SlideShare uma empresa Scribd logo

E0b89ae0b897e0b897e0b8b5e0b988 3-e0b980e0b8a7e0b881e0b980e0b895e0b8ade0b8a3e0b98ce0b983e0b899e0b8aae0b8b2e0b8a1e0b8a1e0b8b4e0b895

•
•
A
Akimoto Akira

Vetor

Ciências
1 de 28
Baixar para ler offline
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 1 เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) 1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ ตัวอย่าง จงเขียนจุด A (2 , 2 , –1), B (1 , –3 , 2 ), C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 2 แบบฝึกหัด 3.1 1. จากรูป จงหาพิกัดของจุด B, C, D, E, F และ G เมื่อกาหนดจุด A(3,5,4) 2. จงเขียนจุด A (3 , 1 , –1), B (2 , –1 , 1), C (–2 , 1 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 3 2. สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และ การคูณด้วยสเกลลาร์ ข้อแตกต่างของเวกเตอร์กับสเกลาร์ คือ ............................................................... ………………………………………………………………………………………………………… สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 4 ตัวอย่าง นิยามเบื้องต้นของเวกเตอร์ นิยาม 1 u และ v จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 2 u และ v จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 3 นิเสธของ u คือ ………………………………………………………………………
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 5 โปรดสังเกต 1. …………………………………………………………………………………………………………… 2. …………………………………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. 4. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ .......................................................................................................................... แบบฝึกหัด 3.2 1. 2.
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 6 3. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… การบวกเวกเตอร์ บทนิยาม ถ้าจุดปลายของ u เป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ v แล้ว vu  คือ เวกเตอร์ซึ่ง มีจุดตั้งต้นเป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ u และมีจุดสิ้นสุดเป็นจุดจุดเดียวกับจุดสิ้นสุดของ v ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 7 การลบเวกเตอร์ บทนิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของ u และ v เขียนแทนด้วย vu  และ )( vu  จะเห็นว่าการลบ ก็คือ การบวกด้วยนิเสธนั่นเอง ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 8 แบบฝึกหัด 3.3 1. 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 9 3. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 10 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลลาร์ บทนิยาม ให้ a เป็นจานวนจริงและ u เป็นเวกเตอร์ ผลคูณระหว่าง a และ u เป็นเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วย ua  โดยที่ 1) ถ้า a > 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศทางเดียวกับ u 2) ถ้า a < 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศตรงกันข้ามกับ u 3) ถ้า a = 0 แล้ว 0ua
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 11 แบบฝึกหัด 3.4 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก กรณีสองมิติ
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 12 ตัวอย่าง จงวาดรูปคร่าวๆ ของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1. 2. กาหนด A (1 , 2) และ B = (3 , 4) จงหา AB , BA ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.5 1. จงวาดรูปคร่าวๆของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1.       2 1 2.        2 3 3.         2 2
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 13 2. กาหนด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) จงหา PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. กาหนด C(–2 , –3) และ D(5 , 6) จงหา CD และ DC ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. กาหนด T(1 , –3) และ G(-3 , 4) จงหา TG และ GT ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. กาหนด A(1 , 2) , B(2 , 3) และ C(5 , 6) จงหา BCAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. กาหนด A(2 , 2) , B(1 , 3) และ C(7 , 6) จงหา BCAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 7. (มช 36) จงหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ (0 , 0) มีความยาว 4 หน่วย และทามุม  30 กับแกน x ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 14 กรณีสามมิติ ตัวอย่าง ให้ P มีพิกัดเป็น (3 , 4 , –4 ) และ Q มีพิกัดเป็น (5 , 0 ,7 ) จงหาค่า PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.6 1. ให้ A(2, 1,–3 ) และ B(1, 1, 1), C(2, 3, -2), D(3, 3, 3) จงหาค่า 1. AB 2. CD ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 15 3. CDAB  4. CDAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. จงหาเวกเตอร์ต่อไปนี้ 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 16 4. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 17 2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (1 , 2 , 0) และ จุดปลายที่ B (–2 , 3 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.7 1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป i และ j 1.       2 1 2.        2 3 3.         2 2 4.       0 5 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (3 , 2 , 1) และ จุดปลายที่ B (–1 , -1 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (0 , -2 , -1) และ จุดปลายที่ B (1 , 4 , 3) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. เวกเตอร์ที่ขนานกัน
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 18 ตัวอย่าง เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน 1.             1 2 , 4 8 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2.             1 2 , 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.                     2 4 2 , 1 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.8 เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน 1.             0 8 , 0 7 2.             3 1 , 3 9 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.                        2 4 2 , 1 2 1 4.                     5 4 3 , 0 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 19 6. ขนาดของเวกเตอร์ ตัวอย่าง ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 20 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!! ให้นักเรียนไปศึกษา แล้วนามาเสนอในชั้นเรียนนะครับ
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 21 7. ผลคูณเชิงสเกลลาร์ ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 22 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.9 1. ถ้า jiu 43  , jiu 52  และ jiw 3 จงหา wuwvvu  ,, ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ให้             2 2 1 a ,             2 4 0 b และ             1 2 3 c จงหา cacbba  ,, ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 23 3. ให้        2 1 u ,        1 3 v และ        1 1 w จงหาค่าของ 1. vu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. uv  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. uu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4.  wvu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. wvu  )( ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. wvu  )( ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 24 เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!!
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 25 ตัวอย่าง 1. 2. 8. ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ตัวอย่าง ตัวอย่าง
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 26 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.10 จงหา vu  เมื่อกาหนด 1. jiu 43  , jiv 2 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. jiu  , jiv 2 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. jiu 42  , jiv 23  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 27
เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 28 ตารางการส่งงานเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติ วัน/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผู้ปกครอง ลายเซ็นครู แบบฝึกหัดที่ 3.1 แบบฝึกหัดที่ 3.2 แบบฝึกหัดที่ 3.3 แบบฝึกหัดที่ 3.4 แบบฝึกหัดที่ 3.5 แบบฝึกหัดที่ 3.6 แบบฝึกหัดที่ 3.7 แบบฝึกหัดที่ 3.8 แบบฝึกหัดที่ 3.9 แบบฝึกหัดที่ 3.10 ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา 1.ทาให้เรามีนิสัยขยันขันแข็งเอาการเอางานอย่างจริงจัง 2.ฝึกให้เราเป็นคนกระตือรือร้นมี่ชีวิตชีวา 3.ทาให้เรามีความซื่อตรงต่อตัวเองรักษาเกียรติยศของตนเอง 4.ทาให้เราทางานได้สะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี 5.หน้าที่การงานประสบความสาเร็จชีวิตก้าวหน้า 6.สามารถกาหนดกิจกรรมต่างๆ ที่เราจะกระทาได้ในแต่ละวันทาให้ชีวิตมีระเบียบและมีวินัยกับตนเอง 7.เป็นที่เชื่อถือและไว้ใจของคนอื่น

