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Pierre-Alain ROCHE HYDROLOGIE Hydrogéologie2 1
Cours d ’hydrologie
Hydrogéologie
Deuxième partie

Hydrogéologie : plan général
•L’eau dans les milieux poreux
•Notions de base d’hydraulique souterraine
•Les équation de diffusivité en captif et en
libre
•Les types d’aquifères
•Solutions particulières des équations :
interprétation des pompages d’essai
•Bilans des nappes
•Modèles de nappes

Rappels

L’eau dans les milieux poreux
– Milieux di-et tri-phasiques
– Porosité
– Homogénéité ou hétérogénéité
– Mouvements de l’eau dans la zone non saturée

Porosité
Vs : le volume de la matrice solide
Vl : le volume de l’eau
Vg : le volume d’air
V : le volume global du matériau
V = Vs + Vl + Vg
Volume des vides :
Vv= Vg+ Vl
V
Vv


Porosité :
vacuolaire
ouverte ou d ’interstices
de fissure
de conduit
Porosité « efficace »

Notions d ’hydraulique
souterraine : milieu saturé
0
)
( 



 e
q
t
u
div 



Equation de continuité
  





















dt
u
d
F
u
u
div
p 

 
2
3
Equations de
Navier-
Stockes
p : pression
ρ : masse volumique
u : vitesse
qe : débit prélevé dans le milieu
F: forces à distance qui s’appliquent (telles la gravité)
ζ : viscosité volumique (négligeable devant )
μ : viscosité dynamique

Passer du
microscopique au
macroscopique :
exemple de
l ’équation de
continuité
  
 0
.
. 



 q
t
U
div 



Vitesse de filtration :
Représentation
hydraulique
non hydrocinématique

Loi de Darcy en
régime permanent
  0
)
(
)
( 



 z
g
p
k
U 

k perméabilité intrinsèque
dimension d’une surface (L2)
se mesure en Darce (10-12 m2)
µ est la viscosité dynamique de l’eau

Charge hydraulique et cote
piézométrique
z
g
p
g
u
h 



2
2
z
g
p
h 


Cote piézométrique :
Coefficient de perméabilité :
vitesse (L T –1)
K s’exprime en m s-1

 g
k
K 
0
. 

 h
K
U
Loi de Darcy :
0


 h
K
U











V
h
h
K
K
K
K
0
0
0
0
0
0
Situation anisotrope
horizontale / verticale

Perméabilité et transmissivité
e
K
T h.

e : épaisseur mouillée de l ’aquifère
T transmissivité
s’exprime en m2 s-1 (L2 T-1)

Equations de diffusivité : 3 cas
    0
.
. 



 q
t
U
div 



  0
. 

 h
K
U   0
)
(
.
.
)
( 



 z
g
p
k
U 

 
 
0
0 exp p
p 
 


+ équation d ’état
• de la matrice poreuse
• de l ’eau
ou
Résolution dans 3 cas :
• nappe libre
• consolidation de Terzaghi
• nappe captive

Nappe libre
Bilan de masse (pour l’unité de temps dt) :
F = V + D
F : flux massique entrant (par les faces verticales)
V : variation de la masse eau de l’élément
D : débit d’échanges verticaux

Equation pour une nappe libre
t
h
Q
h
y
h
K
y
h
x
h
K
x 


























.
)
(
.
)
(
. 


 
  t
h
Q
h
h
K






 .
.
. 



Soit :
équation non-linéaire

Nappe libre : 2 cas de linéarisation
Substratum horizontal et K constant
t
h
Q
h
h
div
K




 
)
.
(
.
K
Q
t
h
K
h 





)
(
2
1 2
0



t
h
En permanent linéaire en h2
t
h
T
T
Q
h






Variations faibles par rapport
à l ’épaisseur de l ’aquifère :
T = K (h-σ) varie peu
 
  t
h
Q
h
h
K
div





 .
.
. 


