SlideShare a Scribd company logo
1 of 35
Download to read offline
- 0 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 0
- 1 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. 
Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση 
με δύο αγνώστους κάθε εξίσωση 
της μορφής α x +β y =γ . 
Η εξίσωση x =κ παριστάνει 
γραφικά ευθεία παράλληλη προς 
τον άξονα yy΄, δηλαδή ευθεία 
κάθετη στον άξονα xx΄ και τέμνει 
τον xx΄ στο σημείο (κ,0). 
Η εξίσωση y =α x +β είναι η 
εξίσωση ευθείας που 
περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που 
δεν είναι παράλληλες στον yy΄. 
Η γραμμική εξίσωση της μορφής α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει όλες τις 
παραπάνω ευθείες γιατί: 
α γ α γ 
+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον xx΄). 
 Αν α ≠ 0 και β=0 τότε x 0y x x 
γ 
α 
+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον yy΄). 
χ β γ β γ 
 Αν α=0 και β ≠ 0 τότε 0 y y y 
γ 
β 
α γ 
 Αν α ≠ 0 και β ≠ 0 τότε y x y ( ) 
= − ⇔ = − + (είναι της μορφής y =α x +β , 
β γ α χ 
β β 
δηλαδή είναι εξίσωση ευθείας που περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που δεν είναι 
παράλληλες στον yy΄). 
Οπότε: Η γραμμική εξίσωση α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει οποιαδήποτε ευθεία. 
Ονομάζουμε σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων δύο γραμμικές εξισώσεις των οποίων ζητάμε 
τις κοινές λύσεις και γράφουμε 
συμβολικά: 
Σ  
( ) 
 + = 
α β γ 
α β γ 
x y 
΄x ΄y ΄ 
 + = 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1
- 2 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Λύση ενός συστήματος ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος 0 0 (χ ,y ) που επαληθεύει τις 
εξισώσεις του. 
Επίλυση ενός συστήματος ονομάζουμε την εύρεση όλων των λύσεών του. 
• 
Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων της μορφής: 
α β γ 
α β γ 
+ =  
 + = 
x y 
΄x ΄y ΄ 
1) Μέθοδος αντικατάστασης. 
Πρώτα λύνουμε την μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο (π.χ. ως προς x). 
Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την 
εξίσωση που προκύπτει με την αντικατάσταση ως προς τον άλλο άγνωστο y. Αντικαθιστούμε 
την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο x. 
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής). 
Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι 
συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. 
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, 
την οποία και επιλύουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις 
αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου. 
Η επίλυση ενός συστήματος γίνεται με την κατάλληλη μετατροπή του σε άλλα συστήματα 
που έχουν τις ίδιες ακριβώς με αυτό λύσεις. Τα συστήματα αυτά λέγονται ισοδύναμα. 
Η μετατροπή συστήματος σε ισοδύναμο γίνεται συνήθως με έναν από τους παρακάτω 
τρόπους: 
i. Λύνουμε την μία εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον 
αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. 
ii. Αντικαθιστούμε μία από τις εξισώσεις (ε) ή (ε΄) του συστήματος, π.χ. την (ε) με την 
εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με 
λ ≠ 0 προσθέσουμε τα μέλη της (ε΄) πολλαπλασιασμένα με λ΄. 
Η εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε΄). Η 
απόδειξη ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα, 
στηρίζεται στις ιδιότητες της ισότητας και των πράξεων που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο: «αν 
γ ≠ 0 τότε α=β⇔ α ⋅ γ = β ⋅ γ », και «αν α=β και γ=δ τότε α+γ=β+δ». 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2
- 3 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Λύση 
1) Μέθοδος αντικατάστασης. 
x + 2 y = 4 ⇔ x = 4 − 2 y οπότε η (2) γράφεται 
2 1 2(4 2 ) 1 8 4 1 3 1 8 3 9 3 9 
+ = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − ⇔− = − − ⇔− = − ⇔ = ⇔ 
= ⇔ = 
x y y y y y y y y 
y y 
Αντικαθιστώ την τιμή του y στην x = 4 − 2y και έχω: x = 4 − 2 ⋅ 3 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2. 
Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). 
+ = − + = − 
−3y = −9 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3. Αντικαθιστώ την τιμή του y σε μία από τις δύο πρώτες εξισώσεις 
του συστήματος και έχουμε: x + 2 ⋅ 3 = 4 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2. Άρα η λύση του συστήματος 
είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). 
3 
A(0,2) 
2 
1 
Μ(-2,3) 
Δ(-1/2,0) 
 + = 
2 4 (1) 
x y 
x y 
Σ  
 + = 
2 1 (2) 
+ = − − − = − 
2 4 2 2 4 8 
(+ ) 
1 2 -2 -1 0 
1 2 3 4 
-1 
-2 
B(4,0) 
Γ(0,-1) 
1. Να λυθεί το σύστημα: 
( ) : 
9 
3. 
3 
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. 
x y x y 
⇔ 
x y x y 
2 1 1 2 1 
3) Γραφική επίλυση του συστήματος. 
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που 
παριστάνουν οι εξισώσεις του 
συστήματος. 
i. X+2y=4. Άρα για x=0 τότε 
0+2y=4⇔2y=4⇔y=2 άρα σημείο το 
Α(0,2). 
Για y=0 τότε x=4 άρα σημείο το Β(4,0). 
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 
x+2y=4 είναι η ευθεία ΑΒ. 
ii. 2x+y=-1. Άρα για x=0 τότε y=-1, το 
σημείο είναι Γ(0,-1). 
Για y=0 είναι 
1 
x 
= − άρα το σημείο 
2 
είναι Δ(-1/2,0). 
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 
2x+y=-1 είναι η ευθεία ΓΔ. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3
- 4 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι x=-2 και y=3. Άρα η λύση 
του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). 
• 
2. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
+ =  
 + = − 
3 3 (1) 
x y 
x y 
2 6 5 (2) 
Λύση 
1) Μέθοδος αντικατάστασης. 
x + 3y = 3 ⇔ x = 3 − 3y . Οπότε η (2) γράφεται: 
2(3 − 3y) + 6y = −5 ⇔ 6 − 6y + 6y = −5 ⇔ 6 = −5 δεν ισχύει οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. 
+ = − − − = − 
x 3y 3 2 2x 6y 6 
⇔ 
2x 6y 5 1 2x 6y 5 
+ = − + = − 
(+) (απαλοιφή του x) 
0x+0y=-11⇔0=-11 δεν ισχύει άρα το σύστημα είναι αδύνατο.(Δηλαδή δεν 
υπάρχουν x, y που να επαληθεύουν το σύστημα). 
3) Γραφική επίλυση του συστήματος. 
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος. 
i. X+3y=3. Άρα για x=0 τότε 
0 + 3y = 3 ⇔ 3y = 3 ⇔ y = 1 άρα 
σημείο το Α(0,1). 
Για y=0 τότε x = 3 άρα σημείο το Β(3,0). 
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 
x+3y=3 είναι η ευθεία ΑΒ. 
ii. 2x+6y=-5. Άρα για x=0 τότε 
5 
= − ⇔ = − άρα το σημείο 
6y 5 y 
6 
είναι το Γ(0,-5/6). 
Για y=0 τότε 
5 
= − ⇔ = − άρα 
2x 5 x 
2 
το σημείο είναι το Δ(-5/2,0). 
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2x+6y=-5 είναι η ευθεία ΓΔ. 
Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες γιατί αν τις λύσουμε ως προς y έχουμε 
1 
y = − x ⇔ y = − x + 
3 3 1 
3 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4
- 5 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
2 5 1 5 
y = − − x ⇔ y = − x − ⇔ y = − x − . 
6 5 2 
6 6 3 6 
Έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης το -1/3. Επειδή όμως δεν υπάρχει κοινό σημείο, δεν 
υπάρχει λύση του συστήματος. 
• 
3. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
+ = −  
 + = 
2 2 (1) 
x y 
x y 
2 4 -4 (2) 
Λύση 
1) Μέθοδος αντικατάστασης. 
x + 2y = −2⇔ x = −2 − 2y . Άρα η (2) γράφεται 
2(−2 − 2 y) + 4 y = −4⇔ −4 − 4 y + 4 y = −4 ⇔ −4 = −4 . Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα 
έχει άπειρες λύσεις (Α.Λ.). 
Έστω x=κ, τότε 
− − 
2 κ 
+ = − ⇔ = − − ⇔ = οπότε οι Α.Λ. είναι της μορφής 
κ 2y 2 2y 2 κ y 
2 
− − 
2 κ 
= με κ∈ ℝ . 
(χ, y) (κ, ) 
2 
2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. 
+ = − − − − = 
2 2 2 2 4 4 
(+) (απαλοιφή του x) 
x y x y 
⇔ 
x y x y 
+ = − + = − 
2 4 4 1 2 4 4 
 
0x+0y=0⇔0=0. Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις 
της μορφής 
− − 
2 
κ 
= με κ∈ ℝ , τις οποίες υπολογίζουμε όπως στα προηγούμενα. 
χ κ 
( , ) ( , ) 
2 
y 
3) Γραφική επίλυση του συστήματος. 
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος. 
i. x+2y=-2. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Α(0,-1). 
Για y=0 τότε το x=-2 άρα το σημείο είναι το Β(-2,0). 
Η γραφική παράσταση της ευθείας x+2y=-2 είναι η ευθεία ΑΒ. 
ii.2x+4y=-4. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Γ(0, -1). 
Για y=0 τότε x=-2 άρα το σημείο είναι το Δ(-2, 0). 
Παρατηρούμε ότι τα σημεία Α και Γ συμπίπτουν, όπως και τα Β και Δ. Άρα οι ευθείες ΑΒ και 
ΓΔ ταυτίζονται και αυτό σημαίνει ότι παριστάνουν την ίδια ευθεία. Επομένως, κάθε σημείο 
της ευθείας αυτής ορίζει και μία λύση του συστήματος, που είναι της μορφής 
− − 
2 
κ 
κ 
( , ) 
2 
όπου κ ∈ ℝ . 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5
- 6 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
• 
4. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
  
x + y x − y 
= 5 3 
 + − − = + 
 
1 
x y x y y 
2 3 2 
Λύση 
Η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται 
+ − + − 
x y x y x y x y 
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ 
15 15 3( ) 5( ) 3 3 5 5 
x y x y x y x y 
5 3 5 3 
3 x − 5 x + 3 y + 5 y = 0 ⇔ − 2 x + 8 y = 0 ⇔ − x + 4 y = 0 ⇔ x − 4 y 
= 
0 
Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) γράφεται 
+ − + − 
x y x y y x y x y y 
− = + ⇔ − = + ⋅ ⇔ + − − = + ⇔ 
1 6 6 6 6 1 3( x y ) 2( x y ) 3 y 
6 
2 3 2 2 3 2 
3 x + 3 y − 2 x + 2 y = 3 y + 6 ⇔ 3 x + 3 y − 2 x + 2 y − 3 y − 6 = 0 ⇔ x + 2 y 
= 
6 
Άρα (Σ) 
 − = 
4 0 
2 6 
x y 
x y 
⇔ 
 + = 
και το λύνουμε κατά τα γνωστά. 
( ) 
− = − = 
4 0 1 4 0 
+ 
x y x y 
⇔ 
x y x y 
+ = − − − = − 
2 6 1 2 6 
(απαλοιφή του x) 
−6 y = −6 ⇔ y = 1 άρα x − 4y = 0⇔ x − 4 = 0⇔ x = 4 οπότε η λύση του (Σ) 
είναι (x, y) = (4, 1). 
• 
5. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(4,5). 
Λύση 
Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή y=αx+β (1). Αφού η ευθεία με εξίσωση την (1) διέρχεται 
από τα σημεία Α, Β οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την (1) άρα 
2 =α ⋅3 + β ⇔ 3α + β = 2 και 5 = 4α + β ⇔ 4α + β = 5 . 
Λύνουμε με τον γνωστό τρόπο το σύστημα 
α β 
α β 
+ =  
 + = 
3 2 
4 5 
οπότε έχουμε 
+ = + = 
3α β 2 1 3α β 2 
⇔ 
4α β 5 1 4α β 5 
+ = − − − = − (+) (απαλοιφή του β) 
-α=-3⇔α=3 άρα 3α + β = 2⇔ 3⋅3 + β = 2⇔β = 2 − 9⇔β = −7 . 
Οπότε αφού υπολογίσαμε τα α, β μπορούμε να προσδιορίσουμε την ζητούμενη ευθεία (1) για 
την οποία θα έχουμε: y=3x-7. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 6
- 7 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
3) Λύση συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών. 
Έστω το σύστημα 
+ =  
 + = 
α β γ 
α β γ 
x y 
΄x ΄y ΄ 
. 
α β 
α΄ β΄ 
D = =αβ΄ −α΄β λέγεται ορίζουσα του 
συστήματος. 
γ β 
γ΄ β΄ 
x D = = γβ΄ − γ ΄β , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν στη θέση των 
συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους. 
α γ 
α΄ γ΄ 
y D = =αγ΄ −α΄γ , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από τη D αν στη θέση των 
συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους. 
i. Αν D ≠ 0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την , x y D D 
= = . 
x y 
D D 
ii. Αν D=0 και 0 ή 0 x y D ≠ D ≠ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. 
iii. Αν 0 x y D = D = D = τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν α=α΄=β=β΄=0 και 
γ ≠ 0 ή γ΄ ≠ 0 οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. 
Κάθε σύστημα της μορφής 
0 
0 
α β 
α β 
x + y 
=  ΄x +  
΄y 
= 
ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ 
αδύνατο. Έχει λύση πάντα τη μηδενική (x, y)=(0, 0) και εξετάζουμε αν έχει και άλλες λύσεις 
εκτός από τη μηδενική. 
i. Αν D ≠ 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την μηδενική. 
ii. Αν D=0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις στις οποίες ανήκει και η μηδενική. 
1. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ): 
χ − =  
 + = 
2 25 5 
3 12 
y 
x y 
. 
Λύση 
 − =  − = 
 ⇔  
 + =  + = 
2 x 25 5 y 2 x 5 y 
25 
3 x y 12 3 x y 
12 
Βρίσκουμε την D 
2 -5 
D = = 2 − 3( − 5) = 2 + 15 = 17 ≠ 0 
οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. 
3 1 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7
- 8 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Βρίσκουμε τις Dx και Dy 
25 -5 
12 1 x D = = − − = + = 
25 12( 5) 25 60 85 
2 25 
3 12 y D = = − = − 
24 75 51 
Οπότε η μοναδική λύση του συστήματος είναι 
x y D D 
85 51 
= = = 5, = = − = − 3 
. 
x y 
17 17 
D D 
• 
2. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ): 
λ − + = λ 
−  λ − +  
λ = λ 
− 
( 1) x 2 y 
2 
( 1) x y 
3( 2) 
. 
Λύση 
Βρίσκουμε την 
λ-1 2 
D = = λ ( λ − 1) − 2( λ − 1) = ( λ − 1)( λ − 2) 
. Μετά βρίσκουμε την 
λ-1 λ 
λ-2 2 
D = = λ ( λ − 2) − 6( λ − 2) = ( λ − 2)( λ − 6) 
x και την 
3(λ-2) λ 
λ-1 λ-2 
D = = ( λ − 1) ⋅ 3( λ − 2) − ( λ − 1)( λ − 2) = ( λ − 2)[3( λ − 1) − ( λ − 1)] = 2( λ − 2)( λ − 1) 
y . 
λ-1 3(λ-2) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 
1. D ≠ 0 ⇔ (λ −1)(λ − 2) ≠ 0 ⇔λ −1 ≠ 0 και λ - 2 ≠ 0⇔λ ≠ 1 και λ ≠ 2 . Τότε το σύστημα έχει 
Μοναδική Λύση (Μ.Λ.) την 
− − − 
λ λ λ 
( 2)( 6) 6 
( 1)( 2) 1 
x D 
D 
χ 
= = = 
− − − 
λ λ λ 
, 
λ λ 
λ λ 
− − 
2( 2)( 1) 
2 
= = = 
− − 
( 1)( 2) 
y D 
y 
D 
. 
2. D=0⇔(λ −1)(λ − 2) = 0⇔λ −1 = 0 ή λ − 2 = 0⇔λ =1 ή λ = 2 . 
i. Για λ=1 έχω (1 2)(1 6) ( 1)( 5) 5 0 x D = − − = − − = ≠ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 8
- 9 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
ii. Για λ=2 έχω Dx = 0 και Dy = 0 . Επειδή ένας τουλάχιστον συντελεστής των αγνώστων είναι 
διάφορος του μηδενός (π.χ. του y στην πρώτη εξίσωση), το σύστημα έχει άπειρες λύσεις 
δηλαδή είναι αόριστο. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του. 
Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται: 
(2 1) 2 0 2 0 
 − + =  + = 
 ⇔  ⇔ + = 
 − + = −  + = 
2 0 
x y x y 
(2 1) 2 3(2 2) 2 0 
x y 
x y x y 
. Θέτω x= κ οπότε 
= − ⇔ = −κ ⇔ = − άρα οι άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής 
2 2 
κ 
2 
y x y y 
κ 
= κ − με κ ∈ ℝ . 
( , ) ( , ) 
2 
x y 
• 
3. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
2 2 
 − = 
 
