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AULA POLITÈCNICA 15




Resistencia de materiales
Problemas resueltos
AULA POLITÈCNICA / ETSEIB




Resistencia de materiales
Problemas resueltos

Miquel Ferrer Ballester
José Luis Macías Serra
Frederic Marimón Carvajal
M. Magdalena Pastor Artigues
Francesc Roure Fernández
Lluís Vilaseca Vilanova




                               EDICIONS UPC
La presente obra fue galardonada en el quinto concurso
"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.




Primera edición: septiembre de 1999
Reimpresión: febrero de 2001
Segunda edición: septeimbre de 2002


Diseño de la cubierta: Manuel Andreu


©       los autores, 1999

©       Edicions UPC, 1999
        Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
        Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
        Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885
        Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es
        E-mail: edicions-upc@upc.es


Producción:            CPDA
                       Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona


Depósito legal: B-30564-2002
ISBN: 84-8301-621-4


Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-
ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-
cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo públicos.
Prólogo                                                                                             7




Prólogo

El presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de la
Resistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sido
elaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como texto
complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y
nomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón y
X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos.

Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido los
conocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presente
libro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medios
continuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se han
incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos.

Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: los
temas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente el
alcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarlo
precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos
se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos
lectores que deseen profundizar en dichos temas.

Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas,
porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se ha
considerado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva de
problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas.

A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión,
estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que sean
sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector.

Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que,
como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas y
los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu.



                                                               Los autores

                                                         Barcelona, junio de 1999
Índice                                                                                                                                            9




Índice

1     Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11

2     Esfuerzo normal...................................................................................................................25

3     Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35

4     Características de secciones.................................................................................................45

5     Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53

6     Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75

7     Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89

8     Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131

9     Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139

10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161

Bibliografia................................................................................................................................185
Bibliografía                                                                                             185




Bibliografía


COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968.

LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974.

LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944.

NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977.

ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998.

ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991.

ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA-
ETSEIB, 1998

TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967.

UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.
1 Diagramas de esfuerzos   11




1 Diagramas de esfuerzos
12                                                                                         Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 1.1

Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.


                                           600 2 N
                                   45o

                                                 E

                                                                                                                2m
                                                                       C                           800 Nm
              A                                                                              D

                                            B

                             3m                           3m                     2m




                                                                  2
                                                 FH      600 2             600 N
                                                                 2
                                                                  2
                                                 FV      600 2             600 N
                                                                 2
Resolución:

a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.

b) Cálculo de las reacciones.

                                                     600 N
                                   600 N
Ejes globales                                        E



                  A                                                        C                   D       800 Nm

                                                 B

                        RAH                                                    RCV
          RAV


Tomamos momentos respecto al punto C:
                                                                                                 100
     Mc   0            R AV 6 600 3 600 2 800                    0                    R AV           N = -33,3 N
                                                                                                  3
Suma de fuerzas verticales y horizontales:
                                                                 100                         1900
     FV   0           R AV    600 RCV                0                     600       RCV          N
                                                                  3                            3
     FH   0                  RAH         600 N
1 Diagramas de esfuerzos                                                                                                   13




c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC.

                                            100
TramoAB:             M ( x)      R AV x         x                    MA       0       MB   100 Nm
                                             3
Tramo BC:

                     M ( x)      R AV x 600( x 3) 600 2
                                 100
                     MB              3 0 1200 1100 Nm
                                  3
                                 100
                     MC              6 600 3 600 2   800 Nm
                                  3

Diagramas.
                                                                                                       600 N       E

                                              600 N                                                                    -
           N                     +
                 A                               B                        C                D
                                                                                                               B

                                                                                                       600 N
                                                                                                                   E

                     A                       B                            C                D                           +
          T
                                                         -
                                                                                                               B
                                                                                  1900
            100                                                                        N
                N                                                                   3      -800 N·m
            3                                                                                                      E

                                          -100 N·m
                                                                                  -                       -
          M
                     A               -           B                        C                    D
                                                                                                   1200 N·m    B
                                                     +



                                                     1100 N·m

Equilibrio del nudo B.
                                                             600 N




                                              600 N

                                            100/3 N
                         600 N
                                                             B

                                                                 1900
                                                                      N
                                                                   3
14                                                                         Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 1.2

Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a
una carga repartida triangular.




                                                                                                   N
                                                                                           1600
                                                                                                   m


           A                                                                     B

                           x

                                          6m

                                      T




Resolución:

a) Cálculo de la reacciones.

                           1600 6
Resultante de la carga Q              4800 N .
                              2



                                                             4800 N

                   A                                                                  B

                                                    6m
                  RA                                                                 RB
                                      4m                              2m




                                 RA       RB       4800


                                      MA       0           RB 6       4800 4


                                          4800 4
                                 RB                      3200 N
                                             6
                                 RA       1600 N
1 Diagramas de esfuerzos                                                                                               15




b) Cálculo de los esfuerzos de sección.




                                                                                                                   N
                                                                                                            1600
                                                                                                                   m


                A                                                                                  B

                                          d
      1600 N                                                                                       3200 N

                                               x-

                                  x

                                                             L=6m



Sección situada a una distancia x del apoyo A:

T:
                                      x                          x   1600
                    T      1600           qd        1600                  d
                                      0                          0     6

                                                     x
                                      1600 2                              1600 2
                    T      1600                              1600             x
                                        6  2         0
                                                                           12

M:
                                           x                                       x   1600
                    M      1600 x              q x           d        1600 x                  x    d
                                          0                                    0         6

                                                                           x
                                                         2            3
                                          1600
                    M      1600 x                            x
                                            6            2            3
                                                                           0



                                          1600        x3         x3                     1600 x 3
                    M      1600 x                                          1600 x
                                            6         2          3                        6  6
16                                                                 Resistencia de materiales. Problemas resueltos




c) Diagramas.

                         1600 N


                                +
                          A                                             T
                                                               -
                                                                   3200 N


                                                                       M
                                               +


                                              3695 Nm
d) Punto de Mmáx



                    M
                         T          T   0
                    x
                                  1600 2
                T       0 1600         x       x     12   3,46 m
                                    12
                                       1600
                M máx        1600 3,46      3,46 2   3695 Nm
                                         12
1 Diagramas de esfuerzos                                                           17




Problema 1.3

Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura.


                                             200 2 N
                                             B
                           400 2 N



                                                                             2m


                                                     45
                  A                                         C



                               2m                    2m




Resolución:

Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática.


                                                 200 2

                               400 2             B




                  A
                                   RAH                          C



                             RAV                                    RC



    FV     0          R AV     RC    200 2   0
    FH     0          R AH     400 2 N
    MA      0          RC 4 400 2 2 200 2 2 0                RC          300 2 N
18                                                                        Resistencia de materiales. Problemas resueltos




por tanto, RAV     100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras,


                                   400
                                                                  100 2


                                         400 2      100            100
                                   400
                                                                              300       300


             400                                                                                        300 2
     400 2
                                                                                  300 2
             400                      100   100
                                                                                                    300        300
                                            100 2



                                             Diagrama     N

                                            500 N
                                                     B




                                     +                        -



                                                                                    C
                               A
                                                                     -300 N

                                             Diagrama     T


                                            300 N
                                                     B




                                     +                        -



                                                                                    C
                               A
                                                                  300 N



                                             Diagrama     M
1 Diagramas de esfuerzos                                                                                          19




                                                                                         B
                                         B




                       x             +                                              +
          A                                                                                        x’        C

                                                                                                          300 N




                                     MA      0                                          MC    0
                    M = 300 · x                                         M = 300 · x’
                                     MB      600 2 Nm                                   MB    600 2 Nm



Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica.

Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que
    M0       0 ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O.



                             F
                                                 200 2                                   RA
                                                                            // OA
                                             B
                           400 2                                                                            RC
                                                                                         F

                                                                                                  // OC


        RA
                                                               C



                                                                   RC
20                                                                                   Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 1.4

Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.

                                                                  N
                                                        p = 600
            4000 N                                                ml                                 3000 N

                P1          B                                                                 C            P2       D
      A

                     a=2m                               L=6m                                      b=2m



Resolución:

Cálculo de las reacciones:

     FV : R B        RC   4000 600 6 3000 0


     M B : 4000 2 600 6 3               RC 6 3000 8                RC       4467 N
                                                                      RB        6133 N
Diagrama de momentos flectores:

Tramo AB:
                     M      4000 x
                     MA     0      MB      8000 Nm


Tramo BC:
                                                                            2
                                                                  x     2
                     M      4000 x      6133 x      2       600
                                                                       2
                     MB         8000 Nm        MC       6000 Nm

Tramo CD:
                     M      4000 x      6133 x      2       600 6 x 5             4467 x 8
                     MC         6000 Nm        MD       0


Diagrama de esfuerzos cortantes.

