Métodos quantitativos em estatística

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
MÉTODOS
QUANTITATIVOS I

L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
Motivação
2
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
1. O que faz a matemática? Para que serve?
Podemos dizer que a matemática estuda situações
padronizadas: perante um padrão de comportamento, ou seja,
perante certas propriedades ou características comuns a todos
os elementos de um certo universo, tentam-se obter
conclusões, novos factos, verificáveis por todos os elementos
deste universo.
Assim, a partir de modelos de comportamento estudados e
estabelecidos, a matemática tem enorme aplicação na
resolução de questões de outras ciências.

Motivação
3
2. O que é método quantitativo? Para que serve?
Os métodos quantitativos envolvem a recolha de dados
quantitativos, ou seja, informações que podem ser expressas
numericamente, como respostas em escalas de avaliação,
contagens, medidas de desempenho, entre outros.
Ao optar pelo uso do método quantitativo, é possível
confirmar ou refutar essas hipóteses através de dados
numéricos concretos, apresentando de maneira objectiva as
causas e relações de um fenómeno. Os resultados obtidos por
meio dessa pesquisa são precisos e válidos estatisticamente.

Conteúdos Programáticos
4
Capítulo 1 – Álgebra Linear
1.1 Matrizes: Conceitos gerais
1.1.1 Operações com matrizes: Propriedades
1.1.2 Matriz Inversa: definição, propriedades, cálculo da
matriz inversa
1.2 Determinantes: definição, propriedades, cálculo de
determinantes
1.3. Sistemas de equações lineares
1.3.1 Método de Gauss e regra de Cramer

5
1.3.2. Resolução de sistemas lineares pela matriz inversa.
1.3.3 Discussão de sistemas de equações em função de
parâmetros.
Capítulo 2 – Sucessões, progressões e séries
2.1 Sucessões numéricas reais
2.2 Progressões aritméticas e geométricas.
2.3 Séries geométricas. Aplicações Financeiras

6
Capítulo 3 – Funções reais de variável real
3.1 Funções afins e funções quadráticas.
3.2 Funções logarítmicas e exponenciais.
3.3 Conceito de derivada e diferencial.
3.4 Teste da 1ª derivada: Pontos críticos e máximos e mínimos
3.5 Teste da 2ª derivada: Pontos de inflexão, concavidade e
convexidade.
3.6 Diferenciais e derivação implícita.
3.7 Aplicação das derivadas na resolução de problemas
económicos

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝑪𝒐𝒏𝒄𝒆𝒊𝒕𝒐𝒔
7
As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser
encontradas em muitos problemas do nosso dia-a-dia. Por isso,
neste capítulo, iniciaremos o estudo das matrizes com um
problema vindo do nosso cotidiano.
Def.1: Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras,
etc., dispostos em linhas e colunas. É um quadro de números
reais ou complexos dispostos em 𝒎 linhas e 𝒏 colunas.
As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas e
seus elementos entradas da matriz por letras minúsculas.

8
Def.2: Se uma matriz possui 𝒎 linhas e 𝒏 colunas, diremos
que a matriz tem ordem 𝒎 × 𝒏. Se uma matriz possui 𝒏 linhas
e 𝒏 colunas, diremos que é uma matriz quadrada de ordem 𝒏.
𝑨𝒎×𝒏 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏
⋮
𝒂𝒎𝟏
⋮
𝒂𝒎𝟐
⋱ ⋮
⋯ 𝒂𝒎𝒏
Nota.1: A matriz A pode ser denotada por 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒎×𝒏
, onde
𝒂𝒊𝒋 se designa por elemento genérico da matriz A. E cada 𝒂𝒊𝒋
denota o elemento da linha 𝒊 e coluna 𝒋.

9
Def.3: Dada a matriz 𝑨𝒏×𝒏, chama-se:
i. Diagonal principal da matriz A, aos elementos 𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝟐𝟐,
𝒂𝟑𝟑, …, 𝒂𝒏𝒏.
ii. Traço da matriz 𝑨, tr 𝑨 , à soma dos elementos da
diagonal principal.
𝐭𝐫 𝑨 = 𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏 = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒂𝒏𝒏
Def.4: Chamamos matriz linha (coluna) ou vector linha
(coluna) a toda a matriz do tipo 𝟏 × 𝒏 𝒎 × 𝟏 .

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝑻𝒊𝒑𝒐𝒔
10
Def.5: Dada a matriz 𝑨𝒏×𝒏, chama-se:
i. Matriz Diagonal se 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para 𝒊 ≠ 𝒋.
ii. Matriz Escalar se 𝑨 for uma matriz diagonal, com todos
os elementos da diagonal iguais.
iii. Matriz Identidade, 𝑰𝒏, se 𝑨 for uma matriz escalar, com
todos os elementos da diagonal iguais a 1.
iv. Matriz Nula, 𝟎, se 𝑨 for uma matriz com todos as
entradas nulas, 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎.

11
v. Matriz Triangular Superior se 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para 𝒊 > 𝒋.
vi. Matriz Triangular Inferior se 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para 𝒊 < 𝒋.
Def.6: Uma matriz é denominada Matriz Elementar: se for
obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.
Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos:
1. A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna);
2. A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor 𝜶 ∈
ℝ;
3. A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor
𝜶 ∈ ℝ, com outra linha (ou coluna).