 − = 
λ λ 
λ λ λ 
2 
x y 
x y 
. 
Λύση 
Βρίσκουμε την 
2 
λ -λ 2 3 2 2 
D = = −λ ⋅λ − λ −λ = −λ + λ = −λ λ − 
( ) ( 1) 
λ -λ 
Μετά την 2 2 -λ 
x D = = − λ − λ −λ = − λ + λ = λ λ − 
2 2 ( ) 2 2 2 ( 1) 
2λ -λ 
2 
λ 2 3 2 
D = = 2 λ − 2 λ = 2 λ ( λ − 1) = 2 λ ( λ − 1)( λ + 1) 
y . 
λ 2λ 
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 
1. D ≠ 0⇔ −λ 2 (λ −1) ≠ 0⇔ −λ 2 ≠ 0 και λ-1 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 1. Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. 
λ λ 
− 
λ λ λ 
2 ( 1) 2 
x D 
x 
= = = − 
την 2 
− − 
( 1) 
D 
λ λ λ λ 
− + + 
2 ( 1)( 1) 2( 1) 
y D 
y 
= = = − 
, 2 
− − 
λ λ λ 
( 1) 
D 
. 
2. D = 0⇔ −λ 2 (λ −1) = 0⇔ −λ 2 = 0 ή λ −1 = 0⇔λ = 0 ή λ = 1. 
i. Για λ=0 έχω 2 0(0 1) 0, 2 0(0 1)(0 1) 0 x y D = ⋅ − = D = ⋅ − + = . Οπότε το αρχικό σύστημα 
παίρνει τη μορφή: 
− = 
− = 
0 x 0 y 
2 
0 x 0 y 
0 
που είναι αδύνατο γιατί οι συντελεστές των αγνώστων 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9
- 10 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
είναι μηδέν ενώ ένας σταθερός όρος είναι διάφορος του μηδενός (η πρώτη εξίσωση 
δίνει 0=2). 
ii. Για λ=1 έχω D 2 1(1 1) 0 Dx = ⋅ − = και Dy = 2 ⋅1(1−1)(1+1) = 0 . Δηλαδή είναι πάλι D=0, 
0 x y D = D = . Αλλά τώρα για λ=1 το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή: 
− = 
− = 
x y 2 
x y 2 
που 
είναι αόριστο γιατί υπάρχει μη μηδενικός συντελεστής των x, y στις εξισώσεις του 
συστήματος. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του. 
 − = 
2 
 ⇔ − = 
 − = 
2 
2 
x y 
x y 
x y 
. Θέτω x= κ οπότε − y = 2 − x ⇔ − y = 2 −κ ⇔ y =κ − 2 άρα οι 
άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής (x, y)= (κ, κ-2) με κ ∈ ℝ . 
• 
4. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
λ + λ 
+ =   
λ 
+ = 
( 1) 0 
x y 
x y 
2 8 0 
Λύση 
Το σύστημα έχει φανερά τη μηδενική λύση (0, 0). Θε εξετάσουμε τώρα αν έχει και άλλες λύσεις 
μη μηδενικές. 
Βρίσκουμε την 
λ λ+1 
D = = 8 λ − 2 λ ( λ + 1) = 2 λ (4 − ( λ + 1)) = 2 λ (4 −λ − 1) = 2 λ ( −λ + 3) = − 2 λ ( λ − 3) 
. 
2λ 8 
0 λ+1 
D = = 8 ⋅ 0 − 0( λ + 1) = 0 
x , 
0 8 λ 0 
D = = λ ⋅ 0 − 2 λ ⋅ 0 = 0 
y . 
2λ 0 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 
1. D ≠ 0⇔ −2λ (λ −3) ≠ 0⇔−2λ ≠ 0 και λ − 3 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 3 , τότε το σύστημα έχει 
Μ.Λ. την 
x y D D 
0 0 
= = = = = = 
0, y 
0 
− λ λ − − λ λ 
− 
2 ( 3) 2 ( 3) 
D D 
χ 
. 
2. D = 0⇔ −2λ (λ − 3) = 0⇔ −2λ = 0 ή λ − 3 = 0⇔λ = 0 ή λ = 3 . 
i. Για λ=0 το σύστημα γίνεται 
 0 χ + y = 0  y 
= 
0 
 ⇔  
 0 x + 8 y = 0 
 x 
∈ ℝ 
οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις 
της μορφής (x, 0) όπου x οποιοσδήποτε αριθμός. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 10
- 11 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
ii. Για λ=3 το σύστημα γίνεται 
 3 + 4 = 0  3 + 4 = 0  3 + 4 = 
0 
 ⇔  ⇔  ⇔ + = 
 + =  + =  + = 
3 4 0 
x y x y x y 
6 8 0 2(3 4 ) 0 3 4 0 
x y 
x y x y x y 
. Έστω y= κ τότε 
4 
4 
= − ⇔ = − , άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής κ 
3x 4κ χ κ 
3 
− ∈ ℝ . 
( κ,κ) 
3 
• 
5. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 
μ χ 
− + =  μ χ + μ 
 
= + 
( 1) 4 
y x 
( y ) x 
2 
Λύση 
 − + =  − + = 
μχ μ 4 ( μ 1) χ 4 
μ 
μχ μ μ χ μ 
y x y 
y x y 
⇔  ⇔  
(Σ) 2 2 
 + = +  − + = 
2 ( 1) 2 
. Βρίσκουμε την D. 
2 2 
D = = μ μ − − μ − = μ − μ − = μ − μ − μ + . 
2 
μ-1 4 
( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 2)( 2) 
μ-1 μ 
3 2 
x D = = μ − = μ − μ + μ + 
2 
μ 4 
8 ( 2)( 2 4) 
2 μ 
μ-1 μ 
D = = 2( μ − 1) − μ ( μ − 1) = ( μ − 1)(2 − μ ) = − ( μ − 1)( μ − 2) 
y . 
μ-1 2 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 
1. D ≠ 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) ≠ 0 ⇔ μ −1 ≠ 0 και μ − 2 ≠ 0 και μ+2 ≠ 0 ⇔ 
μ ≠ 1 και μ ≠ 2 και μ ≠ −2 
Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. την 
( 2 ) 
( 2 2 4) 2 2 4 
( 1 )( 2 )( 2 ) ( 1 )( 2 
) 
x D 
D 
μ μ μ μ μ 
− + + + + 
χ χ 
= = ⇔ = 
μ μ μ μ μ 
− − + − + 
, 
( μ )( μ 
) 
− − − 
1 2 1 
= = = − 
( )( )( ) 
μ μ μ μ 
− − + + 
1 2 2 2 
y D 
y 
D 
. 
2. D = 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) = 0 ⇔ μ −1 = 0 ή μ − 2 = 0 ή μ + 2 = 0 ⇔ 
μ = 1 ή μ = 2 ή μ = −2 . 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 11
- 12 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
i. Για μ=1 έχω (1 2)(12 2 1 4) ( 1)(7) 7 0 x D = − + ⋅ + = − = − ≠ το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο. 
ii. Για μ=2 έχω 0, 0 x y D = D = και επειδή ο συντελεστής του y στην πρώτη εξίσωση είναι 
διαφορετικός από το μηδέν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τις οποίες θα προσδιορίσουμε. 
Για μ=2 το σύστημα γίνεται 
 + 4 = 
2 
 ⇔ + = 
 + = 
4 2 
x y 
4 2 
x y 
x y 
. Αν y= κ τότε 
x = 2 − 4 y ⇔ x = 2 − 4κ και επομένως οι άπειρες λύσεις έχουν τη μορφή (x, y)= (2- 4κ, κ) 
με κ ∈ ℝ . 
iii. Για μ=-2 έχω ( )(( ) ( ) ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 0 x D = − − − + − + = − + − = − ≠ το σύστημα 
είναι αδύνατο. 
• 
6. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 
+ = 
− = 
D D D 
D D D 
3 
x y 
x y 
Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί αυτή. 
Λύση 
Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D ≠ 0 οπότε έχουμε: 
+ = 
− = 
D D D 
D D D 
3 ( + ) 
x y 
x y 
4 
D 
D = D ⇔ D = ⇔ D = D . Άρα 2 2 y y y D + D = D⇔ D = D − D⇔ D = −D. Η μοναδική 
2 4 2 
2 x x x 
λύση του συστήματος είναι η 
D 2 
D 
D D 
= x = = 2 y και 1 x 
D D 
y 
− 
= = = − . Οπότε (x, y)= (2, -1). 
D D 
• 
7. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 
2 2 2 και D 0 x y x y D + D = D D ≠ . Αν x+y= 6 να βρεθούν τα x, y. 
Λύση 
Ισχύει 2 2 2 x y x y D + D = D D (1) και D ≠ 0 οπότε διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με 2 D και έχω: 
2 2 2 2 2 2 2 2 Aφού D 0 τότε 
+ 2 
    ≠ 
2 2 x y x y x y x y x y x y D D D D D D D D D D D D 
= ⇔ + = ⋅ ⇔   +   = ⋅ ⇔     
2 2 2 2 D D 
x y 
χ= και y= 
D D 
D D D D D D D D D D 
( )x2 + y2 = 2xy ⇔ x2 + y2 − 2xy = 0⇔ x − y 2 = 0 ⇔ x − y = 0⇔ x = y . 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 12
- 13 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
 + =  + = 
 ⇔   =  − = 
x y 6 x y 6 
x y x y 0 
Άρα έχω ( + 
) 
2χ = 6 ⇔ χ = 3 . Άρα 3 + y = 6 ⇔ y = 3 οπότε (x, y)= (3, 3). 
• 
8. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 
2 2 2 4 2 5 x y x D + D + D = D + D − . Να δείξετε ότι: 
i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 x y D − + D − + D = 
ii. Να βρεθούν τα x, y. 
Λύση 
i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 4 4 2 1 2 2 x y x x y D − + D − + D = D − D + + D + − D + D 
2 2 2 2 4 5 x y x = D + D + D − D − D + = 4 2 5 2 4 5 0 x D D D D χ + − − − + = . 
ii. Από την i. έχω: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 2 0 και 1 0 και 0 x y x y D − + D − + D = ⇔ D − = D − = D = ⇔ 
2 και 1 και 0 x y D = D = D = . 
Επειδή D = 2 ≠ 0 το σύστημα έχει λύση την 
x y D 1 D 0 
= = και = = = . 
x y 0 
D 2 D 2 
• 
9. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα 1 2 Σ , Σ να είναι συγχρόνως 
αδύνατα. 
( ) 
Σ  
1 
α χ β 
αχ 
− − =  
1 2 
: 
0 
y 
+  
y 
= Σ  
και 2 
 + = 
3 1 
: 
2 
x y 
x α y 
− + = 
Λύση 
Δουλεύουμε στο 1 Σ και έχουμε: 
( ) α-1 -β 
D = =α − −α −β =α − +αβ 
1 1 
α 1 
( ) 2 -β 
0 1 x D = = − −β = 
2 0 2 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 13
- 14 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
α-1 2 
Dy = = 0 − 2 α = − 2 
α Οπότε για να είναι το Σ 1 αδύνατο θα πρέπει D= 0 και 
α 0 ή x y D D ≠ 0 άρα α-1+αβ=0 και x D = 2 ≠ 0 δηλαδή 
α-1+αβ=0 (1). 
Δουλεύουμε στο 2 Σ και έχουμε: 
( ) 1 3 
D = = α − − = α + 
1 3 3 
-1 α 
1 3 
6 
2 a x D = = α − 
( ) 1 1 
D = = 2 − − 1 1 = 2 + 1 = 3 
y Οπότε για να είναι το σύστημα αδύνατο θα πρέπει D= 0 και 
-1 2 ή x y D D ≠ 0 άρα α+ 3= 0 και y D = 3 ≠ 0 δηλαδή α+ 
3= 0 (2). 
Λύνω το σύστημα 
( ) 4 
 α + αβ − 1 = 0  − 3 + − 3 β − 1 = 0  − 3 β − 4 = 0  − 3 β = 4 
  
β 
= −  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  
 α + =  α = −  α = −  α = −   α 
= − 
3 
3 0 3 3 3 3 
• 
10. Δίνονται τα συστήματα 
( ) 
Σ  
1 
α χ β + − =  
1 1 
: 
+ = −  
1 
y 
x y 
και 
( ) 
( ) 
 + + = 2 
+ Σ  
χ β α 
χ α β 
2 1 
: 
y 
y 
2 3 
− −  
1 
= . 
Να δείξετε ότι εάν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις τότε το δεύτερο είναι αδύνατο. 
Λύση 
Δουλεύουμε στο σύστημα 1 Σ και έχουμε: 
( ) α+1 -β 
D = = α + − −β = α + + β 
1 1 1 
1 1 
( )( ) 1 -β 
D = = 1 − − 1 −β = 1 
− β 
x -1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 14
- 15 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
( ) α+1 1 
Dy = = − α + 1 − 1 = −α − 1 − 1 = −α − 2 
Αφού το Σ 1 έχει άπειρες λύσεις τότε το D= 0 
1 -1 και x y D = D = 0 οπότε α+ β+ 1=0, 1- β= 0, 
-α -2= 0. 
Άρα: −β + 1 = 0 ⇔ −β = −1⇔ β = 1 
−α − 2 = 0 ⇔ −α = 2⇔α = −2 
− 2 + 1 + 1 = 0 . 
Για τις τιμές β= 1, α= -2 που το 1 Σ έχει άπειρες λύσεις το 2 Σ γράφεται: 
χ + =  + =  + = 
3 y 5 x 3 y 5 1 x 3 y 
5 
( ) 2 
Σ  ⇔  ⇔  + =  + = − − − = − 
: + 
3 1 3 1 1 3 1 
x y x y x y 
0x + 0y = 4⇔0 = 4 άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ 
ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ. 
1. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
 χ 2 − 2 
= 
3 y 
2 
: 
8 2 3 2 
17 
x − y 
=  
Σ  
Λύση 
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 2 = 2 = x κ, y λ οπότε το σύστημα γίνεται: 
 − = − = 
κ λ κ λ 
κ λ κ λ 
( ) 3 2 8 24 8 16 
( + 
) Σ ⇔  ⇔ 
 − = − − + = − 
8 3 17 3 24 9 51 
λ = −35. Αντικαθιστώ την τιμή του λ στην 
3κ −λ = 2 ⇔ 3κ − (−35) = 2 ⇔ 3κ + 35 = 2 ⇔ 3κ = −33⇔κ = −11 . 
Επομένως έχουμε 2 = − x 11 (αδύνατη) και 2 = − y 35 (αδύνατη). Άρα το σύστημα (Σ) είναι 
αδύνατο. 
• 
2. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
3 5 
1 
 + =  − 2 + 
3 
Σ : 
 
y 
χ 
2 1 
5 
− = 
 − + 
2 3 
x y 
Λύση 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 15
- 16 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 
1 1 
=κ = λ 
, 
− + 
x 2 y 3 
. Θα πρέπει 
χ ≠ 2 και y ≠ −3 . Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται: 
( )  3 + 5 = 1 1 3 + 5 = 
1 
( + 
) κ λ κ λ 
κ λ κ λ 
Σ ⇔  ⇔ 
 − = − = 
2 5 5 10 5 25 
13κ = 26 ⇔ κ = 2 οπότε αντικαθιστώ την τιμή του κ στην 
2κ −λ = 5⇔ 4 −λ = 5⇔ −λ = 5 − 4⇔ −λ = 1⇔λ = −1 . 
Επομένως 
1 1 1 
χ χ 
= ⇔ − = ⇔ = + = 
2 2 2 2, 5 
2 2 2 
χ 
− 
άρα χ = 2, 5 . 
1 
= − ⇔ + = − ⇔ = − 
1 3 1 4 
3 
y y 
y 
+ 
. 
Οπότε το (Σ) έχει λύση την (x, y ) = (2,5 , -4 ) . 
• 
3. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
 χ − = 
4 2 y 
11 
: 
6 5 15,5 
x − y 
=  
Σ  
Λύση 
Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι x = κ, y = λ οπότε το σύστημα γίνεται: 
 − =  − = 
κ λ κ λ 
κ λ κ λ 
( ) 4 2 11 3 12 6 33 
( + 
) Σ ⇔  ⇔  
 − = − − + = − 
6 5 15,5 2 12 10 31 
1 
λ = ⇔ λ = . Αντικαθιστούμε την τιμή του λ στην 
4 2 
2 
4κ − 2λ = 11 και έχουμε: 
1 
κ − = ⇔ κ = ⇔κ = άρα χ = 3 ⇔ χ = 3 ή χ = −3 
4 2 11 4 12 3 
2 
1 1 1 
y = ⇔ y = ή 
y = − οπότε το σύστημα (Σ) έχει τις ακόλουθες λύσεις 
2 2 2 
1 1 
3, , 3,- 
2 2 
    
