SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 8
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ תשע"ג‬
‫־ ד"ר ערן לונדון‬

‫‪ P‬־ עבור כל שני מספרים אי־זוגיים.‬
‫‪ Q‬־ ההפרש שלהם הוא זוגי.‬
‫איך מוכיחים את המשפט?‬
‫1. ישירות ־ מראים ש־‪ .P → Q‬מניחים ש־ ‪ P‬נכון ומראים‬
‫שגם ‪ Q‬נכון.‬
‫¯‬
‫¯‬
‫2. ‪ Contra P osotive‬־ מראים ש־ ‪.Q → P‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫3. בדרך השלילה ־ מראים שהפסוק ‪ P ∧ Q → P‬הוא נכון‬
‫)ואז בסוף מגיעים לסתירה... ]כדאי לנסות על משפט פשוט‬
‫כדי לראות את זה[(.‬

‫3.1‬

‫חלק‬

‫‪I‬‬

‫הגדרה: קבוצה של קשרים היא שלמה אם לכל פסוק ‪ A‬קיים‬
‫פסוק ‪ B‬אשר מופיעים בו רק קשרים מהקבוצה השלמה ומתקיים‬
‫־ ‪.A ≡ B‬‬

‫לוגיקה‬
‫1‬

‫קבוצות שלמות של קשרים‬

‫הגדרות‬
‫4.1‬

‫ביטויים בולאנים ־ ביטויים שיכולים לקבל רק שני ערכים ־ אמת‬
‫)‪ (T‬או שקר)‪) .(F‬אך לא שניהם!!!(.‬
‫ניתן לכנות ביטוי בולאני בתור פסוק.‬
‫תחשיב הפסוקים ־ עוסק בדרך בה ניתן לבנות פסוקים חדשים‬
‫)מתוך פסוקים אחרים( באמצעות קשרים לוגיים )או, גם...(.‬
‫תחשיב היחסים ־ מטפל בפסוקים יותר מורכבים אשר כוללים‬
‫גם את המילים "לכל" או "קיים".‬
‫משתנה פסוקי ) פסוק אטומי(־ ‪) P,Q,R,S‬או כל אות לטינית‬
‫אחרת ]אבל גדולה[(.‬
‫קבוע פסוקי ־ ‪ T‬־ אמת, ‪ F‬־ שקר. גם קבוע פסוקי נחשב‬
‫ל־פסוק אטומי.‬
‫השמה ־ פונקציה ‪ f‬הקובעת לכל משתנה פסוקי ערך ‪ T‬או ‪.F‬‬
‫סימון ערך הפסוק ־ )‪ f (A‬־ ערך הפסוק ‪ A‬לפי ההשמה ‪.f‬‬
‫אם ‪ f (A) = T‬אזי אומרים כי השמה ‪ f‬מספקת את פסוק ‪.A‬‬
‫השמה מספקת ־ היא השמה שערך האמת שלה הוא ‪.T‬‬
‫יהיו ‪ A, B‬שני פסוקים. אם )‪ f (A) = f (B‬עבור כל השמה ‪,f‬‬
‫אזי אומרים ש־ ‪ A‬ו־‪ B‬שקולים לוגית ומסמנים: ‪. A ≡ B‬‬
‫טאוטולוגיה ־ פסוק ‪ A‬הוא טאוטולוגיה אם ערך האמת שלו הוא‬
‫‪ T‬לכל השמה.‬
‫סתירה ־ פסוק ‪ A‬הוא סתירה אם ערך האמת שלו הוא ‪ F‬לכל‬
‫השמה.‬

‫1.1‬

‫חוקי דה־מורגן‬

‫1.4.1‬

‫פסוק ‪DN F‬‬

‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ DN F‬אם הוא מהצורה‬
‫הבאה:‬
‫‪ D1 ∨ D2 ∨ · · · ∨ Dn‬כשאר כל ‪ Di‬הוא מהצורה ־ = ‪Di‬‬
‫‪ ,Ai1 ∧ Ai2 ∧ · · · ∧ Aik‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא או משתנה או שלילתו.‬
‫פסוק ‪CN F‬‬

‫2.4.1‬

‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ CN F‬אם הוא מהצורה‬
‫הבאה:‬
‫‪ C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cn‬כאשר כל ‪ Ci‬הוא מהצורה ־ ∨ ‪A1i ∨ A2i‬‬
‫‪ ,· · · ∨ Aki‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא משתנה פסוקי או שלילתו‬

‫2‬

‫טבלאות של קשרים לוגיים‬

‫הקשר ־ ∨ ־ "או"‬
‫‪Q P∨Q‬‬

‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫הקשר ־ ∧ ־ "וגם"‬
‫‪Q P∧Q‬‬

‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫הקשר ־ → ־ "גרירה"‬
‫‪P Q P→Q‬‬

‫1. ‪.P ∧ Q ≡ P ∨ Q‬‬
‫2. ‪.P ∨ Q ≡ P ∧ Q‬‬

‫2.1‬

‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪CN F‬‬

‫הוכחה מתמטית‬

‫משפט מתמטי הוא משפט מהצורה: ‪ .P → Q‬למשל, ניקח את‬
‫המשפט הבא: ההפרש בין כל שני מספרים )שלמים( אי־זוגיים‬
‫הוא זוגי. אזי:‬
‫1‬

‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫הקשר ־ ⊕ ־ "‪XOR‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪P⊕Q‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬

‫"‬

‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫הקשר ־ ↔ ־ "גרירה" )אם"ם(‬
‫‪P Q‬‬
‫‪P↔Q‬‬

‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬

‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬

‫¯‬
‫ויש גם את קשר השלילה: עבור פסוק ‪ P ,P‬הינו הערך ההפוך‬
‫שלו )אם היה ‪ T‬נהפך להיות ‪ F‬ואם היה ‪ F‬נהפך להיות ‪.(T‬‬
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫הפרש בין קבוצות‬
‫})‪AB = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬
‫/‬
‫קסור‬
‫})‪A ⊕ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B‬‬
‫הקבוצה המשלימה‬
‫¯‬
‫)‪A = {x ∈ Ω; (x ∈ A)} = x ∈ Ω; (x ∈ A‬‬
‫/‬

‫1.4‬

‫דה מורגן )קבוצות(‬

‫¯ ¯‬
‫¯ ¯‬
‫‪.A ∪ B = A ∩ B ,A ∩ B = A ∪ B‬‬

‫2.4‬

‫חלק‬

‫‪II‬‬

‫ניתן להמיר פעולות על קבוצה לפוסקים לוגיים, למשל:‬
‫)‪ ,P = (x ∈ A) , Q = (x ∈ B‬לכן:‬
‫¯‬
‫למשל: ‪ ,A ∩ B = P ∧ Q‬או: ‪.AB = P ∧ Q‬‬

‫תורת הקבוצות‬
‫3‬

‫הגדרות בסיסיות‬

‫5‬

‫הגדרה:‬
‫קבוצה היא אוסף של איברים )האמת היא שאי אפשר‬
‫ממש להגדיר קבוצה, אבל אנחנו נותנים כאן מעין הגדרה‬
‫אינטואיטיבית...(‬
‫}♣ ,‪A = {♥, 1, 2, ℵ‬‬
‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.1 ∈ A‬‬
‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬לא נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.4 ∈ A‬‬
‫/‬
‫/‬
‫הצגת קבוצה באמצעות תכונה:‬
‫}‪A = {x; x > 12, x ∈ N‬‬
‫הקבוצה הריקה: }{ = ∅.‬
‫‪ A ⊆ B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬כלומר: כל איבר ב־‪ A‬נמצא ב־‪.B‬‬
‫)‪.(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B‬‬
‫‪ A B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬אבל לא שווה לה, כלומר קיים לפחות‬
‫איבר אחד ב־‪ B‬שאינו נמצא ב־‪.A‬‬
‫‪ A = B‬־ שוויון בין קבוצות: ‪ A ⊆ B‬וגם: ‪ .B ⊆ A‬או:‬
‫)‪.(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B‬‬
‫‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות זרות אם לא קיים בניהן אף איבר משותף, למשל:‬
‫} ,1{ ו־}‪.{ , b‬‬
‫‪ Ω‬־ הקבוצה האוניברסלית.‬
‫}‪) A = {x ∈ Ω; x ∈ A‬צורת כתיבה נוספת של קבוצה ‪.(A‬‬
‫סימון: אומרים ש־‪ a) a | b‬מחלק את ‪ (b‬אם קיים ‪ k ∈ Z‬כך‬
‫שמתקיים ‪.a · k = b‬‬
‫ומנגד ־ ‪ c) c d‬אינו מחלק את ‪ .(d‬למשל: 6 | 2 כי 6 = 3 · 2,‬
‫אבל: 2 6.‬

‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת(‬

‫יחסים‬

‫זוג סדור:‬
‫יהיו ‪ A, B‬קבוצות, כאשר ‪ ,a ∈ A, b ∈ B‬אזי לצירוף )‪(a, b‬‬
‫קוראים זוג סדור.‬
‫חשוב לזכור ־ )‪.(a, b) = (b, a‬‬
‫‪R⊆A×B‬‬
‫יחס ‪ R‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪ B‬אשר מורכב מזוגות‬
‫מהצורה )‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬
‫‪ ∅ ⊆ A × B‬־ היחס הריק ־ יחס בלי שום זוג סדור.‬
‫‪ A×B ⊆ A×B‬־ היחס המלא ־ כל הזוגות הסדורים האפשריים‬
‫)‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬
‫הגדרה:‬
‫‪ R ⊆ A × A‬יקרא יחס על הקבוצה ‪.A‬‬
‫סימון:‬
‫עבור ‪ a, b ∈ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה ‪ .A‬אם הזוג הסדור )‪(a, b‬‬
‫נמצא ב־ ‪ R‬ניתן לסמן זאת בשתי דרכים:‬
‫‪ (a, b) ∈ R‬או ‪ ,aRb‬וכאשר רוצים לשלול: ‪ (a, a) ∈ R‬או  ‪.a‬‬
‫‪Ra‬‬
‫/‬

‫1.5‬

‫סוגי יחסים‬

‫עבור קבוצה ‪ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה:‬
‫1.1.5‬

‫רפלקסיבי‬

‫‪ R‬הוא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪) (a, a) ∈ R‬או:‬
‫‪.(aRa‬‬
‫2.1.5‬

‫4‬

‫המרה לפסוקים לוגיים‬

‫אנטי־רפלקסיבי‬

‫‪ R‬הוא אנטי רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪(a, a) ∈ R‬‬
‫/‬
‫)או:  ‪.( a‬‬
‫‪Ra‬‬

‫איחוד‬
‫})‪A ∪ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B‬‬
‫חיתוך‬
‫})‪A ∩ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬

‫3.1.5‬

‫סימטרי‬

‫‪ R‬הוא יחס סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬מתקיים: ‪.aRb ⇒ bRa‬‬
‫2‬
‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫4.1.5‬

‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫5.2.5‬

‫אנטי־סימטרי‬

‫יחס מושרה‬

‫הגדרה: תהא ‪ S‬חלוקה של קבוצה ‪ .A‬נגדיר יחס ‪ Rs‬על הקבוצה‬
‫‪ A‬באופן הבא: ‪ (x, y) ∈ Rs‬אם)ם( ‪ x‬ו־‪ y‬שייכים לאותה קבוצה‬
‫ב־‪ .S‬ליחס ‪Rs‬נקרא היחס המושרה מהחלוקה ‪.S‬‬

‫‪ R‬הוא יחס אנטי־סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬אם‬
‫‪.aRb ∧ bRa ⇒ a = b‬‬

‫משפט: ‪Rs‬הוא יחס שקילות.‬
‫5.1.5‬

‫טרנזיטיבי‬

‫‪ R‬הוא יחס טרנזיטיבי אם לכל ‪ a, b, c ∈ A‬מתקיים:‬

‫6‬

‫פונקציות‬

‫‪aRb ∧ bRc ⇒ aRc‬‬
‫תזכורת: ‪ R ⊆ A × B‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪.B‬‬