12
Ex.6.a: A matriz elementar de ordem 4 obtida ao multiplicar
na linha 3 da matriz identidade (de ordem 4) por −2 é dada
por:
𝑬 =
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
−𝟐 𝟎
𝟎 𝟏
Ex.6.b: A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a
linha 1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 é dada
por:

13
𝑬 =
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
Ex.6.c: A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a
linha 3 por −3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de
ordem 3) é dada por:
𝑬 =
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 −𝟑
Nota.2: Não precisam focar nestas definições: matriz
idempotente; matriz periódica de período p; matriz nilpotente
de ordem 𝑘.

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂çõ𝒆𝒔
14
Sejam matrizes 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒎×𝒏
e 𝑩 = 𝒃𝒊𝒋 𝒎×𝒏
duas matrizes
quaisquer.
Def.7: Igualdade: dizem-se iguais se:
1. 𝑨 e 𝑩 são matrizes do mesmo tipo 𝒎 × 𝒏.
2. 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, isto é, os elementos
em posição correspondente são iguais.
Def.8: Adição: 𝑨 + 𝑩 se obtém adicionando os elementos em
posição correspondente, isto é,

15
𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏
⋮
𝒂𝒎𝟏 ⋯
⋮
𝒂𝒎𝒏
+
𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒃𝟏𝒏
𝒃𝟐𝟏 ⋯ 𝒃𝟐𝒏
⋮
𝒃𝒎𝟏 ⋯
⋮
𝒃𝒎𝒏
=
𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏
⋮
𝒂𝒎𝟏+ + 𝒃𝒎𝟏 ⋯
⋮
𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏
Def.9: Multiplicação por um Escalar: 𝝀𝑩 se obtém multiplicando cada
um dos elementos da matriz 𝝀𝑩 por 𝝀.
Propr.1: Adição de Matrizes: Para todas as matrizes 𝑨, 𝑩, 𝑪 ∈
𝑴𝒎×𝒏 𝕜 e todos os escalares 𝝀, 𝝁 ∈ 𝕜:
i. Comutativa: 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨.
ii. Associativa: 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 .
iii.Distributiva: 𝝀 𝑨 + 𝑩 = 𝝀𝑨 + 𝝀𝑩 / 𝝀 + 𝝁 𝑨 = 𝝀𝑨 + 𝝁𝑨

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟏𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂çõ𝒆𝒔
16

17
Sejam duas matrizes quaisquer.
Def.10: Multiplicação de Matrizes: O producto da matriz
𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒎×𝒏
pela matriz 𝑩 = 𝒃𝒊𝒋 𝒏×𝒑
resulta numa matriz
𝑪 = 𝒄𝒊𝒋 𝒎×𝒑
, onde 𝒄𝒊𝒋 = σ𝒌=𝟏
𝒏
𝒂𝒊𝒌 𝒃𝒌𝒋
Nota.3:
1. O produto de 𝑨 por 𝑩 só está definido se o número de
colunas da matriz 𝑨 for igual ao número de linhas da matriz
𝑩.

18
2. O elemento 𝒊𝒋 da matriz produto 𝑨𝑩 obtém-se
multiplicando a linha 𝒊 da matriz 𝑨, pela coluna 𝒋 da matriz
𝑩.
⋮
⋯ 𝑪𝒊𝒋 ⋯
⋮
= 𝒂𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝒏 𝒎×𝒏 =
𝒃𝟏𝒋
𝒃𝟐𝒋
⋮
𝒃𝒏𝒋 𝒏×𝒑
3. Repare-se que do facto de o produto AB estar definido não
se pode concluir que o produto BA esteja definido também.
Ainda que esteja, em geral, 𝑨𝑩 ≠ 𝑩𝑨.

19
Propr.2: Multiplicação de Matrizes: Para todas as matrizes 𝑨𝒎×𝒏,
𝑩𝒏×𝒑, 𝑪𝒑×𝒒 e 𝑫𝒒×𝒓:
i. Associativa: 𝑨𝑩 𝑪 = 𝑨 𝑩𝑪 .
ii. Distributiva em relação a multipl. por escalar: 𝝀 𝑨𝑩 = 𝝀𝑨 𝑩
iii. Distributiva em relação à adição: 𝑨 𝑩 + 𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪
iv. Multiplicação pela Matriz Identidade: 𝑨𝑰𝒏 = 𝑨
Def.11: Dizemos que 𝑨 e 𝑩 são Matrizes Permutáveis se 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨
Nota.4: Dadas as matrizes 𝑨, 𝑩 e 𝑪 tais que 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 não podemos
concluir que 𝑩 = 𝑪. E se 𝑨𝑩 = 𝟎 não podemos concluir que 𝑨 = 𝟎
ou 𝑩 = 𝟎

20
Def.12: Dada uma matriz 𝑨𝒎×𝒏, chama-se Transposta de 𝑨 à matriz
do tipo 𝒏 × 𝒎 que se obtém de 𝑨 após tocarmos as linhas com as
colunas (ou colunas com as linhas), de modo que a entrada 𝒊𝒋 da
matriz 𝑨𝑻
seja o elemento 𝒂𝒋𝒊 da matriz 𝑨.
Propr.3: Transposta de Matriz: Para todas as matrizes 𝑨𝒎×𝒏, 𝑩𝒏×𝒑,
𝑪𝒏 e 𝒌 ∈ ℕ𝟎
i. 𝑨𝑻 𝑻
= 𝐀
ii. 𝑨𝒌 𝑻
= 𝑨𝑻 𝒌
iii. 𝑨 + 𝑩 𝑻 = 𝐀𝐓 + 𝐁𝐓
iv. 𝝀𝑨 𝑻
= 𝝀 𝑨𝑻
v. 𝑨𝑩 𝑻 = 𝑩𝑻𝑨𝑻
vi. 𝐭𝐫 𝑪𝑻
= 𝐭𝐫 𝑪

