SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 19
Baixar para ler offline
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
1
Hongtriquang.edu.vn
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2014 - 2015
Bài I: (5 điểm)
1) Cho a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và
1 1 1
a b c
a b c
     . Chứng minh rằng có ít nhất một trong
các số a, b, c bằng 1.
2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 3 1 3 1
2 2 1n n
A  
   là hợp số
Bài 2. (5đ)
1) Giải phương trình: 2
3 2 3 6 4x x x x   
2) Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
   

 
Bài 3. (2đ) Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 1 1
3
a b c
   , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
P
a ab b b bc c c ca a
  
     
Bài 4. (6đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD,
BE, CF đồng quy tại H.
1) Chứng minh rằng: 2 2 2
cos cos cos 1BAC CBA ACB  
2) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP.
Bài 5. (2đ)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho:
2
2
2
p p 
là lập phương của một số tự nhiên
2) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng
minh rằng tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì nhau có tích không lớn hơn
1
9
./.
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
2
Hongtriquang.edu.vn
Đáp án HÀ NỘI Năm học 2014 – 2015
Bài I: (5 điểm)
1) Cho a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và
1 1 1
a b c
a b c
     . Chứng minh rằng có ít nhất một trong
các số a, b, c bằng 1.
1 1 1
1 0a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca
a b c
                
( 1)( 1)( 1) 0a b c      ít nhất một trong ba số bằng 1
Lời bình: Qua bài toán này ta thu được kết quả
Nếu abc = 1 thì 0a b c ab bc ca     
Ta có thể mở rộng bài toán: ;b ;
x y z
a c
x y y z z x
  
  
ta có bài toán mới
Chứng minh rằng nếu ( )( )( )xyz x y y z z x    thì
     ( )( )
x y z xy yz zx
x y y z z x x y y z y z z x z x x y
    
        
Đặc biệt: 1 ;1 b ;1
y z x
a c
x y y z z x
     
  
nên
(1 )(1 )(1 )a b c abc    1 a b c ab bc ca abc abc        
 1 2a b c abc ab bc ca       
Bài này đơn giản hơn rất nhiều so với bài thi vào chuyên toán KHTN 2013 – 2014
Với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức: ( )( )( ) 8a b b c c a abc    . Chứng minh rằng:
3
4 ( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c ab bc ca
a b b c c a a b b c b c c a c a a b
     
        
2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 3 1 3 1
2 2 1n n
A  
   là hợp số
8 1( 7) 8 1( 7) 5 2 0( 7) 7n
mod mod A mod A        .
Mặt khác ta chứng minh được A >7 nên A là hợp số
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
3
Hongtriquang.edu.vn
Bài tương tự: Tìm số tự nhiên n để
2
2 6 2
5 12n n 
 là số nguyên tố (Hsg 2013)
Bài 2. (5đ)
1) Giải phương trình: 2
3 2 3 6 4x x x x   
2) Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
   

 
1) Điều kiện:
3
2
x 
Cách 1. Biến đổi thành bình phương (tổng hoặc hiệu)
2 2
2 3 2 3 2 5 10 5 0x x x x x x        
2 2
( 3 2 ) 5( 1) 0x x x      .
1x 
Cách 2. Đánh giá
Nhận thấy VP > 0 nên x > 0
Ta có: 2 3 2
3( 1) 1 1, . .(3 2 ) 1
3
x x x
VP x VT x x x VT VP
  
         
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Sử dụng BDT cauchy:
4 2
1 3 2 2
2
x
x x

   
Do đó 2
3 6 4 3 2 (2 )x x x x x x      2
4( 1) 0 1x x    
Thử lại với x = 1 thỏa mãn phương trình
Cách 3. Liên hợp
  2
3 2 3 7 4x x x x x    
3(1 )
(3 4)( 1)
3 2 1
x
x x x
x

   
 
3
( 1) 3 4 0
3 2 1
x
x x
x
 
     
  
Với
3
2
x  thì
3
3 23 4 3. 4
2 0 13 2 1
x
x
x
    
 
2) Thay pt (2) vào pt (1) ta có: 3 2 2 2 2 2
2 ( 8 ) 0 ( 2 )( 4 ) 0x xy y x y x y x xy y        
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
4
Hongtriquang.edu.vn
Từ đó x = - 2y, thế trở lại pt (2) giải ra x = 2, y = -1
Bài tương tự: Giải hệ phương trình:
4 2
2 2
2 3
3
x x y
x y y
  

  
Cộng hai phương trình cho nhau
Bài 3. (2đ) Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 1 1
3
a b c
   , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
P
a ab b b bc c c ca a
  
     
Bài giải
2 2
1 1 1 1
3
2 aab ab aba ab b
   
 
   
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bài tương tự:
Bài 4. (6đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD,
BE, CF đồng quy tại H.
1) Chứng minh rằng: 2 2 2
cos cos cos 1BAC CBA ACB  
2) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP.
Bài giải
1) Chứng minh
2
2
Δ Δ AEF
ABC
S AE
AEF ABC cos BAC
S AB
 
    
 
Chứng minh tương tự và cộng lại ta có: s 2 2 2
1AEF BFD CED
ABC
S S S
cos ABC cos ACB cos BAC
S
 
   
2) Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua (O). Khi đó HBA′C là hình bình hành nên ta có M là trung
điểm HA′
Do đó MI||PA′⊥AP
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
5
Hongtriquang.edu.vn
Lời bình Đây là bài toán cơ bản, bởi ta đã quen với bài toán trực tâm với trung điểm cạnh. Mối liên
hệ giữa tâm ngoại tiếp và trực tâm.
Bài 5. (2đ)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho:
2
2
2
p p 
là lập phương của một số tự nhiên
Bài giải
Từ giả thiết ta có: 2
( 1) 2( 1)( 1)p p a a a    
Nếu p = 2 thì a = 0 (thỏa mãn)
Nếu p > 2 thì p lẻ | ( 1)p a  hoặc 2
| ( 1)p a a 
Nếu | ( 1)p a  mà a < p p a 
Khi đó 2
( 1) 2( 1)( 1)p p a a a     2
2 3 2 0a a    (vô nghiệm)
Nếu 2
| ( 1)p a a  k  sao cho 2
1(*)pk a a  
Khi đó 2
( 1) 2( 1)( 1)p p a a a     1 2 ( 1)p k a    2 ( 1) 1p k a   
Thay vào pt (*) ta có 2 2 2
(2 1) 1 2 0a k a k k     
4 2
4 12 4 3k k k    
Cần tìm k sao cho  là số chính phương. Mà 2 2 2 2
(2 2) (2 4)k k    
4 2 2 2
4 12 4 3 (2 3)k k k k      3 127k p   
Vậy p = 2 hoặc p = 127.
2) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng
minh rằng tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì nhau có tích không lớn hơn
1
9
./.
Kẻ đường kính chứng minh đường trung bình
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
6
Hongtriquang.edu.vn
Giả sử a b c d e    . Khi đó, lấy a làm chuẩn và xếp theo chiều kim đồng hồ như sau:
a b c d e    . Cách xếp này sẽ thỏa mãn yêu cầu vì:
+) 21 1 1 1
( ) ( )
3 12 12 9
ad a b c d a b c d        
+)
1
9
bd ad 
+)
1
9
ce ae ad  
+)
2 2
21 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )
4 4 3 4 3 9
bc b c a b c a b c d
   
            
   
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2013 - 2014
Bài I: (5 điểm)
1) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 2014;
1 1 1 1
2014a b c
   Tính giá trị của:
2013 2013 2013
1 1 1
M
a b c
  
2) Tìm số tự nhiên n để
2
2 6 2
5 12n n 
 là số nguyên tố
Bài 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình: 2
2 2 2 1 2 0x x x    
2) Giải hệ phương trình:
2 2
4 4 2 2 2
4 5 2
9 5 4 2
x y z xy
x y z z x y
    

    
Bài 3 (2 điểm) Cho các số thực thỏa mãn: 0 4;0 4;0 4a b c      và a + b + c = 6. Tìm GTLN
của biểu thức: 2 2 2
P a b c ab bc ca     
Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC, tia AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại N (N khác M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng
minh
2
BAC IP
sin
IN

THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
7
Hongtriquang.edu.vn
c) Gọi các điểm D, E lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh AB, AC. Gọi điểm H, K lần lượt đối
xứng với các điểm D, E qua I. Biết rằng AB + AC = 3BC, chứng minh các điểm B, C, H, K cùng
thuộc 1 đường tròn
Bài 5 ( 2 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 2 1x y
 
2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia
AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các
điểm 1 2 3 4 5 6, , , , ,M M M M M M (các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh
lục giác 1 2 3 4 5 6M M M M M M có ít nhất 1 cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1./.
ĐÁP ÁN
Bài 1
1) Từ gt
1 1 1 1
a b c a b c
  
 
1 1 1 1 ( )
( )
a b
a b a b c c c a b c
 
    
   
,
2
( )( ) ( )a b ac bc c a b ab      
2
( )( ) 0a b ac bc c ab      ( )( )(b c) 0a b a c    
2013 2013
1 1
2014
M
c
 
2) Xét n = 1; 2; 3 thấy n = 3 thỏa mãn.
Với n > 3 ta có:
2 2
2 6 2 3 1
5 12 25 12 13n n n n   
   
Mà 2
3 1n n  lẻ với mọi n, nên
2
3 1
25n n 
chia 13 dư -1; suy ra
2
3 1
25 12n n 
 chia hết cho 13.
Bài 2.
Điều kiện
1
2
x


Biến đổi phương trình thành 2 2
( 2 1 1)x x  
2 1 1
2 1 1
x x
x x
   
 
   
TH1. 1 2 1x x   2
1
2 1 2 1
x
x x x

 
   
1
0( ); 4( / )
x
x l x t m

 
 
4x 
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
8
Hongtriquang.edu.vn
TH2. Giải tương tự
Kết luận. Phương trình có nghiệm x = 4
2)
2 2
4 4 2 2 2
4 5 2
9 5 4 2
x y z xy
x y z z x y
    

    
Từ pt (1) 2 5
( ) 4 5 0
4
x y z z     
Từ phương trình (2): 2 2 2 2
( 4 9 5 (4 5)(1 z) 0)x zy z z      
5
1
4
z  
Từ đó
5
4
z 
Với
5
4
z  thì x = y.
Vậy hệ có nghiệm (x; y; z ) là
5
; ;
4
t t
 
 
 
Bài 3
Cách 1.
Giả sử a b c  suy ra 4 2a 
Ta có: 2
( ) 36P a b c ab bc ac ab bc ac         
Xét: (6 ) (6 )A ab bc ac a a bc a a       
Mặt khác: 0 ( 4)( 2)a a   nên: 2
6 8a a  suy ra (6 ) 8a a 
ta có GTLN của P là 28 , dấu bằng lệch là hoán vị (4,2,0)
Cách 2:
Do 0 ; ; 4 ( 4)( 4)( 4) 0a b c a b c      
4( ) 16( ) 64 0 16.6 64 32ab bc ca abc a b c            (do 0abc  )
8ab bc ca   
2
( ) ( ) 36 8 28P a b c ab bc ca        
ta có GTLN của P là 28, dấu bằng lệch là hoán vị (4,2,0)
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
9
Hongtriquang.edu.vn
Bài 4
a) Chứng minh hai tam giác cân do hai góc ở đáy bằng nhau. Thật vậy ta có:
MIB IAB IBA IBC IAC    (phân giác) IBC IAC IBC MBC    (góc cùng chắn cung MC )
MBI
Suy ra tam giác MIB cân tại M suy ra MI=MB và do đó MI=MB=MC.
b)
Gợi ý. Ta có
ˆ
2
MB IM
B
BA
NM
MN MN
C
sin sin  
Ta chứng minh
IM IP
MN IN

Bằng cách chứng minh tam giác MIP đồng dạng MNI
Ta chứng minh ( )IMP NMI c g c   
IM MP
NM MI
  2
.MP MN MB  (luôn đúng)
c)
P
N
O
K
H
A
B
C
M
I
D
E
P
N
O
K
H
A
B
C
M
I
D
E
P
N
O
K
H
A
B
C
M
I
D
E
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
10
Hongtriquang.edu.vn
Ta có I, B, C cùng thuộc một đường tròn (M,IM) (1).
Ta có AB + AC = 3BC, mà theo định lý Ptoleme áp dụng cho tứ giác nội tiếp ABCM có:
 . . . . 3 . 3 .AM BC AB MC AC MB AB AC MI BC DI AM MI      
Gọi G là trung điểm IA thì AG = GI = IM và G là tâm đường tròn đường kính IA chứa A, D, E, I.
Vì IG = IM nên 2 đường tròn (G, IG) và (M, IM) đối xứng nhau qua I. Vì D, E thuộc (G, IG) nên
đối xứng H, K của D, E qua I cũng thuộc (M, IM) hay H, K cũng thuộc (M, IM) (2).
Từ (1) và (2) ta có B, C, H, K cùng thuộc đường tròn (M, IM) (đpcm).
Bài 5
1) Xét mod 8 suy ra x chẵn, đặt x = 2z; có  25 1z
 chia hết cho 24, tức chia hết cho 3. Pt có
nghiệm x = 1; y = 2
2) -Vì các điểm M không trùng với các đỉnh của lục giác ban đầu nên P không nằm trên đường chéo
nào của lục giác.
Suy ra P nằm hoàn toàn ở miền trong của tam giác có đỉnh O và cạnh là cạnh lục giác ban đầu.
Không mất tính tổng quát, ta cho P nằm ở miền trong tam giác OAB
Khi đó các đường AP, BP,CP, DP,EP,FP không cắt được đoạn CD.
Tổng quát là tồn tại ít nhất một cạnh của lục giac ABCDEF không bị cắt
TH1: Nếu có một cạnh không bị cắt, ta xét 2 điểm M nằm trên 2 cạnh liền kề cạnh này là xong.
TH2: nếu có 2 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta lại xét 2 điểm M năm trên 2 cạnh liên tiếp bị cắt của
2 cạnh không bị cắt này.
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
11
Hongtriquang.edu.vn
Gọi 2 điểm M1, M2 thuộc 2 cạnh FA, CD thì góc M1BM2 > 600
, tức cạnh M1M2 lớn hơn 1
trong 2 cạnh BM1 hoặc BM2, lớn hơn 1.
TH 3:Nếu có 3 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta xét 2 điểm M nằm ở 2 cạnh bị cắt mà không liền
nhau
TH4. có 4 cạnh liên tiếp không bị cắt. Suy ra 2 cạnh bị cắt liên tiếp nhau. Chúng có chung đỉnh ,
đỉnh C chẳng hạn. Khi đó, 2 cạnh bị cắt là CB và CD. Mặt khác CP phải cắt một cạnh khác ngoài
CB và CD . Số cạnh bị cắt không ít hơn 3. Sẽ không tồn tại 4 cạnh liên tiếp không bị cắt.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2012-2013
Câu 1. (5 điểm)
a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức: 4 3 2
4 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2
2 3x x 
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
12
Hongtriquang.edu.vn
b) Cho biểu thức 2013 2012 2011 2013 2012 2011
(a 8 11 ) ( 8 11 )P a a b b b      . Tính giá trị của biểu thức P
với 4 5a   ; 4 5b  
Câu 2. (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
6 5 5 6 0
20 28 9 0
x y xy x y
x y x
      

   
b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
6 10 2 28 18 0x y xy x y     
Câu 3. (2 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 2 3
3
a b c
   . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
27 8 3
c(c 9 ) a(4a ) b(9b 4 ) 2
a b c
a b c
  
  
Câu 4. (7 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các
đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng
EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Câu 5. (1 điểm). Cho 2013 điểm 1 2 2013; ;...A A A và đường tròn (O;1) tùy ý cùng nằm trong mặt
phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó ta luôn có thể tìm được điểm M sao cho
1 2 2013...M 2013MA MA A  
Bài giải
1a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức: 4 3 2
4 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức
2
2 3x x 
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
13
Hongtriquang.edu.vn
Đặt  4 3 2 2
( ) 4 11 2 5 6 2 3 ( ) ( 1)( 3) ( )f x x x ax bx x x q x x x q x          
Từ đó
( 1) 0
(3) 0
f
f
 


2 5 9
18 15 91
a b
a b
 
 
 
1b) Nhận xét
8
11
a b
ab
 


nên a, b là nghiệm của phương trình 2
8 11 0x x  
Ta có 2013 2012 2011 2013 2012 2011
(a 8 11 ) ( 8 11 )P a a b b b     
2 2011 2 2011
(a 8 11) ( 8 11)a a b b b      0
2)
a) Tính Delta hoặc phân tích thành nhân tử từ pt (1) (2x − y + 3)(3x + y − 2) = 0
Rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta giải được hệ
b) Nhân 2 vào 2 vế (x + 4y)2
+ (4y − 7)2
+ (x − 1)2
+ 10x2
− 14 = 0
Từ đó 2
10x 14 0  1x 
Xét ba trường hợp, x = -1; x = 0; x = 1 thay vào ta tìm được y.
Câu 3.
Đặt
1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )a b c
x y z
 khi đó 3x y z  
BĐT cần chứng minh tương đương với
3
2 2
3
2
z
x z



Ta có
2 2
2 2 2 2
3 3
( ) ( ) 3
2 2 2
z zx x
z z
x z x z
      
 
  
Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 3c = 1.
Câu 4.
A
F
E
I
M
H
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
14
Hongtriquang.edu.vn
a) Sử dụng dấu hiệu tích trong chứng minh tứ giác nội tiếp ta có .IF IB.IC IM.IAIE   nên tứ giác
AMFE nội tiếp
Mặt khác, tứ giác AFHE nội tiếp
Vậy A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Vì tứ giác AMHE nội tiếp nên HM vuông góc với AM tại M
Sử dụng bổ đề nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng. Khi đó DM vuông góc với IA
Vậy HM, DM cũng vuông góc với IA nên H, M, D thẳng hàng, tức H, M, N thẳng hàng.
c) Sử dụng định lí Ptoleme cho tứ giác AMBC
Câu 5. Kẻ đường kính DE bất kì 1 2 2013 1 2 2013( .. ) ( .. ) 4026DA DA DA EA EA EA       
Đặt 1 2 2013..P DA DA DA    , 1 2 2013..S EA EA EA   
Nếu 2013P  thì D là điểm M cần tìm
Nếu 2013P  thì 2013P  thì E là điểm cần tìm.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2011-2012
Bài I: (5 điểm)
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
15
Hongtriquang.edu.vn
1) Cho biểu thức 2012 2012 2012 2008 2008 2008
( ) ( )A a b c a b c      với a, b, c là các số nguyên dương.
Chứng minh A chia hết cho 30
2) Cho 3 2012
( ) (2x 21x 29)f x    Tính f(x) tại 3 3
49 49
x 7 7
8 8
   
Bài II: (5 điểm)
1.Giải phương trình: 2 2
12 5 3 5x x x     2.Giải hpt
2 2
2 2
2 0
6
x xy x y y
x y x y
     

   
Bài III (2 điểm) Giải pt nghiệm nguyên dương : 2 2
2 3 5 3 4 0x y xy x y     
Bài IV (4 điểm)
Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC ( A không trùng với B, C) Gọi H là
hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AO MN
2) Cho AH= 2 cm, BC= 7 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC
Bài V (4 điểm)
1) Gọi 1 2 3, , ,h h h r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam
giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 2 3 3 1
1 1 1 1
2 2 2 3rh h h h h h
 
  
2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho
không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012 điểm nằm trong
hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.
Gợi ý
Bài 1
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
16
Hongtriquang.edu.vn
a) Biến đổi A về dạng
2008 2 2 2008 2 2 2008 2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)A a a a b b b c c c        
Chứng minh được 2 2
x( 1)( 1)x x  chia hết cho 30 với x nguyên. Từ đó A chia hết cho 30.
b) 3 3
7 7
7 7
2 2 2 2
x     3 37
14 3 2 21 28 0
2
x x x x       
3 2012 2012
( ) (2 21 29) ( 1) 1f x x x      
Bài 2
a) Giải phương trình sau 2 2
12 5 3 5x x x    
Giải:
Cách 1. Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5
12 5 3 5 0
3
x x x x       
Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
 
          
   
  
       
    
Do
2 2 2 2
1 1 2 2
0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x
x x x x
 
   
       
5
3
x 
Từ đó
2 2
2 2 5
3 0,
312 4 5 3
x x
x
x x
 
    
   
nên pt (*) vô nghiệm.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.
Cách 2. Từ pt đã cho chuyển vế ta có 2 2 7
12 5
3 5
x x
x
   

