4. Prólogo 7
Prólogo
El presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de la
Resistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sido
elaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como texto
complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y
nomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón y
X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos.
Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido los
conocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presente
libro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medios
continuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se han
incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos.
Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: los
temas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente el
alcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarlo
precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos
se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos
lectores que deseen profundizar en dichos temas.
Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas,
porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se ha
considerado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva de
problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas.
A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión,
estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que sean
sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector.
Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que,
como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas y
los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu.
Los autores
Barcelona, junio de 1999
5. Índice 9
Índice
1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11
2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25
3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35
4 Características de secciones.................................................................................................45
5 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53
6 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75
7 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89
8 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131
9 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139
10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161
Bibliografia................................................................................................................................185
6. Bibliografía 185
Bibliografía
COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968.
LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974.
LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944.
NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977.
ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998.
ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991.
ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA-
ETSEIB, 1998
TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967.
UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.
8. 12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.1
Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.
600 2 N
45o
E
2m
C 800 Nm
A D
B
3m 3m 2m
2
FH 600 2 600 N
2
2
FV 600 2 600 N
2
Resolución:
a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.
b) Cálculo de las reacciones.
600 N
600 N
Ejes globales E
A C D 800 Nm
B
RAH RCV
RAV
Tomamos momentos respecto al punto C:
100
Mc 0 R AV 6 600 3 600 2 800 0 R AV N = -33,3 N
3
Suma de fuerzas verticales y horizontales:
100 1900
FV 0 R AV 600 RCV 0 600 RCV N
3 3
FH 0 RAH 600 N
9. 1 Diagramas de esfuerzos 13
c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC.
100
TramoAB: M ( x) R AV x x MA 0 MB 100 Nm
3
Tramo BC:
M ( x) R AV x 600( x 3) 600 2
100
MB 3 0 1200 1100 Nm
3
100
MC 6 600 3 600 2 800 Nm
3
Diagramas.
600 N E
600 N -
N +
A B C D
B
600 N
E
A B C D +
T
-
B
1900
100 N
N 3 -800 N·m
3 E
-100 N·m
- -
M
A - B C D
1200 N·m B
+
1100 N·m
Equilibrio del nudo B.
600 N
600 N
100/3 N
600 N
B
1900
N
3
10. 14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.2
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a
una carga repartida triangular.
N
1600
m
A B
x
6m
T
Resolución:
a) Cálculo de la reacciones.
1600 6
Resultante de la carga Q 4800 N .
2
4800 N
A B
6m
RA RB
4m 2m
RA RB 4800
MA 0 RB 6 4800 4
4800 4
RB 3200 N
6
RA 1600 N
11. 1 Diagramas de esfuerzos 15
b) Cálculo de los esfuerzos de sección.
N
1600
m
A B
d
1600 N 3200 N
x-
x
L=6m
Sección situada a una distancia x del apoyo A:
T:
x x 1600
T 1600 qd 1600 d
0 0 6
x
1600 2 1600 2
T 1600 1600 x
6 2 0
12
M:
x x 1600
M 1600 x q x d 1600 x x d
0 0 6
x
2 3
1600
M 1600 x x
6 2 3
0
1600 x3 x3 1600 x 3
M 1600 x 1600 x
6 2 3 6 6
12. 16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
c) Diagramas.
1600 N
+
A T
-
3200 N
M
+
3695 Nm
d) Punto de Mmáx
M
T T 0
x
1600 2
T 0 1600 x x 12 3,46 m
12
1600
M máx 1600 3,46 3,46 2 3695 Nm
12
13. 1 Diagramas de esfuerzos 17
Problema 1.3
Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura.
200 2 N
B
400 2 N
2m
45
A C
2m 2m
Resolución:
Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática.
200 2
400 2 B
A
RAH C
RAV RC
FV 0 R AV RC 200 2 0
FH 0 R AH 400 2 N
MA 0 RC 4 400 2 2 200 2 2 0 RC 300 2 N
14. 18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
por tanto, RAV 100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras,
400
100 2
400 2 100 100
400
300 300
400 300 2
400 2
300 2
400 100 100
300 300
100 2
Diagrama N
500 N
B
+ -
C
A
-300 N
Diagrama T
300 N
B
+ -
C
A
300 N
Diagrama M
15. 1 Diagramas de esfuerzos 19
B
B
x + +
A x’ C
300 N
MA 0 MC 0
M = 300 · x M = 300 · x’
MB 600 2 Nm MB 600 2 Nm
Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica.
Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que
M0 0 ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O.
F
200 2 RA
// OA
B
400 2 RC
F
// OC
RA
C
RC
16. 20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.4
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.
N
p = 600
4000 N ml 3000 N
P1 B C P2 D
A
a=2m L=6m b=2m
Resolución:
Cálculo de las reacciones:
FV : R B RC 4000 600 6 3000 0
M B : 4000 2 600 6 3 RC 6 3000 8 RC 4467 N
RB 6133 N
Diagrama de momentos flectores:
Tramo AB:
M 4000 x
MA 0 MB 8000 Nm
Tramo BC:
2
x 2
M 4000 x 6133 x 2 600
2
MB 8000 Nm MC 6000 Nm
Tramo CD:
M 4000 x 6133 x 2 600 6 x 5 4467 x 8
MC 6000 Nm MD 0
Diagrama de esfuerzos cortantes.
Tramo AB:
T 4000 N
TA 4000 N TB 4000 N
17. 1 Diagramas de esfuerzos 21
Tramo BC:
T 4000 x 6133 600 x 2
TB 2133 N TC 1467 N
Tramo CD:
T 4000 6133 3600 4467
TC 3000 N TD 3000 N
B C D
A
a=2m L=6m b=2m
-8000
-6000
M
( Nm )
-
E
xE
2133 3000 3000
+
+
T
-
-
(N)
-1467
-4000 -4000
El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es
horizontal, o sea:
M
T 0 : 4000 6133 600 x E 2 0 x E 5,35 m
x
ME = -4208 Nm
18. 22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.5
En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los
diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.
4 KN
5 KN/m
0,5m
1m 2m 1m
Resolución:
a) Reacciones en el empotramiento.
Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama
de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:
4 KN 5 KN/m 4 KN
10 KN
ME ME
0.5m 0.5m
1m 2m 2m
FE FE
FE 14 KN
Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.
ME 4 0,5 10 2 22 KN m
19. 1 Diagramas de esfuerzos 23
b) Diagramas
4 KN 5 KN/m
E D C B A
0,5 0,5 2m 1m
x
-
M
T
+
Tramo AB: M=0 T=0
Tramo BC:
2
x 1
M 5 KN m MB 0
2
MC 0
2
T 5 x 1 KN TB 0
TC 10 KN
20. 24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tramo CD:
M 10 x 2 KN m MC 10 KN m
MD 15 KN m
T 10 KN TC 10 KN
TD 10 KN
Tramo DE:
M 10 x 2 4 x 3,5 KN m MD 15 KN m
ME 22 KN m
T 10 4 14 KN TD 14 KN
TE 14 KN
Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en
este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de
la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico;
pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
22. 26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.1
Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro 4 mm , y cuyos
módulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm
y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está
sometida a una carga puntual P=500 N.
Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.
E2 300 mm
4 mm 4 mm
E1
A B
x P=500 N
600 mm
Resolución:
Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de
deformaciones.
RA RB
LA LB
A B
P=500 N
FV 0 RA RB P
MB 0 RA L P( L x) 0
23. 2 Esfuerzo normal 27
LA LB
Ley de Hooke :
RA LA RB LB R B E1 R B 210000
RA RA 3R B
S E1 S E2 E2 70000
500
3R B RB 500 RB 125 N RA 375 N
4
De la ecuación de los momentos obtenemos x:
RA L P( L x) 0
375 600 500(600 x) 0 x 150 mm
24. 28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.2
En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar las
tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .
Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles.
Datos: E=2·105 MPa.
A
1m Aa=40 cm2
B
3m
Ab=80 cm2
C
1m
15 T
D
Resolución:
FV 0
RA+ RD = 15 T = 150000 N
Ecuación de deformación
El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está
traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción.
Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del
tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:
L AB L BC LCD
F L
Aplicando la ley de Hooke: L
A E
R A L AB R A L BC R D LCD
E Aa E Ab E Ab
25. 2 Esfuerzo normal 29
RA
R A 1000 R A 3000 R D 1000
A 2 10 5
40 10 2
2 10 5
80 10 2
2 10 5 80 10 2
1m
B R A 2000 R A 3000 R D 1000
3m
Resolviendo las ecuaciones, tenemos
RA 25000 N 2.5 T
C
1m
15 T
RB 125000 N 12.5 T
D
RD
Cálculo de las tensiones.