21
Propr.4: Traço de Matriz: Para todas as matrizes 𝑨𝒏, 𝑩𝒏:
i. 𝐭𝐫 𝑨 + 𝑩 = 𝐭𝐫 𝑨 + 𝐭𝐫 𝑩
ii. 𝐭𝐫 𝑨𝑩 = 𝐭𝐫 𝑩𝑨
iii. Multiplicação pela Matriz Identidade: 𝑨𝑰𝒏 = 𝑨
Def.13: (Potenciação) Dada uma matriz 𝑨𝒏 e 𝒌 ∈ ℕ definimos a
potência 𝒌 de 𝑨, 𝑨𝒌
, por:
𝑨𝟎
= 𝑰𝒏 / 𝑨𝒌
= 𝑨𝒌−𝟏
∙ 𝑨
Def.14: Diz-se que 𝑨𝒏 é uma Matriz Simétrica se 𝑨𝑻 = 𝑨
Def.15: Diz-se que 𝑨𝒏 é uma Matriz Ante-Simétrica se 𝑨𝑻
= −𝑨
iv. 𝐭𝐫 𝝀𝑨 = 𝝀 𝐭𝐫 𝑨

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟐𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂çõ𝒆𝒔
22

23

24

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐌𝐨𝐭𝐢𝐯𝐚çã𝐨
25
Todo número real 𝑎, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou
seja, existe um número 𝑏, tal que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1. Denotamos por 𝒂−𝟏
.
Apesar da álgebra matricial ser semelhante à álgebra dos números
reais, nem todas as matrizes 𝑨 não nulas possuem inversa, ou seja,
nem sempre existe uma matriz 𝐵 tal que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 𝑰𝒏
Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que
já diferencia do caso dos números reais, pois todo numero não nulo
tem inverso.
Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa,
apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o
conjunto das que tem.

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚
26
Def.16: (Matriz Inversa) Seja 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏.
Se existir uma matriz 𝑩 de ordem 𝒏 tal que 𝑨𝑩 = 𝑰 = 𝑩𝑨 diz-se que
a matriz 𝑨 é invertível ou não singular e que 𝐵 é a matriz inversa de
𝑨, dado por: 𝑨−𝟏 = 𝑩
Teor.1: Matrizes invertíveis: Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes invertíveis.
i. Se uma matriz 𝑨𝒏 possui inversa, então essa inversa é única
ii. 𝑨𝑩 é invertível e 𝑨𝑩 −𝟏 = 𝑩−𝟏 ∙ 𝑨−𝟏
iii. 𝑨−𝟏
é invertível e 𝑨−𝟏 −𝟏
= 𝑨
iv. 𝑨𝑻 ou 𝑨𝒏 é invertível e 𝑨𝑻 −𝟏
= 𝑨−𝟏 𝑻
ou 𝑨𝒏 −𝟏 = 𝑨−𝟏 𝒏

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐌é𝐭𝐨𝐝𝐨𝐬
27
É possível resolver os três sistemas em simultâneo, construindo uma
matriz ampliada constituída à esquerda pela matriz dada e à direita
pela matriz identidade.
1- Algoritmo de Gauss-Jordan para a determinação da inversa
Seja 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏.
1) Construímos a matriz ampliada 𝑨ȁ𝑰 ;
2) Efectuamos operações elementares somente nas linhas de
𝑨ȁ𝑰 por forma a obtermos a matriz identidade à esquerda;
3) Se for possível obter à esquerda a matriz identidade 𝑰ȁ𝑩 então a
matriz 𝑨 é invertível e 𝑩 é a inversa de 𝑨, 𝑨−𝟏
= 𝑩.

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟑𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚
28

29
Def.17: Chamamos característica de uma matriz 𝑨, 𝐜𝐚𝐫 𝑨 , ao
número de linhas não nulas de uma qualquer matriz condensada
associada a 𝑨.
Nota.4:
1. A característica de uma matriz não depende das operações
elementares efectuadas sobre as linhas.
2. Se ao efectuarmos a condensação obtivermos na matriz 𝑨 uma
linha nula, concluímos que a característica de 𝑨𝒏 não é máxima,
𝐜𝐚𝐫 𝑨 < 𝒏, e consequentemente 𝑨 não é invertível.
3. Se 𝑨 é uma matriz de ordem 𝒏 então 𝑨 é invertível se e só se
𝐜𝐚𝐫 𝑨 = 𝒏

30
2 - Determinante e Matriz Adjunta para determinação da Inversa
A determinação da Matriz Inversa também pode ser resumida nestes
Teoremas:
Teor.2: Matrizes inversa: Sejam 𝑨𝒏 e 𝑩𝒏 matrizes quaisquer.
1) Se 𝑩𝒏 então 𝑩 é invertível se e só se 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝑨 ≠ 𝟎;
2) Se 𝑨𝒏 invertível então a inversa de 𝑨 é dado por:
𝑨−𝟏
=
𝟏
𝑨
∙ 𝐚𝐝𝐣 𝑨
onde 𝐝𝐞𝐭 𝑨 - Determinante e 𝐚𝐝𝐣 𝑨 - Matriz Adjunta

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳
31
Def.18: Chamamos menor complementar de índices 𝒊𝒋, 𝑴𝒊𝒋, ao
determinante (de ordem 𝒏 − 𝟏) da submatriz que se obtém de 𝑨𝒏
omitindo a linha 𝒊 e a coluna 𝒋.
Def.19: Chamamos complemento algébrico de índices 𝒊𝒋, Cofator,
a
𝑪𝒊𝒋 = −𝟏 𝒊+𝒋
∙ 𝑴𝒊𝒋
Nota.4: Um menor complementar e o respectivo complemento
algébrico ou são iguais ou são simétricos.
Def.20: O determinante de ordem 𝒏 de uma matriz 𝑨𝒏 é dado por
𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝒂𝟏𝟏𝑪𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝑪𝟏𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝑪𝟏𝒏