Tramo AB:
                     T    4000 N
                     TA     4000 N        TB     4000 N
1 Diagramas de esfuerzos                                                                            21




Tramo BC:
                    T        4000 x   6133 600 x          2
                    TB       2133 N         TC    1467 N


Tramo CD:
                    T        4000 6133 3600 4467
                    TC       3000 N         TD   3000 N



                                B                                            C             D
         A

                     a=2m                                 L=6m                   b=2m




                            -8000

                                                                               -6000
    M

  ( Nm )
                                                          -

                                                                 E

                                       xE


                            2133                                     3000                  3000

                                                                                    +
                                        +
     T
                                                                      -
                        -
  (N)
                                                                            -1467

         -4000                      -4000



El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es
horizontal, o sea:
          M
                T 0 :    4000 6133 600 x E 2 0                 x E 5,35 m
           x
                      ME = -4208 Nm
22                                                                    Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 1.5

En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los
diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.




                                    4 KN
                                                   5 KN/m




                                  0,5m
                                     1m           2m             1m




Resolución:

a) Reacciones en el empotramiento.
Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama
de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:




                  4 KN   5 KN/m                                    4 KN
                                                                                           10 KN



     ME                                                ME


                0.5m                                             0.5m
                   1m       2m                                             2m
           FE                                               FE



FE        14 KN
                                     Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.
ME         4 0,5 10 2    22 KN m
1 Diagramas de esfuerzos                                                                    23




b) Diagramas

                               4 KN                   5 KN/m




                           E     D           C                      B               A


                           0,5    0,5                   2m              1m


                                                                                x




                                     -

                                                                                        M




                                                                                        T
                                                 +




Tramo AB:           M=0                      T=0

Tramo BC:
                                             2
                                 x 1
                    M      5                         KN m      MB           0
                                  2
                                                               MC           0

                                         2
                    T      5 x 1                 KN            TB       0
                                                               TC           10 KN
24                                                                 Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Tramo CD:

                M     10 x    2   KN m           MC     10 KN m
                                                MD     15 KN m


               T     10 KN                     TC     10 KN
                                                TD    10 KN


Tramo DE:

                M     10 x    2   4 x 3,5     KN m            MD       15 KN m
                                                              ME      22 KN m


               T     10 4     14 KN                           TD     14 KN
                                                              TE    14 KN


Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en
este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de
la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico;
pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
2 Esfuerzo normal   25




2 Esfuerzo normal
26                                                                  Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 2.1

Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro         4 mm , y cuyos
módulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm
y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está
sometida a una carga puntual P=500 N.
Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.




                                                                      E2           300 mm
           4 mm                                      4 mm
                       E1
                   A                                                  B
                            x         P=500 N


                                          600 mm


Resolución:

Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de
deformaciones.



                                RA                                            RB




                       LA                                                          LB

                        A                                                   B
                                           P=500 N



                                     FV    0       RA   RB     P
                                     MB    0       RA L      P( L   x) 0
2 Esfuerzo normal                                                              27




  LA      LB


Ley de Hooke :

RA LA        RB LB                 R B E1     R B 210000
                             RA                                    RA   3R B
 S E1        S E2                     E2         70000


                                  500
3R B    RB     500         RB         125 N        RA      375 N
                                   4

De la ecuación de los momentos obtenemos x:

RA L      P( L      x) 0

375 600 500(600            x) 0       x 150 mm
28                                                                         Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 2.2

En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar las
tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .
Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles.

Datos: E=2·105 MPa.



                                                      A
            1m                                                         Aa=40 cm2
                                                      B

            3m
                                                                       Ab=80 cm2
                                                      C
            1m
                                        15 T
                                                                 D




Resolución:

                                                     FV      0


                                      RA+ RD = 15 T = 150000 N

Ecuación de deformación

El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está
traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción.

Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del
tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:

                                          L AB        L BC           LCD

                                                     F L
Aplicando la ley de Hooke:                     L
                                                     A E

                                    R A L AB       R A L BC          R D LCD
                                     E Aa           E Ab              E Ab
2 Esfuerzo normal                                                                                                      29




                                    RA
                                                          R A 1000               R A 3000               R D 1000
                                           A           2 10   5
                                                                   40 10   2
                                                                               2 10   5
                                                                                          80 10   2
                                                                                                      2 10 5 80 10 2
      1m

                                                   B                R A 2000    R A 3000          R D 1000


      3m
                                                                  Resolviendo las ecuaciones, tenemos

                                                                        RA     25000 N       2.5 T
                                                   C
      1m
                                    15 T
                                                                        RB     125000 N 12.5 T
                                                   D
                                    RD

Cálculo de las tensiones.

                                                     25000 N
                        Tramo AB:        AB                            6.25 MPa (COMP.)
                                                   40 10 2 mm 2

                                                     25000 N
                        Tramo BC:     BC                              3.125 MPa (COMP.)
                                                   80 10 2 mm 2

                                                    125000 N
                        Tramo CD:     CD                              15.625 MPa (TRAC.)
                                                   80 10 2 mm 2

Diagrama de esfuerzos normales:


                2.5 T       A



                            B
                        -



                            C
                                                           12.5 T

                                               +

                        D
30                                                                               Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 2.3

a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m
   de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso del punto C, siendo =20º.
   Datos: E=2,1·105 MPa.
b) Resolver para =0º.



                      A                                                                      B

                                               L                     L
                                                        C




                                              C’
                                                   C1
                                                    P

Resolución:

a) Para =20º:


      N         N            P                     Del equilibrio del punto C se obtiene
                                  P

      N         N                                                            P
                                                             N sen
                                                                             2
           Equilibrio del punto C                                       P
                                                             N
                                                                     2 sen

Sea    (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, será C’C1
                                                                          L
pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es           . Como por otra
                                                                       sen
           NL
parte: L       , se tiene que:
           EA

                      NL             PL                    5000 3500
                                                                                                    1,13 mm
                    EA sen       2 EA sen 2        2 2.1 10 3,14 10 2 0.34202 2
                                                                 5



b) Para =0º:


                     A                 L            C                    L                  B




                                                        C1

                                                        P
2 Esfuerzo normal                                                                                                   31




De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de
las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente
grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían.

A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las
barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las
deformaciones en este caso.

Poniendo


     tg             (para ángulos pequeños)
L

el alargamiento de las barras vale

                                                                              2                               2
                          AC1 AC        L2           2
                                                         L                                        2
                                                                 1                1       1           1
                            AC                   L                        L                                   2

Esta última igualdad proviene de la expresión:

                                            12           1       1 2           1 3         5 4
                             1 a     1 a             1     a       a             a            a
                                                         2       8            16          128

                                                                                                              a
Para a<<1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 1 a                                1     .
                                                                                                              2

El esfuerzo normal en una de las barras es:

                                                                                      2
                                                                          E A
                                        N            A E             A
                                                                            2

Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce

                                                                                              2
                                              P                       P               E A              P
                          N sen     N                        N
                                              2                      2                  2             2

Resulta


                                                             3
                                                                     P
                                                                 E A

                                                                           P
                                                         L       L   3
                                                                          E A
32                                                                 Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Aplicando los datos numéricos del problema:

                                                    5000
                                3500      3                        148 mm
                                              2.1 10 5 3,14 10 2

                                              148
                                                     0,04229 rad 2,42º
                                     L        3500

                                          P       5000
                                 N                            59116 N
                                         2      2 0,04229

                                          N     59116
                                                      188 N/mm 2
                                          A      314
2 Esfuerzo normal                                                                                33




Problema 2.4

Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructura
representada en la figura, suponiendo infinitamente rígida la barra horizontal DE, articulada en D.
Barra AB: sección 40 cm2
Barra CB: sección 80 cm2
Se considera el mismo módulo de elasticidad, para todas las barras.



                         A


            2m                                                       40 T

                         D                    B                      E



            2m


                                  2m                   4m
                    C




Resolución:
Se trata de un sistema hiperestático.
RBA y RBC siguen la dirección de la barra.


