak hesaplanır. Yani 1.015’in dokuzuncu 2.25nci
kuvvetini alıyoruz.

ÖRNEK:

Yıllık bazda yüzde 30 faiz getirisi alan birinin acaba 100 lirası 19 ay sonra sonra
ne kadar olur? (Not: 1 yıl 12 aydır ve kırık vade getiri mümkündür. Yani bir yıl
dolmadan paramızı çektiğimizde o ana kadar işlemiş aylık faizi de alacağız)

Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da             diyebilirsiniz) yıllık bazda
verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre aylık bazda verilmiştir.
Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) yıllık bazda yazarsanız, dönem sayısını
da (n) yıllık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.

Bu soru için “r” yerine 0.30 (%30) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki
“r” yi aylık bazda yazarsak n değerini 19 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki
paramızı 19 yıl işletmiş gibi sonuç buluruz. O zaman 19 ayı yıla       çevireceğiz. 19 ay =
19/12 yıldır. Çünkü 1 yıl 12 ay yapıyorsa 19 ay 19/12= 1.583      yıla eşit olmaktadır. Şimdi
soruyu çözelim;

Burada G = ?          A= 100 TL            r=0.3          n=19/12 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.3)19/12 = 151.49 TL olarak bulunacaktır.

Burada [(1+0.005)9/4=1.5833] olarak hesaplanır. Yani 1.3’ün 1.583’ncü kuvvetini
alıyoruz.

ÖRNEK:

Bir yatırımcı 100 TL'sini yıllık basit % 40 ödeyen bir bankanın üç aylık mevduat
hesabına iki yıl süreyle yatırırsa, ikinci yılın sonunda hesabındaki parası ne olur?
Başka bir deyişle, bu 100 TL'nin ikinci yıl sonundaki gelecek değeri nedir?

Eğer banka yıllık basit faiz ödüyorsa, biz üç      aylık döneme tekabül eden faiz oarnını
bulmalıyız. Dikkat ediniz faiz oranı yıllık bazda verilmiş, üçer aylık dönemde faiz işleyecek
ve süre 2 yıldır. Burada önemli olan nokta üç ayda bir faiz ödenmesidir. Eğer yıllık yüzde
40 faiz üzerinden parası 2 yıl sonra ne olur diye sorsaydık, cevap basitti, fakat yıllık
yüzde 40 üzerinden üç ayda bir faiz işletilerek 2 yıl sonra parası ne olur diye soruyorsak
“r” ve “n” doğru hesaplanmalıdır. Yılık faiz 0.40 ise bunu 4’e böleceğiz, çünkü 1 yıl iinde
4 tane üçer aylık dönem var. “n” değeri ise 8 olacak çünkü 2 yıl içinde 8 tane üç ay var
(24/3=8)

                  0 .4 8
G = 100 * (1 +        ) = 100 *(1+0.1)8 = 214.35 TL olarak bulunacaktır.
                   4




                                                                                           7
C. Basit ve bileşik faiz kavramları

Ne zaman basit faizden bahsederiz? Ne zaman bileşik faizden veya getiriden bahsediyor
oluruz? Basit faizden hareketle bileşik getiriyi nasıl buluruz veya bileşik getiriden basit
getiriyi ya da faizi nasıl elde ederiz?

Yine havalarda uçmaya gerek yok. Öğrendiğimiz tek formül bu soruya da cevap olacaktır.
Bu formül daha önce öğrendiğiniz gelecekteki değer formülüdür. Bu formülü tekrar
yazalım;


                                  G = A * (1 + r)n
Bu formülü şöyle ifade edebiliriz;

                           Gelecekteki değer = Anapara + Faiz

şeklindedir. Dolayısıyla gelecekteki değer’den eğer anapara’yı çıkartırsak geriye
faiz kalır;

              Faiz = geleceketeki değer(G) – Anapara (A)

                                          Faiz = G-A

                                 Faiz = A*(1+r)n- A

Eğer Anapara’nın 1 lira olduğunu varsayarsak Formül Şu
                                  şekilde olacaktır;

                                     Faiz = (1+r)n-1

Bu formül basit faizden hareektle bileşik faizi, ya da bileşik faizden hareketle basit faizi
bulmamıza yarayan formüldür. Her iki durumda da bu formülü kullanacağız. Fakat aslında
bu yeni bir formül değil. lk ürettiğimiz formülden sadece anaparayı çıkardık.

ÖRNEK: Aylık yüzde 2 kazanan birinin yıllık bileşik getirisi nedir?

Burada r =%2      n= 12     Çünkü “r”yi aylık ifade edersek n’yi de aylık bazda yazmamız
gerekiyor; Bunları formülde yerine koyarsak;

                         Bileşik getiri = (1+0.02)12-1= %26.82

ÖRNEK: Parasını aylık olarak mevduat yapan birinin yıllık bileşik getirisi yüzde 36
olmuştur. Bu kişinin aylık basit getirisi ne olmuştur?

Burada r=%36 n=1/12 çünkü “r”yi yıllık bazda ifade ettik ve n değerini de yıllık bazda
ifade etmemiz gerekiyor. Bir bakıma 1 ay = 1/12 yıl’dır



                                                                                          8
Basit Getiri = (1+0.36)1/12-1= % 2.6

D KKAT! Şimdi basitten bileşik faize mi yoksa bileşik faizden basiti mi hesapladığınızdan
emin olmak için n değerine bakacaksınız.

N < 1 ise bileşik faizden (getiriden) basit faizi (getiriyi) hesaplamış olursunuz.

 N > 1 ise basit faizden (getiriden) bileşik faizi (getiriyi) elde etmiş olursunuz.

         N = 1 ise bileşik faiz (getiri) ve basit faiz (getiri) birbirine eşittir.

ÖRNEK: Haftalık repo yapan biri 1 yıllık sürfe içinde yüzde 42 getiri elde etmiştir. Bu
kişinin haftalık (basit) getirisi ne olmuştur (Not: 1 yıl 52 haftadır)

Burada r=%42 (yıllık)        n= 1/52    dir.

                            Basit Getiri = (1+0.42)1/52-1= % 0.68

ÖRNEK:

Vadesine 3 ay kala 100 lira nominal değerli bir bonoyu 90 liradan alan yatırımcının yıllık
bileşik getirisi ne olur?

Vadesine 3 ay kalmıştır ve bureada önce 3 ayda sağlayacağı getiriyi bulalım. Şu an 90
liraya almıştır ve 3 ayda 10 lira kazanacaktır. Bu durumda üç aylık getiri 10/90=%11.11
olarak bulunacaktır. Eğer üç ayda %11.11 getiri sağlarsa yıllık bileşik getirisi ne olur?

Burada r=%11.11        ve n= 12/3=4 şeklindedir. Çünkü bir yılın içinde 4 tane 3 ay vardır.

                              Getiri = (1+0.1111)4-1= % 52.41

olarak bulunacaktır.

                       1    
A = 20.995.200 *           4
                               = 20.995.200 * 0,095260 = 2.000.000
                  (1 + 0.8) 

D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler

Mağazaya girdiniz ve dünya kupasını keyifle izlemek için büyük ekran bir televizyon
almak    istiyorsunuz.      Fakat   peşin      olarak    satın     alabilecek   durumda   değilsiniz.
Taksitlendirme     yapılmasını      istiyorsunuz.       Her   ay     eşit   ödeme   yapabileceğinizi
belirtiyorsunuz. Elbetteki şu anki peşin fiyatını eşit taksitlere bölerek size bir rakam
çıkarmıyorlar. Çünkü üç ay sonra sizden alacakları 100 milyon Tl şu an için aynı değeri
ifade etmiyor. Dolayısıyla vade farkı ekleyerek, yani belirli bir faiz üzerinden hesaplama
yapılırak toplam ödemeniz gereken rakama ulaşılıyor.

Bu şekilde, belli bir süre için, her dönem sabit bir tutardan oluşan ödeme ya da nakit
akım serisine dönemsel eşit ödemeler veya anuite adı verilir. Önümüzdeki n dönem
boyunca her dönem sonunda 1000 TL               kadar yapılacak olan bir dönemsel eşit ödeme


                                                                                                   9
serisi aşağıdaki zaman çizgisi üzerinde gösterilmiştir. Anuite, yukarıda bahsedile sabit
taksit ödemeli borçtur. Fakat burada biraz daha geniş bir şekilde konuyu ele alacağız.



                                       0. AY              1. AY                       2. AY                  3. AY
                                     (Peşinat)           1000 TL                     1000 TL                1000 TL




Dönemsel eşit ödemelerin de şimdiki değerini ve gelecekteki değerini hesaplamamız
mümkündür. Bu nakit akımlarının gelecekteki değerini hesaplarken yapılması gereken,
her nakit akışının beklenen faiz oranı ile gelecekteki değerinin, bindirgenmiş faiz formülü
ile hesaplanması ve tüm değerlerin toplanmasından ibarettir. Bu mantık çerçevesinde
Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri aşağıdaki formüle eşittir (D KKAT! Bu
formülün pay kısmı size yukarıda gösterilen “bileşik faiz” formülüdür. Bileşik
faiz                 formülünü               “r”ye             böldüğünüzde                         annuitelerin                      gelecekteki                   değerini
buluyorsunuz. )


                                                         
                                                 G ≡ C × 
                                                                                      [(1 +             r ) − 1 
                                                                                                           n

                                                                                                                
                                                                                                                                 ]
                                                                                                        r      
G=Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri

C=Dönemsel eşit ödemeler

r=Dönem faiz oranı (iskonto oranı veya faiz beklentisi)

n=Dönem sayısı

Yukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin
                         }
gelecekteki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloya Anuite tablosu adı veriliyor.
Çeşitli n ve r değişkenleri için hesaplanan bilgiler bulunmaktadır.
                                                                                                  Dönem Sayısı ( n )
                                 1               2         3          4          5          6           7            8           9           10           11           12           13
                       5   1.00000         2.05000   3.15250    4.31013    5.52563    6.80191     8.14201    9.54911      11.02656     12.57789     14.20679     15.91713     17.71298
                      10   1.00000         2.10000   3.31000    4.64100    6.10510    7.71561     9.48717   11.43589      13.57948     15.93742     18.53117     21.38428     24.52271
                      15   1.00000         2.15000   3.47250    4.99338    6.74238    8.75374    11.06680   13.72682      16.78584     20.30372     24.34928     29.00167     34.35192
                      20   1.00000         2.20000   3.64000    5.36800    7.44160    9.92992    12.91590   16.49908      20.79890     25.95868     32.15042     39.58050     48.49660
                      25   1.00000         2.25000   3.81250    5.76563    8.20703   11.25879    15.07349   19.84186      25.80232     33.25290     42.56613     54.20766     68.75958
                      30   1.00000         2.30000   3.99000    6.18700    9.04310   12.75603    17.58284   23.85769      32.01500     42.61950     56.40535     74.32695     97.62504
                      35   1.00000         2.35000   4.17250    6.63288    9.95438   14.43841    20.49186   28.66401      39.69641     54.59016     74.69672    101.84057    138.48476
                      40   1.00000         2.40000   4.36000    7.10400   10.94560   16.32384    23.85338   34.39473      49.15262     69.81366     98.73913    139.23478    195.92869
  Faiz Oranı ( r )




                      45   1.00000         2.45000   4.55250    7.60113   12.02163   18.43137    27.72548   41.20195      60.74282     89.07709    130.16178    189.73458    276.11515
                      50   1.00000         2.50000   4.75000    8.12500   13.18750   20.78125    32.17188   49.25781      74.88672    113.33008    170.99512    257.49268    387.23901
                      55   1.00000         2.55000   4.95250    8.67638   14.44838   23.39499    37.26224   58.75647      92.07252    143.71241    223.75423    347.81906    540.11955
                      60   1.00000         2.60000   5.16000    9.25600   15.80960   26.29536    43.07258   69.91612     112.86579    181.58527    291.53643    467.45829    748.93327
                      65   1.00000         2.65000   5.37250    9.86463   17.27663   29.50644    49.68563   82.98129     137.91912    228.56655    378.13481    624.92244   1032.12203
                      70   1.00000         2.70000   5.59000   10.50300   18.85510   33.05367    57.19124   98.22511     167.98268    286.57056    488.16995    830.88891   1413.51115
                      75   1.00000         2.75000   5.81250   11.17188   20.55078   36.96387    65.68677 115.95184      203.91573    357.85252    627.24191   1098.67334   1923.67835
                      80   1.00000         2.80000   6.04000   11.87200   22.36960   41.26528    75.27750 136.49951      246.69911    445.05840    802.10513   1444.78923   2601.62061
                      85   1.00000         2.85000   6.27250   12.60413   24.31763   45.98762    86.07709 160.24262      297.44885    551.28037   1020.86869   1889.60708   3496.77310
                      90   1.00000         2.90000   6.51000   13.36900   26.40110   51.16209    98.20797 187.59514      357.43078    680.11847   1293.22510   2458.12769   4671.44261
                      95   1.00000         2.95000   6.75250   14.16738   28.62638   56.82144   111.80181 219.01354      428.07640    835.74898   1630.71051   3180.88550   6203.72672
                     100   1.00000         3.00000   7.00000   15.00000   31.00000   63.00000   127.00000 255.00000      511.00000   1023.00000   2047.00000   4095.00000   8191.00000



Örneğin; Dolar hesabınıza Aylık %1 faiz ödeyen bir bankaya önümüzdeki 5 yıl boyunca
her ay sonunda 20 dolar yatırırsak, 5. yıl bitiminde hesapta ne kadar para olur?