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞𝐒𝐚𝐫𝐫𝐮𝐬
32
Regra de Sarrus
A Regra de Sarrus é um método desenvolvido para realizarmos o
cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e ordem 3.
1) Se 𝑨𝟐, basta calcular a diferença entre o produto dos termos da
diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária.
2) Se 𝑨𝟑, temos de seguir os passos seguintes:
a. Copiar as duas primeiras colunas novamente, no final da matriz.
b.Identificar os termos da diagonal principal e das outras duas
diagonais paralelas a ela.

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞𝐒𝐚𝐫𝐫𝐮𝐬
33
c. Calcular a soma do produto entre os termos de cada uma das
diagonais.
d.Identificar os termos da diagonal secundária e das outras duas
diagonais paralelas a ela.
e. Calcular a soma do produto de cada uma das diagonais.
f. Calcular a diferença entre as duas diagonais.

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟒𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞
34

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞
35
Embora a definição de determinante use um desenvolvimento através
da primeira linha, pode provar-se que utilizando desenvolvimentos
análogos, através de qualquer linha ou coluna obtém-se sempre o
mesmo valor.
Teorema de Laplace
O determinante de 𝑨𝒏 é igual à soma dos produtos dos elementos
de uma qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos
algébricos, ou seja,
𝐝𝐞𝐭 𝑨 = ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝒂𝒊𝒏𝑪𝒊𝒏 ou 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝒂𝒏𝒋𝑪𝒏𝒋

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
36
1 2 1 0
3 1 2 4
0 0 2 1
4 5 0 1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
C33 = (-1)(3+3) ∙ D33
C33 = (-1)6 ∙
1 2 0
3 1 4
4 5 1
1 32 0
0 -20 -6
= 1 ∙ (-26 + 33) = 7
1 2
3 1
4 5

37
1 2 1 0
3 1 2 4
0 0 2 1
4 5 0 1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
C34 = (-1)(3+4) ∙ D34
C34 = (-1)7 ∙ 1 2 1
3 1 2
4 5 0
1 2
3 1
4 5
0 16 15
-4 -10 0
= - 1 ∙ (-14 + 31) = -17

38
1 2 1 0
3 1 2 4
0 0 2 1
4 5 0 1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
D = 2 ∙ 7 + 1 ∙ (-17)
D = 14 – 17
D = - 3

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞
39
Propr.4: Determinante: Para todas as matrizes 𝑨𝒏 e 𝑩𝒏:
i. Se adicionarmos o produto dos elementos de uma linha de A
pelos complementos algébricos de outra linha obtemos zero para
resultado.
ii. Se adicionarmos o produto dos elementos de uma coluna de A
pelos complementos algébricos de outra coluna obtemos zero
para resultado.
iii. Se a uma linha (coluna) adicionarmos um múltiplo escalar de
outra o determinante não se altera;
iv. Se trocarmos duas linhas (colunas) o determinante muda de
sinal;

𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭e
40
v. Se multiplicarmos uma linha (coluna) por um escalar o
determinante é também multiplicado pelo mesmo escalar.
vi. Se 𝑨 tem uma linha (coluna) nula então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝟎.
vii. Se 𝑨 tem duas linhas (colunas) proporcionais então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 =
𝟎.
viii. Se A tem uma linha (coluna) que é combinação linear das
restantes então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝟎.
ix. Se é invertível, então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 =
𝟏
𝐝𝐞𝐭 𝑨
x. 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑻
xi. 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝒌
= 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝒌
xii. 𝐝𝐞𝐭 𝜶𝑨 = 𝜶𝒏
∙ 𝐝𝐞𝐭 𝑨
xiii.𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 ∙ 𝐝𝐞𝐭 𝑩

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟒𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞
41

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀𝐝𝐣𝐮𝐧𝐭𝐚
42
Def.21: Dada uma matriz 𝑨𝒏, chamamos adjunta de 𝑨 , 𝐚𝐝𝐣 𝑨 , à
transposta da matriz dos complementos algébricos de 𝑨, isto é,
𝐚𝐝𝐣 𝑨 =
𝑪𝟏𝟏 ⋯ 𝑪𝟏𝒏
𝑪𝟐𝟏 ⋯ 𝑪𝟐𝒏
⋮
𝑪𝒏𝟏 ⋯
⋮
𝑪𝒏𝒏
𝐓
Propr.5: Adjunta: Para todas as matrizes 𝑨𝒏 e 𝑩𝒏:
i. 𝐚𝐝𝐣 𝑨𝑻
= 𝐚𝐝𝐣 𝑨
𝑻
ii. 𝐚𝐝𝐣 𝑨𝑩 = 𝐚𝐝𝐣 𝑨 ∙ 𝐚𝐝𝐣 𝑩
iii.𝐚𝐝𝐣 𝝀𝑨 = 𝝀𝒏−𝟏
∙ 𝐚𝐝𝐣 𝑨
iv. 𝐚𝐝𝐣 𝑨−𝟏
= 𝐚𝐝𝐣 𝑨
−𝟏
v. 𝐚𝐝𝐣 𝑨 = 𝑨 𝒏−𝟏

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟓𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀𝐝𝐣𝐮𝐧𝐭𝐚
43

𝐒𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫
44
Grande parte dos problemas estudados em Álgebra Linear recaem na
resolução ou discussão de sistemas de equações lineares.
Muitas vezes na Ciência, na Administração e na Matemática, a
informação é organizada em linhas e colunas, formando
agrupamentos rectangulares denominados “matrizes”.
Com frequência, essas matrizes aparecem como tabelas de dados
numéricos que surgem em observações físicas, mas também ocorrem
em vários contextos matemáticos.