                                                                            40 T
                                              RBA
                    HD        D
                                                                            E

                               VD             RBC




Ecuaciones de la estática:
                                     2          2
    FV    0          VD       R BA     R BC         40 0
                                   2           2
                                    2          2
    FH     0        HD        R BC     R BA        0
                                   2          2
    MB      0       VD       2 40 4 V D        80 T
34                                                                  Resistencia de materiales. Problemas resueltos




          A



                                                                                      acort.          B
                                                                                      LBC
                                                                                               45º
                                                                                    B’’
                D                 B              E                                            ~45º
                        B’’                                                           LAB
                                                                                    alarg.
                                  B’                                                                  B’


          C


                A                                      L AB   BB            LCB      BB

                                                     Al ser deformaciones y ángulos pequeños:

                                                     BB       BB

                                                       L AB        L BC
                D

                                                     Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC

                                                     Aplicamos la ley de Hooke:

                                                      R BA 2 2            R BC 2 2
                                                                                             2 R BA    R BC
                 C                                       E 40                E 80

                                                     De la ecuación Fv = 0 tenemos:

                                                                    2                2
                                                      80 R BA              2 R BA         40     0
                                                                   2                2
con lo que,

R BA          56.73 T     R BC    113.47 T

De la otra ecuación despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto)
Cálculo de las tensiones:

              56730        Kp
     AB              1418
                40        cm 2
              113470        Kp
     AB               1418
                80         cm 2
3 Esfuerzo de cizalladura pural   35




3 Esfuerzo de cizalladura pura
36                                                                            Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 3.1

a) Determinar el diámetro mínimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b ( e=260
N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzón tiene una tensión admisible a compresión,
                2
 adm= 500 N/mm .
b) ¿ Qué fuerza máxima se ejercerá ?
c) ¿ Qué adm debería tener el punzón para realizar un punzonado de   5 mm ?
Nota: Suponer que el extremo del punzón es plano y horizontal.


                                                                             Punzón
                                                                                     2
                                                                       adm = 500 N/mm



                                                                                  Chapa de acero
                                                                                e = 260 N/mm2




Resolución:

a)
  punzon                       d2
Fmax           adm    A   500      392,7 d 2
                               4
 chapa
Fmax       e    S     0.65 260   d 5 2654.6d

  punzon    chapa
Fmax       Fmax            392,7 d 2     2654.6d         d min    6,76 mm

                                            d2
b)             Fmax       adm    A 500             17945 N
                                            4
                            52
c)               punzon
                                  0.65 260         5 5                   676 N
                 adm
                            4
                                                                 adm
                                                                                 mm 2

                                             adm




                                                                       5 mm


                                              e
3 Esfuerzo de cizalladura pural                                                                          37




Problema 3.2

Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad       s   y suponiendo todo el peso
del ciclista sobre uno de los pedales.




                                      P

                                                            P = 800 N
                                                            R = 200 mm
                                      R                        Plato D=200 mm
                     D                                      Chapa eslabones: e=360 Mpa
                                                            Pasadores: e=260 Mpa

                     b
                                  a




                              e?
                                                       e?




                                          d?
                                                            cilindros “centradores”



Resolución:

                                               D   P
                              F                                  P R     800 N 200 mm
                 F
                                                             F                                1600 N
                                                                  D          100 mm
                                                                    2




                                               R
38                                                                                         Resistencia de materiales. Problemas resueltos




                                                                    Dimensionado de la garganta ‘a’ de la chapa a
                                                                    tracción pura:
     F/2
                                                     F/2               F                                F
                                                                        2                                    2      800
                                                                                    adm       a e                          3,3 mm 2
                                                                      a e                                   adm     240

                                                     F/2
     F/2                                                                           360 MPa
                                                                            adm             240 MPa
                                                                                      1 .5
                                                                           p.ej : a = 4mm e =1 mm


Dimensionado del pasador a cizalladura:

                    F                   d2              d2
           800                adm              138                            d min       2.7 mm
                    2                  4               4
                                             260
              adm       0.8     adm    0.8       138 N/mm 2
                                             1.5

Dimensionado del pasador a aplastamiento:

                    F         '
           800                adm     d e 347 d 1                          d min     2,3 mm
                    2
                              260
                        2             347 N
              adm
                              1.5              mm 2

           d min    máx 2,7 ; 2,3                          d min     2,7 mm

Dimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador


           a tracción:

                                F
                    800                b d e          adm          b 2,7 1 240                       bmin         6,0 mm
                                2

           a desgarro:

                                             t1   2d        5 .4            bmin      10.8 mm

                                        bmin      max 6,0 ; 10,8                   bmin   10,8 mm


El dimensionado final queda así:
3 Esfuerzo de cizalladura pural                                          39




                                             e 1 mm
                                             d 2,7 mm
                                             a 4 mm
                                             b 10,8 mm


                                  b=10,8 mm
                                          a= 4 mm




                                                                e=1 mm




                                                    d= 2,7 mm
40                                                                  Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 3.3

Dimensionar la unión esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y las
uniones son roblonadas.



                                                e2                       t1’
          e1            t1            t1
                                                                                                   e3


                                                                                                   e3

                                 d1                            d2



                        t1            t1                                 t1’




                                                          N?

     b
                                                     d2
                       d1




Datos:

e1 = 5 mm      e2=e3

Chapas:                          Roblones:                      Tomar:         se=1,5


Acero A37b                        Acero A37b
           2                                 2
 e=240 N/mm                        e=240 N/mm




Resolución:

a) Unión 1
                                                     t1
                            e1
                                                                       F/2              e2
                   F
                                                                       F/2
                                                                                        e2

                                           d1
3 Esfuerzo de cizalladura pural                                                                                             41




Cizalladura:

                             2                            2                      2
      F                 d1                           d1              240    d1
T            adm
                                             e
                                                               0.8                    100,55 d 12       201.1 d1 2   Fmax
      2                 4                   seg      4               1.5    4

Aplastamiento:

            Fmax         Fmax                Fmax
d 1 e1                                                    d1 5         2000 d 1       Fmax
                                               240
             adm                 adm       2.5
                                               1.5

De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultáneas obtenemos:

d1,optimo = 9.95 mm                    10 mm = d1 Fmax = 20000 N

                          ( fallará por aplastamiento de la chapa )

- Desgarramiento

t1   2d 1          t1     20 mm

Cálculo de la sección neta
                                                                       t1=2d=20 mm




                         Fmax
                                                                                        10 mm       b
                        20000 N




260/1.5 = 160 N/mm2

 Fmax            N                             20000 N
          160                          b                  10 mm = 35 mm
 Aneta          mm 2                             N
                                           160       5 mm
                                               mm 2

Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismas
dimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto:

                                                                            e1
                                                  2 e2        e1       e2            2,5 mm
                                                                            2
42                                                                                Resistencia de materiales. Problemas resueltos




b) Unión 2


                                           e2                                     t1’    e3
                                                                                              F/4
                                     F/2
                                                                                                          F/2
                                                                             e1

                                     F/2                            e2
                                                                                              F/4
                                                                                         e3




                                F                                                                   F
                                                                   N?
                                                    d2




                                                                                                                          e1
Atención: es un problema hiperestático. Aquí se presenta la solución concreta para el caso e2                                  2 ,y
con la hipótesis de roblón rígido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre las
tres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4.

Cizalladura:

      F                               2                                    2
       4        F                    d2         20000              240    d2             49.74       2
T                         adm                                  0.8                                  d2
      N        4N                   4            4N                1.5   4                 N

Aplastamiento:

F
  2        F                               20000               240                  10
                    adm    d 2 e2                        2.5       d 2 2.5                 d2
 N        2N                                2N                 1.5                  N

De las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemos

d2    4.97 mm             d2    5 mm       N    2

con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento.

Desgarramiento:

t1    2d 10 mm

Tracción:

Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor.
3 Esfuerzo de cizalladura pural                                                                      43




Problema 3.4

Hallar el coeficiente de seguridad seg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles de
estantería metálica representados en la figura.




                    s   ?




                                                                  Acero A-42b
                                                                              Kp
                                          20 mm                    e   2600
                                                                              cm 2


                                  10 mm
                                                        p = 100
                                                        N/cm




      h = 20 cm




                                                     L = 50 cm
44                                                                         Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Resolución:

                                     p
                                                                   2Fh

     h                                                                      2Fv              h

                           L                                      2Fh
                                                                            2Fv



                                                pL2
                          FH             M          (momento a transmitir en la sección
                                                 2
                                                     de empotramiento)
                     FV
                                                                            M p L2            100 50 2
                                         2 FH h        M           FH
                                                                            2h     4h           4 20
            T                                                      FH       3125 N

                          FV             4 Fv       p L 100 50 5000 N                         Fv    1250 N


                                         T      FH 2       FV 2         3125 2    1250 2     3666 N
                FH
     FT
        (suponiendo una distribución constante de          en la sección)
     S

                                             3366
                                                   16,8 N/cm 2
                                             20 10

                                         e    0,6      e     0.6 260
                                 S                                          9,28
                                      máx        máx           16,8
4 Características de secciones   45




4 Características de secciones
46                                                                                          Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 4.1

Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b y
h genéricas.

                                               b
                                                   y




                     z                                                z
                                                                            h




                                                       y

Resolución:

De las tablas:                                                                          Iz’ = Iy’= 7,84 cm4
                                                   y’
                                                                                        A = 4,3 cm2
                           z’                                        z’
                                                                                        c = 1,28 cm
                            c
                                           c
                                                       y’

                                2
                         h
        Iz    I z'   A     c            (momento de inercia de una L, respecto al eje z)
                         2


                                                               c
                                                                      h/2

                                    z                                               z



                                2
                       b
        Iy    I y'   A   c              (momento de inercia de una L, respecto al eje y)
                       2
                                                                                y


                                                           c

                                                               b/2
                                                                                y
4 Características de secciones                                                                47




                                       2
                                 h
Iz    4I z    4I z'    4 A         c       59,54 4,30 h 2 5,12 h (momento de inercia de las
                                 2
                                                                       cuatro L)




                                       2
                                 b
Iy     4I y    4I y'   4 A         c       ( momento de inercia de las cuatro L)
                                 2




                                                Iz   4,30h 2   22h 59,54

                                                Iy   4,30b 2   22b 59,54
48                                                                        Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 4.2

 Dado un perfil “doble T”, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la viga
aligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial.

                                                                           y’

                         y

                             e

               z
                                   h                      z’
                                                                                          2a        h’

      IZ
      A




                                         a ?




                    IZ

                                                                   I Z’ = 4 I Z

Resolución:



                                                                         a/2
                                                                                               a
           z             z                                     a/2




                                                                     3
               IZ                IZ/2          IZ    1         a
                                                       e                          IZ’/2
                                                2   12         2

                                               A    a                              A'     A        a
               A                 A/2                  e                                              e
                                               2    2                              2      2        2
4 Características de secciones                                                                                                    49




                                           3                                     2
                   IZ        1        a              A          a          a                   IZ      1   a3   A 2    a3
          IZ'                  e                                  e                   2                  e        a       e   2
                    2       12        2              2          2          2                    2     12   8    8      8
                                                 13   a3                  A 2                  a2   13
                                      IZ            e                       a         IZ          A    e a
                                                 12   4                   4                    4    12

                                                                               a2   13
                                                         IZ '     IZ              A    e a
                                                                               4    12

                                                                                     a2   13
Ha de ser :                                      IZ'       4I Z           IZ            A    e a
                                                                                     4    12

                                                 13                       A 2
                                                    e a3                    a 3I Z              0         a
                                                 48                       4


                                                 e

si suponemos que (e·a)                                                         es << A (área total del perfil IPE) :
                                                                  a




                                                                A a2                                   a2
                                          IZ '       IZ                                        3I Z       A
                                                                 4                                     4


                                                                     IZ                   IZ
                                                     a          12             2 3              2 3 iZ
                                                                     A                    A

                                 IZ
                     ( iZ             radio de giro de la sección respecto al eje z)
                                 A
50                                                                     Resistencia de materiales. Problemas resueltos




   Problema 4.3

   Determinar las siguientes características de la sección monosimétrica de la figura respecto del eje
   principal z:

   a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz .
   b) El momento resistente elástico, Mel. z , para un acero   e=235   N/mm2.

                            y

                            400
                                                 30
# 400·30




                                                                                                           ysup
                # 800·10



   z                        G
                                                                                                                           Mel.z



                                                 800




                                10
           yG                                                                                              yinf




# 250·20
                            250                  20
                                                                                         e=   235 N/mm2

   Resolución:

   a) El área de la sección total será la suma de las áreas de las pletinas:

                            A        Ai   400 30 800 10 250 20 25000 mm 2

   Por simetría el centro de gravedad, G, está situado sobre el eje y (z = 0).
4 Características de secciones                                                                                           51




Para determinar la posición y del centro de gravedad de la sección, G, es cómodo calcular el momento
estático de cada elemento respecto de la fibra inferior. Así:

                                                                A yG          Ai y i

                                   Ai y i         400 30 835            800 10 420            250 20 10
                   yG                                                                                         537 mm
                                   A                                      25000

Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la sección total respecto del eje
y-y:

                                                        1                              2
                                       Iz                 bi hi3   Ai    yi     yG
                                                       12

                                                  1                                               2
                                       Iz           400 30 3       400 30 835 537
                                                 12

                                                  1                                           2
                                                    10 800 3       800 10 420 537
                                                 12

                                                  1                                           2
                                                    250 20 3       250 20 10 537                      299154 10 4 mm 4
                                                 12


El módulo resistente respecto de la fibra superior, ysup:

                                                         Iz     299154 10 4
                                            W z ,sup                                 9558 10 3 mm 3
                                                        y sup    850 537

El módulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf:

                                                         Iz     299154 10 4
                                            W z ,inf                              5571 10 3 mm 3
                                                        y inf      537

El radio de giro de la sección respecto del eje z, iz:

                                                           Iz      299154 10 4
                                                  iz                                       346 mm
                                                           A          25000

b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensión de límite elástico del material y del
módulo resistente mínimo de la sección:

                        M el . z       e    W z ,min    235 5571 10 3         1309 10 6 N mm 1309 kN m
Problemas resueltos resistencia(1)
5 Dimensionado de secciones o flexión   53




5 Dimensionado de secciones o flexión
54                                                                                   Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 5.1

Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como máximo y
chapa de 10 mm de grosor.


                                      C        P
                  A                                                B                           P = 9500 Kp
                                                                                               L=6m
                              =                          =
                                                                                               Acero A 42b
                                          L
                                                                                               se   = 1,5

                  E       D               C




                                                                                     E                 D                     C
Resolución:

          Acero A 42 b                             2600 Kp                               2600
                                                                 cm 2                         1733 Kp 2
                                          e
                                                                              adm
                                                   1,5                                    1,5        cm
                                          se


             L2
           L1
                                  C
             E        D
      A



             x


                          +                                                              P x
                                          Momentos flectores                M ( x)             4750 x
                                                                                          2

                                                                                     P L
                                                                            MC           1425 103 Kp cm
                                                                                      4

Tramo A-E :

                 I    3890 cm 4
IPE 240                           3
                                               M max         W     adm   561 103 Kp cm
                W     324 cm
                                               561 · 103 = 4750·x            x = 118,2 cm           L1=115 cm
5 Dimensionado de secciones o flexión                                                                                   55




    Tramo E-D:          es necesario reforzar

                                                    1                       1
                                             I        b e3 b e d 2            12 13 12 12.52 1 1875            1876 cm 4
          b=120 mm                                 12                      12
                              e =10

d                                                                                                   7642
                                                        I2       3890   2(1876) 7642 cm 4      W2         588 cm 3
                                                                                                     13
                                                                                    M adm   588 1733 1019 10 3 kp cm

                                                        1019 · 103 = 4750·x          x = 214,6 cm

                                                                                       L1 = 210 cm

    Tramo D-C:

                               e                                  1
                               e                        I           b e3 b e d 2 1 12 13,52        2188 cm 4
                                                                 12
    d
                                                                                                   12018
                                                        I3       I2   2(2188) 12018 cm 4      W3         858 cm 3
                                                                                                    14
                                                                                    M adm   858 1733 1487 10 3 kp cm

                                                        1019 · 103 = 4750·x            x = 313 cm > 300 cm


                                                                                     no es necesario reforzar más
                                   300 cm
                          210 cm
                                                             P
                    115




                                                                                              M (m·Kp)
                              5460                  +
                                                             14250                                   Solicitación
                    5610                    9970
                                                                                                     Capacidad resistente
                               10180

                                                     14872
                      9500/2 = 4750 Kp
                                    +                                                         T (Kp)

                                                                             -

                                                                          4250 Kp
56                                                                Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 5.2

Dimensionar un segmento de pistón de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro una
presión uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de max= 261,5 N/mm2 ( e =
340 N/mm2 , se = 1,3) (Fundición de grafito nodular).




                                                           Nota: Usar la simplificación de simetría,
                             R
                                                                             h
                                                           suponiendo que         es suficientemente
                                                                             R
                                                           pequeño.

                                                           R = 40 mm



                                               h
                                                       b




Resolución:
                                                                                               voladizo
Por razones de simetría consideramos:                                      R




Diagrama de momentos flectores :

Momento producido por dp en el punto genérico C                                               C          p

                                                                                                                   R·d
                                          2
dM c   b p R d       R sen    c    p b R sen       c        d
                                                                                               C                   dp

              (dp = p · R · d )
                                                                       B                O                    A


Momento total para el punto genérico C:
5 Dimensionado de secciones o flexión                                                                   57




             c
                 p b R 2 sen                    p b R 2 cos                     p b R 2 1 cos
                                                                            c
Mc                                 c       d                      c     0                       c
         0



Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es :


Mc      p b R 2 1 cos          c
                                                                                                    M

tendremos el máximo:           c   = 180



Mmax = 2 · p ·b · R2
                                                          Mmax        = 180                 ==180
                                                                                               0




          M h         2 p b R2 h           12 p R 2
                                                                 261,5 N
  max
          I 2           1                     h2
                                                          adm
                                                                            mm 2
                          b h3 2
                       12

                   h 0,093R                3,7 mm     h               No depende de b
58                                                               Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Problema 5.3

Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado uno
junto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir a
comprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabe
cuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial y
le expone el problema:
He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura:




                                                                                                          h
                                                                                         b

                  a                                               a




                  100 cm        a 15 cm           b 20 cm        p libros y apuntes   0,6 Kg/cm


En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes características
mecánicas:


                                 adm   4 N/mm 2        E 10 000 N/mm 2


La cuestión es:

     a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante?
     b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por
        razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál
        sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del
        estante?
     c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su
        punto central (con la distancia a inicial).
5 Dimensionado de secciones o flexión                                                                                                                         59




Resolución:

a) Determinación de h mínima.

