Přehled aproximací Gaussovy funkce a jejích derivací pomocí filtrů s nekonečnou impulzní odezvou (IIR).

1. IIR aproximace Gaussovy funkce
David Bařina
Fakulta informačních technologií VUT v Brně
26. června 2012
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 1 / 14

2. Gaussova funkce
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian
gσ(x) =
1
σ
√
2π
e− x2
2σ2
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 2 / 14

3. Výpočet aproximací
ideální nelze – nosič (−∞, + ∞)
filtr FIR s pravidlem 3σ, 4σ nebo 5σ – pomalé pro vyšší hodnoty σ
kaskáda uniformních filtrů
kauzální a nekauzální filtr IIR – rychlé pro vyšší hodnoty σ
Deriche1993
YoungVliet1995
Seeman2009
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 3 / 14

4. Kaskáda uniformních filtrů
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
uniform
h(k) = ⊗M
m=1unifN|k
unifN(k) =
1/(2N + 1) |n| ≤ N
0
N ≈ σ M = 3
nevýhody: vysoká chyba aproximace
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 4 / 14

5. Kaskáda uniformních filtrů
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian
uniform
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 5 / 14

6. Deriche1993 (IIR 4. řádu)
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
h-
h+
H(z) = H+
(z) + H−
(z)
H+
(z) =
N−1
i=0 b+
i z−i
1 + N
i=1 ai z−i
H−
(z) =
N
i=1 b−
i zi
1 + N
i=1 ai zi
N = 4
výhody: vysoká přesnost, lze paralelizovat
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 6 / 14

7. Deriche1993 (IIR 4. řádu)
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian
Deriche1993
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 7 / 14

8. YoungVliet1995 (IIR 5. řádu)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
h+
H(z) = H+
(z) · H−
(z)
H+
(z) =
α
1 + N
i=1 bi z−i
H−
(z) =
α
1 + N
i=1 bi zi
N = 5
výhody: vysoká přesnost
nevýhody: odezva delší než původní signál, iterativní výpočet
koeficientů, nelze paralelizovat
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 8 / 14

9. YoungVliet1995 (IIR 5. řádu)
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian
VlietYoungVerbeek1998
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 9 / 14

10. Seeman2009 (3× IIR 1. řádu) symetricky mezi vzorky
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
h1-
h2-
h3-
H(z) =
M
i=1
H+
i (z) + H−
i (z)
H+
i (z) =
ai z−0
1 + bi z−1
H−
i (z) =
ai z1
1 + bi z1
M = 3
výhody: lze paralelizovat
nevýhody: vysoká chyba aproximace, střed posunut mezi vzorky
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 10 / 14

11. Seeman2009 (3× IIR 1. řádu) symetricky mezi vzorky
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian (+0.5)
Seeman2009
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 11 / 14

12. Seeman2009 + H0 symetricky na vzorek
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
h1-
h2-
h3-
h0
H(z) = H0(z) +
M
i=1
H+
i (z) + H−
i (z)
H+
i (z) =
ai z−1
1 + bi z−1
H−
i (z) =
ai z1
1 + bi z1
H0(z) = 1 M = 3
výhody: lze paralelizovat
nevýhody: vysoká chyba aproximace
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 12 / 14

13. Seeman2009 + H0 symetricky na vzorek
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Gaussian
Seeman2009 + H0
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 13 / 14

14. Srovnání pro σ = 10.0
algoritmus MAC/vzorek LS chyba
FIR s 5σ 2 5σ + 1 0.000000000000000
uniformní filtr 3 × (2 σ + 1) 0.000200200281533
IIR Deriche1993 2 × 8 0.000000004324169
IIR YoungVliet1995 2 × 6 0.000000033785211
IIR Seeman2009 2 × 6 0.000042220952108
IIR Seeman2009 + H0 2 × 6 + 1 0.000034187087227
David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 14 / 14