1. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-8-
Modul 1
1.1. Judul : Gaya ƊGaya dan Keseimbangan Gaya
Tujuan Pembelajaran Umum :
Setelah membaca modul, mahasiswa bisa memahami pengertian tentang gaya.
Tujuan Pembelajaran Khusus :
Mahasiswa dapat menjelaskan konsep pengertian tentang gaya dan bagaimana
bisa melakukan penjumlahannya
1.1.1. Pendahuluan
Gaya serta sifat-sifatnya perlu difahami dalam ilmu Mekanika Teknik
karena dalam ilmu tersebut, mayoritas membicarakan tentang gaya,
sedang Mekanika Teknik adalah merupakan mata kuliah dasar keahlian
yang perlu dimengerti oleh semua sarjana Teknik Sipil. Jadi dengan
memahami sifat-sifat gaya, mahasiswa akan lebih mudah memahami
permasalahan yang terjadi di pelajaran Mekanika Teknik. Misal pada
suatu jembatan, kendaraan yang lewat adalah merupakan suatu beban
luar yang ditampilkan dalam bentuk gaya.
Contoh : * Suatu kendaraan yang terletak diatas jembatan
* Beban roda kendaraan pada jembatan tersebut adalah
suatu beban atau gaya.
struktur jembatan
gaya
2. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-9-
1.1.2. Pengertian tentang Gaya dan Garis Kerja gaya
Gaya adalah merupakan vektor yang mempunyai besar dan arah.
Penggambarannya biasanya berupa garis dengan panjang sesuai dengan
skala yang ditentukan. Jadi panjang garis bisa dikonversikan dengan
besarnya gaya.
* Contoh 1
Orang berdiri dengan berat 50 kg
Panjang gaya arah berat = kebawah (sesuai arah gravitasi)
1 cm ditunjukkan dengan gambar anak panah ke bawah
dengan skala 1 cm = 50 kg
Jadi 50 kg adalah gaya yang diakibatkan oleh orang berdiri tersebut dengan arah
gaya kebawah yang diwakili sebagai gambar anak panah dengan panjang 1 cm
karena panjang 1 cm setara dengan berat 50 kg.
* Contoh 2
Batu diatas meja dengan berat 10 kg
Panjang gaya = 1 cm Arah berat = kebawah (sesuai arah
gravitasi) ditunjukkan dengan gambar
anak panah dengan skala 1 cm = 10 kg
Jadi 10 kg adalah gaya yang diakibatkan oleh batu yang menumpu di atas meja
dengan arah gaya ke bawah yang diwakili sebagai gambar anak panah dengan
panjang 1 cm karena panjang 1 cm setara dengan gaya 10 kg.
* Contoh 3
15 kg
Orang mendorong mobil
mogok kemampuan orang
mendorong tersebut adalah 15 kg.
1 cm Panjang gaya
Arah dorongan kesamping kanan ditunjukkan
dengan gambar anak panah arah kesamping
dengan skala 1 cm = 15 kg
3. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-10-
Jadi 15 kg adalah gaya yang diberikan oleh orang untuk mendorong mobil
mogok dengan arah kesamping kanan, yang diwakili sebagai gambar anak panah
dengan panjang 1 cm karena 1 cm setara dengan 15 kg.
Garis kerja gaya adalah garis lurus yang melewati gaya
Seperti contoh di bawah :
Contoh
* Garis kerja gaya orang yang mempunyai
berat 50 kg tersebut adalah vertikal
Garis kerja
gaya
Orang dengan berat 50 kg
garis kerja gaya
15 kg Garis kerja gaya untuk
mendorong mobil
mogok tersebut
adalah horisontal
Titik tangkap gaya adalah titik awal bermulanya gaya tersebut.
Contoh: mobil mogok diatas jembatan, roda mobil serta tumpuan tangan
orang yang mendorong adalah merupakan titik tangkap gaya.
titik tangkap gaya
Titik tangkap gaya
50 kg
gaya
4. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-11-
1.1.3. Sifat Gaya
Gaya dan titik tangkap gaya bisa dipindah-pindahkan asal masih dalam
daerah garis kerja gaya
Contoh dalam gambar K dan K1 adalah merupakan gaya.
Ga
Posisi gaya K lama Posisi gaya K baru mb
ar
1.1
garis kerja gaya Posisi gaya K1 lama
.
K1 Ga
mb
ar
Posisi gaya K1 baru
gar
is kerja gaya
1.1.4. Penjumlahan Gaya
Penjumlahan gaya bisa dilakukan secara analitis maupun grafis.
1.1.4.1. Penjumlahan secara grafis
Penjumlahan 2 gaya yang mempunyai titik tangkap yang sama, jadi
gaya-gaya tersebut sebidang, bisa secara langsung dijumlahkan
secara grafis.
A C K1, K2 adalah gaya-gaya yang
akan dijumlahkan
K1 R = K1 + K2 Urut-urutan penjumlahan
Buat urut-urutan penjumlahan
garis sejajar dengan K1 dan K2
di ujung gaya, (K1 diujung K2
dan sehingga K2 diujung K1 )
D
K2 B membentuk bentuk jajaran
genjang D.A.C.B
Salah satu diagonal yang
Titik tangkap gaya panjang tersebut yaitu R
5. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-12-
Gambar 1.2. Penjumlahan gaya secara grafis
Penjumlahan 2 gaya yang sebidang, tapi titik tangkapnya tidak sama..
Gaya-gaya tersebut bisa dipindahkan sepanjang garis kerja gaya.
Gamb
R = K1 + K2 - K1 dan K2 adalah gaya-gaya
ar 1.3
A yang akan dijumlahkan.
B Penju
- 2 gaya tersebut tidak mem-
Posisi awal (K2)KK2 mlaha
2 punyai titik tangkap yang
sama, tapi masih sebidang. n gaya
Posisi awal1 (K1)
KK
1
secara
0 C
K1 grafis,
yang
titik tangkapnya tidak sama
Urutan-urutan penjumlahan
- Gaya K1 dipindah searah garis kerja gaya sampai garis kerja
gaya K1 bertemu dengan garis kerja gaya K2, pertemuannya di titik
0.
- Buat garis-garis sejajar gaya K1 dan K2 di ujung-ujung gaya yang
berlainan sehingga membentuk suatu jajaran genjang, OABC
- Salah satu diagonal yang terpanjang (R) adalah merupakan jumlah dari
K1 dan K2.
6. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-13-
Penjumlahan 3 gaya yang mempunyai titik tangkap tunggal
Penjumlahan tersebut bisa dilakukan secara bertahap
C E
R2
R2 = R + K
1 3
R1=K1+K2
= K1 + K2 + K3
R1 R2
A K2 K1, K2 dan K3 adalah gaya-gaya
B
K1 yang akan dijumlahkan dengan
titik tangkap tunggal.
Urut-urutan penjumlahan.
0 K3 D Jumlahkan dulu K1, K2 dengan
cara membuat garis sejajar
Gambar 1.4. Penjumlahan 3 dengan gaya-gaya tersebut (K1,
gaya secara grafis
K2) di ujung-ujung gaya yang
berlainan sehingga membentuk
suatu jajaran genjang 0ACB
Salah satu diagonal terpanjang yaitu R1 adalah merupakan jumlah K1 +
K2
Buat garis sejajar K3 dan R1 di ujung gaya-gaya yang berlainan
sehingga membentuk jajaran genjang 0CED
Salah satu diagonal terpanjang (R2) adalah jumlah dan R1 dan K3
sehingga sama dengan jumlah antara K1, K2 dan K3.
Penjumlahan 3 gaya yang tidak mempunyai titik tangkap tunggal
Penjumlahan tersebut dilakukan secara bertahap
Titik tangkap gaya bisa dipindahkan sepanjang garis kerja gaya.
7. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-14-
(posisi awal) Urut-urutan penjumlahan
K1
R1 = K1 + K2 (Posisi awal) K1, K2 dan K3 adalah gaya-
C K2 gaya yang akan dijumlah-
kan.
Kerjakan dulu penjumlahan
A antara K1 dan K2 dengan
K1 B
cara :
K2
Tarik gaya K1 dan K2
0 sehingga titik tangkapnya
R2 = R1 + K3 bertemu pada satu titik di
= K1 + K2 + K3 O.