                                                                                                                                                                                  10
[
                                                  (1 + 0 . 01 )60 − 1 
                                        G ≡ 20 * 
                                                                                      ]
                                                                        = 20 * 81 . 67 = 1633 .4 $
                                                        0 . 01        

Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değerleri de hesaplanabilir. Her bir eşit ödemenin
ıskonto faiz oranıyla bugüne indirgenmiş değerlerinin toplamı o serinin bugünkü değer
toplamını verecektir. Bu mantık çerçevesinde aşağıda belirtilen formül dönemsel eşit
ödemelerin şimdiki değerini verir.

                                                                
                                                        D ≡ C × 
                                                                                [(1 +     r ) − 1 
                                                                                             n

                                                                                                  
                                                                                                                  ]
                                                                                               n
                                                                                     r( + r )
                                                                                        1         

D=Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değeri

C=Dönemsel eşit ödemeler

r=Dönem faiz oranı (Ya da piyasa faiz beklentisi)

n=Dönem sayısı

Yukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin
                         }
şimdiki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloda                                                              çeşitli n ve r değişkenleri için
hesaplanan bilgiler bulunmaktadır.
                                                                                             Dönem Sayısı ( n )
                                1         2         3         4         5         6             7           8           9        10        11        12        13
                      5   0.95238   1.85941   2.72325   3.54595   4.32948   5.07569       5.78637   6.46321       7.10782   7.72173   8.30641   8.86325   9.39357
                     10   0.90909   1.73554   2.48685   3.16987   3.79079   4.35526       4.86842   5.33493       5.75902   6.14457   6.49506   6.81369   7.10336
                     15   0.86957   1.62571   2.28323   2.85498   3.35216   3.78448       4.16042   4.48732       4.77158   5.01877   5.23371   5.42062   5.58315
                     20   0.83333   1.52778   2.10648   2.58873   2.99061   3.32551       3.60459   3.83716       4.03097   4.19247   4.32706   4.43922   4.53268
                     25   0.80000   1.44000   1.95200   2.36160   2.68928   2.95142       3.16114   3.32891       3.46313   3.57050   3.65640   3.72512   3.78010
                     30   0.76923   1.36095   1.81611   2.16624   2.43557   2.64275       2.80211   2.92470       3.01900   3.09154   3.14734   3.19026   3.22328
                     35   0.74074   1.28944   1.69588   1.99695   2.21996   2.38516       2.50752   2.59817       2.66531   2.71504   2.75188   2.77917   2.79939
                     40   0.71429   1.22449   1.58892   1.84923   2.03516   2.16797       2.26284   2.33060       2.37900   2.41357   2.43826   2.45590   2.46850
 Faiz Oranı ( r )




                     45   0.68966   1.16528   1.49330   1.71951   1.87553   1.98312       2.05733   2.10850       2.14379   2.16813   2.18492   2.19650   2.20448
                     50   0.66667   1.11111   1.40741   1.60494   1.73663   1.82442       1.88294   1.92196       1.94798   1.96532   1.97688   1.98459   1.98972
                     55   0.64516   1.06139   1.32993   1.50318   1.61496   1.68707       1.73359   1.76361       1.78297   1.79547   1.80353   1.80873   1.81208
                     60   0.62500   1.01563   1.25977   1.41235   1.50772   1.56733       1.60458   1.62786       1.64241   1.65151   1.65719   1.66075   1.66297
                     65   0.60606   0.97337   1.19598   1.33090   1.41267   1.46222       1.49226   1.51046       1.52149   1.52818   1.53223   1.53468   1.53617
                     70   0.58824   0.93426   1.13780   1.25753   1.32796   1.36939       1.39376   1.40809       1.41652   1.42149   1.42440   1.42612   1.42713
                     75   0.57143   0.89796   1.08455   1.19117   1.25210   1.28691       1.30681   1.31818       1.32467   1.32838   1.33051   1.33172   1.33241
                     80   0.55556   0.86420   1.03567   1.13093   1.18385   1.21325       1.22958   1.23866       1.24370   1.24650   1.24806   1.24892   1.24940
                     85   0.54054   0.83272   0.99066   1.07603   1.12218   1.14712       1.16061   1.16790       1.17184   1.17397   1.17512   1.17574   1.17607
                     90   0.52632   0.80332   0.94912   1.02585   1.06624   1.08749       1.09868   1.10457       1.10767   1.10930   1.11016   1.11061   1.11085
                     95   0.51282   0.77581   0.91067   0.97983   1.01530   1.03349       1.04281   1.04760       1.05005   1.05131   1.05195   1.05228   1.05245
                    100   0.50000   0.75000   0.87500   0.93750   0.96875   0.98438       0.99219   0.99609       0.99805   0.99902   0.99951   0.99976   0.99988



Örnek Soru :Beyaz eşya satan bir işletmede yeni bir kampanya başlamış bulunuyor. Bu
kampanyada bir televizyon almak istiyorsunuz ve önünüze iki ayrı seçenek konuyor.

- 12 ay boyunca, aylık 50 milyon Tl eşit taksit ödeme veya;

- Peşin olarak 500 milyon Tl ödemek.

Eğer                aylık banka faiz oranı %5 ise ve yıl sonuna kadar bu şekilde devam edeceğini
düşünüyorsanız, rasyonel bir tüketici olarak hangi seçeneği seçerdiniz?

                                    [
                  (1 + 0.05 )12 − 1 
D = 50,000,000 × 
                                                              ]
                                     12 
                                          = 50,000,000 * 8.8632 = 443,162,582
                  0.05 * (1 + 0.05 ) 

Bu şartlar altında bir karşılaştırma yapacak olursak; şu an 500 milyon ödemek mi daha
iyidir? Yoksa gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin bugünkü (şimdiki değeri) 443.2 milyon


                                                                                                                                                           11
tutuyorsa, taksitle mi ödemek iyidir? Dolayısıyla cevap taksitli ödeme seçeneğinin
seçilmesi olmalıdır.

Anüite, belli bir zaman dönemi boyunca yapılan eşit ödeme ya da tahsilatlar dizisidir. bir
anüitenin     gelecek   değeri,   eşit   ödemelerin      büyümesini    olanaklı    kılan    bileşik    faiz
uygulamasıyla     bulunur.   Annüiteler,    ödemelerin        dönem    başı   ya   da      dönem      sonu
yapılmasına göre olağan ve peşin olmak üzere ikiye ayrılır. Ayrıca ödemelerin belli dönem
sonra başlayacağı bir anüite türü daha olup, bu anüite, ertelenmiş annüite olarak
adlandırılır. Burada yalnızca olağan anüiteleri ve sürekli ele alacağız:

Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönem
sonunda alınan 1 TL, iki dönem faiz kazanmaktadır, bu nedenle üçüncü dönem 1.2360
TL'ye ulaşmaktadır. kinci dönem sonunda alınan 1 TL, 1.060 TL'ye ulaşmaktadır. Üçüncü
dönem sonunda alınan 1 TL'nin dönem sonu değeri yine 1 TL olmaktadır. Toplam anüite,
üçüncü dönemin sonunda 3.18360 TL'ya ulaşmaktadır. Bu rakam; r % 6'dan, n üç dönem
için gelecek değer anüite faktörü (GDAF       i,n),   olarak adlandırılır. Anüitelerin gelecek değeri
formülünü tekrar yazalım.




                        SG
                                        
                                  ≡ C × 
                                                 [(1 +       r ) − 1 
                                                                n

                                                                     
                                                                          ]
                                                             r      
Burada, C, annüite tutarını (dönemsel ödemeleri), [(1+r)n-1]/i ise, r faiz oranı üzerinde n
dönemi için     gelecek değer anüite faktörü'nü (GDAFi,n) temsil etmektedir. Formüldeki
değişkenler yerine ilgili değerler konursa, 3.18360 TL'ye ulaşılır.

Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl
sonunda 5 milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta ne kadar para olur ?


                       [(1 + 0.50)3 - 1]
       GA = 5,000,000 —————————
                            0.50
               5,000,000 * 4.75 = 23,750,000 TL.

Ayrıca, artan oranlı (a) anüitelerde hesaplama yapmak için faiz oranı (ra) şöyle
hesaplanır:



ra = ((1+r)/(1+a))-1



Yukarıdaki denklemin matematik değeri, faiz oranı (r) yerine (ra) konarak anüitelerin
gelecek ve şimdiki değeri bulunur.



                                                                                                        12
Bir Anüitenin Şimdiki Değeri. Tahvil ve benzeri araçlardan elde edilen faiz, anüiteleri
oluşturur. Bu tür finansal araçları karşılaştırmak için, bu anüitelerin şimdiki değerlerini
bilmemiz gerekir.




     Zaman               0                 1                   2                     3


                                          1                   1                     1

                                ÷1.06
              0.9434
                                                  ÷1.062
              0.8900
                                                                           ÷1.063
              0.839
  PVA3 = 2.67302




                                                                                         13
Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönemin
sonunda elde edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL, ikinci dönem sonunda elde
edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.89000 TL ve üçüncü dönem sonunda elde edilecek 1
TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL'ye ulaşmaktadır.Tüm anüiteleri şimdiki değeri ise
2.67302 TL olmaktadır. Buradan anüitelerin şimdiki değeri ise şöyle bulunacaktır:

                                       
                               D ≡ C × 
                                              [(1 + r ) − 1 
                                                       n

                                                            
                                                                ]
                                                         n
                                               r( + r )
                                                  1         


Burada, A, anüitelerin herbirini, [(1+r)n-1]/(r(1+r)n) ise, şimdiki değer anüite faktörünü,
(ŞDAFi,n), temsil etmektedir.       Formüldeki değişkenlerin yerine ilgili değerler konursa,
2.67302 TL'ya ulaşılır.



Dönem Sayısı. Burada, belli bir faiz kazanan ve dönem sonunda gerçekleşen olağan
anüitelerin    istenen    gelecek   değere    ulaşması   için   gerekli    olan   dönem       sayısı
hesaplanmaktadır. Dönem sayısı şöyle hesaplanır:


            Ln(1+((G*r)/A))
        n = ———————
              Ln(1+r)

Örneğin yıllık % 50 faiz veren mevduat hesabına her yıl sonunda 5 milyon TL yatırılırsa,
hesabın 23,750, 000 TL’ye ulaşması için kaç dönem geçmelidir?



              Ln(1+((23.75*0.5)/5))
        n =    ———————              = 3 yıl
                  Ln(1.5)


Faiz Oranı.         Burada, dönem sonunda gerçekleşen olağan anüiteleri istenen şimdiki

değere eşitleyen iskonto (faiz) oranı hesaplanmaktadır. Bu amaçla anüiteler değişik faiz
oranları   üzerinden     iskontolanarak   şimdiki   değere   eşitlenmeye    çalışılır.   Bu   sureç
anüitelerin peşin değerini iskontolanan anüitelere eşitleyinceye kadar sürdürülür. Buluna
faiz oranı iç verim oranı olarak adlandırılır. Konu bölümün sonlarında ayrıntılı olarak
tartışılmaktadır.

Anüite Tutarı.           Anüitelerin gelecek değeri formülünden yararlanarak anüite tutarına

ilişkin formül geliştirebiliriz:




                                                                                                 14
[(1+r)n - 1]
       GA = A —————
                   r
Buradan,


              [(1+r)n - 1]
       A= GA / —————
                   r
Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl
sonunda kaç milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta 23,750,000 TL olur?



           [(1.5)n - 1]
A= 23.75 / ————— = 5 milyon TL
              0.5


E. Borcun tfası


Pek çok kredi aylık, üç aylık ya da yıllı dönemler itibariyle geri ödenir. Herbir dönemsel
ödeme, ödenmemiş anapara kalanı üzerinden yürütülen faiz ile anaparakalanından
düşülen bir indirimden oluşur. Ödemeler dönembaşı ya da dönem sonu olabilir. Burada
yalnızca dönemsonu ödemeler ele alınacaktır.

Dönemsonu ödemeleri belirlemek için anüitelerin şimdiki değeri yaklaşımı kullanılır.
Kredinin şimdiki değeri kendisine eşittir. Anüitenin I faiz oranı üzerinden n dönem için
şimdiki değer anüite faktörü bulunur., bu faktör verilen –krediye bölünür. Çıkan rakam
dönemsel ödemeyi gösterir. Bu tartışmaları formülle ifade etmek gerekirse:


              [(1+r)n-1]
       D = C ——————                bilindiğine göre,
                 r(1+r)n

               r(1+r)n
       C = D (—————— ) olacaktır.
              [(1+r)n-1]

Payda, 1 TL’lik anüitenin şimdiki değer faiz faktörü (ŞDFFi,n) olup, tablodan formüle
yerleştirilirse; dönemsel ödeme tutarı olan C kolayca hesaplanır. Ödemenin faiz bölümü
ise önceki dönemin anapara kalanına kullanılan faiz oranı uygulanmak suretiyle kolayca
bulunur.




