Metodo de-pothenot

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO TOPOGRAFIA II
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
1
2016
METODO DE POTHENOT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Escuela Académico – Profesional de Ingeniería
Civil
TOPOGRAFIA II
Integrantes:
- BELTRAN RODRIGUEZ , Carlos
- GOMEZ PAREDES, Litman
- LUJAN RAMIREZ , Douglas
- RAMIREZ CARBAJAL , Javier
- SOLORZANO RODRIGUEZ , Peter
Docente:
Villar Quiroz, josualdo
Fecha: 3 de noviembre

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METODO DE POTHENOT
INTRODUCCION:
El problema Snellius-Pothenot es un problema en el plano de topografía . Teniendo
en cuenta tres puntos conocidos A, B y C, un observador en un punto desconocido
P observa que el segmento AC abarca un ángulo y el segmento CB subtiende un
ángulo ; el problema es determinar la posición del punto P.
Dado que se trata de la observación de los puntos conocidos de un punto
desconocido, el problema es un ejemplo de la resección. Históricamente se estudió
por primera vez por Snellius , que encontró una solución hacia 1615.

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BIOGRAFIA:
Willebrord Snel van Royen (Leiden, 1580 - 30 de
octubre de 1626), también conocido como Snellius e
indebidamente reflejado como Snell, fue un astrónomo y
matemático holandés celebre por la ley de la refracción que
lleva su nombre.
Introdujo varios descubrimientos importantes sobre el tamaño
de la Tierra y realizo mejoras al método aplicativo del cálculo.
TOPOGRAFIA:
En 1615 Snellius, después del trabajo de Eratóstenes en Egipto ptolemaico en el
siglo 3 aC, probablemente fue el primero en tratar de hacer un experimento a gran
escala para medir la circunferencia de la tierra usando triangulación. Fue ayudado
en sus mediciones por dos de sus estudiantes, los barones de Austria Erasmus y
Casparus Sterrenberg. En varias ciudades que también recibió el apoyo de amigos
entre los líderes de la ciudad (Regenten ).En su obra El terrae ambitus vera
cuantificar (1617) bajo el nombre del autor (“Los holandeses Eratóstenes") Snellius
describe los métodos que utilizó. Se le ocurrió una estimación de 28.500 barras de
Renania - en unidades modernas 107.37km [5] para un grado de latitud . 360 veces
107.37 continuación, da una circunferencia de la Tierra de 38.653 km. La
circunferencia real como sabemos ahora es 40.075 kilómetros. Así Snellius
subestimó la circunferencia de la tierra en un 3,5%.
Snellius llegó a su resultado mediante el cálculo de las distancias entre varios
puntos altos en el llano al oeste y el suroeste de los Países Bajos
utilizando triangulación . Con el fin de llevar a cabo estas mediciones con precisión
Snellius tenía una gran cuadrante integrado, con el que pudo medir con precisión
los ángulos en décimas de grado. Este cuadrante todavía se puede ver en el Museo
Boerhaave en Leiden. En una red de catorce ciudades se realizaron un total de 53
mediciones de triangulación. En sus cálculos Snellius hace uso del hecho de que

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había encontrado una solución para lo que ahora se llama el Problema Snellius-
Pothenot .
Por necesidad Snellius sus puntos altos eran casi todos agujas de las iglesias . Casi
no había otros edificios altos en el tiempo del oeste de los Países Bajos. Más o
menos ordenada de norte a sur y / o sucesiva con el fin de medir Snellius utiliza una
red de catorce puntos de medida. La distancia real entre las dos torres de las iglesias
de Alkmaar y Breda , dos lugares casi en el mismo meridiano , [7] es 116,1
kilómetros. La diferencia de latitud entre Alkmaar (52 ° 37 '57 "N) y Breda (51 ° 35'
20" N) se expresa en el sistema decimal 1,0436 grados. Asumiendo Snellius
corregido para esto es necesario que haya calculado todavía una distancia de
107.37 * 1,0436 = 112,05 kilómetros entre el Sint-Laurenskerk en Alkmaar y el Grote
Kerk en Breda.
FUNDAMENTO TEORICO:
INTERSECCION INVERSA SIMPLE:
a) Descripción del método
b) Resolución Grafica
c) Incertidumbre a Priori
d) Planimetría (X, Y)
a) Método de Pothenot
b) Otras variantes
e) Altimetría(H)
f) Obtención de coordenadas con datos previos en la proyección UTM.

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1. Descripción de Método:
La intersección inversa simple es un problema clásico de topografía y es
conocido como un problema de Pothenot por ser autor el que primero obtuvo
la resolución numérica del mismo.
La intersección inversa simple consiste en la observación desde un vértice
cuyas coordenadas planimetrías se pretenden obtener, de otros tres cuyas
coordenadas son conocidas.
Los tres puntos visuales PA, PB y PC proporcionan los datos necesarios
para resolver matemáticamente el problema.
Se conocerán las coordenadas: A (Xa, Ya), B (Xb, Yb), C (Xc, Yc).
2. Resolución Grafica:
El grafico siguiente refleja el procedimiento de resolución de una intersección
inversa simple por el método de intersección de los arcos capaces de los
ángulos ᾳ y ᵦ.