F Buat garis sejajar K1 dan K2
D pada ujung-ujung gaya
yang berlainan sehingga
membentuk jajaran gen-
R1 jang OACB
E Posisi awal (K3)
K3 Salah satu diagonal yang
01 terpanjang yaitu R1 adalah
Gambar 1.5. Penjumlahan 3 gaya yang tidak merupakan jumlah dari K1
mempunyai titik tunggal, secara dan K2.
grafis
Tarik gaya R1 dan K3
sehingga titik tangkapnya
bertemu pada titik di 01
8. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-15-
Buat garis sejajar R1 dan K3 melalui ujung gaya yang berlainan sehingga
membentuk jajaran genjang 01, D F E, salah satu diagonal yang terpanjang
adalah R2 yang merupakan jumlah antara R1 dan K3 berarti jumlah antara K1
dan K2 dan K3.
K3
9. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-16-
a
K1
b1
D K2
K1
A R
K3 K1
B K2 K4 O
C c
titik tangkap K3
Oƞ d
K4
Rƞ
e
Polygon Batang Jari-jari Polygon
Gambar 1.6. Polygon batang dan jari-jari polygon
Gaya K1, K2, K3 dan K4 adalah gaya-gaya yang mau dijumlahkan
Untuk pertolongan, perlu dibuat jari-jari polygon (lihat gambar)
dengan cara sebagai berikut :
- buat rangkaian gaya K1, K2, K3 dan K4 secara berurutan dimana tiap-tiap
gaya sejajar dengan gaya aslinya (pada gambar jari-jari polygon).
- pangkal gaya K1 dan ujung gaya K4 merupakan jumlah (resultante) gaya
K1, K2, K3 dan K4 yaitu R, yang diwakili oleh garis sepanjang a-e tapi
letak titik tangkapnya belum betul.
- Ambil titik 0 sembarang di daerah sekitar R
- Tarik garis dari 0 ke ujung-ujung gaya sehingga ketemu titik a, b, c, d,
dan e, garis - garis tersebut diberi tanda titik satu buah ( ) sampai
lima buah ( ) pada garis tersebut. Garis-garis tersebut dinamakan
jari-jari polygon.
- Dari gaya-gaya asal yang akan dijumlahkan ditarik garis sejajar O a
- Dari titik A dibuat garis sejajar K1 di (titik A. memotong gaya K2 di titik B
( ) memotong gaya Ob )
Dari titik B dibuat garis sejajar Oc ( ) memotong K3 di
10. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-17-
titik C.
Dari titik C dibuat garis sejajar Od ( ) memotong K4 di D.
Dari titik D dibuat garis sejajar Oe , perpanjangan garis
( (
) )
( )
dan garis pada polygon batang akan ketemu di titik Oƞ
yang merupakan titik tangkap jumlah (resultante) gaya-gaya K1, K2, K3
dan K4.
Dari titik Oƞ dibuat garis sejajar R yaitu garis Rƞ.
Jadi Rƞ adalah merupakan jumlah (resultante) dari gaya-gaya K1, K2, K3
dan K4 dengan titik tangkap yang betul, dengan garis kerja melewati 0ƞ
1.1.4.2. Penjumlahan secara analitis
Dalam penjumlahan secara analitis kita perlu menentukan titik pusat
(salib sumbu) koordinat, yang mana biasanya sering dipakai adalah
sumbu oxy. Didalam salib sumbu tersebut gaya-gaya yang akan
dijumlahkan, diproyeksikan.
Contoh :
y Pernjumlahan 2 gaya yang mempunyai titik tangkap tunggal
y K1 dan K2 adalah gaya-
gaya yang akan dijumlah-
K2 y K2 kan dimana mempunyai
titik tangkap tunggal di O ;
K1 Eadalah sudut antara K1
K1 y
dengan sumbu ox
Fadalah sudut antara K2
E F x dengan sumbu ox
O K2x
K1x
K1 dan K2 diuraikan searah
Gambar 1.7. Penjumlahan gaya secara analitis dengan sumbu x dan y
K1x = K1 cos E ; K2x = K2 cos F
K1y = K1 sin E ; K2y = K2 sin F
11. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-18-
Semua komponen yang searah ox dijumlahkan demikian juga yang
searah dengan oy.
Rx = K1x + K2x Rx = § Kx
Ry = K1y + K2y Ry = § Ky
Jumlah gaya total yang merupakan penjumlahan secara analitis dari
komponen-komponen tersebut adalah :
R= Rx ² Ry ²
Penjumlahan 2 gaya dengan letak titik tangkap berbeda
y K1
K1y K1 dan K2 adalah gaya-gaya
E yang akan dijumlah-kan
dengan letak titik tangkap
K2 berbeda.
K1 membentuk sudut E
K2y
F dengan sumbu ox
K2 membentuk sudut
Fdengan sumbu ox.
K1 dan K2 diuraikan searah
dengan sumbu x dan y
O K1x K2x x K1x = K1 cos E ; K2x = K2
cos F
Gambar 1.8. Penjumlahan gaya dengan titik K1y = K1 cos E ; K2y = K2
tangkap berbeda, secara analitis sin F
Semua Komponen yang searah ox dijumlahkan demikian juga yang searah
oy.
Rx = K1x + K2x Rx = § Kx
Ry = K1y + K2y Ry = § Ky
Jumlah gaya-gaya total yang merupakan penjumlahan secara analitis dari
komponen-komponen tersebut adalah :
12. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-19-
R= Rx ² Ry ²
1.1.5. Latihan
Dua gaya yang mempunyai titik tangkap
1. yang sama seperti seperti pada gambar.
K1
K1 = 5 ton dan K2 = 7 ton, sudut yang
dibentuk antara 2 gaya tersebut adalah
45° 45°.
K2 Cari besarnya jumlah gaya-gaya tersebut
(R) baik secara analitis maupun grafis
2.
K1
Dua gaya K1 dan K2 tidak mempunyai titik
tangkap yang sama
K1 = 10 ton dan K2 = 4 ton
Garis kerja ke dua gaya tersebut bertemu dan
K2
membentuk sudut 60°
Cari besarnya jumlah gaya-gaya tersebut (R) baik secara analitis maupun garfis.
3. Empat gaya K1, K2, K3 dan
K4, dengan besar dan arah
5 ton 7 ton 9 ton 4 ton seperti pada gambar
0
K1 K2 K3 K4
Cari besar dan arah jumlah gaya-gaya tersebut (R) dengan cara polygon batang.
1.1.6. Rangkuman
Gaya adalah suatu besaran vektor yang mempunyai besar dan arah serta
diketahui letak titik tangkapnya.
Gaya bisa dipindah-pindah sepanjang garis kerja gaya
Penjumlahan gaya-gaya bisa dilakukan secara grafis ataupun analitis.
Penjumlahan gaya lebih dari 4 buah bisa memakai cara grafis dengan
bantuan polygon batang.
13. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-20-
1.1.7. Penutup
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa bisa melihat hasil atau kunci-kunci
yang ada, secara bertahap.
Soal 1 dan 2 ada jawaban secara analitis dan grafis, sedang soal no. 3
hanya berupa grafis, skor penilaian ada di tabel bawah untuk mengontrol
berapa skor yang didapat.
No. soal Sub Jawaban Jawaban Skor Nilai
1 Analitis R = 11,1 ton
sdt = 22,5° dari 50
sumbu x
Grafis R = 11,1 ton
sdt = 22,5° dari 50
sumbu x
2 Analitis R = 12,5 ton
sdt = 30° dari 50
sumbu x
Grafis R = 12,5 ton
sdt = 30° dari 50
sumbu x
3 Grafis
Jari-jari polygon R = 24 ton 50
Polygon batang 50
1.1.8. Daftar Pustaka
1. Samuel E. French, ƏDeterminate StructuresƐ ITP (International
Thomson Publishing Company) 1996. Bab I.
2. Suwarno. ƏMekanika Teknik Statis TertentuƐ UGM bab I.
3. Soemono. ƏStatika IƐ ITB. Bab I
1.1.9. Senarai
Gaya = mempunyai besar dan arah
Resultante = jumlah
15. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-22-
1.2. JUDUL : PENGGAMBARAN STRUKTUR DALAM MEKANIKA TEKNIK
Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini, maka siswa bisa memahami secara jelas apa itu
bentuk-bentuk struktur di bidang teknik sipil, sehingga dalam menerima
pelajaran akan lebih mudah menerima.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa dapat menunjukkan konsep dasar tentang struktur dalam suatu
bidang Teknik Sipil, mengerti tentang beban, kolom, balok, reaksi dan gaya
dalam, serta bisa menggambar skema struktur dalam mekanika teknik.
