1. Dreptul de copyright:
Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt
site şi nu poate fi folosită în
scopuri comerciale fără specificarea sursei şi acordul autorului
Adrian Stan
Editura Rafet 2007

2. 1. Mulţimea numerelor reale
1.. Scrierea în baza zece:
abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + d
a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;
a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 =
= a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001
e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fracţii
ab abc
-Fracţii zecimale finite: a, b = ; a, bc = ;
10 100
-Fracţii zecimale periodice:-
ab − a abc − a
simple: a, (b) = ; a, (bc) = ;
9 99
abc − ab abcd − ab
mixte: a, b(c ) = ; a, b(cd ) = ;
90 990
3.. Rapoarte şi proporţii
a a a⋅n
se numeste raport ∀b ≠ 0; = = k, n ∈ Q* ,
b b b⋅ n
k se numeşte coeficient de proporţionalitate ;
Proprietatea fundamentală a proporţiilor:
a c
= ⇒a⋅ d = b⋅ c
b d
4. Proporţii derivate:
⎧ b d d c a b
⎪ = sau = sau =
a c b a c d
⎪
a c ⎪ a c a ± b c ± d
= ⇒ ⎨ = sau =
b d ⎪ a ± b c ± d b d
⎪ a a + c a a − c a2 c2
⎪ = sau = sau = .
⎩ b b + d b b − d b 2
d 2
2

3. 5. Sir de rapoarte egale:
a1 a a a + a 2 + a 3 + .... + a n ;
= 2 = ......... = n = 1
b1 b2 bn b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct
a1 a 2 a
proporţionale ⇔ = = .. = n = k .
b1 b2 bn
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers
proporţionale ⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn
6. Modulul numerelor reale Proprietăţi:
⎧
⎪ a, a〉0
⎪
a def ⎨ 0, a = 0
⎪
⎪− a, a 〈0
⎩
1. a ≥ 0, ∀a ∈ R ; 2. a = 0, ⇔ a = 0;
3. a = −a, ∀a ∈ R ; 4. a = b, ⇔ a = ±b ;
a a
5. a ⋅b = a ⋅ b ; 6. = ;
b b
7. a − b ≤ a±b ≤ a + b ;
8. x = a, ⇒ x = ± a, a〉 0 ;
9. x ≤ a, ⇔ x ∈ [− a, a], a〉 0 ;
10. x ≥ a, ⇔ x ∈ [−∞,− a] ∪ [a,+∞], a〉 0 .
7. Reguli de calcul în R
1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ;
2
2. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ;
2
3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
3

4. 4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
2
5. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;
3
6. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ;
3
7. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ;
8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) .
8. Puteri cu exponent întreg
a n def a ⋅ a ⋅ a ⋅ ......⋅ a
n factori
1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0; 5. ( a m ) n = a m ⋅ n
1
2. a m + n = a m ⋅ a n 6. a − n = ,a ≠ 0
an
n
⎛a⎞ an
3. ( a ⋅ b ) = a ⋅ b
n n n
7. ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0
⎝b⎠ b
am
4. n
= am−n ; a ≠ 0 8. a m = a n ⇔ m = n.
a
9. Proprietăţile radicalilor de ordinul doi
1. a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R
2. a ⋅b = a ⋅ b
a a
3. = ,b ≠ 0
b b
n
4. an = ( a )n = a 2 ,
a + a2 − b a − a2 − b
5. a± b = ±
2 2
unde a²-b=k² .
4

5. 10. Medii
x+ y
Media aritmetică m a =
2
Media geometrică m g = x ⋅ y
p⋅x+q⋅ y
Media ponderată m p = ; p, q − ponderile
p+q
2 2 xy
Media armonică m h = = .
1 1 x+ y
+
x y
Inegalitatea mediilor
2 xy x+ y
≤ xy ≤
x+ y 2
11. Ecuaţii
b
a ⋅ x + b = 0 ⇒ x = − ,a ≠ 0
a
x2 = a ⇒ x = ± a , a ≥ 0 ;
− b ± b 2 − 4ac
a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 = .
2a
a ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = ± a.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = a 2
[x] = a ⇒ a ≤ x〈 a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1) .
12. Procente
p
p % din N = ⋅N
100
5

6. S ⋅ p⋅n
D= …. Dobânda obţinută prin depunerea la bancă a unei
100 ⋅ 12
sume S de bani pe o perioadă de n luni cu procentul p al dobândei
anuale acordate de bancă .
Cât la sută reprezintă numărul a din N.
a ⋅ 100
x % din N =a ⇒ x = .
N
13. Partea întreagă
1. x = [x ] + {x} , ∀x ∈ R , [x ] ∈ Z şi {x} ∈ [0,1)
2. [x ] ≤ x < [x ] + 1 [x] = a ⇒ a ≤ x < a + 1
3. [x ] = [ y ] ⇔ ∃K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 1
4. [x + k ] = k + [x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R
5. {x + k } = {x}, ∀x ∈ R , ∀k ∈ Z
6. Dacă {x} = {y} ⇒ x − y ∈ Z
7. Dacă x ∈ R ⇒ [[x]] = [x] ∈ Z
[{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}
8. Identitatea lui Hermite [x] + ⎡ x + 1 ⎤ = [2 x] ,
⎢ ⎥ ∀x ∈ R
⎣ 2⎦
9. [x + y ] ≥ [x ] + [ y ] , ∀x, y ∈ R
10. Prima zecimală, după virgulă, a unui număr N este dată
de [10 ⋅ {N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10]
6

7. 2. Inegalităţi
1. a > 1 a k −1 < a k ∀ k ≥ 1
a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 1
2. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ 0 ∀ m, n ∈ N
1 1
3. a + ≥ 2 (∀) a > 0 a + ≤ −2 ∀ a < 0.
a a
1 1
4. < = k - k −1
2 k k + k −1
1 1
> = k +1- k .
2 k k + k +1
2
a2 + b2 ⎛a+b⎞
5. ≥ ⎜ ⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R
2 ⎝ 2 ⎠
a2 + b2 a+b 2
6. ≥ ≥ ab ≥ , ∀ a, b > 0
a+b 2 1 1
+
a b
7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R
( )
8. 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R
2
a 2 + b2 + c2 1
9. ≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R
a+b+c 3
10. a + b + c ≥
3
3
(
a + b + c ∀a, b, c ≥ 0 )
( )
11. (n − 1) a12 + ... + an ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an )
2
(
12. n a + ... + a
2
1
2
n ) ≥ (a 1 + ... + a n ) , ∀ n ∈ N
2
2
a n + bn ⎛ a + b ⎞
13. ≥⎜ ⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0.
2 ⎝ 2 ⎠
a a a+r
14. 0 < < 2 ⇒ < , ∀r > 0.
b b b+r
a a a+r
1< ⇒ > , ∀r > 0
b b b+r
7

8. 15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a.
16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC .
17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C .
18. a − b ≤ a − b in R sau C .
1 1 1 1 1
19. = ≤ = −
n 2
n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n
1 1 1 1
< = −
n! (n − 1)n n − 1 n
m
20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z , ∉ Q ⇒ ma 2 − nb 2 ≥ 1.
n
21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi
dacă şi numai dacă ∃ x, y, z ∈ R+ a.i
*
a = y + z , b = x + z, c = x + y.
a −b
⎛a⎞
22. ⎜ ⎟ ≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 ,
⎝b⎠
a+b b+c c+a
23. a, b, c ∈ R+ ⇒
*
+ + ≥ 6.
c a b
24. Dacă x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul
k
x 2 ⋅ x 2 ...x n e maxim când x1 = ... = x n = .
n
n
25. Dacă. x1 ,..., xn < 0 si ∏
i =1
xi = k constant ⇒ x1 + ... + x n e
minimă atunci când x1 = ... = xn = n
k.
26. Dacă x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atunci
x 2p1 ⋅ x 2p1 ...x npn este maxim când
x1 x x k
= 2 = ... n = , pi ∈ N * , i = 1, n
p1 p2 pn p1 + ... + pn
8