                                                         p




    A                           B                                      C                         D                                               h
                                                                                                                       b

               a                                                                        a




              x                                                                                                                              p
                                                                                                                      RB       RC
                                                                                                                                             2



                        -                                                       -                        Tramo AB:
  M
                                                     +                                                                             x2
                                                                                                                  M            p
                                                                                                                                   2
                                                                                                                                                         a2
                                                                                                                  MA           0 MB                  p
                                                                                                                                                         2
                            +
                                                                                    +
   T                                                                                                              T        p x
                   -                                                       -
                                                                                                                  TA       0            TB           p a




                                                     vE
    Tramo BC:

                       x2                                             a2                                 a2
        M          p            p       x   a                MB   p            p        a   a        p
                       2            2                                 2           2                      2
                                                                                 a2
                                                             MC   MB           p
                                                                                 2
                                                                       2            2                         2
                                                                                                 a                             a
                                            xE               ME   p            p            p            p             p
                                                 2                     8            4           2            8             2
60                                                                                                        Resistencia de materiales. Problemas resueltos




        T     p x        p                                       TB        p a        p
                             2                                                             2
                                                                 TC          p         a          p            p a             p
                                                                                                      2                            2

     Tramo CD:

                 x2                                                                   x2
        M      p             p        x   a        p       x           a         p                p       x     a          x               a
                 2               2                     2                              2               2
                                                                                                                       2
                 x2                                                                                             a                                          a2
        M      p             p       2x                                              MC               p                            p       2       a   p
                 2               2                                                                             2                       2                   2
                                                                                                           2
                                                                                     MD               p             p          2               0
                                                                                                          2             2

        T     p x        p                                                           TC           p            a p                     p a
                                                                                     TD           p             p  0

     Con = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados:

                                                   MB          MC          112,5 p                67,5 cmKg

                                                               ME     500 p 300 cmKg

                             M máx            ME                                                                                ME             b h2
                   máx                                     adm       40,77 Kg/cm 2                         W z , mín
                                 Wz           Wz                                                                               40.77             6

                                                                      ME 6
                                                       hmín                                       hmín         1,49 cm
                                          b 20                       40,77 20

b) Determinación de la distancia a óptima.

     Óptimo resistente:

                                                                     M máx           M máx




                                                                          MB         ME




                                                                     a2          2
                                                                                              a
                                                                 p           p            p
                                                                     2           8                2
5 Dimensionado de secciones o flexión                                                                                                                               61




                                            2
                     a2        a                    0
                                        4



                                                2            2
                     a
                           2            2                4


                                        2       2
                                                                           2                         0,207                      La segunda solución no
                     a                                                                      a                                   interesa, porque cae fuera
                           2                4                    2        2                            1,207
                                                                                                                                del intervalo analizado

    Así pues, la distancia ‘a’ óptima es:                                      a óptima     20,7 cm

    Y se tiene, un momento máximo:                                             M máx       128,7 cmKg

c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria.



                                                                     F=1

     A               B                                                                           C             D             Tramo BE:

                                                         E
                                                                                                                                            1
                                                                                                                                    M             x   a
                                                                                                                                            2

                                                                                                                             Tramo EC:
             a                                                                                            a

                                                                                                                                             1
                                                                                                                                    M             x   a    1    x
                                                                                                                                             2                      a
         x

                                                                                                                        M’
                                                             +




                 W        M                             1        a            x2                1                  x2                        1
                             M          dx                                p      0 dx                 2        p            p       x   a      x      a    dx   2
                 F        EI                            EI       o            a                 EI   a             2            2            2


                            2                       x3                                     a             a 2            a       x           a2
                                    2           p                p        x2      p          x       p     x       p                    p             dx
                          2 EI     a                2                 2                   2              2                  2                 2
62                                                      Resistencia de materiales. Problemas resueltos




            P     x4        x3      a x2    a x3    a       x2    a2       x   2

            EI    8        6         4       6          4              2       a


            0,6
                ( 781,25 2083 937,5 312,5 937,5 562,5 6,328
            EI

                                                      0,6 24724
     56,25 84,375 8,437 84,375 168,75) 10 3                                0,265 cm
                                                    100 000 5,513

                             bh 3   20 1,49 3
                       I                        5,513 cm 4
                             12        12
5 Dimensionado de secciones o flexión                                                                             63




Problema 5.4

Sea una viga de sección transversal en doble T, formada por 3 platabandas soldadas de dimensiones
las de la figura. Hallar el paso l de los cordones de soldadura a tramos de unión entre el alma y las
alas, si la garganta de soldadura es a= 5mm y la longitud de cada tramo de cordón es de ls = 10 cm. El
esfuerzo cortante máximo que soporta la viga es Ty= 40000 kg. La tensión cortante admisible en la
soldadura es adms = 1000 kg/cm2.



                              y

      12 mm
                                  6 mm

        600                   G                  x                  s           s                         x
  z                                      z




                        220




Resolución:

Esfuerzo cortante por unidad de longitud en la superficie de contacto entre alma y platabanda


                                                       T mZ 1
                                                            A
                                                 f                      mzA1 : momento estático del ala
                                                         IZ

            A
           mZ 1       22 1,2 30,6 807,84 cm 3
                         1                                       1
           IZ     2        22 1,2 3      22 1,2 30,6 2             0,6 60 3     49 446,14 10 800 60 246,14 cm 4
                        12                                      12


                                                     40 000 807,84
                                             f                          536,35 kg/cm
                                                      60 246,14 6
64                                                       Resistencia de materiales. Problemas resueltos




Esfuerzo cortante admitido por el cordón de soldadura,

Fadms       2   adms    s   a


Igualando esfuerzos

Fadms       f


                        T m zA1
2    adms       s   a
                          Iz


2 1000 10 0,5 536,35

     2 1000 10 0.5
                   18,64 cm 19 cm
         536,35
Problemas resueltos resistencia(1)
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Problemas resueltos resistencia(1)