Từ pt trên suy ra x dương.
Xét 2x  suy ra 4 3 7VT VP   
Xét
5
2
3
x  suy ra 7VT VP 
Thử với x = 2 đúng.
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
17
Hongtriquang.edu.vn
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.
b)
Từ pt (1) 2 2
2 0x xy x y y     , ta coi pt ẩn x, tính Δ = 9y2
− 6y + 1 → x = y; x = −2y − 1
Thay vào pt (2) và ta giải được hệ.
Bài 3.
Biến đổi về pt bậc 2 ẩn x : 2 11
Δ 14 33 0
3
y
y y
y

     

Vì phương trình có nghiệm x là số nguyên nên Δ là số chính phương.
Đặt 2 2
Δ 14 33 ( )y y k k Z      7 7 16y k y k    
Ta đc 4 nghiệm           , 14;11 16, ,:12 4;3 2;2,x y 
Bài 4
Câu a) Quá quen thuộc
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
18
Hongtriquang.edu.vn
Ta có AMHN là hình chữ nhật nên 0
O B 90OAN ANM AC IAN AC ABC     
Từ đó AO vuông góc với MN
Hoặc Chứng minh tam giác AIK đồng dạng với AOH; (K là giao điểm của MN và AO)
Câu b)
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp △MNC
Vì tứ giác BMNC nội tiếp để nên B cũng thuộc đường tròn đó
Gọi I là giao điểm của AH và MN IJ MN  mà theo câu a OA⊥MN / /IJ OA
CM tương tự OJ // AI
Vậy AIJO là hình bình hành
2
2 2
AH
OJ AI   ;
7
2 2
AB
OB AB   ; 2 2 2 27 2 3
( ) ( )
2 2 2
BJ OB OJ    
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là
3
2
Bài 5.
1
1 1 1 1
2 2 2 3
S S S S S S S
a b b c c a a b c
  
  
 
1 1 1 9
2
2
S S S
S
a b a b b a b
 
     
 
1 2
92
a b
S S S
a b

 

1 1 1 1
32 2 2 3
a b c
S S S S S S SS
a b b c c a a b c
 
   
  
 
THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang
19
Hongtriquang.edu.vn
2. Gọi X là tập hợp các điểm đã cho trước.
Trong các tam giác có 3 đỉnh thuộc tập
X, ta chọn △ABC là tam giác có diện
tích lớn nhất.
Các đường thẳng qua A,B,C thứ tự
song song với BC,CA,AB đôi một cắt
nhau tại D,E,F như hình vẽ.
Ta chứng minh mọi điểm của tập X đều nằm trong △DFE, kể cả trên cạnh.
Giả sử, có 1 điểm M thuộc tập X sao cho M nằm ngoài △DFE. Không mất tính tổng quát, giả sử vị
trí của M nằm như hình vẽ.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh
 
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
 
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thiAntonio Krista
 
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2https://www.facebook.com/garmentspace
 
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6
 
De hsg toan 8 20122013
De hsg toan 8 20122013De hsg toan 8 20122013
De hsg toan 8 20122013HUNGHXH2014
 
Phương pháp giải bài tập sự điện li
Phương pháp giải bài tập sự điện liPhương pháp giải bài tập sự điện li
Phương pháp giải bài tập sự điện liKhanh Sac
 
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nútBdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nútThế Giới Tinh Hoa
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
9 phuong trinh nghiem nguyen htq
9 phuong trinh nghiem nguyen htq9 phuong trinh nghiem nguyen htq
9 phuong trinh nghiem nguyen htqHồng Quang
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nLuu Tuong
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelPTAnh SuperA
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá
 
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhHệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhNhập Vân Long
 
50 bài tập về bất đẳng thức
50 bài tập về bất đẳng thức50 bài tập về bất đẳng thức
50 bài tập về bất đẳng thứcHUHF huiqhr
 

Mais procurados (20)

chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
 
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
 
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
 
Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thức
 
Scp mod p
Scp mod pScp mod p
Scp mod p
 
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
 
De hsg toan 8 20122013
De hsg toan 8 20122013De hsg toan 8 20122013
De hsg toan 8 20122013
 
Phương pháp giải bài tập sự điện li
Phương pháp giải bài tập sự điện liPhương pháp giải bài tập sự điện li
Phương pháp giải bài tập sự điện li
 
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nútBdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
9 phuong trinh nghiem nguyen htq
9 phuong trinh nghiem nguyen htq9 phuong trinh nghiem nguyen htq
9 phuong trinh nghiem nguyen htq
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 
Bài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcBài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phức
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
 
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhHệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
 
50 bài tập về bất đẳng thức
50 bài tập về bất đẳng thức50 bài tập về bất đẳng thức
50 bài tập về bất đẳng thức
 

Semelhante a [Htq] toan 9 hsg tp hn dap an

9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi
9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi
9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthiHồng Quang
 
9 [htq] de thi hsg
9 [htq] de thi hsg9 [htq] de thi hsg
9 [htq] de thi hsgHồng Quang
 
9 03 de thi tet 2016
9 03 de thi tet 20169 03 de thi tet 2016
9 03 de thi tet 2016Hồng Quang
 
10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quang
10 de tang hsg quan   huyen thay hong tri quang10 de tang hsg quan   huyen thay hong tri quang
10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quangHồng Quang
 
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtchuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtHoàng Thái Việt
 
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinh
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinhTuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinh
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinhHoàng Quý
 
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp ánVui Lên Bạn Nhé
 
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quanghaic2hv.net
 
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toankennyback209
 
Toan pt.de025.2010
Toan pt.de025.2010Toan pt.de025.2010
Toan pt.de025.2010BẢO Hí
 
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015onthitot .com
 
150 dechuyen2008&2009
150 dechuyen2008&2009150 dechuyen2008&2009
150 dechuyen2008&2009Toan Isi
 
[123doc] tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa
[123doc]   tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa[123doc]   tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa
[123doc] tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoanguyenhuongtra nguyenhuongtra
 
De thi thu dh 2013 khoi d toan
De thi thu dh 2013 khoi d   toanDe thi thu dh 2013 khoi d   toan
De thi thu dh 2013 khoi d toanadminseo
 
De thi thu mon toan nam 2013
De thi thu mon toan nam 2013De thi thu mon toan nam 2013
De thi thu mon toan nam 2013adminseo
 
Mot so dang toan co ban lop 7 ki i
Mot so dang toan co ban lop 7 ki iMot so dang toan co ban lop 7 ki i
Mot so dang toan co ban lop 7 ki ilop1409ktmt
 
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 1036 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 10mcbooksjsc
 

Semelhante a [Htq] toan 9 hsg tp hn dap an (20)

9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi
9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi
9 [htq] de thi hsg 3 2 lopluyenthi
 
9 [htq] de thi hsg
9 [htq] de thi hsg9 [htq] de thi hsg
9 [htq] de thi hsg
 
9 03 de thi tet 2016
9 03 de thi tet 20169 03 de thi tet 2016
9 03 de thi tet 2016
 
10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quang
10 de tang hsg quan   huyen thay hong tri quang10 de tang hsg quan   huyen thay hong tri quang
10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quang
 