    
    
, 
1 1 
3, , 3, . 
2 2 
 −   − −      
    
• 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 16
- 17 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
4. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
 + = 
2 x 3 y 
5 
: 
3 x 5 y 
7 
Σ  
+ =  
Λύση 
Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7. 
 + = − − − = − 
κ λ κ λ 
κ λ κ λ 
2 3 5 3 6 9 15 
Λύνω το σύστημα ( ) ( + 
) Σ ⇔  ⇔ 
 + = + = 
3 5 7 2 6 10 14 
λ = −1 
Οπότε για λ=-1 έχω: 2κ + 3λ = 5⇔ 2κ + 3(−1) = 5⇔ 2κ − 3 = 5⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 . 
Οπότε χ = 4 ⇔ χ = 16 και y = −1(αδύνατη) άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ 
ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. 
+ λ = λ 
− 
+ = − 
2 x y 
2 
λχ λ 
2 y 
4 8 
Βρίσκουμε τις ορίζουσες D, Dx, Dy οπότε: 
λ 
2 ( )( ) 2 
= = − = − + 
λ λ λ 
4 2 2 
2 
D 
λ 
( ) ( ) ( ) ( )( ) 
− 
λ λ 
2 
= = − − − = − − − = − − = 
− 
λ 
4 8 2 
( )( ) 
λ λ λ λ λ λ λ λ 
2( 2) 4 8 2 2 4 2 2 2 4 
Dχ 
λ λ 
= − − 
2 2 1 2 
λ 
− 
2 2 
( λ ) λ ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) ( λ )( λ 
) = = − − − = ⋅ − − − = − − 
2 4 8 2 2 4 2 2 2 8 
D 
y λ 4 λ 
− 
8 Βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες 
D = 0⇔(2 −λ )(2 +λ ) = 0⇔ 2 −λ = 0 ή 2 +λ = 0⇔ −λ = −2 ή λ = −2⇔λ = 2 ή λ = −2 
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 17
- 18 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
1. Αν λ ≠ 2 κ α ι λ ≠ − 2 τότε D ≠ 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την: 
2 2 1 2 2 2 1 2 2 (1 2 ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
λ − − λ − − λ − λ − − 
λ 
= = = = 
− + − + + 
λ λ λ λ λ 
2 2 2 2 2 
x D 
x 
D 
( )( ) 
( )( ) 
( )( ) 
( )( ) 
D y λ 2 8 λ 2 λ 8 λ 8 λ 
y 
− − − − − − 
= = = = − 
− + − + + 
D 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 
2. Αν λ=2 το σύστημα γράφεται 
 2 χ + 2 = 
0 
 ⇔ + = 
 + = 
2 2 0 
y 
2 2 0 
x y 
x y 
έχει άπειρες λύσεις. 
Έστω x=κ τότε 2κ + 2 y = 0 ⇔ 2 y = − 2κ ⇔ y = −κ άρα το σύστημα έχει 
άπειρες λύσεις της μορφής (x, y) = (κ, -κ) με κ∈ ℝ . 
 − = −  
− + = −  
2 2 4 
3. Αν λ=-2 το σύστημα γράφεται ( + 
) x y 
x y 
2 2 1 6 
0x + 0 y = −20⇔ 0 = −20 δεν ισχύει άρα το σύστημα 
είναι αδύνατο. 
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ 
1. Να λυθεί το σύστημα: 
χ + = 
 
 − = 
2 2 y 
2 6 
3 
x y 
Λύση 
( )2 2 2 6 2 2 2 6 3 2 2 2 6 2 9 6 2 2 6 
 x + y =  x + y =  y + + y =  y + + y + y 
= 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 x − y = 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y 
+ 
3 
( ) ( )3 2 6 3 0 3 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 0 
 y + y + =  y + y + =  y + y + =  y 
+ = 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 x = y + 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y 
+ 
3 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 18
- 19 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
 + =  = −  = − 
 ⇔  ⇔  
 = +  = − +  = 
1 0 1 1 
y y y 
x y x x 
3 1 3 2 
άρα το σύστημα έχει λύση την ( x, y ) = (2, −1) . 
2. Να λυθεί το σύστημα: 
 + = 
 
 = 
2 2 5 
x y 
xy 
2 
Λύση 
( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 2 4 5 2 9 9 
 x + y =  x + y − xy =  x + y − =  x + y =  x + y 
= 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  
 xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy 
= 
2 
Και 
 + = −  + =  χ 
+ = − 
 ⇔   
 =  =  χ 
= 
9 3 3 
x y x y y 
και 
xy xy y 
2 2 2 
Λύση του 
3 
x + y 
=  xy 
 
= 
2 
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης κ 2 − 3κ + 2 = 0 ⇔ 
κ =1 ή κ = 2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: ( x = 1 και y = 2) ή (χ = 2 και y=1) . 
Λύση του 
3 
x + y 
= −   
xy 
= 
2 
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ω 2 − (−3)ω + 2 = 0 ⇔ 
ω 2 + 3ω + 2 = 0 ⇔ω = −1 ή ω = −2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (χ = −1 και y = −2) και 
( x = −2 και y = −1) . 
Άρα οι λύσεις του 
 + = 
 
 = 
2 2 5 
x y 
xy 
2 
είναι (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1). 
3. Να λυθεί το σύστημα: 
2 2 2 ( 2) 
 + = +  
x y xy 
x y 
6 
+ =  
Λύση 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 19
- 20 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Το σύστημα γράφεται 
2 2 2 4 ( )2 2 2 4 
 x + y = xy +  x + y − xy = xy 
+ 
 ⇔  ⇔ 
 x + y = 6  x + y 
= 
6 
 36 − 2 xy = 2 xy + 4 − 4 xy = 4 − 36 − 4 xy = − 32  4 xy = 32  xy 
= 
8 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  
 + =  + =  + =  + =  + = 
6 6 6 6 6 
x y x y x y x y x y 
κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ϕ 2 − 6ϕ + 8 = 0 ⇔ϕ = 4 ή ϕ = 2 . Άρα οι λύσεις 
του συστήματος είναι (χ = 4 και y = 2) ή (χ = 2 και y = 4) . 
4. Να λυθεί το σύστημα 
 
 − 2 
− = 2 5 0 
xy y y 
y x 2 
x 
= − +  
4 3 
Λύση 
( ) 
( ) 
 2 xy − y 2 
− 5 y = 0  y 2 x − y − 5 = 0  y = 0 ή 2 x − y − 5 = 0  y 
= 
0 
 ⇔  ⇔  ⇔  
 y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2 
− x 
+ 
1 
4 3 4 3 4 3 4 3 
− − =  
 = − + 
2 5 0 
x y 
y x x 
( ) 2 
ή 2 
4 3 
Λύση του πρώτου συστήματος 
( χ 
) ( ) 
 =  =  =  = 
 ⇔  ⇔  ⇔  
 = − +  − + =  = =  = 
0 0 , 1, 0 
y y o y y 
y x x x x x x y 
2 4 3 2 4 3 0 1 ή χ 
3 ( , ) ( 3, 0 
) 
Λύση του δεύτερου συστήματος 
 2 x − y − 5 = 0  y = 2 x − 5  y = 2 x − 5  y = 2 x 
− 
5 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 y = x 2 − 4 x + 3  2 x − 5 = x 2 − 4 x + 3  x 2 − 4 x + 3 − 2 x + 5 = 0  x 2 
− 6 x 
+ 8 = 
0 
 = −  = − = 
 ⇔  
 = =  = = 
2 5 1 και 3 
2 ή 4 2 και 4 
y x y y 
x χ x χ 
άρα οι λύσεις του δεύτερου συστήματος είναι 
(χ , y ) = (2, −1) και ( x, y) = (4,−3) . 
Επομένως το δεύτερο σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (1, 0), (3, 0), (2, -1) και (4, -3). 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 20
- 21 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
5. Να λυθεί το σύστημα: 
 + = 
 
 + = 
2 2 29 
7 
x y 
x y 
(1) 
Λύση 
( )2 2 29 2 2 29 49 2 29 2 20 2 20 
 x + y =  x + y − xy =  − xy = − xy = −  xy 
= 
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 
 x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y 
= 
7 
=  
 + = 
x y 1 0 
x y 7 
κατά τα γνωστά οι x, y, είναι ρίζες της εξίσωσης ω2 −7ω +10 = 0⇔ω = 2 ή ω = 5. 
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (x=2 και y=5) ή (x=5 και y=2). Δηλαδή (x, y)=(2, 5) και (x, 
y)=(5,2). 
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. 
Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx+ βy+ γz= δ. 
Ονομάζουμε σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους κάθε έκφραση της 
μορφής ( ) 
+ + =  
α χ β γ ω δ 
α χ β γ ω δ 
α χ β γ ω δ 
y 
y 
y 
1 1 1 1 
Σ + + =  
2 2 2 2 
 + + = 
3 3 3 3 
: 
. 
Ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζεται κλιμακωτό 
όταν είναι ισοδύναμο με ένα σύστημα της μορφής: 
+ + =  
κ χ λ μ ω ν 
y 
y 
1 1 1 1 
+ =  
 = 
λ μ ω ν 
2 2 2 
μ ω ν 
3 3 
Λύση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε 
κάθε διατεταγμένη τριάδα ( ) 0 0 0 χ , y ,ω που επαληθεύει τις εξισώσεις του. 
Επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε 
την εύρεση όλων των λύσεών του. 
Η λύση ενός κλιμακωτού συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους 
επιτυγχάνεται ως εξής: 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 21
- 22 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
i. Από την τρίτη εξίσωση υπολογίζουμε το ω. 
ii. Αντικαθιστώντας την τιμή του ω που βρήκαμε στην δεύτερη εξίσωση 
προσδιορίζουμε το y. 
iii. Αντικαθιστώντας τις τιμές ω, y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση προσδιορίζουμε 
το x. 
Για να λύσουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους θα το 
μετασχηματίσουμε πρώτα σε ένα ισοδύναμο κλιμακωτό σύστημα. Αρχικά, απαλείφουμε 
τον ίδιο άγνωστο μεταξύ πρώτης και δεύτερης εξίσωσης και μεταξύ πρώτης και τρίτης 
εξίσωσης. Στη συνέχεια, λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των δύο εξισώσεων με τους 
ίδιους αγνώστους και αντικαθιστώντας στην εξίσωση με τους τρεις αγνώστους 
προσδιορίζουμε και τον τρίτο άγνωστο. 
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 
1. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
+ − = 
5 
3 
 
α β γ 
β γ 
Σ α 
− + = α β γ 
 
 
: 2 10 
3 2 
2 
3 
− + = 3 6 2 
 
Λύση 
 + − =  + − = 
    Σ ⇔   − +  = ⋅ ⇔  − + = 
( ) 
5 
5 
β γ 
3 
 
α β γ 
α β γ 
α α β γ 
6 2 6 10 12 2 9 60 
3 2 
     α − β + γ 
=   − +     = ⋅ 
   
4 3 18 
α β γ 
2 
6 6 3 
3 6 2 
Απαλείφουμε τον α μεταξύ πρώτης και δεύτερης, και μεταξύ πρώτης και τρίτης εξίσωσης. 
( ) 
 α + β − γ = − − α − β + γ 
= − 
 ⇔   α − β + γ =  α − β + γ 
= 
5 12 12 12 12 60 
+ 
12 2 9 60 1 12 2 9 60 
−14β + 21γ = 0 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 22
- 23 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
( ) 
 α + β − γ = − − α − β + γ 
= − 
 ⇔   α − β + γ =  α − β + γ 
= 
5 4 4 4 4 20 
+ 
4 3 18 1 4 3 18 
−5β + 7γ = −2 
Άρα ( ) 
5 
α β γ 
+ − =  
β γ 
β γ 
Σ ⇔ − + =  
14 21 0 
5 7 2 
− + = − 
β γ β γ 
β γ β γ 
− + = −  − = 
 ⇔ − + = − − + = − 
14 21 0 5 70 105 0 
λύνουμε το σύστημα: ( + 
) 
5 7 2 14 70 98 28 
−7γ = −28⇔γ = 4 
Τότε −14β + 21γ = 0⇔ −14β + 21⋅ 4 = 0⇔ −14β = −84⇔β = 6 . Αντικαθιστώντας τις τιμές που 
βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση έχουμε: α + 6 − 4 = 5⇔α = 3 . Οπότε η λύση του (Σ) είναι: (3, 6, 
4). 
• 
2. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
− = −  
2 3 
x y z 
x y z 
x y z 
Σ + = −  
: 3 8 14 9 
2 3 5 7 
 + + = 
Λύση 
( ) 
 − + =  = −  = − 
   
2 3 0 2 3 2 3 
x y z x y z x y z 
x y z y z y z y z y z 
x y z y z y z y z y z 
Σ  + + = ⇔  − + + = ⇔  − + + = ⇔ 
: 3 8 9 14 3(2 3 ) 8 9 14 6 9 8 9 14 
2 3 5 7 2 2 3 3 5 7 4 6 3 5 7 
   + + =  ( − ) 
+ + =   
− + + =  = −  = −  = ⋅ −  = 
    
 = ⇔  = ⇔  = ⇔  = 
 − =  ⋅ − =  =  =     
2 3 2 3 2 1 3 2 
x y z x y z x z x 
y y y y 
y z z z z 
14 14 1 1 1 
7 7 7 1 7 0 0 
• 
3. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
χ ω 
χ ω 
χ ω 
5 
− + =  
y 
y 
y 
Σ − − =  
: 2 11 
 − + = 
3 7 3 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 23
- 24 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Λύση 
Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και στη συνέχεια μεταξύ πρώτης και 
τρίτης. 
( ) 
 χ − + ω = − − χ + − ω 
= − 
 ⇔   χ − − ω =  χ − − ω 
= 
5 2 2 2 2 10 
+ 
y y 
y y 
2 11 1 2 11 
y − 3ω = 1 
( ) 
 χ − + ω = − − χ + − ω 
= − 
 ⇔   χ − + ω =  χ − + ω 
= 
5 1 5 
+ 
y y 
y y 
3 7 3 1 3 7 3 
−2y + 6ω = −2 
οπότε το σύστημα γίνεται: 
( ) 
5 
χ ω 
− + =  
y 
y 
y 
ω 
ω 
Σ − =  
: 3 1 
 − + = − 
2 6 2 
Λύνουμε το σύστημα 
 
− ω 
= − + = − 
3 1 
2 6 2 
y 
y 
ω 
ως εξής: 
( ) 
ω ω 
 − 3 = 1 2  2 − 6 = 
2 
 ⇔ − + = − − + = − 
+ 
y y 
ω ω 
2 y 6 2 1 2 y 
6 2 
0 y + 0ω = 0 άρα 0=0 το οποίο ισχύει για κάθε y,ω ∈ ℝ . Δηλαδή το σύστημα 
έχει άπειρες λύσεις της μορφής (y, ω)= (3κ+1, κ) όπου κ ∈ ℝ . Αντικαθιστώντας τις τιμές του y 
και του ω στην πρώτη εξίσωση έχουμε: 
χ − y +ω = 5⇔χ = 5 + y −ω = 5 + 3κ +1−κ = 6 + 2κ . Άρα το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις της 
μορφής (x, y, ω)= (2κ+6, 3κ+1, κ) με κ ∈ ℝ . 
• 
4. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
χ ω 
χ ω 
χ ω 
− + =  
5 y 
3 4 
: 3 y 
2 
3 2 y 
2 2 
Σ − + =  
 − + = 
Λύση 
Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, καθώς και πρώτης και τρίτης. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 24
- 25 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
χ ω χ ω 
χ ω χ ω 
 5 − y + 3 = 4 1  5 − y 
+ 3 = 
4 
 ⇔  +  − y + = − − + y 
− = − 
( ) ( ) 
3 2 5 5 15 5 10 
14 y − 2ω = −6 ⇔ 7 y −ω = −3 
χ ω χ ω 
 5 − y + 3 = 4 3  15 − 3 y 
+ 9 = 
12 
 ⇔  − + = − − + − = − 
( ) ( + 
) 
ω χ ω 
3 x 2 y 2 2 5 15 10 y 
10 10 
7 y − ω = 2 
Άρα το σύστημα γίνεται: 
( ) 
ω 
ω 
ω 
− + =  
5 x y 
3 4 
: 7 3 
Σ − = −  
y 
y 
 − = 
7 2 
λύνουμε το σύστημα 
− ω 
= −  − ω 
= 
 