Équation de diffusion

Equations de diffusivité : 3 cas
    0
.
. 



 q
t
U
div 



  0
. 

 h
K
U   0
)
(
.
.
)
( 



 z
g
p
k
U 

 
 
0
0 exp p
p 
 


+ équation d ’état
• de la matrice poreuse
• de l ’eau
ou
Résolution dans 3 cas :
• nappe libre
• consolidation de Terzaghi
• nappe captive

Cas des nappes captives (1)
Complexe, il faut tenir compte de :
• la compressibilité des grains
• la compressibilité de la matrice
poreuse par réarrangement des grains
cela introduit une compressibilité globale    
t
p
t 






.
.





 



 .
.
. 
 g
Ss
On introduit alors le coefficient
d ’emmagasinement spécifique :
 
t
p
S
g
t
s








 .
corriger le poly

       q
g
g
t
h
K
div
g
z
g
p
K
div .
.
.
.
.
.
.
.
. 



 








  q
t
h
S
h
K
div s 



 .
.
Donne une équation linéaire
du 2ème ordre en h :
 
t
p
S
g
t
s








 .
 
z
h
g
p 
 .

t
h
g
t
p





.
.

corriger le poly

  q
t
h
S
h
K
div s 



 .
.
Quand K est isotrope
cela devient, en intégrant sur l’épaisseur, avec :
e : épaisseur de l ’aquifère
S = e . Ss coefficient d ’emmagasinement de la couche aquifère
T = e . K transmissivité de l’aquifère
Q = e . q débit d ’échange intégré sur l ’épaisseur de l ’aquifère
t
h
T
S
T
Q
h




 .

Comparaison
nappe libre / nappe captive
 
  t
h
Q
h
h
K
div





 .
.
. 


Nappe libre :
variations de la hauteur mouillée :
non linéaire linéarisable si faibles
variations : emmagasinement lié à
la porosité
Nappe captive :
transmission des pressions par
compression de la matrice :
linéaire mais coefficient
d ’emmagasinement très différent
de la porosité
T
Q
t
h
T
S
h 



 .
T
Q
t
h
T
h 



 .


Piézométrie et lignes de courant
0


 h
K
U
z
g
p
h 


Champ de potentiel : charge hydraulique
Equipotentielles : isopièzes
Lignes de flux équipotentielles :

Exemple de carte piézométrique

Situation à proximité des
singularités
Nappe libre de coteau
alimentant une rivière

Identification géologique des
aquifères 1 : aquifère des grès du Trias
(a, à nappe libre ; b, à nappe
captive) ;
2 : aquifères du Lias ;
3 : aquifère multicouche du
Jurassique moyen et
supérieur ;
Néocomien ;
5 : aquifère multicouche des
sables albiens ;
6 : aquifère de la craie
supérieure (Turonien-
Sénonien) ;
7 : aquifère multicouche des
sables du Soisonnais ;
calcaire de Champigny ;
calcaire de Beauce.

Le bassin parisien : bassin
sédimentaire typique
Coupe litho-stratigraphique

Nappes libres et captives
superposées

Variabilité des niveaux
piézométriques

libre

Interprétation des pompages
d ’essais : principes
Équation linéaire elliptique du 2ème ordre :
• solution unique sur un domaine déterminé D,
muni de conditions aux limites sur sa frontière F
et pour des conditions initiales déterminées

Interprétation des pompages
d ’essais : principes
Équation linéaire elliptique du 2ème ordre :
• principe de superposition, l’équation étant linéaire
en h et en q. Si (h1, q1) et (h2, q2) sont 2 solutions
particulières de l’équation de diffusion dans un
domaine D, alors toute combinaison linéaire à
coefficients fixes est solution de la même équation
pour les débits adaptés avec des conditions aux
limites adaptées

Conditions aux limites
flux imposés (Newman) :
limite étanche (flux nul) ou zone d’alimentation avec un débit
d’infiltration à travers la zone non saturée déterminée (cas d’un
affleurement).
potentiel imposé (Dirichlet) :
cote piézométrique qui est fixée (éventuellement variable dans
le temps, mais dont les variations ne dépendent pas de la nappe).
Ex : contact avec une nappe d’eau libre (mer, lac, rivière).
relation flux - potentiel imposée (Fourier) :
débit d’échange avec une rivière dépendant de la différence de
charge hydraulique entre rivière et nappe (une couche
semiperméable d’alluvions) selon la loi de Darcy.