                                                                                       15
Örneğin, tüketici kredilereine aylık % 7.77 (yıllık % 93.24) uygulayan A Bankası’ndan 15
milyon kredi alan tüketici borcunu 12 eşit taksitle öderse, aylık taksit tutarı ne olur?


                           15
        C=        ——————             = 1,966,770
                          -12
               [1-(1.0777) ] /0.0777

lgili itfa tablosu aşağıda sunulmaktadır:

Tablo 1: tfa Tablosu

                               Ödenen
Dönem         Ödenen Faiz      Anapara      Kalan Anapara
                                               15,000,000
   1            1,165,500      801,270         14,198,730
   2            1,103,241      863,529         13,335,201
   3            1,036,145      930,625         12,404,575
   4              963,836     1,002,935        11,401,641
   5              885,907     1,080,863        10,320,778
   6              801,924     1,164,846         9,155,932
   7              711,416     1,255,354         7,900,578
   8              613,875     1,352,895         6,547,682
   9              508,755     1,458,015         5,089,667
  10              395,467     1,571,303         3,518,364
  11              273,377     1,693,393         1,824,970
  12              141,800     1,824,970                0


tfa tablosu hesaplamalarında belli bir süre sonra ödeme başlıyorsa, önce borcun
ödemenenin başladığı dönemin başındaki gelecek değeri bulunur, daha sonra bu değer
yeni borç tutarı kabul edilir ve bu tutar üzerinden itfa tablosu oluşturulur.



Örneğin, 6,500,000 TL tutarında ve faiz oranı 0.115 olan bir borç 10 eşit taksitte dönem
sonlarında ödenecektir. lk ödeme 4. yılın sonunda başlayacaktır. Dönemsel ödemelerin
tutarı ne olacaktır? Önce bu borcun üçüncü dönem sonundaki gelecek değeri bulunur.
Bulunan bu değer yeni borç tutarı olarak algılanır. Bu borç tutarı üzerinden dönemsel
taksitler hesaplanır. 6,500,000 TL'in üçüncü yılın sonundaki gelecek değeri şöyle
olacaktır:


        G = A (1+r)n
             = 6,500,000(1.115)3 = 9,010,273 TL




                                                                                           16
Dönemsel ödeme tutarı da şöyle bulunacaktır:


               r(1+r)n
       C = D (—————— ) olacaktır.
              [(1+r)n-1]

       C = 1,562,176 TL

F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı


Proje değerlemede çeşitli yaklaşımlar vardır: Net şimdiki değer (NŞD), iç verim oranı
( VO) gibi.

Net Şimdiki Değer.                Net Şimdiki değer, yararların şimdiki                   değeri ile projenin

maliyetlerinin şimdiki değeri arasındaki farktır. Nakit akımlarını (yarar ve maliyetleri)
indirgemek için sermaye maliyeti kullanılır. Pozitif bir şimdiki değere sahip bir proje,
işletme değerine katkıda bulunacağı için kabul edilmelidir. Negatif bir NŞD'e sahip bir
proje ise reddedilmelidir.



Dönem sonlarında gerçekleşen n tane nakit akımına sahip bir yatırımın                           şimdiki değeri
(fiyatı) NA0, k, uygun iskonto oranı ve NAi'ler de dönemsel nakit akımları olsun.

                        NA1             NA2                       NAn
     NŞD =    NAo +           1
                                  +              2
                                                     + .... +
                      (1 + k )        (1 + k )                  (1 + k )n


Bu denklem, gelecekteki getirileri (NAi) firmanın finansman giderleri (sermaye maliyeti)
üzerinden iskontolayarak, gelecekteki getirilerin toplamını bugünün lirası karşılığına
dönüştürür.

Örneğin bir yatırımı sırasıyla her yılı sonunda 200, 300 ve 400 milyar TL getirdiğini, bu
yatırıma başlangıçta 500 milyar TL bağlandığını                             ve iskonto oranının % 13 olduğunu
varsayalım. Bu yatırımın nakit akımlarının şimdiki değeri şöyle olacaktır:


           200        300      400
    ŞD = ——— + ———— + ———— = 689.16 milyar TL
        (1+0.13)1 ( 1+0.13)2 (1+0.13)2

Bu yatırımı net şimdiki değerini şöyle hesaplarız:


       NŞD = 689.16 - 500 = 189.16 milyar TL


                                                                                                           17
Paydaşlar üçüncü yıl sonu itibariyle elde ettiği nakit akımlarının gelecek değeri (GD) ise
şöyle hesaplanır:


        GD = 200(1+0.13)2 + 200(1+0.13)1 + 400
               = 255.38 + 399 + 400 = 994.38

Başlangıçta yatırılan 500 milyar TL’nin gelecek değeri ise şöyle olacaktır:


        GD = 500(1+0.13)3 = 721.45 milyar TL

Bu hesaplamalardan paydaşları üçüncü yıl sonu itibariyle kârı (K) şöyle olacaktır:


        K = 994.38 - 721.45 = 272.93 milyar TL

Bu kârı yatırımı yapıldığı dönemdeki değere (NŞD) şöyle dönüştürebiliriz:


             272.93    272.93
        NŞD = ———— = ——— = 189.16 milyar TL
             (1+0.13)3 1.4429

Tartışmaları Tablo 3’de olduğu gibi özetleyebiliriz:


Tablo : Net Şimdiki Değer Yöntemi


       Sermaye               Finansman
Yıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan

 1      500.00   200.00     65.00                  135.00
 2      365.00   300.00     47.45                  252.55
 3      112.45   400.00     14.62                  385.38
             0 + 272.93 kâr



Bu yatırım 3. yıl sonunda paydaşlara 272.93 milyar TL                 kâr bırakmıştır. Bu kârı 0.
dönemdeki değeri daha önce tartışıldığı gibi 189.16 milyar TL düzeyindedir. Finansman
giderlerinin sermaye harcamalarının kalanı üzerinden hesaplandığını hemen belirtelim. Bu
proje paydaş servetini arttırdığı için üstlenilmelidir.

 ç Verim Oranı.              ç verim oranı, projenin yarar ve maliyetlerini biribirine eşitleyen

iskonto oranıdır. Başka bir deyişle, projenin NŞD'ini sıfır yapan iskonto oranıdır.          lgili
formül şöyledir:



           NA1                NA2                     NAn
NAo +                  +                 + ... +                 =0
        (1 +    VO )
                   1
                           (1 +   VO )
                                     2
                                                   (1 +   VO )
                                                             n




                                                                                              18
Projenin    VO'ı sermayenin maliyetinden yüksekse, işletmenin değeri artacak olup, bu
proje üstlenilmelidir. IVO, sermaye maliyetine eşit ise, yine proje üstlenilmelidir. VO,
sermayenin maliyetinden düşükse proje reddedilmelidir.

Bu yöntem bir örnekle şöyle açıklanabilir: 200 milyar TL'lik bir yatırımın birinci ve ikinci
yıllarda 90 milyar TL ve üçüncü yıl 81.4 milyar TL getirdiğini varsayalım. Kullanılan
iskonto oranı % 10 olsun. Bu verileri bir tablo ile özetleyelim:



Tablo :     ç Verim Oranı Yöntemi


       Sermaye                   Finansman
Yıllar Harcamaları Getiriler   - Giderleri = Kalan
1       200        80.0          20.0        60
2       140        80.0          14.0        66
3        74        81.4          7.4         74
          0   +     0.0 kâr



Bu örnekte görüldüğü gibi, proje ne kârlı ne de zararlıdır. Yatırım kendini itfa ettiği gibi,
fon sağlayanlara % 10'luk bir getiri sağlamıştır. Bu durumda projenin ancak % 10'luk bir
finansman giderlerine eşit bir verim sağladığı söylenebilir.               şte bu % 10 iç verim
oranından başka bir şey değildir.

G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity)

Faiz oranlarını hesaplamanın birçok yolu vardır ve en önemli olanlardan biri de vadeye
kadar verim (yield to maturity) olarak adlandırılan yöntemdir. Buna gore hesaplanacak
olan faiz oranı; borç enstrümanının bugünkü değerini, bu borç enstrümanı tarafından
gelecekte    yapılacak     ödemelerin        bugünkü     değerine   eşitleyen   faiz   oranı   olacaktır.
Ekonomistler, en doğru ölçülmüş faiz oranı olarak bu faiz oranını dikkate alırlar. Şimdi,
vadeye kadar verim oranını sizlere daha once verdiğimiz 4 tür borç aracı için
hesaplamaya çalışalım. Hesaplamaların kolay                 ve basit olması amacıyla dolar bazında
örnekler vereceğiz.

    •   Basit Ödünç Verme               şlemi: 100 dolar ödünç veren birinin eline eğer vade
        sonunda 110 dolar gegeçiyorsa bu durumda bugünkü 100 doları 1 yıl sonra 110
        dolara eşitleyecek faiz oranı vadeye kadar olan verimi verecektir. Yani aşağıdaki
        şekilde bir hesaplama yapacağız;

                                                        110
                                               100 =
                                                       (1 + i )

dolayısıyla bu denklemden “i” faiz oranını denklemin sol tarafına çekecek ve gerekli
sadeleştirmeleri yapacak olursak aşağıdaki şekilde çözüme ulaşırız.


                                                                                                      19
110 − 100    10
                              i=             =     = 0 . 10 = % 10
                                      100      100

NOT: Basit ödünç verme işlemlerinde basit faiz oranı vadeye kadar olan verime
eşit olur. Yani eğer bankaya paranızı bir yıllığına yıllık %50 basit faizle
yatırıyorsanız, sizin vadeye kadaki veriminiz %50’dir.

   •   Sabit Taksit Ödemeli Borç: Hatırlayacağınız üzere, burada borcun eşit taksitlere
       bölünmüş     şekilde     ödenmesi      sözkonusuydu.               Örneğin,       bir   banka   şubesi,
       kendisinden araba kredisi isteyen bir müşterisi için galeriye 5 bin dolar ödeme
       yapıyor. Müşterisine de 3 yıl vadeli kredi açarak her yıl                       2000 dolar ödemesini
       istiyor. Bu durumda banka için vadeye kadar verimi hesaplayalım. Bir başka
       deyişle tüketicinin kullandığı kredinin yıllık faiz maliyetini bulalım. Daha önce de
       belirttiğimiz gibi; bugün bankanın yaptığı ödemeyi, gelecekte ödeyeceğimiz
       taksitlerin toplam değerine eşitleyen faiz oranı,                   vadeye kadar olan verimdir.
       Formül ile gösterirsek;

                                       2000           2000               2000
                          5 000 =                +              2
                                                                    +              3
                                      (1 + i )       (1 + i )           (1 + i )
       Yukarıdaki formülde bu eşitliği sağlayan “i” değeri vadeye kadar olan verim
       oranıdır. Eğer bu eşitliği çözersek i=0.097 olarak bulunur. Dolayısıyla banka için
       yıllık vadeye kadar olan verim oranı %9.7 olarak bulunmuştur. Bir başka açıdan da
       Arabanın bize yıllık maliyet oranıdır. Banka açısından vadeye kadar olan verim,
       bizim için gerçekçi maliyettir.

   •   Kuponlu Tahvillerde Vadeye Kadar Verim: Aslında kupon ödemeli tahvillerde
       de yukarıda sabit taksit ödemeli borç durumundaki yöntem izlenir. Tahvilin
       bugünkü değerini, ileride tahvil’den elde edilecek nakit akışının tümünün şimdiki
       değerine eşitleyen faiz oranı vadeye kadar olan verimi gösterecektir. Eğer bir
       yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar
       ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi)
       alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Gerçek piyasa faiz oranı
       bu yolla hesaplanan vadeye kadar verim oranıdır. Etkin bir tahvil piyasasında
       vadeye kadar verim o risk sınıfı için piyasa faiz oranıdır. Vadeye kadar verimin
       yorumunu şöyle yapabiliriz. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın
       alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon
       faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye
       kadar verimdir. Vadeye kadar verimin gerçeğe dönüşmesi , yani elde edilen getiri
       ile aynı olması için bir takım koşulların sağlanması gerekmektedir. Bu koşulları
       şöyle sıralayabiliriz.



                                                                                                           20
Tahvil vade bitimine kadar elde tutulmalıdır. Vadeden önce satıldığı takdirde
piyasa koşullarına bağlı olarak satış fiyatının durumuna göre elde edilecek getiri
vadeye kadar verimden farklı olabilir.

Tüm kupon faiz ve anapara geri ödemelerin zamanında ve eksiksiz olarak
yapılması gerekmektedir. Aksi halde gerçekleşen getiri vadeye kadar verimin
altında kalır.

Vadeden önce itfası söz konusu olmamalıdır.