1.2.1. Pendahuluan
Dalam disiplin ilmu teknik sipil dimana mahasiswa akan diajak bicara
tentang bangunan gedung, jembatan dan lainsebagainya, maka mahasiswa perlu
tahu bagaimana cara penggambarannya dalam mata kuliah mekanika teknik, apa
itu beban, balok, kolom, reaksi, gaya dalam dan bagaimana cara
penggambarannya dalam mata kuliah mekanika teknik.
Contoh :
a. bentuk gedung bertingkat dalam penggambaran di mekanika teknik
kolom Kolom = tiang-tiang vertical
Balok = batang-batang
horisontal
balok
perletakan
Gambar 1.9. Gambar portal gedung bertingkat dalam mekanika
teknik
16. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-23-
b. bentuk jembatan sederhana dalam penggambarannya di mekanika teknik.
balok
perletaka
n
Gambar 1.10. Gambar jembatan dalam mekanika teknik
1.2.2. Beban
Didalam suatu struktur pasti ada beban, beban yang bisa bergerak umumnya
disebut beban hidup misal : manusia, kendaraan, dan lain
sebagainya. Beban yang tidak dapat bergerak disebut beban mati,
misal : meja, peralatan dan lainsebagainya. Ada beberapa macam
beban yaitu beban terpusat dan beban terbagi rata.
a. Beban terpusat
Beban terpusat adalah beban yang terkonsentrasi di suatu tempat.
a.1.
manusia yang berdiri diatas jembatan
P
beban terpusat
Penggambaran dalam mekanika teknik
a.2.
Kendaraan berhenti diatas jembatan
P1 P2 P3
Penggambaran dalam mekanika teknik
17. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-24-
Notasi beban terpusat = P
Satuan beban terpusat = ton, kg, Newton, dan lainsebagainya,
Gambar 1.11. Gambar beban terpusat dalam mekanika teknik
b. Beban terbagi rata
Beban terbagi rata adalah beban yang tersebar secara merata baik kearah
memanjang maupun ke arah luas.
anak-anak berbaris diatas
jembatan
q t/mƞ
Penggambaran dalam mekanika teknik
Notasi beban terbagi rata = q
Satuan beban terbagi rata = ton/mƞ, kg/cm
Newton/mƞ dan lainsebagainya.
Gambar 1.12. Penggambaran beban terbagi rata dalam mekanika teknik
18. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-25-
1.2.3. Perletakan
y Tujuan Pembelajaran Umum :
Setelah membaca modul bagian ini, maka siswa bisa memahami pengertian
tentang perletakan dan bagaimana pemakaian perletakan ini pada suatu
struktur.
y Tujuan Pembelajaran Khusus :
Mahasiswa dapat menunjukkan konsep dasar dan pengertian tentang
struktur, konsep pengertian tentang perletakan, serta konsep kedudukan
perletakan dalam suatu struktur.
1.2.3.1. Pendahuluan
Dalam bidang teknik sipil kita selalu membicarakan masalah bangunan
seperti bangunan gedung, jembatan, dan lainsebagainya. Bangunan-bangunan
tersebut harus terletak diatas permukaan bumi, hubungan antara bangunan
tersebut dengan lapisan permukaan bumi dikaitkan dengan suatu pondasi.
Bangunan yang terletak diatas permukaan bumi disebut bangunan atas,
sedang yang masuk pada lapisan permukaan bumi disebut dengan bangunan
bawah. Hubungan antara bangunan atas dan bawah melalui suatu tumpuan
yang disebut dengan ƠPerletakanơ.
Contoh :
a. Hubungan antara bangunan atas jembatan dan bangunan bawah pondasi.
Struktur jembatan
(bangunan atas)
perletakan
Pondasi
Penggambaran pada mekanika
(bangunan
struktur
19. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-26-
Gambar 1.13. Gambar perletakan jembatan dalam mekanika teknik
b. Hubungan antara bangunan gedung dan pondasi
Bangunan gedung (bangunan
atas)
muka tanah
Perletakan (tumpuan)
Pondasi (bangunan bawah)
Penggambaran pada mekanika teknik
perletakan
Gambar 1.14. Gambar perletakan gedung
(tumpuan)dalam mekanika teknik
1.2.3.2. Macam-Macam Perletakan
Dalam mekanika teknik perletakan berfungsi untuk menjaga struktur
supaya kondisinya stabil.
Ada 4 macam perletakan dalam mekanika teknik yaitu : rol, sendi, jepit dan
perodel.
a.
Rol
Strukt
Bentuk perletakan rol, pada
suatu struktur jembatan yang
bertugas untuk menyangga
silinder baja sebagian dari jembatan. (Gambar
1.15)
Karena struktur harus stabil
maka perletakan rol tersebut
Rv tidak boleh turun jika kena beban
Perletakan rol bila dilihat dari gambar struktur, atas, olehtersebut bias bergeser
dari maka rol karena itu rol
ke arah horizontal. jadi tidak bisa mempunyai reaksi horizontal, bisa berputar jika
tersebut harus mempunyai reaksi
Gambar 1.15. Skema perletakan rol
diberi beban momen jadi tidak mempunyai reaksi momen.
Pada perletakan
Penggambaran perletakan rol dalam bidang mekanika
Rol teknik, ada reaksi vertikal.
Rv
20. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-27-
Balok jembatan
Gambar 1.16. Aplikasinya perletakan rol dalam
mekanika teknik
Rv
b. Sendi
Bentuk perletakan sendi pada suatu
Strukt struktur jembatan, yang bertugas
untuk menyangga sebagian dari
RH jembatan (Gambar 1.17).
silinder baja Karena struktur harus stabil, maka
perletakan sendi tidak boleh turun
jika kena beban dari atas, oleh
Rv
karena itu sendi tersebut harus
Gambar 1.17. Skema perletakan Sendi
mempunyai reaksi vertikal (Rv).
Pada perletakan
Selain itu perletakan sendi tidak
boleh bergeser horizontal. Oleh
karena itu perletakan sendi harus
mempunyai reaksi horizontal (RH),
RH sendi tersebut bisa berputar jika
Penggambaran perletakan sendi dalam
diberi beban momen. Jadi sendi tidak
mekanika teknik, ada reaksi vertikal dan
horisontal punya reaksi momen.
Rv
balok
jembatan
RH Gambar 1.18. Aplikasinya perletakan sendi
c. Jepit di dalam mekanika teknik
Rv
Bentuk perletakan jepit dari suatu
21. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-28-
Penggambaran perletakan jepit dalam
RH
mekanika teknik, ada reaksi vertikal,
horizontal, dan momen
RM
RV
RH Gambar 1.20. Aplikasi perletakan
jepit di dalam mekanika
RM teknik
R Bentuk perletakan jepit dari suatu
d. Pendel V
balok baja struktur, bertugas untuk menyangga
sebagian dari struktur baja (Gambar
1.21.)
Pendel tersebut hanya bisa menyangga
sebagian jembatan, hanya searah
dengan sumbu pendel tersebut, jadi
pendel hanya mempunyai satu reaksi yang
Gambar 1.21. Skema perletakan searah dengan sumbu pendel.
pendel pada suatu
RR struktur baja R Penggambaran perletakan pendel
dalam mekanika teknik, ada reaksi
searah pendel.
22. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-29-
balok baja
Gambar 1.22. Aplikasi perletakan
pendel di dalam
pende mekanika teknik
l
23. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-30-
1.3. JUDUL : KESEIMBANGAN BENDA
Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan bisa mengerti apa yang
disebut keseimbangan pada suatu benda.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa dapat memahami pengertian keseimbangan dalam suatu
struktur dan syarat-syarat apa yang diperlukan, serta manfaatnya dalam
struktur tersebut.
1.3.1. Pendahuluan
Dalam bidang teknik sipil mahasiswa selalu diajak berbicara tentang
bangunan gedung, jembatan dan lain sebagainya. Bangunanƛbangunan
tersebut supaya tetap berdiri, maka struktur-strukturnya harus dalam
keadaan seimbang, hal itu merupakan syarat utama. Apa saja syarat-
syaratnya supaya suatu bangunan tetap seimbang, dan bagaimana cara
menyelesaikannya, mahasiswa perlu mengetahuinya.
Contoh : benda dalam keadaan seimbang (tidak bisa bergerak)
kotak
lem
meja
Gambar 1.23. suatu kotak yang dilem diatas meja
1.3.2. Pengertian tentang keseimbangan
Sebuah kotak yang dilem diatas meja, maka kotak tersebut dalam keadaan
seimbang, yang berarti kotak tersebut tidak bisa turun, tidak bisa bergeser
horisontal dan tidak bisa berguling.
a. Keseimbangan vertikal
24. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-31-
kalau kotak tersebut dibebani
Pv Kotak
secara vertikal (Pv), maka
Lem
kotak tersebut tidak bisa turun,
yang berarti meja tersebut
mampu memberi perlawanan
vertikal (Rv), perlawanan
Meja
vertikal tersebut (Rv) disebut
Pv Rv reaksi vertikal.