Régime permanent, pompage
indéfini, nappe captive (1)
forage (cercle de rayon r0) qui, dans une nappe captive
d’extension infinie, pomperait en continu un débit constant Q, la
charge de la nappe étant fixée à un niveau H sur un cercle de
rayon R centré sur le forage.
0
.
1
.
1
2
2
2



















t
h
S
h
r
r
h
r
r
r
h

Laplacien en coordonnées
polaires (r,θ)
Solution élémentaire : écoulement radial :











0
2
2

h
0
.
1











r
h
r
r
r
Cela donne :

0
.
1











r
h
r
r
r
S ’intègre en : a
r
h
r 


. Soit : b
r
Log
a
h 

Equipotentielles = cercles
Flux traversant :
  a
T
d
r
h
T
r
q .
.
2
.
.
2
0






 

Le flux traversant le cercle rayon r0
est Q :
Le potentiel en R est H :
d ’où finalement :
(équation de Dupuit)
T
Q
a 
2

R
Log
T
Q
H
b

2


R
r
Log
T
Q
H
r
h

2
)
( 

Quid en nappe libre ?
  a
T
d
r
h
T
r
q .
.
2
.
.
2
0






  Flux indépendant de r.
b
r
Log
a
h 


Solutions transitoires :
formule de Theis (1)
Nappe captive 
régime non-
permanent
coordonnées
polaires
solution à
symétrie radiale

r
h
T
S
r
h
r
r
r 












.
.
1
 
t
e
C
t
r
h Tt
Sr
1
.
.
, 4
2


Réponse impulsionnelle à un Dirac à
l ’origine des temps (fonction de Laplace) :
Équation de diffusivité :

On s’intéresse à un pompage « échelon » à l ’origine :
Convolution de la réponse impulsionnelle :
  dt
t
e
C
T
r
h
T Tt
Sr











0
4
2
,

  0
0
, 
 r
h
r
Conditions aux limites à l ’origine du temps :
Débit traversant un cercle de rayon r :
 























 
t
T
S
r
t T
Sr
e
C
T
d
e
S
C
r
r
h
T
r
t
r
Q
4
0
2
4
2
2
2
.
.
4
.
.
.
2
, 





Pour r tendant vers 0 Q(r,t) tend vers Q constant pour t>0
  )
(
4
4
,
/
1
u
W
T
Q
d
e
T
Q
t
r
h
u






 
 
2
.
.
4
r
t
S
T
u 
avec

Fonction de Theis W(u)
dt
t
e
u
W
u
t

 

/
1
)
(

Approximation de Jacob
  2
.
25
,
2
4
~
,
Sr
t
T
Log
T
Q
t
r
h

  )
(
4
4
,
/
1
u
W
T
Q
d
e
T
Q
t
r
h
u






 
 
Pour t grand approximation log :
Droite sur un papier log : facilité d ’interprétation

Pompage d ’essai de durée limitée :
courbe de remontée
   











 







 2
2
4
4
4
,
Sr
t
t
T
W
Sr
Tt
W
T
Q
t
r
h o

  







 o
t
t
t
Log
T
Q
t
r
h

4
~
,
Et au bout d ’un temps suffisant
la remontée ne dépend plus que de T

Pompage d ’essai : une
« méthode inverse » élémentaire
•Pomper suivant un protocole spécifié
•Suivre les niveaux piézo du forages et de piézos de contrôle
•Choisir une configuration “ type ” de l’aquifère
•Dans l’hypothèse de cette configuration, le calcul analytique de
l’évolution du rabattement du niveau piézométrique dans le puits ou
dans les piézomètres de contrôle donne une courbe dépendant de
plusieurs paramètres (par exemple, dans le cas simple de Theis, de 2
paramètres T et S) : on “ identifie ” ces paramètres de l’aquifère en
ajustant la ou les courbes théoriques aux séquences de mesures
•Valider les hypothèses par une analyse de la qualité d ’ajustement