Yatırımcı tarafından tahsil edilen kupon faiz ödemeleri vadeye kadar eşit verime
eşit bir faiz oranından yeniden yatırıma dönüşmelidir. Yatırımcı elde ettiği kupon
gelirlerini harcamadan yatırıma yöneltmeli , üstelik bu yeni yatırımdan sağlayacağı
getiri tahvilin vadeye kadar verimine eşit olmalıdır. Yeniden yatırma getirisinin
vadeye kadar verimden düşük olması durumunda gerçekleşen getiri vadeye kadar
verimden az olacak, aksi halde ise onun üzerinde bir değere ulaşacaktır.

Tahvilin fiyatı genellikle nominal değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilmektedir.
Tahvil analizinde çoğu kez piyasa işlem fiyatı doğrudan gözlemlendiği halde
vadeye kadar verim bilinmeyeni teşkil etmektedir. Yani tahvilin birim fiyatı, kupon
ödemeleri ve anapara ödemelerinin tarih ve büyüklüğü bilindiği halde piyasa
ıskonto faiz oranının bulunması gerekebilir. Böyle bir durumda tahvil bugünkü
değer formülünde deneme yanılma yoluyla çözüme ulaşmak en kolayı olacaktır.
Tahvilin değeri eğer nominal değerden küçükse kupon ödeme faizinden daha
düşük bir ıskonto faiziyle denemeler başlatılmalı, aksi durumda ise tam tersi
uygulanarak sonuca ulaşmaya çalışılmalıdır. Vadeye kadar verimi daha kısa
yoldan, deneme yanılma yöntemine başvurmaksızın yaklaşık olarak hesaplamak
mümkündür. Bu yaklaşık hesaplama formülü şöyle ifade edilebilir.


                                     V − TD
                              rV   +
                        i ≅             N
                                   TD + V
                                      2

Burada :
i : vadeye kadar verim
r : Kupon Faizi
V: Tahvilin nominal değeri
TD: Tahvilin şu anki piyasa fiyatı
N: Vadeye kadar olan yıl sayısı


Örneğin, üç yıl vadeli, nominal değeri 100.000 TL, %75 kupon faiz ödemeli ve şu
anki piyasa değeri 96,000 TL olan tahvilin vadeye kadar verimini bu formülle
hesaplarsak aşağıdaki rakam bulunur.



                                                                                21
100 , 000 − 96 , 000
              75 , 000 +
       i ≅                             3                                              ≅ 0 , 78
                       96 , 000 + 100 , 000
                                 2
       Burada ortaya çıkan %78’lik rakam aslında vadeye kadarki verimi en doğru şekilde
       vermemektedir ve yaklaşık bir rakam olarak alınmalıdır.                                Normal şartlar altında,
       yukarıdaki formül yerine aşağıdaki formülü kullansaydık ve “i” değerini bu
       formülden hesaplasaydık %78.8 olarak bulmalıydık.

                 rV              rV                   rV                      V
       TD =              +                2
                                              +               3
                                                                  +               3
              (1 + i )         (1 + i )           (1 + i )            (1 + i )
                    75 , 000        75 , 000               75 , 000           100 , 000
       96 , 000 =               +                 2
                                                      +               3
                                                                          +              3
                                                                                                 i = %78.8
                    (1 + i )        (1 + i )              (1 + i )            (1 + i )
   •    skontolu Bonolarda Vadeye Kadar Verim:                                            skontolu bonolarda kupon
       bulunmaz. Dolayısıyla faiz fiyatın içindedir ve bu bonolar ilk arz edilirken,
       fiyatlarında iskonto yapılmştır. Bu tür iskontolu bonolarda vadeye kadar verimi
                                                          V −F        360
       hesaplamak kolaydır. formül ; i =                       *                  şeklinde verilebilir.
                                                            F    Vadeye kalan gün

       Örneğin; şu anki piyasa fiyatı 55000 Tl ve nominal değeri (itfa değeri) 100.000 TL
       olan bir yıl vadeli bir bononun vadeye kadarki verimini hesaplayalım.

            100 , 000 − 65 , 000   35 , 000
       i=                        =          = 0 . 5384 = % 53 . 84 ; burada vadeye kadarki
                   65 , 000        65 , 000
       verim %53.84 seviyesindedir.

H. Özet Ve Sonuçlar

Bu bölümde     bileşik faiz, anüite hesaplamaları, itfa tablosu, ödenim fonu, gelecek ve
şimdiki değer hesaplamaları, ve net şimdiki değer ve iç verim oranı konuları ele
alınmıştır. Ayrıca tahvilk ve boıno değerlemesinde kullanılan oranlar verilmiştir.

Hemen hemen tüm finans modellerinde paranın zaman değeri yaklaşımını yoğun olarak
kullanır. Bu nedenle nakit akımlarını değerlendirirken paranın zaman değeri gözönüne
alan finans matematiği ilkelerinden yoğun bir biçimde yararlanılır.




Yararlanılan Kaynaklar



                                                                                                                  22
Arman T. Tevfik, Gürman Tevfik Finans Matematiğine Giriş, T.         ş Bankası Kültür
Yayınları, Istanbul, 1996.

Arman T. Tevfik, Temel Finans Matematiği , Ders Notları , Istanbul, 2001.




                                                                                  23

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Etkili Satış Teknikleri
Etkili Satış TeknikleriEtkili Satış Teknikleri
Etkili Satış Teknikleri
 
Yaratıcı Satış Teknikleri
Yaratıcı Satış TeknikleriYaratıcı Satış Teknikleri
Yaratıcı Satış Teknikleri
 
Satış bütçesi
Satış bütçesiSatış bütçesi
Satış bütçesi
 
PowerPoint sunumlar
PowerPoint sunumlarPowerPoint sunumlar
PowerPoint sunumlar
 
Ileri analiz yöntemleri
Ileri analiz yöntemleriIleri analiz yöntemleri
Ileri analiz yöntemleri
 
Gestalt yaklaşımı
Gestalt yaklaşımıGestalt yaklaşımı
Gestalt yaklaşımı
 
Finansal Analiz ve Örnek Uygulama
Finansal Analiz ve Örnek UygulamaFinansal Analiz ve Örnek Uygulama
Finansal Analiz ve Örnek Uygulama
 
Hawthorne deneyleri
Hawthorne deneyleriHawthorne deneyleri
Hawthorne deneyleri
 
10. bölüm müşteri ilişkileri yönetimi crm
10. bölüm müşteri ilişkileri yönetimi crm10. bölüm müşteri ilişkileri yönetimi crm
10. bölüm müşteri ilişkileri yönetimi crm
 
İkna yönetimi sunum
İkna yönetimi sunumİkna yönetimi sunum
İkna yönetimi sunum
 
öğRenme kuramlari
öğRenme kuramlariöğRenme kuramlari
öğRenme kuramlari
 
Mushteri memnuniyyeti
Mushteri memnuniyyetiMushteri memnuniyyeti
Mushteri memnuniyyeti
 
KPI - Temel Performans Göstergeleri Neden Var?
KPI - Temel Performans Göstergeleri Neden Var?KPI - Temel Performans Göstergeleri Neden Var?
KPI - Temel Performans Göstergeleri Neden Var?
 
Sosyal öğrenme kuramları
Sosyal öğrenme kuramlarıSosyal öğrenme kuramları
Sosyal öğrenme kuramları
 
Satış Motivasyon sunusu
Satış Motivasyon sunusuSatış Motivasyon sunusu
Satış Motivasyon sunusu
 
Kurumsal İletişim,
Kurumsal İletişim, Kurumsal İletişim,
Kurumsal İletişim,
 
Dengeli sonuç kartı
Dengeli sonuç kartıDengeli sonuç kartı
Dengeli sonuç kartı
 
Ders kafa-travmasi
Ders kafa-travmasiDers kafa-travmasi
Ders kafa-travmasi
 
Takımdaşlık ve Ekip Yönetimi.pptx
Takımdaşlık ve Ekip Yönetimi.pptxTakımdaşlık ve Ekip Yönetimi.pptx
Takımdaşlık ve Ekip Yönetimi.pptx
 
Liderlik
LiderlikLiderlik
Liderlik
 

Mais de kankakanka

Haftalikportfoy01042013
Haftalikportfoy01042013Haftalikportfoy01042013
Haftalikportfoy01042013kankakanka
 
İhlas kap Ali Tubay alış
İhlas kap Ali Tubay alışİhlas kap Ali Tubay alış
İhlas kap Ali Tubay alışkankakanka
 
Baltic dry bulk endeksin etkisi
Baltic dry bulk endeksin etkisiBaltic dry bulk endeksin etkisi
Baltic dry bulk endeksin etkisikankakanka
 
ABC GRUBU SENETLER
ABC GRUBU SENETLERABC GRUBU SENETLER
ABC GRUBU SENETLERkankakanka
 
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11kankakanka
 
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11kankakanka
 
Hsbc 15.02.2011
Hsbc 15.02.2011Hsbc 15.02.2011
Hsbc 15.02.2011kankakanka
 
Şeker yatırım 15 şubat
Şeker yatırım 15 şubatŞeker yatırım 15 şubat
Şeker yatırım 15 şubatkankakanka
 
Iş yatırım bülten
Iş yatırım bültenIş yatırım bülten
Iş yatırım bültenkankakanka
 
Temel Ve Teknik Analiz
Temel Ve Teknik AnalizTemel Ve Teknik Analiz
Temel Ve Teknik Analizkankakanka
 
Firma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesi
Firma Değeri Hesaplama - Beykent ÜniversitesiFirma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesi
Firma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesikankakanka
 
Grafikler ve teknik analiz
Grafikler ve teknik analizGrafikler ve teknik analiz
Grafikler ve teknik analizkankakanka
 
Firma değeri hesaplamasi
Firma değeri hesaplamasiFirma değeri hesaplamasi
Firma değeri hesaplamasikankakanka
 

Mais de kankakanka (20)

Haftalikportfoy01042013
Haftalikportfoy01042013Haftalikportfoy01042013
Haftalikportfoy01042013
 
İhlas kap Ali Tubay alış
İhlas kap Ali Tubay alışİhlas kap Ali Tubay alış
İhlas kap Ali Tubay alış
 
Baltic dry bulk endeksin etkisi
Baltic dry bulk endeksin etkisiBaltic dry bulk endeksin etkisi
Baltic dry bulk endeksin etkisi
 
Dipnot
DipnotDipnot
Dipnot
 
Emkel
EmkelEmkel
Emkel
 
Emkel
EmkelEmkel
Emkel
 
Emkel
EmkelEmkel
Emkel
 
Aksa
AksaAksa
Aksa
 
ABC GRUBU SENETLER
ABC GRUBU SENETLERABC GRUBU SENETLER
ABC GRUBU SENETLER
 
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11
Şeker yatirim teknik bülten 16.02.11
 
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11
Şeker yatirim günlük bülten 16.02.11
 
Hsbc 15.02.2011
Hsbc 15.02.2011Hsbc 15.02.2011
Hsbc 15.02.2011
 
Şeker yatırım 15 şubat
Şeker yatırım 15 şubatŞeker yatırım 15 şubat
Şeker yatırım 15 şubat
 
Iş yatırım bülten
Iş yatırım bültenIş yatırım bülten
Iş yatırım bülten
 
Hisseler
HisselerHisseler
Hisseler
 
Değerleme
DeğerlemeDeğerleme
Değerleme
 
Temel Ve Teknik Analiz
Temel Ve Teknik AnalizTemel Ve Teknik Analiz
Temel Ve Teknik Analiz
 
Firma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesi
Firma Değeri Hesaplama - Beykent ÜniversitesiFirma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesi
Firma Değeri Hesaplama - Beykent Üniversitesi
 
Grafikler ve teknik analiz
Grafikler ve teknik analizGrafikler ve teknik analiz
Grafikler ve teknik analiz
 
Firma değeri hesaplamasi
Firma değeri hesaplamasiFirma değeri hesaplamasi
Firma değeri hesaplamasi
 

