مقاله در مورد شبکه‌های پتری با رویکرد صوری. در این مقاله علاوه بر شبکه‌های پتری کلاسیک به شبکه‌های پتری با انواع مختلف یال و همچنین شبکه‌های پتری زمان‌دار پرداخته می‌شود

1. ‫مهربان‬ ‫بخش‬ ‫هستی‬ ‫نام‬ ‫به‬
‫مقدمه‬‫شبکه‬‫بر‬ ‫ای‬‫پتری‬ ‫های‬
‫دولتی‬ ‫مهدی‬
‫درستی‬‫سیستم‬ ‫یابی‬‫واکنشی‬ ‫های‬
mehdidolati@hotmail.com
۱.‫مقدمه‬
‫ش‬‫بکه‬‫زبان‬ ‫یک‬ ‫پتری‬ ‫های‬‫مدل‬‫برای‬ ‫ریاضیاتی‬ ‫سازی‬‫سیستم‬ ‫توصیف‬‫توزیع‬ ‫های‬‫است‬ ‫شده‬‫شبکه‬ .‫گراف‬ ‫یک‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫دوبخ‬‫جهت‬ ‫شی‬‫دار‬
‫وزن‬ ‫و‬‫دار‬‫گره‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫است‬‫نمایش‬ ‫ها‬‫گر‬«‫انتقال‬‫ها‬1»‫و‬«‫مکان‬‫ها‬2»‫انتقال‬ .‫هستند‬‫ها‬‫است‬ ‫ممکن‬ ‫که‬ ‫هستند‬ ‫رویدادهایی‬ ‫معنی‬ ‫به‬
‫می‬ ‫داده‬ ‫نمایش‬ ‫میله‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫دهند‬ ‫رخ‬‫مکان‬ .‫شوند‬‫شرط‬ ‫معنی‬ ‫به‬ ‫ها‬‫می‬ ‫داده‬ ‫نمایش‬ ‫دایره‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫هستند‬ ‫هایی‬.‫شوند‬‫یال‬‫ه‬‫ای‬
‫جهت‬‫می‬ ‫مشخص‬ ‫دار‬‫مکان‬ ‫کدام‬ ‫که‬ ‫کنند‬‫پیش/پ‬ ‫ها‬‫شرط‬ ‫س‬.‫هستند‬ ‫انتقال‬ ‫هر‬ ‫های‬‫می‬ ‫گفته‬‫پتری‬ ‫آدام‬ ‫کارل‬ ‫که‬ ‫شود‬3‫شبکه‬‫های‬
‫سال‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫پتری‬1۱3۱‫سن‬ ‫در‬13‫فرایند‬ ‫توصیف‬ ‫برای‬ ‫سالگی‬.‫است‬ ‫کرده‬ ‫ابداع‬ ‫شیمیایی‬ ‫های‬‫شبکه‬‫پتری‬ ‫های‬‫فرایند‬ ‫برای‬‫ها‬‫ی‬
‫مرحله‬‫ای‬‫هستند‬ ‫همروند‬ ‫اجرای‬ ‫و‬ ‫تکرار‬ ،‫انتخاب‬ ‫شامل‬ ‫که‬‫نحوه‬ ‫یک‬‫ثبت‬ ‫ی‬‫دار‬ ‫گرافیکی‬‫ن‬.‫د‬‫ادامه‬ ‫در‬‫شبکه‬‫پتری‬ ‫های‬‫مختل‬ ‫انواع‬ ‫و‬‫فی‬
‫گسترش‬ ‫از‬.‫کرد‬ ‫خواهیم‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫برای‬ ‫ممکن‬ ‫های‬
۲.‫مدل‬
۲.۱‫ایستا‬ ‫ساختار‬‫مدل‬ ‫ی‬
‫شبکه‬ ‫یک‬،‫سه‬ ‫یک‬‫تایی‬N=(P, T, F):‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫است‬
1.P‫و‬T‫مجموعه‬ ‫ترتیب‬ ‫به‬‫مکان‬ ‫جدای‬ ‫هم‬ ‫از‬ ‫های‬‫ها‬
‫انتقال‬ ‫و‬.‫هستند‬ ‫ها‬
2.𝐹 ⊂ (𝑃 × 𝑇) ∪ (𝑇 × 𝑃)‫هه‬‫ه‬‫مجموع‬‫ی‬‫هال‬‫ه‬‫ی‬‫ها‬‫ه‬‫ه‬
‫ا‬.‫ست‬
‫در‬‫شکل‬1‫یک‬‫نمونه‬‫شبکه‬ ‫ی‬:‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫مشاهده‬ ‫قابل‬
1.P = {P1, P2, P3, P4}
T = {t1, t2}
2.F = {(P1, t1), (P2, t1), (P2, t2), (P3, t3),
(t1, P4), (t2, P4)}
‫شبکه‬ ‫یک‬‫شبکه‬ ،‫پتری‬ ‫ی‬‫شکل‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫ای‬PN=(N, M, W)