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtchuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
 
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinh
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinhTuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinh
Tuyen chon de thi vao 10 chuyen toan cac tinh
 
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
 
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang
3 đề thi thử môn Toán năm 2017 có đáp án chi tiết - Mẫn Ngọc Quang
 
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan
23 de thi thu tuyen sinh quoc gia mon toan
 
Toan pt.de025.2010
Toan pt.de025.2010Toan pt.de025.2010
Toan pt.de025.2010
 
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015
De thi-thu-dh-lan1-khoi-a-2015
 
150 dechuyen2008&2009
150 dechuyen2008&2009150 dechuyen2008&2009
150 dechuyen2008&2009
 
K10+11+12
K10+11+12K10+11+12
K10+11+12
 
[123doc] tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa
[123doc]   tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa[123doc]   tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa
[123doc] tong-hop-de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-thanh-hoa
 
De thi thu dh 2013 khoi d toan
De thi thu dh 2013 khoi d   toanDe thi thu dh 2013 khoi d   toan
De thi thu dh 2013 khoi d toan
 
De thi thu mon toan nam 2013
De thi thu mon toan nam 2013De thi thu mon toan nam 2013
De thi thu mon toan nam 2013
 
Mot so dang toan co ban lop 7 ki i
Mot so dang toan co ban lop 7 ki iMot so dang toan co ban lop 7 ki i
Mot so dang toan co ban lop 7 ki i
 
Đề thi HSG Toán 9 Hạ Hòa năm 2015 - 2016
Đề thi HSG Toán 9 Hạ Hòa năm 2015 - 2016Đề thi HSG Toán 9 Hạ Hòa năm 2015 - 2016
Đề thi HSG Toán 9 Hạ Hòa năm 2015 - 2016
 
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 1036 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
 
Đề thi HSG Toán 9 Hải Dương năm 2016 - 2017
Đề thi HSG Toán 9 Hải Dương năm 2016 - 2017Đề thi HSG Toán 9 Hải Dương năm 2016 - 2017
Đề thi HSG Toán 9 Hải Dương năm 2016 - 2017
 

Mais de Hồng Quang

Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2
Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2
Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2Hồng Quang
 
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2Hồng Quang
 
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2Hồng Quang
 
9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiepHồng Quang
 
9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap anHồng Quang
 
20 cach cm bdt nesbit
20 cach cm bdt nesbit20 cach cm bdt nesbit
20 cach cm bdt nesbitHồng Quang
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htqHồng Quang
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htqHồng Quang
 
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep htq
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep   htqDau hieu tich chung minh tu giac noi tiep   htq
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep htqHồng Quang
 
9 pt vo ti (co ban) htq
9 pt vo ti (co ban) htq9 pt vo ti (co ban) htq
9 pt vo ti (co ban) htqHồng Quang
 
Đồ thị hàm số - toán lớp 9
Đồ thị hàm số - toán lớp 9Đồ thị hàm số - toán lớp 9
Đồ thị hàm số - toán lớp 9Hồng Quang
 
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bảnBa dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bảnHồng Quang
 
9 pt nghiem nguyen phan 2
9 pt nghiem nguyen phan 29 pt nghiem nguyen phan 2
9 pt nghiem nguyen phan 2Hồng Quang
 
11 hinh on tap htq
11 hinh on tap htq11 hinh on tap htq
11 hinh on tap htqHồng Quang
 
8 phuong trinh nghiem nguyen htq
8 phuong trinh nghiem nguyen htq8 phuong trinh nghiem nguyen htq
8 phuong trinh nghiem nguyen htqHồng Quang
 
9 [htq] de thi hsg 2
9 [htq] de thi hsg 29 [htq] de thi hsg 2
9 [htq] de thi hsg 2Hồng Quang
 
10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthiHồng Quang
 

Mais de Hồng Quang (20)

Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2
Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2
Pt co ban bttl phan 6 ct0, ct1, ct2
 
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 5 ct1, ct2
 
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2
Duong tron bttl phan 6 ct1, ct2
 
9 pp danh gia
9 pp danh gia9 pp danh gia
9 pp danh gia
 
9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep
 
9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an9 hinh nang cao hk 1 dap an
9 hinh nang cao hk 1 dap an
 
9 can thuc nc
9 can thuc nc9 can thuc nc
9 can thuc nc
 
20 cach cm bdt nesbit
20 cach cm bdt nesbit20 cach cm bdt nesbit
20 cach cm bdt nesbit
 
9 drichle
9 drichle9 drichle
9 drichle
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
 
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep htq
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep   htqDau hieu tich chung minh tu giac noi tiep   htq
Dau hieu tich chung minh tu giac noi tiep htq
 
9 pt vo ti (co ban) htq
9 pt vo ti (co ban) htq9 pt vo ti (co ban) htq
9 pt vo ti (co ban) htq
 
Đồ thị hàm số - toán lớp 9
Đồ thị hàm số - toán lớp 9Đồ thị hàm số - toán lớp 9
Đồ thị hàm số - toán lớp 9
 
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bảnBa dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
 
9 pt nghiem nguyen phan 2
9 pt nghiem nguyen phan 29 pt nghiem nguyen phan 2
9 pt nghiem nguyen phan 2
 
11 hinh on tap htq
11 hinh on tap htq11 hinh on tap htq
11 hinh on tap htq
 
8 phuong trinh nghiem nguyen htq
8 phuong trinh nghiem nguyen htq8 phuong trinh nghiem nguyen htq
8 phuong trinh nghiem nguyen htq
 
9 [htq] de thi hsg 2
9 [htq] de thi hsg 29 [htq] de thi hsg 2
9 [htq] de thi hsg 2
 
10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi
 

Último

TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 

Último (17)

TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 

[Htq] toan 9 hsg tp hn dap an

  • 1. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 1 Hongtriquang.edu.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2014 - 2015 Bài I: (5 điểm) 1) Cho a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và 1 1 1 a b c a b c      . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số a, b, c bằng 1. 2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 3 1 3 1 2 2 1n n A      là hợp số Bài 2. (5đ) 1) Giải phương trình: 2 3 2 3 6 4x x x x    2) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y x y        Bài 3. (2đ) Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 3 a b c    , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a ab b b bc c c ca a          Bài 4. (6đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. 1) Chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1BAC CBA ACB   2) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP. Bài 5. (2đ) 1) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: 2 2 2 p p  là lập phương của một số tự nhiên 2) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì nhau có tích không lớn hơn 1 9 ./.
  • 2. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 2 Hongtriquang.edu.vn Đáp án HÀ NỘI Năm học 2014 – 2015 Bài I: (5 điểm) 1) Cho a, b, c thỏa mãn: abc = 1 và 1 1 1 a b c a b c      . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số a, b, c bằng 1. 1 1 1 1 0a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca a b c                  ( 1)( 1)( 1) 0a b c      ít nhất một trong ba số bằng 1 Lời bình: Qua bài toán này ta thu được kết quả Nếu abc = 1 thì 0a b c ab bc ca      Ta có thể mở rộng bài toán: ;b ; x y z a c x y y z z x       ta có bài toán mới Chứng minh rằng nếu ( )( )( )xyz x y y z z x    thì      ( )( ) x y z xy yz zx x y y z z x x y y z y z z x z x x y               Đặc biệt: 1 ;1 b ;1 y z x a c x y y z z x          nên (1 )(1 )(1 )a b c abc    1 a b c ab bc ca abc abc          1 2a b c abc ab bc ca        Bài này đơn giản hơn rất nhiều so với bài thi vào chuyên toán KHTN 2013 – 2014 Với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức: ( )( )( ) 8a b b c c a abc    . Chứng minh rằng: 3 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c ab bc ca a b b c c a a b b c b c c a c a a b                2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 3 1 3 1 2 2 1n n A      là hợp số 8 1( 7) 8 1( 7) 5 2 0( 7) 7n mod mod A mod A        . Mặt khác ta chứng minh được A >7 nên A là hợp số
  • 3. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 3 Hongtriquang.edu.vn Bài tương tự: Tìm số tự nhiên n để 2 2 6 2 5 12n n   là số nguyên tố (Hsg 2013) Bài 2. (5đ) 1) Giải phương trình: 2 3 2 3 6 4x x x x    2) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y x y        1) Điều kiện: 3 2 x  Cách 1. Biến đổi thành bình phương (tổng hoặc hiệu) 2 2 2 3 2 3 2 5 10 5 0x x x x x x         2 2 ( 3 2 ) 5( 1) 0x x x      . 1x  Cách 2. Đánh giá Nhận thấy VP > 0 nên x > 0 Ta có: 2 3 2 3( 1) 1 1, . .(3 2 ) 1 3 x x x VP x VT x x x VT VP              Dấu “=” xảy ra khi x = 1 Sử dụng BDT cauchy: 4 2 1 3 2 2 2 x x x      Do đó 2 3 6 4 3 2 (2 )x x x x x x      2 4( 1) 0 1x x     Thử lại với x = 1 thỏa mãn phương trình Cách 3. Liên hợp   2 3 2 3 7 4x x x x x     3(1 ) (3 4)( 1) 3 2 1 x x x x x        3 ( 1) 3 4 0 3 2 1 x x x x            Với 3 2 x  thì 3 3 23 4 3. 4 2 0 13 2 1 x x x        2) Thay pt (2) vào pt (1) ta có: 3 2 2 2 2 2 2 ( 8 ) 0 ( 2 )( 4 ) 0x xy y x y x y x xy y        
  • 4. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 4 Hongtriquang.edu.vn Từ đó x = - 2y, thế trở lại pt (2) giải ra x = 2, y = -1 Bài tương tự: Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 3 3 x x y x y y        Cộng hai phương trình cho nhau Bài 3. (2đ) Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 3 a b c    , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a ab b b bc c c ca a          Bài giải 2 2 1 1 1 1 3 2 aab ab aba ab b           Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 Bài tương tự: Bài 4. (6đ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. 1) Chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1BAC CBA ACB   2) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh MI vuông góc với AP. Bài giải 1) Chứng minh 2 2 Δ Δ AEF ABC S AE AEF ABC cos BAC S AB          Chứng minh tương tự và cộng lại ta có: s 2 2 2 1AEF BFD CED ABC S S S cos ABC cos ACB cos BAC S       2) Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua (O). Khi đó HBA′C là hình bình hành nên ta có M là trung điểm HA′ Do đó MI||PA′⊥AP
  • 5. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 5 Hongtriquang.edu.vn Lời bình Đây là bài toán cơ bản, bởi ta đã quen với bài toán trực tâm với trung điểm cạnh. Mối liên hệ giữa tâm ngoại tiếp và trực tâm. Bài 5. (2đ) 1) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: 2 2 2 p p  là lập phương của một số tự nhiên Bài giải Từ giả thiết ta có: 2 ( 1) 2( 1)( 1)p p a a a     Nếu p = 2 thì a = 0 (thỏa mãn) Nếu p > 2 thì p lẻ | ( 1)p a  hoặc 2 | ( 1)p a a  Nếu | ( 1)p a  mà a < p p a  Khi đó 2 ( 1) 2( 1)( 1)p p a a a     2 2 3 2 0a a    (vô nghiệm) Nếu 2 | ( 1)p a a  k  sao cho 2 1(*)pk a a   Khi đó 2 ( 1) 2( 1)( 1)p p a a a     1 2 ( 1)p k a    2 ( 1) 1p k a    Thay vào pt (*) ta có 2 2 2 (2 1) 1 2 0a k a k k      4 2 4 12 4 3k k k     Cần tìm k sao cho  là số chính phương. Mà 2 2 2 2 (2 2) (2 4)k k     4 2 2 2 4 12 4 3 (2 3)k k k k      3 127k p    Vậy p = 2 hoặc p = 127. 2) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì nhau có tích không lớn hơn 1 9 ./. Kẻ đường kính chứng minh đường trung bình