Kotak Gambar 1.24. Keseimbangan
vertikal
Bandingkan hal tersebut diatas
dengan kotak yang berada di
atas lumpur
Kalau kotak tersebut dibebani
Lumpur secara vertikal (Pv), maka
kotak tersebut langsung
tenggelam, yang berarti
Kotak tenggelam lumpur tersebut tidak mampu
memberi perlawanan secara
vertikal (Rv).
(Gambar 1.25)
Gambar 1.25. Kotak tenggelam dalam lumpur
b. Keseimbangan horisontal
Kalau kotak tersebut dibebani
PH Kotak
secara horisontal (PH), maka
Lem
RH kotak tersebut tidak bisa
bergeser secara horisontal, yang
berarti lem yang merekat antara
meja
kotak dan meja tersebut
25. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-32-
mampu
Gambar 1.26. Keseimbangan horizontal
memberi perlawanan horisontal (RH), sehingga bisa menahan kotak untuk tidak
bergeser. Perlawanan horisontal tersebut (RH) disebut reaksi horisontal.
Bandingkan hal tersebut diatas dengan kotak yang berada di atas meja tanpa di
lem
Kalau kotak tersebut
dibebani secara
kotak yang
PH horisontal (PH), maka
bergeser
kotak tersebut
langsung bergeser,
karena tidak ada yang
menghambat, yang
berarti meja tersebut
tidak mampu memberi
perlawanan horisontal
(RH)
(Gambar 1.27)
Gambar 1.27. Kotak yang bergeser
Karena beban horizontal
c. Keseimbangan Momen
Kalau kotak tersebut dibebani momen (PM), maka kotak tersebut tidak bisa
berputar (tidak bisa terangkat), yang berarti lem perekat antara kotak dan meja
tersebut mampu memberikan perlawanan momen (RM), perlawanan momen
tersebut (RM) disebut dengan reaksi momen.
PM
Kotak
Lem
Meja
26. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-33-
Bandingkan hal tersebut diatas dengan kotak yang berada di atas meja tanpa di
lem.
PM Kalau kotak tersebut
Kotak yang terangkat dibebani momen (PM),
maka kotak tersebut bisa
terangkat, karena tidak
ada lem yang mengikat
Meja
antara kotak dan meja
tersebut, yang berarti
meja tersebut tidak
mampu memberikan
perlawanan momen (RM).
Gambar 1.29. Kotak yang terangkat karena beban momen
d Keseimbangan Statis
PV PM Kalau kotak tersebut
di lem diatas meja,
Kotak
PH yang berarti harus
Lem stabil, benda tersebut
RH
harus tidak bisa turun,
tidak bisa bergeser
RV Meja
horisontal, dan tidak
bisa terangkat.
RM
Gambar 1.30. Keseimbangan statis
27. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-34-
Kalau kotak tersebut dibebani secara vertikal (PV), tumpuannya mampu
memberi perlawanan secara vertikal pula, agar kotak tersebut tidak bisa
turun syarat minimum RV = PV, atau RV - PV = 0 atau 7V = 0 (jumah gaya-
gaya vertikal antara beban dan reaksi harus sama dengan nol).
Kalau kotak tersebut dibebani secara horisontal (PH ), maka pada
tumpuannya mampu memberi perlawanan secara horisontal (RH ). Agar
kotak tersebut tidak bisa bergeser secara horisontal maka syarat minimum
RH = PH atau RH ƛ PH = 0 atau 7H = 0 (jumlah gaya-gaya horisontal
antara beban dan reaksi harus sama dengan nol)
Kalau kotak tersebut dibebani secara momen (PM ), maka pada
tumpuannya mampu memberi perlawanan secara momen (RM ). Agar
kotak tersebut tidak bisa terpuntir (terangkat), maka syarat minimum RM
= PM atau RM - PM = 0 atau 7M = 0 (jumlah gaya-gaya momen beban
dan reaksi harus sama dengan nol).
Dari variasi tersebut diatas, dapat dikatakan bahwa suatu benda yang
stabil atau dalam keadaan seimbang, maka harus memenuhi syarat-syarat
sebagai berikut :
- 7V = 0 (jumlah gaya-gaya vertikal antara aksi (beban) dan reaksi harus
sama dengan nol)
- 7H = 0 (jumlah gaya-gaya horisontal antara aksi (beban) dan reaksi sama
dengan nol)
- 7M = 0 (jumlah gaya-gaya momen antara aksi (beban) dan reaksi harus
sama dengan nol).
1.3.4. Latihan
1. Suatu benda diatas meja dengan berat sendiri = 5 kg
Pv = 5
kg
28. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-35-
Berapa reaksi vertikal yang terjadi
supaya balok tersebut tidak turun
?.
Rv = ?
2. Suatu kantilever (konsol) dengan beban seperti pada gambar.
PV = 5 kg
PH = 2 kg
PM = 5 kgm
Cari reaksi-reaksi yang terjadi supaya konsol tersebut tak roboh.
1.3.5. Rangkuman
o Macam-Macam Beban
- Beban terpusat; notasi; P; satuan; kg atau ton atau Newton
- Beban terbagi rata; notasi; q; satuan kg/mƞ atau ton/mƞ atau Newton /
mƞ
o Macam Perletakan
- Rol punya 1 reaksi Rv
- Sendi punya 2 reaksi Rv dan RH
- Jepit punya 3 reaksi Rv; RH dan RM
- Pendel punya 1 reaksi sejajar dengan batang pendel
o Syarat Keseimbangan
Ada 3 syarat keseimbangan yaitu :
7v = 0
7H = 0
7M = 0
1.3.6. Penutup
29. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-36-
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa bisa melihat hasil atau kunci-kunci
yang ada.
Nomor Soal Reaksi yang ada Besar Reaksi Arah
1 Rv 5 kg o
2 Rv 5 kg o
RH 2 kg p
RM 5 kg m 1
1.3.7. Daftar Pustaka
1. Suwarno, ƏMekanika Teknik Statis TertentuƐ UGM Bab I.
2. Soemono ƏStatika IƐITB Bab I
1.3.8. Senarai
- Beban = aksi
- Reaksi = perlawanan aksi
30. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-37-
MODUL 2 : ARTI KONSTRUKSI STATIS TERTENTU DAN CARA
PENYELESAIANNYA
2.1. JUDUL : KONSTRUKSI STATIS TERTENTU
Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan mengerti apa yang disebut dengan konstruksi statis tertentu.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa selain dapat mengerti apa yang disebut dengan konstruksi statis
tertentu, mengetahui syarat-syarat apa yang diperlukan dan bagaimana cara
pemanfaatannya.
2.1.1. Pendahuluan
Dalam bangunan teknik sipil, seperti gedung-gedung, jembatan dan lain
sebagainya, ada beberapa macam sistem struktur, mulai dari yang
sederhana sampai dengan yang kompleks; sistim yang paling sederhana
tersebut disebut dengan konstruksi statis tertentu. Mahasiswa diwajibkan
memahami struktur yang paling sederhana sebelum melangkah ke yang
lebih kompleks.
Contoh : contoh struktur sederhana yaitu balok jembatan diatas 2 tumpuan.
Balok jembatan diatas 2
Balok jembatan
perletakan A dan B
B
Perletakan A adalah rol
A
sendi
rol Perletakan B adalah sendi
31. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-38-
Gambar 2.1. Gambar konstruksi jembatan dalam Mekanika
Teknik
2.1.2. Definisi Statis Tertentu
Suatu konstruksi disebut statis tertentu jika bisa diselesaikan dengan syarat-
syarat keseimbangan.
Ada beberapa syarat-syarat keseimbangan
Sesuai dengan materi yang sebelumnya ada 3 (tiga) syarat keseimbangan yaitu :
§ V ! 0 ( jumlah gaya gaya vertikal sama dengan nol)
§ H ! 0 ( jumlah gaya gaya horisontal sama dengan nol)
§ M ! 0 ( jumlah momen sama dengan nol)
Kalau dalam syarat keseimbangan ada 3 persamaan,maka pada konstruksi statis
tertentu yang harus bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan,
jumlah bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut maximum
adalah 3 buah. Jika dalam menyelesaikan suatu konstruksi tahap awal yang
harus dicari adalah reaksi perletakan, maka jumlah reaksi yang tidak diketahui
maksimum adalah 3.