:‫که‬
1.N = (P, T, F).‫است‬ ‫شبکه‬ ‫یک‬
2.𝑀: 𝑃 → 𝑁‫به‬ ‫که‬‫نشان‬ ‫عنوان‬‫شبکه‬ ‫گذاری‬‫ی‬
‫می‬ ‫شناخته‬ ‫پتری‬‫توکن‬ ‫تعداد‬ ‫و‬ ‫شود‬‫مکان‬ ‫هر‬ ‫های‬
‫می‬ ‫نشان‬ ‫را‬.‫دهد‬0m‫نشان‬‫دهنده‬‫نشان‬ ‫ی‬‫گذاری‬
.‫است‬ ‫اولیه‬
3.𝑊: 𝐹 → 𝑁‫ا‬ ‫تابعی‬‫نشان‬ ‫را‬ ‫یال‬ ‫هر‬ ‫وزن‬ ‫که‬ ‫ست‬
‫می‬.‫دهد‬
‫شکل‬2‫نمو‬ ‫یک‬‫نه‬‫شبکه‬ ‫ی‬‫می‬ ‫نشان‬ ‫را‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫دهد‬
𝑚0 = (1, 1, 0, 0).‫است‬
P1 P2 P3
t1
P1
t2
P4
‫شکل‬1‫شبکه‬ ‫یک‬

2. ۲.۲‫رفتار‬
‫در‬‫یک‬‫شبک‬‫ه‬‫پ‬ ‫ی‬‫تری‬‫فعال‬ ‫انتقال‬ ‫یک‬ ،4‫تعداد‬ ‫اگر‬ ‫است‬
‫توکن‬‫یالی‬ ‫جاری‬ ‫انتقال‬ ‫به‬ ‫آنجا‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫مکان‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫موجود‬ ‫های‬
‫دا‬ ‫وجود‬.‫باشد‬ ‫متناظر‬ ‫یال‬ ‫وزن‬ ‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫رد‬‫انتقال‬ ‫میان‬ ‫از‬‫ه‬‫ای‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫یکی‬ ‫فعال‬‫غیرقطعی‬5‫می‬‫کند‬ ‫عمل‬ ‫تواند‬6‫نتیجه‬ ،‫ی‬
‫آن‬:‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬
1.‫مکان‬ ‫تمام‬ ‫از‬‫ان‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫هایی‬‫یالی‬ ‫نظر‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬ ‫تقال‬
‫خواهد‬ ‫کم‬ ‫توکن‬ ‫متناظر‬ ‫یال‬ ‫وزن‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ ‫داشتند‬
.‫شد‬
2.‫مکان‬ ‫تمام‬ ‫به‬‫یالی‬ ‫آنها‬ ‫به‬ ‫مربوطه‬ ‫انتقال‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫هایی‬
‫خواهد‬ ‫اضافه‬ ‫توکن‬ ‫متناظر‬ ‫یال‬ ‫وزن‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ ،‫هست‬
.‫شد‬
‫شکل‬ ‫در‬ ً‫ال‬‫مث‬2‫انتقال‬ ‫فقط‬t1‫عمل‬ ‫از‬ ‫پس‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫فعال‬
‫نشان‬ ‫وضعیت‬ ‫به‬ ‫شبکه‬ ‫آن‬ ‫کردن‬‫گذاری‬‫شکل‬ ‫در‬3‫خواهد‬
.‫رفت‬
‫شبکه‬ ‫رفتار‬ ‫رسمی‬ ‫بیان‬ ‫برای‬‫تعری‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫توابع‬ ‫ابتدا‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫ف‬
‫می‬:‫کنیم‬
𝑡−(𝑝) = {
𝑊(𝑝, 𝑡) , 𝑖𝑓𝑓 (𝑝, 𝑡) ∈ 𝐹
0 , 𝑖𝑓𝑓 (𝑝, 𝑡) ∉ 𝐹
𝑡+(𝑝) = {
𝑊(𝑡, 𝑝) , 𝑖𝑓𝑓 (𝑡, 𝑝) ∈ 𝐹
0 , 𝑖𝑓𝑓 (𝑡, 𝑝) ∉ 𝐹
‫می‬ ‫سپس‬‫انتقال‬ ‫گفت‬ ‫توان‬t:‫اگر‬ ‫است‬ ‫فعال‬
∀𝑝: 𝑃 ∙ 𝑡−(𝑝) ≤ 𝑀(𝑝)
‫انتقال‬ ‫اگر‬ ‫و‬t‫آنگاه‬ ‫کند‬ ‫عمل‬‫نتیجه‬‫می‬ ‫حاصل‬ ‫زیر‬ ‫ی‬:‫شود‬