Recomendados

เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
Sircom Smarnbua
 
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนามข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
 
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐานการวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
Prachyanun Nilsook
 
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ยูเนียน
ยูเนียนยูเนียน
ยูเนียน
Aon Narinchoti
 
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิดจำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
Owen Inkeaw
 
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
 
แบบทดสอบ เรื่อง การวัด
แบบทดสอบ เรื่อง การวัดแบบทดสอบ เรื่อง การวัด
แบบทดสอบ เรื่อง การวัด
Piriya Sisod
 

Recomendados

เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
เอกสารประกอบการเรียนรู้ ว 30222 เคมี2 2558
Sircom Smarnbua
 
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนามข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
 
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐานการวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
การวัดและประเมินผลตามการจัดการเรียนรู้แบบโครงงานเป็นฐาน
Prachyanun Nilsook
 
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ยูเนียน
ยูเนียนยูเนียน
ยูเนียน
Aon Narinchoti
 
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิดจำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
จำนวนเชิงซ้อนไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด
Owen Inkeaw
 
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
 
แบบทดสอบ เรื่อง การวัด
แบบทดสอบ เรื่อง การวัดแบบทดสอบ เรื่อง การวัด
แบบทดสอบ เรื่อง การวัด
Piriya Sisod
 
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
เล็ก น่ารัก
 
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
KruNistha Akkho
 
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
mas_686
 
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
teerachon
 
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่390 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลายแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
yaowaluk
 
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
teerachon
 
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
kruannchem
 
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
teerachon
 
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลาคณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
พัน พัน
 
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
sawed kodnara
 
06แบบฝึกเครื่องกล
06แบบฝึกเครื่องกล06แบบฝึกเครื่องกล
06แบบฝึกเครื่องกล
Phanuwat Somvongs
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
Aon Narinchoti
 
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศนวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
somdetpittayakom school
 
กระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อกระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อ
wisheskerdsilp
 
