1) O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante r. 2) É apresentada a fórmula para calcular o termo geral de uma progressão aritmética e a soma dos seus termos. 3) O conceito de interpolação aritmética é explicado como a inserção de termos intermediários em uma progressão para ligar dois números extremos.

1. Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA

2. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬, 𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬 𝐞 𝐒é𝐫𝐢𝐞
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Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para 𝑡 = 0 existia apenas uma célula.
para 𝑡 = 120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para 𝑡 = 240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

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Métodos Quantitativos I
𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐀𝐫𝐢𝐭𝐦é𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬
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Def.43: Progressão Aritmética (P. A.): Uma P. A. é uma sequência
em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com
uma constante 𝒓 dada, ou seja, chama-se P. A. uma sequência dada
pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒓, ∀𝒏 ≥ 𝟐 , 𝒏 ∈ ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão 𝒓 da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏 = 𝒓
Monotonia (P. A.): A monotonia de uma P. A. é analisada em função
do sinal do 𝒓.

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𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐀𝐫𝐢𝐭𝐦é𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬
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Termo Geral (P. A.): O termo geral de P. A., 𝒖𝒏, de razão 𝒓 é dado
por:
𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒓 | 𝒖𝒏 = 𝒖𝒌 + 𝒏 − 𝒌 𝒓
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏 dos 𝒏 primeiros termos de
uma progressão aritmética chama-se progressão aritmética (finita)
de comprimento 𝒏.
Def.44: Soma dos 𝒏 termos de P. A.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma dos termos
de uma P. A. de comprimento 𝒏, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 é dada por:
𝑺𝒏 = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒖𝒊 = 𝒏 ∙ 𝒖𝟏 +
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
=
𝒖𝟏 + 𝒖𝒏
𝟐
× 𝒏

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Def.45: Interpolação Aritmética: Interpolar, inserir ou intercalar 𝑘
meios aritméticos entre os números 𝑎 e 𝑏, consiste em obter uma P. A.
de extremos 𝑢1 = 𝑎 e 𝑢𝑛 = 𝑏 , com 𝑛 = 𝑘 + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P. A. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
𝒓 =
𝒖𝒏 − 𝒖𝟏
𝒌 + 𝟏
Para averiguar se uma sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão aritmética,
deve-se seguir os seguintes passos:
i. Determina a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏

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ii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, for constante, conclui-se que se trata de
uma progressão aritmética.
iii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, depender de 𝒏, concluímos que não se
trata de uma progressão aritmética.