45
Def.22: Chamamos operações elementares sobre as linhas de 𝑨 às
seguintes operações:
i. Troca de linhas;
ii. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo;
iii. Adição a uma linha de um múltiplo escalar de outra linha.
Notação:
i. 𝑳𝒊𝒂
↔ 𝑳𝒊𝒃
indica a troca de posições das linhas 𝒊𝒂 e 𝒊𝒃;
ii. 𝑳𝒊 → 𝜶𝑳𝒊 indica a multiplicação da linha 𝒊 pelo escalar 𝜶;
iii. 𝑳𝒊𝒂
→ 𝑳𝒊 + 𝜶𝑳𝒊𝒃
indica que à linha 𝒊𝒂 adicionamos a linha 𝒊𝒃
multiplicada por 𝜶.

46
Def.22: Dizemos que uma matriz está condensada por linhas se
forem verificadas as condições seguintes:
i. Abaixo do primeiro elemento não nulo de cada linha (pivot)
todas as entradas são nulas;
ii. Abaixo de uma linha nula não existem linhas não nulas;
iii. O primeiro elemento não nulo de cada linha está situado numa
coluna à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior.
Def.23: Dizemos que 𝐔 é uma matriz condensada associada a 𝑨, se
for possível obter 𝐔 − Matriz Trangular Superior através de
operações elementares sobre as linhas de 𝑨.

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟔𝐒𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫
47

𝐒𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐄𝐪𝐮𝐚çõ𝐞𝐬 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐞𝐬
48
Def.24: Uma equação linear nas variáveis 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, 𝑥𝑛 é uma
equação do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, onde 𝑎1, 𝑎2,
𝑎3, …, 𝑎𝑛, 𝑏 ∈ ℝ.
Aos números 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, …, 𝒂𝒏 chamamos coeficientes e 𝒃 é dito o
termo independente.
Def.25: Diz-se que uma sequência ordenada 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 de
números reais é solução da equação linear 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ +
𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃 se ao substituirmos 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 respectivamente por
𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 obtivermos uma proposição verdadeira.
Ao conjunto de todas as soluções chamamos solução geral ou
conjunto solução.

49
Def.26: A uma conjunção de 𝑚 equações lineares em 𝑛 incógnitas 𝑥1,
𝑥2, …, 𝑥𝑛
ቐ
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
chamamos sistema de 𝒎 equações lineares e 𝒏 incógnitas.
Def.27: Uma sequência ordenada 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 de números reais diz-
se sistema de 𝒎 equações lineares e 𝒏 incógnitas, se transformar as
𝑚 equações em proposições verdadeiras.
Def.28: Dois sistemas de 𝑚 equações lineares e 𝑛 incógnitas dizem-
se sistemas equivalentes se tiverem as mesmas soluções.

50
Def.29: Um sistema de equações lineares com todos os termos
independentes iguais a zero, 𝒃𝒊 = 𝟎, 𝑖 = 1, … , 𝑛 diz-se um sistema
homogéneos.
Os sistemas homogéneos 𝐴𝑋 = 0 são sempre possíveis, pois admitem
pelo menos a solução trivial ( 0, 0, ..., 0).
Def.30: Todo o sistema de equações lineares pode ser representado na
forma matricial 𝑨𝑿 = 𝑩 onde:
i. 𝑨 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
⋯ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
⋯ 𝒂𝟐𝒏
⋮
𝒂𝒎𝟏
⋮
𝒂𝒎𝟐
⋱ ⋮
⋯ 𝒂𝒎𝒏
é a matriz constituída pelos
coeficientes do sistema, dita matriz do sistema.

51
ii. 𝑿 =
𝒙𝟏
𝒙𝟐
⋮
𝒙𝒏
é a matriz constituída pelas variáveis do sistema, dita
matriz das incógnitas.
iii. 𝑿 =
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝒎
é a matriz constituída pelas variáveis do sistema,
dita matriz dos termos independentes.

52
iv. 𝑨ȁ𝑩 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
⋯ 𝒂𝟏𝒏 ห 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
⋯ 𝒂𝟐𝒏 ห 𝒃𝟐
⋮
𝒂𝒎𝟏
⋮
𝒂𝒎𝟐
⋱ ⋮ ȁ ⋮
⋯ 𝒂𝒎𝒏 ห 𝒃𝒎
chamamos matriz
ampliada ou matriz completa do sistema.
Teor.2: Sistema Linear: Para cada sistema de equações lineares
verifica-se uma e uma só das seguintes condições: O Sistema
i. não tem solução (sistema impossível);
ii. tem uma solução única (sistema possível e determinado);
iii. tem uma infinidade de soluções (sistema possível e Indeterminado);

53
Teor.2.1: Sistema Linear: Seja 𝑨𝑿 = 𝑩 um sistema de equações
lineares:
i. Se 𝐜𝐚𝐫 𝑨 ≠ 𝐜𝐚𝐫 ȁ
𝑨 𝑩 então o sistema é impossível;
ii. Se 𝐜𝐚𝐫 𝑨 = 𝐜𝐚𝐫 ȁ
𝑨 𝑩 então o sistema é possível:
a) Se 𝐜𝐚𝐫 𝑨 = 𝐜𝐚𝐫 ȁ
𝑨 𝑩 = nº de incógnitas então o sistema
é possível e determinado;
b) Se 𝐜𝐚𝐫 𝑨 = 𝐜𝐚𝐫 ȁ
𝑨 𝑩 < nº de incógnitas então o sistema
é possível e indeterminado;
Nota.4: Num sistema possível e indeterminado a diferença entre o nº
de incógnitas e a característica da matriz ampliada do sistema dá-nos
o nº de variáveis livres do sistema ou grau de indeterminação.