2.1.3. Contoh
Balok diatas dua perletakan dengan
a).
P
beban P seperti pada gambar.
A = sendi dengan 2 reaksi tidak
RAH diketahui (RAV dan RAH adalah
A B
reaksi-reaksi vertikal dan horizontal
di A).
RAV RBV
B= rol dengan reaksi tidak
diketahui (RBV = reaksi vertikal di B)
32. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-39-
Gambar 2.2. Konstruksi statis tertentu
Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 3 buah, maka konstruksi
tersebut adalah konstruksi statis tertentu.
b).
Suatu konstruksi kolom yang berkonsol dengan
P
perletakan di A adalah jepit.
A = jepit dengan 3 reaksi yang tidak diketahui.
RAV = reaksi vertical di A
RAH = reaksi horizontal di A
RM
RM = momen di A.
RAH Jumlah reaksi yang tidak diketahui ada 3 buah, maka
A konstruksi tersebut adalah statis tertentu.
RAV
Gambar 2.3. Konstruksi statis tertentu
c)
Balok diatas 2 perletakan
P A = sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui RAV
dan RAH (reaksi vertikal dan reaksi horisontal di A).
B = sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui RBV
dan RBH (reaksi vertical dan reaksi horizontal di B).
Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 4
A B buah, sedang persamaan syarat keseimbangan hanya
Gambar 2.4. Konstruksi statis ada 3, maka konstruksi tersebut statis tak tertentu.
tidak tertentu
33. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-40-
2.1.4. Latihan
a).
suatu balok ABC berkantilever terletak diatas
P
dua perletakan dengan beban P seperti pada
gambar. Perletakan A adalah sendi dan di B
C adalah rol.
Tunjukkan apakah konstruksi tersebut statis
A tertentu atau bukan.
B
b).
suatu balok ABC terletak diatas dua
P
perletakan dengan beban P seperti pada
gambar. Perletakan A dan C B adalah
sendi. C
Tunjukkan apakah konstruksi tersebut
statis tertentu atau bukan.
2.1.5. Rangkuman
Konstruksi disebut statis A
tertentu, jika bisa diselesaikan dengan persamaan syarat-syarat
keseimbangan.
Persamaan syarat-syarat keseimbangan adalah 3 buah
7V = 0 7H = 0 dan 71 = 0
2.1.6. Penutup
Untuk mengukur prestasi,mahasiswa bisa melihat kunci dari soal-soal yang
ada sebagai berikut :
Jawaban Soal
P
titik Macam Perletakan Jumlah
C reaksi
A Sendi 2 buah
A B B sendi 1 buah
Total reaksi 3 buah
34. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-41-
Bisa diselesaikan dengan persamaan syarat keseimbangan. Jadi konstruksi
diatas adalah statis tertentu.
b)
P
B
C
A
Itik Macam Perletakan Jumlah reaksi
A Sendi 2 buah
B sendi 2 buah
Total reaksi 4 buah
Persamaan tidak bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan. Jadi
konstruksi statis tidak tertentu.
2.1.7. Daftar Pustaka
1. Suwarno ƠMekanika Teknik Statis Tertentuơ UGM bab I
2. Suwarno ƠStatika Iơ ITB bab I
2.1.8. Senarai
Konstruksi statis tertentu = konstruksi yang bisa diselesaikan dengan
syarat-syarat keseimbangan
2.2. JUDUL : GAYA DALAM
Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini mahasiswa bisa mengetahui apa yang disebut
dengan gaya dalam dan bisa mengetahui bagaimana cara
mencarinya.
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa dapat menggunakan teori yang telah diberikan untuk menghitung
gaya dalam suatu struktur serta bisa menggambarkan gaya-gaya
dalam tersebut secara rinci pada struktur statis tertentu.
2.2.1. Pendahuluan
Bangunan teknik sipil pada umumnya terbuat dari struktur beton, kayu, baja dan lain-lain. Dalam pembuatan
struktur-struktur tersebut perlu diketahui ukruan atau yang lazim disebut dengan demensi dari tiap-tiap elemen
35. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-42-
strukturnya (balok, kolom, pelat, dansebagainya). Untuk menentukan demensi-demensi dari elemen struktur tersebut,
memerlukan gaya dalam.
Contoh :
a).
o Dua buah struktur seperti pada gambar (a)
P1 dan (b) dengan beban (P) dan bentang (l)
berbeda.
A B o Gaya dalam yang diterima pada struktur (a)
berbeda pula dengan gaya dalam yang
L1 diterima oleh struktur (b), maka demensi dari
struktur (a) akan berbeda pula dengan
struktur (b).
Gambar 2.5. Contoh (a)
Gambar 2.6. Contoh (b)
P2
2.2.2. Pengertian tentang Gaya Dalam
A B
L2
Ada 2 (dua) orang yang mempunyai bentuk tubuh yang
berbeda, satu kecil, pendek (A), yang satu lagi besar,
tinggi (B). Jika kedua-duanya membawa barang beban P
= 5 kg, maka kedua tangan orang A dan B tersebut
tertegang. P P
Untuk A orangnya pendek,kecil dalam membawa beban P
tersebut urat-urat yang ada pada tangannya tertegang
dan menonjol keluar sehingga kita bisa melihat alur urat- P = 5 kg P = 5 kg
uratnya. Namun hal ini tidak terjadi pada B karena
orangnya besar, tinggi. Yang menjadikan urat-urat tangan
orang (A) tersebut menonjol sehingga tampak dari luar
adalah karena adanya gaya dalam pada tangan tersebut A B
akibat beban P = 5 kg. Kalau beban P tersebut dinaikkan
secara bertahap, sampai suatu saat tangan A tidak mampu Gambar 2.7. Orang membawa
membawa beban tersebut, demikian juga untuk orang B.
beban
Beban maksimum yang dipikul oleh orang A akan lebih kecil dari pada beban maksimum yang bisa dipikul oleh
orang B karena diameter lengan orang A lebih kecil dari diameter lengan orang B.
Suatu balok terletak pada 2
2.2.3. Macam-macam Gaya dalam
perletakan dengan beban
P1 seperti pada gambar, maka
balok tersebut akan menderita
beberapa gaya dalam yaitu :
P P y Balok menderita beban
B beban lentur yang menyebabkan
reaksi A
RB balok tersebut berubah
RA
l bentuk melentur. Gaya
dalam yang menyebabkan
Gambar 2.8. Balok diatas 2 perletakan dan pelenturan balok tersebut
menerima beban P (sehingga melendut)
disebut momen yang
37. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-44-
o Balok tersebut menderita gaya tekan karena adanya beban P dari kiri dan
kanan. Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu batang,
maka akan menerima beban gaya dalam yang disebut Normal yang diberi
notasi N.
o Balok tersebut menderita gaya lintang, akibat adanya reaksi perletakan
atau gaya-gaya yang tegak lurus ( B ) sumbu batang, balok tersebut
menerima gaya dalam yang disebut gaya lintang dan diberi notasi D.
2.2.4. Gaya Dalam Momen
a). Pengertian Momen (M)
Suatu balok yang terletak diatas 2
c P (kg) q tumpuan dengan beban seperti pada
kg/mƞ gambar, ada beban terbagi rata q (kg/mƞ)
A B dan beban terpusat P (kg).
Balok tersebut akan menerima beban
c
x lentur sehingga balok akan melendut,
l yang berarti balok tersebut menerima
RA RB
(m)
beban lentur atau momen. (atau
menerima gaya dalam momen)
Gambar 2.9. Balok yang menerima
beban terpusat dan terbagi rata
Definisi
Momen adalah perkalian antara gaya x jarak.
Balok yang terletak antara tumpuan A dan B menderita (menerima) momen.
Momen untuk daerah balok antara perletakan A ke perletakan B
dengan variable x bisa ditulis sebagai berikut :
I II
(1) Mx = RA . x ƛ q.x. ½ x (dihitung dari kiri ke potongan c-c) Ʀ.(pers.
1)
gaya jarak gaya jarak
38. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-45-
Misal kita ambil potongan c-c yang terletak sejarak x dari A
RA (reaksi di A) merupakan
gaya
I
x = adalah jarak dari RA ke potongan c-c
sejauh x
qx = merupakan gaya dari beban terbagi rata
sejauh x yang diberi notasi (Q1 = qx)
II
½x= adalah jarak dari titik berat beban
terbagi rata sepanjang x ke potongan
c-c
q (kg/mƞ) titik berat qx
c
½x c
Q1= qx
x
Gambar 2.10. Gambar potongan struktur bagian
kiri
Kalau dihitung dari sebelah kanan ke (c-c)
I II
Mx = RB (l-x) ƛ q (l ƛ x) . ½ (l -x) (dihitung dari kanan) ƦƦƦ.