‫2.5‬

‫יחס שקילות‬

‫תהי ∅ = ‪ A‬קבוצה ויהי ‪ R‬יחס על הקבוצה ‪ .A‬אם ‪ R‬הוא‬
‫רפלקסיבי, סימטרי, וטרנזיטיבי אזי ‪ R‬הוא יחס שקילות.‬
‫1.2.5‬

‫הגדרה: ‪ f ⊆ A × B‬תקרא פונקציה מ־‪ A‬ל־‪ B‬אם לכל ‪a ∈ A‬‬
‫קיים ‪ b ∈ B‬יחיד כך ש־ ‪.(a, b) ∈ f‬‬
‫אם ‪ f‬היא פונקציה ו־ ‪ (a, b) ∈ f‬אזי מסמנים ‪ ,f (a) = b‬וגם:‬
‫‪.f : A → B‬‬
‫לקבוצה ‪ A‬קוראים התחום של הפונקציה ‪.f‬‬

‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬

‫הטווח של ‪ f‬יסומן: ) ‪ Range (f‬או ) ‪ Im (f‬והוא מוגדר כך:‬
‫})‪Im (f ) = Range (f ) = {b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a‬‬

‫הגדרה: יהא 2 ≥ ‪ ,m ∈ N ,m‬נגדיר יחס ‪ Rm ⊆ Z × Z‬באופן‬
‫הבא:‬

‫)‪ ,∃a ∈ A, b = f (a‬פירושו: קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־)‪.b = f (a‬‬

‫})‪.Rm = {(x, y) ; x, y ∈ Z, m | (x − y‬‬

‫לפעמים מסמנים את הטווח ב־)‪.f (A‬‬

‫משפט: לכל 2 ≥ ‪ ,m‬היחס ‪Rm‬הוא יחס שקילות.‬
‫סימון מקובל: אם ‪ (x, y) ∈ Rm‬אזי מסמנים: ‪.x ≡m y‬‬

‫1.6‬
‫1.1.6‬

‫למשל: 6 4≡ 2.‬
‫2.2.5‬

‫מחלקת שקילות‬

‫פונקציות מסוימות‬
‫פונקצית הזהות‬

‫תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה כלשהי.‬

‫הגדרה: יהא ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,A‬ו־‪ .x ∈ A‬מחלקת‬
‫השקילות של ‪ x‬תחת היחס ‪ R‬תסומן: ‪ ,[x]R‬ותוגדר באופן הבא:‬

‫הפונקציה ‪ IA : A → A‬המוגדרת ע"י ‪ IA (x) = x‬לכל ‪x ∈ A‬‬
‫נקראת: פונקצית הזהות על הקבוצה ‪.A‬‬

‫}‪.[x]R = {y ∈ A; (x, y) ∈ R‬‬
‫חשוב לזכור ־ מחלקת שקילות היא לא קבוצה של זוגות סדורים,‬
‫אלא של איברים מהקבוצה המקורית שנמצאים באותה מחלקת‬
‫שקילות. מה שמעניין אותנו אלו האיברים שמקיימים את היחס‬
‫עם ‪ ,x‬כלומר, כל ה־‪y‬־ים שהיחס שלהם עם ‪ x‬הוא יחס שקילות.‬
‫למשל, ביחס 4≡ יש לנו ארבע מחלקות שקילות:‬
‫}. . . ,01 ,6 ,2 ,2− , . . .{ = })‪[2]≡4 = {y ∈ Z; 4 | (2 − y‬‬
‫וכמו־כן: 4≡]3[ , 4≡]1[ , 4≡]0[ )את 2 הבאתי באופן מלא רק‬
‫כדוגמא(.‬
‫4≡]6−[ = 4≡]01[ = 4≡]2[.‬
‫3.2.5‬

‫2.1.6‬

‫‪1 x∈X‬‬
‫‪0 otherwise‬‬

‫= )‪∀x ∈ A; fX (x‬‬

‫אם שמים לב, זוהי פונקציה שממיינת את כל האיברים ב־‪ A‬למה‬
‫שב־‪) X‬במקרה הזה היא מחזירה 1( ולמה שלא ב־‪) X‬במקרה‬
‫הזה היא מחזירה 0(.‬
‫זוהי פונקציה שיכולה להחזיר רק ־ 0 או 1 )עבור תנאי מסוים(.‬
‫אם אלו שני ערכים אחרים מ־0 ו־1 אזי זאת פונקציה בולאנית‬
‫ולא מציינת )כל פונקציה מציינת היא פונקציה בולאנית, אבל לא‬
‫כל פונקציה בולאנית היא פונקציה מציינת(.‬

‫חלוקה של קבוצה‬
‫3.1.6‬

‫הגדרה: תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה של קבוצות. }... , 2‪S = {S1 , S‬‬
‫תקרא חלוקה של הקבוצה ‪ A‬אם מתקיימים התנאים הבאים:‬
‫א. ∅ = ‪ Si‬לכל ‪.i‬‬
‫ב. ‪Si = A‬‬

‫פונקציה חד־חד־ערכית‬

‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא פונקציה חד־חד־ערכית אם‬
‫מתקיים התנאי הבא: לכל ‪ :s, t ∈ A‬אם )‪ f (s) = f (t‬אזי‬
‫‪.s = t‬‬

‫.‬

‫ג. ∅ = ‪ Si ∩ Sj‬לכל ‪.i = j‬‬
‫4.2.5‬

‫פונקציה מציינת של קבוצה‬

‫4.1.6‬

‫המשפט המרכזי של יחסי השקילות‬

‫תהא ∅ = ‪ A‬ו־‪ R ⊆ A × A‬יחס שקילות. קבוצת מחלקות‬
‫השקילות של ‪ R‬היא חלוקה של ‪.A‬‬
‫3‬

‫פונקציה על‬

‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא על ‪ B‬אם לכל ‪ b ∈ B‬קיים‬
‫‪ a ∈ A‬כך ש־‪ .f (a) = b‬במילים אחרות: ) ‪.B = Im (f‬‬
‫√‬
‫דוגמא: אם הפונקציה שנתונה לנו היא 1 + ‪ f (x) = x‬כאשר:‬
‫‪ ,f : N → Z‬אזי ניתן לראות שהיא איננה על, מכיוון‬
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫שמסתכלים על הטווח )מה שנמצא בריבוע( ורואים שלמשל,‬
‫‪ Z‬לא קיים ‪ a‬כך ש־‪ ,f (a) = b‬כלומר:‬
‫עבור 5− = ‪b‬‬
‫]‪ Im (f ) = B [= Z‬ולכן הפונקציה איננה על.‬
‫5.1.6‬

‫תהא )≤ ,‪ (A‬קס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬
‫)‪ P (a‬טענה לגבי איבר ‪.a ∈ A‬‬

‫הרכבה של פונקציות ופונקציות הפיכות‬

‫הגדרה: ‪.h : A → C ,g : B → C ,f : A → B‬‬
‫הפונקציה ‪ h‬המוגדרת ע"י ))‪ h (x) = g (f (x‬לכל ‪ x ∈ A‬נקראת‬
‫1‬
‫ההרכבה של ‪ f‬ו־‪ g‬ומסומנת: ‪.h = g ◦ f‬‬
‫הגדרה: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אם קיימת ‪g : B → A‬‬
‫כך שלכל ‪ g (f (a)) = a ,a ∈ A‬ולכל ‪.f (g (b)) = b ,b ∈ B‬‬
‫הפונקציה ‪ g‬תקרא הפונקציה ההופכית של ‪) .f‬במילים אחרות:‬
‫‪ g ◦ f = IA‬ו־ ‪.(f ◦ g = IB‬‬
‫משפט: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אםם היא חח"ע ועל.‬

‫7‬
‫1.7‬

‫יחס סדר חלקי‬

‫1. הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל איבר מינימלי ‪ a‬של ‪.A‬‬
‫2. לכל ‪ ,a ∈ A‬נכונות הטענה )‪ P (b‬לכל האיברים ‪ b ∈ A‬כך‬
‫ש־ ‪ ,b = a, b ≤ a‬גוררת את נכונות הטענה )‪.P (a‬‬
‫אז הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל ‪.a ∈ A‬‬

‫‪III‬‬

‫אינדוקציה‬

‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬

‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי‬

‫8 משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬
‫הטבעיים 2(:‬
‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬
‫התנאים הבאים:‬
‫1. )בסיס האינדוקציה( הטענה ) 0‪ P (n‬נכונה )עבור ‪.(n0 ∈ N‬‬
‫2. )צעד האינדוקציה( לכל ‪ n0 ≤ n ∈ N‬נכונות הטענה )‪P (m‬‬
‫לכל ‪ m ∈ N‬המקיים ‪ n0 ≤ m < n‬גוררת את נכונות‬
‫הטענה )‪.P (n‬‬
‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪) .n0 ≤ n ∈ N‬הערה: חשוב לסיים‬
‫כל הוכחה במשפט הזה, כי אחרת בעצם לא אמרנו כלום...(.‬

‫‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי.‬
‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ aRx‬‬
‫‪ b ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.b = x ⇐ xRb‬‬

‫3.7‬

‫תהא‬

‫אם מתקיימים שני התנאים הבאים:‬

‫חלק‬

‫הגדרה: תהא ‪ A‬קבוצה. ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי אם‬
‫הוא: רפלקסיבי, אנטי־סימטרי, וטרנזיטיבי.‬
‫לזוג )‪ (A, R‬קוראים בשם קבוצה סדורה חלקית. )קס"ח(.‬
‫למשל: )≤ ,‪.(N‬‬
‫הגדרה: ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אם לכל‬
‫‪ a, b ∈ A‬מתקיים ‪ aRb‬או ‪ bRa‬אזי ‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬
‫)הערה: כל יחס סדר מלא הוא גם יחס סדר חלקי, אבל ההפך‬
‫לא נכון(. ול־)‪ (A, R‬קוראים קבוצה סדורה לינארית.‬
‫הגדרה: אם  ‪ a‬וגם  ‪ b‬אזי ‪ a‬ו־‪ b‬הם איברים שאינם ניתנים‬
‫‪Ra‬‬
‫‪Rb‬‬
‫להשוואה.‬
‫אם אין זוג איברים בלתי ניתנים להשוואה אז )‪ (A, R‬היא קבוצה‬
‫סדורה לינארית ו־‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬

‫2.7‬

‫4.7 משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה חלקית‬
‫המקיימת את תכונת המינימליות‬

‫הערה: משפט האינדוקציה השלמה הוא מסקנה מהמשפט הקודם‬
‫העוסק בקס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬

‫קבוצה סדורה היטב‬

‫הערה: בחלק הזה נסמן יחס סדר חלקי ב־ ≤ )חשוב לזכור שהוא‬
‫לא בהכרח יחס סדר מלא למרות הסימן המטעה...(‬
‫)≤ ,‪ (A‬קבוצה סדורה חלקית.‬
‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≤ x‬‬
‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≥ x‬‬
‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה היטב אם )≤ ,‪ (A‬היא קס"ח‬
‫ולכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי אחד בדיוק.‬
‫משפט: כל קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה לינארית.‬
‫)ההפך אינו נכון(.‬
‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת‬
‫המינימליות אם לכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי )אחד‬
‫לפחות(. ]וזה בניגוד להגדרה של "קבוצה סדורה היטב" שבה‬
‫צריך שיהיה רק אחד בדיוק. כאן אפשר גם יותר[.‬
‫1הסבר יותר מפורט כולל דוגמאות נמצא בסיכום של הקורס "כלים מתמטיים‬
‫למדעי המחשב" של ד"ר לור ברתל.‬

‫4‬

‫9 משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬
‫הטבעיים(:‬
‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬
‫התנאים הבאים:‬
‫1. הטענה )0( ‪ P‬נכונה.‬
‫2. לכל ‪ ,1 ≤ n ,n ∈ N‬נכונות הטענה )1 − ‪ P (n‬גוררת את‬
‫נכונות הטענה )‪.P (n‬‬
‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪.n ∈ N‬‬

‫2בעיקרון, לא צריך לציין זאת, היות ומשפטי האינדוקציה שנלמד מדברים רק‬
‫על המספרים הטבעיים.‬
‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫חלק‬

‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫‪IV‬‬

‫3. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות, אזי: ‪ A × B‬היא קבוצה‬
‫סופית ומתקיים:‬
‫|‪.|A × B| = |A| × |B‬‬

‫קומבינטוריקה‬

‫2.11‬

‫הכללות )של טענות 1 ו־3(‬

‫1. אם ‪ A1 , A2 , . . . , An‬הן קבוצות זרות בזוגות )כלומר, לכל‬
‫‪ i = j‬מתקיים: ∅ = ‪ ,(Ai ∩ Aj‬אזי:‬
‫‪n‬‬

‫| ‪|Ai‬‬

‫‪n‬‬

‫= ‪Ai‬‬
‫1=‪i‬‬

‫1=‪i‬‬

‫2. לכל ‪ B1 , B2 , . . . , Bn‬מתקיים:‬

‫01‬

‫‪n‬‬

‫הקדמה‬

‫= | ‪|B1 × · · · × Bn‬‬

‫| ‪|Bi‬‬
‫1=‪i‬‬

‫)חלק זה בעיקרון לא נכלל בקומבינטוריקה, אבל שמתי אותו כאן‬
‫מכיוון שהוא מעין "הקדמה" לקומבינטוריקה(.‬
‫3. מסקנה שנובעת מן ההכללות: ‪= 2n‬‬

‫1.01‬

‫‪n‬‬

‫}1 ,0{‬

‫עוצמה של קבוצה‬
‫)סוף קטע ההכללות...(‬

‫הגדרה: נגדיר את יחס השיקלות ‪ ≡I‬על קבוצה של קבוצות‬
‫באופן הבא: ‪ A ≡I B‬אם קיימת ‪ f : A → B‬הפיכה.‬
‫מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות העוצמה של ‪ A‬ונסמן‬
‫זאת ע"י: |‪.|A‬‬

‫משפט: יהא ‪ R ⊆ A × B‬כך שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים:‬
‫‪ |{b ∈ B, (a, b) ∈ R}| = t‬אזי: |‪|R| = t · |A‬‬
‫משפט: תהא ‪ ,|A| = n‬אזי:‬

‫‪n‬‬

‫2 = |)‪.|P (A‬‬

‫הגדרה: קבוצה ‪ A‬היא סופית אם ∅ = ‪ A‬או אם קיים‬
‫‪ 0 < n ∈ N‬כך ש־}‪.A ≡I {1, 2, . . . , n‬‬

‫21‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪n‬‬

‫אם ∅ = ‪ A‬אז נאמר ש־ 0 = |‪.|A‬‬
‫בחלק הבא ידבר על איך לפתור בעיה כאשר אנחנו צריכים לבחור‬
‫‪ k‬איברים מתוך קבוצה בת ‪ n‬איברים עם כל מיני אילוצים שונים.‬

‫אם }‪ A ≡I {1, 2, . . . , n‬אז נאמר ש־ ‪.|A| = n‬‬
‫בכל מקרה אחר: ‪ A‬היא קבוצה אינסופית.‬

‫2.01‬

‫בכלל הדוגמאות נתייחס לקבוצה הבאה: }5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = ‪A‬‬
‫אלא אם יאמר אחרת.‬

‫עקרון שובך היונים‬

‫לכל ‪ k ∈ N‬לא קיימת פונקציה חח"ע מ־‬
‫טענה:‬
‫}1 + ‪ {1, 2, . . . , k‬ל־}‪.{1, 2, . . . , k‬‬

‫1.0.21 כמה מושגים לפני הצגת המקרים ־ איברים שונים‬
‫וחשיבות לסדר:‬

‫זהו עיקרון שובך היונים ]עיקרון ‪.[Dirichlet‬‬

‫11‬

‫קומבינטוריקה‬

‫הערה: בכל הפרק כאן ידובר על קבוצות סופיות אלא אם יוזכר‬
‫אחרת.‬

‫1.11‬

‫1.1.0.21 איברים שונים/חזרות אם מותרות חזרות, כלומר‬
‫שלא בהכרח מדובר באיברים שונים אזי הכוונה היא שאותו‬
‫איבר יכול לחזור פעמיים או יותר, למשל, במקרה של 5 = ‪k‬‬
‫אזי הקבוצות: }3 ,4 ,3 ,5 ,1{ ו־}4 ,2 ,2 ,2 ,1{ מותרות, אבל אם‬
‫מדובר על ‪ k‬איברים שונים, כלומר, אסור שיהיו חזרות אזי‬
‫הקבוצות הנ"ל פסולות.‬
‫כדאי לזכור שבמקרה הזה, אם ‪ k > n‬אזי התשובה היא שיש לנו‬
‫0 אפשרויות, מכיוון שאם אסורות חזרות ואנחנו צריכים לבחור‬
‫יותר מ־‪ n‬איברים אזי זה בלתי אפשרי.‬

‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות(‬

‫1. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות וזרות )כלומר: ∅ = ‪,(A ∩ B‬‬
‫אזי: ‪ A ∪ B‬היא קבוצה סופית ומתקיים:‬
‫|‪.|A ∪ B| = |A| + |B‬‬
‫2. תהיינה ‪ C‬ו־‪ D‬קבוצות סופיות ו־‪ ,C ⊆ D‬אזי: ‪ DC‬היא‬
‫קבוצה סופית ומתקיים:‬
‫|‪.|DC| = |D| − |C‬‬
‫5‬

‫2.1.0.21 חשיבות לסדר בחשיבות לסדר הכוונה היא שמיקום‬
‫האיברים בקבוצה משנה )במידה ויש חשיבות לסדר(, לכן, במקרה‬
‫כזה וכאשר 3 = ‪:k‬‬
‫}5 ,1 ,2{ = }5 ,2 ,1{, לעומת זאת, אם אין חשיבות לסדר אזי‬
‫הקבוצות הנ"ל שוות...‬
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫1.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה בת ‪n‬‬
‫איברים עם חשיבות לסדר‬

‫4.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬
‫בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬

‫ניקח למשל את הקבוצה ‪ ,A‬אזי אם מדובר על ‪ k‬ערכים שונים‬
‫עם חשיבות לסדר אזי:‬

‫במקרה כזה ־ . . . = }2 ,1 ,2 ,3{ = }2 ,3 ,1 ,2{ = }3 ,2 ,2 ,1{‬
‫וכמות האפשרויות היא:‬
‫1−‪n+k‬‬

‫}1 ,2{ = }2 ,1{ )במקרה של 2 = ‪ .(k‬כמו־כן, לפי ההגדרות לא‬
‫תתכן קבוצה כמו }3 ,3{ שכן, אסור שיהיו חזרות.‬
‫במקרה כזה, היות וכל פעם יורדת לנו אפשרות, אזי סך־כל‬
‫האפשרויות הינו:‬
‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬
‫הערה: במקרה ו־ ‪ k = n‬אזי מה שנקבל הוא !‪ ,n‬וזה גם מה‬
‫שמכונה תמורה.‬

‫2.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה עם ‪n‬‬
‫איברים ללא חשיבות לסדר‬
‫במקרה, כזה, בניגוד לסעיף הקודם, הסדר איננו משנה, כלומר:‬
‫. . . = }3 ,4 ,1{ = }4 ,1 ,3{ = }4 ,3 ,1{ ־ כלומר, כל הקבוצות‬
‫הללו נספרות כקבוצה אחת, לכן במקרה כזה יורדות מספר‬
‫האפשרויות, לכן סך האפשרויות הינו:‬
‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬
‫!‪k‬‬
‫ניתן לכפול את הביטוי הנ"ל‬
‫!‪n‬‬
‫!)‪. k!(n−k‬‬

‫!)‪(n−k‬‬
‫ב־ !)‪(n−k‬‬

‫)כי זה שווה אחד( ונקבל:‬

‫סימון:‬
‫!‪n‬‬
‫!)‪k! (n − k‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫ומכנים את זה "‪ n‬מעל ‪."k‬‬
‫במקרים הבאים: 0 < ‪ k‬או ‪ k > n‬או 0 < ‪ n‬אזי נאמר‬
‫ש־0 = ‪. n‬‬
‫‪k‬‬
‫אחד השימושים של הסעיף הזה הוא שהוא מאפשר לנו לדעת,‬
‫עבור קבוצה עם עוצמה ‪ ,n‬כמה תת־קבוצות בגודל ‪ k‬קיימות‬
‫בקבוצת החזקה שלה.‬
‫21‬
‫4‬

‫)למשל: אם 21 = |‪ ,|A‬כלומר ב־‪ A‬יש 21 איברים, אזי‬
‫יתן לנו כמה תת־קבוצות בגודל 4 יש בקבוצת החזקה של ‪A‬‬
‫]ב־)‪.([P (A‬‬

‫3.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬
‫בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬
‫במקרה כזה נקבל את המספר הרב ביותר של הקבוצות מהסיבה‬
‫שגם ישנה אפשרות לחזרה וגם ישנה חישבות לסדר, לכן גם‬
‫יכולים להופיע לנו קבוצות עם חזרה, וגם אם הסדר שונה אזי‬
‫מדובר בקובוצות שונות.‬
‫במקרה כזה מספר האפשרויות הינו: ‪. nk‬‬

‫1−‪n‬‬
‫מדוע?‬
‫בשביל להבין את הרעיון כאן, אפשר להסתכל על דוגמא ספציפית‬
‫ומכך להבין את הרעיון שעומד מאחורי הנוסחא:‬
‫נניח ואנחנו רוצים לחשב כמה כדורים )‪ (k‬ניתן להכניס ל־‪n‬‬
‫תאים.‬
‫אזי הדבר ייראה כך:‬
‫אם למשל אנחנו רוצים להכניס שישה כדורים לשלושה תאים ישנן‬
‫מספר אפשרויות, נקח רק אחת שתמחיש את הרעיון:‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫• • •‬
‫3 2 1‬
‫נניח שיש תולעת שנכנסת לתוך התאים ומשדרת את מה שהיא‬
‫רואה אלינו:‬
‫ד=דופן‬
‫מ=מחיצה‬
‫כ=כדור‬
‫אזי בדוגמא שלנו מה שהיא תשדר הוא:‬
‫דככמכמכככד. ניתן לשים לב שלא משנה איך נסדר את הכדורים‬
‫בתאים בכל סידור תמיד תהיה ד' אחת בהתחלה וד' אחת בסוף,‬
‫לכן ניתן להשמיט אותן...‬
‫סה"כ, מה שנקבל הוא: ככמכמכככ.‬
‫ניתן לשים לב שכמות ה־מ־ים היא כמו כמות התאים פחות אחד‬
‫)1 − ‪ (n‬ו־מספר ה־כ־ים הוא בדיוק כמו מספר הכדורים )‪.(k‬‬
‫סה"כ קיבלנו סדרה בעלת )‪ n + k − 1 (= n − 1 + k‬איברים.‬
‫כעת בשביל שיהיה פתרון תקין כל מה שעלינו לבחור הוא היכן‬
‫נמקם את ה־מ־ים )סה"כ 1 − ‪ n‬איברים( והנותרים יהיה כ־ים.‬
‫אזי צריך לבחור תת־קבוצה בגודל 1 − ‪ n‬מתוך קבוצה בגודל‬
‫1−‪) n+k‬הסבר: אותה תת־הקבוצה שנבחר תסמל את המקומות‬
‫שבהם נשים את המ־ים, וסה"כ יש לנו 1 − ‪ n‬כאלה(.‬
‫לכן, מה שנקבל הוא:‬
‫1−‪n+k‬‬
‫1−‪n‬‬
‫באותו אופן היינו יכולים לבחור גם היכן לשים את ה־כ־ים ואז‬
‫מה שהיינו מקבלים היה:‬
‫1−‪n+k‬‬
‫‪k‬‬

‫31‬

‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות(‬

‫1.31 זהות קומבינטורים של סכום תת־הקבוצה של‬
‫קבוצה עם ‪ n‬איברים‬
‫‪= 2n‬‬

‫6‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫0=‪k‬‬
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫‪n‬‬
‫0‬