54
1- Método de eliminação de Gauss, para a classificação e resolução
de sistemas de equações lineares na forma 𝑨𝑿 = 𝑩:
1) Constrói-se a matriz ampliada do sistema 𝑨ȁ𝑩 ;
2) Condensa-se a matriz 𝑨ȁ𝑩 ;
3) Utiliza-se o teorema anterior para classificar o sistema;
4) No caso de o sistema ser possível, passamos a matriz condensada
associada a 𝑨ȁ𝑩 para o sistema correspondente e usamos o
método de substituição para determinar as incógnitas.
Nota.5: Para todo o sistema homogéneo possível e indeterminado de
grau 𝑘, existem sempre 𝑘 soluções à custa das quais se pode escrever
qualquer outra solução.

55
Def.31: Uma matriz 𝑨 está na forma escalonada reduzida quando
satisfaz as seguintes condições:
i. Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem
abaixo das linhas não nulas;
ii. O pivot de cada linha não nula é igual a 1;
iii. O pivot de cada linha não nula ocorre a direita do pivot da linha
anterior.
iv. Se uma coluna contem um pivot, então todos os seus outros
elementos são iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (i) e (iii), mas não
necessariamente (ii) e (iv), dizemos que ela está na forma escalonada.

56
1 1 3
2 2 3
3
3
2
1 0 3 8 1 0 0 4
0 1 3/ 2 3 0 1 0 3
0 0 1 4 0 0 1 4
L L L
L L L
→ −
→ −
−
   
   
− →
   
   
− −
   
Matriz Escalonada Matriz Escalonada
Reduzida por linhas
Eliminação Gaussiana
Eliminação de Gauss-Jordan

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜í𝐜𝐢𝐨 𝟕𝐄𝐪𝐮𝐚çõ𝐞𝐬 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐞𝐬
57

58
Regra de Cramer
Todo o sistema de 𝒏 equações lineares com 𝒏 incógnitas 𝑨𝑿 = 𝑩 tal
que 𝐝𝐞𝐭 𝑨 ≠ 𝟎 tem uma única solução dada por
𝒙𝒋 =
𝐝𝐞𝐭 𝑨𝐣
𝐝𝐞𝐭 𝑨
, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
onde 𝑨𝐣 é a matriz que se obtém substituindo a coluna 𝒋 de 𝑨 pela
coluna dos termos independentes do sistema.

59
𝐴1
❑ ቐ
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2
−2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = −4
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
Regra de Cramer
A =
1 −3 1
−2 −3 −1
−1 2 −1
𝐴1 =
−2 −3 1
−4 −3 −1
1 2 −1
𝐴2 =
1 −2 1
−2 −4 −1
−1 1 −1
𝐴3 =
1 −3 −2
−2 −3 −4
−1 2 1
𝐴−1 =
5 −1 6
−1 0 −1
−7 1 −9

𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬, 𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬 𝐞 𝐒é𝐫𝐢𝐞
60
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para 𝑡 = 0 existia apenas uma célula.
para 𝑡 = 120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para 𝑡 = 240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

𝐒𝐮𝐜𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬
61
Def.32: Chama-se sucessão de números reais a toda a aplicação de ℕ
em ℝ . Os elementos do contradomínio chamam-se termos da
sucessão.
𝒖 ∶ ℕ → ℝ
𝒏 ↦ 𝒖 𝒏
Def.33: Uma sucessão pode ser definida por uma expressão analítica
através da qual podemos encontrar cada elemento ou termo da
sucessão. Tal expressão é designada por termo geral da sucessão.
𝒖 𝒏 = 𝒖𝒏 = 𝒏𝟐
𝒖𝒏 =
𝟏 + −𝟏 𝒏+𝟏
𝒏
𝟐

62
Def.34: Dizemos que a sucessão 𝒖𝒏 está definida por recorrência,
ou recursivamente, se conhecidos os termos 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏 da
sucessão, o termo 𝒖𝒏+𝟏 é expresso em função daqueles.
𝒖𝟏 = 𝟏, 𝒖𝟐 = 𝟏, . . . , 𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒖𝒏−𝟐
Def.35: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se majorada, ou limitada
superiormente, se existir um número real 𝑳 tal que 𝒖𝒏 ≤ 𝑳 para todo
o 𝒏 ∈ ℕ. Dizemos que 𝑳 é um majorante da sucessão 𝒖𝒏.
Def.36: Analogamente, uma sucessão 𝒖𝒏é minorada, ou limitada
inferiormente, se existir um número real 𝓵 tal que 𝓵 ≤ 𝒖𝒏 para todo o
𝒏 ∈ ℕ. Dizemos que 𝓵 é um minorante da sucessão e que é 𝒖𝒏
minorada por 𝓵.