  • 1. AULA POLITÈCNICA 15 Resistencia de materiales Problemas resueltos
  • 2. AULA POLITÈCNICA / ETSEIB Resistencia de materiales Problemas resueltos Miquel Ferrer Ballester José Luis Macías Serra Frederic Marimón Carvajal M. Magdalena Pastor Artigues Francesc Roure Fernández Lluís Vilaseca Vilanova EDICIONS UPC
  • 3. La presente obra fue galardonada en el quinto concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC. Primera edición: septiembre de 1999 Reimpresión: febrero de 2001 Segunda edición: septeimbre de 2002 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © los autores, 1999 © Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es Producción: CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona Depósito legal: B-30564-2002 ISBN: 84-8301-621-4 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san- ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro- cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.
  • 4. Prólogo 7 Prólogo El presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de la Resistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sido elaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como texto complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y nomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón y X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos. Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido los conocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presente libro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medios continuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se han incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos. Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: los temas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente el alcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarlo precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos lectores que deseen profundizar en dichos temas. Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas, porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se ha considerado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva de problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas. A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión, estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que sean sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector. Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que, como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas y los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu. Los autores Barcelona, junio de 1999
  • 5. Índice 9 Índice 1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11 2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25 3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35 4 Características de secciones.................................................................................................45 5 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53 6 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75 7 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89 8 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131 9 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139 10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161 Bibliografia................................................................................................................................185
  • 6. Bibliografía 185 Bibliografía COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968. LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974. LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944. NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977. ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998. ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991. ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA- ETSEIB, 1998 TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967. UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.
  • 7. 1 Diagramas de esfuerzos 11 1 Diagramas de esfuerzos
  • 8. 12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. 600 2 N 45o E 2m C 800 Nm A D B 3m 3m 2m 2 FH 600 2 600 N 2 2 FV 600 2 600 N 2 Resolución: a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Cálculo de las reacciones. 600 N 600 N Ejes globales E A C D 800 Nm B RAH RCV RAV Tomamos momentos respecto al punto C: 100 Mc 0 R AV 6 600 3 600 2 800 0 R AV N = -33,3 N 3 Suma de fuerzas verticales y horizontales: 100 1900 FV 0 R AV 600 RCV 0 600 RCV N 3 3 FH 0 RAH 600 N
  • 9. 1 Diagramas de esfuerzos 13 c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. 100 TramoAB: M ( x) R AV x x MA 0 MB 100 Nm 3 Tramo BC: M ( x) R AV x 600( x 3) 600 2 100 MB 3 0 1200 1100 Nm 3 100 MC 6 600 3 600 2 800 Nm 3 Diagramas. 600 N E 600 N - N + A B C D B 600 N E A B C D + T - B 1900 100 N N 3 -800 N·m 3 E -100 N·m - - M A - B C D 1200 N·m B + 1100 N·m Equilibrio del nudo B. 600 N 600 N 100/3 N 600 N B 1900 N 3
  • 10. 14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular. N 1600 m A B x 6m T Resolución: a) Cálculo de la reacciones. 1600 6 Resultante de la carga Q 4800 N . 2 4800 N A B 6m RA RB 4m 2m RA RB 4800 MA 0 RB 6 4800 4 4800 4 RB 3200 N 6 RA 1600 N
  • 11. 1 Diagramas de esfuerzos 15 b) Cálculo de los esfuerzos de sección. N 1600 m A B d 1600 N 3200 N x- x L=6m Sección situada a una distancia x del apoyo A: T: x x 1600 T 1600 qd 1600 d 0 0 6 x 1600 2 1600 2 T 1600 1600 x 6 2 0 12 M: x x 1600 M 1600 x q x d 1600 x x d 0 0 6 x 2 3 1600 M 1600 x x 6 2 3 0 1600 x3 x3 1600 x 3 M 1600 x 1600 x 6 2 3 6 6
  • 12. 16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos c) Diagramas. 1600 N + A T - 3200 N M + 3695 Nm d) Punto de Mmáx M T T 0 x 1600 2 T 0 1600 x x 12 3,46 m 12 1600 M máx 1600 3,46 3,46 2 3695 Nm 12
  • 13. 1 Diagramas de esfuerzos 17 Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. 200 2 N B 400 2 N 2m 45 A C 2m 2m Resolución: Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. 200 2 400 2 B A RAH C RAV RC FV 0 R AV RC 200 2 0 FH 0 R AH 400 2 N MA 0 RC 4 400 2 2 200 2 2 0 RC 300 2 N
  • 14. 18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos por tanto, RAV 100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras, 400 100 2 400 2 100 100 400 300 300 400 300 2 400 2 300 2 400 100 100 300 300 100 2 Diagrama N 500 N B + - C A -300 N Diagrama T 300 N B + - C A 300 N Diagrama M
  • 15. 1 Diagramas de esfuerzos 19 B B x + + A x’ C 300 N MA 0 MC 0 M = 300 · x M = 300 · x’ MB 600 2 Nm MB 600 2 Nm Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica. Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que M0 0 ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O. F 200 2 RA // OA B 400 2 RC F // OC RA C RC
  • 16. 20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. N p = 600 4000 N ml 3000 N P1 B C P2 D A a=2m L=6m b=2m Resolución: Cálculo de las reacciones: FV : R B RC 4000 600 6 3000 0 M B : 4000 2 600 6 3 RC 6 3000 8 RC 4467 N RB 6133 N Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: M 4000 x MA 0 MB 8000 Nm Tramo BC: 2 x 2 M 4000 x 6133 x 2 600 2 MB 8000 Nm MC 6000 Nm Tramo CD: M 4000 x 6133 x 2 600 6 x 5 4467 x 8 MC 6000 Nm MD 0 Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: T 4000 N TA 4000 N TB 4000 N
  • 17. 1 Diagramas de esfuerzos 21 Tramo BC: T 4000 x 6133 600 x 2 TB 2133 N TC 1467 N Tramo CD: T 4000 6133 3600 4467 TC 3000 N TD 3000 N B C D A a=2m L=6m b=2m -8000 -6000 M ( Nm ) - E xE 2133 3000 3000 + + T - - (N) -1467 -4000 -4000 El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: M T 0 : 4000 6133 600 x E 2 0 x E 5,35 m x ME = -4208 Nm
  • 18. 22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.5 En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga. 4 KN 5 KN/m 0,5m 1m 2m 1m Resolución: a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: 4 KN 5 KN/m 4 KN 10 KN ME ME 0.5m 0.5m 1m 2m 2m FE FE FE 14 KN Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga. ME 4 0,5 10 2 22 KN m
  • 19. 1 Diagramas de esfuerzos 23 b) Diagramas 4 KN 5 KN/m E D C B A 0,5 0,5 2m 1m x - M T + Tramo AB: M=0 T=0 Tramo BC: 2 x 1 M 5 KN m MB 0 2 MC 0 2 T 5 x 1 KN TB 0 TC 10 KN
  • 20. 24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Tramo CD: M 10 x 2 KN m MC 10 KN m MD 15 KN m T 10 KN TC 10 KN TD 10 KN Tramo DE: M 10 x 2 4 x 3,5 KN m MD 15 KN m ME 22 KN m T 10 4 14 KN TD 14 KN TE 14 KN Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico; pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
  • 21. 2 Esfuerzo normal 25 2 Esfuerzo normal