9. 27. Teorema lui Jensen:
⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 )
Dacă f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜ ⎟ ≤ (≥ )
⎝ 2 ⎠ 2
⎛ x + ... + xn ⎞ f ( x1 ) + ... + f ( xn )
∀x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ 2 ⎟ ≤ (≥ )
⎝ n ⎠ n
∀xi ∈ Ι , i = 1, n.
n a1 + ... + a n
28. Inegalitatea mediilor ≤ n a1 ...a n ≤ .
1 1 n
+ ... +
a1 an
⎛1 1 ⎞
29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜
⎜ + ... + ⎟ ≥ n 2 . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n.
⎟
⎝ a1 an ⎠
egalitate când ai = aj , ∀i, j = 1, n.
30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
(a + ... + an )(b12 + ... + bn ) ≥ (a1b1 + ... + anbn ) ∀ai , bi ∈ R.
2
1
2 2 2
ai aj
31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" ⇔ = .
bi bj
1 1
α α
⎛ a1 + ... + an ⎞ α ⎛ a1β + ... + an
β
⎞β
⎜
⎜ ⎟ ≥⎜
⎟ ⎜ ⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β ,
⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
α , β ∈ R.
⇓
1
⎛ a + ... + a
2 2
⎞2 a + ... + a n
32. ⎜
⎜
1 n
⎟ ≥ 1
⎟
⎝ n ⎠ n
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
(1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N .
9

10. 3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi.
1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei:
A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C
2. Comutativitatea reuniunii si a intersecţiei:
A B=B A A B=B A
3. Idempotenţa reuniunii si intersecţiei:
A A=A A A=A
4. A Ø=A A Ø=Ø
5. Distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie:
A (B C)=(A B) (A C)
6. Distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune:
A (B C)=(A B) (A C)
7. A,B E, (A B)= A B
(A B)= A B
8. A E, ( A)=A
9. AB= (A B)
10. A(B C)=(AB)C
A(B C)=(AB) (AC)
(A B)C=(AC) (BC)
(A B)C=A (BC)=(AC) B
11. A×(B C)=(A×B) (A×C)
A×(B C)=(A×B) (A×C)
A×(BC)=(A×B) (A×C)
A×B≠B×A
A B ⇔ ( x) (x ∈ A=>x ∈ B)
A B ⇔ ( x)((x ∈ A) (x B))
x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B)
x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B)
x ∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A)
x ∈ AB ⇔ (x ∈ A) (x B)
10

11. 12. Relaţiile lui de Morgan
1. ‫( ך‬p q)=‫ך‬p ‫ך‬q, ‫(ך‬p q)= ‫ך‬p ‫ך‬q .
2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).
3. ‫ך‬p p=A, ‫ך‬p p = F.
4. p ⇒ q ‫ך‬p q.
5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) (‫ך‬p q) (‫ ך‬q p).
6. p A = p , p A=A
7. p q = q p , p q = q p
8. ‫ך(ך‬p)=p
9. p ‫ך‬p =F , p ‫ך‬p =A
10. (p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)
11. p F = p p F = F
11

12. 4. Progresii
1. Şiruri
Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirul
numerelor pare 2,4,6,…… Din observaţiile directe asupra acestor şiruri,
un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... unde
a1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezintă poziţia pe
care îi ocupă termenii în şir.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N*→R ,
definită prin f(n)=a n
Notăm (a n )n∈N * şirul de termen general , a n
Observaţie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începând
cu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....
ai , i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i.
Un şir poate fi definit prin :
a) descrierea elementelor mulţimii de termeni. 2,4,6,8,……..
b) cu ajutorul unei formule a n =2n
c) printr-o relaţie de recurenţă. a n +1 = a n + 2
Un şir constant este un şir în care toţi termenii şirului sunt constanţi :
5,5,5,5,…..
Două şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dacă a n = bn , ∀n ∈ N
Orice şir are o infinitate de termeni.
12

13. 2. Progresii aritmetice
Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferenţa
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia
progresiei aritmetice.
1. Relaţia de recurenţă între doi termeni consecutivi:
an+1 = an + r, ∀n ≥1
2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔
a n −1 + a n +1
an =
2
3. Termenul general este dat de :
an = a1 + (n −1)r
4. Suma oricăror doi termeni egal departaţi de extremi este egal cu
suma termenilor extremi :
ak + an−k+1 = a1 + an
5. Suma primilor n termeni :
(a1 + a n ) ⋅ n
Sn =
2
6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice:
a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,…….
a m − a n = (m − n )r
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetică de forma :
x1 = u – v x2 = u x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ .
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmetică
astfel:
x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ .
ak ak +1
9. Dacă ÷ ai ⇒ 〈
ak +1 ak + 2
13

14. 4. Progresii geometrice
Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportul
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit
raţia progresiei geometrice.
1. Relaţia de recurenţă : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 1
2. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu
termeni pozitivi ⇔ bn = b n −1 ⋅ b n + 1
n −1
3. Termenul general este dat de : b n = b1 ⋅ q
4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal
cu produsul extremilor
bk ⋅ bn − k +1 = b1 ⋅ bn
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
1− qn
Sn = b1 ⋅
1− q
6. Şirul termenilor unei progresii geometrice :
b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,....
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometrică de forma :
u
x1 = x2 = u x3 = u ⋅ v , ∀u , v ∈ R*+
v
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometrică astfel :
u
x1 =
v3
u
x2 =
v
x3 = u ⋅ v
x4 = u ⋅ v 3 ∀u , v ∈ R*+
14

15. 5. Funcţii
I. Fie ƒ: A→B.
1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă
∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y).
2) Funcţia ƒ este injectivă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y.
3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x
intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct.
II.
1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin un
punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y.
2) Funcţia ƒ este surjectivă, daca ƒ(A) =B.
3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă
printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel
puţin un punct.
III.
1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.
2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există un
singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură
soluţie,pentru orice y din B)
3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă
printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un
punct şi numai unul.
IV.
1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A.
1) Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie
g:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, funcţia g este
inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ-1.
2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y)
3) ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.
15

16. V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii.
1) Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă.
2) Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectivă.
3) Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectivă.
4) Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este
(strict) crescatoare.
5) Dacă ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este
(strict) descrescatoare.
6) Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci
g o ƒ este descrescatoare.
7) Dacă ƒ este periodică, atunci g o ƒ este periodică.
8) Dacă ƒ este pară, atunci g o ƒ este pară.
9) Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impară,
10) Dacă ƒ este impară si g pară, atunci g o ƒ este pară.
VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, două funcţii.
Dacă g o ƒ este injectivă, atunci ƒ este injectivă.
Dacă g o ƒ este surjectivă, atunci g este surjectivă.
Dacă g o ƒ este bijectivă, atunci ƒ este injectivă si g
surjectivă.
Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ,
atunci ƒ = g.
VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mulţimi oarecare.
Funcţia ƒ este bijectivă, dacă şi numai dacă oricare ar fi
funcţiile
u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v.
Funcţia ƒ este surjectivă, daca şi numai dacă oricare ar fi
funcţiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v
16

17. VIII.
1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă.
2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monotonă, atunci ƒ este
constantă.
3) Daca ƒ : R→R este bijectivă şi impară,atunci ƒ-1 este
impară.
4) Fie A finită şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectivă <=> este
surjectivă.
IX. Fie ƒ: E → F, atunci
1)ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectivă) a.i. g o ƒ=1E.
2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectivă) a.i. ƒ o g =1F
3) ƒ bijectivă <=> inversabilă.
X. Fie ƒ : E → F.
1)Funcţia ƒ este injectivă dacă şi numai dacă (∀) A,B ⊂ E
ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B).
2) Funcţia ƒ este surjectivă dacă şi numai dacă (∀) B ⊂ F
există A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B.
3) Funcţia ƒ este injectivă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B),
∀ A, B ⊂ E.
XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci
ƒ(A) ={y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y}
ƒ-1 (B) = {x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}.
1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci
a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B),
b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B),
c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B),
d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B).
17