∀𝑝: 𝑃 ∙ 𝑀′(𝑝) = 𝑀(𝑝) − 𝑡−(𝑝) + 𝑡+(𝑝)
‫نشان‬‫گذاری‬𝑚′
‫از‬m‫دسترس‬ ‫گام‬ ‫یک‬ ‫در‬‫اگر‬ ‫است‬ ‫پذیر‬
𝑚 → 𝐺 𝑚′
‫از‬ ‫و‬m‫دسترس‬‫اگر‬ ‫است‬ ‫پذیر‬𝑚 → 𝐺
∗
𝑚′
‫که‬→ 𝐺
∗
‫متعدی‬ ‫بازتابی‬ ‫بستار‬→ 𝐺‫گام‬ ‫صفر‬ ‫در‬ ‫یعنی‬ ،‫است‬
‫دسترس‬ ‫بیشتر‬ ‫یا‬.‫است‬ ‫پذیر‬
‫شبکه‬ ‫یک‬ ‫برای‬‫نشان‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫کردن‬ ‫عمل‬ ‫شده‬ ‫گذاری‬‫هایی‬
‫اولیه‬ ‫وضعیت‬ ‫از‬ ‫شروع‬ ‫با‬ ‫انجام‬ ‫قابل‬ ‫که‬ ‫هستند‬ ‫عالقه‬ ‫مورد‬‫ی‬
0m.‫باشند‬‫مجموعه‬‫تم‬ ‫ی‬‫نشان‬ ‫ام‬‫گذاری‬‫دسترس‬ ‫های‬‫پذیر‬
‫مجموعه‬‫ی‬𝑅(𝑁) ≜ {𝑚′
|𝑚0 →(𝑃,𝑇,𝑊)
∗
𝑚′
}.‫است‬
‫دسترس‬ ‫گراف‬‫پذیری‬7N‫رابطه‬‫انتقال‬ ‫ی‬→ 𝐺‫به‬ ‫که‬ ‫است‬
‫نشان‬‫گذاری‬‫دسترس‬ ‫های‬‫پذیر‬𝑅(𝑁)‫است‬ ‫شده‬ ‫محدود‬‫به‬ ‫و‬
‫شبکه‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫آن‬8‫می‬‫شبکه‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫گویند‬‫های‬
‫مع‬ ‫پتری‬ ‫کالسیک‬‫عملیاتی‬ ‫معنای‬ ‫یا‬ ‫گذار‬ ‫سیستم‬ ‫ادل‬۱‫آن‬
.‫است‬
۳.‫شبکه‬ ‫ریاضیاتی‬ ‫خواص‬‫پتری‬ ‫های‬
‫شبکه‬ ‫مزایای‬ ‫از‬ ‫یکی‬،‫آنهاست‬ ‫باالی‬ ‫تحلیل‬ ‫قابلیت‬ ‫پتری‬ ‫های‬
‫سیستم‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫آنها‬ ‫دانستن‬ ‫که‬ ‫مطالبی‬ ‫از‬ ‫بسیاری‬‫های‬
P1
3 2
21
1
P1 P2 P3
t1 t2
P4
‫شکل‬3‫شبکه‬ ‫وضعیت‬‫شکل‬ ‫ی‬2‫کردن‬ ‫عمل‬ ‫از‬ ‫پس‬
‫انتقال‬t1
3 2
21
1
P1 P2 P3
t1
P1
t2
P4
‫شکل‬2‫شبکه‬ ‫یک‬‫پتری‬ ‫ی‬

3. ‫اتوماتیک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫جالب‬ ‫همروند‬‫شبکه‬ ‫روی‬ ‫بر‬‫های‬
.‫هستند‬ ‫کردن‬ ‫مشخص‬ ‫قابل‬ ‫پتری‬
۳.۱‫دسترس‬‫پذیری‬
‫شبکه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫اینکه‬ ‫تشخیص‬‫پتری‬ ‫ی‬N‫نشان‬ ‫یک‬ ‫و‬‫گذاری‬
m‫آیا‬ ،m ϵ R(N)‫مسئله‬ ‫این‬ ‫حل‬ ‫برای‬ .‫نه‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫برقرار‬
‫دسترس‬ ‫گراف‬ ‫روی‬ ‫بر‬ ‫باید‬‫پذیری‬‫آن‬ ‫بتوانیم‬ ‫که‬ ‫وقتی‬ ‫تا‬
‫نشان‬‫کنیم‬ ‫پیدا‬ ‫را‬ ‫گذاری‬‫کرد‬ ‫حرکت‬‫بفهمیم‬ ‫اینکه‬ ‫یا‬‫د‬‫یگر‬
.‫کنیم‬ ‫پیدا‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ندارد‬ ‫امکان‬‫مسئله‬ ‫این‬‫امکان‬ ‫تشخیص‬ ‫برای‬
‫حالت‬ ‫رخداد‬‫های‬‫می‬ ‫استفاده‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ ‫خطادار‬.‫شود‬
۲.۳‫سرزندگی‬۱0
‫اجرا‬ ‫در‬ )‫(انتقال‬ ‫رخداد‬ ‫یک‬ ‫اینکه‬ ‫تشخیص‬‫ها‬‫سیستم‬ ‫آتی‬ ‫ی‬
‫یا‬ ‫کرد‬ ‫خواهد‬ ‫عمل‬‫نه‬.