Temel finans matematiği

  • 1. TEMEL F NANS MATEMAT Ğ A. 1. G R Ş .................................................................................................... 2 B. Gelecekteki ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ....... 6 C. Basit ve bileşik faiz kavramları ...................................................................... 8 D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler .................................................................. 9 E. Borcun tfası ..............................................................................................15 F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı .............................................................17 G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity) .........................................................19 H. Özet Ve Sonuçlar........................................................................................22 1
  • 2. A. 1. G R Ş Aslında temel finans matematiği karmaşık gibi görünen fakat basit bazı temel kurallar öğrenildikten sonra hiç de zor olmayan hesaplamalar bütünü olarak tarif edilebilir. Şu an sizlere birçok formül vermek yerine şöyle bir soru ile işe başlayalım; 100 liranızı bankaya 1 yıl vadeli olarak yıllık yüzde 25 faiz almak üzere yatırırsanız 1 yılın sonunda paranız ne kadar olur? Bu soruya hemen herkes hiçbir formül kullanmadan 125 Tl cevabını rahatlıkla verir. Aslında yaptığı hesaplama basittir. 100 liranın yüzde 25’in hesaplar ve 100 liraya bunu ekler. Çünkü bir yıl içinde 100 lirasına 25 lira kazanacaktır (100*0.25=25 lira) Eğer kafadan basitçe yaptığımız bu hesaplamayı formüle dökecek olursak bunu şu şekilde yazabiliriz; 100 TL + (100 TL * 0.25) = 125 TL Anapara + Faiz miktarı (Anapara * Faiz oranı) = Gelecekteki Değer Yani 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 + (100*0.25) = 125 TL Şimdi parantezin içindeki 100 rakamını dışarı çıkaralım; 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl buluruz. Varsayalım ki 100 lirasını %25 faizle bankaya yatıran tasarruf sahibi 1 yıl sonra 125 TL sahibi oldu ve şimdi de bu parayı 1 yıl daha yüzde 25 faizle bankada tutmak istiyor olsun. Bu durumda yine aynı mantıkla 125 liranın gelecekteki değeri = 125 + 125*0.25 = 125 + 31.25 = 156.25 Tl olacaktır. Yani ; 125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl olacaktır. Varsayalım ki finans matematiği konusunda hiç bilginiz yok veya şu ana kadar belki de okuduğunuz okullarda bir yarıyıl okutulan bu ders ile ilgili olarak aklınızda sadece karmaşık bir sürü formülden kırık dökük parçalar kaldı. Hiçbirşey hatırlamıyorsunuz. Ama şimdi bu formüllerin hepsini unutmanızı istiyorum. Çünkü bu formüllere hiç ihtiyacınız yok. Önemli olan nokta finans matematiğinin çekirdek mantığını anlamaktır. Eğer bunu anlarsanız hangi formülü hangi şartlarda uygulamanız gerektiği konusu netleşecektir. Bu mantığı şimdi çok net bir biçimde anlayacaksınız. Çünkü finans 2
  • 3. matematiğinin sadece 1 tane olan can alıcı formülünü siz yaratacak ve önünüze çıkan neredeyse bütün sorulara sadece 1 tane formül uygulayacaksınız. Buna aslında formül de demek istemiyorum. Çünkü, ortada ezberlemeniz gereken bir formül yok. Sadece yukarıda sorduğum soruyu hatırlamanız bütün finans problemlerini çözmeniz için yeterli olacaktır. Belki çok iddialı ama, gerçekten de finans matematiğinin sadece bir denklemi vardır ve her koşulda bu denklem geçerlidir. Şimdi yukarıdaki soruya tekrar dönelim. 100 lirasını yıllık yüzde 25 faizle 2 yıl bankada tutan birinin parası 156.25 Tl olmuştur. Bu rakama nasıl ulaştık? 1. YIL için: 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl 2. YIL için 125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl Eğer bu hesaplamayı tek tek yapmak yerine sadece bir defada yapabilir miyiz? Yukarıdaki ikinci denklemi tekrar yazalım; 125*(1+0.25) = 156.25 şeklindeydi. Şimdi ilk rakam olan 125 yerine 100 (1+0.25) yazalım; Çünkü bunu yukarıda hesaplamıştık. 100 * (1+0.25) * (1+0.25) = 100 * (1+0.25)2 = 156.25 Burada 100 TL başlangıçta yatırılan anaparadır (A), 0.25 rakamı faiz oranı (r) ve parantez üzerindeki “2” rakamı da dönem sayısıdır. 156.25 rakamı da 100 liranın 2 dönem sonraki değeri yani gelecekteki değeridir (G). Bu soruyu formülüze edecek olursak; G = A * (1 + r)n Şeklinde yazabiliriz. Demek ki belirli bir miktar parayı belirli bir dönem boyunca, bu dönem için geçerli faiz oranından bankaya yatırırsak gelecekte elde edeceğimiz değeri (G) bu formül ile bulabiliriz. Bu formülü kimse bize öğretmedi. Basit bir soru sorarak formülü biz çıkardık. Bundan başka öğrenmeniz gereken formül kalmadı. Finans matematiğinin bütün konuları ve sorularını bu formülü kullanarak çözebilirsiniz. Yukarıdaki soruyu tekrar hatırlayalım; Adam 100 lirasını yıllık yüzde 25 faiz almak üzere 2 yıllığına bankaya yatırdığında parası ne kadar olur? Cevap 156.25 Tl olur. Şimdi soruyu şöyle sormuş olalım; “eğer bir adam yıllık yüzde 25 faiz ile parasını bankaya yatırırsa 2 yıl sonra 156.25 Tl sahibi olacaktır. Acaba adamın şu an kaç lirası vardır? 3
  • 4. Veya soruyu şu şekilde de sorabiliriz; Yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonraki 156.25 TL’nin şimdiki değeri nedir? Veya soru şöyle de sorulabilir; Şu an birisi kaç lirasını bankaya yıllık yüzde 25 faiz ile 2 yıllığına yatırırsa parası 156.25 TL olur? Dikkat ederseniz soruların soruluş biçimi farklıdır fakat, istenilen sonuç hep aynıdır. Şimdiki değeri soruyoruz. Yukarıudaki formüle göre bizden istenilen “A” paramatresidir. Yani Anapara’yı ulmamızı istiyorlar. Bu durumda yukarıdaki formülde A’yı denklemin sol tarafına alırsak şimdiki değer formülünü elde etmiş olacağız. G 156.25 A= A= 2 = 100 (1 + r )n (1 + 0.25) Bu formül aslında yeni bir formül değildir ve ilk bulduğumuz formülün sadece parametrelerinin yeri değişmiş halidir. Bu formüle paranın zaman değeri veya şimdiki değer formülü adını veriyoruz. Yukarıda vermiş olduğumuz cevap için başka sorular da tyüretebiliriz; şte bunlardan bazıları; • Yıllık mevduat faiz oranı yüzde 25 ise arkadaşınıza vermiş olduğunuz ve 2 yıl sonra alacağınız 156.25 TL’yi bugün kaç TL olarak alırsanız, karınız ya da zararınız olmaz (Paranızı sadece banka mevduatında değerlendirme seçeneğiniz var ve dah ayüksek getiri elde etme imkanınız yok); Cevap 100 TL’dir, çünkü yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonra 156.25 TL şimdiki 100 TL yapmaktadır. Ya da arkadaşımdan şu an 100 TL alsam ve 2 yıl vadeli mevduata yatırsam zaten 156.25 TL olacaktır. Paranın bir zaman değeri vardır: Bugün alınacak 1 TL, 1 yıl sonra alınacak 1 TL'den daha değerlidir. Bu olgu, 1 TL'nin 1 yıl sonra kesin olarak alınması durumunda ve ayrıca paranın satın alma gücünü düşüren enflasyonun olmaması durumunda bile geçerlidir. Paranın zaman değerini yaratan nedenler aşağıda sıralanmıştır: Bireyler güncel tüketimi gelecek tüketime yeğlerler. Bireylere şimdiki tüketimden vazgeçmeleri için gelecekte çok daha fazla şeyin sunulması gerekir. Risk. Gelecekteki nakit akımlarıyla ilgili risk arttıkça bu risk nakit akımlarının değerini düşürür. 4
  • 5. Gelecekte beklenen enflasyon. Enflasyon paranın değerini düşürür. Enflasyon ne denli yüksekse bugünkü değerle gelecek değer arasındaki fark o kadar büyür. Bu nedenle yüksek enflasyon dönemlerinde yatırımcıların yüksek nominal getiri talep etmeleri o kadar doğaldır. Bu etmenleri yansıtmak için nakit akımlarının ayarlanması indirgeme olarak adlandırılır. Yani biz 156.25 TL’yi yukarıdaki soruda bugüne indirgedik. Bu etmenlerin büyüklüğü iskonto oranının büyüklüğü ile yansıtılır. Burada iskonto oranı dediğimiz şey aslında yüzde 25 olarak verilen faiz oranıdır. Eğer mevduat yapmaktan başka seçeneğim yoksa 156.25 TL’yi bugüne indirgerken iskonto oranı olarak yüzde 25’i kullandım. Şimdi çok önemli bir nüansı vurgulamak istiyorum. Eğer ticaretle uğraşıyorsam ve banka faiz oranları yüzde 25 iken, yıllık bazda yüzde 40 getiri sağlayan, yani 100 liramı yatırdığımda bana yılda 40 lira kar sağlayan bir işim varsa; acaba 2 yıl sonra elime geçecek 156.25 TL’yi borç verdiğim kişi bana bana 100 TL olarak ödemek istrerse kabul etmeli miyim? Eğer ben de banka faizi kadar getiri sağlıyor olsaydım başabaş olacaktı fakat şimdi 156.25 TL’yi yüzde 40 iskonto oranı ile indirgeyelim (Eğer yüzde 25 ile indirgersek zaten sonucun 100 Tl olduğunu biliyoruz.) 156.25 A= 2 = 79.72 (1 + 0.4) Burada sonuç 79.72 TL çıkmıştır. Eğer biz şimdi 79.72 Tl alırsak ve yüzde 40 getiri sağlayarak 2 yıl değerlendirirsek 156.25 TL olacaktır. Dolayısıyla biz bırakın 100 TL’yi bize 79.72 Tl bile verse zararımız olmayacaktır. Eğer bize şu an 100 TL veriyorsa bu 100 TL’nin bizim için gelecekteki (2 yıl sonraki) değeri; 100 * (1+0.4)2 = 196 Tl olacaktır. Dolayısıyla iskonto oranları aletrantif getiri oranını, güncel tüketimi gelecek tüketime yeğlemeyi, nakit akımlarının riskini ve enflasyon oranlarını yansıtır. Örnek: Şimdi 100 dolar mı almak istersiniz, yoksa yıllık dolar basit faizinin %10 olduğunu düşünürsek, 3 yıl sonra 133 dolar almak daha mı karlı olur? Aşağıda cevap verilmiştir. Gelecekte elde edeceğimiz 133 doları (G) yıllık %10 basit dolar faizi üzerinden bugüne indirgersek, 3 yıl sonraki 133 doların şu an kaç dolara denk geldiğini buluruz (A). Dolayısıyla iki seçenekten birini uygulamanın farksız olduğunu söyleyebiliriz (aşağıda yaklaşık değerler kullanılmıştır). 5
  • 6. 133 133 133 Şimdiki Deger = A = 3 = 3 = = 100 (1 + 0 . 1) (1 . 1) 1 . 33 B. Gelecekteki Değer ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar Şimdi gelecekteki değer formülünü tekrar yazalım. G = A * (1 + r)n Burada faiz oranı ( r ) dönemin getiri oranını yansıtmaktadır. (n) ise ilgili faiz oranının kaç kere tekrarlandığını göstermektedir. Şimdi “bunu zaten biliyoruz” diyeceksiniz. Finans matematiği soruları çözümlenirken, karşılaşılan en büyük zorluk bu iki parametrenin iyi anlaşılmamasından kaynaklanmaktadır. “n” değeri geçerli olan “r” getirisinin kaç kere tekrarlandığını göstermelidir. Bir soru sorarak şöyle açıklayalım; Haftalık bazda binde 5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta sonra ne kadar olur? Burada G = ? A= 100 TL r=0.005 n=9 şeklindedir. Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9 = 104.6 TL olarak bulunacaktır. Burada [(1+0.005)9=1.0459] olarak hesaplanır. Yani 1.005’in dokuzuncu kuvvetini alıyoruz. Peki şimdi buna çok benzer bir soruyu şöyle soralım. ÖRNEK: Aylık bazda yüzde 1.5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta sonra ne kadar olur? (not: bir ay 30 gün veya dört haftadır ) Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) aylık bazda verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre haftalık bazda verilmiştir. Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) aylık bazda yazarsanız, dönem sayısını da (n) aylık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz. Bu soru için “r” yerine 0.015 (%1.5) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki “r” yi aylık bazda yazarsak n değerine 9 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki paramızı 9 ay işletmiş gibi oluruz. O zaman 9 haftayı aya çevireceğiz. 9 hafta = 9/4 aydır. Çünkü 4 hafta 1 ay yapıyorsa 9 hafta 9/4= 2.25 hafta yapmaktadır. Şimdi soruyu çözelim; Burada G = ? A= 100 TL r=0.015 n=9/4 şeklindedir. Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9/4 = 103.41 TL olarak bulunacaktır. 6