18. 2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci
a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B),
b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B),
c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B),
d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B),
e) ƒ-1 (F) = E.
Funcţia de gradul al doilea
Forma canonică a funcţiei f:R→R,
f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este
2
⎛ b ⎞ Δ
f ( x ) = a⎜ x + ⎟ − , ∀x ∈ R ;
⎝ 2a ⎠ 4a
⎛ b Δ⎞
Graficul funcţiei este o parabolă de vârf V ⎜ − ,− ⎟ , unde
⎝ 2a 4a ⎠
Δ = b2 − 4ac
a〉 0 f este convexă;
Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C
f(x) >0, ∀x ∈ R ;
⎛ b Δ⎞
V⎜− ,− ⎟ - punct
⎝ 2a 4a ⎠
de minim;
18

19. Δ = 0 , x1=x2 ∈ R
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ;
b
f(x)=0 ⇔ x = −
2a
Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0,
∀x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ;
f(x)<0, ∀x ∈ ( x1 , x 2 )
⎛ b ⎞
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict descrescătoare;
⎝ 2a ⎠
b
Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict crescătoare
2a
19

20. a<0 funcţia este concavă
Δ 〈0 ; x1,x2 ∈ C
f(x) <0, ∀x ∈ R ;
⎛ b Δ⎞
V⎜− ,− ⎟ - punct de
⎝ 2a 4a ⎠
maxim
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ;
b
f(x)=0 ⇔ x = −
2a
Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ x1 , x 2 ] ;
f(x)<0,
∀x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞)
20

21. ⎛ b ⎞
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict crescătoare;
⎝ 2a ⎠
b
Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict descrescătoare.
2a
6. NUMERE COMPLEXE
1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ
⎧ ⎫
C = ⎨z z = a + ib, a, b ∈R, i2 = −1⎬
⎩ ⎭
- mulţimea numerelor complexe.
z=a+ib=Re z+Im z
OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE
Fie z1 = a + ib, z 2 = c + id . Atunci:
1. z1 = z 2 ⇔ a = c si b=d.
2. z1 + z 2 = ( a + c ) + i (b + d ).
3. z1 ⋅ z 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + i ( a ⋅ d + b ⋅ c).
4. z1 = a − ib, conjugatul lui z1
z1 a ⋅ c + b ⋅ d b⋅c − a⋅d
5. = 2 +i 2
z2 c +d 2
c +d2
1 a b
6. = 2 −i 2 .
z1 a + b 2
a + b2
21

22. PUTERILE LUI i
1. i
4k
= 1;
4 k +1
2. i = i;
4k +2
3. i = −1 ;
4 k +3
4. i = −i ;
−n 1 −1 1
5. i = n , i = = −i ;
i i
⎧i n , n par
−n ⎪
6. i = (−i ) = (−1) ⋅ i = ⎨
n n n
⎪− i n , n impar
⎩
PROPRIETĂŢILE MODULULUI
z = a 2 + b 2 - modulul nr. complexe
2
1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0 2. z ⋅ z = z 3. z = z
4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
z1 z1
5. = , z2 ≠ 0
z2 z2
n
6. z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2 7. z
n
= z
8. z ∈ C ; z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z
ECUAŢII:
z2 = a + ib ⇒ z1,2 = ± a + ib ⇒
⎡ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎤
z1,2 = ±⎢ ±i ⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ ⎦
‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ
22

23. − b ± b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
2a
daca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau
−b±i −Δ
x1, 2 = daca Δ〈0
2a
NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ
Forma trigonometrică a numerelor complexe:
z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
⎧0, (a, b) ∈ I
⎪
b ⎪
ϕ = arctg + kπ , k = ⎨1, ( a , b ) ∈ II , III
a ⎪
⎪ 2, ( a , b ) ∈ IV
⎩
ρ = z = a + b se numeşte raza polară a lui z
2 2
Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ;
z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + kπ
z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 )
23

24. 1 1
= [cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )]
z1 ρ 1
z2 ρ2
= [cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )]
z1 ρ 1
z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R
n n
ϕ + 2kπ
n z = n ρ (cos 1
ϕ + 2kπ
1 1 + i sin 1 ), k ∈ 0, n − 1
n n
7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ
Def. f: R→ (0,∞), f(x)= a x , a〉 0, a ≠ 1
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〈 a x2
Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〉 a x2
Proprietăţi:
Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒
24

25. x+ y
a x
⋅a y
= a
(a ⋅b )x = a x
⋅a y
(a ) x y
= a x⋅y
x
a x− y
y
= a ,a ≠ 0
a
x x
⎛ a ⎞ a
⎜ ⎟ = x
,b ≠ 0
⎝ b ⎠ b
a = 1
0
− x 1
a = ,a ≠ 0
a x
pentru a 〈 0 , nu se defineste a x
Tipuri de ecuaţii:
1. a f ( x ) = b, a〉 0, a ≠ 1, b〉 0 ⇒ f ( x) = log a b
2. a f ( x ) = a g ( x ) , a〉 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x)
3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b〉 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b
4. ecuaţii exponenţiale reductibile la ecuaţii algebrice printr-o
substituţie.
5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei
exponenţiale.
Inecuaţii
a>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)
a ∈ (0,1) a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
25

26. FUNCTIA LOGARITMICĂ
Def: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〈 log a x 2
Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〉 log a x 2
Proprietăţi:
Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒
a y
= x 〉 0 ⇒ y = log a x
log a x ⋅ y = log a x + log a y
x
log a = log a x − log a y
y
26

27. log a a m
= m, log a b m
= m log a b
log b 1
log a b = c
, = log b a
log c a log a b
a log b c
= c log b a
, x = a log a x
log a 1 = 0, log a a = 1.
Tipuri de ecuaţii:
1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g 〉 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x) b
2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x)
3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a b
log g ( x )
4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecuaţii algebrice printr-o
substituţie.
5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei logaritmice.
Inecuaţii
a>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)
a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
27

28. 8. BINOMUL LUI NEWTON
În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulă
pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscută încă din
antichitate de către matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),
Newton a extins-o şi pentru coeficienţi raţionali.
TEOREMĂ: Pentru orice număr natural n şi a şi b numere reale
există relaţia:
(a+b)n =Cn0an +Cn1an−1⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 +..........nkan−k ⋅bk +.....Cnnbn
+C +
(1)
0 1 n
Numerele C n , C n ,...., C n se numesc coeficienţii binomiali ai
dezvoltării;
Este necesar să se facă distincţie între coeficientul unui termen
al dezvoltării şi coeficientul binomial al acelui termen.
Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+…..
Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar
coeficientul binomial este C41 =4;
Pentru (a-b)n avem următoarea formă a binomului lui Newton:
(a−b)n =Cn0an −Cn1an−1 ⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 −..........(−1)kCnkan−k ⋅bk +..... (−1)nCnnbn
.+ +
(1’)
Proprietăţi:
1. Numărul termenilor dezvoltării binomului (a+b)n este n+1;
Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltării
este Cnk şi este cel mai mare.
Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari;
Cno<Cn1<……<Cnk >Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k
28

29. Cno<Cn1<……<Cnk =Cnk+1>…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.
2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termenii
extremi ai dezvoltării sunt egali între ei.
k n−k
Cn = Cn
(2)
3. Termenul de rang k+1 al dezvoltării (sau termenul general al
dezvoltării) este
k
Tk+1 =Cn an−k ⋅bk , k =0,12,....,
, n
(3)
⇒ Formula binomului lui Newton scrisă restrâns are forma:
n
(a + b )n = ∑ C n k a n − k b k .
k =0
(4)
4. Relaţia de recurenţă între termenii succesivi ai dezvoltării este
următoarea:
Tk + 2 n − k b
= ⋅
Tk +1 k + 1 a
(5)
5. Pentru a=b=1 se obţine
0 1 2 n
C +C +C +.......... C =(1+1
n n n ...+ ) n
n
(6)
ceea ce înseamnă că numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n
elemente este 2n .
29