(pers. 2)
Kalau diambil di potongan c-c
RB (reaksi di B) merupakan
gaya
I (l-x) = jarak dari RB ke potongan c-c
Q (l-x) = merupakan gaya dari beban terbagi rata
sejauh (l-x) q (l-x) = Q2
½ (l-x) = adalah jarak dari titik berat beban terbagi
39. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-46-
II
Kalau menghitung besarnya momen di c-
c c q (kg/mƞ) boleh dari kiri potongan seperti pada
titik berat dari q (l-x) persamaan (1) ataupun menghitung dari
kanan potongan seperti pada persamaan
(2) dan hasilnya pasti sama.
y Tanda Gaya
½ (l-x)
c Q2 = q (l- Dalam
x) Momen
l -x
tertekan Untuk memberi perbedaan antara momen-
Gambar 2.11. Gambar potongan struktur bagian
momen yang mempunyai arah berbeda, maka
tertekankanan perlu memberi tanda terhadap momen
tersebut.
tertarik Jika momen tersebut mampu melentur suatu
tertarik balok sehingga serat atas tertekan dan serat
Tanda momen (+) *
Tanda momen (+) * bawah tertarik maka momen tersebut diberi
tanda (+) = positif. Demikian juga sebaliknya.
Tanda momen (-) *
Gambar 2.12. Tanda momen
2.2.5. Gaya Lintang (D)
c P Kalau dilihat, balok yang terletak
q (kg/mƞ)
(kg)
diatas 2 (dua) perletakan A dan
B, menerima gaya-gaya yang
c arahnya B (tegak lurus)
terhadap sumbu balok. Gaya-
RA gaya tersebut adalah RA ; q dan
RB
RB gaya-gaya tersebut yang
Gambar 2.13. Gambar balok menerima
memberi gaya lintang terhadap
beban
40. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-47-
Definisi : Gaya lintang adalah gaya-gaya yang B dengan sumbu
batang.
Kalau kita ambil salah satu potongan antara perletakan A-B yaitu c-c,
maka coba gaya-gaya apa saja yang arahnya B (tegak lurus) terhadap
sumbu AB.
y kalau dilihat dari C ke kiri potongan, maka
(1) Dc = RA ƛ q x = RA ƛ Q1 (gaya lintang di c yang dihitung dari kiri
potongan)
x
c
q (kg/mƞ)
c
Q1=q x
RA
Gambar 2.14. Potongan balok bagian kiri
y Kalau dihitung dari titik c ke kanan potongan, maka
(2) D1 = RB ƛ q (l-x) ƛ P
= RB ƛ Q2 ƛ P (gaya lintang di c yang dihitung dari
kanan
potongan)
P
c q (kg/mƞ)
c Q2 = q (l-
x)
(l ƛ x)
RB
Gambar 2.15. Potongan balok bagian kanan
41. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-48-
y Tanda Gaya Lintang
P
C
A B
Untuk membedakan gaya lintang, maka
RB perlu memberi tanda (+) dan (-).
C Definisi :
* Gaya lintang diberi tanda positif jika
C
dilihat di kiri potongan titik yang
RA
ditinjau, jumlah gaya arahnya ke
atas, atau kalau dilihat di kanan
RB potongan, jumlah gaya arahnya ke
Gambar 2.16. Skema gaya lintang dengan tanda positif (+)
Coba dilihat pada Gambar 1 dari kalau kita mau menghitung besarnya
gaya lintang di c (Dc).
C Dilihat dari kiri potongan C, gaya yang ada hanya RA, jadi
jumlah gaya-gayanya yang B sumbu hanya RA dengan arah
RA
o (keatas) jadi tanda gaya lintang adalah positip.
P
Jika dilihat dari kanan potongan c, gaya yang
C ada B terhadap sumbu adalah RB ( o ) keatas
dan P (q ) kebawah. Karena RB adalah
RB merupakan reaksi, maka P RB sehingga
jumlah antara P dan RB arah ( q ) kebawah,
42. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-49-
*
P
Definisi :
D B
A * Gaya lintang diberi tanda negatif,
jika dilihat di kiri titik potongan
P D
yang ditinjau arahnya kebawah
A ( q ) dan bila ditinjau di kanan titik
D B potongan yang ditinjau arahnya
ke atas.
Gambar 2.17. Gambar 2
Skema gaya lintang
dengan tanda negatif (-)
Coba dilihat pada Gambar 2.17 bagaimana kalau kita mau menghitung besarnya
gaya
lintang di D (DD).
P D
Dilihat dari kiri potongan D, gaya-gaya yang B
RA sumbu hanya RA dan P, karena RA adalah
reaksi. Jadi RA P, maka resultante gaya-gaya
antara RA dan P arahnya adalah kebawah ( q ),
D maka gaya lintangnya tandanya negatif.
Jika dilihat di sebelah kanan potongan gaya-
gaya yang B sumbu hanya RB dengan arah ke
RB
atas ( o ), Jadi gaya lintangnya tandanya adalah
43. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-50-
Jadi untuk menghitung gaya lintang, baik dihitung dari kiri ataupun kanan hasilnya harus sama.
2.2.6. Pengertian Tentang Gaya Normal (N)
P Definisi :
Gaya normal adalah gaya-gaya yang
A B
arahnya sejajar (//) terhadap sumbu
beban balok.
* Jadi kalau kita lihat balok yang
RA RB
seperti pada Gambar 2.18 yang
Gambar 3
Gambar 2.18. Balok tanpa beban mana tidak ada gaya-gaya yang
normal sejajar sumbu batang, berarti balok
tersebut tidak mempunyai gaya
normal (N).
P P
Kalau dilihat pada Gambar 3.19
dimana ada gaya-gaya yang //
Gambar 4 (sejajar) sumbu batang yaitu P,
RA maka pada batang AB (Gambar
RB
Gambar 2.19. Balok menerima beban gaya 3.19) menerima gaya normal (N)
normal
sebesar P.
* Tanda Gaya Normal
- Jika gaya yang ada arahnya menekan balok, maka tanda gaya normalnya
P P
adalah negatif (-) { €€p n
€€ }.
44. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-51-
- Jika gaya yang ada arahnya menarik balok, maka tanda gaya normalnya
P P
adalah positif (+) { n€€ €€p }.
2.2.7. Ringkasan Tanda Gaya Dalam
M M
tekan
tanda momen positif
(+)
tarik
tarik
tanda momen negatif (-
tekan )
M M
tanda gaya lintang positif (+)
tanda gaya lintang negatif (-)
tanda gaya normal negatif (-)
45. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-52-
tanda gaya normal positif (+)
Gambar 2.20. Ringkasan tanda gaya dalam
2.2.8. Contoh : Penyelesaian Soal 1
Sebuah balok statis tertentu diatas 2 perletakan dengan beban seperti pada
gambar,
P1 = 2 2 t (º), P2 = 6t (¶), P3 = 2t (´)
P4 = 3t ; q1 = 2 t/mƞ; q2 = 1 t/mƞ
P2 = 6 ton q2 = 1 t/mƞ
P1 = 2 2 t q1 = 2t/mƞ
P1v = 2 t
45 P4 = 3 ton
° C D P = 2t E
P1H = 2 t A 3
B RBH
RBV
6m
RAV
2m 10 2m
m
46. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-53-
Gambar 2.21. Balok diatas 2 perletakan dan pembebanannya
Diminta : Gambar bidang momen, gaya lintang dan bidang normal.
(Bidang M, N, dan D)
Jawab : Mencari reaksi vertical
Dimisalkan arah reaksi vertical di A RA (µ) keatas dan arah reaksi vertical di B
RB (µ) juga keatas.
Mencari RAV dengan 7MB = 0 (jumlah momen-momen terhadap titik B = 0)
RAV.10 ƛ P1R.12 ƛ q1.6.7 ƛ P2.4 + 2.q2.1 = 0
2.12 2.6.7 6.4 2.1.1
RAV = = 13 ton (µ)Karena tanda + berarti arah
10 sama dengan permisalan (+)
Pemberian tanda pada persamaan berdasarkan atas arah momen, yang searah
diberi tanda sama, sedang yang berlawanan arah diberi tanda berlawanan.
RBV 71%!