‫1.1.41‬

‫הערה: לכל ‪ 0 ≤ n‬מתקיים: 1 =‬
‫‪. n =n‬‬
‫1‬

‫2.31‬

‫, וגם ־ לכל ‪ 1 ≤ n‬מתקיים:‬

‫טענה סימטרית ביחס ל־‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫‪n‬‬
‫‪n−k‬‬

‫3.31‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫זהות פסקל‬

‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬

‫1−‪n‬‬
‫1−‪n‬‬
‫+‬
‫1−‪k‬‬
‫‪k‬‬

‫בחירה של ספרה אחת שתופיע ב־‪ m‬מקומות‬

‫נניח שיש לנו מספר עם 01 ספרות, ואנחנו רוצים לבחור ספרה‬
‫אחת שתופיע רק ב־4 מקומות מתוך ה־01.‬
‫אזי, ניתן לנסח את הבעיה הזאת בצורה הבאה:‬
‫בגלל עקרון שובך היונים אנחנו יודעים שקיימת התאמה חח"ע ועל‬
‫בין מיקום הספרות במספר לבין הקבוצה:‬
‫}01 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{, כעת, נצטרך לבחור תת־קבוצה‬
‫בגדול 4 )למשל: }9 ,6 ,5 ,1{( ואיברי הקבוצה יסמנו היכן אנחנו‬
‫שמים את אותה הספרה )במקרה שלנו, אותה ספרה תמוקם‬
‫01‬
‫במקום הראשון, החמישי, השישי והתשיעי(, סה"כ יש לנו 01· 4‬
‫אפשרויות )ה "01·" הוא בגלל שיש לנו 01 ספרות שניתן לבחור,‬
‫שזה בדיוק 01 ־ כלומר, לבחור תת־קבוצה בגודל 1 מתוך 01‬
‫1‬
‫)שתייצג את הספרה((.‬

‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬

‫=‬

‫1.41‬

‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות‬

‫=‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫51‬

‫עקרון ההכלה וההדחה‬

‫)בגלל שנתעסק בזה יותר בסמסטר הבא, אני לא אדבר על‬
‫העיקרון הזה בהרחבה, אלא רק אציג אותו(‬

‫4.31‬

‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬
‫1.51‬

‫| 2‪|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A‬‬

‫0‬
‫0‬

‫2.51‬

‫1‬
‫0‬

‫1‬
‫1‬
‫2‬
‫2‬

‫עבור 2 = ‪n‬‬

‫2‬
‫1‬

‫עבור 3 = ‪n‬‬

‫2‬
‫0‬

‫‪‬‬
‫3‬
‫2‬

‫3‬
‫3‬

‫3‬
‫0‬

‫3‬
‫1‬

‫‪‬‬

‫| 3‪|Ai ∩ Aj |+|A1 ∩ A2 ∩ A‬‬
‫3<‪1≤i<j‬‬

‫1‬
‫1‬
‫1‬
‫1‬
‫1‬

‫5.31‬

‫3‬
‫4‬

‫3.51‬

‫1‬
‫4‬

‫1‬

‫תהיינה ‪ A1 , . . . , An‬קבוצות סופיות, אזי:‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪|Ai1 ∩ Ai2 |‬‬

‫יהיו ‪ (x, y = 0) x, y ∈ R‬ו־ ‪.1 ≤ n ∈ N‬‬
‫אזי מתקיים:‬

‫41‬

‫1=‪i‬‬

‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי‬

‫משפט הבינום של ניוטון‬

‫‪n k n−k‬‬
‫‪x ·y‬‬
‫‪k‬‬

‫1=‪i‬‬

‫1‬
‫3‬

‫6‬

‫= ‪Ai‬‬

‫הערה: ניתן להוריד את הסוגריים. הן רק בשביל לעשות סדר‬
‫ושיהיה יותר ברור על מה סימן המינוס.‬

‫1‬
‫2‬

‫3‬

‫‪|Ai |−‬‬

‫3‬

‫‪|Ai | − ‬‬
‫‪1≤i1 <i2 ≤n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫= ‪Ai‬‬
‫1=‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬
‫‪n‬‬

‫= )‪(x + y‬‬

‫‪‬‬

‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 |‬‬

‫1=‪i‬‬

‫‪+‬‬
‫‪1≤i1 <i2 <i3 ≤n‬‬

‫0=‪k‬‬

‫‪‬‬

‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות‬

‫בחלק הזה ינתנו כל מיני דוגמאות לבעיות קומבינטוריות ופתרונן.‬
‫היות וחלק מההבנה בפתרון בעיות קומבינטוריות באה מהבנה‬
‫של דגמאות...‬
‫הערה: בכל הדוגמאות ידובר על ספרות עשרוניות.‬
‫7‬

‫‪‬‬

‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ Ai4 |‬‬

‫‪−‬‬
‫‪1≤i1 <i2 <i3 <i4 ≤n‬‬

‫| ‪|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An‬‬

‫1−‪n‬‬

‫)1−( · · · ±‬

‫מכיוון שיש לנו רק ‪n‬־יה אחת, כלומר, יש לנו‬
‫לבסוף אין לנו‬
‫רק אפשרות סידור אחת....‬
‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬

‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬

‫‪ III‬אינדוקציה‬

‫תוכן עניינים‬

‫4‬

‫8‬

‫‪I‬‬

‫לוגיקה‬
‫1‬

‫1‬

‫הגדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬
‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫4‬

‫9‬

‫משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬
‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫4‬

‫1‬

‫1.1‬

‫חוקי דה־מורגן . . . . . . . . . . . .‬

‫1‬

‫2.1‬

‫הוכחה מתמטית . . . . . . . . . . . .‬

‫1‬

‫3.1‬

‫קבוצות שלמות של קשרים . . . . . .‬

‫1‬

‫4.1‬

‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪. . . . . CN F‬‬

‫‪ IV‬קומבינטוריקה‬
‫01‬

‫4‬

‫הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫5‬

‫1.4.1‬

‫פסוק ‪. . . . . . . . DN F‬‬

‫1‬

‫2.01‬

‫עקרון שובך היונים . . . . . . . . . .‬

‫5‬

‫2.4.1‬
‫2‬

‫1‬

‫1.01‬

‫עוצמה של קבוצה . . . . . . . . . . .‬

‫5‬

‫פסוק ‪. . . . . . . . CN F‬‬

‫1‬

‫טבלאות של קשרים לוגיים . . . . . . . . . . . .‬

‫1‬

‫11‬

‫קומבינטוריקה . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫5‬

‫2.11‬

‫‪ II‬תורת הקבוצות‬

‫2‬

‫3‬

‫הגדרות בסיסיות . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫4‬

‫21‬

‫הכללות )של טענות 1 ו־3( . . . . . . .‬

‫5‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪. . . . . . . . . . n‬‬

‫5‬

‫כמה מושגים לפני הצגת‬
‫המקרים ־ איברים שונים‬
‫וחשיבות לסדר: . . . . . . .‬

‫5‬

‫1.0.21‬

‫2‬

‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת( . . . . . .‬

‫1.11‬

‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות( . . . .‬

‫5‬

‫2‬

‫1.4‬
‫2.4‬
‫5‬

‫דה מורגן )קבוצות( . . . . . . . . . .‬

‫2‬

‫המרה לפסוקים לוגיים . . . . . . . .‬

‫2‬

‫יחסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬
‫1.5‬

‫סוגי יחסים . . . . . . . . . . . . . .‬
‫רפלקסיבי . . . . . . . . . .‬

‫3.1.5‬

‫סימטרי . . . . . . . . . . .‬

‫4.1.5‬

‫אנטי־סימטרי . . . . . . . .‬

‫5.1.5‬

‫יחס שקילות . . . . . . . . . . . . . .‬
‫1.2.5‬

‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬

‫2.2.5‬

‫4.21‬

‫מחלקת שקילות . . . . . . .‬
‫חלוקה של קבוצה . . . . . .‬

‫3‬

‫4.2.5‬

‫המשפט המרכזי של יחסי‬
‫השקילות . . . . . . . . . .‬

‫3‬

‫5.2.5‬

‫יחס מושרה . . . . . . . . .‬

‫3‬

‫פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫3‬

‫31‬

‫3‬

‫3.2.5‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬
‫קבוצה בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬

‫6‬

‫פונקציות מסוימות . . . . . . . . . .‬
‫פונקצית הזהות . . . . . . .‬

‫2.1.6‬

‫2.31‬

‫3.1.6‬

‫פונקציה חד־חד־ערכית . . .‬

‫4.1.6‬

‫פונקציה על . . . . . . . . .‬

‫3‬

‫5.1.6‬

‫פונקציות‬
‫של‬
‫הרכבה‬
‫ופונקציות הפיכות . . . . . .‬

‫4‬

‫יחס סדר חלקי . . . . . . . . . . . . . . . . .‬

‫טענה סימטרית ביחס ל־‬

‫. . . . .‬

‫7‬

‫3.31‬

‫זהות פסקל . . . . . . . . . . . . . .‬

‫7‬

‫4.31‬

‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬

‫7‬

‫5.31‬
‫41‬

‫6‬

‫משפט הבינום של ניוטון . . . . . . . .‬

‫7‬

‫‪n‬‬
‫‪k‬‬

‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות . . . . .‬
‫1.41‬

‫3‬
‫3‬

‫6‬

‫זהות קומבינטורים של סכום תת־‬
‫הקבוצה של קבוצה עם ‪ n‬איברים . . .‬

‫3‬

‫פונקציה מציינת של קבוצה .‬

‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות( . . . . . . .‬
‫1.31‬

‫3‬

‫1.1.6‬

‫7‬

‫6‬

‫3‬
‫3‬

‫1.6‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬
‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬

‫3‬

‫טרנזיטיבי . . . . . . . . . .‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬
‫קבוצה עם ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬

‫6‬

‫3.21‬

‫3‬

‫6‬

‫2‬
‫2‬

‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬
‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬

‫2.21‬

‫2‬

‫אנטי־רפלקסיבי . . . . . . .‬

‫חשיבות לסדר . .‬

‫5‬

‫1.21‬

‫2‬

‫2.1.5‬

‫6‬

‫2.1.0.21‬

‫2‬

‫1.1.5‬

‫2.5‬

‫איברים‬
‫1.1.0.21‬
‫שונים/חזרות . .‬

‫5‬

‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות .‬

‫4‬

‫1.1.41‬
‫51‬

‫7‬
‫7‬

‫בחירה של ספרה אחת‬
‫שתופיע ב־‪ m‬מקומות . . . .‬

‫7‬

‫עקרון ההכלה וההדחה . . . . . . . . . . . . .‬

‫7‬

‫2.51‬

‫1.7‬

‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬

‫2.7‬

‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי . . . . .‬

‫3.7‬

‫קבוצה סדורה היטב . . . . . . . . . .‬

‫4‬

‫4.7‬

‫משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה‬
‫חלקית המקיימת את תכונת המינימליות‬

‫4‬

‫עבור 3 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬

‫7‬

‫3.51‬

‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי . .‬

‫7‬

‫1.51‬

‫4‬
‫4‬

‫עבור 2 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬

‫7‬

‫8‬

‫הסיכום לקוח מהאתר ־‬
‫‪http: // www. letach. net‬‬

Mais conteúdo relacionado

Destaque

ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4
ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4 ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4
ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4 Igor Kleiner
 
ראיון הייטק פגישה 3
ראיון הייטק פגישה 3ראיון הייטק פגישה 3
ראיון הייטק פגישה 3Igor Kleiner
 
Programmer interview exposed - lection 5 temp version
Programmer interview exposed - lection 5 temp versionProgrammer interview exposed - lection 5 temp version
Programmer interview exposed - lection 5 temp versionIgor Kleiner
 
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטק
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטקprogrammer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטק
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטקIgor Kleiner
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3מורן אלקובי
 
מצגת בלוגיקה למדעי המחשב
מצגת בלוגיקה למדעי המחשבמצגת בלוגיקה למדעי המחשב
מצגת בלוגיקה למדעי המחשבמורן אלקובי
 
סיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמיםסיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמיםcsnotes
 
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבסיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבcsnotes
 