30. 9. Vectori şi operaţii cu vectori
Definiţie:
Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată de
puncte din plan;
Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelor
orientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşi
sens cu ale unui segment orientat.
Observaţii:
Orice vector AB se caracterizează prin:
- modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului
AB;
- direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă
cu aceasta;
- sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la
extremitatea B.
Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B;
AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde
A(x0,y0), B(x.y).
Definiţie:
Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,
acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă
au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare:
- AB = BA .
Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului sau
după regula paralelogramului:
30

31. λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ R
Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensul
vectorului v dacă λ 〉 0 şi sens opus lui v dacă λ 〈0 .
Definiţie:
Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau
dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar
se numesc necoliniari.
vectori coliniari vectori necoliniari
Teoremă:
Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare.
Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u .
31

32. Punctele A, B, C sunt coliniare
⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .
AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari;
Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci
∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 .
Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi
vectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b .
Vectorii a şi b formează o bază.
( )
α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b .
Definiţie:
Fie XOY un reper cartezian. Considerăm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor
de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şi
sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY.
( )
Baza i, j se numeşte bază ortonormată.
32

33. v = A' B ' + A' ' B ' ' = x ⋅ i + y ⋅ j x=xB- xA, y=yB- yA
v = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Teoremă:
Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’);
2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’);
3) u ( x, y ), v( x' , y ' ) sunt coliniari
x y
⇔ = = k , x' , y ' ≠ 0. ⇔ xy '− x' y = 0.
x' y '
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ].
x ⋅ x'+ y ⋅ y '
cos α =
x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2
π π
α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0
2 2
Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci:
u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y ' = 0.
2
u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u.
u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0.
i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0.
Vectori de poziţie. Dacă rA , rB
sunt vectori de poziţie, atunci: AB = rB − rA
33

34. 10. Funcţii trigonometrice
Semnul funcţiilor trigonometrice:
⎡ π π⎤
Sin: ⎢ −
, → [− 1,1]
⎣ 2 2⎥
⎦
⎡ π π⎤
arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦
[ ] [
Cos: 0, π → − 1,1 ]
arccos:[-1,1] → [0, π ]
34

35. ⎛ π π⎞
Tg: ⎜ − , ⎟→R
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
arctg:R→ ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
Reducerea la un unghi ascuţit
π
Fie u ∈ (0, ) Notăm sgn f= semnul funcţiei f; cof = cofuncţia lui f
2
⎧ π
⎛ π ⎞ ⎪ ⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ sin u, k = par
sin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨ Analog pentru
⎝ 2 ⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar
⎪
⎩ 2
celelalte;
⎧ π
π ⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ f (u ), k = par
⎪
În general, f ( k ± u ) = ⎨
2 ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar
⎪
⎩ 2
35

36. Ecuaţii trigonometrice
Fie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .
sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,1]
= ( − 1)
k +1
arcsin a + kπ , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2kπ , dacă a ∈ [0,1]
= ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + kπ
arcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + kπ
arccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2kπ
arctg (tgx) = a ⇒ x = a + kπ
sin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + kπ
cos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2kπ
tgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z
Ecuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii care conţin aceeaşi
funcţie a aceluiaşi unghi;
Ecuaţii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2
x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0
Ecuaţii trigonometrice care se rezolvă prin descompuneri în factori;
Ecuaţii simetrice în sin x şi cos x;
Ecuaţii de forma:
c
a sin x + b cos x + c = 0 : a ⇒ sin x + tgϕ cos x = − ⇒
a
c
x + ϕ = (−1) k arcsin(− cos ϕ ) + kπ
a
a sin x + b cos x ≤ a2 + b2
Observaţie importantă: Prin ridicarea la putere a unei ecuaţii
trigonometrice pot apărea soluţii străine iar prin împărţirea unei ecuaţii
trigonometrice se pot pierde soluţii;
36

37. FORMULE TRIGONOMETRICE
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ;
1. α ∈ R
sin α = ± 1 − cos α 2
2.
sin α 1 − cos 2 α 1
tgα = ± =± ⇒ tg 2α + 1 = ;
1 − sin α 2 cos α cos 2 α
1 tgα
3. cos α = ± ; sin α = ± ;
1 + tg 2α 1 + tg 2α
4. cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ;
5. cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ;
6. sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ;
7. sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ;
tgα + tgβ tgα − tgβ
8. tg (α + β ) = ; tg (α − β ) = ;
1 − tgα ⋅ tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ
9.
ctgα ⋅ ctgβ − 1 ctgα ⋅ ctgβ + 1
ctg (α + β ) = ; ctg (α − β ) = ;
ctgα + ctgβ ctgα − ctgβ
10. sin 2α = 2 sin α cos α ;
11. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
1 + cos 2α 1 − cos 2α
12. cos 2 α = ; sin 2 α = ;
2 2
α 1 + cos α α 1 − cos α
13. cos = ± ; sin = ± ;
2 2 2 2
α 1 − cos α α 1 + cos α
14. tg = ± ; ctg = ±
2 1 + cos α 2 1 − cos α
2tgα ctg α − 1
2
15. tg 2α = ; ctg 2α = ;
1 − tg α
2
2ctgα
37

38. α α
2tg 1 − tg 2
16. tgα = 2 ; ctgα = 2;
α α
1 − tg 2
2tg
2 2
17.
3tgα − tg 3α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin α ; 3
tg 3α =
1 − 3tg 2α
ctg 3α − 3ctgα
cos 3α = 4 cos α − 3 cos α ;
3
ctg 3α = ;
3ctg 2α − 1
α sin α 1 − cos α 1
18. tg = = = ;
2 1 + cos α sin α α
ctg
2
α α
2tg 1 − tg 2
19. sin α = 2 ; cos α = 2;
2 α 2 α
1 + tg 1 + tg
2 2
a+b a−b
sin a + sin b = 2 sin ⋅ cos
2 2
a−b a+b
sin a − sin b = 2 sin ⋅ cos
2 2
a+b a−b
cos a − cos b = −2 sin ⋅ sin
2 2
a−b a+b
cos a + cos b = 2 sin ⋅ cos
2 2
sin( a + b)
tga + tgb =
cos a ⋅ cos b
sin( a − b) sin(a + b)
tga − tgb = ctga + ctgb =
cos a ⋅ cos b sin a ⋅ sin b
sin(b − a )
ctga − ctgb =
sin a ⋅ sin b
38

39. sin( a + b) + sin( a − b)
sin a ⋅ cos b =
2
cos(a + b) + cos(a − b)
cos a ⋅ cos b =
2
cos( a − b) − cos( a + b)
sin a ⋅ sin b =
2
arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 )
π π
arcsin x+arccos x= arctg x +arcctg x=
2 2
1 π
arctg x+arctg = arccos(-x)= π -arccos x
x 2
39

40. 11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN
1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei:
ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 0
2. Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
y − y1 x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1
3. Ecuaţia dreptei determinată de un punct M(x0,y0) şi o
direcţie dată( are panta m)
y-y0=m(x-x0)
4. Ecuaţia explicită a dreptei (ecuaţia normală):
y − y1
y=mx+n, unde m = tgϕ = 2 este panta
x 2 − x1
dreptei şi n este ordonata la origine.
x y
5. Ecuaţia dreptei prin tăieturi: + = 1, a, b ≠ 0.
a b
6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’
Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ m=m’şi n ≠ n’.
Dreptele d şi d’ coincid ⇔ m=m’şi n=n’.
Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1.
Tangenta unghiului ϕ a celor două drepte este
m − m'
tgϕ =
1 + m ⋅ m'
7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şi
θ = m(〈 d , d ' )
a b c
Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ = ≠
a ' b' c '
40