۳.۳‫کران‬‫داری‬۱۱
‫شبکه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫مکان‬ ‫یک‬‫پتری‬ ‫ی‬k-‫کران‬‫است‬ ‫دار‬‫تمام‬ ‫در‬ ‫اگر‬
‫نشان‬‫گذاری‬‫دسترس‬ ‫های‬‫خود‬ ‫(شامل‬ ‫پذیر‬‫نشان‬)‫اولیه‬ ‫گذاری‬
‫از‬ ‫بیشتر‬k‫می‬ ‫گفته‬ .‫باشد‬ ‫نداشته‬ ‫توکن‬‫اگر‬ ‫است‬ ‫امن‬ ‫که‬ ‫شود‬
1-‫کران‬‫می‬ ‫گفته‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫دار‬‫کران‬ ‫شود‬‫یک‬ ‫برای‬ ‫اگر‬ ‫است‬ ‫دار‬
k‫مشخص‬k-‫کرا‬‫ن‬.‫باشد‬ ‫دار‬
‫شبکه‬ ‫یک‬‫پتری‬ ‫ی‬k-‫کران‬‫کران‬ ،‫دار‬‫اس‬ ‫امن‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫دار‬‫تمام‬ ‫اگر‬ ‫ت‬
‫مکان‬‫باش‬ ‫آنگونه‬ ‫هایش‬.‫د‬‫شبکه‬ ‫یک‬‫پتری‬ ‫ی‬«‫کران‬‫دار‬
‫ساختاری‬12»‫نشان‬ ‫تمام‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫اگر‬ ‫است‬‫گذاری‬‫اولیه‬ ‫های‬
‫کران‬ ‫ممکن‬.‫باشد‬ ‫دار‬‫شبکه‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫توجه‬ ‫قابل‬‫پت‬ ‫ی‬‫ری‬
‫کران‬‫دستری‬ ‫گراف‬ ‫اگر‬ ‫است‬ ‫دار‬.‫باشد‬ ‫متناهی‬ ‫آن‬ ‫پذیری‬
‫مشخص‬‫مکان‬ ‫برای‬ ‫کران‬ ‫یک‬ ‫کردن‬‫بیان‬ ‫برای‬ ‫گراف‬ ‫یک‬ ‫های‬
.‫است‬ ‫مفید‬ ‫سیستمی‬ ‫محدود‬ ‫منابع‬
۴.‫افزونه‬‫ها‬
‫افزو‬‫نه‬‫بسیاری‬ ‫های‬‫شبکه‬ ‫برای‬‫شده‬ ‫ایجاد‬ ‫پتری‬ ‫های‬‫اند‬،
‫افزونه‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫بعضی‬‫نسخه‬ ‫با‬ ‫ها‬‫به‬ ،‫دارند‬ ‫سازگاری‬ ‫کالسیک‬ ‫ی‬
‫آنها‬ ‫که‬ ‫معنی‬ ‫این‬‫ایجاد‬ ‫مطالب‬ ‫برخی‬ ‫بیان‬ ‫سادگی‬ ‫برای‬ ‫فقط‬
‫شده‬‫می‬ ‫معنی‬ ‫دادن‬ ‫دست‬ ‫از‬ ‫بدون‬ ‫و‬ ‫اند‬‫توان‬‫نسخه‬ ‫به‬ ‫ند‬‫ی‬
‫هم‬ ‫دیگر‬ ‫برخی‬ ‫و‬ ‫شوند‬ ‫تبدیل‬ ‫کالسیک‬‫بیشتری‬ ‫قدرت‬‫د‬‫ارند‬
‫می‬ ‫نوع‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬ ‫که‬.‫پردازیم‬
۴.۱‫شبکه‬ ‫گسترش‬‫یال‬ ‫مختلف‬ ‫انواع‬ ‫با‬ ‫پتری‬ ‫های‬
‫یال‬ ‫انواع‬ ‫از‬ ‫تعدادی‬ ‫به‬ ‫ادامه‬ ‫در‬‫برای‬ ‫شده‬ ‫معرفی‬ ‫های‬
‫شبکه‬‫می‬ ‫پتری‬ ‫های‬.‫پردازیم‬
۱.۱.۴‫ریست‬ ‫یال‬۱۳
‫کنید‬ ‫فرض‬‫می‬‫می‬ ‫فعال‬ ‫انتقال‬ ‫یک‬ ‫وقتی‬ ‫خواهیم‬‫تمام‬ ‫شود‬
‫توکن‬‫ش‬ ‫مصرف‬ ‫مکان‬ ‫یک‬ ‫های‬‫این‬ ‫در‬ .‫ود‬‫ریست‬ ‫یال‬ ‫از‬ ‫جا‬
‫می‬ ‫استفاده‬.‫کنیم‬‫می‬ ‫نشان‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫یال‬ ‫این‬.‫دهیم‬‫در‬
‫انتقال‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬ ‫با‬ ‫حالت‬ ‫این‬t2‫نشان‬ ‫از‬‫گذاری‬
(1, 1, 0, 5)‫به‬(1, 0, 1, 0).‫رفت‬ ‫خواهیم‬‫قدرت‬ ‫یال‬ ‫این‬
‫شبکه‬‫می‬ ‫افزایش‬ ‫را‬ ‫پتری‬ ‫ی‬.‫دهد‬
۱.۲.۴‫خواندن‬ ‫یال‬۱۴
‫شکل‬4‫ریست‬ ‫یال‬ ‫یک‬
‫شکل‬5‫خواندن‬ ‫یال‬ ‫یک‬

4. ‫ک‬ ‫مدل‬ ‫برای‬‫را‬ ‫کار‬ ‫یال‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫خواندنی‬ ‫منابع‬ ‫ردن‬
‫می‬ ‫راحت‬ ‫بسیار‬‫انتقال‬ ‫در‬ ً‫ال‬‫مث‬ .‫کند‬t2‫فقط‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬ ‫برای‬
‫می‬ ‫چک‬‫در‬ ‫توکنی‬ ‫که‬ ‫کند‬P1‫از‬ ‫بعد‬ ‫ولی‬ ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫وجود‬
‫توکن‬ ‫تعداد‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬‫محل‬ ‫های‬P1‫عوض‬‫ن‬.‫شد‬ ‫خواهد‬
‫نشان‬ ‫از‬ ‫یعنی‬‫گذاری‬(1, 1, 0, 1)‫به‬(1, 0, 1, 1)‫خواهیم‬
‫رفت‬.
