O documento discute séries geométricas, definindo-as como a soma dos termos de uma progressão geométrica. Explica que uma série geométrica converge quando a razão r está entre -1 e 1, divergindo caso contrário. Fornece exemplos de séries geométricas convergentes e divergentes dependendo do valor de r.

1. Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
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SÉRIE GEOMÉTRICA

2. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬, 𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬 𝐞 𝐒é𝐫𝐢𝐞
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Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para 𝑡 = 0 existia apenas uma célula.
para 𝑡 = 120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para 𝑡 = 240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

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Métodos Quantitativos I
𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
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A noção de série é uma extensão da noção de adição a uma infinidade
de parcelas.
Determinadas sequências geométricas, quando somadas, tendem a um
valor numérico fixo, isto é, a introdução de novos termos na soma faz
com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor,
esse tipo de comportamento é chamado de Série Geo. Convergente.
Def.45: Série: Chamamos série à sucessão de pares ordenados
𝒖𝒏, 𝑺𝒏 , que representamos por:
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏

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𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
4
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Se a sucessão, 𝑺𝒏, tiver limite em ℝ, isto é, lim
𝒏
𝑺𝒏 = 𝑺, dizemos que
a série σ𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 é convergente, e escrevemos
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 = 𝑺
Se a sucessão , 𝑺𝒏, é divergente, diremos que a série é divergente.
Def.46: Chama-se natureza de uma série á propriedade que ela tem
de ser convergente ou divergente.
A natureza de uma série não se altera se modificarmos um número
finito dos seus termos.

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𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
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Def.47: Série Geométrica: é a série que se obtém quando se tenta
somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯ = ෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝟏 ∙ 𝒓𝒏
As particularidades ou naturezas das Séries Geométricas:
i. Se −1 < 𝑟 < 1 , sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → 𝟎, quando 𝒏 → ∞, de modo
que:
lim
𝒏
𝑺𝒏 =
𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓
Logo, quando 𝒓 < 𝟏 a série geométrica é convergente e a sua soma é
𝒖𝟏
𝟏−𝒓

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𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
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ii. Se 𝒓 = −𝟏 , 𝑺𝒏 é uma sucessão cujos termos são iguais a 𝒖𝟏 para 𝒏
par e iguais a 𝟎 para 𝒏 ímpar. Esta sucessão não tem limite e,
portanto, a série é divergente.
iii. Se 𝒓 = 𝟏 , 𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 + ⋯ + 𝒖𝟏 = 𝒏 + 𝟏 𝒖𝟏 → ±∞ consoante o
sinal de 𝒖𝟏. Como lim
𝒏
𝑺𝒏 não existe, a série geométrica diverge.
iv. Se 𝒓 > 𝟏, sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → ∞, então 𝑺𝒏 não converge e a
série resultante é divergente.

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Métodos Quantitativos I
𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
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