Exemple de pompage d ’essai

Interprétation (2)
h(t) = 9,12 - 2,9 log(t)
t en mn h en m log10
pente :0,183 Q/T = 2,9
débit de pompage : 42 m3/h
il vient T=7,3 10-4 m/s
Temps pour un rabattement nul t=1300 s
Distance x du piézomètre au puits d’essai :140 m
il vient S= 2,25 T t0/x2 = 1,1 10-4 (nappe captive)

libre

Bilans de nappes
Estimation des infiltration sans bouclage

Modèles
globaux :
pluie-niveaux
piézo
GARDENIA

Exemple d ’utilisation de
Gardenia

Evaluer des ressources en eau
souterraines mobilisables (1)
Apports à l ’aquifère  ressources mobilisables
Ressources mobilisées = soustraites aux exutoires naturels
L’exploitation d’une ressource peut en gâcher une autre
Ressources non renouvelables :
 captif  libre
réservoirs aquifères profonds des grands bassins sédimentaires
taux global de renouvellement faible (inférieur à 0,01)

Connaissance de la géométrie du réservoir : étendue, puissances
(décrites par une carte d’isopaches – courbes d’égales épaisseurs des
couches aquifères), connaissance de la distribution des paramètres
d’emmagasinement.
Cette estimation ne doit pas se réduire au chiffrage d’un volume d’eau global mais doit le
répartir dans l’espace en fonction de la structure du réservoir aquifère, de ses variations de
puissance et surtout de l’importance et des positions respectives des composantes dont les
coefficients d’emmagasinement (S) sont d’ordre de grandeur différents :
-aquifères à nappe libre (y compris par dénoyage d’aquifère captif) : S ~ 10-2 ou plus ;
-formations capacitives mais peu transmissives à fonction de “ magasin ” (aquitards) : S ~ 10-3 ;
-aquifères à nappe captives : S ~ 10-4.
Evaluer des ressources en eau
souterraines mobilisables (2)

R1 : réserve exploitable par dénoyage d’aquifère à surface libre (S # 10-2)
R2 : réserve exploitable par dénoyage d’un aquitard drainé par dépression de
l’aquifère captif contigu (S # 10-3)
R3 : réserve explotable par dépression de l’aquifère captif (S # 10-4)
1 : surface piézométrique naturelle de l’aquifère libre
1’ : surface piézométrique naturelle de l’aquifère captif
2 : surface piézométrique naturelle de l’aquitard
3 : surface piézométrique abaissée à la profondeur maximale estimée praticable

libre

Modèles de nappes
Discrétisation des équations sur un maillage :
Transmissivité – T
Coefficient d’emmagasinement – S
Débit prélevé ou injecté – Q
Infiltration par la pluie efficace – Inf
(ou par la maille de la nappe d’au-dessus)
Niveau piézométrique ou charge – H

Principe de calcul
On applique à chaque maille les lois fondamentales de
l’hydrodynamique. On mène les calculs d’une maille à l’autre par
approximations successives de manière itérative. Partant d’un état
initial des charges dans les mailles, on les recalcule les unes après
les autres plusieurs fois avec les charges des mailles voisines et
les conditions de débit, d’infiltration et de charges imposées dans
certaines mailles situées en limite. On arrête les itérations
lorsqu’on obtient une quasi stabilisation des charges calculées
dans toutes les mailles.

Les limites
Verticales : substratum (« mur ») et toit
Horizontales : - naturelles : potentiel ou débit imposé, mixtes
- arbitraires : (modèle partiel) mais selon
lignes de courant (flux nul) ou
équipotentielles (cote imposée)

La discrétisation
C
S
O E
N
Equation d ’équilibre en permanent :
Q + Inf + ∑TCi (Hi – H) = 0
  )
(
.
. ,
4
1 t
i
t
i i
t
dt
t
H
H
T
Infilt
Q
dt
H
H
S
A 






A Aire de la maille (=dx2 pour une maille carrée de côté dx)



