  • 7. Burada [(1+0.005)9/4=1.03406] olarak hesaplanır. Yani 1.015’in dokuzuncu 2.25nci kuvvetini alıyoruz. ÖRNEK: Yıllık bazda yüzde 30 faiz getirisi alan birinin acaba 100 lirası 19 ay sonra sonra ne kadar olur? (Not: 1 yıl 12 aydır ve kırık vade getiri mümkündür. Yani bir yıl dolmadan paramızı çektiğimizde o ana kadar işlemiş aylık faizi de alacağız) Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) yıllık bazda verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre aylık bazda verilmiştir. Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) yıllık bazda yazarsanız, dönem sayısını da (n) yıllık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz. Bu soru için “r” yerine 0.30 (%30) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki “r” yi aylık bazda yazarsak n değerini 19 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki paramızı 19 yıl işletmiş gibi sonuç buluruz. O zaman 19 ayı yıla çevireceğiz. 19 ay = 19/12 yıldır. Çünkü 1 yıl 12 ay yapıyorsa 19 ay 19/12= 1.583 yıla eşit olmaktadır. Şimdi soruyu çözelim; Burada G = ? A= 100 TL r=0.3 n=19/12 şeklindedir. Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.3)19/12 = 151.49 TL olarak bulunacaktır. Burada [(1+0.005)9/4=1.5833] olarak hesaplanır. Yani 1.3’ün 1.583’ncü kuvvetini alıyoruz. ÖRNEK: Bir yatırımcı 100 TL'sini yıllık basit % 40 ödeyen bir bankanın üç aylık mevduat hesabına iki yıl süreyle yatırırsa, ikinci yılın sonunda hesabındaki parası ne olur? Başka bir deyişle, bu 100 TL'nin ikinci yıl sonundaki gelecek değeri nedir? Eğer banka yıllık basit faiz ödüyorsa, biz üç aylık döneme tekabül eden faiz oarnını bulmalıyız. Dikkat ediniz faiz oranı yıllık bazda verilmiş, üçer aylık dönemde faiz işleyecek ve süre 2 yıldır. Burada önemli olan nokta üç ayda bir faiz ödenmesidir. Eğer yıllık yüzde 40 faiz üzerinden parası 2 yıl sonra ne olur diye sorsaydık, cevap basitti, fakat yıllık yüzde 40 üzerinden üç ayda bir faiz işletilerek 2 yıl sonra parası ne olur diye soruyorsak “r” ve “n” doğru hesaplanmalıdır. Yılık faiz 0.40 ise bunu 4’e böleceğiz, çünkü 1 yıl iinde 4 tane üçer aylık dönem var. “n” değeri ise 8 olacak çünkü 2 yıl içinde 8 tane üç ay var (24/3=8) 0 .4 8 G = 100 * (1 + ) = 100 *(1+0.1)8 = 214.35 TL olarak bulunacaktır. 4 7
  • 8. C. Basit ve bileşik faiz kavramları Ne zaman basit faizden bahsederiz? Ne zaman bileşik faizden veya getiriden bahsediyor oluruz? Basit faizden hareketle bileşik getiriyi nasıl buluruz veya bileşik getiriden basit getiriyi ya da faizi nasıl elde ederiz? Yine havalarda uçmaya gerek yok. Öğrendiğimiz tek formül bu soruya da cevap olacaktır. Bu formül daha önce öğrendiğiniz gelecekteki değer formülüdür. Bu formülü tekrar yazalım; G = A * (1 + r)n Bu formülü şöyle ifade edebiliriz; Gelecekteki değer = Anapara + Faiz şeklindedir. Dolayısıyla gelecekteki değer’den eğer anapara’yı çıkartırsak geriye faiz kalır; Faiz = geleceketeki değer(G) – Anapara (A) Faiz = G-A Faiz = A*(1+r)n- A Eğer Anapara’nın 1 lira olduğunu varsayarsak Formül Şu şekilde olacaktır; Faiz = (1+r)n-1 Bu formül basit faizden hareektle bileşik faizi, ya da bileşik faizden hareketle basit faizi bulmamıza yarayan formüldür. Her iki durumda da bu formülü kullanacağız. Fakat aslında bu yeni bir formül değil. lk ürettiğimiz formülden sadece anaparayı çıkardık. ÖRNEK: Aylık yüzde 2 kazanan birinin yıllık bileşik getirisi nedir? Burada r =%2 n= 12 Çünkü “r”yi aylık ifade edersek n’yi de aylık bazda yazmamız gerekiyor; Bunları formülde yerine koyarsak; Bileşik getiri = (1+0.02)12-1= %26.82 ÖRNEK: Parasını aylık olarak mevduat yapan birinin yıllık bileşik getirisi yüzde 36 olmuştur. Bu kişinin aylık basit getirisi ne olmuştur? Burada r=%36 n=1/12 çünkü “r”yi yıllık bazda ifade ettik ve n değerini de yıllık bazda ifade etmemiz gerekiyor. Bir bakıma 1 ay = 1/12 yıl’dır 8
  • 9. Basit Getiri = (1+0.36)1/12-1= % 2.6 D KKAT! Şimdi basitten bileşik faize mi yoksa bileşik faizden basiti mi hesapladığınızdan emin olmak için n değerine bakacaksınız. N < 1 ise bileşik faizden (getiriden) basit faizi (getiriyi) hesaplamış olursunuz. N > 1 ise basit faizden (getiriden) bileşik faizi (getiriyi) elde etmiş olursunuz. N = 1 ise bileşik faiz (getiri) ve basit faiz (getiri) birbirine eşittir. ÖRNEK: Haftalık repo yapan biri 1 yıllık sürfe içinde yüzde 42 getiri elde etmiştir. Bu kişinin haftalık (basit) getirisi ne olmuştur (Not: 1 yıl 52 haftadır) Burada r=%42 (yıllık) n= 1/52 dir. Basit Getiri = (1+0.42)1/52-1= % 0.68 ÖRNEK: Vadesine 3 ay kala 100 lira nominal değerli bir bonoyu 90 liradan alan yatırımcının yıllık bileşik getirisi ne olur? Vadesine 3 ay kalmıştır ve bureada önce 3 ayda sağlayacağı getiriyi bulalım. Şu an 90 liraya almıştır ve 3 ayda 10 lira kazanacaktır. Bu durumda üç aylık getiri 10/90=%11.11 olarak bulunacaktır. Eğer üç ayda %11.11 getiri sağlarsa yıllık bileşik getirisi ne olur? Burada r=%11.11 ve n= 12/3=4 şeklindedir. Çünkü bir yılın içinde 4 tane 3 ay vardır. Getiri = (1+0.1111)4-1= % 52.41 olarak bulunacaktır.  1  A = 20.995.200 *  4 = 20.995.200 * 0,095260 = 2.000.000  (1 + 0.8)  D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler Mağazaya girdiniz ve dünya kupasını keyifle izlemek için büyük ekran bir televizyon almak istiyorsunuz. Fakat peşin olarak satın alabilecek durumda değilsiniz. Taksitlendirme yapılmasını istiyorsunuz. Her ay eşit ödeme yapabileceğinizi belirtiyorsunuz. Elbetteki şu anki peşin fiyatını eşit taksitlere bölerek size bir rakam çıkarmıyorlar. Çünkü üç ay sonra sizden alacakları 100 milyon Tl şu an için aynı değeri ifade etmiyor. Dolayısıyla vade farkı ekleyerek, yani belirli bir faiz üzerinden hesaplama yapılırak toplam ödemeniz gereken rakama ulaşılıyor. Bu şekilde, belli bir süre için, her dönem sabit bir tutardan oluşan ödeme ya da nakit akım serisine dönemsel eşit ödemeler veya anuite adı verilir. Önümüzdeki n dönem boyunca her dönem sonunda 1000 TL kadar yapılacak olan bir dönemsel eşit ödeme 9
  • 10. serisi aşağıdaki zaman çizgisi üzerinde gösterilmiştir. Anuite, yukarıda bahsedile sabit taksit ödemeli borçtur. Fakat burada biraz daha geniş bir şekilde konuyu ele alacağız. 0. AY 1. AY 2. AY 3. AY (Peşinat) 1000 TL 1000 TL 1000 TL Dönemsel eşit ödemelerin de şimdiki değerini ve gelecekteki değerini hesaplamamız mümkündür. Bu nakit akımlarının gelecekteki değerini hesaplarken yapılması gereken, her nakit akışının beklenen faiz oranı ile gelecekteki değerinin, bindirgenmiş faiz formülü ile hesaplanması ve tüm değerlerin toplanmasından ibarettir. Bu mantık çerçevesinde Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri aşağıdaki formüle eşittir (D KKAT! Bu formülün pay kısmı size yukarıda gösterilen “bileşik faiz” formülüdür. Bileşik faiz formülünü “r”ye böldüğünüzde annuitelerin gelecekteki değerini buluyorsunuz. )  G ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ]  r  G=Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri C=Dönemsel eşit ödemeler r=Dönem faiz oranı (iskonto oranı veya faiz beklentisi) n=Dönem sayısı Yukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin } gelecekteki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloya Anuite tablosu adı veriliyor. Çeşitli n ve r değişkenleri için hesaplanan bilgiler bulunmaktadır. Dönem Sayısı ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 1.00000 2.05000 3.15250 4.31013 5.52563 6.80191 8.14201 9.54911 11.02656 12.57789 14.20679 15.91713 17.71298 10 1.00000 2.10000 3.31000 4.64100 6.10510 7.71561 9.48717 11.43589 13.57948 15.93742 18.53117 21.38428 24.52271 15 1.00000 2.15000 3.47250 4.99338 6.74238 8.75374 11.06680 13.72682 16.78584 20.30372 24.34928 29.00167 34.35192 20 1.00000 2.20000 3.64000 5.36800 7.44160 9.92992 12.91590 16.49908 20.79890 25.95868 32.15042 39.58050 48.49660 25 1.00000 2.25000 3.81250 5.76563 8.20703 11.25879 15.07349 19.84186 25.80232 33.25290 42.56613 54.20766 68.75958 30 1.00000 2.30000 3.99000 6.18700 9.04310 12.75603 17.58284 23.85769 32.01500 42.61950 56.40535 74.32695 97.62504 35 1.00000 2.35000 4.17250 6.63288 9.95438 14.43841 20.49186 28.66401 39.69641 54.59016 74.69672 101.84057 138.48476 40 1.00000 2.40000 4.36000 7.10400 10.94560 16.32384 23.85338 34.39473 49.15262 69.81366 98.73913 139.23478 195.92869 Faiz Oranı ( r ) 45 1.00000 2.45000 4.55250 7.60113 12.02163 18.43137 27.72548 41.20195 60.74282 89.07709 130.16178 189.73458 276.11515 50 1.00000 2.50000 4.75000 8.12500 13.18750 20.78125 32.17188 49.25781 74.88672 113.33008 170.99512 257.49268 387.23901 55 1.00000 2.55000 4.95250 8.67638 14.44838 23.39499 37.26224 58.75647 92.07252 143.71241 223.75423 347.81906 540.11955 60 1.00000 2.60000 5.16000 9.25600 15.80960 26.29536 43.07258 69.91612 112.86579 181.58527 291.53643 467.45829 748.93327 65 1.00000 2.65000 5.37250 9.86463 17.27663 29.50644 49.68563 82.98129 137.91912 228.56655 378.13481 624.92244 1032.12203 70 1.00000 2.70000 5.59000 10.50300 18.85510 33.05367 57.19124 98.22511 167.98268 286.57056 488.16995 830.88891 1413.51115 75 1.00000 2.75000 5.81250 11.17188 20.55078 36.96387 65.68677 115.95184 203.91573 357.85252 627.24191 1098.67334 1923.67835 80 1.00000 2.80000 6.04000 11.87200 22.36960 41.26528 75.27750 136.49951 246.69911 445.05840 802.10513 1444.78923 2601.62061 85 1.00000 2.85000 6.27250 12.60413 24.31763 45.98762 86.07709 160.24262 297.44885 551.28037 1020.86869 1889.60708 3496.77310 90 1.00000 2.90000 6.51000 13.36900 26.40110 51.16209 98.20797 187.59514 357.43078 680.11847 1293.22510 2458.12769 4671.44261 95 1.00000 2.95000 6.75250 14.16738 28.62638 56.82144 111.80181 219.01354 428.07640 835.74898 1630.71051 3180.88550 6203.72672 100 1.00000 3.00000 7.00000 15.00000 31.00000 63.00000 127.00000 255.00000 511.00000 1023.00000 2047.00000 4095.00000 8191.00000 Örneğin; Dolar hesabınıza Aylık %1 faiz ödeyen bir bankaya önümüzdeki 5 yıl boyunca her ay sonunda 20 dolar yatırırsak, 5. yıl bitiminde hesapta ne kadar para olur? 10
