SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 8
Baixar para ler offline
საგანი: კალკულუსი
ავტორები:
კაპანაძე გიორგი
წარმოებული და მისი
თვისებები
ლექტორი :
ჯორჯიაშვილი ნატო
ილიას
სახელმწიფო
უნივერსიტეტი
• რა არის წარმოებული?
• რა არის კერძო წარმოებული?
• მეორე რიგის წარმოებული
• ფერმას თეორემა
• როლის თეორემა
რა არის წარმოებული?
• ფუნქციის წარმოებული X წერტილში ეწოდება ამ წერტილში ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან
შეფარდების ზღვარს(თუ ეს ზღვარი არსებობს),როცა არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისკენ...
𝒇′
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝜟𝒚
𝜟𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
ფუნქციის წარმოებულის აღსანიშნავად მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:
f’(x) ან y’ ასევე f’(x)=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
ასევე არსებობს აქედან გამომდინარე უფრო მარტივი ფორმულა ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად.
(𝑎𝑥 𝑏)′ = 𝑎𝑏𝑥 𝑏−1
რა არის კერძო წარმოებული?
• Z=f(x,y) ფუნქციის კეტძო წარმოებული x ცვლადით ეწოდება ფუნქციის კერძო ნაზრდის არგუმენტის
ნაზრდთან შეფარდების ზღვარს (თუ ეს ზღვარი არსებობს)
lim
∆𝑥→0
∆𝑧 𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
lim
∆𝑦→0
∆𝑧 𝑦
∆𝑦
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
გვაქვს შესაბამისი აღნიშვნები:
𝜕𝑧 𝑥
𝜕𝑥
, 𝑓𝑥
′,
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧 𝑦
𝜕𝑦
, 𝑓𝑦
′ ,
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
მეორე რიგის წარმოებული
• თუ გვსურს ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებული საჭიროა მოვიქცეთ იგივენაირად, მაგრამ
განსხვავებით პირველი რიგის წარმოებულისგან ეს მოქმედება ორჯერ უნდა ჩატარდეს.
𝒇′
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝜟𝒚
𝜟𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
𝒇′′
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝜟𝒚′
𝜟𝒙′
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→∞
𝒇′ 𝒙+∆𝒙 −𝒇′(𝒙)
∆′𝒙
=(f’(x))’
გამარტივებული სახით გვაქვს შემდეგი ფორმულა:
(𝑎𝑥 𝑏
)′′ = (𝑎𝑏𝑥 𝑏−1
)′=ab(b-1) 𝑥 𝑏−2
ფერმას თეორემა
თუ x წერტილში წარმოებად f(x) ფუნქციას
ამავე წერტილში აქვს ექსტრემუმი,მაშინ f’(x)=0.
როლის თეორემა
თუ f(x) ფუნქცია უწყვეტია [a;b] სეგმენტზე, წარმოებადი (a;b)
ინტერვალზე და ამასთან ,f(a)=f(b) , მაშინ არსებობს ისეთი
c∈ a; b წერტილი, რომ f′
c = 0.
მადლობა ყურადღებოსათვის!

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

დედამიწის დღე 22 აპრილი
დედამიწის დღე 22 აპრილიდედამიწის დღე 22 აპრილი
დედამიწის დღე 22 აპრილიGuri Sichinava
 
წიგნიერების განვითარება
წიგნიერების განვითარებაწიგნიერების განვითარება
წიგნიერების განვითარებაLela Goginashvili
 
განმანათლებლობა
განმანათლებლობაგანმანათლებლობა
განმანათლებლობაnino nadiradze
 
პროექტის შაბლონი
პროექტის შაბლონიპროექტის შაბლონი
პროექტის შაბლონიLela Chaava
 
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბო
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბოდნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბო
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბოinga navdarashvili
 
აფხაზეთი
აფხაზეთიაფხაზეთი
აფხაზეთიnino abuladze
 
ტოლფერდა სამკუთხედი
ტოლფერდა სამკუთხედიტოლფერდა სამკუთხედი
ტოლფერდა სამკუთხედიjgufi8
 
პროექტის შაბლონი
პროექტის  შაბლონიპროექტის  შაბლონი
პროექტის შაბლონიTamila Khergiani
 
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილი
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილიუძღები შვილი ნანა ბზიშვილი
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილიmisstamo
 