41. a b c
Dreptele d şi d’ coincid ⇔ = =
a ' b' c '
a b
Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔
a ' b'
ab’-ba’ ≠ 0.
v ⋅ v' a ⋅ a ' +b ⋅ b '
cos θ = = unde
2 2 2 2
v ⋅ v' a +b ⋅ a ' +b'
v (−b , a ), v' (−b' , a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor
d şi d’.
Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare,
d ⊥ d ' ⇔ a ⋅ a ' +b ⋅ b ' = 0
8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan.
Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD
⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD.
Dreptele AB şi CD sunt perpendiculare,
AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0
Condiţia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) să fie
coliniare este:
y 3 − y1 x − x1
= 3
y 2 − y1 x 2 − x1
9. Distanţa dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2) este
AB= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2 2
Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie
(h): ax+by+c=0 este dată de:
ax0 + by 0 + c
d ( M 0 , h) = .
a2 + b2
41

42. 12. CONICE
1.CERCUL
Definiţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de un
punct fix, numit centru se numeşte cerc.
C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r }
1. Ecuaţia generală a cercului
A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0
2. Ecuaţia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r”
(x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r²
3. Ecuaţia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)
(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0
4. Ecuaţia tangentei după o direcţie
O(0,0) : y = mx ± r 1 + m²
O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m²
5. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)
(x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r²
6. Ecuatia normala a cercului
42

43. x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu
O(-m; -n) şi r² = m² + n² - p
7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0,y0)
x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0
8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaţie
y = mx + n este
| ma − b + n | | ax 0 + by 0 + c |
d(0,d) = sau ( d = )
m² + 1 a ² + b²
9. Ecuaţiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)
I. Se scrie ecuaţia 4 şi se pune condiţia ca M să aparţină cercului de
ecuaţie 4.
II. y - y0 = m(x - x0)
x² + y² = r² , Δ =0
2. ELIPSA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma
distanţelor la două puncte fixe, constantă, se numeşte elipsă.
F,F’- focare, FF’ distanţa focală
E= {M ( x, y ) MF + MF ' = 2a}
MF,MF’- raze focale
1. Ecuaţia elipsei
43

44. x² y ²
+ =1 , b² = a² - c²
a ² b²
2. Ecuaţia tangentei la elipsă
y = mx ± a ² m² + b²
3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) la elipsă
x ⋅ x0 y ⋅ y0 b² x0
+ =1 , m=− ⋅
a² b² a² y0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la
elipsă
VAR I Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M să aparţină
elipsei de ecuaţie 2 de unde rezultă m
VAR II Se rezolvă sistemul y – y0 = m(x-x0)
x² y ² ,
+ = 1 cu conditia Δ = 0
a ² b²
3. HIPERBOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan a căror
diferenţă la două puncte fixe este constantă, se numeşte
hiperbolă
44

45. H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a }
b
y=± x --ecuaţia asimptotelor
a
1. Ecuaţia hiperbolei
x² y ²
− = 1 , b² = c² - a² ;
a ² b²
Daca a = b => hiperbola echilaterală
2.Ecuaţia tangentei la hiperbolă
y = mx ± a ² m² − b ²
3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)
x ⋅ x0 y ⋅ y 0 b² x0
− =1 , m= ⋅
a² b² a² y0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)
VAR I. Se scrie ecuaţia 2 si se pune condiţia ca M să aparţină
hiperbolei de ecuaţie 2, de unde rezultă m.
VAR II. Se rezolva sistemul
y - y0 = m(x - x0)
x² y ²
− =1 , cu Δ = 0
a ² b²
4. PARABOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct
fix, (numit focar) şi o dreaptă fixă (numită directoare), se numeşte
parabolă.
45

46. P: = { M(x, y) | MF = MN }
p
(d): x = − ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
2
duce tangente la o parabolă).
1. Ecuaţia parabolei
y² = 2px
2. Ecuaţia tangentei la parabolă
P
y = mx +
2m
3. Ecuaţia tangentei în M (x0, y0)
y·y0 = p(x + x0)
4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)
VAR I. Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M ∈ (ecuatia 2) =>
m
VAR II. Se rezolvă sistemul
y - y0 = m(x - x0)
y² = 2px cu Δ = 0
46

47. 13. ALGEBRA LINIARĂ
1. MATRICE.
⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞
Adunarea matricelor ⎜c d ⎟+⎜z t ⎟ = ⎜c + z d +t ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ x y⎞ ⎛a⋅ x a ⋅ y⎞
a ⋅⎜
⎜ ⎟=⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅t ⎠
Înmulţirea matricelor
⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b⋅t ⎞
⎜ c d ⎟⋅⎜ z t ⎟ = ⎜c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅t ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T
⎛a b ⎞ ⎛a c ⎞
⎜ c d ⎟ = ⎜b d ⎟
Transpusa unei matrice ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. DETERMINANŢI.
a b
= a⋅ d −b⋅ c;
c d
a b c
d e f = a⋅e⋅i + d ⋅ h⋅c + g ⋅b⋅ f − c⋅e⋅ g − f ⋅ h⋅ a −i ⋅b⋅ d
g h i
Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul
matricei transpuse;
2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice
sunt nule, atunci determinantul matricei este nul;
3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între
ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul
determinantului matricei iniţiale.
4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci
determinantul său este nul;
47

48. 5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei
matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al
cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul
matricei iniţiale.
6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice
sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul;
7. Dacă la o matrice pătratică A de ordin n presupunem că
' ''
elementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aij
atunci det A = det A’ +det A’’;
8. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o
combinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atunci
determinantul matricei este nul.
9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm
elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element
se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu
determinantul matricei iniţiale;
10. Determinantul Vandermonde:
1 1 1
a b c = (b − a )(c − a )(c − b) ;
a2 b2 c2
11. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupra
diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,
atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ;
a 0 0
b c 0 = a⋅c⋅ f
d e f
12. Factor comun
a⋅x a⋅ y a⋅z x y z
b⋅ m b⋅ n b ⋅ p = a ⋅b ⋅ m n p
u v r u v r
48

49. 3. Rangul unei matrice
Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) .
Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,
determinantul format cu elementele matricei A situate la
intersecţia celor r linii şi r coloane.
Definiţie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Numărul natural r este
rangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A,
nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r+1 (dacă există)
sunt nuli.
Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de
ordin r al lui A iar toţi minorii de ordin r+1 sunt zero.
Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minor
de ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s) al lui AB se poate scrie ca o
combinaţie liniară de minorii de ordinul k al lui A (sau B).
Teorema: Rangul produsului a două matrice este mai mic sau
egal cu rangul fiecărei matrice.
Definiţie: ∈ M n (C ) . A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0.( A este
nesingulară).
Teorema: Inversa unei matrice dacă există este unică.
Observaţii: 1) det (A·B) =det A· det B.
1
2) A−1 = ⋅ A*
det A
τ
( A→A → A* = ((−1)i+ j dij)i, j → A−1 )
3) A-1 ∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 .
Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordează cu o
linie (respectiv cu o coloană). Dacă noul determinant este nul
rezultă că ultima linie(respectiv coloană )este combinaţie
liniară de celelalte linii (respectiv coloane).
49

50. Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele
(respectiv linii) este o combinaţie liniară de celelalte
coloane(respectiv linii).
Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numărul
maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre
coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele
să nu fie combinaţie liniară a celorlalte.
4. Sisteme de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute
este:
⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1
⎪
(1 ⎨............................................. sau
⎪a x + a x + .......... + a x = b
⎩ m1 1 m2 2 mn n m
n
∑ j =1
a ij x j = bi
Unde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficienţilor
necunoscutelor.
⎛ a11 ... a1n b1 ⎞
⎜ ⎟
Matricea A = ⎜ ... ⎟ se numeşte matricea extinsă
⎜a ⎟
⎝ m1 .... amn bm ⎠
a sistemului.
Definiţie: Un sistem de numere α1 ,α 2 ,.......α n se numeşte
soluţie a sistemului (1) ⇔
n
∑a
j =1
ij α j = b i , i = 1, m .
Definiţie:
- Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel puţin o soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are o
singură soluţie;
50

51. - Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are o
infinitate de soluţii;
Rezolvarea matriceală a unui sistem
Fie A, B ∈ M n (C ) .
1 n
A−1 A ⋅ X = B ⇒ X = A−1 ⋅ B ⇒ X j = ⋅ ∑ aij ⋅ bi , j = 1, n .
det A i =1
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer: Dacă det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul
Δi
AX=B are o soluţie unică Xi= .
Δ
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare
este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu
rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este
compatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli.
Notăm cu m-numărul de ecuaţii;
n- numărul de necunoscute;
r -rangul matricei coeficienţilor.
I m=n=r Sistem compatibil Δ≠0
determinat
II m=r 〈 n Sistem compatibil Minorul
nedeterminat principal este
nenul
Sistem compatibil Dacă toţi
determinat sau minorii
III n=r 〈 m caracteristici
sunt nuli
51

52. Sistem Există cel
incompatibil puţin un minor
caracteristic
nenul
IV r 〈 n, r 〈 m Sistem compatibil Dacă toţi
nedeterminat sau minorii
caracteristici
sunt nuli
Sistem Există cel
incompatibil puţin un minor
caracteristic
nenul
Teorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai soluţia
banală ⇔ Δ ≠ 0
52

53. 14. SIRURI DE NUMERE REALE
1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare.
Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită prin f(n) =
an .
Notăm (a n )n∈N : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,...........
Orice şir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al
şirului (a n )n∈N .
Definiţia 2 : Două şiruri (a n )n∈N , (bn )n∈N sunt egale
⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ N
Definiţia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ R, o
mulţime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a de
forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V.
Definiţia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ R se numeşte punct de
acumulare pentru D dacă în orice vecinătate a lui α există cel puţin
un punct din D- { } ⇔ V ∩(D- { }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e
α α
punct de acumulare se numeşte punct izolat.
2. Şiruri convergente
Definiţia 5 : Un şir (a n )n∈N este convergent către un număr a ∈ R
dacă în orice vecinătate a lui a se află toţi termenii şirului cu excepţia
lim a n = a
unui număr finit şi scriem a n ⎯n→∞ → a sau
⎯⎯
n→∞
a se numeşte limita şirului .
Teorema 1: Dacă un şir e convergent , atunci limita sa este unică.
Teorema 2: Fie (a n )n∈N un şir de numere reale. Atunci:
(a n )n∈N este monoton crescător ⇔ a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N sau
a n +1
a n +1 − a n ≥ 0, sau ≥ 1;
an
53

54. (a n )n∈N este stict crescător ⇔ a n 〈 a n +1 , ∀n ∈ N sau
a n +1
a n +1 − a n 〉 0, sau 〉1 ;
an
(a n )n∈N este monoton descrescător ⇔ a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N sau
a n +1
a n +1 − a n ≤ 0, sau ≤ 1;
an
(a n )n∈N este strict descrescător ⇔ a n 〉 a n +1 , ∀n ∈ N sau
a n +1
a n +1 − a n 〈 0, sau 〈1 .
an
Definiţia 6. Un şir (a n )n∈N este mărginit ⇔ ∃ M ∈ R astfel
încât a n ≤ M sau
∃α , β ∈ R astfel încât α ≤ an ≤ β .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton şi
mărginit este convergent.
Definiţia 7: Dacă un şir are limită finită ⇒ şirul este convergent.
Dacă un şir are limită infinită + ∞ sau −∞ ⇒ şirul este
divergent.
Teorema 4: Orice şir convergent are limită finită şi este mărginit dar
nu neapărat monoton.
Teorema 5: Lema lui Cesaro:
Orice şir mărginit are cel puţin un subşir convergent.
Definiţia 8: Un şir e divergent fie dacă nu are limită, fie dacă are o
limită sau dacă admite două subşiruri care au limite diferite.
OBS: Orice şir crescător are limită finită sau infinită.
Teorema 6: Dacă (a n )n∈N ∈ R+ este un şir strict crescător şi
*
1
lim a n = +∞ ⇒ lim =0
nemărginit atunci an . Un şir
n→∞
descrescător cu termenii pozitivi este mărginit de primul termen şi de
0.
54

55. 3. Operaţii cu şiruri care au limită
Teorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limită:
a n ⎯n→∞ → a , b n ⎯n→∞ → b .
⎯⎯ ⎯⎯
Dacă operaţiile
a+b,ab
a b
, a au sens atunci şirurile
b
.
a
an + bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn , n , an n au
b
lim ită
bn
lim( a n + bn )= lim a n +lim bn ;
lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ;
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
a n lim a n
lim( α ⋅ a n )=α·lim a n ; lim =
bn lim bn
bn
lim a n = (lim a n ) lim bn
lim (log a a n ) = log a (lim a n )
lim k a n = k lim a n
Prin convenţie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R; a+(-∞)=-∞; -
∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0;
a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0;
⎧
∞ ⎪∞, dacă a〉 0
0 = 0; ∞ =⎨a
⎪0, dacă a〈 0
⎩
±∞
Nu au sens operaţiile: ∞-∞, 0·(±∞); , 1∞ , 1−∞ , ∞0.
±∞
Teorema 8: Dacă a n − a ≤ bn şi bn → 0 ⇒ a n ⎯n→∞ → a
⎯⎯
Dacă a n ≥ bn şi bn → ∞ ⇒ a n ⎯n→∞ → ∞
⎯⎯
55

56. Dacă a n ≤ bn şi bn → −∞ ⇒ a n ⎯n→∞ → −∞
⎯⎯
Dacă a n ⎯n→∞ → a ⇒
⎯⎯ a n ⎯n→∞ → a .
⎯⎯
Dacă a n ⎯n →∞ → 0 ⇒
⎯ ⎯ a n ⎯n→∞ → 0 .
⎯⎯
Teorema 9: Dacă şirul (a n )n∈N este convergent la zero,
iar (bn )n∈N este un şir mărginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn este
convergent la zero.
4. Limitele unor şiruri tip
⎧
⎪ 0 , dac ă q ∈ ( − 1,1)
⎪
⎪1, dac ă q = 1
lim q = ⎨
n
n→∞ ⎪ ∞ , dac ă q 〉1
⎪
⎪
⎩ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1
⎧∞ , a 〉 0
( )
⎪
lim a 0 n p + a1n p −1 + .... + a p = ⎨ 0
n→∞ ⎪ − ∞ , a0 〈 0
⎩
⎧
⎪0, dacă p〈q
⎪ a0
⎪ , dacă p = q
a0 ⋅ n + a1 ⋅ n + .......+ a p ⎪ b0
p p −1
⎪
lim q −1
=⎨ a
n →∞ b0 ⋅ n + b ⋅ n + ..... + bq
q
1 ⎪∞, dacă p〉 q şi 0 〉0
⎪ b0
⎪ a
⎪− ∞, dacă p〉q şi 0 〈0.
⎪
⎩ b0
56

57. xn
⎛ 1⎞
n
⎛ 1 ⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜ 1 +
⎜ ⎟ =e
⎝ n⎠ ⎝ xn ⎟
⎠
n→∞ x n →∞
1 sin xn
lim (1 + xn ) xn = e lim =1
xn
x n →0 x n →0
arcsin x n tgx n
lim =1 lim =1
xn xn
x n →0 x n →0
arctgx n ln(1 + xn )
lim =1 lim =1
xn xn
x n →0 x n →0
a xn − 1 (1 + xn )r − 1
lim = ln a lim =r
xn xn
x n →0 x n →0
e xn ln x n
lim p
=∞ lim =0
xn xn
p
x n →∞ x n →∞
57

58. 15. LIMITE DE FUNCŢII
Definiţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga (
respectiv la dreapta) în punctul de acumulare
x0 ⇔ există l s ∈ R (respectiv l d ∈ R) a. î. lim f(x)= l s ,
(respectiv lim f(x) = l d ).
x → x0 x → x0
x〈 x0 x〉 x0
Definiţie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare.
Funcţia f are limită în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 )
Proprietăţi:
1. Dacă lim f(x) există, atunci această limită este unică.
x → x0
lim f ( x) = l .
2. Dacă lim f(x) =l atunci
x → x0
x → x0 Reciproc nu.
lim f ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = 0
3. Dacă
x → x0
4. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecinătate a lui x0 ∈ D astfel
încât f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D ∩ U − {x0 } şi dacă există
lim f ( x), lim g ( x) ⇒ lim f ( x) 〈 lim g ( x)
x → x0 , x → x0 x → x0 x → x0
58