7 y 
3 
7 y 
2 
( ) 
 − ω = −  − ω 
= − 
 ⇔   − ω = −  − ω 
= − 
7 3 1 7 3 
+ 
y y 
y y 
7 2 1 7 2 
0 y − 0ω = −5 ⇔ 0 = −5 δεν ισχύει, άρα το σύστημα είναι αδύνατο οπότε 
και το (Σ) είναι αδύνατο. 
• 
5. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
χ ω 
χ ω 
χ ω 
+ + =  
4 3 y 
17 0 
: 5 4 y 
22 0 
4 2 y 
19 0 
Σ + + =  
 + + = 
Λύση 
Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές 
λύσεις. Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και μεταξύ πρώτης και τρίτης 
οπότε έχουμε: 
( ) 
( ) 
 + + ω = − − χ − − ω 
= 
 ⇔   + + =  + + = 
4 3 17 0 5 20 15 85 0 
+ 
x y y 
χ ω ω 
5 4 y 22 0 4 20 x 16 y 
88 0 
y + 3ω = 0 
( ) 
 χ + + ω = − − χ − − ω 
= 
 ⇔   χ + + ω =  + + ω 
= 
4 3 17 0 1 4 3 17 0 
+ 
y y 
y x y 
4 2 19 0 1 4 2 19 0 
−y + 2ω = 0 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 25
- 26 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται: 
( ) 
χ ω 
+ + =  
4 3 17 0 
ω 
ω 
Σ ⇔ + =  
3 0 
2 0 
y 
y 
y 
 − + = 
+ ω 
= − + ω 
= 
 
3 0 
y 
y 
Λύνουμε το σύστημα ( + 
) 
2 0 
5ω = 0⇔ω = 0 
Επομένως το (Σ) παίρνει τη μορφή 
 4 χ + 3 y + 17 ω = 0  4 χ + 3 y 
+ 17 ω = 0  4 χ 
+ 3 ⋅ 0 + 17 ⋅ 0 = 
0 
   
 y + 3 ω 
= 0 ⇔  y = 0 ⇔  y 
= 0 
⇔ 
  ω = 0   ω = 0   
ω 
= 0 
 χ =  χ 
= 
  
 = ⇔  = 
   =  
= 4 0 0 
0 0 
0 0 
y y 
ω ω 
άρα το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση την (x, y, ω)= (0, 0, 0). 
• 
6. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
χ ω 
χ ω 
χ ω 
+ − =  
5 5 0 
: 10 5 2 0 
y 
y 
y 
Σ + + =  
− + − = 
5 15 9 0 
Λύση 
Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές 
λύσεις. Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, όπως και μεταξύ πρώτης και τρίτης 
οπότε έχουμε: 
( ) 
 + − = − − − + = 
 ⇔  + + = + + = 
5 5 0 2 10x 10y 2ω 0 
+ 
x y 
x y 
ω 
ω 
10 5 2 0 1 10x 5y 2ω 0 
−5y + 4ω = 0 
( ) 
 + − ω = − − χ − + ω 
= 
 ⇔  + − = + − = 
5 5 0 1 5 5 0 
+ 
x y y 
χ ω χ ω 
5 15 y 9 0 1 5 15 y 
9 0 
10y −8ω = 0⇔5y − 4ω = 0 . Έτσι το (Σ) γίνεται: 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 26
- 27 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
( ) 
ω 
ω 
ω 
+ − =  
5 x 5 y 
0 
Σ ⇔ − =  
5 y 
4 0 
5 y 
4 0 
 − = 
Λύνουμε το σύστημα 
 5 − 4 ω 
= 
0 
 ⇔ − ω 
= 
 − = 
5 4 0 
y 
ω 
5 4 0 
y 
y 
Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της 
μορφής ( ) 4 
y , ω =  κ κ , 
 
5 
  
με κ ∈ ℝ . 
Αντικαθιστούμε τις τιμές του y, ω στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (Σ) και έχουμε: 
4 3 
χ + κ −κ = ⇔ χ + κ = ⇔ χ = − κ ⇔ χ = − κ Άρα το (Σ) έχει άπειρες λύσεις της 
5 5 0 5 3 0 5 3 . 
5 5 
μορφής 
3 4 
 − κ , κ , 
κ  5 5 
 
 
με κ ∈ ℝ . 
• 
x y 
ω 
 = =  
7. Να λυθεί το σύστημα ( ) 2 3 4 
 − + ω 
= 
2 x y 
2 18 
Σ = 
Λύση 
x y 
ω 
= = = λ ⇔ χ = λ = λ ω = λ Αντικαθιστώ τις τιμές των x, y, ω στην 
Θέτουμε 2 και 3 και 4 . 
2 3 4 
y 
δεύτερη εξίσωση και έχουμε: 
( ) ( ) 18 
λ − λ + λ = ⇔ λ − λ + λ = ⇔ λ = ⇔ λ = = 
2 2 3 2 4 18 4 3 8 18 9 18 2 
9 
Άρα x = 2 ⋅ 2 = 4, y = 3 ⋅ 2 = 6, ω=4 ⋅ 2=8 οπότε η λύση του (Σ) είναι (x, y, ω)= (4, 6, 8). 
• 
8. i)Να λυθεί το σύστημα 
1 1 
4 
 + = x y 
1 1 
 
9 
 
+ = y 
ω 
1 1 
3 
+ = ω 
 
x 
ii)Να λυθεί το σύστημα 
 − = −  
2 x 3 y 
19 
6 x 2 y 
6 
− =  
Λύση 
i)Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι έχουμε: 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 27
- 28 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
1 1 1 
= κ = λ = μ χ ≠ ≠ ω 
≠ 
, , , θα πρέπει 0, y 0, 0. 
y 
χ ω 
4 
9 + 
3 
κ λ 
λ μ 
μ κ 
+ =  
Οπότε το σύστημα γίνεται ( ) ( ) 
Σ ⇔ + =  
 + = 
Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε: 
2κ + 2λ + 2μ =16⇔κ +λ +μ = 8 οπότε 
(κ +λ + μ ) − (κ +λ ) = 8 − 4⇔κ +λ + μ −κ −λ = 4⇔μ = 4 άρα 
1 1 
= ⇔ = 
4 
4 
ω 
ω 
1 
(κ +λ + μ ) − (λ + μ ) = 8 − 9⇔κ +λ + μ −λ −μ = −1⇔κ = −1 άρα = − ⇔ = − 
1 χ 1 
χ 
(κ +λ + μ ) − (μ +κ ) = 8 − 3⇔κ +λ + μ −μ −κ = 5⇔λ = 5 άρα 
1 1 
= ⇔ = 
5 
5 
y 
y 
Άρα το σύστημα (Σ) έχει λύση την ( ) 1 1 
x , y , ω =  − 1, , 
 
5 4 
  
. 
ii) Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7. 
 − = − − − + = 
κ λ κ λ 
κ λ κ λ 
2 3 19 3 6 9 57 
Λύνω το σύστημα ( ) ( + 
) Σ ⇔  ⇔ 
 − = − = 
6 2 6 1 6 2 6 
λ = 9 
Οπότε για λ=9 έχω: 2κ − 3λ = −19⇔ 2κ − 3(9) = −19 ⇔ 2κ − 27 = −19 ⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 . 
Οπότε x = 4 ⇔ x = 16 και y = 9 ⇔ x = 81 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 28
- 29 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους 
Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς. 
1)Η εξίσωση x3 − y = 4 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους . Σ Λ 
2)Η εξίσωση (λ 2 −9)x + (λ − 3) y = 8 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους για κάθε 
τιμή του λ ∈ℝ . Σ Λ 
γ − 
β 
x 
3)Το ζεύγος ( x 
, ), α 
0 
α 
≠ είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης β x +α y =γ . Σ Λ 
4)Η εξίσωση 0x − y = 0 έχει λύσεις όλα τα ζεύγη της μορφής (λ,0),λ ∈ℝ. Σ Λ 
5)Η εξίσωση (x − 2)2 − x2 + 2y = 0 είναι γραμμική. Σ Λ 
6)Η εξίσωση x = 5 επαληθεύεται από όλα τα ζεύγη της μορφής (5,λ ),λ ∈ℝ Σ Λ 
7 − 
5 
κ 
7)Κάθε σημείο της μορφής 
( , ), 
3 
κ κ 
∈ℝ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση 
7 − 3x = 5y . Σ Λ 
8) Η ευθεία y = −2 είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ . Σ Λ 
9) Η ευθεία α y +β x =γ τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο (0, ) 
γ 
α 
Σ Λ 
10)Το σύστημα 
+ =  
 + = 
2 x y 
1 
2 x y 
2 
έχει άπειρες λύσεις . Σ Λ 
11) Αν το σύστημα 
β γ 
+ =  
 + = 
ax y 
x y z 
δ ε 
είναι αδύνατο τότε οι ευθείες 1 2 ε ,ε με εξισώσεις 
1 2 ε : ax +β y =γ , ε :δ x +ε y = z είναι παράλληλες . Σ Λ 
12)Οι ευθείες 1 2 ε : y −λ x = −2 , ε :λ y + 4x −λ = 0 τέμνονται για κάθε λ ∈ℝ. Σ Λ 
Ασκήσεις Για Λύση 
1. Να εξετάσετε ποια από τα ζεύγη (1, 1) , (4 ,-10) , (3,7), 
2 
+ 
2 2 3 
( , 2 1) 
3 
a 
a 
+ είναι λύσεις 
της εξίσωσης 3x − y = 2 
2. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα : 
i) 
− =  
 + = 
2 0 
3 
x y 
x y 
ii) 
− =  
 − = 
2 x y 
1 
2 x y 
3 
3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών: 
i) 
+ =  
− + = − 
3 x y 
10 
2 x 3 y 
25 
ii) 
3 
 + =  
 = − 
2 1 
x y 
2 
y x 
6 2 8 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 29
- 30 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
4.Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: 
i) 
− = −  
 + = 
4 x 3 y 
4 
7 x 3 y 
26 
ii) 
 3 x + 1 4 y 
− 10 
− = 1 
8 2 
 7 − 2 + − 6 
 
− = 
0 
x y x 
2 5 
 
iii) 
+ − − − + =  
 − − + + = − 
(6 x 1)( y 2) (2 x 1)(3 y 
1) 3 
3 x (4 y 1) (2 x 4)(6 y 
1) 28 
iv) 
3 2 
4 
 − = − x y 
4 3 
 
7 
− = − 
x y 
 
v) 
 − = −  
2 x 3 y 
19 
6 x 2 y 
6 
− =  
5.Να βρείτε τις τιμές των κ ,λ ∈ ℝ ,ώστε η εξίσωση 
(κ − 2λ − 1) x + (2κ − λ − 5) y + κ − 1 = 0 
Να παριστάνει ευθεία. 
6.Να βρεθούν οι τιμές των κ ,λ ∈ ℝ έτσι ώστε η εξίσωση (5κ −λ − 3)x + 2κ − 4λ + 6 = 0 να 
έχει 1974 λύσεις. 
λ λ 
λ λ λ 
+ + + =  
( 1) x ( 2 ) y 
5 
2 4 1 4 
7. Να λυθεί το σύστημα ( ) 
x +  
− y 
= + για τις διάφορες τιμές του λ. 
8.Αν το σύστημα 
λ + =  
 + = 
2 2 
1 
x y 
x y 
, είναι αόριστο , να δείξετε ότι το σύστημα 
λ λ 
x − y 
=  x −  
y 
= 
4 3 
λ 
,είναι αδύνατο. 
9. Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ , ώστε το σύστημα : 
( 3) ( 1) 1 
λ μ 
μ λ 
− x − + y 
=  x + (2 + 1) y 
 
= 
7 
Να έχει λύση (x,y)=(2,-3). 
10. Δίνονται τα παρακάτω συστήματα: 
 
2 + β = 5 
− + − = − 
( 1) 
x y 
( 1) 7 
S 
x a y 
και 
 
( − 1) − 2 
= −  − − = 
( 2) 
β β 
a x y 
α β α 
2( 2) 2 
S 
x y 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 30
- 31 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
Γνωρίζουμε ότι το S1 έχει μοναδική λύση . 
i) Να αποδείξετε ότι και το S2 έχει μοναδική λύση. 
ii) Να βρείτε την μοναδική λύση του S2. 
11. Να λυθεί το σύστημα αν ισχύει 
2 18 3 2 6 90 x y y x D + D + D − = −D + D − . 
12. 
(ε1): 5x-y=17 
(ε2): y-2x=1 
(ε2): 3x+2y=5 
Με την χρήση του παραπάνω σχήματος να λυθούν τα παρακάτω συστήματα 
i) 
− =  
 − = 
5 17 
x y 
y x 
2 1 
ii) 
− =  
 + = 
5 x y 
17 
3 x 2 y 
5 
iii) 
− =  
 + = 
2 1 
y x 
x y 
3 2 5 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 31
- 32 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
13. Δίνονται οι ευθείες : 
ε 1 : x − y = −1 ε 2 :λ x − y = −1 
Να βρείτε τις σχετικές θέσεις των ευθειών 1 2 ε , ε για τις διάφορες τιμές του λ. 
14. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 
( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 4 0 x y D − + D − + D + = . Να λυθεί το σύστημα. 
15.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες : 
i) 
3 2 
1 0 
ii) 
4 2 
4 3 
iii) 
1 5 
2 6 
2 
-4 
3 
− 
16.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες : 
i) 
α β α γ 
− ii) 
γ δ β δ 
λα μβ α β 
− λμ 
λγ μδ γ δ 
iii) 
α β α β + κα 
− 
γ δ γ δ+κγ 
17.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 
2 2 2 2 
− 
2 4 
x y y y 
+ 
y 2 x 2 x 2 y 
2 
2 2 
2 
2 
0 
2 
1 
y 
x 
= 
− 
είναι αδύνατη για κάθε 
τιμή των χ,y. 
18.Δινεται η εξίσωση: 
(5x − 6)λ + 2μ (x −1) = 3x − 4 ,λ ,μ ∈ ℝ 
α) Να την μετασχηματίσετε στην μορφή ΑΧ=Β 
β)Να βρείτε τις τιμές των λ,μ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 32
- 33 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
19.Να λύσετε τα συστήματα: 
i) 
+ + =  
− + =  
 = 
2 11 
3 2 2 
1 
x y z 
y z 
z 
ii) 
+ − =  
2 x y 3 z 
0 
3 x 2 y 4 z 
1 
3 x y z 
5 
+ + =  
− − − = − 
iii) 
3 
4 
5 
+ =  
x y 
x 
ω 
+ =  ω 
+ y 
= 
 
(Υπόδειξη : Προσθέστε και τις τρεις εξισώσεις κατά μέλη ) 
20. Για τις εξισώσεις , , x y D D D ενός γραμμικού συστήματος δυο εξισώσεων με δυο 
αγνώστους x και y ισχύουν οι σχέσεις : 
2 
2 
8 
 + = 
 
D D 
x 
D D 
D D 
+ = − x y 
 + = − 
y 
Να βρειτε την λυση ( x,y) του γραμμικου  
συστηματος . 
21. Να λύσετε τα μη γραμμικά συστήματα: 
2 x + y 
= 5 
 x − xy − y 
 
= − 
i) 2 2 
2 1 
ii) 
+ + =  
 = − 
3 1 0 
2 
x y 
xy 
iii) 
 + = 
 
 = 
2 2 10 
x y 
xy 
3 
iv) 
− = −  
2 3 1 
y x 
y x 
+ =  
2 3 
- 
22.Συσκευασαμε 3 τόνους αναψυκτικού «Λόλα –κόλα» σε 1050 μπουκάλια 
χωρητικότητας 1 και 4 λίτρων .Πόσα μπουκάλια του 1 λίτρου και πόσα μπουκάλια των 
4 λίτρων χρησιμοποιήσαμε; 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 33
- 34 – 
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 
23. Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 
− + 
α β β 
6 2 
, , 7 3 
+ − − α ,β ∈ ℝ 
α β α 
2 2 
Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο να δείξετε ότι και το τρίγωνο με μήκη πλευρών : 
α β 
+ − 
2 3 5 1 
, 2 , 
+ α ,β ∈ ℝ 
3 
αβ β 
Είναι επίσης ισόπλευρο. 
24. Το άθροισμα των ψηφιων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Αν εναλλάξουμε την θέση 
των ψηφίων του, παίρνουμε αριθμό μικρότερο του αρχικού κατά 18.Να βρείτε τον αρχικό 
αριθμό. 
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 34

More Related Content

What's hot

Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαpeinirtzis
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησChristos Loizos
 
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΜάκης Χατζόπουλος
 
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσεις
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσειςΒ Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσεις
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσειςpeinirtzis
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfelmit2
 
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίησηΔιαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίησηΜάκης Χατζόπουλος
 
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..grekdrak
 
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλουάλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλουChristos Loizos
 
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείουKonstantinos Georgiou
 
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητώνΒασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητώνΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Μάκης Χατζόπουλος
 
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docx
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docxΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docx
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docxchris09xgames
 
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ ΛυκείουΘεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησ
 
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσεις
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσειςΒ Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσεις
Β Γυμνασίου διαγώνισμα β τριμήνου 2015 16 - συναρτήσεις
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
 
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
 
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίησηΔιαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
Διαγώνισμα Γ Γυμνασίου ταυτότητες - παραγοντοποίηση
 
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..
τυπολόγιο 1μηχανικής στερεού ..
 