  • 22. 26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.1 Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro 4 mm , y cuyos módulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. E2 300 mm 4 mm 4 mm E1 A B x P=500 N 600 mm Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones. RA RB LA LB A B P=500 N FV 0 RA RB P MB 0 RA L P( L x) 0
  • 23. 2 Esfuerzo normal 27 LA LB Ley de Hooke : RA LA RB LB R B E1 R B 210000 RA RA 3R B S E1 S E2 E2 70000 500 3R B RB 500 RB 125 N RA 375 N 4 De la ecuación de los momentos obtenemos x: RA L P( L x) 0 375 600 500(600 x) 0 x 150 mm
  • 24. 28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 . Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2·105 MPa. A 1m Aa=40 cm2 B 3m Ab=80 cm2 C 1m 15 T D Resolución: FV 0 RA+ RD = 15 T = 150000 N Ecuación de deformación El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior: L AB L BC LCD F L Aplicando la ley de Hooke: L A E R A L AB R A L BC R D LCD E Aa E Ab E Ab
  • 25. 2 Esfuerzo normal 29 RA R A 1000 R A 3000 R D 1000 A 2 10 5 40 10 2 2 10 5 80 10 2 2 10 5 80 10 2 1m B R A 2000 R A 3000 R D 1000 3m Resolviendo las ecuaciones, tenemos RA 25000 N 2.5 T C 1m 15 T RB 125000 N 12.5 T D RD Cálculo de las tensiones. 25000 N Tramo AB: AB 6.25 MPa (COMP.) 40 10 2 mm 2 25000 N Tramo BC: BC 3.125 MPa (COMP.) 80 10 2 mm 2 125000 N Tramo CD: CD 15.625 MPa (TRAC.) 80 10 2 mm 2 Diagrama de esfuerzos normales: 2.5 T A B - C 12.5 T + D
  • 26. 30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso del punto C, siendo =20º. Datos: E=2,1·105 MPa. b) Resolver para =0º. A B L L C C’ C1 P Resolución: a) Para =20º: N N P Del equilibrio del punto C se obtiene P N N P N sen 2 Equilibrio del punto C P N 2 sen Sea (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, será C’C1 L pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es . Como por otra sen NL parte: L , se tiene que: EA NL PL 5000 3500 1,13 mm EA sen 2 EA sen 2 2 2.1 10 3,14 10 2 0.34202 2 5 b) Para =0º: A L C L B C1 P
  • 27. 2 Esfuerzo normal 31 De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían. A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las deformaciones en este caso. Poniendo tg (para ángulos pequeños) L el alargamiento de las barras vale 2 2 AC1 AC L2 2 L 2 1 1 1 1 AC L L 2 Esta última igualdad proviene de la expresión: 12 1 1 2 1 3 5 4 1 a 1 a 1 a a a a 2 8 16 128 a Para a<<1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 1 a 1 . 2 El esfuerzo normal en una de las barras es: 2 E A N A E A 2 Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce 2 P P E A P N sen N N 2 2 2 2 Resulta 3 P E A P L L 3 E A
  • 28. 32 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Aplicando los datos numéricos del problema: 5000 3500 3 148 mm 2.1 10 5 3,14 10 2 148 0,04229 rad 2,42º L 3500 P 5000 N 59116 N 2 2 0,04229 N 59116 188 N/mm 2 A 314
  • 29. 2 Esfuerzo normal 33 Problema 2.4 Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructura representada en la figura, suponiendo infinitamente rígida la barra horizontal DE, articulada en D. Barra AB: sección 40 cm2 Barra CB: sección 80 cm2 Se considera el mismo módulo de elasticidad, para todas las barras. A 2m 40 T D B E 2m 2m 4m C Resolución: Se trata de un sistema hiperestático. RBA y RBC siguen la dirección de la barra. 40 T RBA HD D E VD RBC Ecuaciones de la estática: 2 2 FV 0 VD R BA R BC 40 0 2 2 2 2 FH 0 HD R BC R BA 0 2 2 MB 0 VD 2 40 4 V D 80 T
  • 30. 34 Resistencia de materiales. Problemas resueltos A acort. B LBC 45º B’’ D B E ~45º B’’ LAB alarg. B’ B’ C A L AB BB LCB BB Al ser deformaciones y ángulos pequeños: BB BB L AB L BC D Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC Aplicamos la ley de Hooke: R BA 2 2 R BC 2 2 2 R BA R BC C E 40 E 80 De la ecuación Fv = 0 tenemos: 2 2 80 R BA 2 R BA 40 0 2 2 con lo que, R BA 56.73 T R BC 113.47 T De la otra ecuación despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto) Cálculo de las tensiones: 56730 Kp AB 1418 40 cm 2 113470 Kp AB 1418 80 cm 2
  • 31. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 35 3 Esfuerzo de cizalladura pura
  • 32. 36 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 3.1 a) Determinar el diámetro mínimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b ( e=260 N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzón tiene una tensión admisible a compresión, 2 adm= 500 N/mm . b) ¿ Qué fuerza máxima se ejercerá ? c) ¿ Qué adm debería tener el punzón para realizar un punzonado de 5 mm ? Nota: Suponer que el extremo del punzón es plano y horizontal. Punzón 2 adm = 500 N/mm Chapa de acero e = 260 N/mm2 Resolución: a) punzon d2 Fmax adm A 500 392,7 d 2 4 chapa Fmax e S 0.65 260 d 5 2654.6d punzon chapa Fmax Fmax 392,7 d 2 2654.6d d min 6,76 mm d2 b) Fmax adm A 500 17945 N 4 52 c) punzon 0.65 260 5 5 676 N adm 4 adm mm 2 adm 5 mm e
  • 33. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 37 Problema 3.2 Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad s y suponiendo todo el peso del ciclista sobre uno de los pedales. P P = 800 N R = 200 mm R Plato D=200 mm D Chapa eslabones: e=360 Mpa Pasadores: e=260 Mpa b a e? e? d? cilindros “centradores” Resolución: D P F P R 800 N 200 mm F F 1600 N D 100 mm 2 R
  • 34. 38 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Dimensionado de la garganta ‘a’ de la chapa a tracción pura: F/2 F/2 F F 2 2 800 adm a e 3,3 mm 2 a e adm 240 F/2 F/2 360 MPa adm 240 MPa 1 .5 p.ej : a = 4mm e =1 mm Dimensionado del pasador a cizalladura: F d2 d2 800 adm 138 d min 2.7 mm 2 4 4 260 adm 0.8 adm 0.8 138 N/mm 2 1.5 Dimensionado del pasador a aplastamiento: F ' 800 adm d e 347 d 1 d min 2,3 mm 2 260 2 347 N adm 1.5 mm 2 d min máx 2,7 ; 2,3 d min 2,7 mm Dimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador a tracción: F 800 b d e adm b 2,7 1 240 bmin 6,0 mm 2 a desgarro: t1 2d 5 .4 bmin 10.8 mm bmin max 6,0 ; 10,8 bmin 10,8 mm El dimensionado final queda así:
  • 35. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 39 e 1 mm d 2,7 mm a 4 mm b 10,8 mm b=10,8 mm a= 4 mm e=1 mm d= 2,7 mm
  • 36. 40 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 3.3 Dimensionar la unión esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y las uniones son roblonadas. e2 t1’ e1 t1 t1 e3 e3 d1 d2 t1 t1 t1’ N? b d2 d1 Datos: e1 = 5 mm e2=e3 Chapas: Roblones: Tomar: se=1,5 Acero A37b Acero A37b 2 2 e=240 N/mm e=240 N/mm Resolución: a) Unión 1 t1 e1 F/2 e2 F F/2 e2 d1
  • 37. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 41 Cizalladura: 2 2 2 F d1 d1 240 d1 T adm e 0.8 100,55 d 12 201.1 d1 2 Fmax 2 4 seg 4 1.5 4 Aplastamiento: Fmax Fmax Fmax d 1 e1 d1 5 2000 d 1 Fmax 240 adm adm 2.5 1.5 De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultáneas obtenemos: d1,optimo = 9.95 mm 10 mm = d1 Fmax = 20000 N ( fallará por aplastamiento de la chapa ) - Desgarramiento t1 2d 1 t1 20 mm Cálculo de la sección neta t1=2d=20 mm Fmax 10 mm b 20000 N 260/1.5 = 160 N/mm2 Fmax N 20000 N 160 b 10 mm = 35 mm Aneta mm 2 N 160 5 mm mm 2 Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismas dimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto: e1 2 e2 e1 e2 2,5 mm 2
  • 38. 42 Resistencia de materiales. Problemas resueltos b) Unión 2 e2 t1’ e3 F/4 F/2 F/2 e1 F/2 e2 F/4 e3 F F N? d2 e1 Atención: es un problema hiperestático. Aquí se presenta la solución concreta para el caso e2 2 ,y con la hipótesis de roblón rígido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre las tres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4. Cizalladura: F 2 2 4 F d2 20000 240 d2 49.74 2 T adm 0.8 d2 N 4N 4 4N 1.5 4 N Aplastamiento: F 2 F 20000 240 10 adm d 2 e2 2.5 d 2 2.5 d2 N 2N 2N 1.5 N De las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemos d2 4.97 mm d2 5 mm N 2 con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento. Desgarramiento: t1 2d 10 mm Tracción: Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor.
  • 39. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 43 Problema 3.4 Hallar el coeficiente de seguridad seg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles de estantería metálica representados en la figura. s ? Acero A-42b Kp 20 mm e 2600 cm 2 10 mm p = 100 N/cm h = 20 cm L = 50 cm
  • 40. 44 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Resolución: p 2Fh h 2Fv h L 2Fh 2Fv pL2 FH M (momento a transmitir en la sección 2 de empotramiento) FV M p L2 100 50 2 2 FH h M FH 2h 4h 4 20 T FH 3125 N FV 4 Fv p L 100 50 5000 N Fv 1250 N T FH 2 FV 2 3125 2 1250 2 3666 N FH FT (suponiendo una distribución constante de en la sección) S 3366 16,8 N/cm 2 20 10 e 0,6 e 0.6 260 S 9,28 máx máx 16,8
  • 41. 4 Características de secciones 45 4 Características de secciones
