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2.
7 P →
¬(P ∧ ¬Q) [PC 2-6] 8 Q [H p/PC] 9 P ∧ ¬Q [H p/RAA] 10 ¬Q [∧E 9] 11 Q ∧ ¬Q [∧I 8,10] 12 ¬(P ∧ ¬Q) [RAA 9-11] 13 Q → ¬(P ∧ ¬Q) [PC 8-12] 14 ¬(P ∧ ¬Q) [∨E 1,7,13] 3. P → Q (P ∧ R) → (Q ∧ R) 1 P → Q [P] 2 P ∧ R [H p/PC] 3 P [∧E 2] 4 Q [MP 3,1] 5 R [∧E 2] 6 Q ∧ R [∧I 4,5] 7 (P ∧ R) → (Q ∧ R) [PC 2-6] 4. P → Q (P ∨ R) → (Q ∨ R) 1 P → Q [P] 2 P ∨ R [H p/PC] 3 P [H p/PC] 4 Q [MP 3,1] 5 Q ∨ R [∨I 4] 6 P → Q ∨ R [PC 3-5] 7 R [H p/PC] 8 Q ∨ R [∨I 7] 9 R → Q ∨ R [PC 7-8] 10 Q ∨ R [∨E 2,6,9] 11 (P ∨ R) → (Q ∨ R) [PC 2-10] 5. P → P 1 P [H p/PC] 2 P → P [PC 1-1] 2
3.
6. P →
(Q → (P ∧ Q)) 1 P [H p/PC] 2 Q [H p/PC] 3 P ∧ Q [∧I 1,2] 4 Q → (P ∧ Q) [PC 2-3] 5 P → (Q → (P ∧ Q)) [PC 1-4] 7. ¬(P ≡ ¬P) 1 P ≡ ¬P [H p/RAA] 2 P → ¬P [≡E 1] 3 ¬P → P [≡E 1] 4 P [H p/RAA] 5 ¬P [MP 4,2] 6 P ∧ ¬P [∧I 4,5] 7 ¬P [RAA 4-6] 8 ¬P [H p/RAA] 9 P [MP 8,3] 10 ¬P ∧ P [∧I 8,9] 11 ¬¬P [RAA 8-10] 12 P [¬E 11] 13 ¬P ∧ P [∧I 7,12] 14 ¬(P ≡ ¬P) [RAA 1-13] 8. (P → Q) → (¬Q → ¬P) 1 P → Q [H p/PC] 2 ¬Q [H p/PC] 3 P [H p/RAA] 4 Q [MP 3,1] 5 ¬Q ∧ Q [∧I 2,4] 6 ¬P [RAA 3-5] 7 ¬Q → ¬P [PC 2-6] 8 (P → Q) → (¬Q → ¬P) [PC 1-7] 3
4.
9. Q →
(P ∨ ¬P) 1 Q [H p/PC] 2 ¬(P ∨ ¬P) [H p/RAA] 3 P [H p/RAA] 4 P ∨ ¬P [∨I 3] 5 ¬(P ∨ ¬P) ∧ (P ∨ ¬P) [∧I 2,4] 6 ¬P [RAA 3-5] 7 P ∨ ¬P [∨I 6] 8 ¬(P ∨ ¬P) ∧ (P ∨ ¬P) [∧I 2,7] 9 ¬¬(P ∨ ¬P) [RAA 2-8] 10 P ∨ ¬P [¬E 9] 11 Q → (P ∨ ¬P) [PC 1-10] 10. P ∨ (P → Q) 1 ¬(P ∨ (P → Q)) [H p/RAA] 2 P [H p/PC] 3 ¬Q [H p/RAA] 4 P ∨ (P → Q) [∨I 2] 5 ¬(P ∨ (P → Q)) ∧ (P ∨ (P → Q)) [∧I 1,4] 6 ¬¬Q [RAA 3-5] 7 Q [¬E 6] 8 P → Q [PC 2-7] 9 P ∨ (P → Q) [∨I 8] 10 ¬(P ∨ (P → Q)) ∧ (P ∨ (P → Q)) [∧I 1,9] 11 ¬¬(P ∨ (P → Q)) [RAA 1-10] 12 P ∨ (P → Q) [¬E 11] 11. ¬P ∨ (Q → P) 1 ¬(¬P ∨ (Q → P)) [H p/RAA] 2 Q [H p/PC] 3 ¬P [H p/RAA] 4 ¬P ∨ (Q → P) [∨I 3] 5 ¬(¬P ∨ (Q → P)) ∧ (¬P ∨ (Q → P)) [∧I 1,4] 6 ¬¬P [RAA 3-5] 7 P [¬E 6] 4
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