RBV.10 ƛ q2.q1 ƛ P2.6 ƛ q1.6.3 + P1R.2 = 0
1.2 .1 6.6 2.6.3 2.2
RBV = = 9 ton (µ)
10
Karena tanda RBV adalah positif berarti arah reaksi RBV sama dengan permisalan
yaitu (µ) keatas.
Untuk mengetahui apakah reaksi di A (RA) dan reaksi di B (RB) adalah benar,
maka perlu memakai kontrol yaitu § V = 0
(P1R + q1.6 + P2 + q2.2) ƛ (RAR + RBR) = 0
(2 + 2.6 + 6 + 1.2) ƛ (13 + 9) = 0
Beban vertikal Reaksi vertikal
47. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-54-
Mencari Raksi Horizontal
Karena perletakan A = rol tidak ada RAH.
Perletakan B = sendi ada RBH.
Untuk mencari RBH dengan memakai syarat keseimbangan ( § H = 0)
§H = 0
RBH = P1H + P3 + P4
= 2 + 2 + 3 = 7 ton (³)
Menghitung dan Menggambar Gaya Lintang (D)
Dihitung secara bertahap
Daerah C A lihat dari kiri
Gaya lintang dari C ke A bagian kiri adalah konstan
DA kr = P1R = - 2 ton (gaya lintang (D) di kiri titik A, di kiri potongan arah gaya
lintang kebawah (¶)
DA kn (gaya lintang (D) di kanan titik A)
DA kn = - P1R + RAR = -2 + 13 = 11 ton (di kiri potongan arah gaya lintang ke
atas).
A D
Beban P1 = 2 2 (45°) bisa diuraikan
menjadi P1V = 2t (¶) dan P1H = 2t ( )
q1 = 2 P2 = 6
2t t/mƞ ton
P3 = 2
ton
C D
6m
RA = 13 t
X
48. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-55-
Variabel x berjalan dari A ke D (sebelah kiri titik P2), sedang beban yang dihitung
dimulai dari titik C.
Dx = -2 + 13 ƛ q1 x = (-P1V + RA ƛ q1x)
Persamaan (Linier)
didapat
Untuk x = 0 DAkn = -2 + 13 = + 11 ton
2.6
didapat (di kiri potongan arah gaya
Untuk x = 6 m DD kr= -2 + 13 ƛ 12 = - 1ton
lintang ke bawah)
DD kn : sedikit di kanan titik D, melampaui beban P2.
DD kn : -2 + 13 ƛ 12 ƛ 6 = - 7 ton (dikiri potongan arah gaya lintang ke bawah)
Dari titik D s/d B tidak ada beban, jadi Bidang D sama senilai DD kn (konstan dari
D sampai B).
Daerah B-E
2m
q2 = 1
t/mƞ
B E P4 = 3 ton
x.2
RBV = 9 ton
Lebih mudah kalau dihitung dari kanan dari E menuju B.
Variabel x2 berjalan dari E ke B.
DE = 0
Dx2 = q2 . x2 = + x2 (persamaan liniear)
49. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-56-
DB kn kanan perletakan B (x2 = 2 m) DB kn = + 2 ton (kanan potongan
arah ke
kebawah)
DB kr (kiri titik B) DB kr = + 2 ƛ 9 = - 7 ton (kanan potongan arah ke atas)
Melewati
perletakan B
MENGHITUNG DAN MENGGAMBAR BIDANG NORMAL (N)
Daerah C- dihitung dari kiri sampai D, P2 tidak termasuk dari C ke D nilai
D
gaya normal konstan.
ND kr = - P1H = - 2 ton (gaya normal menekan batang)
Daerah D- dihitung dari kiri (beban yang dihitung mulai dari titik C, batang
B dari D ke B nilai gaya normal konstan).
ND kn = (-2 ƛ 2) ton = - 4 ton (gaya normal menekan batang)
NB kr = NDkn = - 4 ton
Daerah B- dihitung dari kanan, dari E ke B nilai gaya normal konstan.
E
NB kn = + 3 ton (gaya normal menarik batang)
Kalau dihitung dari kiri, dimana gaya normal dihitung dari titik C.
Dari kiri DBkn = (-4 + 7) t = + 3 ton (gaya normal menarik batang)
MENGHITUNG DAN MENGGAMBAR BIDANG MOMEN (M)
Daerah C A C P1V = 2t A
P1H = 2t
2m
x
50. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-57-
Variabel x berjalan dari C ke A
Mx = - P1v . x = - 2 x (linier)
Untuk x = 0 Mc = 0
x=2 MA = - 2.2 = - 4 tm.
(momen P1v . x mengakibatkan serat atas tertarik sehingga tanda negatif
(-) ).
Daerah A D
51. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-58-
Gaya-gaya yang dihitung mulai dari titik C
q1 = 2 t/mƞ
C P1V = 2t A
P1H = 2t D
x.1
RAV =
13t
2 6
m m
Variabel x1 berjalan dari A ke D
Mx1 = -P1V (2 + x1) + RA.x1 ƛ ½ q1 x1²
Mx1 = -2 (2 + x1) + 13 x1 ƛ ½ q1 x12 (persamaan parabola)
= - ½ q1 x12 + 11 x1 ƛ 4
MENCARI MOMEN MAXIMUM
D Mx1
!0
d x1
d Mx1
! q1 x1 11 ! 0 p x1 ! 5.5.m
d x1
Letak dimana harga Mmax = Letak dimana harga (D = 0) lihat pada Gambar
2.22.
x1 = 5.5 m Mmax = - ½ .2 (5.5)² + 11.5.5 ƛ 4
= 26.25 tm.
52. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-59-
Mencari titik dimana M = 0
Mx1 = - ½ .q1.x12 + 11 x1 ƛ 4 = 0
= x12 ƛ 11 x1 + 4 = 0
x1 = 0.3756 m (yang dipakai)
x1ƞ = 10.62 m (tidak mungkin)
Untuk x1 = 6 MD = -36 + 66 ƛ 4 = + 26 tm
Daerah E-B (dihitung dari kanan, titik E ke titik B) variabel x2 berjalan dari E
ke B
q2 = 1 t/mƞ
P4 = 3 t
B E
2m
x2
Dihitung dari kanan
Parabola
Mx2 = - ½ q2 x22
didapat
Untuk x2 = 0 ME = 0
Untuk x2 = 2didapat MB = - ½ . 1.4 = -2 tm
53. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-60-
q1 = P2 = 6 q2 =
P1V = 2 t 2t/mƞ ton 1t/mƞ
C A D P3 = 2 B E P4 = 3
P1H =2t RBH = ton
ton
RBV 7t
=9
RAV = 13 t ton
11
+ 2 +
1 t
2 - -
6 t 7
t t
BIDANG D
2
t -
2 4t
t
+ 3
BIDANG N t
5.5 m
linier 2 tm parabola
- 4 tm -
-
+
0.286
linier
0.3756 parabola
BIDANG M
Gambar 2.22. Gambar bidang M, N, D balok diatas 2 tumpuan
54. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-61-
2.2.9. Contoh 2
Diketahui:
KONSOL (CANTILEVER)
Suatu konstruksi konsol (cantilever) dengan
P2 = perletkan di D = jepit dengan beban P1 = 2t
q=1 P1 = (¶); P2 = 1t (¶) dan beban terbagi rata q = 1
D 1t
t/mƞ 2t t/mƞ
A
C B Ditanya : Gambar bidang M, N, D
1m 2m 3m Jawab : Mencari reaksi di D dengan syarat
keseimbangan
x1
RD
RD = ? 7v = 0 RD ƛ P2 ƛ P1 ƛ q.5 = 0
x2
RD = 2 + 1 + 5.1 = 8 t (o)
Untuk menggambar gaya dalam kita bisa dari kiri
atau kanan, pilih yang lebih mudah dalam hal
BIDANG D
ini pilih yang dari kanan.
5 Bidang D (dari kanan)
8 +
DA kr = + 2 ton
1t Daerah A B
x1 merupakan variabel yang bergerak dari A ke B
BIDANG M Dx1 = 2 + q. x1
Untuk x = 3 DB kn = 2 + 1.3 = 5 ton (dari
kanan potongan arah gaya ke bawah tanda
10.5 positif (+) ).