  • 42. 46 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 4.1 Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b y h genéricas. b y z z h y Resolución: De las tablas: Iz’ = Iy’= 7,84 cm4 y’ A = 4,3 cm2 z’ z’ c = 1,28 cm c c y’ 2 h Iz I z' A c (momento de inercia de una L, respecto al eje z) 2 c h/2 z z 2 b Iy I y' A c (momento de inercia de una L, respecto al eje y) 2 y c b/2 y
  • 43. 4 Características de secciones 47 2 h Iz 4I z 4I z' 4 A c 59,54 4,30 h 2 5,12 h (momento de inercia de las 2 cuatro L) 2 b Iy 4I y 4I y' 4 A c ( momento de inercia de las cuatro L) 2 Iz 4,30h 2 22h 59,54 Iy 4,30b 2 22b 59,54
  • 44. 48 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 4.2 Dado un perfil “doble T”, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la viga aligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial. y’ y e z h z’ 2a h’ IZ A a ? IZ I Z’ = 4 I Z Resolución: a/2 a z z a/2 3 IZ IZ/2 IZ 1 a e IZ’/2 2 12 2 A a A' A a A A/2 e e 2 2 2 2 2
  • 45. 4 Características de secciones 49 3 2 IZ 1 a A a a IZ 1 a3 A 2 a3 IZ' e e 2 e a e 2 2 12 2 2 2 2 2 12 8 8 8 13 a3 A 2 a2 13 IZ e a IZ A e a 12 4 4 4 12 a2 13 IZ ' IZ A e a 4 12 a2 13 Ha de ser : IZ' 4I Z IZ A e a 4 12 13 A 2 e a3 a 3I Z 0 a 48 4 e si suponemos que (e·a) es << A (área total del perfil IPE) : a A a2 a2 IZ ' IZ 3I Z A 4 4 IZ IZ a 12 2 3 2 3 iZ A A IZ ( iZ radio de giro de la sección respecto al eje z) A
  • 46. 50 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 4.3 Determinar las siguientes características de la sección monosimétrica de la figura respecto del eje principal z: a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz . b) El momento resistente elástico, Mel. z , para un acero e=235 N/mm2. y 400 30 # 400·30 ysup # 800·10 z G Mel.z 800 10 yG yinf # 250·20 250 20 e= 235 N/mm2 Resolución: a) El área de la sección total será la suma de las áreas de las pletinas: A Ai 400 30 800 10 250 20 25000 mm 2 Por simetría el centro de gravedad, G, está situado sobre el eje y (z = 0).
  • 47. 4 Características de secciones 51 Para determinar la posición y del centro de gravedad de la sección, G, es cómodo calcular el momento estático de cada elemento respecto de la fibra inferior. Así: A yG Ai y i Ai y i 400 30 835 800 10 420 250 20 10 yG 537 mm A 25000 Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la sección total respecto del eje y-y: 1 2 Iz bi hi3 Ai yi yG 12 1 2 Iz 400 30 3 400 30 835 537 12 1 2 10 800 3 800 10 420 537 12 1 2 250 20 3 250 20 10 537 299154 10 4 mm 4 12 El módulo resistente respecto de la fibra superior, ysup: Iz 299154 10 4 W z ,sup 9558 10 3 mm 3 y sup 850 537 El módulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf: Iz 299154 10 4 W z ,inf 5571 10 3 mm 3 y inf 537 El radio de giro de la sección respecto del eje z, iz: Iz 299154 10 4 iz 346 mm A 25000 b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensión de límite elástico del material y del módulo resistente mínimo de la sección: M el . z e W z ,min 235 5571 10 3 1309 10 6 N mm 1309 kN m
  • 49. 5 Dimensionado de secciones o flexión 53 5 Dimensionado de secciones o flexión
  • 50. 54 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 5.1 Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como máximo y chapa de 10 mm de grosor. C P A B P = 9500 Kp L=6m = = Acero A 42b L se = 1,5 E D C E D C Resolución: Acero A 42 b 2600 Kp 2600 cm 2 1733 Kp 2 e adm 1,5 1,5 cm se L2 L1 C E D A x + P x Momentos flectores M ( x) 4750 x 2 P L MC 1425 103 Kp cm 4 Tramo A-E : I 3890 cm 4 IPE 240 3 M max W adm 561 103 Kp cm W 324 cm 561 · 103 = 4750·x x = 118,2 cm L1=115 cm
  • 51. 5 Dimensionado de secciones o flexión 55 Tramo E-D: es necesario reforzar 1 1 I b e3 b e d 2 12 13 12 12.52 1 1875 1876 cm 4 b=120 mm 12 12 e =10 d 7642 I2 3890 2(1876) 7642 cm 4 W2 588 cm 3 13 M adm 588 1733 1019 10 3 kp cm 1019 · 103 = 4750·x x = 214,6 cm L1 = 210 cm Tramo D-C: e 1 e I b e3 b e d 2 1 12 13,52 2188 cm 4 12 d 12018 I3 I2 2(2188) 12018 cm 4 W3 858 cm 3 14 M adm 858 1733 1487 10 3 kp cm 1019 · 103 = 4750·x x = 313 cm > 300 cm no es necesario reforzar más 300 cm 210 cm P 115 M (m·Kp) 5460 + 14250 Solicitación 5610 9970 Capacidad resistente 10180 14872 9500/2 = 4750 Kp + T (Kp) - 4250 Kp
  • 52. 56 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 5.2 Dimensionar un segmento de pistón de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro una presión uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de max= 261,5 N/mm2 ( e = 340 N/mm2 , se = 1,3) (Fundición de grafito nodular). Nota: Usar la simplificación de simetría, R h suponiendo que es suficientemente R pequeño. R = 40 mm h b Resolución: voladizo Por razones de simetría consideramos: R Diagrama de momentos flectores : Momento producido por dp en el punto genérico C C p R·d 2 dM c b p R d R sen c p b R sen c d C dp (dp = p · R · d ) B O A Momento total para el punto genérico C:
  • 53. 5 Dimensionado de secciones o flexión 57 c p b R 2 sen p b R 2 cos p b R 2 1 cos c Mc c d c 0 c 0 Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es : Mc p b R 2 1 cos c M tendremos el máximo: c = 180 Mmax = 2 · p ·b · R2 Mmax = 180 ==180 0 M h 2 p b R2 h 12 p R 2 261,5 N max I 2 1 h2 adm mm 2 b h3 2 12 h 0,093R 3,7 mm h No depende de b
  • 54. 58 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 5.3 Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado uno junto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir a comprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabe cuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial y le expone el problema: He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura: h b a a 100 cm a 15 cm b 20 cm p libros y apuntes 0,6 Kg/cm En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes características mecánicas: adm 4 N/mm 2 E 10 000 N/mm 2 La cuestión es: a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante? b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del estante? c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su punto central (con la distancia a inicial).
  • 55. 5 Dimensionado de secciones o flexión 59 Resolución: a) Determinación de h mínima. p A B C D h b a a x p RB RC 2 - - Tramo AB: M + x2 M p 2 a2 MA 0 MB p 2 + + T T p x - - TA 0 TB p a vE Tramo BC: x2 a2 a2 M p p x a MB p p a a p 2 2 2 2 2 a2 MC MB p 2 2 2 2 a a xE ME p p p p p 2 8 4 2 8 2
  • 56. 60 Resistencia de materiales. Problemas resueltos T p x p TB p a p 2 2 TC p a p p a p 2 2 Tramo CD: x2 x2 M p p x a p x a p p x a x a 2 2 2 2 2 2 x2 a a2 M p p 2x MC p p 2 a p 2 2 2 2 2 2 MD p p 2 0 2 2 T p x p TC p a p p a TD p p 0 Con = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados: MB MC 112,5 p 67,5 cmKg ME 500 p 300 cmKg M máx ME ME b h2 máx adm 40,77 Kg/cm 2 W z , mín Wz Wz 40.77 6 ME 6 hmín hmín 1,49 cm b 20 40,77 20 b) Determinación de la distancia a óptima. Óptimo resistente: M máx M máx MB ME a2 2 a p p p 2 8 2
  • 57. 5 Dimensionado de secciones o flexión 61 2 a2 a 0 4 2 2 a 2 2 4 2 2 2 0,207 La segunda solución no a a interesa, porque cae fuera 2 4 2 2 1,207 del intervalo analizado Así pues, la distancia ‘a’ óptima es: a óptima 20,7 cm Y se tiene, un momento máximo: M máx 128,7 cmKg c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria. F=1 A B C D Tramo BE: E 1 M x a 2 Tramo EC: a a 1 M x a 1 x 2 a x M’ + W M 1 a x2 1 x2 1 M dx p 0 dx 2 p p x a x a dx 2 F EI EI o a EI a 2 2 2 2 x3 a a 2 a x a2 2 p p x2 p x p x p p dx 2 EI a 2 2 2 2 2 2
  • 58. 62 Resistencia de materiales. Problemas resueltos P x4 x3 a x2 a x3 a x2 a2 x 2 EI 8 6 4 6 4 2 a 0,6 ( 781,25 2083 937,5 312,5 937,5 562,5 6,328 EI 0,6 24724 56,25 84,375 8,437 84,375 168,75) 10 3 0,265 cm 100 000 5,513 bh 3 20 1,49 3 I 5,513 cm 4 12 12
  • 59. 5 Dimensionado de secciones o flexión 63 Problema 5.4 Sea una viga de sección transversal en doble T, formada por 3 platabandas soldadas de dimensiones las de la figura. Hallar el paso l de los cordones de soldadura a tramos de unión entre el alma y las alas, si la garganta de soldadura es a= 5mm y la longitud de cada tramo de cordón es de ls = 10 cm. El esfuerzo cortante máximo que soporta la viga es Ty= 40000 kg. La tensión cortante admisible en la soldadura es adms = 1000 kg/cm2. y 12 mm 6 mm 600 G x s s x z z 220 Resolución: Esfuerzo cortante por unidad de longitud en la superficie de contacto entre alma y platabanda T mZ 1 A f mzA1 : momento estático del ala IZ A mZ 1 22 1,2 30,6 807,84 cm 3 1 1 IZ 2 22 1,2 3 22 1,2 30,6 2 0,6 60 3 49 446,14 10 800 60 246,14 cm 4 12 12 40 000 807,84 f 536,35 kg/cm 60 246,14 6
  • 60. 64 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Esfuerzo cortante admitido por el cordón de soldadura, Fadms 2 adms s a Igualando esfuerzos Fadms f T m zA1 2 adms s a Iz 2 1000 10 0,5 536,35 2 1000 10 0.5 18,64 cm 19 cm 536,35