ใบงาน 11.1
ใบงาน 11.1ใบงาน 11.1
ใบงาน 11.1
oraneehussem
 
บทนำ
บทนำบทนำ
บทนำ
Aey Usanee
 
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนามเศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
 
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
krusarawut
 
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นแบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
ทับทิม เจริญตา
 
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลยใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
thnaporn999
 
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศนเฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
peter dontoom
 

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
เล็ก น่ารัก
 
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
mas_686
 
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
teerachon
 
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลายแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
yaowaluk
 
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
teerachon
 
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
kruannchem
 
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
teerachon
 
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลาคณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
พัน พัน
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
Aon Narinchoti
 
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศนวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
somdetpittayakom school
 
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนามเศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
 
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
krusarawut
 
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นแบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
ทับทิม เจริญตา
 

Mais procurados (20)

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามขั้นตอนของโพลยา เรื่อง พื้นที่ผิวและปริ...
 
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
1 แบบฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์วิชาฟิสกส์ เรื่อง ความหนาแน่น
 
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
คู่มือการจัดกิจกรรมค่ายวิทยาศาสตร์
 
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ดนตรี นาฏศิลป์ ม.3
 
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่390 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
90 โครงงานคณิตศาสตร์ ตอนที่3_การถอดรากที่3
 
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลายแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องการเตรียมสารละลาย
 
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
แบบทดสอบ นาฏศิลป์ ม.6
 
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
03 คลื่นและสมบัติของคลื่นสเปกตรัมของธาตุ
 
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
แบบทดสอบ ทัศนศิลป์ ม.3
 
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลาคณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
คณิตศาสตร์ ม.3 พาราโบลา
 
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
 
06แบบฝึกเครื่องกล
06แบบฝึกเครื่องกล06แบบฝึกเครื่องกล
06แบบฝึกเครื่องกล
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
 
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศนวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
นวัตกรรมการปฏิบัติที่เป็นเลิศ
 
กระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อกระดาษคำตอบ20ข้อ
กระดาษคำตอบ20ข้อ
 
ใบงาน 11.1
ใบงาน 11.1ใบงาน 11.1
ใบงาน 11.1
 
บทนำ
บทนำบทนำ
บทนำ
 
เศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนามเศษส่วนพหุนาม
เศษส่วนพหุนาม
 
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
เฉลย การแปลงคำอุปสรรค ม.3 , ม.4
 
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นแบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
แบบทดสอบ เรื่องทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
 

Destaque

ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลยใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
thnaporn999
 
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศนเฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
peter dontoom
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
Ritthinarongron School
 
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
peter dontoom
 
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
Thidarat Termphon
 
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
Thidarat Termphon
 
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
Thidarat Termphon
 

Destaque (7)

ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลยใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
ใบงานที่ 1 รวมกลุ่มเศรษฐกิจฯ พร้อมเฉลย
 
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศนเฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
เฉลยแบบทดสอบภาษาอังกฤษ กศน
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
 
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
ข้อสอบสัคมศึกษา สค31001
 
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
ภาษาอังกฤษในชีวิตประจำวัน ม.ต้น พต.21001
 
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
ภาษาอังกฤษเพื่อชีวิตและสังคม ม.ปลาย พต31001
 
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
สังคมศึกษา ม.ปลาย สค31001
 

Semelhante a E0b89ae0b897e0b897e0b8b5e0b988 3-e0b980e0b8a7e0b881e0b980e0b895e0b8ade0b8a3e0b98ce0b983e0b899e0b8aae0b8b2e0b8a1e0b8a1e0b8b4e0b895

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
 
สื่อเรื่องกราฟ
สื่อเรื่องกราฟสื่อเรื่องกราฟ
สื่อเรื่องกราฟ
Kanchanid Kanmungmee
 
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลังหน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
Fern Baa
 
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
พัน พัน
 

Semelhante a E0b89ae0b897e0b897e0b8b5e0b988 3-e0b980e0b8a7e0b881e0b980e0b895e0b8ade0b8a3e0b98ce0b983e0b899e0b8aae0b8b2e0b8a1e0b8a1e0b8b4e0b895 (20)

เวกเตอร์(สอน)
เวกเตอร์(สอน)เวกเตอร์(สอน)
เวกเตอร์(สอน)
 
อันดับ
อันดับอันดับ
อันดับ
 
อันดับ
อันดับอันดับ
อันดับ
 
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
 
trigo1.pdf
trigo1.pdftrigo1.pdf
trigo1.pdf
 
เอกสารประกอบการเรียนการสอน
เอกสารประกอบการเรียนการสอนเอกสารประกอบการเรียนการสอน
เอกสารประกอบการเรียนการสอน
 