63
Def.37: Se 𝒖𝒏 é majorada e minorada, então diremos simplesmente
que 𝒖𝒏 é limitada. Neste caso, existe um numero 𝑴 > 𝟎 tal que
𝒖𝒏 ≤ 𝑴 e, diremos que 𝒖𝒏 é limitada por 𝑴.
Def.38: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se crescente se 𝒖𝒏 ≤ 𝒖𝒏+𝟏; diz-se
estritamente crescente se 𝒖𝒏 > 𝒖𝒏+𝟏; diz-se decrescente se 𝒖𝒏 ≥
𝒖𝒏+𝟏 ; diz-se estritamente decrescente se 𝒖𝒏 > 𝒖𝒏+𝟏 ; diz-se
monótona se for crescente ou decrescente.
Def.39: Sejam 𝒖𝒏 uma sucessão e 𝜶 ∈ ℝ. Diz-se que 𝒖𝒏 converge
para 𝜶 (ou tende para 𝜶 ou, ainda, que o limite da sucessão é 𝜶), e
representa-se 𝒖𝒏 ⟶ 𝜶, se
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒑 ∈ ℕ: 𝒏 > 𝒑 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝜶 < 𝜺

64

65
Teor.3: Toda a sucessão convergente é limitada.
Teor.4: Toda a sucessão monótona limitada é convergente.
Teor.5: Teorema das sucessões enquadradas: Se 𝒖𝒏 ⟶ 𝜶, 𝒗𝒏 ⟶ 𝜶
e a partir de certa ordem, 𝒖𝒏 ≤ 𝒘𝒏 ≤ 𝒗𝒏, então 𝒘𝒏 ⟶ 𝜶.
Def.41: Uma sucessão 𝒖𝒏 diz-se de Cauchy (ou fundamental) se
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒑 ∈ ℕ: 𝒎, 𝒏 > 𝒑 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝒖𝒎 < 𝜺
Teor.6: Teorema das sucessões convergentes: Uma sucessão real é
convergente se, e só se, for de Cauchy.

66
Def.42: Limite de Sucessão: Diz-se que o número real 𝒂 é limite da
sucessão 𝒖𝒏 de números reais, e escreve-se
lim
𝒏→∞
𝒖𝒏 = 𝒂
quando para qualquer número real positivo 𝜺, dado arbitrariamente,
for possível encontrar um número natural 𝒏𝟎 tal que para todos os
índices 𝒏 superiores a 𝒏𝟎, a distância do termo 𝒖𝒏 a 𝒂 é inferior a 𝜺,
isto é,
∀𝜺 > 𝟎 ∃𝒏𝟎 ∈ ℕ: 𝒏 > 𝒏𝟎 ⇒ 𝒖𝒏 − 𝒂 < 𝜺
Toda sucessão que possui limite diz-se convergente, escreve-se
𝒖𝒏 ⟶ 𝜶. Caso contrário, diz-se divergente.

67
Indução Matemática
Para demonstrar que certas propriedades são válidas no conjunto dos
números naturais, ℕ, usa-se o Princípio de Indução Matemática que
passamos a enunciar:
Uma propriedade é válida para todos os números naturais se:
i. A propriedade é válida para 𝒏 = 𝟏;
ii. Para todo o 𝒏 ∈ ℕ, se a propriedade é válida para 𝒏, então ela é
válida para 𝒏 + 𝟏.

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
68

69

70

𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐀𝐫𝐢𝐭𝐦é𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬
71
Def.43: Progressão Aritmética (P. A.): Uma P. A. é uma sequência
em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com
uma constante 𝒓 dada, ou seja, chama-se P. A. uma sequência dada
pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒓, ∀𝒏 ≥ 𝟐 , 𝒏 ∈ ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão 𝒓 da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏 = 𝒓
Monotonia (P. A.): A monotonia de uma P. A. é analisada em função
do sinal do 𝒓.

72
Termo Geral (P. A.): O termo geral de P. A., 𝒖𝒏, de razão 𝒓 é dado
por:
𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒓 ȁ 𝒖𝒏 = 𝒖𝒌 + 𝒏 − 𝒌 𝒓
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏 dos 𝒏 primeiros termos de
uma progressão aritmética chama-se progressão aritmética (finita)
de comprimento 𝒏.
Def.44: Soma dos 𝒏 termos de P. A.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma dos termos
de uma P. A. de comprimento 𝒏, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 é dada por:
𝑺𝒏 = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒖𝒊 = 𝒏 ∙ 𝒖𝟏 +
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
=
𝒖𝟏 + 𝒖𝒏
𝟐
× 𝒏

73
Def.45: Interpolação Aritmética: Interpolar, inserir ou intercalar 𝑘
meios aritméticos entre os números 𝑎 e 𝑏, consiste em obter uma P. A.
de extremos 𝑢1 = 𝑎 e 𝑢𝑛 = 𝑏 , com 𝑛 = 𝑘 + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P. A. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
𝒓 =
𝒖𝒏 − 𝒖𝟏
𝒌 + 𝟏
Para averiguar se uma sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão aritmética,
deve-se seguir os seguintes passos:
i. Determina a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏

74
ii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, for constante, conclui-se que se trata de
uma progressão aritmética.
iii. Se a diferença 𝒖𝒏 − 𝒖𝒏−𝟏, depender de 𝒏, concluímos que não se
trata de uma progressão aritmética.