۱.۳.۴‫بازدارنده‬ ‫یال‬۱5
‫استفاده‬ ‫برخی‬ ‫در‬‫که‬ ‫شود‬ ‫فعال‬ ‫زمانی‬ ‫انتقال‬ ‫یک‬ ‫است‬ ‫الزم‬ ‫ها‬
‫توکن‬ ‫تعداد‬‫برخی‬ ً‫ال‬‫مث‬ .‫باشد‬ ‫کمتر‬ ‫حدی‬ ‫از‬ ‫محلی‬ ‫های‬
‫فرایند‬‫می‬ ‫رخ‬ ‫زمانی‬ ‫زیستی‬ ‫های‬‫در‬ ‫پروتئین‬ ‫سطح‬ ‫که‬ ‫دهند‬
‫از‬ ‫استفاده‬ ‫مواقع‬ ‫گونه‬ ‫این‬ ‫در‬ ،‫باشد‬ ‫کمتر‬ ‫مقداری‬ ‫از‬ ‫آنها‬
‫یال‬‫می‬ ‫راحت‬ ‫بسیار‬ ‫را‬ ‫کار‬ ‫بازدارنده‬ ‫های‬‫انتقال‬ ‫در‬ .‫کند‬t1‫تا‬
‫توکن‬ ‫تعداد‬ ‫که‬ ‫وقتی‬‫های‬P4‫و‬P3‫از‬ ‫بیشتر‬1‫بازداشته‬ ‫است‬
‫نمی‬ ‫عمل‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫شده‬.‫کند‬‫شبکه‬ ‫قدرت‬ ‫یال‬ ‫این‬‫را‬ ‫پتری‬ ‫ی‬
‫می‬ ‫افزایش‬.‫دهد‬
۴.۲‫گ‬‫شبکه‬ ‫سترش‬‫ها‬‫پ‬ ‫ی‬‫زمان‬ ‫مفهوم‬ ‫با‬ ‫تری‬
‫محدودیت‬ ‫بیان‬‫می‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫مهمی‬ ‫مطلب‬ ‫زمانی‬ ‫های‬‫آن‬ ‫توان‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬‫مدل‬ ‫در‬ ‫مختلف‬ ‫های‬‫از‬ ‫یکی‬ .‫کرد‬ ‫دخیل‬ ‫سازی‬
‫شبکه‬ ‫به‬ ‫زمان‬ ‫مفهوم‬ ‫افزودن‬ ‫رایج‬ ‫انواع‬‫دادن‬ ‫نسبت‬ ‫پتری‬ ‫های‬
‫بازه‬ ‫یک‬‫انتقال‬ ‫به‬ ‫زمانی‬ ‫ی‬‫است‬ ‫ها‬‫اولیه‬ ‫مقدار‬ ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫؛‬‫ی‬
‫ممک‬ ‫زمان‬ ‫زودترین‬ ‫بازه‬‫انتقال‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫شدن‬ ‫فعال‬ ‫از‬ ‫پس‬ ‫ن‬
‫می‬‫ممکن‬ ‫زمان‬ ‫دیرترین‬ ‫بازه‬ ‫انتهای‬ ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫کند‬ ‫عمل‬ ‫تواند‬
‫می‬ ‫انتقال‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫شدن‬ ‫فعال‬ ‫از‬ ‫پس‬‫این‬ ‫در‬ ،‫کند‬ ‫عمل‬ ‫تواند‬
‫می‬ ‫مدل‬ ‫غیرقطعی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫زمان‬ ‫گذر‬ ‫مدل‬.‫کنیم‬
۲.۱.۴‫شبکه‬‫زمان‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫دار‬۱6
‫شبکه‬ ‫یک‬‫زمان‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫شکل‬ ‫به‬ ‫رسمی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫دار‬‫زیر‬
‫می‬ ‫تعریف‬:‫شود‬
‫ساختار‬, I)0Z=(N‫شبکه‬ ‫یک‬:‫اگر‬ ‫تنها‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫است‬ ‫پتری‬ ‫ی‬
1.0S(Z) = N‫شبکه‬ ‫یک‬‫آن‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫پتری‬ ‫ی‬
‫اسکلت‬17Z‫می‬ ‫هم‬‫گویند‬
2.𝐼 ∶ 𝑇 → 𝑄0
+
× (𝑄0
+
∪ {∞})‫و‬(t)2(t)≤I1I
‫هر‬ ‫برای‬t‫و‬ ‫است‬ ‫برقرار‬t))(2(t), I1I(t) = (I.