αδμε
αδμεαδμε
αδμε
 
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
 
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
 
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλουάλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
 
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
 
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητώνΒασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
 
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docx
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docxΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docx
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.docx
 
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2
 
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ ΛυκείουΘεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
 

Viewers also liked

μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτηςμαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτηςChristos Loizos
 
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου
τόλης ευάγγελος   άλγεβρα β΄λυκείουτόλης ευάγγελος   άλγεβρα β΄λυκείου
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείουChristos Loizos
 
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiou
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiouMathimatika prosanatolismou b_lykeiou
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiouChristos Loizos
 
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseisChristos Loizos
 
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειουη τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειουChristos Loizos
 
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseisChristos Loizos
 
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakisBpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakisChristos Loizos
 
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016Christos Loizos
 
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisμαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisChristos Loizos
 
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakisBalg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakisChristos Loizos
 
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)Christos Loizos
 
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6Christos Loizos
 
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiouTheoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiouChristos Loizos
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσειςChristos Loizos
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseisChristos Loizos
 
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β ΛυκείουΜη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 

Viewers also liked (20)

Algebra b 1
Algebra b 1Algebra b 1
Algebra b 1
 
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτηςμαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
 
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου
τόλης ευάγγελος   άλγεβρα β΄λυκείουτόλης ευάγγελος   άλγεβρα β΄λυκείου
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου
 
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiou
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiouMathimatika prosanatolismou b_lykeiou
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiou
 
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
 
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειουη τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
 
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
 
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakisBpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
 
B kat
B katB kat
B kat
 
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisμαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
 
Algebra b lykeiou
Algebra b lykeiouAlgebra b lykeiou
Algebra b lykeiou
 
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakisBalg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
 
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
 
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiouTheoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
 
Euclidean geometry
Euclidean geometryEuclidean geometry
Euclidean geometry
 
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β ΛυκείουΜη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
 

Similar to 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεωνΣυστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεωνΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστουςγραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστουςAthanasios Bakoutis
 
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουΕξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουChristos Bekas
 
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)ssuserabe226
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15Μάκης Χατζόπουλος
 
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥΘανάσης Δρούγας
 
System
SystemSystem
SystemA Z
 
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020Μάκης Χατζόπουλος
 
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.grβιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.grChristos Loizos
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFPETER638359
 
Eykleidhs 2013 solutionsfinal
Eykleidhs 2013 solutionsfinalEykleidhs 2013 solutionsfinal
Eykleidhs 2013 solutionsfinalkate68
 
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίου
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίουεπανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίου
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίουAris Chatzigrivas
 
συστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
συστήματα προτεινόμενες ασκήσειςσυστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
συστήματα προτεινόμενες ασκήσειςStavros Kioupis
 
Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά ΣυστήματαΓραμμικά Συστήματα
Γραμμικά ΣυστήματαMath Studies
 

Similar to 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα (20)

Systems theory exercises
Systems theory exercisesSystems theory exercises
Systems theory exercises
 
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεωνΣυστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
 
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστουςγραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
 
Α 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
Α 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗΑ 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
Α 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
 
γραφικη επιλυση συστηματοσ
γραφικη επιλυση συστηματοσγραφικη επιλυση συστηματοσ
γραφικη επιλυση συστηματοσ
 
ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
 
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουΕξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
 
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
 
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
 
υπερβολη (θεωρια)
υπερβολη (θεωρια)υπερβολη (θεωρια)
υπερβολη (θεωρια)
 
System
SystemSystem
System
 
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
 
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.grβιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr
βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
 
Eykleidhs 2013 solutionsfinal
Eykleidhs 2013 solutionsfinalEykleidhs 2013 solutionsfinal
Eykleidhs 2013 solutionsfinal
 
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίου
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίουεπανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίου
επανάληψη στα μαθηματικά της γ γυμνασίου
 
συστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
συστήματα προτεινόμενες ασκήσειςσυστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
συστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
 
Ggumnasiou2009
Ggumnasiou2009Ggumnasiou2009
Ggumnasiou2009
 
Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά ΣυστήματαΓραμμικά Συστήματα
Γραμμικά Συστήματα
 

More from Θανάσης Δρούγας

Παράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Παράδοξα και ψευδοαποδείξειςΠαράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Παράδοξα και ψευδοαποδείξειςΘανάσης Δρούγας
 
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)Θανάσης Δρούγας
 
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα e, st
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα   e, stΘεματα διαγωνισμου Πυθαγορα   e, st
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα e, stΘανάσης Δρούγας
 

More from Θανάσης Δρούγας (20)

Παράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Παράδοξα και ψευδοαποδείξειςΠαράδοξα και ψευδοαποδείξεις
Παράδοξα και ψευδοαποδείξεις
 
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
Μαθη..μαγικα για Διαγωνισμούς (Διαγωνιστικά Μαθηματικά ,Γ γυμνασίου,Α λυκείου)
 
Λογος-περι-της-μεθοδου
Λογος-περι-της-μεθοδουΛογος-περι-της-μεθοδου
Λογος-περι-της-μεθοδου
 
Ευκλειδης b 120 2021
Ευκλειδης b 120  2021Ευκλειδης b 120  2021
Ευκλειδης b 120 2021
 
Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)
Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)
Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)
 
Eykleidhs a 119_eykleidhs_2021 (1)
Eykleidhs a 119_eykleidhs_2021 (1)Eykleidhs a 119_eykleidhs_2021 (1)
Eykleidhs a 119_eykleidhs_2021 (1)
 
Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020
Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020
Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020
 
Eykleidhs b 118_eykleidhs_2020
Eykleidhs b 118_eykleidhs_2020Eykleidhs b 118_eykleidhs_2020
Eykleidhs b 118_eykleidhs_2020
 
Euclid
EuclidEuclid
Euclid
 
Μαν Ray,Human Equation
Μαν Ray,Human EquationΜαν Ray,Human Equation
Μαν Ray,Human Equation
 
Eykleidhs a 117_eykleidhs_2020
Eykleidhs a 117_eykleidhs_2020Eykleidhs a 117_eykleidhs_2020
Eykleidhs a 117_eykleidhs_2020
 
Eykleidhs b 117_eykleidhs_2020
Eykleidhs b 117_eykleidhs_2020Eykleidhs b 117_eykleidhs_2020
Eykleidhs b 117_eykleidhs_2020
 
Λογική
ΛογικήΛογική
Λογική
 
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 116
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ  Β 116ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ  Β 116
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 116
 
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ a 116_
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ a 116_ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ a 116_
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ a 116_
 
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 115_2020
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 115_2020ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 115_2020
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 115_2020
 
ΕΥΚΛΕΙΔΗ΅Α 115 2020
ΕΥΚΛΕΙΔΗ΅Α  115  2020ΕΥΚΛΕΙΔΗ΅Α  115  2020
ΕΥΚΛΕΙΔΗ΅Α 115 2020
 
An. cancellation
An. cancellationAn. cancellation
An. cancellation
 
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα e, st
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα   e, stΘεματα διαγωνισμου Πυθαγορα   e, st
Θεματα διαγωνισμου Πυθαγορα e, st
 
Ευκλειδης β 114__2019
Ευκλειδης β  114__2019Ευκλειδης β  114__2019
Ευκλειδης β 114__2019
 

Recently uploaded

ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣChrisa Kokorikou
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxssuser78b997
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxssuser6a63b0
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΣάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxPantelis Bouboulis
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxlabriniderbederi
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxSimos Skouloudis
 

Recently uploaded (16)

ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
Συνέντευξη
Συνέντευξη                                            Συνέντευξη
Συνέντευξη
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
 