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגברייםסיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגברייםcsnotes
 
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפיםסיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפיםcsnotes
 
סיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילורסיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילורcsnotes
 
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשבסיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשבcsnotes
 
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) csnotes
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותcsnotes
 
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
סיכום קצר של הקורס במבני נתוניםסיכום קצר של הקורס במבני נתונים
סיכום קצר של הקורס במבני נתוניםcsnotes
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3מורן אלקובי
 
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'csnotes
 
Динамическое программирование - курс лекций.1
Динамическое программирование - курс лекций.1Динамическое программирование - курс лекций.1
Динамическое программирование - курс лекций.1Igor Kleiner
 
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
נספח נוסחאות אלגברה לינאריתנספח נוסחאות אלגברה לינארית
נספח נוסחאות אלגברה לינאריתcsnotes
 

Destaque (20)

ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4
ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4 ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4
ראיון הייטק פגישה 4 - programming interview lesson 4
 
ראיון הייטק פגישה 3
ראיון הייטק פגישה 3ראיון הייטק פגישה 3
ראיון הייטק פגישה 3
 
Programmer interview exposed - lection 5 temp version
Programmer interview exposed - lection 5 temp versionProgrammer interview exposed - lection 5 temp version
Programmer interview exposed - lection 5 temp version
 
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטק
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטקprogrammer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטק
programmer interview exposed lesson 2 - ראיון בהייטק
 
טורי חזקה
טורי חזקהטורי חזקה
טורי חזקה
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
 
מצגת בלוגיקה למדעי המחשב
מצגת בלוגיקה למדעי המחשבמצגת בלוגיקה למדעי המחשב
מצגת בלוגיקה למדעי המחשב
 
סיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמיםסיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמים
 
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבסיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
 
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגברייםסיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
 
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפיםסיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
 
סיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילורסיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילור
 
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשבסיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
 
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
 
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
סיכום קצר של הקורס במבני נתוניםסיכום קצר של הקורס במבני נתונים
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
 
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
 
Динамическое программирование - курс лекций.1
Динамическое программирование - курс лекций.1Динамическое программирование - курс лекций.1
Динамическое программирование - курс лекций.1
 
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
נספח נוסחאות אלגברה לינאריתנספח נוסחאות אלגברה לינארית
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
 

Mais de csnotes

סיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקהcsnotes
 
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהcsnotes
 
סיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריותcsnotes
 
סיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישוביםcsnotes
 
סיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידעcsnotes
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתcsnotes
 
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסוןתזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסוןcsnotes
 
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתנספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתcsnotes
 
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביותסיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביותcsnotes
 
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםcsnotes
 
סיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסיםסיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסיםcsnotes
 
סיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקהסיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקהcsnotes
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותcsnotes
 
מבני נתונים
מבני נתוניםמבני נתונים
מבני נתוניםcsnotes
 
Calculus1.pdf
Calculus1.pdfCalculus1.pdf
Calculus1.pdfcsnotes
 
ModProg.pdf
ModProg.pdfModProg.pdf
ModProg.pdfcsnotes
 
סיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהcsnotes
 
סיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישוביםסיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישוביםcsnotes
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתcsnotes
 
סיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותcsnotes
 

Mais de csnotes (20)

סיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקה
 
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
 
סיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריות
 
סיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישובים
 
סיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידע
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
 
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסוןתזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
 
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתנספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
 
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביותסיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
 
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
 
סיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסיםסיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסים
 
סיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקהסיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקה
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
 
מבני נתונים
מבני נתוניםמבני נתונים
מבני נתונים
 
Calculus1.pdf
Calculus1.pdfCalculus1.pdf
Calculus1.pdf
 
ModProg.pdf
ModProg.pdfModProg.pdf
ModProg.pdf
 
סיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנה
 
סיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישוביםסיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישובים
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
 
סיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביות
 

סיכום של הקורס מתמטיקה דיסקרטית

  • 1. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ תשע"ג‬ ‫־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪ P‬־ עבור כל שני מספרים אי־זוגיים.‬ ‫‪ Q‬־ ההפרש שלהם הוא זוגי.‬ ‫איך מוכיחים את המשפט?‬ ‫1. ישירות ־ מראים ש־‪ .P → Q‬מניחים ש־ ‪ P‬נכון ומראים‬ ‫שגם ‪ Q‬נכון.‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫2. ‪ Contra P osotive‬־ מראים ש־ ‪.Q → P‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫3. בדרך השלילה ־ מראים שהפסוק ‪ P ∧ Q → P‬הוא נכון‬ ‫)ואז בסוף מגיעים לסתירה... ]כדאי לנסות על משפט פשוט‬ ‫כדי לראות את זה[(.‬ ‫3.1‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫הגדרה: קבוצה של קשרים היא שלמה אם לכל פסוק ‪ A‬קיים‬ ‫פסוק ‪ B‬אשר מופיעים בו רק קשרים מהקבוצה השלמה ומתקיים‬ ‫־ ‪.A ≡ B‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫1‬ ‫קבוצות שלמות של קשרים‬ ‫הגדרות‬ ‫4.1‬ ‫ביטויים בולאנים ־ ביטויים שיכולים לקבל רק שני ערכים ־ אמת‬ ‫)‪ (T‬או שקר)‪) .(F‬אך לא שניהם!!!(.‬ ‫ניתן לכנות ביטוי בולאני בתור פסוק.‬ ‫תחשיב הפסוקים ־ עוסק בדרך בה ניתן לבנות פסוקים חדשים‬ ‫)מתוך פסוקים אחרים( באמצעות קשרים לוגיים )או, גם...(.‬ ‫תחשיב היחסים ־ מטפל בפסוקים יותר מורכבים אשר כוללים‬ ‫גם את המילים "לכל" או "קיים".‬ ‫משתנה פסוקי ) פסוק אטומי(־ ‪) P,Q,R,S‬או כל אות לטינית‬ ‫אחרת ]אבל גדולה[(.‬ ‫קבוע פסוקי ־ ‪ T‬־ אמת, ‪ F‬־ שקר. גם קבוע פסוקי נחשב‬ ‫ל־פסוק אטומי.‬ ‫השמה ־ פונקציה ‪ f‬הקובעת לכל משתנה פסוקי ערך ‪ T‬או ‪.F‬‬ ‫סימון ערך הפסוק ־ )‪ f (A‬־ ערך הפסוק ‪ A‬לפי ההשמה ‪.f‬‬ ‫אם ‪ f (A) = T‬אזי אומרים כי השמה ‪ f‬מספקת את פסוק ‪.A‬‬ ‫השמה מספקת ־ היא השמה שערך האמת שלה הוא ‪.T‬‬ ‫יהיו ‪ A, B‬שני פסוקים. אם )‪ f (A) = f (B‬עבור כל השמה ‪,f‬‬ ‫אזי אומרים ש־ ‪ A‬ו־‪ B‬שקולים לוגית ומסמנים: ‪. A ≡ B‬‬ ‫טאוטולוגיה ־ פסוק ‪ A‬הוא טאוטולוגיה אם ערך האמת שלו הוא‬ ‫‪ T‬לכל השמה.‬ ‫סתירה ־ פסוק ‪ A‬הוא סתירה אם ערך האמת שלו הוא ‪ F‬לכל‬ ‫השמה.‬ ‫1.1‬ ‫חוקי דה־מורגן‬ ‫1.4.1‬ ‫פסוק ‪DN F‬‬ ‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ DN F‬אם הוא מהצורה‬ ‫הבאה:‬ ‫‪ D1 ∨ D2 ∨ · · · ∨ Dn‬כשאר כל ‪ Di‬הוא מהצורה ־ = ‪Di‬‬ ‫‪ ,Ai1 ∧ Ai2 ∧ · · · ∧ Aik‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא או משתנה או שלילתו.‬ ‫פסוק ‪CN F‬‬ ‫2.4.1‬ ‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ CN F‬אם הוא מהצורה‬ ‫הבאה:‬ ‫‪ C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cn‬כאשר כל ‪ Ci‬הוא מהצורה ־ ∨ ‪A1i ∨ A2i‬‬ ‫‪ ,· · · ∨ Aki‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא משתנה פסוקי או שלילתו‬ ‫2‬ ‫טבלאות של קשרים לוגיים‬ ‫הקשר ־ ∨ ־ "או"‬ ‫‪Q P∨Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ∧ ־ "וגם"‬ ‫‪Q P∧Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ → ־ "גרירה"‬ ‫‪P Q P→Q‬‬ ‫1. ‪.P ∧ Q ≡ P ∨ Q‬‬ ‫2. ‪.P ∨ Q ≡ P ∧ Q‬‬ ‫2.1‬ ‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪CN F‬‬ ‫הוכחה מתמטית‬ ‫משפט מתמטי הוא משפט מהצורה: ‪ .P → Q‬למשל, ניקח את‬ ‫המשפט הבא: ההפרש בין כל שני מספרים )שלמים( אי־זוגיים‬ ‫הוא זוגי. אזי:‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ⊕ ־ "‪XOR‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P⊕Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫"‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ↔ ־ "גרירה" )אם"ם(‬ ‫‪P Q‬‬ ‫‪P↔Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫¯‬ ‫ויש גם את קשר השלילה: עבור פסוק ‪ P ,P‬הינו הערך ההפוך‬ ‫שלו )אם היה ‪ T‬נהפך להיות ‪ F‬ואם היה ‪ F‬נהפך להיות ‪.(T‬‬
  • 2. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫הפרש בין קבוצות‬ ‫})‪AB = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬ ‫/‬ ‫קסור‬ ‫})‪A ⊕ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B‬‬ ‫הקבוצה המשלימה‬ ‫¯‬ ‫)‪A = {x ∈ Ω; (x ∈ A)} = x ∈ Ω; (x ∈ A‬‬ ‫/‬ ‫1.4‬ ‫דה מורגן )קבוצות(‬ ‫¯ ¯‬ ‫¯ ¯‬ ‫‪.A ∪ B = A ∩ B ,A ∩ B = A ∪ B‬‬ ‫2.4‬ ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫ניתן להמיר פעולות על קבוצה לפוסקים לוגיים, למשל:‬ ‫)‪ ,P = (x ∈ A) , Q = (x ∈ B‬לכן:‬ ‫¯‬ ‫למשל: ‪ ,A ∩ B = P ∧ Q‬או: ‪.AB = P ∧ Q‬‬ ‫תורת הקבוצות‬ ‫3‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫5‬ ‫הגדרה:‬ ‫קבוצה היא אוסף של איברים )האמת היא שאי אפשר‬ ‫ממש להגדיר קבוצה, אבל אנחנו נותנים כאן מעין הגדרה‬ ‫אינטואיטיבית...(‬ ‫}♣ ,‪A = {♥, 1, 2, ℵ‬‬ ‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.1 ∈ A‬‬ ‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬לא נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.4 ∈ A‬‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫הצגת קבוצה באמצעות תכונה:‬ ‫}‪A = {x; x > 12, x ∈ N‬‬ ‫הקבוצה הריקה: }{ = ∅.‬ ‫‪ A ⊆ B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬כלומר: כל איבר ב־‪ A‬נמצא ב־‪.B‬‬ ‫)‪.(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B‬‬ ‫‪ A B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬אבל לא שווה לה, כלומר קיים לפחות‬ ‫איבר אחד ב־‪ B‬שאינו נמצא ב־‪.A‬‬ ‫‪ A = B‬־ שוויון בין קבוצות: ‪ A ⊆ B‬וגם: ‪ .B ⊆ A‬או:‬ ‫)‪.(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B‬‬ ‫‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות זרות אם לא קיים בניהן אף איבר משותף, למשל:‬ ‫} ,1{ ו־}‪.{ , b‬‬ ‫‪ Ω‬־ הקבוצה האוניברסלית.‬ ‫}‪) A = {x ∈ Ω; x ∈ A‬צורת כתיבה נוספת של קבוצה ‪.(A‬‬ ‫סימון: אומרים ש־‪ a) a | b‬מחלק את ‪ (b‬אם קיים ‪ k ∈ Z‬כך‬ ‫שמתקיים ‪.a · k = b‬‬ ‫ומנגד ־ ‪ c) c d‬אינו מחלק את ‪ .(d‬למשל: 6 | 2 כי 6 = 3 · 2,‬ ‫אבל: 2 6.‬ ‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת(‬ ‫יחסים‬ ‫זוג סדור:‬ ‫יהיו ‪ A, B‬קבוצות, כאשר ‪ ,a ∈ A, b ∈ B‬אזי לצירוף )‪(a, b‬‬ ‫קוראים זוג סדור.‬ ‫חשוב לזכור ־ )‪.(a, b) = (b, a‬‬ ‫‪R⊆A×B‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪ B‬אשר מורכב מזוגות‬ ‫מהצורה )‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬ ‫‪ ∅ ⊆ A × B‬־ היחס הריק ־ יחס בלי שום זוג סדור.‬ ‫‪ A×B ⊆ A×B‬־ היחס המלא ־ כל הזוגות הסדורים האפשריים‬ ‫)‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬ ‫הגדרה:‬ ‫‪ R ⊆ A × A‬יקרא יחס על הקבוצה ‪.A‬‬ ‫סימון:‬ ‫עבור ‪ a, b ∈ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה ‪ .A‬אם הזוג הסדור )‪(a, b‬‬ ‫נמצא ב־ ‪ R‬ניתן לסמן זאת בשתי דרכים:‬ ‫‪ (a, b) ∈ R‬או ‪ ,aRb‬וכאשר רוצים לשלול: ‪ (a, a) ∈ R‬או  ‪.a‬‬ ‫‪Ra‬‬ ‫/‬ ‫1.5‬ ‫סוגי יחסים‬ ‫עבור קבוצה ‪ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה:‬ ‫1.1.5‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫‪ R‬הוא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪) (a, a) ∈ R‬או:‬ ‫‪.(aRa‬‬ ‫2.1.5‬ ‫4‬ ‫המרה לפסוקים לוגיים‬ ‫אנטי־רפלקסיבי‬ ‫‪ R‬הוא אנטי רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪(a, a) ∈ R‬‬ ‫/‬ ‫)או:  ‪.( a‬‬ ‫‪Ra‬‬ ‫איחוד‬ ‫})‪A ∪ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B‬‬ ‫חיתוך‬ ‫})‪A ∩ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬ ‫3.1.5‬ ‫סימטרי‬ ‫‪ R‬הוא יחס סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬מתקיים: ‪.aRb ⇒ bRa‬‬ ‫2‬
  • 3. ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫4.1.5‬ ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫5.2.5‬ ‫אנטי־סימטרי‬ ‫יחס מושרה‬ ‫הגדרה: תהא ‪ S‬חלוקה של קבוצה ‪ .A‬נגדיר יחס ‪ Rs‬על הקבוצה‬ ‫‪ A‬באופן הבא: ‪ (x, y) ∈ Rs‬אם)ם( ‪ x‬ו־‪ y‬שייכים לאותה קבוצה‬ ‫ב־‪ .S‬ליחס ‪Rs‬נקרא היחס המושרה מהחלוקה ‪.S‬‬ ‫‪ R‬הוא יחס אנטי־סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬אם‬ ‫‪.aRb ∧ bRa ⇒ a = b‬‬ ‫משפט: ‪Rs‬הוא יחס שקילות.‬ ‫5.1.5‬ ‫טרנזיטיבי‬ ‫‪ R‬הוא יחס טרנזיטיבי אם לכל ‪ a, b, c ∈ A‬מתקיים:‬ ‫6‬ ‫פונקציות‬ ‫‪aRb ∧ bRc ⇒ aRc‬‬ ‫תזכורת: ‪ R ⊆ A × B‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪.B‬‬ ‫2.5‬ ‫יחס שקילות‬ ‫תהי ∅ = ‪ A‬קבוצה ויהי ‪ R‬יחס על הקבוצה ‪ .A‬אם ‪ R‬הוא‬ ‫רפלקסיבי, סימטרי, וטרנזיטיבי אזי ‪ R‬הוא יחס שקילות.‬ ‫1.2.5‬ ‫הגדרה: ‪ f ⊆ A × B‬תקרא פונקציה מ־‪ A‬ל־‪ B‬אם לכל ‪a ∈ A‬‬ ‫קיים ‪ b ∈ B‬יחיד כך ש־ ‪.(a, b) ∈ f‬‬ ‫אם ‪ f‬היא פונקציה ו־ ‪ (a, b) ∈ f‬אזי מסמנים ‪ ,f (a) = b‬וגם:‬ ‫‪.f : A → B‬‬ ‫לקבוצה ‪ A‬קוראים התחום של הפונקציה ‪.f‬‬ ‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬ ‫הטווח של ‪ f‬יסומן: ) ‪ Range (f‬או ) ‪ Im (f‬והוא מוגדר כך:‬ ‫})‪Im (f ) = Range (f ) = {b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a‬‬ ‫הגדרה: יהא 2 ≥ ‪ ,m ∈ N ,m‬נגדיר יחס ‪ Rm ⊆ Z × Z‬באופן‬ ‫הבא:‬ ‫)‪ ,∃a ∈ A, b = f (a‬פירושו: קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־)‪.b = f (a‬‬ ‫})‪.Rm = {(x, y) ; x, y ∈ Z, m | (x − y‬‬ ‫לפעמים מסמנים את הטווח ב־)‪.f (A‬‬ ‫משפט: לכל 2 ≥ ‪ ,m‬היחס ‪Rm‬הוא יחס שקילות.‬ ‫סימון מקובל: אם ‪ (x, y) ∈ Rm‬אזי מסמנים: ‪.x ≡m y‬‬ ‫1.6‬ ‫1.1.6‬ ‫למשל: 6 4≡ 2.‬ ‫2.2.5‬ ‫מחלקת שקילות‬ ‫פונקציות מסוימות‬ ‫פונקצית הזהות‬ ‫תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה כלשהי.‬ ‫הגדרה: יהא ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,A‬ו־‪ .x ∈ A‬מחלקת‬ ‫השקילות של ‪ x‬תחת היחס ‪ R‬תסומן: ‪ ,[x]R‬ותוגדר באופן הבא:‬ ‫הפונקציה ‪ IA : A → A‬המוגדרת ע"י ‪ IA (x) = x‬לכל ‪x ∈ A‬‬ ‫נקראת: פונקצית הזהות על הקבוצה ‪.A‬‬ ‫}‪.[x]R = {y ∈ A; (x, y) ∈ R‬‬ ‫חשוב לזכור ־ מחלקת שקילות היא לא קבוצה של זוגות סדורים,‬ ‫אלא של איברים מהקבוצה המקורית שנמצאים באותה מחלקת‬ ‫שקילות. מה שמעניין אותנו אלו האיברים שמקיימים את היחס‬ ‫עם ‪ ,x‬כלומר, כל ה־‪y‬־ים שהיחס שלהם עם ‪ x‬הוא יחס שקילות.‬ ‫למשל, ביחס 4≡ יש לנו ארבע מחלקות שקילות:‬ ‫}. . . ,01 ,6 ,2 ,2− , . . .{ = })‪[2]≡4 = {y ∈ Z; 4 | (2 − y‬‬ ‫וכמו־כן: 4≡]3[ , 4≡]1[ , 4≡]0[ )את 2 הבאתי באופן מלא רק‬ ‫כדוגמא(.‬ ‫4≡]6−[ = 4≡]01[ = 4≡]2[.‬ ‫3.2.5‬ ‫2.1.6‬ ‫‪1 x∈X‬‬ ‫‪0 otherwise‬‬ ‫= )‪∀x ∈ A; fX (x‬‬ ‫אם שמים לב, זוהי פונקציה שממיינת את כל האיברים ב־‪ A‬למה‬ ‫שב־‪) X‬במקרה הזה היא מחזירה 1( ולמה שלא ב־‪) X‬במקרה‬ ‫הזה היא מחזירה 0(.‬ ‫זוהי פונקציה שיכולה להחזיר רק ־ 0 או 1 )עבור תנאי מסוים(.‬ ‫אם אלו שני ערכים אחרים מ־0 ו־1 אזי זאת פונקציה בולאנית‬ ‫ולא מציינת )כל פונקציה מציינת היא פונקציה בולאנית, אבל לא‬ ‫כל פונקציה בולאנית היא פונקציה מציינת(.‬ ‫חלוקה של קבוצה‬ ‫3.1.6‬ ‫הגדרה: תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה של קבוצות. }... , 2‪S = {S1 , S‬‬ ‫תקרא חלוקה של הקבוצה ‪ A‬אם מתקיימים התנאים הבאים:‬ ‫א. ∅ = ‪ Si‬לכל ‪.i‬‬ ‫ב. ‪Si = A‬‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית‬ ‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא פונקציה חד־חד־ערכית אם‬ ‫מתקיים התנאי הבא: לכל ‪ :s, t ∈ A‬אם )‪ f (s) = f (t‬אזי‬ ‫‪.s = t‬‬ ‫.‬ ‫ג. ∅ = ‪ Si ∩ Sj‬לכל ‪.i = j‬‬ ‫4.2.5‬ ‫פונקציה מציינת של קבוצה‬ ‫4.1.6‬ ‫המשפט המרכזי של יחסי השקילות‬ ‫תהא ∅ = ‪ A‬ו־‪ R ⊆ A × A‬יחס שקילות. קבוצת מחלקות‬ ‫השקילות של ‪ R‬היא חלוקה של ‪.A‬‬ ‫3‬ ‫פונקציה על‬ ‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא על ‪ B‬אם לכל ‪ b ∈ B‬קיים‬ ‫‪ a ∈ A‬כך ש־‪ .f (a) = b‬במילים אחרות: ) ‪.B = Im (f‬‬ ‫√‬ ‫דוגמא: אם הפונקציה שנתונה לנו היא 1 + ‪ f (x) = x‬כאשר:‬ ‫‪ ,f : N → Z‬אזי ניתן לראות שהיא איננה על, מכיוון‬