25000 N
Tramo AB: AB 6.25 MPa (COMP.)
40 10 2 mm 2
25000 N
Tramo BC: BC 3.125 MPa (COMP.)
80 10 2 mm 2
125000 N
Tramo CD: CD 15.625 MPa (TRAC.)
80 10 2 mm 2
Diagrama de esfuerzos normales:
2.5 T A
B
-
C
12.5 T
+
D
26. 30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.3
a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m
de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso del punto C, siendo =20º.
Datos: E=2,1·105 MPa.
b) Resolver para =0º.
A B
L L
C
C’
C1
P
Resolución:
a) Para =20º:
N N P Del equilibrio del punto C se obtiene
P
N N P
N sen
2
Equilibrio del punto C P
N
2 sen
Sea (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, será C’C1
L
pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es . Como por otra
sen
NL
parte: L , se tiene que:
EA
NL PL 5000 3500
1,13 mm
EA sen 2 EA sen 2 2 2.1 10 3,14 10 2 0.34202 2
5
b) Para =0º:
A L C L B
C1
P
27. 2 Esfuerzo normal 31
De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de
las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente
grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían.
A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las
barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las
deformaciones en este caso.
Poniendo
tg (para ángulos pequeños)
L
el alargamiento de las barras vale
2 2
AC1 AC L2 2
L 2
1 1 1 1
AC L L 2
Esta última igualdad proviene de la expresión:
12 1 1 2 1 3 5 4
1 a 1 a 1 a a a a
2 8 16 128
a
Para a<<1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 1 a 1 .
2
El esfuerzo normal en una de las barras es:
2
E A
N A E A
2
Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce
2
P P E A P
N sen N N
2 2 2 2
Resulta
3
P
E A
P
L L 3
E A
28. 32 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Aplicando los datos numéricos del problema:
5000
3500 3 148 mm
2.1 10 5 3,14 10 2
148
0,04229 rad 2,42º
L 3500
P 5000
N 59116 N
2 2 0,04229
N 59116
188 N/mm 2
A 314
29. 2 Esfuerzo normal 33
Problema 2.4
Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructura
representada en la figura, suponiendo infinitamente rígida la barra horizontal DE, articulada en D.
Barra AB: sección 40 cm2
Barra CB: sección 80 cm2
Se considera el mismo módulo de elasticidad, para todas las barras.
A
2m 40 T
D B E
2m
2m 4m
C
Resolución:
Se trata de un sistema hiperestático.
RBA y RBC siguen la dirección de la barra.
40 T
RBA
HD D
E
VD RBC
Ecuaciones de la estática:
2 2
FV 0 VD R BA R BC 40 0
2 2
2 2
FH 0 HD R BC R BA 0
2 2
MB 0 VD 2 40 4 V D 80 T
30. 34 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
A
acort. B
LBC
45º
B’’
D B E ~45º
B’’ LAB
alarg.
B’ B’
C
A L AB BB LCB BB
Al ser deformaciones y ángulos pequeños:
BB BB
L AB L BC
D
Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC
Aplicamos la ley de Hooke:
R BA 2 2 R BC 2 2
2 R BA R BC
C E 40 E 80
De la ecuación Fv = 0 tenemos:
2 2
80 R BA 2 R BA 40 0
2 2
con lo que,
R BA 56.73 T R BC 113.47 T
De la otra ecuación despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto)
Cálculo de las tensiones:
56730 Kp
AB 1418
40 cm 2
113470 Kp
AB 1418
80 cm 2
31. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 35
3 Esfuerzo de cizalladura pura
32. 36 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.1
a) Determinar el diámetro mínimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b ( e=260
N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzón tiene una tensión admisible a compresión,
2
adm= 500 N/mm .
b) ¿ Qué fuerza máxima se ejercerá ?
c) ¿ Qué adm debería tener el punzón para realizar un punzonado de 5 mm ?
Nota: Suponer que el extremo del punzón es plano y horizontal.