  • 6. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 6 Hongtriquang.edu.vn Giả sử a b c d e    . Khi đó, lấy a làm chuẩn và xếp theo chiều kim đồng hồ như sau: a b c d e    . Cách xếp này sẽ thỏa mãn yêu cầu vì: +) 21 1 1 1 ( ) ( ) 3 12 12 9 ad a b c d a b c d         +) 1 9 bd ad  +) 1 9 ce ae ad   +) 2 2 21 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 3 4 3 9 bc b c a b c a b c d                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2013 - 2014 Bài I: (5 điểm) 1) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 2014; 1 1 1 1 2014a b c    Tính giá trị của: 2013 2013 2013 1 1 1 M a b c    2) Tìm số tự nhiên n để 2 2 6 2 5 12n n   là số nguyên tố Bài 2 (5 điểm) 1) Giải phương trình: 2 2 2 2 1 2 0x x x     2) Giải hệ phương trình: 2 2 4 4 2 2 2 4 5 2 9 5 4 2 x y z xy x y z z x y            Bài 3 (2 điểm) Cho các số thực thỏa mãn: 0 4;0 4;0 4a b c      và a + b + c = 6. Tìm GTLN của biểu thức: 2 2 2 P a b c ab bc ca      Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tia AI cắt (O) tại M (M khác A). a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại N (N khác M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng minh 2 BAC IP sin IN 
  • 7. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 7 Hongtriquang.edu.vn c) Gọi các điểm D, E lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh AB, AC. Gọi điểm H, K lần lượt đối xứng với các điểm D, E qua I. Biết rằng AB + AC = 3BC, chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc 1 đường tròn Bài 5 ( 2 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 2 1x y   2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các điểm 1 2 3 4 5 6, , , , ,M M M M M M (các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh lục giác 1 2 3 4 5 6M M M M M M có ít nhất 1 cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1./. ĐÁP ÁN Bài 1 1) Từ gt 1 1 1 1 a b c a b c      1 1 1 1 ( ) ( ) a b a b a b c c c a b c            , 2 ( )( ) ( )a b ac bc c a b ab       2 ( )( ) 0a b ac bc c ab      ( )( )(b c) 0a b a c     2013 2013 1 1 2014 M c   2) Xét n = 1; 2; 3 thấy n = 3 thỏa mãn. Với n > 3 ta có: 2 2 2 6 2 3 1 5 12 25 12 13n n n n        Mà 2 3 1n n  lẻ với mọi n, nên 2 3 1 25n n  chia 13 dư -1; suy ra 2 3 1 25 12n n   chia hết cho 13. Bài 2. Điều kiện 1 2 x   Biến đổi phương trình thành 2 2 ( 2 1 1)x x   2 1 1 2 1 1 x x x x           TH1. 1 2 1x x   2 1 2 1 2 1 x x x x        1 0( ); 4( / ) x x l x t m      4x 
  • 8. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 8 Hongtriquang.edu.vn TH2. Giải tương tự Kết luận. Phương trình có nghiệm x = 4 2) 2 2 4 4 2 2 2 4 5 2 9 5 4 2 x y z xy x y z z x y            Từ pt (1) 2 5 ( ) 4 5 0 4 x y z z      Từ phương trình (2): 2 2 2 2 ( 4 9 5 (4 5)(1 z) 0)x zy z z       5 1 4 z   Từ đó 5 4 z  Với 5 4 z  thì x = y. Vậy hệ có nghiệm (x; y; z ) là 5 ; ; 4 t t       Bài 3 Cách 1. Giả sử a b c  suy ra 4 2a  Ta có: 2 ( ) 36P a b c ab bc ac ab bc ac          Xét: (6 ) (6 )A ab bc ac a a bc a a        Mặt khác: 0 ( 4)( 2)a a   nên: 2 6 8a a  suy ra (6 ) 8a a  ta có GTLN của P là 28 , dấu bằng lệch là hoán vị (4,2,0) Cách 2: Do 0 ; ; 4 ( 4)( 4)( 4) 0a b c a b c       4( ) 16( ) 64 0 16.6 64 32ab bc ca abc a b c            (do 0abc  ) 8ab bc ca    2 ( ) ( ) 36 8 28P a b c ab bc ca         ta có GTLN của P là 28, dấu bằng lệch là hoán vị (4,2,0)
  • 9. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 9 Hongtriquang.edu.vn Bài 4 a) Chứng minh hai tam giác cân do hai góc ở đáy bằng nhau. Thật vậy ta có: MIB IAB IBA IBC IAC    (phân giác) IBC IAC IBC MBC    (góc cùng chắn cung MC ) MBI Suy ra tam giác MIB cân tại M suy ra MI=MB và do đó MI=MB=MC. b) Gợi ý. Ta có ˆ 2 MB IM B BA NM MN MN C sin sin   Ta chứng minh IM IP MN IN  Bằng cách chứng minh tam giác MIP đồng dạng MNI Ta chứng minh ( )IMP NMI c g c    IM MP NM MI   2 .MP MN MB  (luôn đúng) c) P N O K H A B C M I D E P N O K H A B C M I D E P N O K H A B C M I D E
  • 10. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 10 Hongtriquang.edu.vn Ta có I, B, C cùng thuộc một đường tròn (M,IM) (1). Ta có AB + AC = 3BC, mà theo định lý Ptoleme áp dụng cho tứ giác nội tiếp ABCM có:  . . . . 3 . 3 .AM BC AB MC AC MB AB AC MI BC DI AM MI       Gọi G là trung điểm IA thì AG = GI = IM và G là tâm đường tròn đường kính IA chứa A, D, E, I. Vì IG = IM nên 2 đường tròn (G, IG) và (M, IM) đối xứng nhau qua I. Vì D, E thuộc (G, IG) nên đối xứng H, K của D, E qua I cũng thuộc (M, IM) hay H, K cũng thuộc (M, IM) (2). Từ (1) và (2) ta có B, C, H, K cùng thuộc đường tròn (M, IM) (đpcm). Bài 5 1) Xét mod 8 suy ra x chẵn, đặt x = 2z; có  25 1z  chia hết cho 24, tức chia hết cho 3. Pt có nghiệm x = 1; y = 2 2) -Vì các điểm M không trùng với các đỉnh của lục giác ban đầu nên P không nằm trên đường chéo nào của lục giác. Suy ra P nằm hoàn toàn ở miền trong của tam giác có đỉnh O và cạnh là cạnh lục giác ban đầu. Không mất tính tổng quát, ta cho P nằm ở miền trong tam giác OAB Khi đó các đường AP, BP,CP, DP,EP,FP không cắt được đoạn CD. Tổng quát là tồn tại ít nhất một cạnh của lục giac ABCDEF không bị cắt TH1: Nếu có một cạnh không bị cắt, ta xét 2 điểm M nằm trên 2 cạnh liền kề cạnh này là xong. TH2: nếu có 2 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta lại xét 2 điểm M năm trên 2 cạnh liên tiếp bị cắt của 2 cạnh không bị cắt này.
  • 11. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 11 Hongtriquang.edu.vn Gọi 2 điểm M1, M2 thuộc 2 cạnh FA, CD thì góc M1BM2 > 600 , tức cạnh M1M2 lớn hơn 1 trong 2 cạnh BM1 hoặc BM2, lớn hơn 1. TH 3:Nếu có 3 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta xét 2 điểm M nằm ở 2 cạnh bị cắt mà không liền nhau TH4. có 4 cạnh liên tiếp không bị cắt. Suy ra 2 cạnh bị cắt liên tiếp nhau. Chúng có chung đỉnh , đỉnh C chẳng hạn. Khi đó, 2 cạnh bị cắt là CB và CD. Mặt khác CP phải cắt một cạnh khác ngoài CB và CD . Số cạnh bị cắt không ít hơn 3. Sẽ không tồn tại 4 cạnh liên tiếp không bị cắt. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2012-2013 Câu 1. (5 điểm) a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức: 4 3 2 4 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2 2 3x x 
  • 12. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 12 Hongtriquang.edu.vn b) Cho biểu thức 2013 2012 2011 2013 2012 2011 (a 8 11 ) ( 8 11 )P a a b b b      . Tính giá trị của biểu thức P với 4 5a   ; 4 5b   Câu 2. (5 điểm) a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 6 5 5 6 0 20 28 9 0 x y xy x y x y x             b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2 6 10 2 28 18 0x y xy x y      Câu 3. (2 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 2 3 3 a b c    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27 8 3 c(c 9 ) a(4a ) b(9b 4 ) 2 a b c a b c       Câu 4. (7 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A). a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn. b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC Câu 5. (1 điểm). Cho 2013 điểm 1 2 2013; ;...A A A và đường tròn (O;1) tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó ta luôn có thể tìm được điểm M sao cho 1 2 2013...M 2013MA MA A   Bài giải 1a) Tìm các số thực a, b sao cho đa thức: 4 3 2 4 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2 2 3x x 