‫به‬ ‫تعریف‬ ‫این‬ ‫در‬I‫فرجه‬ ‫تابع‬18،)(t1I‫عمل‬ ‫زمان‬ ‫زودترین‬
( ]‫شدن‬ ‫فعال‬ ‫از‬ ‫[پس‬ ‫کردن‬1۱eft‫و‬ )(t)2I‫زمان‬ ‫دیرترین‬
( ]‫شدن‬ ‫فعال‬ ‫از‬ ‫[پس‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬20lft)‫می‬ ‫گفته‬‫می‬ .‫شود‬‫توان‬
‫می‬ ‫کلیت‬ ‫رفتن‬ ‫دست‬ ‫از‬ ‫بدون‬ ‫که‬ ‫داد‬ ‫نشان‬‫تابع‬ ‫توان‬I‫به‬ ‫را‬
.‫کرد‬ ‫تعریف‬ ‫طبیعی‬ ‫اعداد‬ ‫روی‬ ‫بر‬ ‫گویا‬ ‫اعداد‬ ‫مجموعه‬ ‫جای‬
‫نشان‬ ‫تابع‬ ‫بر‬ ‫عالوه‬ ‫حالت‬ ‫در‬‫گذاری‬M‫مانند‬ ‫دیگر‬ ‫تابع‬ ‫یک‬ ‫به‬ ،
H‫زمان‬ ‫مدت‬ ‫انتقال‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫که‬ ‫داریم‬ ‫نیاز‬‫از‬ ‫شده‬ ‫سپری‬
‫انتقالی‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬ ،‫دارد‬ ‫نگه‬ ‫را‬ ‫شده‬ ‫فعال‬ ‫که‬ ‫باری‬ ‫آخرین‬
‫برابر‬ ‫تابع‬ ‫این‬ ‫مقدار‬ ‫باشد‬ ‫غیرفعال‬⋕‫شبکه‬ ‫حالت‬ .‫بود‬ ‫خواهد‬
‫زمان‬ ‫پتری‬:‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫شده‬ ‫تعریف‬ ‫دار‬
‫اگر‬, I)0W, m, F,Z=(P, T‫شبکه‬ ‫یک‬‫زمان‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫دار‬
‫و‬ ‫باشد‬𝐻 ∶ 𝑇 → 𝑅0
+
∪ {⋕}‫آنگاه‬z = (m, h)‫حالت‬ ‫یک‬
‫اگر‬ ‫تنها‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫است‬ ‫سیستم‬m‫نشان‬ ‫یک‬‫و‬ ‫مکانی‬ ‫گذاری‬h
‫نشان‬ ‫یک‬‫برای‬ ‫زمانی‬ ‫گذاری‬Z.‫باشند‬
‫و‬ ‫زمان‬ ‫گذشت‬ ‫عمل‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫این‬ ‫حالت‬ ‫شرایط‬ ‫این‬ ‫در‬
‫می‬ ‫عوض‬ ‫انتقال‬ ‫یک‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬‫شو‬‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫مورد‬ ‫دو‬ ‫این‬ .‫د‬
‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫رسمی‬:‫کنیم‬
‫شکل‬6‫بازدارنده‬ ‫یال‬ ‫یک‬

5. ‫شبکه‬ ‫انتقال‬‫پتری‬ ‫ی‬Z‫حالت‬ ‫از‬z=(m, h)‫زمان‬ ‫گذشت‬ ‫با‬
𝜏‫حالت‬ ‫به‬z’=(m’, h’)‫با‬ ‫را‬z
𝜏
→ 𝑧′‫می‬ ‫نشان‬‫رخ‬ ‫و‬ ‫دهیم‬
‫می‬:‫اگر‬ ‫تنها‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫دهد‬
1.m' = m
2.∀ 𝑡: 𝑇⦁𝐻( 𝑡) ≠⋕→ 𝐻( 𝑡) + 𝜏 ≤ 𝑙𝑓𝑡(𝑡).
