2. Debeyova délka Vzdálenost, na které je elektrické pole v plazmatu odstíněno na 𝐸0𝑒 http://en.wikipedia.org/wiki/Debye_length http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/NRL_FORMULARY_09.pdf

3. Plazmová frekvence Frekvence vlastních oscilací elektronů v plazmatu http://en.wikipedia.org/wiki/Plasma_frequency Hmotnost iontů pokládáme za nekonečnou (což je dobré přiblížení) Plazmové oscilace budou pozorovány pouze pokud čas měření je delší než plazmová perioda 𝜏𝑝≡1𝜔𝑝 a pokud externí působení nemění systém rychleji než 𝜔𝑝 Porovnejte s 𝜆𝐷=𝑇𝑒𝑚𝑒1𝜔𝑝

4. Počítačové simulace ve fyzice mnoha částic Miloslav Pekař, ČVUT FJFI, UMF 2010

5. simulace Využíváme různých aproximací Čím lepší je první aproximace, tím lepší bude celá naše simulace Čím více cyklů použijeme, tím přesnější naše simulace bude Neexistuje správná / chybná simulace Simulace je dobrá nebo špatná v závislosti na tom, jak obratně zvolíme aproximace skutečnosti

6. 1D Simulace Plazmatu Poissonova rovnice: 𝜕2𝜙𝜕𝑥2=−𝑛𝑖−𝑛𝑒𝜀0 Rovnice continuity: 𝜕𝑛𝑖𝜕𝑡+𝑛𝑖𝜕𝜈𝑖𝜕𝑥+𝜈𝑖𝜕𝑛𝑖𝜕𝑥=0 Konverze momentu: 𝜕𝜈𝑖𝜕𝑡+𝜈𝑖𝜕𝜈𝑖𝜕𝑥=𝑞𝑚𝑖𝐸 Boltzmannova elektronová rovnice: 𝑛𝑒=𝑛0∙exp𝑞𝜙𝑘𝐵𝑇𝑒

7. Konečné diference j+1 j 1 2 n-1 n j-1 h i i+1 i-1 Poissonova rovnice: 𝜙𝑖+1−2𝜙𝑖+𝜙𝑖−1h2=−𝑛𝑖−𝑛0∙exp𝑞𝜙𝑘𝐵𝑇𝑒𝜀0 Rovnice continuity: 𝑛𝑖, 𝑗+1−𝑛𝑖, 𝑗𝑓+𝑛𝑖,𝑗𝜈𝑖,𝑗−𝜈𝑖−1,𝑗h+𝜈𝑖,𝑗𝑛𝑖, 𝑗−𝑛𝑖−1, 𝑗h=0 Konverze momentu: 𝜈𝑖,𝑗+1−𝜈𝑖,𝑗−1𝑓+𝜈𝑖,𝑗𝜈𝑖,𝑗−𝜈𝑖−1,𝑗h=𝑞𝑚𝑖𝐸𝑖,𝑗

8. Schéma simulace

9. Částicová simulace Stav fyzikálního systému (plazmatu) je definován atributami konečného počtu částic (iontů a elektronů) v systému Vývoj systému je dán zákony interakce mezi částicemi V 1 m3 máme 1016 iontů = 80PB paměti

10. Částicové modely Particle – Particle (PP) model „Klasický“ přístup Particle – Mesh (PM) model Sílu považujeme za pole a to aproximujeme na mřížce Particle – Particle -- Particle – Mesh (PPPM / P3M) model Hybrid PP a PM modelů

11. PP model V čase t se počítá silová interakce pro každou částici Pro coulombickou sílu 𝐹𝑖𝑗=𝑞𝑖𝑞𝑗4𝜋𝜀0𝑥𝑖−𝑥𝑗𝑥𝑖−𝑥𝑗3 pro 60 částic je třeba 3540 operací / časový krok Pro 1 milion částic je třeba ~1024 operací 10 6

12. PM model Nastavení mřížky a umístění částic do buněk Přiřazení náboje (částic) mřížce Vyřešení Poissonovy rovnice 𝛻2𝜙=−𝑛𝑖−𝑛𝑒𝜀0 Výpočet silového působení mřížkového potenciálu a interpolace síly na pozici částice 10 částic, 5 buněk, 6 uzlů 6 částic, 3 buňky, 4 uzly

13. P3M model Trik spočívá v rozdělení mezičásticových sil na dvě části 𝐹=𝐹𝑠𝑟,𝑖𝑗+𝐹𝑚 𝐹𝑠𝑟,𝑖𝑗je nenulová pouze na krátkých vzdálenostech 𝐹𝑚 je pomalu se měnící síla na mřížce 10 částic, 5 buněk, 6 uzlů 6 částic, 3 buňky, 4 uzly