  • 4. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫שמסתכלים על הטווח )מה שנמצא בריבוע( ורואים שלמשל,‬ ‫‪ Z‬לא קיים ‪ a‬כך ש־‪ ,f (a) = b‬כלומר:‬ ‫עבור 5− = ‪b‬‬ ‫]‪ Im (f ) = B [= Z‬ולכן הפונקציה איננה על.‬ ‫5.1.6‬ ‫תהא )≤ ,‪ (A‬קס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬ ‫)‪ P (a‬טענה לגבי איבר ‪.a ∈ A‬‬ ‫הרכבה של פונקציות ופונקציות הפיכות‬ ‫הגדרה: ‪.h : A → C ,g : B → C ,f : A → B‬‬ ‫הפונקציה ‪ h‬המוגדרת ע"י ))‪ h (x) = g (f (x‬לכל ‪ x ∈ A‬נקראת‬ ‫1‬ ‫ההרכבה של ‪ f‬ו־‪ g‬ומסומנת: ‪.h = g ◦ f‬‬ ‫הגדרה: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אם קיימת ‪g : B → A‬‬ ‫כך שלכל ‪ g (f (a)) = a ,a ∈ A‬ולכל ‪.f (g (b)) = b ,b ∈ B‬‬ ‫הפונקציה ‪ g‬תקרא הפונקציה ההופכית של ‪) .f‬במילים אחרות:‬ ‫‪ g ◦ f = IA‬ו־ ‪.(f ◦ g = IB‬‬ ‫משפט: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אםם היא חח"ע ועל.‬ ‫7‬ ‫1.7‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫1. הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל איבר מינימלי ‪ a‬של ‪.A‬‬ ‫2. לכל ‪ ,a ∈ A‬נכונות הטענה )‪ P (b‬לכל האיברים ‪ b ∈ A‬כך‬ ‫ש־ ‪ ,b = a, b ≤ a‬גוררת את נכונות הטענה )‪.P (a‬‬ ‫אז הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל ‪.a ∈ A‬‬ ‫‪III‬‬ ‫אינדוקציה‬ ‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬ ‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי‬ ‫8 משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬ ‫הטבעיים 2(:‬ ‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬ ‫התנאים הבאים:‬ ‫1. )בסיס האינדוקציה( הטענה ) 0‪ P (n‬נכונה )עבור ‪.(n0 ∈ N‬‬ ‫2. )צעד האינדוקציה( לכל ‪ n0 ≤ n ∈ N‬נכונות הטענה )‪P (m‬‬ ‫לכל ‪ m ∈ N‬המקיים ‪ n0 ≤ m < n‬גוררת את נכונות‬ ‫הטענה )‪.P (n‬‬ ‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪) .n0 ≤ n ∈ N‬הערה: חשוב לסיים‬ ‫כל הוכחה במשפט הזה, כי אחרת בעצם לא אמרנו כלום...(.‬ ‫‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי.‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ aRx‬‬ ‫‪ b ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.b = x ⇐ xRb‬‬ ‫3.7‬ ‫תהא‬ ‫אם מתקיימים שני התנאים הבאים:‬ ‫חלק‬ ‫הגדרה: תהא ‪ A‬קבוצה. ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי אם‬ ‫הוא: רפלקסיבי, אנטי־סימטרי, וטרנזיטיבי.‬ ‫לזוג )‪ (A, R‬קוראים בשם קבוצה סדורה חלקית. )קס"ח(.‬ ‫למשל: )≤ ,‪.(N‬‬ ‫הגדרה: ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אם לכל‬ ‫‪ a, b ∈ A‬מתקיים ‪ aRb‬או ‪ bRa‬אזי ‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬ ‫)הערה: כל יחס סדר מלא הוא גם יחס סדר חלקי, אבל ההפך‬ ‫לא נכון(. ול־)‪ (A, R‬קוראים קבוצה סדורה לינארית.‬ ‫הגדרה: אם  ‪ a‬וגם  ‪ b‬אזי ‪ a‬ו־‪ b‬הם איברים שאינם ניתנים‬ ‫‪Ra‬‬ ‫‪Rb‬‬ ‫להשוואה.‬ ‫אם אין זוג איברים בלתי ניתנים להשוואה אז )‪ (A, R‬היא קבוצה‬ ‫סדורה לינארית ו־‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬ ‫2.7‬ ‫4.7 משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה חלקית‬ ‫המקיימת את תכונת המינימליות‬ ‫הערה: משפט האינדוקציה השלמה הוא מסקנה מהמשפט הקודם‬ ‫העוסק בקס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬ ‫קבוצה סדורה היטב‬ ‫הערה: בחלק הזה נסמן יחס סדר חלקי ב־ ≤ )חשוב לזכור שהוא‬ ‫לא בהכרח יחס סדר מלא למרות הסימן המטעה...(‬ ‫)≤ ,‪ (A‬קבוצה סדורה חלקית.‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≤ x‬‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≥ x‬‬ ‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה היטב אם )≤ ,‪ (A‬היא קס"ח‬ ‫ולכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי אחד בדיוק.‬ ‫משפט: כל קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה לינארית.‬ ‫)ההפך אינו נכון(.‬ ‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת‬ ‫המינימליות אם לכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי )אחד‬ ‫לפחות(. ]וזה בניגוד להגדרה של "קבוצה סדורה היטב" שבה‬ ‫צריך שיהיה רק אחד בדיוק. כאן אפשר גם יותר[.‬ ‫1הסבר יותר מפורט כולל דוגמאות נמצא בסיכום של הקורס "כלים מתמטיים‬ ‫למדעי המחשב" של ד"ר לור ברתל.‬ ‫4‬ ‫9 משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(:‬ ‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬ ‫התנאים הבאים:‬ ‫1. הטענה )0( ‪ P‬נכונה.‬ ‫2. לכל ‪ ,1 ≤ n ,n ∈ N‬נכונות הטענה )1 − ‪ P (n‬גוררת את‬ ‫נכונות הטענה )‪.P (n‬‬ ‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪.n ∈ N‬‬ ‫2בעיקרון, לא צריך לציין זאת, היות ומשפטי האינדוקציה שנלמד מדברים רק‬ ‫על המספרים הטבעיים.‬
  • 5. ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫חלק‬ ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫‪IV‬‬ ‫3. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות, אזי: ‪ A × B‬היא קבוצה‬ ‫סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|A × B| = |A| × |B‬‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫2.11‬ ‫הכללות )של טענות 1 ו־3(‬ ‫1. אם ‪ A1 , A2 , . . . , An‬הן קבוצות זרות בזוגות )כלומר, לכל‬ ‫‪ i = j‬מתקיים: ∅ = ‪ ,(Ai ∩ Aj‬אזי:‬ ‫‪n‬‬ ‫| ‪|Ai‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫2. לכל ‪ B1 , B2 , . . . , Bn‬מתקיים:‬ ‫01‬ ‫‪n‬‬ ‫הקדמה‬ ‫= | ‪|B1 × · · · × Bn‬‬ ‫| ‪|Bi‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫)חלק זה בעיקרון לא נכלל בקומבינטוריקה, אבל שמתי אותו כאן‬ ‫מכיוון שהוא מעין "הקדמה" לקומבינטוריקה(.‬ ‫3. מסקנה שנובעת מן ההכללות: ‪= 2n‬‬ ‫1.01‬ ‫‪n‬‬ ‫}1 ,0{‬ ‫עוצמה של קבוצה‬ ‫)סוף קטע ההכללות...(‬ ‫הגדרה: נגדיר את יחס השיקלות ‪ ≡I‬על קבוצה של קבוצות‬ ‫באופן הבא: ‪ A ≡I B‬אם קיימת ‪ f : A → B‬הפיכה.‬ ‫מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות העוצמה של ‪ A‬ונסמן‬ ‫זאת ע"י: |‪.|A‬‬ ‫משפט: יהא ‪ R ⊆ A × B‬כך שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים:‬ ‫‪ |{b ∈ B, (a, b) ∈ R}| = t‬אזי: |‪|R| = t · |A‬‬ ‫משפט: תהא ‪ ,|A| = n‬אזי:‬ ‫‪n‬‬ ‫2 = |)‪.|P (A‬‬ ‫הגדרה: קבוצה ‪ A‬היא סופית אם ∅ = ‪ A‬או אם קיים‬ ‫‪ 0 < n ∈ N‬כך ש־}‪.A ≡I {1, 2, . . . , n‬‬ ‫21‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪n‬‬ ‫אם ∅ = ‪ A‬אז נאמר ש־ 0 = |‪.|A‬‬ ‫בחלק הבא ידבר על איך לפתור בעיה כאשר אנחנו צריכים לבחור‬ ‫‪ k‬איברים מתוך קבוצה בת ‪ n‬איברים עם כל מיני אילוצים שונים.‬ ‫אם }‪ A ≡I {1, 2, . . . , n‬אז נאמר ש־ ‪.|A| = n‬‬ ‫בכל מקרה אחר: ‪ A‬היא קבוצה אינסופית.‬ ‫2.01‬ ‫בכלל הדוגמאות נתייחס לקבוצה הבאה: }5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = ‪A‬‬ ‫אלא אם יאמר אחרת.‬ ‫עקרון שובך היונים‬ ‫לכל ‪ k ∈ N‬לא קיימת פונקציה חח"ע מ־‬ ‫טענה:‬ ‫}1 + ‪ {1, 2, . . . , k‬ל־}‪.{1, 2, . . . , k‬‬ ‫1.0.21 כמה מושגים לפני הצגת המקרים ־ איברים שונים‬ ‫וחשיבות לסדר:‬ ‫זהו עיקרון שובך היונים ]עיקרון ‪.[Dirichlet‬‬ ‫11‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫הערה: בכל הפרק כאן ידובר על קבוצות סופיות אלא אם יוזכר‬ ‫אחרת.‬ ‫1.11‬ ‫1.1.0.21 איברים שונים/חזרות אם מותרות חזרות, כלומר‬ ‫שלא בהכרח מדובר באיברים שונים אזי הכוונה היא שאותו‬ ‫איבר יכול לחזור פעמיים או יותר, למשל, במקרה של 5 = ‪k‬‬ ‫אזי הקבוצות: }3 ,4 ,3 ,5 ,1{ ו־}4 ,2 ,2 ,2 ,1{ מותרות, אבל אם‬ ‫מדובר על ‪ k‬איברים שונים, כלומר, אסור שיהיו חזרות אזי‬ ‫הקבוצות הנ"ל פסולות.‬ ‫כדאי לזכור שבמקרה הזה, אם ‪ k > n‬אזי התשובה היא שיש לנו‬ ‫0 אפשרויות, מכיוון שאם אסורות חזרות ואנחנו צריכים לבחור‬ ‫יותר מ־‪ n‬איברים אזי זה בלתי אפשרי.‬ ‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות(‬ ‫1. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות וזרות )כלומר: ∅ = ‪,(A ∩ B‬‬ ‫אזי: ‪ A ∪ B‬היא קבוצה סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|A ∪ B| = |A| + |B‬‬ ‫2. תהיינה ‪ C‬ו־‪ D‬קבוצות סופיות ו־‪ ,C ⊆ D‬אזי: ‪ DC‬היא‬ ‫קבוצה סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|DC| = |D| − |C‬‬ ‫5‬ ‫2.1.0.21 חשיבות לסדר בחשיבות לסדר הכוונה היא שמיקום‬ ‫האיברים בקבוצה משנה )במידה ויש חשיבות לסדר(, לכן, במקרה‬ ‫כזה וכאשר 3 = ‪:k‬‬ ‫}5 ,1 ,2{ = }5 ,2 ,1{, לעומת זאת, אם אין חשיבות לסדר אזי‬ ‫הקבוצות הנ"ל שוות...‬
  • 6. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫1.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה בת ‪n‬‬ ‫איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫4.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬ ‫בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫ניקח למשל את הקבוצה ‪ ,A‬אזי אם מדובר על ‪ k‬ערכים שונים‬ ‫עם חשיבות לסדר אזי:‬ ‫במקרה כזה ־ . . . = }2 ,1 ,2 ,3{ = }2 ,3 ,1 ,2{ = }3 ,2 ,2 ,1{‬ ‫וכמות האפשרויות היא:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫}1 ,2{ = }2 ,1{ )במקרה של 2 = ‪ .(k‬כמו־כן, לפי ההגדרות לא‬ ‫תתכן קבוצה כמו }3 ,3{ שכן, אסור שיהיו חזרות.‬ ‫במקרה כזה, היות וכל פעם יורדת לנו אפשרות, אזי סך־כל‬ ‫האפשרויות הינו:‬ ‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬ ‫הערה: במקרה ו־ ‪ k = n‬אזי מה שנקבל הוא !‪ ,n‬וזה גם מה‬ ‫שמכונה תמורה.‬ ‫2.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה עם ‪n‬‬ ‫איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫במקרה, כזה, בניגוד לסעיף הקודם, הסדר איננו משנה, כלומר:‬ ‫. . . = }3 ,4 ,1{ = }4 ,1 ,3{ = }4 ,3 ,1{ ־ כלומר, כל הקבוצות‬ ‫הללו נספרות כקבוצה אחת, לכן במקרה כזה יורדות מספר‬ ‫האפשרויות, לכן סך האפשרויות הינו:‬ ‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫ניתן לכפול את הביטוי הנ"ל‬ ‫!‪n‬‬ ‫!)‪. k!(n−k‬‬ ‫!)‪(n−k‬‬ ‫ב־ !)‪(n−k‬‬ ‫)כי זה שווה אחד( ונקבל:‬ ‫סימון:‬ ‫!‪n‬‬ ‫!)‪k! (n − k‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ומכנים את זה "‪ n‬מעל ‪."k‬‬ ‫במקרים הבאים: 0 < ‪ k‬או ‪ k > n‬או 0 < ‪ n‬אזי נאמר‬ ‫ש־0 = ‪. n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אחד השימושים של הסעיף הזה הוא שהוא מאפשר לנו לדעת,‬ ‫עבור קבוצה עם עוצמה ‪ ,n‬כמה תת־קבוצות בגודל ‪ k‬קיימות‬ ‫בקבוצת החזקה שלה.‬ ‫21‬ ‫4‬ ‫)למשל: אם 21 = |‪ ,|A‬כלומר ב־‪ A‬יש 21 איברים, אזי‬ ‫יתן לנו כמה תת־קבוצות בגודל 4 יש בקבוצת החזקה של ‪A‬‬ ‫]ב־)‪.([P (A‬‬ ‫3.