'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

  • 1. - 0 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 0
  • 2. - 1 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής α x +β y =γ . Η εξίσωση x =κ παριστάνει γραφικά ευθεία παράλληλη προς τον άξονα yy΄, δηλαδή ευθεία κάθετη στον άξονα xx΄ και τέμνει τον xx΄ στο σημείο (κ,0). Η εξίσωση y =α x +β είναι η εξίσωση ευθείας που περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που δεν είναι παράλληλες στον yy΄. Η γραμμική εξίσωση της μορφής α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει όλες τις παραπάνω ευθείες γιατί: α γ α γ + = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον xx΄). Αν α ≠ 0 και β=0 τότε x 0y x x γ α + = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον yy΄). χ β γ β γ Αν α=0 και β ≠ 0 τότε 0 y y y γ β α γ Αν α ≠ 0 και β ≠ 0 τότε y x y ( ) = − ⇔ = − + (είναι της μορφής y =α x +β , β γ α χ β β δηλαδή είναι εξίσωση ευθείας που περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που δεν είναι παράλληλες στον yy΄). Οπότε: Η γραμμική εξίσωση α x +β y =γ με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει οποιαδήποτε ευθεία. Ονομάζουμε σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων δύο γραμμικές εξισώσεις των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις και γράφουμε συμβολικά: Σ  ( )  + = α β γ α β γ x y ΄x ΄y ΄  + = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1
  • 3. - 2 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Λύση ενός συστήματος ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος 0 0 (χ ,y ) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. Επίλυση ενός συστήματος ονομάζουμε την εύρεση όλων των λύσεών του. • Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων της μορφής: α β γ α β γ + =   + = x y ΄x ΄y ΄ 1) Μέθοδος αντικατάστασης. Πρώτα λύνουμε την μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο (π.χ. ως προς x). Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με την αντικατάσταση ως προς τον άλλο άγνωστο y. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο x. 2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής). Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου. Η επίλυση ενός συστήματος γίνεται με την κατάλληλη μετατροπή του σε άλλα συστήματα που έχουν τις ίδιες ακριβώς με αυτό λύσεις. Τα συστήματα αυτά λέγονται ισοδύναμα. Η μετατροπή συστήματος σε ισοδύναμο γίνεται συνήθως με έναν από τους παρακάτω τρόπους: i. Λύνουμε την μία εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. ii. Αντικαθιστούμε μία από τις εξισώσεις (ε) ή (ε΄) του συστήματος, π.χ. την (ε) με την εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με λ ≠ 0 προσθέσουμε τα μέλη της (ε΄) πολλαπλασιασμένα με λ΄. Η εξίσωση λ ⋅(ε) + λ΄⋅ (ε΄) λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε΄). Η απόδειξη ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα, στηρίζεται στις ιδιότητες της ισότητας και των πράξεων που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο: «αν γ ≠ 0 τότε α=β⇔ α ⋅ γ = β ⋅ γ », και «αν α=β και γ=δ τότε α+γ=β+δ». ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2
  • 4. - 3 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Λύση 1) Μέθοδος αντικατάστασης. x + 2 y = 4 ⇔ x = 4 − 2 y οπότε η (2) γράφεται 2 1 2(4 2 ) 1 8 4 1 3 1 8 3 9 3 9 + = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − ⇔− = − − ⇔− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = x y y y y y y y y y y Αντικαθιστώ την τιμή του y στην x = 4 − 2y και έχω: x = 4 − 2 ⋅ 3 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). + = − + = − −3y = −9 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3. Αντικαθιστώ την τιμή του y σε μία από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος και έχουμε: x + 2 ⋅ 3 = 4 ⇔ x = 4 − 6 ⇔ x = −2. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). 3 A(0,2) 2 1 Μ(-2,3) Δ(-1/2,0)  + = 2 4 (1) x y x y Σ   + = 2 1 (2) + = − − − = − 2 4 2 2 4 8 (+ ) 1 2 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 B(4,0) Γ(0,-1) 1. Να λυθεί το σύστημα: ( ) : 9 3. 3 2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. x y x y ⇔ x y x y 2 1 1 2 1 3) Γραφική επίλυση του συστήματος. Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος. i. X+2y=4. Άρα για x=0 τότε 0+2y=4⇔2y=4⇔y=2 άρα σημείο το Α(0,2). Για y=0 τότε x=4 άρα σημείο το Β(4,0). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης x+2y=4 είναι η ευθεία ΑΒ. ii. 2x+y=-1. Άρα για x=0 τότε y=-1, το σημείο είναι Γ(0,-1). Για y=0 είναι 1 x = − άρα το σημείο 2 είναι Δ(-1/2,0). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2x+y=-1 είναι η ευθεία ΓΔ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3
  • 5. - 4 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι x=-2 και y=3. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3). • 2. Να λυθεί το σύστημα (Σ): + =   + = − 3 3 (1) x y x y 2 6 5 (2) Λύση 1) Μέθοδος αντικατάστασης. x + 3y = 3 ⇔ x = 3 − 3y . Οπότε η (2) γράφεται: 2(3 − 3y) + 6y = −5 ⇔ 6 − 6y + 6y = −5 ⇔ 6 = −5 δεν ισχύει οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. + = − − − = − x 3y 3 2 2x 6y 6 ⇔ 2x 6y 5 1 2x 6y 5 + = − + = − (+) (απαλοιφή του x) 0x+0y=-11⇔0=-11 δεν ισχύει άρα το σύστημα είναι αδύνατο.(Δηλαδή δεν υπάρχουν x, y που να επαληθεύουν το σύστημα). 3) Γραφική επίλυση του συστήματος. Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος. i. X+3y=3. Άρα για x=0 τότε 0 + 3y = 3 ⇔ 3y = 3 ⇔ y = 1 άρα σημείο το Α(0,1). Για y=0 τότε x = 3 άρα σημείο το Β(3,0). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης x+3y=3 είναι η ευθεία ΑΒ. ii. 2x+6y=-5. Άρα για x=0 τότε 5 = − ⇔ = − άρα το σημείο 6y 5 y 6 είναι το Γ(0,-5/6). Για y=0 τότε 5 = − ⇔ = − άρα 2x 5 x 2 το σημείο είναι το Δ(-5/2,0). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2x+6y=-5 είναι η ευθεία ΓΔ. Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες γιατί αν τις λύσουμε ως προς y έχουμε 1 y = − x ⇔ y = − x + 3 3 1 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4
  • 6. - 5 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2 5 1 5 y = − − x ⇔ y = − x − ⇔ y = − x − . 6 5 2 6 6 3 6 Έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης το -1/3. Επειδή όμως δεν υπάρχει κοινό σημείο, δεν υπάρχει λύση του συστήματος. • 3. Να λυθεί το σύστημα (Σ): + = −   + = 2 2 (1) x y x y 2 4 -4 (2) Λύση 1) Μέθοδος αντικατάστασης. x + 2y = −2⇔ x = −2 − 2y . Άρα η (2) γράφεται 2(−2 − 2 y) + 4 y = −4⇔ −4 − 4 y + 4 y = −4 ⇔ −4 = −4 . Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (Α.Λ.). Έστω x=κ, τότε − − 2 κ + = − ⇔ = − − ⇔ = οπότε οι Α.Λ. είναι της μορφής κ 2y 2 2y 2 κ y 2 − − 2 κ = με κ∈ ℝ . (χ, y) (κ, ) 2 2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. + = − − − − = 2 2 2 2 4 4 (+) (απαλοιφή του x) x y x y ⇔ x y x y + = − + = − 2 4 4 1 2 4 4 0x+0y=0⇔0=0. Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής − − 2 κ = με κ∈ ℝ , τις οποίες υπολογίζουμε όπως στα προηγούμενα. χ κ ( , ) ( , ) 2 y 3) Γραφική επίλυση του συστήματος. Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος. i. x+2y=-2. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Α(0,-1). Για y=0 τότε το x=-2 άρα το σημείο είναι το Β(-2,0). Η γραφική παράσταση της ευθείας x+2y=-2 είναι η ευθεία ΑΒ. ii.2x+4y=-4. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Γ(0, -1). Για y=0 τότε x=-2 άρα το σημείο είναι το Δ(-2, 0). Παρατηρούμε ότι τα σημεία Α και Γ συμπίπτουν, όπως και τα Β και Δ. Άρα οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ ταυτίζονται και αυτό σημαίνει ότι παριστάνουν την ίδια ευθεία. Επομένως, κάθε σημείο της ευθείας αυτής ορίζει και μία λύση του συστήματος, που είναι της μορφής − − 2 κ κ ( , ) 2 όπου κ ∈ ℝ . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5
  • 7. - 6 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ • 4. Να λυθεί το σύστημα (Σ):   x + y x − y = 5 3  + − − = +  1 x y x y y 2 3 2 Λύση Η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται + − + − x y x y x y x y = ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ 15 15 3( ) 5( ) 3 3 5 5 x y x y x y x y 5 3 5 3 3 x − 5 x + 3 y + 5 y = 0 ⇔ − 2 x + 8 y = 0 ⇔ − x + 4 y = 0 ⇔ x − 4 y = 0 Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) γράφεται + − + − x y x y y x y x y y − = + ⇔ − = + ⋅ ⇔ + − − = + ⇔ 1 6 6 6 6 1 3( x y ) 2( x y ) 3 y 6 2 3 2 2 3 2 3 x + 3 y − 2 x + 2 y = 3 y + 6 ⇔ 3 x + 3 y − 2 x + 2 y − 3 y − 6 = 0 ⇔ x + 2 y = 6 Άρα (Σ)  − = 4 0 2 6 x y x y ⇔  + = και το λύνουμε κατά τα γνωστά. ( ) − = − = 4 0 1 4 0 + x y x y ⇔ x y x y + = − − − = − 2 6 1 2 6 (απαλοιφή του x) −6 y = −6 ⇔ y = 1 άρα x − 4y = 0⇔ x − 4 = 0⇔ x = 4 οπότε η λύση του (Σ) είναι (x, y) = (4, 1). • 5. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(4,5). Λύση Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή y=αx+β (1). Αφού η ευθεία με εξίσωση την (1) διέρχεται από τα σημεία Α, Β οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την (1) άρα 2 =α ⋅3 + β ⇔ 3α + β = 2 και 5 = 4α + β ⇔ 4α + β = 5 . Λύνουμε με τον γνωστό τρόπο το σύστημα α β α β + =   + = 3 2 4 5 οπότε έχουμε + = + = 3α β 2 1 3α β 2 ⇔ 4α β 5 1 4α β 5 + = − − − = − (+) (απαλοιφή του β) -α=-3⇔α=3 άρα 3α + β = 2⇔ 3⋅3 + β = 2⇔β = 2 − 9⇔β = −7 . Οπότε αφού υπολογίσαμε τα α, β μπορούμε να προσδιορίσουμε την ζητούμενη ευθεία (1) για την οποία θα έχουμε: y=3x-7. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 6
  • 8. - 7 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3) Λύση συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών. Έστω το σύστημα + =   + = α β γ α β γ x y ΄x ΄y ΄ . α β α΄ β΄ D = =αβ΄ −α΄β λέγεται ορίζουσα του συστήματος. γ β γ΄ β΄ x D = = γβ΄ − γ ΄β , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν στη θέση των συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους. α γ α΄ γ΄ y D = =αγ΄ −α΄γ , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από τη D αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους. i. Αν D ≠ 0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την , x y D D = = . x y D D ii. Αν D=0 και 0 ή 0 x y D ≠ D ≠ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. iii. Αν 0 x y D = D = D = τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν α=α΄=β=β΄=0 και γ ≠ 0 ή γ΄ ≠ 0 οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. Κάθε σύστημα της μορφής 0 0 α β α β x + y =  ΄x +  ΄y = ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ αδύνατο. Έχει λύση πάντα τη μηδενική (x, y)=(0, 0) και εξετάζουμε αν έχει και άλλες λύσεις εκτός από τη μηδενική. i. Αν D ≠ 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την μηδενική. ii. Αν D=0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις στις οποίες ανήκει και η μηδενική. 1. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ): χ − =   + = 2 25 5 3 12 y x y . Λύση  − =  − =  ⇔   + =  + = 2 x 25 5 y 2 x 5 y 25 3 x y 12 3 x y 12 Βρίσκουμε την D 2 -5 D = = 2 − 3( − 5) = 2 + 15 = 17 ≠ 0 οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. 3 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7
  • 9. - 8 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Βρίσκουμε τις Dx και Dy 25 -5 12 1 x D = = − − = + = 25 12( 5) 25 60 85 2 25 3 12 y D = = − = − 24 75 51 Οπότε η μοναδική λύση του συστήματος είναι x y D D 85 51 = = = 5, = = − = − 3 . x y 17 17 D D • 2. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ): λ − + = λ −  λ − +  λ = λ − ( 1) x 2 y 2 ( 1) x y 3( 2) . Λύση Βρίσκουμε την λ-1 2 D = = λ ( λ − 1) − 2( λ − 1) = ( λ − 1)( λ − 2) . Μετά βρίσκουμε την λ-1 λ λ-2 2 D = = λ ( λ − 2) − 6( λ − 2) = ( λ − 2)( λ − 6) x και την 3(λ-2) λ λ-1 λ-2 D = = ( λ − 1) ⋅ 3( λ − 2) − ( λ − 1)( λ − 2) = ( λ − 2)[3( λ − 1) − ( λ − 1)] = 2( λ − 2)( λ − 1) y . λ-1 3(λ-2) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1. D ≠ 0 ⇔ (λ −1)(λ − 2) ≠ 0 ⇔λ −1 ≠ 0 και λ - 2 ≠ 0⇔λ ≠ 1 και λ ≠ 2 . Τότε το σύστημα έχει Μοναδική Λύση (Μ.Λ.) την − − − λ λ λ ( 2)( 6) 6 ( 1)( 2) 1 x D D χ = = = − − − λ λ λ , λ λ λ λ − − 2( 2)( 1) 2 = = = − − ( 1)( 2) y D y D . 2. D=0⇔(λ −1)(λ − 2) = 0⇔λ −1 = 0 ή λ − 2 = 0⇔λ =1 ή λ = 2 . i. Για λ=1 έχω (1 2)(1 6) ( 1)( 5) 5 0 x D = − − = − − = ≠ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 8
  • 10. - 9 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii. Για λ=2 έχω Dx = 0 και Dy = 0 . Επειδή ένας τουλάχιστον συντελεστής των αγνώστων είναι διάφορος του μηδενός (π.χ. του y στην πρώτη εξίσωση), το σύστημα έχει άπειρες λύσεις δηλαδή είναι αόριστο. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του. Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται: (2 1) 2 0 2 0  − + =  + =  ⇔  ⇔ + =  − + = −  + = 2 0 x y x y (2 1) 2 3(2 2) 2 0 x y x y x y . Θέτω x= κ οπότε = − ⇔ = −κ ⇔ = − άρα οι άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής 2 2 κ 2 y x y y κ = κ − με κ ∈ ℝ . ( , ) ( , ) 2 x y • 3. Να λυθεί το σύστημα (Σ): 2 2  − =   − = λ λ λ λ λ 2 x y x y . Λύση Βρίσκουμε την 2 λ -λ 2 3 2 2 D = = −λ ⋅λ − λ −λ = −λ + λ = −λ λ − ( ) ( 1) λ -λ Μετά την 2 2 -λ x D = = − λ − λ −λ = − λ + λ = λ λ − 2 2 ( ) 2 2 2 ( 1) 2λ -λ 2 λ 2 3 2 D = = 2 λ − 2 λ = 2 λ ( λ − 1) = 2 λ ( λ − 1)( λ + 1) y . λ 2λ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1. D ≠ 0⇔ −λ 2 (λ −1) ≠ 0⇔ −λ 2 ≠ 0 και λ-1 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 1. Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. λ λ − λ λ λ 2 ( 1) 2 x D x = = = − την 2 − − ( 1) D λ λ λ λ − + + 2 ( 1)( 1) 2( 1) y D y = = = − , 2 − − λ λ λ ( 1) D . 2. D = 0⇔ −λ 2 (λ −1) = 0⇔ −λ 2 = 0 ή λ −1 = 0⇔λ = 0 ή λ = 1. i. Για λ=0 έχω 2 0(0 1) 0, 2 0(0 1)(0 1) 0 x y D = ⋅ − = D = ⋅ − + = . Οπότε το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή: − = − = 0 x 0 y 2 0 x 0 y 0 που είναι αδύνατο γιατί οι συντελεστές των αγνώστων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9
  • 11. - 10 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ είναι μηδέν ενώ ένας σταθερός όρος είναι διάφορος του μηδενός (η πρώτη εξίσωση δίνει 0=2). ii. Για λ=1 έχω D 2 1(1 1) 0 Dx = ⋅ − = και Dy = 2 ⋅1(1−1)(1+1) = 0 . Δηλαδή είναι πάλι D=0, 0 x y D = D = . Αλλά τώρα για λ=1 το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή: − = − = x y 2 x y 2 που είναι αόριστο γιατί υπάρχει μη μηδενικός συντελεστής των x, y στις εξισώσεις του συστήματος. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του.  − = 2  ⇔ − =  − = 2 2 x y x y x y . Θέτω x= κ οπότε − y = 2 − x ⇔ − y = 2 −κ ⇔ y =κ − 2 άρα οι άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής (x, y)= (κ, κ-2) με κ ∈ ℝ . • 4. Να λυθεί το σύστημα (Σ): λ + λ + =   λ + = ( 1) 0 x y x y 2 8 0 Λύση Το σύστημα έχει φανερά τη μηδενική λύση (0, 0). Θε εξετάσουμε τώρα αν έχει και άλλες λύσεις μη μηδενικές. Βρίσκουμε την λ λ+1 D = = 8 λ − 2 λ ( λ + 1) = 2 λ (4 − ( λ + 1)) = 2 λ (4 −λ − 1) = 2 λ ( −λ + 3) = − 2 λ ( λ − 3) . 2λ 8 0 λ+1 D = = 8 ⋅ 0 − 0( λ + 1) = 0 x , 0 8 λ 0 D = = λ ⋅ 0 − 2 λ ⋅ 0 = 0 y . 2λ 0 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1. D ≠ 0⇔ −2λ (λ −3) ≠ 0⇔−2λ ≠ 0 και λ − 3 ≠ 0⇔λ ≠ 0 και λ ≠ 3 , τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. την x y D D 0 0 = = = = = = 0, y 0 − λ λ − − λ λ − 2 ( 3) 2 ( 3) D D χ . 2. D = 0⇔ −2λ (λ − 3) = 0⇔ −2λ = 0 ή λ − 3 = 0⇔λ = 0 ή λ = 3 . i. Για λ=0 το σύστημα γίνεται  0 χ + y = 0  y = 0  ⇔   0 x + 8 y = 0  x ∈ ℝ οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, 0) όπου x οποιοσδήποτε αριθμός. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 10