14. Particle – In – Cell vážení U PM modelu se přiřazuje náboj (částice) mřížce a pak se interpolují síly ze mřížky zpět na částici Particle – In – Cell (PIC) označuje jednu z metod vážení přiřazování a interpolování Vážení 0. řádu: Nearest – Grid – Point (NGP) Vážení 1. řádu: Particle – In – Cell (PIC) http://en.wikipedia.org/wiki/Particle-in-cell Vážení vyšších řádů: použití kvadratických a kubických splajnů dále vyhlazuje hrubost mřížky

15. Nearest – Grid – Point Částice hustoty 𝑛𝑖 ve vzdálenosti ±∆ 𝑥2 od uzlu bude přiřazena k uzlu Hustota uzlu mřížky =𝑛𝑖∆𝑥2 Metoda zatížená relativně velkým šumem ne ne ano ano ano ne ano ne ∆𝒙 ∆ 𝒙𝟐

16. Particle – In – Cell Částice hustoty 𝑛𝑖 ve vzdálenosti ±∆𝑥 od uzlu bude přiřazena k uzlu Poměr hustoty přísluší k uzlu Bilineární interpolace 𝑛𝑛𝑜𝑑𝑒=𝑛𝑖𝑑𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=𝑛𝑖𝑑∆𝑥2 Hustota uzlu mřížky =𝑛𝑛𝑜𝑑𝑒∆𝑥2 a c b d 𝟐∆𝒙

17. Stromové kódy Snaha o co nejmenší počet výpočtů při co nejmenší ztrátě přesnosti Máme-li velkou skupinu částic, která je velmi vzdálená od ostatních částic, pak silový příspěvek této skupiny můžeme aproximovat silovým příspěvkem jedné makročástice (hmotnost rovna součtu hmotností částic ve skupině, hmotný střed umístěný v hmotném středu skupiny částic)

18. Konstrukce 2D stromu http://www.slideshare.net/destabilizator/ Prostor je hierarchicky rozdělen na strom buněk Buňky obsahující jednu částici se nedělí – jsou to listy stromu, oblasti bez částic se ignorují Buňka = čtverec, jsou děleny ortogonálně před střed, každá může mít maximálně 4 dceřinné buňky (quad – tree) Struktura stromu se musí přepočítat při každé změně pozice částice 3D verze je oct – tree

19. Další metody Fast Multipole Method – obdoba stromového kódu, užívá se potenciál místo síly, pro potenciál se provede multipólový rozvoj dané buňky, který je mnohem přesnější než hmotný střed, svou podstatou se dá užít k řešení různých druhů problémů Stromový kód částice – síť,pro místa s velkou koncentrací hustoty se užívá stromového kódu, v ostatních místech prostoru se užije metoda PM, je rychlejší než obyčejný stromový kód ale má omezené prostorové rozlišení Self consistent field – algoritmus vyvinutý pro bezsrážkové hvězdné systémy, částice spolu neinteragují ale přímo, ale jsou ovlivněny kombinovaným gravitačním polem, jež samy vytváří – nezávisí tedy na souřadnici částic Paralelizace výpočtů – zejména využití paralelních stromových kódu např. PEPC, možnost simulovat až 108-109 částic při síle dlouhého dosahu

20. Zákony zachování Je důležité kontrolovat přesnost výpočtů – využití základních fyzikálních zákonů (ZZE, ZZH ve všech směrech) Pokud jsou tyto veličiny vypočteny na startu simulace a v jejím průběhu, dostáváme povědomí o přesnosti výpočtu Hybnost 𝑝𝑐=𝑖=1𝑁𝑝𝑖 je v PP metodách v principu vždy zachována Energie 𝐸𝑐=𝑖=1𝑁𝑚𝑖𝑣𝑖22+𝑖=1𝑁𝑗≠𝑖𝑁𝛾𝑚𝑖𝑚𝑗𝑟𝑖−𝑟𝑗 přináší větší problémy (kvadrát)

21. Chyby při výpočtu Diskretizační Aproximace funkce k výpočtu dalšího kroku Závisí na délce kroku, používáme metodu co nejvyššího řádu Zaokrouhlovací chyby Z důvodu přesnosti počítačů, omezený počet desetinných míst Čím více výpočtů v daném kroku provedeme, tím více zaokrouhlovacích chyb uděláme Stabilní / nestabilní metody

22. Srážky Částice blízko u sebe – komplexní interakce – z principu jednotlivých metod narůstají chyby velmi rychle Ignorace srážek – hvězdné systémy, jinde jsou důležité – plazma Centrální elastické a neelastické srážky – klasická mechanika Ostatní obtížněji popsatelné

23. Reference 1 Amara – N-body methods http://www.amara.com/papers/nbody.html Kurz univerzity v Berkeley http://www.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture26/lecture26.html N-body algorithms http://www.cs.hut.fi/~ctl/NBody.pdf Porovnání PP, PM a TC metod http://ta.twi.tudelft.nl/DV/Staff/Lemmens/MThesis.TTH/report.html

24. Reference 2 Animace / videa http://qso.lanl.gov/pictures/Pictures.html Hra :o) http://www.newgrounds.com/portal/view/357700