สื่อเรื่องกราฟ
สื่อเรื่องกราฟสื่อเรื่องกราฟ
สื่อเรื่องกราฟ
 
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลังหน่วยที่3 เลขยกกำลัง
หน่วยที่3 เลขยกกำลัง
 
9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 2 2559
9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 2 25599 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 2 2559
9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 2 2559
 
เอกสารทบทวน เรื่องเซต
เอกสารทบทวน เรื่องเซตเอกสารทบทวน เรื่องเซต
เอกสารทบทวน เรื่องเซต
 
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
 
Test of relation
Test of relationTest of relation
Test of relation
 
ปริภูมิเวกเตอร์ในR ตอนที่ 1
ปริภูมิเวกเตอร์ในR ตอนที่ 1ปริภูมิเวกเตอร์ในR ตอนที่ 1
ปริภูมิเวกเตอร์ในR ตอนที่ 1
 
15จำนวนสมาชิกเซต
15จำนวนสมาชิกเซต15จำนวนสมาชิกเซต
15จำนวนสมาชิกเซต
 
3.parabola
3.parabola3.parabola
3.parabola
 
Vector
VectorVector
Vector
 
กสพท. คณิตศาสตร์ 2560
กสพท. คณิตศาสตร์ 2560กสพท. คณิตศาสตร์ 2560
กสพท. คณิตศาสตร์ 2560
 
Unit1
Unit1Unit1
Unit1
 
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
แผนภาพ
แผนภาพแผนภาพ
แผนภาพ
 

E0b89ae0b897e0b897e0b8b5e0b988 3-e0b980e0b8a7e0b881e0b980e0b895e0b8ade0b8a3e0b98ce0b983e0b899e0b8aae0b8b2e0b8a1e0b8a1e0b8b4e0b895