‫انتقال‬ ‫تمام‬ ‫برای‬ ‫یعنی‬‫و‬ ،‫باشد‬ ‫ممکن‬ ‫زمان‬ ‫گذر‬ ‫ها‬
3.∀ 𝑡: 𝑇 ⦁ 𝐻′
( 𝑡) = {
𝐻( 𝑡) + 𝜏 𝑖𝑓𝑓 𝑡−
≤ 𝑀
⋕ 𝑖𝑓𝑓 𝑡−
≰ 𝑀
‫انتقال‬ ‫کردن‬ ‫عمل‬ ‫دلیل‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫تغییر‬𝑡̂‫با‬ ‫را‬z
𝑡̂
→ 𝑧′‫نشان‬
‫می‬‫می‬ ‫رخ‬ ‫و‬ ‫دهیم‬:‫اگر‬ ‫انتها‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫دهد‬
1.𝑡̂−
≤ 𝑀‫باشد‬ ‫فعال‬ ‫انتقال‬ ‫یعنی‬ ،
2.𝑒𝑓𝑡(𝑡̂) ≤ 𝐻(𝑡̂)‫اندازه‬ ‫به‬ ‫یعنی‬ ،‫فعال‬ ‫از‬ ‫کافی‬ ‫ی‬
‫شدن‬𝑡̂،‫باشد‬ ‫گذشته‬
3.𝑀′
= 𝑀 + Δ𝑡̂
4.‫مقدار‬ ‫هر‬ ‫برای‬t:‫داریم‬
𝐻′(𝑡) =
{
⋕ 𝑖𝑓𝑓 𝑡−
≰ 𝑚′
𝐻(𝑡) 𝑖𝑓𝑓 𝑡−
≤ 𝑚 ∧ 𝑡 ≠ 𝑡̂ ∧
𝑡⦁
∩ 𝑡̂ = Φ⦁
0 𝑜. 𝑤.
‫قسمت‬ ‫در‬4-‫تابع‬ ‫ام‬𝑡⦁
‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬:‫شود‬
𝑡⦁
= {𝑝: 𝑃 |𝑊(𝑝, 𝑡) > 0}
‫حالت‬ ‫انتقال‬ ‫برای‬ ‫شده‬ ‫ارائه‬ ‫تعریف‬‫می‬ ‫بیان‬‫انتقال‬ ‫اگر‬ ‫کند‬‫ی‬
‫کند‬ ‫عمل‬‫به‬ ‫آن‬ ‫زمان‬ ‫باشد‬ ‫فعال‬ ‫هنوز‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬0‫در‬ ‫و‬
‫به‬ ‫اینصورت‬ ‫غیر‬⋕‫می‬ ‫تبدیل‬‫شود‬‫تازه‬ ‫دیگری‬ ‫انتقال‬ ‫اگر‬ ،
‫به‬ ‫هم‬ ‫آن‬ ‫زمان‬ ‫باشد‬ ‫شده‬ ‫فعال‬0‫می‬ ‫مقداردهی‬‫در‬ ‫و‬ ‫شود‬
‫مقدار‬ ‫باشد‬ ‫بوده‬ ‫فعال‬ ‫قبل‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫صورتی‬H(t)‫عوض‬ ‫آن‬
‫نمی‬.‫شود‬
‫نحوه‬ ‫ادامه‬ ‫در‬‫شبکه‬ ‫یک‬ ‫فعالیت‬ ‫در‬ ‫زمان‬ ‫تأثیر‬ ‫ی‬‫را‬ ‫پتری‬ ‫ی‬
‫می‬ ‫تشریح‬ ‫مثال‬ ‫یک‬ ‫قالب‬ ‫در‬.‫کنیم‬
‫مثال‬۱.‫شکل‬7‫شبکه‬ ‫یک‬‫ی‬‫زمان‬ ‫پتری‬‫اولیه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫دار‬
.‫است‬
‫شبکه‬ ‫حالت‬‫شکل‬ ‫ی‬7‫می‬ ‫را‬:‫نمود‬ ‫بیان‬ ‫زیر‬ ‫شکل‬ ‫به‬ ‫توان‬
(
𝑚0, (
0
⋕
⋕
0
)
)
‫یعنی‬0‫انتقال‬ ‫شدن‬ ‫فعال‬ ‫از‬ ‫زمانی‬ ‫واحد‬‫های‬1‫و‬4‫گذشته‬
‫انتقال‬ ‫و‬ ‫است‬‫های‬2‫و‬3‫هیچ‬ ‫که‬ ‫کرد‬ ‫توجه‬ ‫باید‬ ‫نیستند؛‬ ‫فعال‬
‫انتقال‬ ‫از‬ ‫کدام‬‫های‬1‫و‬4‫نمی‬‫چ‬ ‫کنند‬ ‫عمل‬ ‫توانند‬‫ون‬eft‫آنها‬
‫از‬ ‫بزرگتر‬0‫اگر‬ ‫حال‬ .‫است‬1.3‫به‬ ‫سیستم‬ ‫بگذرد‬ ‫زمانی‬ ‫واحد‬
‫می‬ ‫زیر‬ ‫حالت‬:‫رود‬
(
𝑚1, (
1.3
⋕
⋕
1.3
)
)
‫انتقال‬ ‫سیستم‬ ‫از‬ ‫لحظه‬ ‫این‬ ‫در‬1‫می‬‫چون‬ ‫کند‬ ‫عمل‬ ‫تواند‬
)≤1.31eft(t‫بگذرد‬ ‫هم‬ ‫دیگر‬ ‫زمانی‬ ‫واحد‬ ‫یک‬ ‫اگر‬ .‫است‬
‫می‬ ‫زیر‬ ‫حالت‬ ‫به‬ ‫سیستم‬:‫رود‬
(
𝑚2, (
2.3
⋕
⋕
2.3
)
)
‫انتقال‬ ‫لحظه‬ ‫این‬ ‫در‬4t‫می‬ ‫هم‬‫کنیم‬ ‫فرض‬ ‫اگر‬ .‫کند‬ ‫عمل‬ ‫تواند‬