59. 5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi
∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l .
x→x0 x→x0 x→x0
6.
f ( x) − l ≤ g ( x) ∀ x ∈ D ∩ U − {x0 } şi
Dacă lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
7. Dacă lim f ( x) = 0 şi ∃M 〉 0 a.î. g ( x) ≤ M .
⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0
Dacă f ( x) ≥ g ( x) şi lim g ( x) = +∞
⇒ lim f ( x) = +∞.
8.
Dacă f ( x) ≤ g ( x) şi lim g ( x = −∞
⇒ lim f ( x) = −∞.
OPERAŢII CU FUNCŢII
Dacă există lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 şi au
l l
sens operatiile l1 + l2 , l1 − l2 , l1 ⋅ l2 , 1 , l1 2 , l1
l2
atunci:
1. lim(f(x) ± g(x))= l1 ± l 2 .
2. limf(x)g(x)= l1 ⋅ l 2
59

60. f ( x) l1
3.lim =
g ( x) l 2
l
4.lim f ( x) g ( x ) = l1 2
5.lim f ( x) = l1
P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0
lim P( x) = a0 (±∞)
n
x ⎯ ±∞
⎯→
0, dacă q ∈ (− 1,1)
x
lim
x⎯⎯→ ∞
q = 1, dacă q=1
∞, dacă q>1
nu dacă q ≤ −1
există,
60

61. ⎧
⎪0, dacă p 〈 q
⎪ a0
⎪ , dacă p = q
a 0 ⋅ x + a1 ⋅ x + ....... + a p ⎪ b0
p p −1
⎪
lim q −1
=⎨ a0
x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x + ..... + bq
q
⎪∞ , dacă p 〉 q şi 〉 0
⎪ b0
⎪ a
⎪− ∞ , dacă p 〉 q şi 0 〈 0.
⎪
⎩ b0
lim a =∞ lim ax = 0
x
a>1
x⎯⎯→ ∞ x⎯⎯→ −∞
a ∈ (0,1) lim a
x
=0 lim a
x
=∞
x⎯⎯→ ∞ x ⎯ −∞
⎯→
a>1 lim log
x⎯⎯→ ∞
a x=∞ lim log
x⎯⎯→ 0
a x = −∞
a ∈ (0,1) lim log a x = −∞ lim log a x=∞
x⎯⎯→ ∞ x⎯⎯→ 0
sin x sin u ( x )
lim
x⎯⎯→ 0 x
=1
u x
lim
( )
⎯⎯→ 0 u ( x )
=1
tgx tgu ( x )
lim
x⎯⎯→ 0 x
=1
u x
lim
( )
⎯⎯→ 0 u ( x )
=1
arcsin x arcsin u ( x )
lim
x⎯⎯→ 0 x
=1 lim
( )
u x ⎯⎯→ 0 u (x )
=1
arctgx arctgu ( x )
lim
x⎯⎯→ 0 x
=1 lim
( )
u x ⎯⎯→ 0 u(x )
=1
1 1
lim (1 + x )
x⎯⎯→ 0
x =e lim (1 + u(x )) ( ) = e
( )
u x ⎯⎯→ 0
u x
61

62. x u(x )
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞
lim∞ ⎜1 + x ⎟ = e
x⎯⎯→ ⎝ ⎠
lim ∞ ⎜1 + u (x ) ⎟
u(x ) ⎯
⎜
⎯→ ⎝
⎟
⎠
=0
ln (1 + x ) ln (1 + u ( x ))
lim
x⎯⎯→ 0 x
=1 lim
( )
u x ⎯⎯→ 0 u (x )
=1
a x −1 au( x) − 1
lim
x⎯⎯→ 0 x
= ln a lim 0 u(x ) = ln a
u(x ) ⎯
⎯→
(1 + x )r − 1 = r (1 + u (x ))r − 1 = r
lim
x⎯⎯→ 0 x lim 0 u (x )
u(x ) ⎯⎯→
u (x )
k
xk
lim∞ a x = 0
x⎯⎯→
lim ∞ a u ( x ) = 0
u(x ) ⎯⎯→
ln x ln u (x )
lim
x⎯⎯→ ∞ xk
=0 lim u (x )
( )
u x ⎯⎯→ ∞
k
=0
62

63. 16. FUNCŢII CONTINUE
DEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă în
punctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecinătatea V a lui f(x0) ,
există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice
x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V.
DEFINIŢIE. f : D ⊂ R → R este continuă în x0 ∈ D ⇔ f are limită în
x0 şi lim f(x) = f(x0)
sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0).
x0 se numeşte punct de continuitate.
Dacă funcţia nu este continuă în x0 ⇒ f.se numeşte discontinuă în x0
şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi:
- punct de discontinuitate de prima speţă dacă ls (x0 ), ld (x0 )
finite, dar ≠ f(x0);
- punct de discontinuitate de a doua speţă dacă cel puţin o
limită laterală e infinită sau nu există.
DEFINIŢIE. f este continuă pe o mulţime ( interval) ⇔ este
continuă în fiecare punct a mulţimii ( intervalului).
• Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile lor de
definiţie.
Exemple de funcţii elementare: funcţia constantă c, funcţia
identică x, funcţia polinomială f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcţia
raţională f(x)/g(x), funcţia radical n f ( x) , funcţia logaritmică log
f(x), funcţia putere xa, funcţia exponenţială ax, funcţiile
trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII
ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINIŢIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limita
l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒
⎧ f ( x), x ∈ D
f: D ∪ { x0} →R, f(x) = ⎨
⎩l , x = x0
63

64. este o funcţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea prin
continuitate a lui f în x0.
OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE
T1. Dacă f,g:D→R sunt continue în x0
( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg, f
sunt continue în x0 ( respectiv pe D); α ∈ R, g ≠ 0.
T2. Dacă f:D→R e continuă în x0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ f (x) e
continuă în x0 ∈ ( respectiv pe D).
Reciproca nu e valabilă.
T3. Fie f:D→R continuă în în x0 ∈A şi g:B →A continuă în x0 ∈B,
atunci g•f e continuă în x0 ∈A.
lim f( g (x) = f( lim g(x))
x→x0 x→x0
Orice funcţie continuă comută cu limita.
PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEMĂ. Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ a,b] şi dacă are
valori de semne contrare la extremităţile intervalului
( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a,b)
astfel încât f(c) = 0.
• Dacă f este strict monotonă pe [ a,b] ⇒ ecuaţia f(x) = 0 are
cel mult o rădăcină în intervalul ( a, b).
f este strict monotonă ⇔ f: I →J - continuă
f(I) =J - surjectivă
f - injectivă
Orice funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi îşi
atinge marginile.
64

65. STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII
PROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anulează pe
acest interval păstrează semn constant pe el.
DEFINIŢIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui
Darboux.
⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b),
f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ.
TEOREMĂ. Orice funcţie continuă pe un
interval are P.D.
Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval.
( Reciproca e în general falsă).
CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE
T1. Fie f : I ⊂ R → R o funcţie monotonă a.î.
f( I) e interval. Atunci f este continuă.
T2. Orice funcţie continuă şi injectivă pe un
interval este strict monotonă pe acest interval.
T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale.
Dacă f e bijectivă şi continuă atunci inversa sa
f-1 e continuă şi strict monotonă.
65

66. 17. DERIVATE
FUNCŢIA DERIVATA
C 0
x 1
xn nxn-1
xa axa-1
ax a x lna
ex ex
1
1 -
x x2
1 n
- n+1
xn x
1
x
2 x
n 1
x
n n x n −1
sin x cosx
cos x -sinx
1
tg x
cos 2 x
1
ctg x - 2
sin x
1
arcsin x
1− x2
66