  • 1. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 1 เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) 1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ ตัวอย่าง จงเขียนจุด A (2 , 2 , –1), B (1 , –3 , 2 ), C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ
  • 2. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 2 แบบฝึกหัด 3.1 1. จากรูป จงหาพิกัดของจุด B, C, D, E, F และ G เมื่อกาหนดจุด A(3,5,4) 2. จงเขียนจุด A (3 , 1 , –1), B (2 , –1 , 1), C (–2 , 1 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ
  • 3. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 3 2. สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และ การคูณด้วยสเกลลาร์ ข้อแตกต่างของเวกเตอร์กับสเกลาร์ คือ ............................................................... ………………………………………………………………………………………………………… สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์
  • 4. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 4 ตัวอย่าง นิยามเบื้องต้นของเวกเตอร์ นิยาม 1 u และ v จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 2 u และ v จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 3 นิเสธของ u คือ ………………………………………………………………………
  • 5. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 5 โปรดสังเกต 1. …………………………………………………………………………………………………………… 2. …………………………………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. 4. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ .......................................................................................................................... แบบฝึกหัด 3.2 1. 2.
  • 6. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 6 3. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… การบวกเวกเตอร์ บทนิยาม ถ้าจุดปลายของ u เป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ v แล้ว vu  คือ เวกเตอร์ซึ่ง มีจุดตั้งต้นเป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ u และมีจุดสิ้นสุดเป็นจุดจุดเดียวกับจุดสิ้นสุดของ v ตัวอย่าง
  • 7. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 7 การลบเวกเตอร์ บทนิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของ u และ v เขียนแทนด้วย vu  และ )( vu  จะเห็นว่าการลบ ก็คือ การบวกด้วยนิเสธนั่นเอง ตัวอย่าง
  • 8. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 8 แบบฝึกหัด 3.3 1. 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 9. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 9 3. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 10. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 10 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลลาร์ บทนิยาม ให้ a เป็นจานวนจริงและ u เป็นเวกเตอร์ ผลคูณระหว่าง a และ u เป็นเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วย ua  โดยที่ 1) ถ้า a > 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศทางเดียวกับ u 2) ถ้า a < 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศตรงกันข้ามกับ u 3) ถ้า a = 0 แล้ว 0ua
  • 11. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 11 แบบฝึกหัด 3.4 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก กรณีสองมิติ
  • 12. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 12 ตัวอย่าง จงวาดรูปคร่าวๆ ของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1. 2. กาหนด A (1 , 2) และ B = (3 , 4) จงหา AB , BA ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.5 1. จงวาดรูปคร่าวๆของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1.       2 1 2.        2 3 3.         2 2
  • 13. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 13 2. กาหนด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) จงหา PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. กาหนด C(–2 , –3) และ D(5 , 6) จงหา CD และ DC ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. กาหนด T(1 , –3) และ G(-3 , 4) จงหา TG และ GT ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. กาหนด A(1 , 2) , B(2 , 3) และ C(5 , 6) จงหา BCAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. กาหนด A(2 , 2) , B(1 , 3) และ C(7 , 6) จงหา BCAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 7. (มช 36) จงหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ (0 , 0) มีความยาว 4 หน่วย และทามุม  30 กับแกน x ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 14. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 14 กรณีสามมิติ ตัวอย่าง ให้ P มีพิกัดเป็น (3 , 4 , –4 ) และ Q มีพิกัดเป็น (5 , 0 ,7 ) จงหาค่า PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.6 1. ให้ A(2, 1,–3 ) และ B(1, 1, 1), C(2, 3, -2), D(3, 3, 3) จงหาค่า 1. AB 2. CD ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 15. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 15 3. CDAB  4. CDAB  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. จงหาเวกเตอร์ต่อไปนี้ 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 16. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 16 4. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 17. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 17 2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (1 , 2 , 0) และ จุดปลายที่ B (–2 , 3 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.7 1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป i และ j 1.       2 1 2.        2 3 3.         2 2 4.       0 5 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (3 , 2 , 1) และ จุดปลายที่ B (–1 , -1 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (0 , -2 , -1) และ จุดปลายที่ B (1 , 4 , 3) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. เวกเตอร์ที่ขนานกัน
  • 18. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 18 ตัวอย่าง เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน 1.             1 2 , 4 8 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2.             1 2 , 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.                     2 4 2 , 1 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.8 เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน 1.             0 8 , 0 7 2.             3 1 , 3 9 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.                        2 4 2 , 1 2 1 4.                     5 4 3 , 0 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 19. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 19 6. ขนาดของเวกเตอร์ ตัวอย่าง ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 20. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 20 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!! ให้นักเรียนไปศึกษา แล้วนามาเสนอในชั้นเรียนนะครับ
  • 21. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 21 7. ผลคูณเชิงสเกลลาร์ ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.
  • 22. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 22 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.9 1. ถ้า jiu 43  , jiu 52  และ jiw 3 จงหา wuwvvu  ,, ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ให้             2 2 1 a ,             2 4 0 b และ             1 2 3 c จงหา cacbba  ,, ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 23. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 23 3. ให้        2 1 u ,        1 3 v และ        1 1 w จงหาค่าของ 1. vu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. uv  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. uu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4.  wvu  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. wvu  )( ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. wvu  )( ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 24. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 24 เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!!
  • 25. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 25 ตัวอย่าง 1. 2. 8. ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ตัวอย่าง ตัวอย่าง
  • 26. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 26 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึกหัด 3.10 จงหา vu  เมื่อกาหนด 1. jiu 43  , jiv 2 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. jiu  , jiv 2 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. jiu 42  , jiv 23  ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......
  • 27. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 27
  • 28. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 28 ตารางการส่งงานเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติ วัน/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผู้ปกครอง ลายเซ็นครู แบบฝึกหัดที่ 3.1 แบบฝึกหัดที่ 3.2 แบบฝึกหัดที่ 3.3 แบบฝึกหัดที่ 3.4 แบบฝึกหัดที่ 3.5 แบบฝึกหัดที่ 3.6 แบบฝึกหัดที่ 3.7 แบบฝึกหัดที่ 3.8 แบบฝึกหัดที่ 3.9 แบบฝึกหัดที่ 3.10 ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา 1.ทาให้เรามีนิสัยขยันขันแข็งเอาการเอางานอย่างจริงจัง 2.ฝึกให้เราเป็นคนกระตือรือร้นมี่ชีวิตชีวา 3.ทาให้เรามีความซื่อตรงต่อตัวเองรักษาเกียรติยศของตนเอง 4.ทาให้เราทางานได้สะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี 5.หน้าที่การงานประสบความสาเร็จชีวิตก้าวหน้า 6.สามารถกาหนดกิจกรรมต่างๆ ที่เราจะกระทาได้ในแต่ละวันทาให้ชีวิตมีระเบียบและมีวินัยกับตนเอง 7.เป็นที่เชื่อถือและไว้ใจของคนอื่น