1. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
1
1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
05/09/2016
ΘΕΜΑ Α
Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της;
5 μονάδες
Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f
παρουσιάζει στο 0 ∈x A (ολικό) μέγιστο το ( )0f x ;
5 μονάδες
Α3. Πότε δύο συναρτήσεις ,f g λέγονται ίσες;
5 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν
η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη
α) Αν ( )0
lim 0
→
<
x x
f x , τότε ( ) 0<f x κοντά στο 0x
β) Αν για τις συναρτήσεις ,f g ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f ,
τότε ισχύει πάντα =f g g f
γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση ( ) 0=f x
έχει πάντοτε ακριβώς μια λύση
δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης − f είναι συμμετρική ως προς
τον άξονα ′x x της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
ε) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι γνησίως αύξουσα,
τότε ισχύει ( ) ( )1> +f x f x για κάθε ∈ℝx
10 μονάδες
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2= + −f x x
B1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 1−
f
6 μονάδες
2. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
2
Β2. Να υπολογίσετε το όριο
( )
2
6
7 6
lim
5→
− +
=
−x
x x
f x
α
7 μονάδες
Β3. Να υπολογίσετε το όριο
( )
2
14
16
lim
11 8−→
−
=
− −x
x
f x
β
7 μονάδες
B4. Αν για τη συνάρτηση : →ℝ ℝg ισχύει ( ) ( )=g gα β , όπου ,α β οι τιμές
των ορίων των ερωτημάτων Β2. και Β3. αντίστοιχα, τότε να εξετάσετε αν η g
είναι 1-1.
5 μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g με ( ) ( )ln 1= + x
f x e και ( )
1
1
−
=
+
x
x
e
g x
e
Γ1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
5 μονάδες
Γ2. Να δείξετε ότι η g είναι περιττή.
5 μονάδες
Γ3. Δίνεται επιπλέον συνάρτηση ( ): 0,+∞ → ℝh τέτοια, ώστε να ισχύει =h f g
Να βρείτε τον τύπο της.
8 μονάδες
Γ4. Αν ( ) 1 2 −
= − x
h x e , τότε να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4
+ < +x x x x
h e h e h e h e ,
για κάθε 0>x
7 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g , με ( ) =ℝ ℝg , για τις οποίες ισχύει:
● ( )( ) ( )= +f f x x f x , για κάθε ∈ℝx
3. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
3
● ( )( )1 0− − + =x
f g x e x , για κάθε ∈ℝx
Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
5 μονάδες
Δ2. Να βρείτε τη συνάρτηση g
7 μονάδες
Αν ( ) 1= + −x
g x e x , τότε:
Δ3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )( )ln=h x g x
7 μονάδες
Δ4. Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση
( )2
1 1 2
2− +
+ =x
g e x
6 μονάδες
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός