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬ ‫בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫במקרה כזה נקבל את המספר הרב ביותר של הקבוצות מהסיבה‬ ‫שגם ישנה אפשרות לחזרה וגם ישנה חישבות לסדר, לכן גם‬ ‫יכולים להופיע לנו קבוצות עם חזרה, וגם אם הסדר שונה אזי‬ ‫מדובר בקובוצות שונות.‬ ‫במקרה כזה מספר האפשרויות הינו: ‪. nk‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫מדוע?‬ ‫בשביל להבין את הרעיון כאן, אפשר להסתכל על דוגמא ספציפית‬ ‫ומכך להבין את הרעיון שעומד מאחורי הנוסחא:‬ ‫נניח ואנחנו רוצים לחשב כמה כדורים )‪ (k‬ניתן להכניס ל־‪n‬‬ ‫תאים.‬ ‫אזי הדבר ייראה כך:‬ ‫אם למשל אנחנו רוצים להכניס שישה כדורים לשלושה תאים ישנן‬ ‫מספר אפשרויות, נקח רק אחת שתמחיש את הרעיון:‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫• • •‬ ‫3 2 1‬ ‫נניח שיש תולעת שנכנסת לתוך התאים ומשדרת את מה שהיא‬ ‫רואה אלינו:‬ ‫ד=דופן‬ ‫מ=מחיצה‬ ‫כ=כדור‬ ‫אזי בדוגמא שלנו מה שהיא תשדר הוא:‬ ‫דככמכמכככד. ניתן לשים לב שלא משנה איך נסדר את הכדורים‬ ‫בתאים בכל סידור תמיד תהיה ד' אחת בהתחלה וד' אחת בסוף,‬ ‫לכן ניתן להשמיט אותן...‬ ‫סה"כ, מה שנקבל הוא: ככמכמכככ.‬ ‫ניתן לשים לב שכמות ה־מ־ים היא כמו כמות התאים פחות אחד‬ ‫)1 − ‪ (n‬ו־מספר ה־כ־ים הוא בדיוק כמו מספר הכדורים )‪.(k‬‬ ‫סה"כ קיבלנו סדרה בעלת )‪ n + k − 1 (= n − 1 + k‬איברים.‬ ‫כעת בשביל שיהיה פתרון תקין כל מה שעלינו לבחור הוא היכן‬ ‫נמקם את ה־מ־ים )סה"כ 1 − ‪ n‬איברים( והנותרים יהיה כ־ים.‬ ‫אזי צריך לבחור תת־קבוצה בגודל 1 − ‪ n‬מתוך קבוצה בגודל‬ ‫1−‪) n+k‬הסבר: אותה תת־הקבוצה שנבחר תסמל את המקומות‬ ‫שבהם נשים את המ־ים, וסה"כ יש לנו 1 − ‪ n‬כאלה(.‬ ‫לכן, מה שנקבל הוא:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫באותו אופן היינו יכולים לבחור גם היכן לשים את ה־כ־ים ואז‬ ‫מה שהיינו מקבלים היה:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫31‬ ‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות(‬ ‫1.31 זהות קומבינטורים של סכום תת־הקבוצה של‬ ‫קבוצה עם ‪ n‬איברים‬ ‫‪= 2n‬‬ ‫6‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫0=‪k‬‬
  • 7. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪n‬‬ ‫0‬ ‫1.1.41‬ ‫הערה: לכל ‪ 0 ≤ n‬מתקיים: 1 =‬ ‫‪. n =n‬‬ ‫1‬ ‫2.31‬ ‫, וגם ־ לכל ‪ 1 ≤ n‬מתקיים:‬ ‫טענה סימטרית ביחס ל־‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫3.31‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫זהות פסקל‬ ‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬ ‫1−‪n‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫+‬ ‫1−‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫בחירה של ספרה אחת שתופיע ב־‪ m‬מקומות‬ ‫נניח שיש לנו מספר עם 01 ספרות, ואנחנו רוצים לבחור ספרה‬ ‫אחת שתופיע רק ב־4 מקומות מתוך ה־01.‬ ‫אזי, ניתן לנסח את הבעיה הזאת בצורה הבאה:‬ ‫בגלל עקרון שובך היונים אנחנו יודעים שקיימת התאמה חח"ע ועל‬ ‫בין מיקום הספרות במספר לבין הקבוצה:‬ ‫}01 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{, כעת, נצטרך לבחור תת־קבוצה‬ ‫בגדול 4 )למשל: }9 ,6 ,5 ,1{( ואיברי הקבוצה יסמנו היכן אנחנו‬ ‫שמים את אותה הספרה )במקרה שלנו, אותה ספרה תמוקם‬ ‫01‬ ‫במקום הראשון, החמישי, השישי והתשיעי(, סה"כ יש לנו 01· 4‬ ‫אפשרויות )ה "01·" הוא בגלל שיש לנו 01 ספרות שניתן לבחור,‬ ‫שזה בדיוק 01 ־ כלומר, לבחור תת־קבוצה בגודל 1 מתוך 01‬ ‫1‬ ‫)שתייצג את הספרה((.‬ ‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬ ‫=‬ ‫1.41‬ ‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫51‬ ‫עקרון ההכלה וההדחה‬ ‫)בגלל שנתעסק בזה יותר בסמסטר הבא, אני לא אדבר על‬ ‫העיקרון הזה בהרחבה, אלא רק אציג אותו(‬ ‫4.31‬ ‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬ ‫1.51‬ ‫| 2‪|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2.51‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫עבור 2 = ‪n‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫עבור 3 = ‪n‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫| 3‪|Ai ∩ Aj |+|A1 ∩ A2 ∩ A‬‬ ‫3<‪1≤i<j‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫5.31‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3.51‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫תהיינה ‪ A1 , . . . , An‬קבוצות סופיות, אזי:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 |‬‬ ‫יהיו ‪ (x, y = 0) x, y ∈ R‬ו־ ‪.1 ≤ n ∈ N‬‬ ‫אזי מתקיים:‬ ‫41‬ ‫1=‪i‬‬ ‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי‬ ‫משפט הבינום של ניוטון‬ ‫‪n k n−k‬‬ ‫‪x ·y‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫הערה: ניתן להוריד את הסוגריים. הן רק בשביל לעשות סדר‬ ‫ושיהיה יותר ברור על מה סימן המינוס.‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪|Ai |−‬‬ ‫3‬ ‫‪|Ai | − ‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 ≤n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= )‪(x + y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 |‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 <i3 ≤n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות‬ ‫בחלק הזה ינתנו כל מיני דוגמאות לבעיות קומבינטוריות ופתרונן.‬ ‫היות וחלק מההבנה בפתרון בעיות קומבינטוריות באה מהבנה‬ ‫של דגמאות...‬ ‫הערה: בכל הדוגמאות ידובר על ספרות עשרוניות.‬ ‫7‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ Ai4 |‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 <i3 <i4 ≤n‬‬ ‫| ‪|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫)1−( · · · ±‬ ‫מכיוון שיש לנו רק ‪n‬־יה אחת, כלומר, יש לנו‬ ‫לבסוף אין לנו‬ ‫רק אפשרות סידור אחת....‬
  • 8. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪ III‬אינדוקציה‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫4‬ ‫8‬ ‫‪I‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫הגדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫9‬ ‫משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1.1‬ ‫חוקי דה־מורגן . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫2.1‬ ‫הוכחה מתמטית . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫3.1‬ ‫קבוצות שלמות של קשרים . . . . . .‬ ‫1‬ ‫4.1‬ ‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪. . . . . CN F‬‬ ‫‪ IV‬קומבינטוריקה‬ ‫01‬ ‫4‬ ‫הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫1.4.1‬ ‫פסוק ‪. . . . . . . . DN F‬‬ ‫1‬ ‫2.01‬ ‫עקרון שובך היונים . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫2.4.1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1.01‬ ‫עוצמה של קבוצה . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫פסוק ‪. . . . . . . . CN F‬‬ ‫1‬ ‫טבלאות של קשרים לוגיים . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫11‬ ‫קומבינטוריקה . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫2.11‬ ‫‪ II‬תורת הקבוצות‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫הגדרות בסיסיות . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫21‬ ‫הכללות )של טענות 1 ו־3( . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪. . . . . . . . . . n‬‬ ‫5‬ ‫כמה מושגים לפני הצגת‬ ‫המקרים ־ איברים שונים‬ ‫וחשיבות לסדר: . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫1.0.21‬ ‫2‬ ‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת( . . . . . .‬ ‫1.11‬ ‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות( . . . .‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1.4‬ ‫2.4‬ ‫5‬ ‫דה מורגן )קבוצות( . . . . . . . . . .‬ ‫2‬ ‫המרה לפסוקים לוגיים . . . . . . . .‬ ‫2‬ ‫יחסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫1.5‬ ‫סוגי יחסים . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רפלקסיבי . . . . . . . . . .‬ ‫3.1.5‬ ‫סימטרי . . . . . . . . . . .‬ ‫4.1.5‬ ‫אנטי־סימטרי . . . . . . . .‬ ‫5.1.5‬ ‫יחס שקילות . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫1.2.5‬ ‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬ ‫2.2.5‬ ‫4.21‬ ‫מחלקת שקילות . . . . . . .‬ ‫חלוקה של קבוצה . . . . . .‬ ‫3‬ ‫4.2.5‬ ‫המשפט המרכזי של יחסי‬ ‫השקילות . . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫5.2.5‬ ‫יחס מושרה . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫31‬ ‫3‬ ‫3.2.5‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫6‬ ‫פונקציות מסוימות . . . . . . . . . .‬ ‫פונקצית הזהות . . . . . . .‬ ‫2.1.6‬ ‫2.31‬ ‫3.1.6‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית . . .‬ ‫4.1.6‬ ‫פונקציה על . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫5.1.6‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫הרכבה‬ ‫ופונקציות הפיכות . . . . . .‬ ‫4‬ ‫יחס סדר חלקי . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫טענה סימטרית ביחס ל־‬ ‫. . . . .‬ ‫7‬ ‫3.31‬ ‫זהות פסקל . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫4.31‬ ‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬ ‫7‬ ‫5.31‬ ‫41‬ ‫6‬ ‫משפט הבינום של ניוטון . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות . . . . .‬ ‫1.41‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫זהות קומבינטורים של סכום תת־‬ ‫הקבוצה של קבוצה עם ‪ n‬איברים . . .‬ ‫3‬ ‫פונקציה מציינת של קבוצה .‬ ‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות( . . . . . . .‬ ‫1.31‬ ‫3‬ ‫1.1.6‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫1.6‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫3‬ ‫טרנזיטיבי . . . . . . . . . .‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬ ‫קבוצה עם ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫6‬ ‫3.21‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫2.21‬ ‫2‬ ‫אנטי־רפלקסיבי . . . . . . .‬ ‫חשיבות לסדר . .‬ ‫5‬ ‫1.21‬ ‫2‬ ‫2.1.5‬ ‫6‬ ‫2.1.0.21‬ ‫2‬ ‫1.1.5‬ ‫2.5‬ ‫איברים‬ ‫1.1.0.21‬ ‫שונים/חזרות . .‬ ‫5‬ ‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות .‬ ‫4‬ ‫1.1.41‬ ‫51‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫בחירה של ספרה אחת‬ ‫שתופיע ב־‪ m‬מקומות . . . .‬ ‫7‬ ‫עקרון ההכלה וההדחה . . . . . . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫2.51‬ ‫1.7‬ ‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬ ‫2.7‬ ‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי . . . . .‬ ‫3.7‬ ‫קבוצה סדורה היטב . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫4.7‬ ‫משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה‬ ‫חלקית המקיימת את תכונת המינימליות‬ ‫4‬ ‫עבור 3 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬ ‫7‬ ‫3.51‬ ‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי . .‬ ‫7‬ ‫1.51‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫עבור 2 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫הסיכום לקוח מהאתר ־‬ ‫‪http: // www. letach. net‬‬