4t‫می‬ ‫زیر‬ ‫حالت‬ ‫به‬ ‫آنگاه‬ ‫کند‬ ‫عمل‬:‫رویم‬
(
𝑚3, (
2.3
⋕
0
⋕
)
)
‫شکل‬7‫شبکه‬ ‫یک‬‫زمان‬ ‫پتری‬ ‫ی‬‫اولیه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫دار‬

6. ∎
5.‫نتیجه‬‫گیری‬
‫شبکه‬‫ابزار‬ ‫پتری‬ ‫های‬‫مدل‬ ‫برای‬ ‫قدرتمندی‬‫سیستم‬ ‫سازی‬‫به‬ ‫ها‬
‫سیستم‬ ‫ویژه‬‫پشتوانه‬ ‫که‬ ‫هستند‬ ‫شده‬ ‫توزیع‬ ‫های‬‫قوی‬ ‫ی‬
‫ریاضی‬‫روش‬ ‫این‬ .‫است‬ ‫شده‬ ‫آنها‬ ‫زیاد‬ ‫قدرت‬ ‫باعث‬ ‫آنها‬
‫مدل‬‫وسیله‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫دارد‬ ‫باالیی‬ ‫گسترش‬ ‫قابلیت‬ ‫سازی‬‫ی‬
‫افزونه‬‫می‬ ‫آن‬ ‫های‬‫بیشتری‬ ‫سهولت‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫مختلف‬ ‫شرایط‬ ‫توان‬
‫شبکه‬ ‫مقاله‬ ‫این‬ ‫در‬ .‫کرد‬ ‫مدل‬‫و‬ ‫کالسیک‬ ‫پتری‬ ‫های‬
‫گسترش‬‫یال‬ ‫و‬ ‫خواندن‬ ‫یال‬ ،‫ریست‬ ‫یال‬ ‫شامل‬ ‫یالی‬ ‫های‬
‫ق‬ ‫بررسی‬ ‫مورد‬ ‫بازدارنده‬‫شبکه‬ ‫و‬ ‫گرفتند‬ ‫رار‬‫زمان‬ ‫پتری‬ ‫های‬‫دار‬
‫شبکه‬ ‫در‬ .‫شدند‬ ‫معرفی‬ ‫هم‬‫مسئله‬ ‫پتری‬ ‫های‬‫از‬ ‫مختلفی‬ ‫های‬
‫دسترس‬ ‫قبیل‬‫کران‬ ‫و‬ ‫سرزندگی‬ ‫و‬ ‫پذیری‬‫که‬ ‫دارند‬ ‫وجود‬ ‫داری‬
‫سیستم‬ ‫تحلیل‬ ‫برای‬ ‫آنها‬ ‫پاسخ‬‫مقاله‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫نیاز‬ ‫مورد‬ ‫ها‬
.‫شد‬ ‫داده‬ ‫توضیح‬ ‫آنها‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫اختصار‬ ‫به‬
6.‫منابع‬
[1] Prof. Louchka Popova-Zeugmann, “Time
Petri Nets: Theory, Tools and Applications
Part I”, Humboldt-Universität zu Berlin,
Course Lecture
[2] Prof. Morgan Magnin, “Computational
Approaches to Analyze Complex Dynamic
Systems : Model-Checking and its Applica-
tions”, NII International advanced lectures
series on ICT: series of 4 lectures of 2 hours in
Spring 2013 at National Institute of
Informatics, , Tōkyō, Japan
[3] Louchka Popova-Zeugmann, “Time and
Petri Nets”, Springer, Chapter 2, 2013
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Petri_net
1 Transition
2 Place
3 Carl Adam Petri
4 Enabled
5 Nondeterministic
6 Fire
7 Reachability graph
8 State Space
۱ Operational semantic
10 Liveness
11 Boundedness
12 Structurally bounded
13 Reset arc
14 Read arc
15 Inhibitor arc
16 Time Petri net
17 Skeleton
18 Interval function
1۱ Earliest firing time
20 Latest firing time