  • 12. - 11 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii. Για λ=3 το σύστημα γίνεται  3 + 4 = 0  3 + 4 = 0  3 + 4 = 0  ⇔  ⇔  ⇔ + =  + =  + =  + = 3 4 0 x y x y x y 6 8 0 2(3 4 ) 0 3 4 0 x y x y x y x y . Έστω y= κ τότε 4 4 = − ⇔ = − , άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής κ 3x 4κ χ κ 3 − ∈ ℝ . ( κ,κ) 3 • 5. Να λυθεί το σύστημα (Σ): μ χ − + =  μ χ + μ  = + ( 1) 4 y x ( y ) x 2 Λύση  − + =  − + = μχ μ 4 ( μ 1) χ 4 μ μχ μ μ χ μ y x y y x y ⇔  ⇔  (Σ) 2 2  + = +  − + = 2 ( 1) 2 . Βρίσκουμε την D. 2 2 D = = μ μ − − μ − = μ − μ − = μ − μ − μ + . 2 μ-1 4 ( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 2)( 2) μ-1 μ 3 2 x D = = μ − = μ − μ + μ + 2 μ 4 8 ( 2)( 2 4) 2 μ μ-1 μ D = = 2( μ − 1) − μ ( μ − 1) = ( μ − 1)(2 − μ ) = − ( μ − 1)( μ − 2) y . μ-1 2 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1. D ≠ 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) ≠ 0 ⇔ μ −1 ≠ 0 και μ − 2 ≠ 0 και μ+2 ≠ 0 ⇔ μ ≠ 1 και μ ≠ 2 και μ ≠ −2 Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. την ( 2 ) ( 2 2 4) 2 2 4 ( 1 )( 2 )( 2 ) ( 1 )( 2 ) x D D μ μ μ μ μ − + + + + χ χ = = ⇔ = μ μ μ μ μ − − + − + , ( μ )( μ ) − − − 1 2 1 = = = − ( )( )( ) μ μ μ μ − − + + 1 2 2 2 y D y D . 2. D = 0 ⇔ (μ −1)(μ − 2)(μ + 2) = 0 ⇔ μ −1 = 0 ή μ − 2 = 0 ή μ + 2 = 0 ⇔ μ = 1 ή μ = 2 ή μ = −2 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 11
  • 13. - 12 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ i. Για μ=1 έχω (1 2)(12 2 1 4) ( 1)(7) 7 0 x D = − + ⋅ + = − = − ≠ το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο. ii. Για μ=2 έχω 0, 0 x y D = D = και επειδή ο συντελεστής του y στην πρώτη εξίσωση είναι διαφορετικός από το μηδέν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τις οποίες θα προσδιορίσουμε. Για μ=2 το σύστημα γίνεται  + 4 = 2  ⇔ + =  + = 4 2 x y 4 2 x y x y . Αν y= κ τότε x = 2 − 4 y ⇔ x = 2 − 4κ και επομένως οι άπειρες λύσεις έχουν τη μορφή (x, y)= (2- 4κ, κ) με κ ∈ ℝ . iii. Για μ=-2 έχω ( )(( ) ( ) ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 0 x D = − − − + − + = − + − = − ≠ το σύστημα είναι αδύνατο. • 6. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει + = − = D D D D D D 3 x y x y Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί αυτή. Λύση Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D ≠ 0 οπότε έχουμε: + = − = D D D D D D 3 ( + ) x y x y 4 D D = D ⇔ D = ⇔ D = D . Άρα 2 2 y y y D + D = D⇔ D = D − D⇔ D = −D. Η μοναδική 2 4 2 2 x x x λύση του συστήματος είναι η D 2 D D D = x = = 2 y και 1 x D D y − = = = − . Οπότε (x, y)= (2, -1). D D • 7. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 2 2 2 και D 0 x y x y D + D = D D ≠ . Αν x+y= 6 να βρεθούν τα x, y. Λύση Ισχύει 2 2 2 x y x y D + D = D D (1) και D ≠ 0 οπότε διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με 2 D και έχω: 2 2 2 2 2 2 2 2 Aφού D 0 τότε + 2     ≠ 2 2 x y x y x y x y x y x y D D D D D D D D D D D D = ⇔ + = ⋅ ⇔   +   = ⋅ ⇔     2 2 2 2 D D x y χ= και y= D D D D D D D D D D D D ( )x2 + y2 = 2xy ⇔ x2 + y2 − 2xy = 0⇔ x − y 2 = 0 ⇔ x − y = 0⇔ x = y . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 12
  • 14. - 13 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ  + =  + =  ⇔   =  − = x y 6 x y 6 x y x y 0 Άρα έχω ( + ) 2χ = 6 ⇔ χ = 3 . Άρα 3 + y = 6 ⇔ y = 3 οπότε (x, y)= (3, 3). • 8. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 2 4 2 5 x y x D + D + D = D + D − . Να δείξετε ότι: i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 x y D − + D − + D = ii. Να βρεθούν τα x, y. Λύση i. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 4 4 2 1 2 2 x y x x y D − + D − + D = D − D + + D + − D + D 2 2 2 2 4 5 x y x = D + D + D − D − D + = 4 2 5 2 4 5 0 x D D D D χ + − − − + = . ii. Από την i. έχω: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 2 0 και 1 0 και 0 x y x y D − + D − + D = ⇔ D − = D − = D = ⇔ 2 και 1 και 0 x y D = D = D = . Επειδή D = 2 ≠ 0 το σύστημα έχει λύση την x y D 1 D 0 = = και = = = . x y 0 D 2 D 2 • 9. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα 1 2 Σ , Σ να είναι συγχρόνως αδύνατα. ( ) Σ  1 α χ β αχ − − =  1 2 : 0 y +  y = Σ  και 2  + = 3 1 : 2 x y x α y − + = Λύση Δουλεύουμε στο 1 Σ και έχουμε: ( ) α-1 -β D = =α − −α −β =α − +αβ 1 1 α 1 ( ) 2 -β 0 1 x D = = − −β = 2 0 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 13
  • 15. - 14 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α-1 2 Dy = = 0 − 2 α = − 2 α Οπότε για να είναι το Σ 1 αδύνατο θα πρέπει D= 0 και α 0 ή x y D D ≠ 0 άρα α-1+αβ=0 και x D = 2 ≠ 0 δηλαδή α-1+αβ=0 (1). Δουλεύουμε στο 2 Σ και έχουμε: ( ) 1 3 D = = α − − = α + 1 3 3 -1 α 1 3 6 2 a x D = = α − ( ) 1 1 D = = 2 − − 1 1 = 2 + 1 = 3 y Οπότε για να είναι το σύστημα αδύνατο θα πρέπει D= 0 και -1 2 ή x y D D ≠ 0 άρα α+ 3= 0 και y D = 3 ≠ 0 δηλαδή α+ 3= 0 (2). Λύνω το σύστημα ( ) 4  α + αβ − 1 = 0  − 3 + − 3 β − 1 = 0  − 3 β − 4 = 0  − 3 β = 4   β = −  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔   α + =  α = −  α = −  α = −   α = − 3 3 0 3 3 3 3 • 10. Δίνονται τα συστήματα ( ) Σ  1 α χ β + − =  1 1 : + = −  1 y x y και ( ) ( )  + + = 2 + Σ  χ β α χ α β 2 1 : y y 2 3 − −  1 = . Να δείξετε ότι εάν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις τότε το δεύτερο είναι αδύνατο. Λύση Δουλεύουμε στο σύστημα 1 Σ και έχουμε: ( ) α+1 -β D = = α + − −β = α + + β 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 -β D = = 1 − − 1 −β = 1 − β x -1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 14
  • 16. - 15 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) α+1 1 Dy = = − α + 1 − 1 = −α − 1 − 1 = −α − 2 Αφού το Σ 1 έχει άπειρες λύσεις τότε το D= 0 1 -1 και x y D = D = 0 οπότε α+ β+ 1=0, 1- β= 0, -α -2= 0. Άρα: −β + 1 = 0 ⇔ −β = −1⇔ β = 1 −α − 2 = 0 ⇔ −α = 2⇔α = −2 − 2 + 1 + 1 = 0 . Για τις τιμές β= 1, α= -2 που το 1 Σ έχει άπειρες λύσεις το 2 Σ γράφεται: χ + =  + =  + = 3 y 5 x 3 y 5 1 x 3 y 5 ( ) 2 Σ  ⇔  ⇔  + =  + = − − − = − : + 3 1 3 1 1 3 1 x y x y x y 0x + 0y = 4⇔0 = 4 άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ. 1. Να λυθεί το σύστημα ( )  χ 2 − 2 = 3 y 2 : 8 2 3 2 17 x − y =  Σ  Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 2 = 2 = x κ, y λ οπότε το σύστημα γίνεται:  − = − = κ λ κ λ κ λ κ λ ( ) 3 2 8 24 8 16 ( + ) Σ ⇔  ⇔  − = − − + = − 8 3 17 3 24 9 51 λ = −35. Αντικαθιστώ την τιμή του λ στην 3κ −λ = 2 ⇔ 3κ − (−35) = 2 ⇔ 3κ + 35 = 2 ⇔ 3κ = −33⇔κ = −11 . Επομένως έχουμε 2 = − x 11 (αδύνατη) και 2 = − y 35 (αδύνατη). Άρα το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο. • 2. Να λυθεί το σύστημα ( ) 3 5 1  + =  − 2 + 3 Σ :  y χ 2 1 5 − =  − + 2 3 x y Λύση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 15
  • 17. - 16 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 1 1 =κ = λ , − + x 2 y 3 . Θα πρέπει χ ≠ 2 και y ≠ −3 . Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται: ( )  3 + 5 = 1 1 3 + 5 = 1 ( + ) κ λ κ λ κ λ κ λ Σ ⇔  ⇔  − = − = 2 5 5 10 5 25 13κ = 26 ⇔ κ = 2 οπότε αντικαθιστώ την τιμή του κ στην 2κ −λ = 5⇔ 4 −λ = 5⇔ −λ = 5 − 4⇔ −λ = 1⇔λ = −1 . Επομένως 1 1 1 χ χ = ⇔ − = ⇔ = + = 2 2 2 2, 5 2 2 2 χ − άρα χ = 2, 5 . 1 = − ⇔ + = − ⇔ = − 1 3 1 4 3 y y y + . Οπότε το (Σ) έχει λύση την (x, y ) = (2,5 , -4 ) . • 3. Να λυθεί το σύστημα ( )  χ − = 4 2 y 11 : 6 5 15,5 x − y =  Σ  Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι x = κ, y = λ οπότε το σύστημα γίνεται:  − =  − = κ λ κ λ κ λ κ λ ( ) 4 2 11 3 12 6 33 ( + ) Σ ⇔  ⇔   − = − − + = − 6 5 15,5 2 12 10 31 1 λ = ⇔ λ = . Αντικαθιστούμε την τιμή του λ στην 4 2 2 4κ − 2λ = 11 και έχουμε: 1 κ − = ⇔ κ = ⇔κ = άρα χ = 3 ⇔ χ = 3 ή χ = −3 4 2 11 4 12 3 2 1 1 1 y = ⇔ y = ή y = − οπότε το σύστημα (Σ) έχει τις ακόλουθες λύσεις 2 2 2 1 1 3, , 3,- 2 2             , 1 1 3, , 3, . 2 2  −   − −          • ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 16
  • 18. - 17 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4. Να λυθεί το σύστημα ( )  + = 2 x 3 y 5 : 3 x 5 y 7 Σ  + =  Λύση Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.  + = − − − = − κ λ κ λ κ λ κ λ 2 3 5 3 6 9 15 Λύνω το σύστημα ( ) ( + ) Σ ⇔  ⇔  + = + = 3 5 7 2 6 10 14 λ = −1 Οπότε για λ=-1 έχω: 2κ + 3λ = 5⇔ 2κ + 3(−1) = 5⇔ 2κ − 3 = 5⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 . Οπότε χ = 4 ⇔ χ = 16 και y = −1(αδύνατη) άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. + λ = λ − + = − 2 x y 2 λχ λ 2 y 4 8 Βρίσκουμε τις ορίζουσες D, Dx, Dy οπότε: λ 2 ( )( ) 2 = = − = − + λ λ λ 4 2 2 2 D λ ( ) ( ) ( ) ( )( ) − λ λ 2 = = − − − = − − − = − − = − λ 4 8 2 ( )( ) λ λ λ λ λ λ λ λ 2( 2) 4 8 2 2 4 2 2 2 4 Dχ λ λ = − − 2 2 1 2 λ − 2 2 ( λ ) λ ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) ( λ )( λ ) = = − − − = ⋅ − − − = − − 2 4 8 2 2 4 2 2 2 8 D y λ 4 λ − 8 Βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες D = 0⇔(2 −λ )(2 +λ ) = 0⇔ 2 −λ = 0 ή 2 +λ = 0⇔ −λ = −2 ή λ = −2⇔λ = 2 ή λ = −2 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 17
  • 19. - 18 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Αν λ ≠ 2 κ α ι λ ≠ − 2 τότε D ≠ 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την: 2 2 1 2 2 2 1 2 2 (1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ − − λ − − λ − λ − − λ = = = = − + − + + λ λ λ λ λ 2 2 2 2 2 x D x D ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) D y λ 2 8 λ 2 λ 8 λ 8 λ y − − − − − − = = = = − − + − + + D 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 2. Αν λ=2 το σύστημα γράφεται  2 χ + 2 = 0  ⇔ + =  + = 2 2 0 y 2 2 0 x y x y έχει άπειρες λύσεις. Έστω x=κ τότε 2κ + 2 y = 0 ⇔ 2 y = − 2κ ⇔ y = −κ άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y) = (κ, -κ) με κ∈ ℝ .  − = −  − + = −  2 2 4 3. Αν λ=-2 το σύστημα γράφεται ( + ) x y x y 2 2 1 6 0x + 0 y = −20⇔ 0 = −20 δεν ισχύει άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ 1. Να λυθεί το σύστημα: χ + =   − = 2 2 y 2 6 3 x y Λύση ( )2 2 2 6 2 2 2 6 3 2 2 2 6 2 9 6 2 2 6  x + y =  x + y =  y + + y =  y + + y + y =  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  x − y = 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y + 3 ( ) ( )3 2 6 3 0 3 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 0  y + y + =  y + y + =  y + y + =  y + =  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  x = y + 3  x = y + 3  x = y + 3  x = y + 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 18
  • 20. - 19 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ  + =  = −  = −  ⇔  ⇔   = +  = − +  = 1 0 1 1 y y y x y x x 3 1 3 2 άρα το σύστημα έχει λύση την ( x, y ) = (2, −1) . 2. Να λυθεί το σύστημα:  + =   = 2 2 5 x y xy 2 Λύση ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 2 4 5 2 9 9  x + y =  x + y − xy =  x + y − =  x + y =  x + y =  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔   xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy = 2  xy = 2 Και  + = −  + =  χ + = −  ⇔    =  =  χ = 9 3 3 x y x y y και xy xy y 2 2 2 Λύση του 3 x + y =  xy  = 2 κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης κ 2 − 3κ + 2 = 0 ⇔ κ =1 ή κ = 2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: ( x = 1 και y = 2) ή (χ = 2 και y=1) . Λύση του 3 x + y = −   xy = 2 κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ω 2 − (−3)ω + 2 = 0 ⇔ ω 2 + 3ω + 2 = 0 ⇔ω = −1 ή ω = −2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (χ = −1 και y = −2) και ( x = −2 και y = −1) . Άρα οι λύσεις του  + =   = 2 2 5 x y xy 2 είναι (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1). 3. Να λυθεί το σύστημα: 2 2 2 ( 2)  + = +  x y xy x y 6 + =  Λύση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 19
  • 21. - 20 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Το σύστημα γράφεται 2 2 2 4 ( )2 2 2 4  x + y = xy +  x + y − xy = xy +  ⇔  ⇔  x + y = 6  x + y = 6  36 − 2 xy = 2 xy + 4 − 4 xy = 4 − 36 − 4 xy = − 32  4 xy = 32  xy = 8  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔   + =  + =  + =  + =  + = 6 6 6 6 6 x y x y x y x y x y κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ϕ 2 − 6ϕ + 8 = 0 ⇔ϕ = 4 ή ϕ = 2 . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (χ = 4 και y = 2) ή (χ = 2 και y = 4) . 4. Να λυθεί το σύστημα   − 2 − = 2 5 0 xy y y y x 2 x = − +  4 3 Λύση ( ) ( )  2 xy − y 2 − 5 y = 0  y 2 x − y − 5 = 0  y = 0 ή 2 x − y − 5 = 0  y = 0  ⇔  ⇔  ⇔   y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2 − x +  y = x 2 − x + 1 4 3 4 3 4 3 4 3 − − =   = − + 2 5 0 x y y x x ( ) 2 ή 2 4 3 Λύση του πρώτου συστήματος ( χ ) ( )  =  =  =  =  ⇔  ⇔  ⇔   = − +  − + =  = =  = 0 0 , 1, 0 y y o y y y x x x x x x y 2 4 3 2 4 3 0 1 ή χ 3 ( , ) ( 3, 0 ) Λύση του δεύτερου συστήματος  2 x − y − 5 = 0  y = 2 x − 5  y = 2 x − 5  y = 2 x − 5  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  y = x 2 − 4 x + 3  2 x − 5 = x 2 − 4 x + 3  x 2 − 4 x + 3 − 2 x + 5 = 0  x 2 − 6 x + 8 = 0  = −  = − =  ⇔   = =  = = 2 5 1 και 3 2 ή 4 2 και 4 y x y y x χ x χ άρα οι λύσεις του δεύτερου συστήματος είναι (χ , y ) = (2, −1) και ( x, y) = (4,−3) . Επομένως το δεύτερο σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (1, 0), (3, 0), (2, -1) και (4, -3). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 20
  • 22. - 21 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5. Να λυθεί το σύστημα:  + =   + = 2 2 29 7 x y x y (1) Λύση ( )2 2 29 2 2 29 49 2 29 2 20 2 20  x + y =  x + y − xy =  − xy = − xy = −  xy =  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7  x + y = 7 =   + = x y 1 0 x y 7 κατά τα γνωστά οι x, y, είναι ρίζες της εξίσωσης ω2 −7ω +10 = 0⇔ω = 2 ή ω = 5. Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (x=2 και y=5) ή (x=5 και y=2). Δηλαδή (x, y)=(2, 5) και (x, y)=(5,2). ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx+ βy+ γz= δ. Ονομάζουμε σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους κάθε έκφραση της μορφής ( ) + + =  α χ β γ ω δ α χ β γ ω δ α χ β γ ω δ y y y 1 1 1 1 Σ + + =  2 2 2 2  + + = 3 3 3 3 : . Ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζεται κλιμακωτό όταν είναι ισοδύναμο με ένα σύστημα της μορφής: + + =  κ χ λ μ ω ν y y 1 1 1 1 + =   = λ μ ω ν 2 2 2 μ ω ν 3 3 Λύση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε κάθε διατεταγμένη τριάδα ( ) 0 0 0 χ , y ,ω που επαληθεύει τις εξισώσεις του. Επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε την εύρεση όλων των λύσεών του. Η λύση ενός κλιμακωτού συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους επιτυγχάνεται ως εξής: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 21