ეზოპე .იგავები
ეზოპე .იგავებიეზოპე .იგავები
ეზოპე .იგავებიIrina Zaqareishvili
 
ჯანსაღი ცხოვრების წესი
ჯანსაღი ცხოვრების წესიჯანსაღი ცხოვრების წესი
ჯანსაღი ცხოვრების წესიirma
 
უკან მიდევნებული ლამპარი
უკან მიდევნებული ლამპარიუკან მიდევნებული ლამპარი
უკან მიდევნებული ლამპარიMaiaKukhianidze
 
საფრანგეთის რევოლუცია
საფრანგეთის რევოლუციასაფრანგეთის რევოლუცია
საფრანგეთის რევოლუციაnino nadiradze
 
ძველი ეგვიპტე
ძველი ეგვიპტე ძველი ეგვიპტე
ძველი ეგვიპტე fiqria sidamonize
 
ხალხთა დიდი გადასახლება
ხალხთა დიდი გადასახლებახალხთა დიდი გადასახლება
ხალხთა დიდი გადასახლებაfiqria sidamonize
 
ქართლის სამეფოს წარმოქმნა
ქართლის სამეფოს წარმოქმნაქართლის სამეფოს წარმოქმნა
ქართლის სამეფოს წარმოქმნაlaidvalishvili
 
სათბურის ეფექტი
სათბურის ეფექტისათბურის ეფექტი
სათბურის ეფექტიana lipartia
 
პირადი ჰიგიენა
პირადი  ჰიგიენაპირადი  ჰიგიენა
პირადი ჰიგიენაLela Goginashvili
 

Mais procurados (20)

დედამიწის დღე 22 აპრილი
დედამიწის დღე 22 აპრილიდედამიწის დღე 22 აპრილი
დედამიწის დღე 22 აპრილი
 
წიგნიერების განვითარება
წიგნიერების განვითარებაწიგნიერების განვითარება
წიგნიერების განვითარება
 
განმანათლებლობა
განმანათლებლობაგანმანათლებლობა
განმანათლებლობა
 
პროექტის შაბლონი
პროექტის შაბლონიპროექტის შაბლონი
პროექტის შაბლონი
 
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბო
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბოდნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბო
დნობა–გამყარება. დნობის კუთრი სითბო
 
აფხაზეთი
აფხაზეთიაფხაზეთი
აფხაზეთი
 
ტოლფერდა სამკუთხედი
ტოლფერდა სამკუთხედიტოლფერდა სამკუთხედი
ტოლფერდა სამკუთხედი
 
პროექტის შაბლონი
პროექტის  შაბლონიპროექტის  შაბლონი
პროექტის შაბლონი
 
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილი
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილიუძღები შვილი ნანა ბზიშვილი
უძღები შვილი ნანა ბზიშვილი
 
ეზოპე .იგავები
ეზოპე .იგავებიეზოპე .იგავები
ეზოპე .იგავები
 
ჯანსაღი ცხოვრების წესი
ჯანსაღი ცხოვრების წესიჯანსაღი ცხოვრების წესი
ჯანსაღი ცხოვრების წესი
 
უკან მიდევნებული ლამპარი
უკან მიდევნებული ლამპარიუკან მიდევნებული ლამპარი
უკან მიდევნებული ლამპარი
 
გეგმა კონსპექტი ბუნებაში
გეგმა კონსპექტი ბუნებაშიგეგმა კონსპექტი ბუნებაში
გეგმა კონსპექტი ბუნებაში
 
საფრანგეთის რევოლუცია
საფრანგეთის რევოლუციასაფრანგეთის რევოლუცია
საფრანგეთის რევოლუცია
 
ძველი ეგვიპტე
ძველი ეგვიპტე ძველი ეგვიპტე
ძველი ეგვიპტე
 
ხალხთა დიდი გადასახლება
ხალხთა დიდი გადასახლებახალხთა დიდი გადასახლება
ხალხთა დიდი გადასახლება
 
გიორგი ლეონიძის „მარიტა“
გიორგი ლეონიძის „მარიტა“  გიორგი ლეონიძის „მარიტა“
გიორგი ლეონიძის „მარიტა“
 
ქართლის სამეფოს წარმოქმნა
ქართლის სამეფოს წარმოქმნაქართლის სამეფოს წარმოქმნა
ქართლის სამეფოს წარმოქმნა
 
