Variáveis aleatórias discretas e contínuas

Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação – Ramo
Estatística Computacional
Mobile: +239 980 10 45 / 906 02 00 | Email: wadmiguel547@yahoo.com
AULA: VARIÁVEL
ALEATÓRIA
L. BIOLOGIA

ESTATÍSTICA II:
Variável Aleatória
Definição
16
Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: (+239) 980 1045 / 906 0200 E-mail: wadmiguel547@yahoo.com
INFERENCIA ESTATISTICA é o estudo de técnicas que
possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das
informações e conclusões obtidas a partir da amostra.
Uma variável aleatória (unidimensional), geralmente designada por
𝑋, e uma função que a cada acontecimento 𝑤 do espaço de resultados,
faz corresponder um valor real, 𝑥 = 𝑋(𝑤).
“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo
valor é determinado por fatores de chance, ou seja, é uma função que
associa a cada ponto do espaço de resultados, um número. ”
𝑿 . = Número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda.

ESTATÍSTICA II:
Definição
17
Contínua
Os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo de
números reais
Discreta
Os possíveis resultados estão
contidos em um conjunto finito
ou enumerável
0 1 2 3 4 ...
Número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
Tempo de resposta de ...

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
V. A - Discreta
18
Exemplos
1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode
ser 0, 1, 2 ...10.
2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes
compram um determinado produto. O número de pessoas que compram o produto
varia de 0 a 200.
3. Um pesquisador conta quantos, dos 500 chefes de família que entrevistou, eram
mulheres
4. Um médico conta quantos, dos 100 pacientes que tratou com uma nova droga ,
ficaram curados

Discreta
19
Uma variável aleatória discreta é aquela que assume valores em um
conjunto enumerável, não podendo assumir, portanto, valores decimais
ou não inteiros. Como exemplos de variáveis aleatórias discretas,
podemos mencionar a quantidade de filhos, de funcionários em uma
empresa ou de automóveis produzidos em determinada fábrica.
A função 𝑥𝑖, 𝑝 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 é chamada Função de Probabilidade
ou Função Densidade de Probabilidade da variável aleatória 𝑋 e
associa, a cada valor de 𝑋𝑖, a sua probabilidade de ocorrência, ou seja, é
a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a
probabilidade do evento correspondente:
𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) = 𝑷(𝒙𝒊)

Discreta
20
E essa função deve satisfazer as seguintes propriedades:
i. 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1
ii. Caso 𝑛 for finito, σ𝑖=1
∞
𝑓 𝑥 terá de ser uma série convergente
de soma 1
iii. Caso 𝑛 for finito, σ𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥 = 1

Discreta
21
A esperança matemática (valor esperado ou médio) de 𝑋 é dada pela
expressão:
𝑬 𝑿 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 ∙ 𝒑𝒊
A variância de uma variável aleatória discreta 𝑋 é a média ponderada
das distâncias entre os valores que 𝑋 pode assumir e a esperança de 𝑋,
em que os pesos são as probabilidades dos possíveis valores de 𝑋.
𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝜎2 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋
2
= ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 𝟐 ∙ 𝒑𝒊
= 𝑬 𝑿𝟐
− 𝑬 𝑿 𝟐
𝑬 𝑿𝟐
= ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟐
∙ 𝒑𝒊

Discreta
22
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória 𝑋,
denotada por 𝐹 𝑥 , corresponde à soma das probabilidades dos valores
de 𝑥𝑖 menores ou iguais a 𝑥:
𝑭 𝒙 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ෍
𝒙𝒊≤𝒙
𝒑 𝒙𝒊
Solução: 𝑬 𝑿 = 1,3 𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 0,81

Contínua
23
Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir diversos
valores num intervalo de números reais. Como exemplos de variáveis
aleatórias contínuas, podemos citar a renda familiar, o faturamento da
empresa ou a altura de determinada criança.
Uma variável aleatória contínua 𝑋 está associada a uma função 𝑓 𝑥 ,
denominada função densidade de probabilidade de 𝑋, que satisfaz a
seguinte condição:
Observe que as probabilidades são especificadas em termos de
intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é
zero.
න
−∞
+∞
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏, 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎

Contínua
24
Para quaisquer 𝑎 e 𝑏, tal que +∞ < 𝑎 < 𝑏 < +∞, a probabilidade de
que a variável aleatória 𝑋 assuma valores nesse intervalo é:
𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Qualquer função real de variável real que verifique as seguintes
propriedades e função densidade de probabilidade de uma dada variável
aleatória.
i. 𝑓 𝑥 ≥ 0
ii. ‫׬‬
−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

Contínua
25
A esperança pode ser entendida como um "centro de distribuição de
probabilidades" e é dada pela expressão:
𝑬 𝑿 = න
−∞
+∞
𝒙 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏, = ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 ∙ 𝒑𝒊
A variância de uma variável aleatória é dada por.
𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝜎2
𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋
2
= න
−∞
+∞
𝒙 − 𝑬 𝑿 𝟐
∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
= 𝑬 𝑿𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐
𝑬 𝑿𝟐 = න
−∞
+∞
𝒙𝟐 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Contínua
26
Solução: 𝑬 𝑿 =
2
3
𝑽𝒂𝒓 𝑿 =
1
18
𝑬 𝑿 = 1500 𝑚𝑖𝑛

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