2
2

 p
puits
maille
r
a
Log
T
Q
H
H
Corrections pour singularités
(exemple d ’un puits pompage)

Discrétisation en régime
transitoire
T
dx
S
dt
4
.
100 2


Modèles multicouches (quasi-tridim.)
Ecoulements strictement
bi-dimensionnels
horizontaux dans les
aquifères
Kx = Ky = Kh
Kz = 0
Ecoulements mono-
dimensionnels verticaux
dans les semi-perméables
Kz = Ky
Kx = Ky =0
Empilement d’aquifères séparés par des semi-perméables

Toute différence de charge entre deux aquifères séparés par une semi-
perméable produit un débit d’échange par drainance ;
Les aquifères sont géométriquement délimités par les cotes de leur
toit et de leur mur ;
Les semi-perméables peuvent être réels ou fictifs (pour différencier
deux réservoirs de comportement hydraulique distinct) ;
L’extension des semi-perméables est automatiquement définie par le
toit de l’aquifère sous-jacent et le mur de l’aquifère sus-jacent ;
Les semi-perméables sont supposés non capacitifs ; le volume d’eau
qu’ils peuvent libérer est négligeable par rapport au volume d’eau
disponible dans les aquifères ;
Modèles multicouches (quasi-tridim.)

Singularités :
débits drainés par les rivières

Exemple : modélisation de la
« nappe de Beauce »

Exemple : modèle de gestion de
l ’Albien et de Néocomien

Transmissivités calées
Néocomien

Evolution piézométrique à L'Isle Adam Evolution piézométrique à Paris 13
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000 2025 2050 2075 2100
Piézométrie
en
mNGF
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000 2025
Piézométrie
en
mNGF
Néocomien
Albien
Situation relative de l ’Albien et du Néocomien

Albien Affleurements
Aptien
Argile du Gault
Régime permanent naturel
Néocomien
Sables cénomaniens du Perche
Craie
5
1,5
0
Déstockage: 0
Déstockage: 0
0
Déstockage
0
Déstockage
0
28,2
La Manche
Affleurements
Déstockage: 0
15,1
20,5
2,2
5,5
3,7
16
16
0,3
Bilan

Albien Affleurements
Aptien
Argile du Gault
Régime transitoire 2000
Néocomien
Sables cénomaniens du Perche
Craie
5
1,5
20.2
Déstockage: 0
Déstockage: 0
1,4
Déstockage
0
Déstockage
0
20
La Manche
Affleurements
Déstockage: 0
9,7
21,8
1,6
5,6
12
0,5
1,3
0,8
0,1
4,2
18
1,4
1,4
Bilan avec exploitation

Régime naturel

Avec les prélèvements

Evolution piézométrique à L'Isle Adam Evolution piézométrique à Paris 13
20
30
40
50
60
70
80
90
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Piézométrie
en
mNGF
Piézomètre : L'Isle Adam
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Piézométrie
en
mNGF
Piézomètre : Paris 13
Evolution
piézométrique calculée
Evolution
piézométrique observée
Calage et reconstitution

10+3
m3
/h Mm3
/an 10+3
m3
/h Mm3
/an 10+3
m3
/h Mm3
/an 10+3
m3
/h Mm3
/an
IDF 33 2,2 19,0 2,2 19,0 2,2 19,0 4,1 36,0
Hors IDF 17 0,3 3,0 0,4 3,5 0,4 4,0 0,5 4,6
Total 50 2,5 22,0 2,5 22,5 2,6 23,0 4,6 40,6
IDF 37 0,6 5,0 1,1 10,0 5,0 43,4
Hors IDF 19 0,2 2,0 0,4 4,0 2,9 25,2
Total 86 0,8 7,0 1,6 14,0 7,8 68,6
Total 136 2,5 22,0 3,3 29,5 4,2 37,0 12,5 109,2
Prélèvements de
crise
Forages
actuels
Forages de
secours
Nombredeforages
Prélèvement initiaux
22Mm3
/an 29.5Mm3
/an 37Mm3
/an
Simulation de diverses surexploitations de crise

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