  • 23. - 22 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ i. Από την τρίτη εξίσωση υπολογίζουμε το ω. ii. Αντικαθιστώντας την τιμή του ω που βρήκαμε στην δεύτερη εξίσωση προσδιορίζουμε το y. iii. Αντικαθιστώντας τις τιμές ω, y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση προσδιορίζουμε το x. Για να λύσουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους θα το μετασχηματίσουμε πρώτα σε ένα ισοδύναμο κλιμακωτό σύστημα. Αρχικά, απαλείφουμε τον ίδιο άγνωστο μεταξύ πρώτης και δεύτερης εξίσωσης και μεταξύ πρώτης και τρίτης εξίσωσης. Στη συνέχεια, λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των δύο εξισώσεων με τους ίδιους αγνώστους και αντικαθιστώντας στην εξίσωση με τους τρεις αγνώστους προσδιορίζουμε και τον τρίτο άγνωστο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί το σύστημα ( ) + − = 5 3  α β γ β γ Σ α − + = α β γ   : 2 10 3 2 2 3 − + = 3 6 2  Λύση  + − =  + − =     Σ ⇔   − +  = ⋅ ⇔  − + = ( ) 5 5 β γ 3  α β γ α β γ α α β γ 6 2 6 10 12 2 9 60 3 2      α − β + γ =   − +     = ⋅    4 3 18 α β γ 2 6 6 3 3 6 2 Απαλείφουμε τον α μεταξύ πρώτης και δεύτερης, και μεταξύ πρώτης και τρίτης εξίσωσης. ( )  α + β − γ = − − α − β + γ = −  ⇔   α − β + γ =  α − β + γ = 5 12 12 12 12 60 + 12 2 9 60 1 12 2 9 60 −14β + 21γ = 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 22
  • 24. - 23 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( )  α + β − γ = − − α − β + γ = −  ⇔   α − β + γ =  α − β + γ = 5 4 4 4 4 20 + 4 3 18 1 4 3 18 −5β + 7γ = −2 Άρα ( ) 5 α β γ + − =  β γ β γ Σ ⇔ − + =  14 21 0 5 7 2 − + = − β γ β γ β γ β γ − + = −  − =  ⇔ − + = − − + = − 14 21 0 5 70 105 0 λύνουμε το σύστημα: ( + ) 5 7 2 14 70 98 28 −7γ = −28⇔γ = 4 Τότε −14β + 21γ = 0⇔ −14β + 21⋅ 4 = 0⇔ −14β = −84⇔β = 6 . Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση έχουμε: α + 6 − 4 = 5⇔α = 3 . Οπότε η λύση του (Σ) είναι: (3, 6, 4). • 2. Να λυθεί το σύστημα ( ) − = −  2 3 x y z x y z x y z Σ + = −  : 3 8 14 9 2 3 5 7  + + = Λύση ( )  − + =  = −  = −    2 3 0 2 3 2 3 x y z x y z x y z x y z y z y z y z y z x y z y z y z y z y z Σ  + + = ⇔  − + + = ⇔  − + + = ⇔ : 3 8 9 14 3(2 3 ) 8 9 14 6 9 8 9 14 2 3 5 7 2 2 3 3 5 7 4 6 3 5 7    + + =  ( − ) + + =   − + + =  = −  = −  = ⋅ −  =      = ⇔  = ⇔  = ⇔  =  − =  ⋅ − =  =  =     2 3 2 3 2 1 3 2 x y z x y z x z x y y y y y z z z z 14 14 1 1 1 7 7 7 1 7 0 0 • 3. Να λυθεί το σύστημα ( ) χ ω χ ω χ ω 5 − + =  y y y Σ − − =  : 2 11  − + = 3 7 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 23
  • 25. - 24 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Λύση Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και στη συνέχεια μεταξύ πρώτης και τρίτης. ( )  χ − + ω = − − χ + − ω = −  ⇔   χ − − ω =  χ − − ω = 5 2 2 2 2 10 + y y y y 2 11 1 2 11 y − 3ω = 1 ( )  χ − + ω = − − χ + − ω = −  ⇔   χ − + ω =  χ − + ω = 5 1 5 + y y y y 3 7 3 1 3 7 3 −2y + 6ω = −2 οπότε το σύστημα γίνεται: ( ) 5 χ ω − + =  y y y ω ω Σ − =  : 3 1  − + = − 2 6 2 Λύνουμε το σύστημα  − ω = − + = − 3 1 2 6 2 y y ω ως εξής: ( ) ω ω  − 3 = 1 2  2 − 6 = 2  ⇔ − + = − − + = − + y y ω ω 2 y 6 2 1 2 y 6 2 0 y + 0ω = 0 άρα 0=0 το οποίο ισχύει για κάθε y,ω ∈ ℝ . Δηλαδή το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (y, ω)= (3κ+1, κ) όπου κ ∈ ℝ . Αντικαθιστώντας τις τιμές του y και του ω στην πρώτη εξίσωση έχουμε: χ − y +ω = 5⇔χ = 5 + y −ω = 5 + 3κ +1−κ = 6 + 2κ . Άρα το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y, ω)= (2κ+6, 3κ+1, κ) με κ ∈ ℝ . • 4. Να λυθεί το σύστημα ( ) χ ω χ ω χ ω − + =  5 y 3 4 : 3 y 2 3 2 y 2 2 Σ − + =   − + = Λύση Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, καθώς και πρώτης και τρίτης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 24
  • 26. - 25 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ χ ω χ ω χ ω χ ω  5 − y + 3 = 4 1  5 − y + 3 = 4  ⇔  +  − y + = − − + y − = − ( ) ( ) 3 2 5 5 15 5 10 14 y − 2ω = −6 ⇔ 7 y −ω = −3 χ ω χ ω  5 − y + 3 = 4 3  15 − 3 y + 9 = 12  ⇔  − + = − − + − = − ( ) ( + ) ω χ ω 3 x 2 y 2 2 5 15 10 y 10 10 7 y − ω = 2 Άρα το σύστημα γίνεται: ( ) ω ω ω − + =  5 x y 3 4 : 7 3 Σ − = −  y y  − = 7 2 λύνουμε το σύστημα − ω = −  − ω =  7 y 3 7 y 2 ( )  − ω = −  − ω = −  ⇔   − ω = −  − ω = − 7 3 1 7 3 + y y y y 7 2 1 7 2 0 y − 0ω = −5 ⇔ 0 = −5 δεν ισχύει, άρα το σύστημα είναι αδύνατο οπότε και το (Σ) είναι αδύνατο. • 5. Να λυθεί το σύστημα ( ) χ ω χ ω χ ω + + =  4 3 y 17 0 : 5 4 y 22 0 4 2 y 19 0 Σ + + =   + + = Λύση Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές λύσεις. Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και μεταξύ πρώτης και τρίτης οπότε έχουμε: ( ) ( )  + + ω = − − χ − − ω =  ⇔   + + =  + + = 4 3 17 0 5 20 15 85 0 + x y y χ ω ω 5 4 y 22 0 4 20 x 16 y 88 0 y + 3ω = 0 ( )  χ + + ω = − − χ − − ω =  ⇔   χ + + ω =  + + ω = 4 3 17 0 1 4 3 17 0 + y y y x y 4 2 19 0 1 4 2 19 0 −y + 2ω = 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 25
  • 27. - 26 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται: ( ) χ ω + + =  4 3 17 0 ω ω Σ ⇔ + =  3 0 2 0 y y y  − + = + ω = − + ω =  3 0 y y Λύνουμε το σύστημα ( + ) 2 0 5ω = 0⇔ω = 0 Επομένως το (Σ) παίρνει τη μορφή  4 χ + 3 y + 17 ω = 0  4 χ + 3 y + 17 ω = 0  4 χ + 3 ⋅ 0 + 17 ⋅ 0 = 0     y + 3 ω = 0 ⇔  y = 0 ⇔  y = 0 ⇔   ω = 0   ω = 0   ω = 0  χ =  χ =    = ⇔  =    =  = 4 0 0 0 0 0 0 y y ω ω άρα το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση την (x, y, ω)= (0, 0, 0). • 6. Να λυθεί το σύστημα ( ) χ ω χ ω χ ω + − =  5 5 0 : 10 5 2 0 y y y Σ + + =  − + − = 5 15 9 0 Λύση Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές λύσεις. Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, όπως και μεταξύ πρώτης και τρίτης οπότε έχουμε: ( )  + − = − − − + =  ⇔  + + = + + = 5 5 0 2 10x 10y 2ω 0 + x y x y ω ω 10 5 2 0 1 10x 5y 2ω 0 −5y + 4ω = 0 ( )  + − ω = − − χ − + ω =  ⇔  + − = + − = 5 5 0 1 5 5 0 + x y y χ ω χ ω 5 15 y 9 0 1 5 15 y 9 0 10y −8ω = 0⇔5y − 4ω = 0 . Έτσι το (Σ) γίνεται: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 26
  • 28. - 27 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ω ω ω + − =  5 x 5 y 0 Σ ⇔ − =  5 y 4 0 5 y 4 0  − = Λύνουμε το σύστημα  5 − 4 ω = 0  ⇔ − ω =  − = 5 4 0 y ω 5 4 0 y y Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( ) 4 y , ω =  κ κ ,  5   με κ ∈ ℝ . Αντικαθιστούμε τις τιμές του y, ω στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (Σ) και έχουμε: 4 3 χ + κ −κ = ⇔ χ + κ = ⇔ χ = − κ ⇔ χ = − κ Άρα το (Σ) έχει άπειρες λύσεις της 5 5 0 5 3 0 5 3 . 5 5 μορφής 3 4  − κ , κ , κ  5 5   με κ ∈ ℝ . • x y ω  = =  7. Να λυθεί το σύστημα ( ) 2 3 4  − + ω = 2 x y 2 18 Σ = Λύση x y ω = = = λ ⇔ χ = λ = λ ω = λ Αντικαθιστώ τις τιμές των x, y, ω στην Θέτουμε 2 και 3 και 4 . 2 3 4 y δεύτερη εξίσωση και έχουμε: ( ) ( ) 18 λ − λ + λ = ⇔ λ − λ + λ = ⇔ λ = ⇔ λ = = 2 2 3 2 4 18 4 3 8 18 9 18 2 9 Άρα x = 2 ⋅ 2 = 4, y = 3 ⋅ 2 = 6, ω=4 ⋅ 2=8 οπότε η λύση του (Σ) είναι (x, y, ω)= (4, 6, 8). • 8. i)Να λυθεί το σύστημα 1 1 4  + = x y 1 1  9  + = y ω 1 1 3 + = ω  x ii)Να λυθεί το σύστημα  − = −  2 x 3 y 19 6 x 2 y 6 − =  Λύση i)Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι έχουμε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 27
  • 29. - 28 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 1 1 = κ = λ = μ χ ≠ ≠ ω ≠ , , , θα πρέπει 0, y 0, 0. y χ ω 4 9 + 3 κ λ λ μ μ κ + =  Οπότε το σύστημα γίνεται ( ) ( ) Σ ⇔ + =   + = Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε: 2κ + 2λ + 2μ =16⇔κ +λ +μ = 8 οπότε (κ +λ + μ ) − (κ +λ ) = 8 − 4⇔κ +λ + μ −κ −λ = 4⇔μ = 4 άρα 1 1 = ⇔ = 4 4 ω ω 1 (κ +λ + μ ) − (λ + μ ) = 8 − 9⇔κ +λ + μ −λ −μ = −1⇔κ = −1 άρα = − ⇔ = − 1 χ 1 χ (κ +λ + μ ) − (μ +κ ) = 8 − 3⇔κ +λ + μ −μ −κ = 5⇔λ = 5 άρα 1 1 = ⇔ = 5 5 y y Άρα το σύστημα (Σ) έχει λύση την ( ) 1 1 x , y , ω =  − 1, ,  5 4   . ii) Θέτω x =κ και y = λ με χ, y ≥ 0 και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.  − = − − − + = κ λ κ λ κ λ κ λ 2 3 19 3 6 9 57 Λύνω το σύστημα ( ) ( + ) Σ ⇔  ⇔  − = − = 6 2 6 1 6 2 6 λ = 9 Οπότε για λ=9 έχω: 2κ − 3λ = −19⇔ 2κ − 3(9) = −19 ⇔ 2κ − 27 = −19 ⇔ 2κ = 8⇔κ = 4 . Οπότε x = 4 ⇔ x = 16 και y = 9 ⇔ x = 81 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 28
  • 30. - 29 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς. 1)Η εξίσωση x3 − y = 4 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους . Σ Λ 2)Η εξίσωση (λ 2 −9)x + (λ − 3) y = 8 είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους για κάθε τιμή του λ ∈ℝ . Σ Λ γ − β x 3)Το ζεύγος ( x , ), α 0 α ≠ είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης β x +α y =γ . Σ Λ 4)Η εξίσωση 0x − y = 0 έχει λύσεις όλα τα ζεύγη της μορφής (λ,0),λ ∈ℝ. Σ Λ 5)Η εξίσωση (x − 2)2 − x2 + 2y = 0 είναι γραμμική. Σ Λ 6)Η εξίσωση x = 5 επαληθεύεται από όλα τα ζεύγη της μορφής (5,λ ),λ ∈ℝ Σ Λ 7 − 5 κ 7)Κάθε σημείο της μορφής ( , ), 3 κ κ ∈ℝ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση 7 − 3x = 5y . Σ Λ 8) Η ευθεία y = −2 είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ . Σ Λ 9) Η ευθεία α y +β x =γ τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο (0, ) γ α Σ Λ 10)Το σύστημα + =   + = 2 x y 1 2 x y 2 έχει άπειρες λύσεις . Σ Λ 11) Αν το σύστημα β γ + =   + = ax y x y z δ ε είναι αδύνατο τότε οι ευθείες 1 2 ε ,ε με εξισώσεις 1 2 ε : ax +β y =γ , ε :δ x +ε y = z είναι παράλληλες . Σ Λ 12)Οι ευθείες 1 2 ε : y −λ x = −2 , ε :λ y + 4x −λ = 0 τέμνονται για κάθε λ ∈ℝ. Σ Λ Ασκήσεις Για Λύση 1. Να εξετάσετε ποια από τα ζεύγη (1, 1) , (4 ,-10) , (3,7), 2 + 2 2 3 ( , 2 1) 3 a a + είναι λύσεις της εξίσωσης 3x − y = 2 2. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα : i) − =   + = 2 0 3 x y x y ii) − =   − = 2 x y 1 2 x y 3 3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών: i) + =  − + = − 3 x y 10 2 x 3 y 25 ii) 3  + =   = − 2 1 x y 2 y x 6 2 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 29
  • 31. - 30 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4.Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i) − = −   + = 4 x 3 y 4 7 x 3 y 26 ii)  3 x + 1 4 y − 10 − = 1 8 2  7 − 2 + − 6  − = 0 x y x 2 5  iii) + − − − + =   − − + + = − (6 x 1)( y 2) (2 x 1)(3 y 1) 3 3 x (4 y 1) (2 x 4)(6 y 1) 28 iv) 3 2 4  − = − x y 4 3  7 − = − x y  v)  − = −  2 x 3 y 19 6 x 2 y 6 − =  5.Να βρείτε τις τιμές των κ ,λ ∈ ℝ ,ώστε η εξίσωση (κ − 2λ − 1) x + (2κ − λ − 5) y + κ − 1 = 0 Να παριστάνει ευθεία. 6.Να βρεθούν οι τιμές των κ ,λ ∈ ℝ έτσι ώστε η εξίσωση (5κ −λ − 3)x + 2κ − 4λ + 6 = 0 να έχει 1974 λύσεις. λ λ λ λ λ + + + =  ( 1) x ( 2 ) y 5 2 4 1 4 7. Να λυθεί το σύστημα ( ) x +  − y = + για τις διάφορες τιμές του λ. 8.Αν το σύστημα λ + =   + = 2 2 1 x y x y , είναι αόριστο , να δείξετε ότι το σύστημα λ λ x − y =  x −  y = 4 3 λ ,είναι αδύνατο. 9. Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ , ώστε το σύστημα : ( 3) ( 1) 1 λ μ μ λ − x − + y =  x + (2 + 1) y  = 7 Να έχει λύση (x,y)=(2,-3). 10. Δίνονται τα παρακάτω συστήματα:  2 + β = 5 − + − = − ( 1) x y ( 1) 7 S x a y και  ( − 1) − 2 = −  − − = ( 2) β β a x y α β α 2( 2) 2 S x y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 30
  • 32. - 31 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γνωρίζουμε ότι το S1 έχει μοναδική λύση . i) Να αποδείξετε ότι και το S2 έχει μοναδική λύση. ii) Να βρείτε την μοναδική λύση του S2. 11. Να λυθεί το σύστημα αν ισχύει 2 18 3 2 6 90 x y y x D + D + D − = −D + D − . 12. (ε1): 5x-y=17 (ε2): y-2x=1 (ε2): 3x+2y=5 Με την χρήση του παραπάνω σχήματος να λυθούν τα παρακάτω συστήματα i) − =   − = 5 17 x y y x 2 1 ii) − =   + = 5 x y 17 3 x 2 y 5 iii) − =   + = 2 1 y x x y 3 2 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 31
  • 33. - 32 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 13. Δίνονται οι ευθείες : ε 1 : x − y = −1 ε 2 :λ x − y = −1 Να βρείτε τις σχετικές θέσεις των ευθειών 1 2 ε , ε για τις διάφορες τιμές του λ. 14. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 4 0 x y D − + D − + D + = . Να λυθεί το σύστημα. 15.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες : i) 3 2 1 0 ii) 4 2 4 3 iii) 1 5 2 6 2 -4 3 − 16.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες : i) α β α γ − ii) γ δ β δ λα μβ α β − λμ λγ μδ γ δ iii) α β α β + κα − γ δ γ δ+κγ 17.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 2 − 2 4 x y y y + y 2 x 2 x 2 y 2 2 2 2 2 0 2 1 y x = − είναι αδύνατη για κάθε τιμή των χ,y. 18.Δινεται η εξίσωση: (5x − 6)λ + 2μ (x −1) = 3x − 4 ,λ ,μ ∈ ℝ α) Να την μετασχηματίσετε στην μορφή ΑΧ=Β β)Να βρείτε τις τιμές των λ,μ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 32
  • 34. - 33 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 19.Να λύσετε τα συστήματα: i) + + =  − + =   = 2 11 3 2 2 1 x y z y z z ii) + − =  2 x y 3 z 0 3 x 2 y 4 z 1 3 x y z 5 + + =  − − − = − iii) 3 4 5 + =  x y x ω + =  ω + y =  (Υπόδειξη : Προσθέστε και τις τρεις εξισώσεις κατά μέλη ) 20. Για τις εξισώσεις , , x y D D D ενός γραμμικού συστήματος δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους x και y ισχύουν οι σχέσεις : 2 2 8  + =  D D x D D D D + = − x y  + = − y Να βρειτε την λυση ( x,y) του γραμμικου  συστηματος . 21. Να λύσετε τα μη γραμμικά συστήματα: 2 x + y = 5  x − xy − y  = − i) 2 2 2 1 ii) + + =   = − 3 1 0 2 x y xy iii)  + =   = 2 2 10 x y xy 3 iv) − = −  2 3 1 y x y x + =  2 3 - 22.Συσκευασαμε 3 τόνους αναψυκτικού «Λόλα –κόλα» σε 1050 μπουκάλια χωρητικότητας 1 και 4 λίτρων .Πόσα μπουκάλια του 1 λίτρου και πόσα μπουκάλια των 4 λίτρων χρησιμοποιήσαμε; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 33
  • 35. - 34 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 23. Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι − + α β β 6 2 , , 7 3 + − − α ,β ∈ ℝ α β α 2 2 Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο να δείξετε ότι και το τρίγωνο με μήκη πλευρών : α β + − 2 3 5 1 , 2 , + α ,β ∈ ℝ 3 αβ β Είναι επίσης ισόπλευρο. 24. Το άθροισμα των ψηφιων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Αν εναλλάξουμε την θέση των ψηφίων του, παίρνουμε αριθμό μικρότερο του αρχικού κατά 18.Να βρείτε τον αρχικό αριθμό. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 34