  • 11. [  (1 + 0 . 01 )60 − 1  G ≡ 20 *  ]  = 20 * 81 . 67 = 1633 .4 $  0 . 01  Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değerleri de hesaplanabilir. Her bir eşit ödemenin ıskonto faiz oranıyla bugüne indirgenmiş değerlerinin toplamı o serinin bugünkü değer toplamını verecektir. Bu mantık çerçevesinde aşağıda belirtilen formül dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değerini verir.  D ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ] n  r( + r ) 1  D=Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değeri C=Dönemsel eşit ödemeler r=Dönem faiz oranı (Ya da piyasa faiz beklentisi) n=Dönem sayısı Yukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin } şimdiki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloda çeşitli n ve r değişkenleri için hesaplanan bilgiler bulunmaktadır. Dönem Sayısı ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 0.95238 1.85941 2.72325 3.54595 4.32948 5.07569 5.78637 6.46321 7.10782 7.72173 8.30641 8.86325 9.39357 10 0.90909 1.73554 2.48685 3.16987 3.79079 4.35526 4.86842 5.33493 5.75902 6.14457 6.49506 6.81369 7.10336 15 0.86957 1.62571 2.28323 2.85498 3.35216 3.78448 4.16042 4.48732 4.77158 5.01877 5.23371 5.42062 5.58315 20 0.83333 1.52778 2.10648 2.58873 2.99061 3.32551 3.60459 3.83716 4.03097 4.19247 4.32706 4.43922 4.53268 25 0.80000 1.44000 1.95200 2.36160 2.68928 2.95142 3.16114 3.32891 3.46313 3.57050 3.65640 3.72512 3.78010 30 0.76923 1.36095 1.81611 2.16624 2.43557 2.64275 2.80211 2.92470 3.01900 3.09154 3.14734 3.19026 3.22328 35 0.74074 1.28944 1.69588 1.99695 2.21996 2.38516 2.50752 2.59817 2.66531 2.71504 2.75188 2.77917 2.79939 40 0.71429 1.22449 1.58892 1.84923 2.03516 2.16797 2.26284 2.33060 2.37900 2.41357 2.43826 2.45590 2.46850 Faiz Oranı ( r ) 45 0.68966 1.16528 1.49330 1.71951 1.87553 1.98312 2.05733 2.10850 2.14379 2.16813 2.18492 2.19650 2.20448 50 0.66667 1.11111 1.40741 1.60494 1.73663 1.82442 1.88294 1.92196 1.94798 1.96532 1.97688 1.98459 1.98972 55 0.64516 1.06139 1.32993 1.50318 1.61496 1.68707 1.73359 1.76361 1.78297 1.79547 1.80353 1.80873 1.81208 60 0.62500 1.01563 1.25977 1.41235 1.50772 1.56733 1.60458 1.62786 1.64241 1.65151 1.65719 1.66075 1.66297 65 0.60606 0.97337 1.19598 1.33090 1.41267 1.46222 1.49226 1.51046 1.52149 1.52818 1.53223 1.53468 1.53617 70 0.58824 0.93426 1.13780 1.25753 1.32796 1.36939 1.39376 1.40809 1.41652 1.42149 1.42440 1.42612 1.42713 75 0.57143 0.89796 1.08455 1.19117 1.25210 1.28691 1.30681 1.31818 1.32467 1.32838 1.33051 1.33172 1.33241 80 0.55556 0.86420 1.03567 1.13093 1.18385 1.21325 1.22958 1.23866 1.24370 1.24650 1.24806 1.24892 1.24940 85 0.54054 0.83272 0.99066 1.07603 1.12218 1.14712 1.16061 1.16790 1.17184 1.17397 1.17512 1.17574 1.17607 90 0.52632 0.80332 0.94912 1.02585 1.06624 1.08749 1.09868 1.10457 1.10767 1.10930 1.11016 1.11061 1.11085 95 0.51282 0.77581 0.91067 0.97983 1.01530 1.03349 1.04281 1.04760 1.05005 1.05131 1.05195 1.05228 1.05245 100 0.50000 0.75000 0.87500 0.93750 0.96875 0.98438 0.99219 0.99609 0.99805 0.99902 0.99951 0.99976 0.99988 Örnek Soru :Beyaz eşya satan bir işletmede yeni bir kampanya başlamış bulunuyor. Bu kampanyada bir televizyon almak istiyorsunuz ve önünüze iki ayrı seçenek konuyor. - 12 ay boyunca, aylık 50 milyon Tl eşit taksit ödeme veya; - Peşin olarak 500 milyon Tl ödemek. Eğer aylık banka faiz oranı %5 ise ve yıl sonuna kadar bu şekilde devam edeceğini düşünüyorsanız, rasyonel bir tüketici olarak hangi seçeneği seçerdiniz? [  (1 + 0.05 )12 − 1  D = 50,000,000 ×  ] 12  = 50,000,000 * 8.8632 = 443,162,582  0.05 * (1 + 0.05 )  Bu şartlar altında bir karşılaştırma yapacak olursak; şu an 500 milyon ödemek mi daha iyidir? Yoksa gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin bugünkü (şimdiki değeri) 443.2 milyon 11
  • 12. tutuyorsa, taksitle mi ödemek iyidir? Dolayısıyla cevap taksitli ödeme seçeneğinin seçilmesi olmalıdır. Anüite, belli bir zaman dönemi boyunca yapılan eşit ödeme ya da tahsilatlar dizisidir. bir anüitenin gelecek değeri, eşit ödemelerin büyümesini olanaklı kılan bileşik faiz uygulamasıyla bulunur. Annüiteler, ödemelerin dönem başı ya da dönem sonu yapılmasına göre olağan ve peşin olmak üzere ikiye ayrılır. Ayrıca ödemelerin belli dönem sonra başlayacağı bir anüite türü daha olup, bu anüite, ertelenmiş annüite olarak adlandırılır. Burada yalnızca olağan anüiteleri ve sürekli ele alacağız: Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönem sonunda alınan 1 TL, iki dönem faiz kazanmaktadır, bu nedenle üçüncü dönem 1.2360 TL'ye ulaşmaktadır. kinci dönem sonunda alınan 1 TL, 1.060 TL'ye ulaşmaktadır. Üçüncü dönem sonunda alınan 1 TL'nin dönem sonu değeri yine 1 TL olmaktadır. Toplam anüite, üçüncü dönemin sonunda 3.18360 TL'ya ulaşmaktadır. Bu rakam; r % 6'dan, n üç dönem için gelecek değer anüite faktörü (GDAF i,n), olarak adlandırılır. Anüitelerin gelecek değeri formülünü tekrar yazalım. SG  ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ]  r  Burada, C, annüite tutarını (dönemsel ödemeleri), [(1+r)n-1]/i ise, r faiz oranı üzerinde n dönemi için gelecek değer anüite faktörü'nü (GDAFi,n) temsil etmektedir. Formüldeki değişkenler yerine ilgili değerler konursa, 3.18360 TL'ye ulaşılır. Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl sonunda 5 milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta ne kadar para olur ? [(1 + 0.50)3 - 1] GA = 5,000,000 ————————— 0.50 5,000,000 * 4.75 = 23,750,000 TL. Ayrıca, artan oranlı (a) anüitelerde hesaplama yapmak için faiz oranı (ra) şöyle hesaplanır: ra = ((1+r)/(1+a))-1 Yukarıdaki denklemin matematik değeri, faiz oranı (r) yerine (ra) konarak anüitelerin gelecek ve şimdiki değeri bulunur. 12
  • 13. Bir Anüitenin Şimdiki Değeri. Tahvil ve benzeri araçlardan elde edilen faiz, anüiteleri oluşturur. Bu tür finansal araçları karşılaştırmak için, bu anüitelerin şimdiki değerlerini bilmemiz gerekir. Zaman 0 1 2 3 1 1 1 ÷1.06 0.9434 ÷1.062 0.8900 ÷1.063 0.839 PVA3 = 2.67302 13
  • 14. Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönemin sonunda elde edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL, ikinci dönem sonunda elde edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.89000 TL ve üçüncü dönem sonunda elde edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL'ye ulaşmaktadır.Tüm anüiteleri şimdiki değeri ise 2.67302 TL olmaktadır. Buradan anüitelerin şimdiki değeri ise şöyle bulunacaktır:  D ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ] n  r( + r ) 1  Burada, A, anüitelerin herbirini, [(1+r)n-1]/(r(1+r)n) ise, şimdiki değer anüite faktörünü, (ŞDAFi,n), temsil etmektedir. Formüldeki değişkenlerin yerine ilgili değerler konursa, 2.67302 TL'ya ulaşılır. Dönem Sayısı. Burada, belli bir faiz kazanan ve dönem sonunda gerçekleşen olağan anüitelerin istenen gelecek değere ulaşması için gerekli olan dönem sayısı hesaplanmaktadır. Dönem sayısı şöyle hesaplanır: Ln(1+((G*r)/A)) n = ——————— Ln(1+r) Örneğin yıllık % 50 faiz veren mevduat hesabına her yıl sonunda 5 milyon TL yatırılırsa, hesabın 23,750, 000 TL’ye ulaşması için kaç dönem geçmelidir? Ln(1+((23.75*0.5)/5)) n = ——————— = 3 yıl Ln(1.5) Faiz Oranı. Burada, dönem sonunda gerçekleşen olağan anüiteleri istenen şimdiki değere eşitleyen iskonto (faiz) oranı hesaplanmaktadır. Bu amaçla anüiteler değişik faiz oranları üzerinden iskontolanarak şimdiki değere eşitlenmeye çalışılır. Bu sureç anüitelerin peşin değerini iskontolanan anüitelere eşitleyinceye kadar sürdürülür. Buluna faiz oranı iç verim oranı olarak adlandırılır. Konu bölümün sonlarında ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Anüite Tutarı. Anüitelerin gelecek değeri formülünden yararlanarak anüite tutarına ilişkin formül geliştirebiliriz: 14
  • 15. [(1+r)n - 1] GA = A ————— r Buradan, [(1+r)n - 1] A= GA / ————— r Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl sonunda kaç milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta 23,750,000 TL olur? [(1.5)n - 1] A= 23.75 / ————— = 5 milyon TL 0.5 E. Borcun tfası Pek çok kredi aylık, üç aylık ya da yıllı dönemler itibariyle geri ödenir. Herbir dönemsel ödeme, ödenmemiş anapara kalanı üzerinden yürütülen faiz ile anaparakalanından düşülen bir indirimden oluşur. Ödemeler dönembaşı ya da dönem sonu olabilir. Burada yalnızca dönemsonu ödemeler ele alınacaktır. Dönemsonu ödemeleri belirlemek için anüitelerin şimdiki değeri yaklaşımı kullanılır. Kredinin şimdiki değeri kendisine eşittir. Anüitenin I faiz oranı üzerinden n dönem için şimdiki değer anüite faktörü bulunur., bu faktör verilen –krediye bölünür. Çıkan rakam dönemsel ödemeyi gösterir. Bu tartışmaları formülle ifade etmek gerekirse: [(1+r)n-1] D = C —————— bilindiğine göre, r(1+r)n r(1+r)n C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1] Payda, 1 TL’lik anüitenin şimdiki değer faiz faktörü (ŞDFFi,n) olup, tablodan formüle yerleştirilirse; dönemsel ödeme tutarı olan C kolayca hesaplanır. Ödemenin faiz bölümü ise önceki dönemin anapara kalanına kullanılan faiz oranı uygulanmak suretiyle kolayca bulunur. 15
  • 16. Örneğin, tüketici kredilereine aylık % 7.77 (yıllık % 93.24) uygulayan A Bankası’ndan 15 milyon kredi alan tüketici borcunu 12 eşit taksitle öderse, aylık taksit tutarı ne olur? 15 C= —————— = 1,966,770 -12 [1-(1.0777) ] /0.0777 lgili itfa tablosu aşağıda sunulmaktadır: Tablo 1: tfa Tablosu Ödenen Dönem Ödenen Faiz Anapara Kalan Anapara 15,000,000 1 1,165,500 801,270 14,198,730 2 1,103,241 863,529 13,335,201 3 1,036,145 930,625 12,404,575 4 963,836 1,002,935 11,401,641 5 885,907 1,080,863 10,320,778 6 801,924 1,164,846 9,155,932 7 711,416 1,255,354 7,900,578 8 613,875 1,352,895 6,547,682 9 508,755 1,458,015 5,089,667 10 395,467 1,571,303 3,518,364 11 273,377 1,693,393 1,824,970 12 141,800 1,824,970 0 tfa tablosu hesaplamalarında belli bir süre sonra ödeme başlıyorsa, önce borcun ödemenenin başladığı dönemin başındaki gelecek değeri bulunur, daha sonra bu değer yeni borç tutarı kabul edilir ve bu tutar üzerinden itfa tablosu oluşturulur. Örneğin, 6,500,000 TL tutarında ve faiz oranı 0.115 olan bir borç 10 eşit taksitte dönem sonlarında ödenecektir. lk ödeme 4. yılın sonunda başlayacaktır. Dönemsel ödemelerin tutarı ne olacaktır? Önce bu borcun üçüncü dönem sonundaki gelecek değeri bulunur. Bulunan bu değer yeni borç tutarı olarak algılanır. Bu borç tutarı üzerinden dönemsel taksitler hesaplanır. 6,500,000 TL'in üçüncü yılın sonundaki gelecek değeri şöyle olacaktır: G = A (1+r)n = 6,500,000(1.115)3 = 9,010,273 TL 16