  • 13. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 13 Hongtriquang.edu.vn Đặt  4 3 2 2 ( ) 4 11 2 5 6 2 3 ( ) ( 1)( 3) ( )f x x x ax bx x x q x x x q x           Từ đó ( 1) 0 (3) 0 f f     2 5 9 18 15 91 a b a b       1b) Nhận xét 8 11 a b ab     nên a, b là nghiệm của phương trình 2 8 11 0x x   Ta có 2013 2012 2011 2013 2012 2011 (a 8 11 ) ( 8 11 )P a a b b b      2 2011 2 2011 (a 8 11) ( 8 11)a a b b b      0 2) a) Tính Delta hoặc phân tích thành nhân tử từ pt (1) (2x − y + 3)(3x + y − 2) = 0 Rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta giải được hệ b) Nhân 2 vào 2 vế (x + 4y)2 + (4y − 7)2 + (x − 1)2 + 10x2 − 14 = 0 Từ đó 2 10x 14 0  1x  Xét ba trường hợp, x = -1; x = 0; x = 1 thay vào ta tìm được y. Câu 3. Đặt 1 2 3 ( ; ; ) ( ; ; )a b c x y z  khi đó 3x y z   BĐT cần chứng minh tương đương với 3 2 2 3 2 z x z    Ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) 3 2 2 2 z zx x z z x z x z             Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 3c = 1. Câu 4. A F E I M H
  • 14. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 14 Hongtriquang.edu.vn a) Sử dụng dấu hiệu tích trong chứng minh tứ giác nội tiếp ta có .IF IB.IC IM.IAIE   nên tứ giác AMFE nội tiếp Mặt khác, tứ giác AFHE nội tiếp Vậy A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn. b) Vì tứ giác AMHE nội tiếp nên HM vuông góc với AM tại M Sử dụng bổ đề nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng. Khi đó DM vuông góc với IA Vậy HM, DM cũng vuông góc với IA nên H, M, D thẳng hàng, tức H, M, N thẳng hàng. c) Sử dụng định lí Ptoleme cho tứ giác AMBC Câu 5. Kẻ đường kính DE bất kì 1 2 2013 1 2 2013( .. ) ( .. ) 4026DA DA DA EA EA EA        Đặt 1 2 2013..P DA DA DA    , 1 2 2013..S EA EA EA    Nếu 2013P  thì D là điểm M cần tìm Nếu 2013P  thì 2013P  thì E là điểm cần tìm. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2011-2012 Bài I: (5 điểm)
  • 15. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 15 Hongtriquang.edu.vn 1) Cho biểu thức 2012 2012 2012 2008 2008 2008 ( ) ( )A a b c a b c      với a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh A chia hết cho 30 2) Cho 3 2012 ( ) (2x 21x 29)f x    Tính f(x) tại 3 3 49 49 x 7 7 8 8     Bài II: (5 điểm) 1.Giải phương trình: 2 2 12 5 3 5x x x     2.Giải hpt 2 2 2 2 2 0 6 x xy x y y x y x y            Bài III (2 điểm) Giải pt nghiệm nguyên dương : 2 2 2 3 5 3 4 0x y xy x y      Bài IV (4 điểm) Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC ( A không trùng với B, C) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AO MN 2) Cho AH= 2 cm, BC= 7 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC Bài V (4 điểm) 1) Gọi 1 2 3, , ,h h h r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3rh h h h h h      2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Gợi ý Bài 1
  • 16. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 16 Hongtriquang.edu.vn a) Biến đổi A về dạng 2008 2 2 2008 2 2 2008 2 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)A a a a b b b c c c         Chứng minh được 2 2 x( 1)( 1)x x  chia hết cho 30 với x nguyên. Từ đó A chia hết cho 30. b) 3 3 7 7 7 7 2 2 2 2 x     3 37 14 3 2 21 28 0 2 x x x x        3 2012 2012 ( ) (2 21 29) ( 1) 1f x x x       Bài 2 a) Giải phương trình sau 2 2 12 5 3 5x x x     Giải: Cách 1. Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x        Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình     2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x                                  Do 2 2 2 2 1 1 2 2 0 12 4 5 3 12 4 5 3 x x x x x x               5 3 x  Từ đó 2 2 2 2 5 3 0, 312 4 5 3 x x x x x            nên pt (*) vô nghiệm. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2. Cách 2. Từ pt đã cho chuyển vế ta có 2 2 7 12 5 3 5 x x x      Từ pt trên suy ra x dương. Xét 2x  suy ra 4 3 7VT VP    Xét 5 2 3 x  suy ra 7VT VP  Thử với x = 2 đúng.
  • 17. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 17 Hongtriquang.edu.vn Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2. b) Từ pt (1) 2 2 2 0x xy x y y     , ta coi pt ẩn x, tính Δ = 9y2 − 6y + 1 → x = y; x = −2y − 1 Thay vào pt (2) và ta giải được hệ. Bài 3. Biến đổi về pt bậc 2 ẩn x : 2 11 Δ 14 33 0 3 y y y y         Vì phương trình có nghiệm x là số nguyên nên Δ là số chính phương. Đặt 2 2 Δ 14 33 ( )y y k k Z      7 7 16y k y k     Ta đc 4 nghiệm           , 14;11 16, ,:12 4;3 2;2,x y  Bài 4 Câu a) Quá quen thuộc
  • 18. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 18 Hongtriquang.edu.vn Ta có AMHN là hình chữ nhật nên 0 O B 90OAN ANM AC IAN AC ABC      Từ đó AO vuông góc với MN Hoặc Chứng minh tam giác AIK đồng dạng với AOH; (K là giao điểm của MN và AO) Câu b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp △MNC Vì tứ giác BMNC nội tiếp để nên B cũng thuộc đường tròn đó Gọi I là giao điểm của AH và MN IJ MN  mà theo câu a OA⊥MN / /IJ OA CM tương tự OJ // AI Vậy AIJO là hình bình hành 2 2 2 AH OJ AI   ; 7 2 2 AB OB AB   ; 2 2 2 27 2 3 ( ) ( ) 2 2 2 BJ OB OJ     Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là 3 2 Bài 5. 1 1 1 1 1 2 2 2 3 S S S S S S S a b b c c a a b c         1 1 1 9 2 2 S S S S a b a b b a b           1 2 92 a b S S S a b     1 1 1 1 32 2 2 3 a b c S S S S S S SS a b b c c a a b c           
  • 19. THI HSG TP HN 9 Thầy Hồng Trí Quang 19 Hongtriquang.edu.vn 2. Gọi X là tập hợp các điểm đã cho trước. Trong các tam giác có 3 đỉnh thuộc tập X, ta chọn △ABC là tam giác có diện tích lớn nhất. Các đường thẳng qua A,B,C thứ tự song song với BC,CA,AB đôi một cắt nhau tại D,E,F như hình vẽ. Ta chứng minh mọi điểm của tập X đều nằm trong △DFE, kể cả trên cạnh. Giả sử, có 1 điểm M thuộc tập X sao cho M nằm ngoài △DFE. Không mất tính tổng quát, giả sử vị trí của M nằm như hình vẽ.