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El problema no tiene solución cuando los cuatro puntos están en la misma
circunferencia. Cuando esto sucede los dos arcos capaces se superponen.
Esta circunferencia se denomina circunferencia peligrosa, y viene definida
por la condición: ᾳ+ᵦ+B=200g
En una intersección inversa es necesario controlar que no se de esta
situación.
LA FORMULACION DE LAS ECUACIONES :
1. Primera ecuación
Denotando el (desconocido) ángulos de la PAC como x y CBP como y obtenemos:
x+y=2π-ᾳ-ᵦ-C

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Mediante el uso de la suma de la fórmula ángulos para el cuadrilátero PACB. La
variable C representa el ángulo interno (conocido) en este cuadrilátero en el
punto C. (Tenga en cuenta que en el caso en que los puntos C y P están en el
mismo lado de la línea AB, que el ángulo C sea mayor que pi).
2. Segunda ecuación
La aplicación de la ley de los senos en triángulos PAC y PBC podemos expresar
PC de dos formas diferentes:
Un truco útil en este punto es definir un ángulo auxiliar ɸ de tal manera que
Tanɸ= (BCsenᾳ)/ (ACsen ᵦ)
(Una pequeña nota: que debe estar preocupado por la división por cero, pero tenga
en cuenta que el problema es simétrico, por lo que si uno de los dos ángulos dados
es igual a cero, podemos, si es necesario, cambiar el nombre de ese ángulo alfa y
llamar a la otra (que no sea cero) ángulo beta, invirtiendo los papeles de a y B
también. Esto será suficiente para garantizar que la relación anterior está bien
definido. Una aproximación alternativa al problema ángulo cero se da en el algoritmo
a continuación).
Con esta sustitución se convierte en la ecuación:
Sen x/sen y=tanɸ
Podemos utilizar dos conocidos identidades trigonométricas , a saber,
tan((π/4)-ɸ)=(1-tanɸ)/(1+tanɸ)
𝐓𝐚𝐧 [
𝐱 − 𝐲
𝟐
]
𝐭𝐚𝐧 [
𝐱 + 𝐲
𝟐
]
=
𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 𝒚
𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒚
(A*C*senx)/senᾳ=P*C= (B*C*sen y)/sin ᵦ

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Para poner esto en la forma de la segunda ecuación que necesitamos
tan(0.5)(x-y)=tan(0.5)(ᾳ+ᵦ+C)tan(π/4-ɸ)
Ahora tenemos que solucionar estas dos ecuaciones con dos incógnitas. Una vez
que x y y son conocidos los diferentes triángulos se pueden resolver sin rodeos para
determinar la posición de P. [1] El procedimiento detallado se muestra a
continuación.
ALGORITMO DE SOLUCION:
Teniendo en cuenta dos longitudes AC y BC, y tres ángulos ᾳ, ᵦ y C. La solución
procede de la siguiente manera, usando una hoja de cálculo :
 Calcular ɸ=atan2 (BCsen ᾳ, ACsen ᵦ). Cuando atan2 es un ordenador de
función, también llamado el arco tangente de dos argumentos, que devuelve el
arco tangente de la relación de los dos valores dados. Tenga en cuenta que
en Microsoft Excel los dos argumentos se invierten, por lo que la sintaxis
correcta sería '= atan2 (AC * sin (beta), AC * sen (alfa))'. La función atan2
controla correctamente el caso en que uno de los dos argumentos es cero.
 Calcular k= 2π-ᾳ-ᵦ-C
 Calcular w=2atan[tan(π/4-ɸ)tan(0.5)(ᾳ+ᵦ+C)
 Encontrar x=(K+W)/2 y y=(k-W)/2
 Si sen ᵦ>senᾳ calcular PC=BCsen y/senᵦ más use PC=ACsen x/sen ᾳ
 Encontrar 𝑃𝐴 = √ 𝐴𝐶2 + 𝑃𝐶2 − 2𝐴𝐶 ∗ 𝑃𝐶 ∗ cos(𝜋 − ᾳ − 𝑥) (Esto viene de la ley
de los cosenos .)
 Encontrar 𝑃𝐵 = √ 𝐵𝐶2 + 𝑃𝐶2 − 2 ∗ 𝐵𝐶 ∗ 𝑃𝐶 ∗ cos(𝜋 − ᵦ − 𝑦)
Si las coordenadas de A: x A, y A y C: x C, y C son conocidos en algunos cartesiano
apropiado sistema de coordenadas a continuación las coordenadas de P se pueden
encontrar también.
SOLUCION GEOMETRICA:

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Por el ángulo inscrito teorema el lugar geométrico de puntos de los cuales abarca
un ángulo de CAᾳ es un círculo que tiene su centro sobre la línea media de
AC; desde el centro O de este círculo AC subtiende un ángulo 2ᾳ. Del mismo modo
el lugar de los puntos de la que CB subtiende un ángulo ᵦ, es otro círculo. El punto
P es deseado en la intersección de estos dos loci.
Por lo tanto, en un mapa o carta náutica que muestra los puntos A, B, C, la
construcción siguiente gráfica se puede utilizar:
 Dibujar el AC segmento, el punto medio M y la línea media, que cruza
perpendicularmente al AC M. En esta línea de encontrar el punto O de tal
manera que 𝑀𝑂 =
𝐴𝐶
2𝑡𝑎𝑛ᾳ
. Dibujar el círculo con centro en O que pasa por A y C.
 Repita la misma construcción con los puntos B, C y el ángulo ᵦ.
 Mark P en la intersección de los dos círculos (los dos círculos se cruzan en dos
puntos; un punto de intersección es C y el otro es el punto deseado P.)

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