67. 1
arccos x -
1− x2
1
arctg x
1+ x2
1
arcctg x -
1+ x2
1
lnx
x
1
log a x
x ln a
(uv)’ =
v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu
a b
ax + b c d
f(x)= f’(x)=
cx + d ( cx + d ) 2
REGULI DE DERIVARE
(f.g)’=f’g+fg’
(χf )' = χf '
'
⎛ f ⎞ f ' g − fg '
⎜ ⎟=
⎜g⎟
⎝ ⎠ g2
( f ) ( f ( x )) =
−1 '
0 '
1
f ( x0 )
67

68. 18. STUDIUL FUNCŢIILOR
CU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprietăţi generale ale funcţiilor derivabile .
1.Punctele de extrem ale unei funcţii.
Fie Ι un interval şi f:Ι → R.
Definiţie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) al
funcţiei f , un punct a ∈ Ι pentru care există o vecinătate V a lui a
astfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f (x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V.
• Un punct de maxim sau de minim se numeşte punct de extrem.
• a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dacă
f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι.
Obs.1.O funcţie poate avea într-un interval mai multe puncte de
extrem.(vezi desenul).
Obs.2.O funcţie poate avea într-un punct a un maxim (local), fără a
avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul
f (a ) < f (c ) ).
(a, f (a)), (c, f (c))
-puncte de maxim
(b, f (b),)(d, f (d)) -puncte de minim
68

69. TEOREMA LUI FERMAT
0
Dacă f este o funcţie derivabilă pe un interval Ι si x0 ∈ I un punct
de extrem,atunci f ' ( x0 ) = 0 .
Interpretare geometrică:
• Deoarece f ' ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul (x 0 , f ( x0 ))
este paralelă cu OX.
Obs.1. Teorema este adevărată şi dacă funcţia este derivabilă numai
în punctele de extrem.
Obs.2. Condiţia ca punctul de extrem x0 să fie interior intervalului
este esenţială.
(dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca
f ' ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x.
Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevărată.(se pot găsi
funcţii astfel încât f ' ( x0 ) = 0 dar x0 să nu fie punct de extrem).
• Soluţiile ecuaţiei f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele de
extrem se găsesc printre acestea.
• Teorema lui Fermat dă condiţii suficiente (dar nu si necesare)
pentru ca derivata într-un punct să fie nulă.
O altă teoremă care dă condiţii suficiente pentru ca derivata să se
anuleze este :
69

70. TEOREMA LUI ROLLE.
Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă:
1. f este continuă pe [a,b];
2. f este derivabilă pe (a, b ) ;
3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î f ' (c ) = 0.
INTEPRETAREA GEOMETRICA
Dacă funcţia f are valori egale la extremităţile unui interval
[a,b], atunci există cel puţin un punct în care tangenta este paralelă
cu axa ox .
Consecinţa 1. Între două rădăcini ale unei funcţii derivabile se află
cel puţin o rădăcină a derivatei.
Consecinţa 2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei se află
cel mult o rădăcină a funcţiei.
TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite)
Fie f : I → R,I (interval, a, b ∈ I, a < b. Dacă:
1. f este continuă pe [a, b]
70

71. 2. f este derivabilă pe (a,b ), atunci există cel puţin un punct
c ∈ (a, b ) a.î să avem
f (b ) − f (a )
= f ' (c ).
b−a
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ
Dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct(cu excepţia
eventual,a extremităţilor) există cel puţin un punct de pe grafic(care
nu coincide cu extremităţile), în care tangenta este paralelă cu coarda
care uneşte extremităţile.
f (b ) − f (a )
tgα = tangenta la grafic în M are coeficientul.
b−a
unghiular f ' (c ) dar
f (b ) − f (a )
f ' (c ) =
b−a
Obs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle.
Consecinţa 1. Dacă o funcţie are derivata nula pe un interval,atunci
ea este constanta pe acest interval.
• Dacă o funcţie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de
intervale proprietate nu mai rămâne adevărată în general.
⎧1, x ∈ (0,1)
Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨
⎩2, x ∈ (2,3)
71

72. Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe un
interval I şi dacă au derivatele egale f ' = g ' atunci ele diferă
printr-o constantă. f − g = c. c ∈ R
• Dacă f si g sunt definite pe o reuniune disjunctă de intervale,
proprietatea e falsă în general. Expl. f ( x ) = tgx
⎧ ⎛ π⎞
⎪tgx + 1, x ∈ ⎜ 0, 2 ⎟
⎪ ⎝ ⎠
, g (x ) = ⎨
⎪tgx − 1, x ∈ ⎛ π π ⎞
⎜ ⎟
⎪
⎩ ⎝2 ⎠
Consecinţa 3.
Daca f ' ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict crescătoare pe I.
Daca f ' ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descrescătoare I.
−
Consecinţa 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s' ( x0 ) = f d' ( x0 ) = l ∈ R .
⇒ f are derivata în x0 şi = f ' ( x 0 ).
Dacă l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 .
Consecinţa 5.Daca f ' ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f ' păstrează semn constant pe
I.
ETAPELE REPREZENTĂRII
GRAFICULUI UNEI FUNCŢII
1. Domeniul de definiţie;
2. Intersecţia graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox conţine puncte de forma{x,0},unde x este
o rădăcină a ecuaţiei f(x)=0 {daca există}.
Intersecţia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacă
punctul 0 aparţine domeniului de definitie}
3. Studiul continuităţii funcţiei pe domeniul de definiţie :
72

73. Dacă funcţia este definită pe R se studiază limita funcţiei la
± ∞ iar dacă este definită pe un interval se studiază limita la
capetele intervalului.
4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f’.
b. Rezolvarea ecuaţiei f’(x)=0.Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi
eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;
c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.
Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.
5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculează f’’
b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi
eventuale puncte de inflexiune ale graficului
c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.
Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convexă şi pe
cele pe care f’’<0, funcţia eate concavă.
6.Asimptote :
a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde
a= lim f ( x) dacă cel puţin una din aceste limite are sens şi
x → ±∞
există în R.
b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, dacă există
cel puţin o limită laterală a funcţiei în x0, infinită.
c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde
f ( x)
m = lim ∈ R si n = lim ( f ( x) − mx) ∈ R , analog şi pentru
x →∞ x x →∞
-∞.
7. Tabelul de variaţie;
8. Trasarea graficului.
73

74. 19. PRIMITIVE
Primitive. Proprietăţi.
Fie I un interval din R.
Definiţia 1. Fie f: I → R. Se spune că f admite primitive pe I
dacă ∃ F : I →R astfel încât
a) F este derivabilă pe I;
b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I.
F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fi şi o reuniune finită disjunctă de
intervale).
Teorema 1.1 Fie f : I → R. Dacă F ,F
1 2
: I → R sunt
două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c ∈ R
astfel încât F 1 ( x) = F 2 ( x) + c, ∀ x ∈ I.
Demonstraţie : Dacă F , F sunt primitive atunci F , F
1 2 1 2
sunt
'
derivabile ⇒ F ( x ) =
1 F ' ( x) = f ( x) ∀ x ε I
2
'
⇔ ( F − F ) ( x) = F ( x) − F ' ( x) = 0 , x ε I.
1 2
'
1 2
⇒ F ( x) − F ( x) = c , c= constantă
1 2
OBS 1. Fiind dată o primitivă F a unei funcţii, atunci orice primitivă F a
0
lui f are forma F = F0 + c , c= constantă
⇒ f admite o infinitate de primitive.
OBS 2. Teorema nu mai rămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă
de intervale Expl: f: R- {0 }, f(x) = x²
⎧ x3
x3 ⎪ +1
⎪3
F= , G= ⎨ 3
3 ⎪x + 2
⎪3
⎩
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1
OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.
Se ştie că derivata oricărei funcţii are Proprietatea lui Darboux , rezultă că f
are Proprietatea lui Darboux. F’ =f.
74