-
x2 merupakan variabel yang bergerak dari A ke C
24.5 parabola Daerah B C
32.5 Dx2 = 2 + 1 + q . x2
parabola
Untuk x2 = 3 DB kr = 2 + 1 + 1.3 = 6 ton
Untuk x2 = 5 DC = 2 + 1 + 5 = 8 ton
Bidang A (dari kanan)
Daerah M B
linierGambar 2.23. Bidang M, N,
MA = 0
D
Balok cantilever
55. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-62-
2
Daerah B - C : Mx2 = -P1 x2 ƛ P2 (x2 ƛ3) ƛ ½ q x2
: MC = -2.5 ƛ 1.2 ƛ ½ .1.5² = - 24.5 tm ( )
MD : - P1.6 ƛ P2.3 ƛ 5.1 (2.5 + 1) = -12 ƛ 3 ƛ 5.3,5 = 32,5 t (
)
2.2.10. Latihan
Balok diatas 2 tumpuan.
Soal 1 Balok AB dengan beban
P1 = 4t P2 = 4 2t seperti tergambar
A = sendi B = rol
45 °
HA
A B
P1 = 4 ton P2 = 4 2 ton
Ditanyakan;
VA RB a) reaksi perletakan
2m 3m 3m b) bidang N, D dan M
Soal 2 Balok ADCB dengan beban
P ! 3 32 2t
P= t seperti tergambar
q = 1 t/m'
A = sendi B = rol
45°
HA
P1 = 3 2 ton q = 1 ton/m·
A D B C
Ditanyakan;
VA RB
a) reaksi perletakan
2m 4m 2m
b) bidang N, D dan M
56. MODUL AJAR II (MEKANIKA TEKNIK)
-63-
Soal 3
¤
2 2 2t
¢¡
q , t/m'
HA
°
A £ B C
P1 2t
VA RB
6m 2m 2m
Balok ADCB dengan beban seperti tergambar :
A = sendi B = rol ; P1 = 2 ton P2 = 2 2 ton ; q = 1,5 ton /m·
Ditanyakan; a). reaksi perletakan
b). bidang N, D dan M
57. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -1-
2.2.11. Rangkuman
Dalam suatu konstruksi ada gaya dalam sebagai berikut :
M (momen) dengan tanda
+ -
D (gaya lintang) dengan tanda
+ -
N (gaya normal) dengan tanda
- +
2.2.12. Penutup
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa bisa melihat kunci dari soal -soal
yang ada sebagai berikut :
Jawaban Soal No. 1
Keterangan Titik Nilai Tanda/arah
Reaksi vertikal A : VA 4.5 ton o
B : RB 3.5 ton o
Reaksi horisontal A : HA 4 ton p
Gaya normal = N A²D 4 ton - tekan
D²B 0
Gaya lintang = D A²C 4.5 ton +
C²D 0.5 ton +
D²B 3.5 ton -
Momen = M A 0
C 9 tm +
D 10.5 tm +
B 0
58. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -2-
Jawaban Soal No. 2
Keterangan Titik Nilai Tanda/arah
Reaksi vertikal A : VA 3 ton o
B : RB 6 ton o
Reaksi horisontal A : HA 3 ton p
Gaya normal = N A²D 3 ton - tekan
D²B 0
Gaya lintang = D A ² D kiri 3 ton +
D kanan 0
B kiri 4 ton -
B kanan 2 ton +
C 0
Momen = M A 0
D 6 tm +
B 2 tm -
C 0
2 m kanan 4 tm +
D
Jawaban Soal No. 3
Keterangan Titik Nilai Tanda/arah
Reaksi vertikal A : VA 4.625 ton o
B : RB 4.375 ton o
Reaksi horisontal A : HA 2 ton p
Gaya normal = N A²D²B²C 2 ton - tekan
Gaya lintang = D A 4.625 ton +
D kiri 4.375 ton -
D kanan ² B kiri 2.375 ton -
B kanan ² C 2 ton +
X = 3.08 m kanan A 0
Momen = M A 0
X = 3.08 m 7.13 tm +
D 0.75 tm +
B 4.0 tm -
C 0
59. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -3-
2.3. Hubungan Antara Momen (M) ; Gaya Lintang D dan q
(Muatan)
Pada gambar terdapat potongan sepanjang dx batang yang diberi beban
terbagi rata (qx), potongan tersebut antara I dan II
sepanjang dx. Dengan beban sepanjang dx tersebut kita
akan mencari hubungan antara beban, gaya lintang dan
momen.
qx = beban terbagi rata
Mx = momen di potongan I ( )
qx beban
½ dx Dx = gaya lintang di potongan I ( o)
qx . dx = berat beban terbagi rata
Sepanjang dx
qx.dx Dx + dDx = gaya lintang di potongan
M x + dMx
II (¶)
Mx Dx D x + dDx batang dDx = selisih gaya lintang antara
Potongan I dan II.
Mx + dMx = momen di potongan II (
)
I II dMx = selisih momen antara I dan II
dx
Gambar 2.24. distribusi gaya dalam pada balok
sepanjang dx
Keseimbangan gaya ƛ gaya vertikal 7V = 0 di potongan II
Dx ƛ qx dx ƛ (Dx + d Dx) = 0 (kiri ada Dx (o) dan qx dx (q) dan kanan
ada Dx + d Dx
(q)
dDx = - qx dx
d Dx
! qx (turunan pertama dari gaya lintang adalah beban)
dx
Keseimbangan momen
7 M = 0 di potongan II
Mx + Dx dx ƛ qx .dx . ½ dx ƛ (Mx + d Mx) = 0
½ q. dx² - 0
d Mx = Dx . dx
o Kiri ada Mx ; Dx dx dan qx.dx. ½
dx dan kanan ada Mx + dMx
o ½ qx.dx² } 0 karena dx = cukup
kecil dan dx² bertambah kecil
sehingga bisa diabaikan.
60. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -4-
d Mx
! Dx
dx
* turunan pertama dari momen adalah gaya lintang
2.4. Balok Miring
Pada pelaksanaan sehari -hari sering kita menjumpai balok yang
posisinya miring seperti : tangga, dalam hal ini kita harus tahu
bagaimana menyelesaikannya.
2.4.1. Pengertian Dasar
Balok miring adalah suatu balok yang berperan sebagai pemikul
struktur yang posisinya membentuk sudut dengan bidang datar,
misal : tangga, balok atap dan lain sebagainya.
Pada kenyataan sehari -hari balok-balok tersebut bisa berdiri
sendiri atau digabungkan dengan balok vertikal atau horisontal.
Seperti pada gambar.
Dasar Penyelesaian
Dalam penyelesaian struktur,
terutama untuk menghitung dan
menggambar gaya dalam adalah
(a) sama dengan balok biasa
(horizontal). Namun disini perlu
lebih berhati-hati dalam
menghitung karena baloknya
(b)
Gambar 2.25. Skema balok miring
61. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -5-
Dalam hal ini mahasiswa bisa lebih mendalam dalam pengetrapan
pengertian gaya -gaya dalam pada semua kondisi balok.
2.4.2. Contoh soal
Diketahui
Suatu balok miring di atas 2 tumpuan, perletakan A = sendi duduk di
bidang horizontal, perletakan B = rol duduk pada bidang miring //
dengan sumbu batang. Beban P 1 = 4 t vertikal di C dan beban P2 =
4t vertikal di D, dan beban terbagi rata q = 1 t/mƞ dari D ke B dengan
arah vertikal.
Ditanya : Gambar bidang M, N, D
Jawab:
q = 1 t/mƞ
B
rol
P2=4
t
P 1=4
RB 3 m = rol jadi reaksinya hanya
Di B
D satu B sumbu batang
C 5
A E 1m 1m 1m
send 3
R AH E
RAV
4m
4
di B = rol jadi reaksinya hanya
1m 1m 2m satu B sumbu batang
62. MODUL I (MEKANIKA TEKNIK) -6-
Gambar 2.26.a. Pembebanan pada balok miring
Untuk mencari reaksi kita lebih cepat kalau yang dicari reaksi di B dulu.
Reaksi di B RB B bidang sentuh
RB dicari dengan 7 MA = 0
RB.5 ƛ q.2.3 ƛ P2.2 ƛ P1.1 = 0
18
RB.5 ƛ 1.2.3 ƛ 4.2 ƛ 4.1 = 0 RB = ! 3.6 ton (arah R B B sumbu batang)
5
Untuk mencari R AV dicari dulu R AH dengan syarat keseimbangan horizontal.
RAH 7H = 0
RAH ƛ RB sin2 = 0
3
RAH = .3.6 ton = 2.16 ton
5
Mencari R AV dengan 7 M B = 0
RAV 7 MB = 0
RAV.4 ƛ RAH.3 ƛ P 1.3 ƛ P2.2 ƛ q.2.1 = 0
RAV.4 ƛ 2.16.3 ƛ 4.3 ƛ 4.2 ƛ 2.1.1 = 0
RAV = 7.12 ton