სათბურის ეფექტი
სათბურის ეფექტისათბურის ეფექტი
სათბურის ეფექტი
 
პირადი ჰიგიენა
პირადი  ჰიგიენაპირადი  ჰიგიენა
პირადი ჰიგიენა
 

Destaque

პრეზენტაცია
პრეზენტაციაპრეზენტაცია
პრეზენტაციაkhatuna
 
უსუნო ყვავილი
უსუნო ყვავილიუსუნო ყვავილი
უსუნო ყვავილიbutskhrikidze
 
წიწილას სახლი
წიწილას სახლიწიწილას სახლი
წიწილას სახლიmakaafriamashvili
 
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის",,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"scool
 
ფუნქციები
ფუნქციებიფუნქციები
ფუნქციებიdalikodaliko
 
ასო ბგერა ,,შ’’
ასო   ბგერა  ,,შ’’ასო   ბგერა  ,,შ’’
ასო ბგერა ,,შ’’Lela Goginashvili
 
სავარჯიშოები ქართულში 1კლ
სავარჯიშოები ქართულში 1კლსავარჯიშოები ქართულში 1კლ
სავარჯიშოები ქართულში 1კლMarine Murjikneli
 
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირი
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირიგაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირი
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირიOlgha Bochorishvili
 
იაკობ გოგებაშვილი
იაკობ გოგებაშვილიიაკობ გოგებაშვილი
იაკობ გოგებაშვილიLela Goginashvili
 
გაკვეთილის+გეგმა
გაკვეთილის+გეგმაგაკვეთილის+გეგმა
გაკვეთილის+გეგმაlikako
 

Destaque (10)

პრეზენტაცია
პრეზენტაციაპრეზენტაცია
პრეზენტაცია
 
უსუნო ყვავილი
უსუნო ყვავილიუსუნო ყვავილი
უსუნო ყვავილი
 
წიწილას სახლი
წიწილას სახლიწიწილას სახლი
წიწილას სახლი
 
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის",,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"
,,ვინ უკეთ იცნობს აკაკის"
 
ფუნქციები
ფუნქციებიფუნქციები
ფუნქციები
 
ასო ბგერა ,,შ’’
ასო   ბგერა  ,,შ’’ასო   ბგერა  ,,შ’’
ასო ბგერა ,,შ’’
 
სავარჯიშოები ქართულში 1კლ
სავარჯიშოები ქართულში 1კლსავარჯიშოები ქართულში 1კლ
სავარჯიშოები ქართულში 1კლ
 
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირი
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირიგაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირი
გაკვეთილის გეგმის ძირითადი კომპონენტები და მათ შორის ურთიერთკავშირი
 
იაკობ გოგებაშვილი
იაკობ გოგებაშვილიიაკობ გოგებაშვილი
იაკობ გოგებაშვილი
 
გაკვეთილის+გეგმა
გაკვეთილის+გეგმაგაკვეთილის+გეგმა
გაკვეთილის+გეგმა
 

Mais de Harry Kodua

ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligence
ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligenceხელოვნური ინტელექტი artificial intelligence
ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligenceHarry Kodua
 
artificial intelligence
artificial intelligenceartificial intelligence
artificial intelligenceHarry Kodua
 
ცნობიერება და აზროვნება
ცნობიერება და აზროვნებაცნობიერება და აზროვნება
ცნობიერება და აზროვნებაHarry Kodua
 
პრეზენტაცია არქიტექტურა
პრეზენტაცია არქიტექტურაპრეზენტაცია არქიტექტურა
პრეზენტაცია არქიტექტურაHarry Kodua
 
Gemblingi referati
Gemblingi referatiGemblingi referati
Gemblingi referatiHarry Kodua
 
Batch programming
Batch programmingBatch programming
Batch programmingHarry Kodua
 
The latest inventions
The latest inventionsThe latest inventions
The latest inventionsHarry Kodua
 
Gemblingi referati
Gemblingi referatiGemblingi referati
Gemblingi referatiHarry Kodua
 
Batch programming
Batch programmingBatch programming
Batch programmingHarry Kodua
 

Mais de Harry Kodua (18)

ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligence
ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligenceხელოვნური ინტელექტი artificial intelligence
ხელოვნური ინტელექტი artificial intelligence
 
artificial intelligence
artificial intelligenceartificial intelligence
artificial intelligence
 
msql
msqlmsql
msql
 
msql
msqlmsql
msql
 
msql
msqlmsql
msql
 
ცნობიერება და აზროვნება
ცნობიერება და აზროვნებაცნობიერება და აზროვნება
ცნობიერება და აზროვნება
 
პრეზენტაცია არქიტექტურა
პრეზენტაცია არქიტექტურაპრეზენტაცია არქიტექტურა
პრეზენტაცია არქიტექტურა
 
Linux kali
Linux kaliLinux kali
Linux kali
 
Gemblingi
GemblingiGemblingi
Gemblingi
 
Gemblingi referati
Gemblingi referatiGemblingi referati
Gemblingi referati
 
Batch programming
Batch programmingBatch programming
Batch programming
 
The latest inventions
The latest inventionsThe latest inventions
The latest inventions
 
Pres vir
Pres virPres vir
Pres vir
 
Philo
PhiloPhilo
Philo
 
Myppt
MypptMyppt
Myppt
 
Gemblingi
GemblingiGemblingi
Gemblingi
 
Gemblingi referati
Gemblingi referatiGemblingi referati
Gemblingi referati
 
Batch programming
Batch programmingBatch programming
Batch programming
 

წარმოებული და მისი თვისებები

  • 1. საგანი: კალკულუსი ავტორები: კაპანაძე გიორგი წარმოებული და მისი თვისებები ლექტორი : ჯორჯიაშვილი ნატო ილიას სახელმწიფო უნივერსიტეტი
  • 2. • რა არის წარმოებული? • რა არის კერძო წარმოებული? • მეორე რიგის წარმოებული • ფერმას თეორემა • როლის თეორემა
  • 3. რა არის წარმოებული? • ფუნქციის წარმოებული X წერტილში ეწოდება ამ წერტილში ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან შეფარდების ზღვარს(თუ ეს ზღვარი არსებობს),როცა არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისკენ... 𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝜟𝒚 𝜟𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) ∆𝒙 ფუნქციის წარმოებულის აღსანიშნავად მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები: f’(x) ან y’ ასევე f’(x)= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ასევე არსებობს აქედან გამომდინარე უფრო მარტივი ფორმულა ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად. (𝑎𝑥 𝑏)′ = 𝑎𝑏𝑥 𝑏−1
  • 4. რა არის კერძო წარმოებული? • Z=f(x,y) ფუნქციის კეტძო წარმოებული x ცვლადით ეწოდება ფუნქციის კერძო ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან შეფარდების ზღვარს (თუ ეს ზღვარი არსებობს) lim ∆𝑥→0 ∆𝑧 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑥 lim ∆𝑦→0 ∆𝑧 𝑦 ∆𝑦 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑦 გვაქვს შესაბამისი აღნიშვნები: 𝜕𝑧 𝑥 𝜕𝑥 , 𝑓𝑥 ′, 𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 , 𝜕𝑧 𝑦 𝜕𝑦 , 𝑓𝑦 ′ , 𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦
  • 5. მეორე რიგის წარმოებული • თუ გვსურს ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებული საჭიროა მოვიქცეთ იგივენაირად, მაგრამ განსხვავებით პირველი რიგის წარმოებულისგან ეს მოქმედება ორჯერ უნდა ჩატარდეს. 𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝜟𝒚 𝜟𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) ∆𝒙 𝒇′′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝜟𝒚′ 𝜟𝒙′ = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→∞ 𝒇′ 𝒙+∆𝒙 −𝒇′(𝒙) ∆′𝒙 =(f’(x))’ გამარტივებული სახით გვაქვს შემდეგი ფორმულა: (𝑎𝑥 𝑏 )′′ = (𝑎𝑏𝑥 𝑏−1 )′=ab(b-1) 𝑥 𝑏−2
  • 6. ფერმას თეორემა თუ x წერტილში წარმოებად f(x) ფუნქციას ამავე წერტილში აქვს ექსტრემუმი,მაშინ f’(x)=0.
  • 7. როლის თეორემა თუ f(x) ფუნქცია უწყვეტია [a;b] სეგმენტზე, წარმოებადი (a;b) ინტერვალზე და ამასთან ,f(a)=f(b) , მაშინ არსებობს ისეთი c∈ a; b წერტილი, რომ f′ c = 0.