1. Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos e Diagramas
Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos/Diagramas
01) Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas;
5 pessoas não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam
de seriados também gostam de telenovelas.
O total de pessoas do grupo que gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados
é:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

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02) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A,
150 liam o jornal B, 20 liam dos dois jornais e 110 não liam nenhum jornal. Quantas
pessoas foram consultadas?
a) 340
b) 380
c)170
d)210
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3. =*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*
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03) Numa prova de vestibular, no qual concorreram 20000 candidatos, uma questão
apresentava as afirmativas A. B e C, e cada candidato devia classificá-las em
verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200
candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa
C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200
nas afirmativas B e C; 500 nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram
falsas as três afirmativas?
A questão fornece dados a partir de afirmativas verdadeiras (V), logo teremos em
função dessas afirmativas:
Nisso, somando todas aos conjuntos acima temos o número de candidatos que
marcam verdadeira para as afirmativas ou A, ou B, ou C, ou A e B, ou A e C, ou A, B e
c ou B e C. O número de candidatos que consideraram falsa as três afirmativas será o
complementar desse conjunto para completar o número de candidatos que foi 20000:
20000 - 18920 = 1080
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4. =*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*
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04) Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam volei, 17 nadam e 8 jogam volei e
nadam. Quantos alunos não praticam nenhum esporte?
Assim, do total de 35 alunos temos que 14 + 8 + 9 = 31 praticam esporte, logo 4 não
praticam esportes!
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05) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam
xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de
pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Do exercícios segue que 20 jogam vôlei e xadrez, mas desses 20 temos que 11
também jogam tênis, pois 11 do total jogam as três modalidades, assim o conjunto
VX será 20 – 11 = 9. Também do exercício temos que 18 jogam vôlei e tênis, mas
temos que desses 11 também jogam xadrez, assim 18 – 11 = 7, logo o conjunto VT
será 7. Temos 22 que jogam xadrez e tênis, mas temos que 11 jogam as três
modalidades, logo o conjunto XT será 22 – 11 =11. Os que jogam vôlei serão dos 40

5. menos os 9 de VX e menos os 7 de VT, e também menos 11 que fazem as três
modalidades, logo V = 40 – 9 – 7 -11 =13. Do exercício segue que o número dos que
jogam xadrez é igual aos que jogam tênis, mas no total temos 99 esportistas, assim
somando todos os conjuntos que descobrimos aqui mais os dois conjuntos que são
iguais X = T, temos:

6. =*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*
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06) Numa escola de 630 alunos, 250 deles estudam matemática, 210 estudam física e
90 deles estudam as
duas matérias. Pergunta-se:

7. a) quantos alunos estudam apenas matemática?
b) quantos alunos estudam apenas física?
c) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
Do exercícios segue que FM = 90, mas 250 estudam matemática e desses 250 90
também fazem física, logo M = 250 - 90 = 160. Do exercício segue 210 fazem física,
mas 90 desses também fazem matemática, assim F = 210 - 90 = 120. Na letra "c"
temos que do total de 630, 370 ( 120 + 90 + 160) estudam matemática ou física, ou
ambas, assim 630 - 370 = 260 não estuda nenhuma dessas duas matérias.
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07) Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5
não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto com a mão direita
quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão
esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma
das duas mãos é de ?
Observe que do exercício segue que 63 escrevem APENAS com a mão direita, isso não
inclui os que escrevem com as duas mãos, disso sabemos que 5 não sabem escrever
desses dois grupos temos 68 alunos, restam 32, sendo 25% desses sabendo escrever
com ambas as mãos, 25% de 32 é 8, e os demais escrevem apenas com a esquerda,
logo temos o diagrama

8. A porcentagem de alunos que sabe escrever apenas com uma das duas mãos será D +
E = 87, logo 87 em 100 alunos escrevem apenas com uma das duas mãos, ou seja,
87%.
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08) Foi feita uma pesquisa com 50 pessoas sobre esportes. 23 gostam de futebol, 18
de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e basquete, 9 de futebol e vôlei, 8
de basquete e vôlei e 5 gostam das 3 modalidades.
a) quantas não gostam de nenhum esporte?
b) quantas gostam somente de futebol?
c) quantas gostam somente de basquete?
d) quantas gostam somente de vôlei?
e) quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?
F∩B∩V = 5
F∩B = 10 - 5 = 5( como são 10 que gostam de F e B, mas 5 já foi contado em F∩B∩V,
então faltam 5)
F∩V = 9 - 5 = 4( como são 9 que gostam de F e V, mas 5 já foi contado em F∩B∩V ,
então faltam 4)
B∩V = 8 - 5 = 3( como são 8 que gostam de B e V, mas 5 já foi contado em F∩B∩V ,
então faltam 3)
As que gostam somente de futebol serão:
23 - F∩V - F∩B - F∩B∩V = 23 - 4 - 5 - 5 = 9
As que gostam de vôlei serão:
14 - F∩V - V∩B -F∩B∩V = 14 - 4 - 5 - 3 = 2
As que gostam de basquete serão:
18 -V∩B - F∩B -F∩B∩V = 18 - 3 - 5 - 5 = 5

9. a) Quantas não gostam de nenhum esporte?
50 - (5 + 5 + 4 + 3 + 9+ 5+ 2)= 50 - 33 = 17 pessoas
b) Quantas gostam somente de futebol?
R: 9 pessoas
c) Quantas gostam somente de basquete?
R: 5 pessoas
d) Quantas gostam somente de vôlei?
R: 2 pessoas
e) Quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?
17 + 9 = 26 pessoas
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(FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa
(Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino
Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por
médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero).
Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados.
A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da
Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de
Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
(Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em:
09.05.2009.)

10. Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou
que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e
tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do
México.
No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que
estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o
conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade
do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da
gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse
diagrama, conclui-se que a região sombreada
representa o conjunto das pessoas que, de modo
inequívoco, são aquelas caracterizadas como
(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
Solução: No diagrama, a região sombreada está fora do conjunto P, logo, não representa
passageiros, e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M
(dentro do conjunto interseção A M), então, a região sombreada representa tripulantes com
sintomas da gripe que passaram pela cidade do México (alternativa C).
(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que,
exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel.
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de
elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(C A)
= 8%.
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %.
Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem
automóvel é x = 100% - 31% = 69%.
Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A
Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A
Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20
leram as três obras; Calcule:

11. a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o
número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção
200 - 20 = 180 ;
150 - 20 = 130 ;
100 - 20 = 80 ;
600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;
400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;
300 - 130 - 20 - 80 = 70.
270 + 180 + 120 + 130 + 20 +
80 + 70 = 870
Assim:
a) O número de pessoas que
leu apenas uma das obras é
270 + 120 + 70 = 460 :
b) O número de pessoas que
não leu nenhuma das três
obras é x = 1000 - 870 = 130 ;
c) O número de pessoas que
leu duas ou mais obras é 180
+ 20 + 130 + 80 = 410
Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000
deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não
apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que
apresentavam somente problemas de imagem é:
a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500
Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado,
onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que
apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito
citado.
Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que
apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 =
300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x
= 4000 - 300 = 3700.

12. Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas
450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem
outros canais diferente de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?
Solução: Seja o diagrama a seguir:
Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.
c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.
d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.
(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a
esses programas.
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas é:
(A) 200 (C) 900
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a.
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos,
começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

13. Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200
+ 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x =
1800. Logo, o número de pessoas da
comunidade que não assistem a qualquer
dos três programas é: x = 1800 - 1600 =
200.
Assim, (A) é a opção correta.
(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem
as duas revistas é ....
Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do
fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 -
x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.
(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os
senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos
em 1989.
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?
Solução: Temos que encontrar um número que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e
mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo
comum de 3, 4 e 6.
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a
próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.
Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma
das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos
erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

14. Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 -
100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e
160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira.
Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210
- 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o
conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e
N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que
acertaram as duas questões.
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.
Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um
de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição
para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente
podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2
inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição,
correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao
nível fundamental?
Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(S M) o número de candidatos
aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior; #(F) número de
candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74
e 13% = 13/100 = 0,13.
Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(S M) = 150 - 111 = 39 .
Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-
Euler com a quantidade de elementos.
Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 -
411 = 289.
No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram
ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas.
Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram
paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?

15. b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?
Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças:
Cariocas Paulistas Totais
Flamenguistas 11.000 4.000 15.000
Corintianos 5.000 80.000 85.000
Totais 16.000 84.000 100.000
Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que:
I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou" está
sempre associado a união de conjuntos.
II) n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).
a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é 80.000.
b) O total de cariocas é 16.000 .
c) O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000.
d) O total de flamenguistas é 15.000.
e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000.
f) O número de cariocas e corintianos é 5.000.
g) O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000.
h) O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 .
i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000.

16. (UFRJ - adaptado) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte:
natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no
mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só
farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o
número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as
de tênis.
a) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?
b) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação?
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de
elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como
nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, então n(T F) = 0 e
n(T N F) = 0.
Observando o diagrama, temos o sistema de equações:
z + y + 50 = 85
z + y = 35
x + y = 17
z + x +10 = 38
z + x = 28
Somamdo a segunda equação com a terceira obtemos
z + x + y + y = 35 + 17

17. z + x + 2y = 52
Como z + x = 28, então:
28 + 2y = 52
2y = 52 - 28
2y = 24
y = 12
Substituindo na terceira equação, segue que:
x + 12 = 17
x = 17 - 12 = 5
Substituindo na quinta equação, ficamos com:
z + 5 = 28
z = 28 - 5 = 23.
Assim, a) 23 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação;
b) 12 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação.
Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo veículo em três versões: a versão
simples MS; a luxuosa ML e a super luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma
dentre três cores: azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em

18. primeiro lugar uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar umas das cores (azul,
vermelha ou preta). Quais as possibilidades de escolha?
Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas cores, o
resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos pares ordenados
(x , y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte a B.
Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto:
A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML, preta),
(SL, azul), (SL, vermelha), (SL, preta)}.