  • 17. Dönemsel ödeme tutarı da şöyle bulunacaktır: r(1+r)n C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1] C = 1,562,176 TL F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı Proje değerlemede çeşitli yaklaşımlar vardır: Net şimdiki değer (NŞD), iç verim oranı ( VO) gibi. Net Şimdiki Değer. Net Şimdiki değer, yararların şimdiki değeri ile projenin maliyetlerinin şimdiki değeri arasındaki farktır. Nakit akımlarını (yarar ve maliyetleri) indirgemek için sermaye maliyeti kullanılır. Pozitif bir şimdiki değere sahip bir proje, işletme değerine katkıda bulunacağı için kabul edilmelidir. Negatif bir NŞD'e sahip bir proje ise reddedilmelidir. Dönem sonlarında gerçekleşen n tane nakit akımına sahip bir yatırımın şimdiki değeri (fiyatı) NA0, k, uygun iskonto oranı ve NAi'ler de dönemsel nakit akımları olsun. NA1 NA2 NAn NŞD = NAo + 1 + 2 + .... + (1 + k ) (1 + k ) (1 + k )n Bu denklem, gelecekteki getirileri (NAi) firmanın finansman giderleri (sermaye maliyeti) üzerinden iskontolayarak, gelecekteki getirilerin toplamını bugünün lirası karşılığına dönüştürür. Örneğin bir yatırımı sırasıyla her yılı sonunda 200, 300 ve 400 milyar TL getirdiğini, bu yatırıma başlangıçta 500 milyar TL bağlandığını ve iskonto oranının % 13 olduğunu varsayalım. Bu yatırımın nakit akımlarının şimdiki değeri şöyle olacaktır: 200 300 400 ŞD = ——— + ———— + ———— = 689.16 milyar TL (1+0.13)1 ( 1+0.13)2 (1+0.13)2 Bu yatırımı net şimdiki değerini şöyle hesaplarız: NŞD = 689.16 - 500 = 189.16 milyar TL 17
  • 18. Paydaşlar üçüncü yıl sonu itibariyle elde ettiği nakit akımlarının gelecek değeri (GD) ise şöyle hesaplanır: GD = 200(1+0.13)2 + 200(1+0.13)1 + 400 = 255.38 + 399 + 400 = 994.38 Başlangıçta yatırılan 500 milyar TL’nin gelecek değeri ise şöyle olacaktır: GD = 500(1+0.13)3 = 721.45 milyar TL Bu hesaplamalardan paydaşları üçüncü yıl sonu itibariyle kârı (K) şöyle olacaktır: K = 994.38 - 721.45 = 272.93 milyar TL Bu kârı yatırımı yapıldığı dönemdeki değere (NŞD) şöyle dönüştürebiliriz: 272.93 272.93 NŞD = ———— = ——— = 189.16 milyar TL (1+0.13)3 1.4429 Tartışmaları Tablo 3’de olduğu gibi özetleyebiliriz: Tablo : Net Şimdiki Değer Yöntemi Sermaye Finansman Yıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan 1 500.00 200.00 65.00 135.00 2 365.00 300.00 47.45 252.55 3 112.45 400.00 14.62 385.38 0 + 272.93 kâr Bu yatırım 3. yıl sonunda paydaşlara 272.93 milyar TL kâr bırakmıştır. Bu kârı 0. dönemdeki değeri daha önce tartışıldığı gibi 189.16 milyar TL düzeyindedir. Finansman giderlerinin sermaye harcamalarının kalanı üzerinden hesaplandığını hemen belirtelim. Bu proje paydaş servetini arttırdığı için üstlenilmelidir. ç Verim Oranı. ç verim oranı, projenin yarar ve maliyetlerini biribirine eşitleyen iskonto oranıdır. Başka bir deyişle, projenin NŞD'ini sıfır yapan iskonto oranıdır. lgili formül şöyledir: NA1 NA2 NAn NAo + + + ... + =0 (1 + VO ) 1 (1 + VO ) 2 (1 + VO ) n 18
  • 19. Projenin VO'ı sermayenin maliyetinden yüksekse, işletmenin değeri artacak olup, bu proje üstlenilmelidir. IVO, sermaye maliyetine eşit ise, yine proje üstlenilmelidir. VO, sermayenin maliyetinden düşükse proje reddedilmelidir. Bu yöntem bir örnekle şöyle açıklanabilir: 200 milyar TL'lik bir yatırımın birinci ve ikinci yıllarda 90 milyar TL ve üçüncü yıl 81.4 milyar TL getirdiğini varsayalım. Kullanılan iskonto oranı % 10 olsun. Bu verileri bir tablo ile özetleyelim: Tablo : ç Verim Oranı Yöntemi Sermaye Finansman Yıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan 1 200 80.0 20.0 60 2 140 80.0 14.0 66 3 74 81.4 7.4 74 0 + 0.0 kâr Bu örnekte görüldüğü gibi, proje ne kârlı ne de zararlıdır. Yatırım kendini itfa ettiği gibi, fon sağlayanlara % 10'luk bir getiri sağlamıştır. Bu durumda projenin ancak % 10'luk bir finansman giderlerine eşit bir verim sağladığı söylenebilir. şte bu % 10 iç verim oranından başka bir şey değildir. G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity) Faiz oranlarını hesaplamanın birçok yolu vardır ve en önemli olanlardan biri de vadeye kadar verim (yield to maturity) olarak adlandırılan yöntemdir. Buna gore hesaplanacak olan faiz oranı; borç enstrümanının bugünkü değerini, bu borç enstrümanı tarafından gelecekte yapılacak ödemelerin bugünkü değerine eşitleyen faiz oranı olacaktır. Ekonomistler, en doğru ölçülmüş faiz oranı olarak bu faiz oranını dikkate alırlar. Şimdi, vadeye kadar verim oranını sizlere daha once verdiğimiz 4 tür borç aracı için hesaplamaya çalışalım. Hesaplamaların kolay ve basit olması amacıyla dolar bazında örnekler vereceğiz. • Basit Ödünç Verme şlemi: 100 dolar ödünç veren birinin eline eğer vade sonunda 110 dolar gegeçiyorsa bu durumda bugünkü 100 doları 1 yıl sonra 110 dolara eşitleyecek faiz oranı vadeye kadar olan verimi verecektir. Yani aşağıdaki şekilde bir hesaplama yapacağız; 110 100 = (1 + i ) dolayısıyla bu denklemden “i” faiz oranını denklemin sol tarafına çekecek ve gerekli sadeleştirmeleri yapacak olursak aşağıdaki şekilde çözüme ulaşırız. 19
  • 20. 110 − 100 10 i= = = 0 . 10 = % 10 100 100 NOT: Basit ödünç verme işlemlerinde basit faiz oranı vadeye kadar olan verime eşit olur. Yani eğer bankaya paranızı bir yıllığına yıllık %50 basit faizle yatırıyorsanız, sizin vadeye kadaki veriminiz %50’dir. • Sabit Taksit Ödemeli Borç: Hatırlayacağınız üzere, burada borcun eşit taksitlere bölünmüş şekilde ödenmesi sözkonusuydu. Örneğin, bir banka şubesi, kendisinden araba kredisi isteyen bir müşterisi için galeriye 5 bin dolar ödeme yapıyor. Müşterisine de 3 yıl vadeli kredi açarak her yıl 2000 dolar ödemesini istiyor. Bu durumda banka için vadeye kadar verimi hesaplayalım. Bir başka deyişle tüketicinin kullandığı kredinin yıllık faiz maliyetini bulalım. Daha önce de belirttiğimiz gibi; bugün bankanın yaptığı ödemeyi, gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin toplam değerine eşitleyen faiz oranı, vadeye kadar olan verimdir. Formül ile gösterirsek; 2000 2000 2000 5 000 = + 2 + 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) Yukarıdaki formülde bu eşitliği sağlayan “i” değeri vadeye kadar olan verim oranıdır. Eğer bu eşitliği çözersek i=0.097 olarak bulunur. Dolayısıyla banka için yıllık vadeye kadar olan verim oranı %9.7 olarak bulunmuştur. Bir başka açıdan da Arabanın bize yıllık maliyet oranıdır. Banka açısından vadeye kadar olan verim, bizim için gerçekçi maliyettir. • Kuponlu Tahvillerde Vadeye Kadar Verim: Aslında kupon ödemeli tahvillerde de yukarıda sabit taksit ödemeli borç durumundaki yöntem izlenir. Tahvilin bugünkü değerini, ileride tahvil’den elde edilecek nakit akışının tümünün şimdiki değerine eşitleyen faiz oranı vadeye kadar olan verimi gösterecektir. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Gerçek piyasa faiz oranı bu yolla hesaplanan vadeye kadar verim oranıdır. Etkin bir tahvil piyasasında vadeye kadar verim o risk sınıfı için piyasa faiz oranıdır. Vadeye kadar verimin yorumunu şöyle yapabiliriz. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Vadeye kadar verimin gerçeğe dönüşmesi , yani elde edilen getiri ile aynı olması için bir takım koşulların sağlanması gerekmektedir. Bu koşulları şöyle sıralayabiliriz. 20
  • 21. Tahvil vade bitimine kadar elde tutulmalıdır. Vadeden önce satıldığı takdirde piyasa koşullarına bağlı olarak satış fiyatının durumuna göre elde edilecek getiri vadeye kadar verimden farklı olabilir. Tüm kupon faiz ve anapara geri ödemelerin zamanında ve eksiksiz olarak yapılması gerekmektedir. Aksi halde gerçekleşen getiri vadeye kadar verimin altında kalır. Vadeden önce itfası söz konusu olmamalıdır. Yatırımcı tarafından tahsil edilen kupon faiz ödemeleri vadeye kadar eşit verime eşit bir faiz oranından yeniden yatırıma dönüşmelidir. Yatırımcı elde ettiği kupon gelirlerini harcamadan yatırıma yöneltmeli , üstelik bu yeni yatırımdan sağlayacağı getiri tahvilin vadeye kadar verimine eşit olmalıdır. Yeniden yatırma getirisinin vadeye kadar verimden düşük olması durumunda gerçekleşen getiri vadeye kadar verimden az olacak, aksi halde ise onun üzerinde bir değere ulaşacaktır. Tahvilin fiyatı genellikle nominal değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilmektedir. Tahvil analizinde çoğu kez piyasa işlem fiyatı doğrudan gözlemlendiği halde vadeye kadar verim bilinmeyeni teşkil etmektedir. Yani tahvilin birim fiyatı, kupon ödemeleri ve anapara ödemelerinin tarih ve büyüklüğü bilindiği halde piyasa ıskonto faiz oranının bulunması gerekebilir. Böyle bir durumda tahvil bugünkü değer formülünde deneme yanılma yoluyla çözüme ulaşmak en kolayı olacaktır. Tahvilin değeri eğer nominal değerden küçükse kupon ödeme faizinden daha düşük bir ıskonto faiziyle denemeler başlatılmalı, aksi durumda ise tam tersi uygulanarak sonuca ulaşmaya çalışılmalıdır. Vadeye kadar verimi daha kısa yoldan, deneme yanılma yöntemine başvurmaksızın yaklaşık olarak hesaplamak mümkündür. Bu yaklaşık hesaplama formülü şöyle ifade edilebilir. V − TD rV + i ≅ N TD + V 2 Burada : i : vadeye kadar verim r : Kupon Faizi V: Tahvilin nominal değeri TD: Tahvilin şu anki piyasa fiyatı N: Vadeye kadar olan yıl sayısı Örneğin, üç yıl vadeli, nominal değeri 100.000 TL, %75 kupon faiz ödemeli ve şu anki piyasa değeri 96,000 TL olan tahvilin vadeye kadar verimini bu formülle hesaplarsak aşağıdaki rakam bulunur. 21
  • 22. 100 , 000 − 96 , 000 75 , 000 + i ≅ 3 ≅ 0 , 78 96 , 000 + 100 , 000 2 Burada ortaya çıkan %78’lik rakam aslında vadeye kadarki verimi en doğru şekilde vermemektedir ve yaklaşık bir rakam olarak alınmalıdır. Normal şartlar altında, yukarıdaki formül yerine aşağıdaki formülü kullansaydık ve “i” değerini bu formülden hesaplasaydık %78.8 olarak bulmalıydık. rV rV rV V TD = + 2 + 3 + 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 75 , 000 75 , 000 75 , 000 100 , 000 96 , 000 = + 2 + 3 + 3 i = %78.8 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) • skontolu Bonolarda Vadeye Kadar Verim: skontolu bonolarda kupon bulunmaz. Dolayısıyla faiz fiyatın içindedir ve bu bonolar ilk arz edilirken, fiyatlarında iskonto yapılmştır. Bu tür iskontolu bonolarda vadeye kadar verimi V −F 360 hesaplamak kolaydır. formül ; i = * şeklinde verilebilir. F Vadeye kalan gün Örneğin; şu anki piyasa fiyatı 55000 Tl ve nominal değeri (itfa değeri) 100.000 TL olan bir yıl vadeli bir bononun vadeye kadarki verimini hesaplayalım. 100 , 000 − 65 , 000 35 , 000 i= = = 0 . 5384 = % 53 . 84 ; burada vadeye kadarki 65 , 000 65 , 000 verim %53.84 seviyesindedir. H. Özet Ve Sonuçlar Bu bölümde bileşik faiz, anüite hesaplamaları, itfa tablosu, ödenim fonu, gelecek ve şimdiki değer hesaplamaları, ve net şimdiki değer ve iç verim oranı konuları ele alınmıştır. Ayrıca tahvilk ve boıno değerlemesinde kullanılan oranlar verilmiştir. Hemen hemen tüm finans modellerinde paranın zaman değeri yaklaşımını yoğun olarak kullanır. Bu nedenle nakit akımlarını değerlendirirken paranın zaman değeri gözönüne alan finans matematiği ilkelerinden yoğun bir biçimde yararlanılır. Yararlanılan Kaynaklar 22
  • 23. Arman T. Tevfik, Gürman Tevfik Finans Matematiğine Giriş, T. ş Bankası Kültür Yayınları, Istanbul, 1996. Arman T. Tevfik, Temel Finans Matematiği , Ders Notları , Istanbul, 2001. 23