𝐏𝐫𝐨𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬õ𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
75
Def.43: Progressão 𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 (P. G.): Uma P. G. é uma
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do
anterior por uma constante 𝒓 dada, ou seja, chama-se P. G. uma
sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
𝒖𝟏 = 𝒂
𝒖𝒏 = 𝒖𝒏−𝟏 × 𝒓, ∀𝒏 ≥ 𝟐 , 𝒏 ∈ ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão 𝒓 da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
= 𝒓

76
Monotonia (P. G.): A monotonia de uma P. G. é analisada em função
do sinal do 𝒖𝟏, sendo:
Razão Primeiro Termo, 𝒖𝟏 Monotonia
𝒓 > 𝟏
Positivo, + Crescente
Negativo, − Decrescente
𝟎 < 𝒓 < 𝟏
Positivo, + Decrescente
Negativo, − Crescente
𝒓 < 𝟎
Positivo, +
Não Monótona
Negativo, −
Termo Geral (P. G.): O termo geral de P. G., 𝒖𝒏, de razão 𝒓 é dado
por:
𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 ∙ 𝒓 𝒏−𝟏
ȁ 𝒖𝒏 = 𝒖𝒌 ∙ 𝒓 𝒏−𝒌

77
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏 dos 𝒏 primeiros termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica (finita)
de comprimento 𝒏.
Def.44: Soma e Produto dos 𝒏 termos de P. G.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma
e producto termos de uma P. G. de comprimento 𝒏, é dada por:
𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 ×
𝟏 − 𝒓𝒏
𝟏 − 𝒓
=
𝒖𝟏 − 𝒖𝒏 ∙ 𝒓
𝟏 − 𝒓
ȁ 𝑷𝒏 = 𝒖𝟏
𝒏
× 𝒓
𝒏 𝒏−𝟏
𝟐
Se 𝒓 = 𝟏, então 𝑺𝒏 = 𝒏 × 𝒖𝟏, pois 𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟏 + 𝒖𝟏 + ⋯ + 𝒖𝟏

78
Def.45: Interpolação Geométricas: Interpolar, inserir ou intercalar 𝑘
meios geométricos entre os números 𝑎 e 𝑏, consiste em obter uma P.
G. de extremos 𝑢1 = 𝑎 e 𝑢𝑛 = 𝑏 , com 𝑛 = 𝑘 + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P. G. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
𝒓 =
𝒌+𝟏 𝒖𝒏
𝒖𝟏
Para averiguar se uma sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão geométrica,
deve-se seguir os seguintes passos:

79
ii. Determina a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
iii. Se a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
, for constante, conclui-se que se trata de uma
progressão geométrica.
iv. Se a razão
𝒖𝒏−𝟏
𝒖𝒏
, depender de 𝒏, concluímos que não se trata de uma
progressão aritmética.

80
Dado 𝒏 ∈ ℕ, a sequência 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏, … dos 𝒏 + 𝟏 termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica
(infinita) de comprimento 𝒏 + 𝟏.
Def.44: Soma dos 𝒏 termos de P. G.: Dado 𝒏 ∈ ℕ, soma dos termos
de uma P. G. de comprimento 𝒏 + 𝟏, é dada por:
lim
𝒏
𝑺𝒏 = 𝑺
Teor.7: Se 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏, … é um P. G., tal que −𝟏 < 𝒓 < 𝟏, então
𝑺 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯ é dado pela seguinte expressão:
𝑺 = lim
𝒏
𝑺𝒏 =
𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓

𝐒é𝐫𝐢𝐞𝐬𝐆𝐞𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
81
A noção de série é uma extensão da noção de adição a uma infinidade
de parcelas.
Determinadas sequências geométricas, quando somadas, tendem a um
valor numérico fixo, isto é, a introdução de novos termos na soma faz
com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor,
esse tipo de comportamento é chamado de Série Geo. Convergente.
Def.45: Série: Chamamos série à sucessão de pares ordenados
𝒖𝒏, 𝑺𝒏 , que representamos por:
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏

82
Se a sucessão, 𝑺𝒏, tiver limite em ℝ, isto é, lim
𝒏
𝑺𝒏 = 𝑺, dizemos que
a série σ𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 é convergente, e escrevemos
෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝒏 = 𝑺
Se a sucessão , 𝑺𝒏, é divergente, diremos que a série é divergente.
Def.46: Chama-se natureza de uma série á propriedade que ela tem
de ser convergente ou divergente.
A natureza de uma série não se altera se modificarmos um número
finito dos seus termos.

83
Def.47: Série Geométrica: é a série que se obtém quando se tenta
somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯ = ෍
𝒏=𝟏
∞
𝒖𝟏 ∙ 𝒓𝒏
As particularidades ou naturezas das Séries Geométricas:
i. Se −1 < 𝑟 < 1 , sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → 𝟎, quando 𝒏 → ∞, de modo
que:
lim
𝒏
𝑺𝒏 =
𝒖𝟏
𝟏 − 𝒓
Logo, quando 𝒓 < 𝟏 a série geométrica é convergente e a sua soma é
𝒖𝟏
𝟏−𝒓

84
ii. Se 𝒓 = −𝟏 , 𝑺𝒏 é uma sucessão cujos termos são iguais a 𝒖𝟏 para 𝒏
par e iguais a 𝟎 para 𝒏 ímpar. Esta sucessão não tem limite e,
portanto, a série é divergente.
iii. Se 𝒓 = 𝟏 , 𝑺𝒏 = 𝒖𝟏 + ⋯ + 𝒖𝟏 = 𝒏 + 𝟏 𝒖𝟏 → ±∞ consoante o
sinal de 𝒖𝟏. Como lim
𝒏
𝑺𝒏 não existe, a série geométrica diverge.
iv. Se 𝒓 > 𝟏, sabemos que 𝒓𝒏+𝟏 → ∞, então 𝑺𝒏 não converge e a
série resultante é divergente.

85

Métodos quantitativos em estatística

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Métodos quantitativos em estatística

Semelhante a Métodos quantitativos em estatística (20)

Mais de Wadiley Nascimento

Mais de Wadiley Nascimento (20)

Métodos quantitativos em estatística