Punzón
2
adm = 500 N/mm
Chapa de acero
e = 260 N/mm2
Resolución:
a)
punzon d2
Fmax adm A 500 392,7 d 2
4
chapa
Fmax e S 0.65 260 d 5 2654.6d
punzon chapa
Fmax Fmax 392,7 d 2 2654.6d d min 6,76 mm
d2
b) Fmax adm A 500 17945 N
4
52
c) punzon
0.65 260 5 5 676 N
adm
4
adm
mm 2
adm
5 mm
e
33. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 37
Problema 3.2
Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad s y suponiendo todo el peso
del ciclista sobre uno de los pedales.
P
P = 800 N
R = 200 mm
R Plato D=200 mm
D Chapa eslabones: e=360 Mpa
Pasadores: e=260 Mpa
b
a
e?
e?
d?
cilindros “centradores”
Resolución:
D P
F P R 800 N 200 mm
F
F 1600 N
D 100 mm
2
R
34. 38 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Dimensionado de la garganta ‘a’ de la chapa a
tracción pura:
F/2
F/2 F F
2 2 800
adm a e 3,3 mm 2
a e adm 240
F/2
F/2 360 MPa
adm 240 MPa
1 .5
p.ej : a = 4mm e =1 mm
Dimensionado del pasador a cizalladura:
F d2 d2
800 adm 138 d min 2.7 mm
2 4 4
260
adm 0.8 adm 0.8 138 N/mm 2
1.5
Dimensionado del pasador a aplastamiento:
F '
800 adm d e 347 d 1 d min 2,3 mm
2
260
2 347 N
adm
1.5 mm 2
d min máx 2,7 ; 2,3 d min 2,7 mm
Dimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador
a tracción:
F
800 b d e adm b 2,7 1 240 bmin 6,0 mm
2
a desgarro:
t1 2d 5 .4 bmin 10.8 mm
bmin max 6,0 ; 10,8 bmin 10,8 mm
El dimensionado final queda así:
35. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 39
e 1 mm
d 2,7 mm
a 4 mm
b 10,8 mm
b=10,8 mm
a= 4 mm
e=1 mm
d= 2,7 mm
36. 40 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.3
Dimensionar la unión esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y las
uniones son roblonadas.
e2 t1’
e1 t1 t1
e3
e3
d1 d2
t1 t1 t1’
N?
b
d2
d1
Datos:
e1 = 5 mm e2=e3
Chapas: Roblones: Tomar: se=1,5
Acero A37b Acero A37b
2 2
e=240 N/mm e=240 N/mm
Resolución:
a) Unión 1
t1
e1
F/2 e2
F
F/2
e2
d1
37. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 41
Cizalladura:
2 2 2
F d1 d1 240 d1
T adm
e
0.8 100,55 d 12 201.1 d1 2 Fmax
2 4 seg 4 1.5 4
Aplastamiento:
Fmax Fmax Fmax
d 1 e1 d1 5 2000 d 1 Fmax
240
adm adm 2.5
1.5
De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultáneas obtenemos:
d1,optimo = 9.95 mm 10 mm = d1 Fmax = 20000 N
( fallará por aplastamiento de la chapa )
- Desgarramiento
t1 2d 1 t1 20 mm
Cálculo de la sección neta
t1=2d=20 mm
Fmax
10 mm b
20000 N
260/1.5 = 160 N/mm2
Fmax N 20000 N
160 b 10 mm = 35 mm
Aneta mm 2 N
160 5 mm
mm 2
Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismas
dimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto:
e1
2 e2 e1 e2 2,5 mm
2
38. 42 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Unión 2
e2 t1’ e3
F/4
F/2
F/2
e1
F/2 e2
F/4
e3
F F
N?
d2
e1
Atención: es un problema hiperestático. Aquí se presenta la solución concreta para el caso e2 2 ,y
con la hipótesis de roblón rígido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre las
tres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4.
Cizalladura:
F 2 2
4 F d2 20000 240 d2 49.74 2
T adm 0.8 d2
N 4N 4 4N 1.5 4 N
Aplastamiento:
F
2 F 20000 240 10
adm d 2 e2 2.5 d 2 2.5 d2
N 2N 2N 1.5 N
De las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemos
d2 4.97 mm d2 5 mm N 2
con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento.
Desgarramiento:
t1 2d 10 mm
Tracción:
Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor.
39. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 43
Problema 3.4
Hallar el coeficiente de seguridad seg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles de
estantería metálica representados en la figura.
s ?
Acero A-42b
Kp
20 mm e 2600
cm 2
10 mm
p = 100
N/cm
h = 20 cm
L = 50 cm
40. 44 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolución:
p
2Fh
h 2Fv h
L 2Fh
2Fv
pL2
FH M (momento a transmitir en la sección
2
de empotramiento)
FV
M p L2 100 50 2
2 FH h M FH
2h 4h 4 20
T FH 3125 N
FV 4 Fv p L 100 50 5000 N Fv 1250 N
T FH 2 FV 2 3125 2 1250 2 3666 N
FH
FT
(suponiendo una distribución constante de en la sección)
S
3366
16,8 N/cm 2
20 10
e 0,6 e 0.6 260
S 9,28
máx máx 16,8
42. 46 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.1
Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b y
h genéricas.
b
y
z z
h
y
Resolución:
De las tablas: Iz’ = Iy’= 7,84 cm4
y’
A = 4,3 cm2
z’ z’
c = 1,28 cm
c
c
y’
2
h
Iz I z' A c (momento de inercia de una L, respecto al eje z)
2
c
h/2
z z
2
b
Iy I y' A c (momento de inercia de una L, respecto al eje y)
2
y
c
b/2
y
43. 4 Características de secciones 47
2
h
Iz 4I z 4I z' 4 A c 59,54 4,30 h 2 5,12 h (momento de inercia de las
2
cuatro L)
2
b
Iy 4I y 4I y' 4 A c ( momento de inercia de las cuatro L)
2
Iz 4,30h 2 22h 59,54
Iy 4,30b 2 22b 59,54
44. 48 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.2
Dado un perfil “doble T”, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la viga
aligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial.
y’
y
e
z
h z’
2a h’
IZ
A
a ?
IZ
I Z’ = 4 I Z
Resolución:
a/2
a
z z a/2
3
IZ IZ/2 IZ 1 a
e IZ’/2
2 12 2
A a A' A a
A A/2 e e
2 2 2 2 2
45. 4 Características de secciones 49
3 2
IZ 1 a A a a IZ 1 a3 A 2 a3
IZ' e e 2 e a e 2
2 12 2 2 2 2 2 12 8 8 8
13 a3 A 2 a2 13
IZ e a IZ A e a
12 4 4 4 12
a2 13
IZ ' IZ A e a
4 12
a2 13
Ha de ser : IZ' 4I Z IZ A e a
4 12
13 A 2
e a3 a 3I Z 0 a
48 4
e
si suponemos que (e·a) es << A (área total del perfil IPE) :
a
A a2 a2
IZ ' IZ 3I Z A
4 4
IZ IZ
a 12 2 3 2 3 iZ
A A
IZ
( iZ radio de giro de la sección respecto al eje z)
A
46. 50 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.3
Determinar las siguientes características de la sección monosimétrica de la figura respecto del eje
principal z:
a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz .
b) El momento resistente elástico, Mel. z , para un acero e=235 N/mm2.
y
400
30
# 400·30
ysup
# 800·10
z G
Mel.z
800
10
yG yinf
# 250·20
250 20
e= 235 N/mm2
Resolución:
a) El área de la sección total será la suma de las áreas de las pletinas:
A Ai 400 30 800 10 250 20 25000 mm 2
Por simetría el centro de gravedad, G, está situado sobre el eje y (z = 0).
47. 4 Características de secciones 51
Para determinar la posición y del centro de gravedad de la sección, G, es cómodo calcular el momento
estático de cada elemento respecto de la fibra inferior. Así:
A yG Ai y i
Ai y i 400 30 835 800 10 420 250 20 10
yG 537 mm
A 25000
Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la sección total respecto del eje
y-y:
1 2
Iz bi hi3 Ai yi yG
12
1 2
Iz 400 30 3 400 30 835 537
12
1 2
10 800 3 800 10 420 537
12
1 2
250 20 3 250 20 10 537 299154 10 4 mm 4
12
El módulo resistente respecto de la fibra superior, ysup:
Iz 299154 10 4
W z ,sup 9558 10 3 mm 3
y sup 850 537
El módulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf:
Iz 299154 10 4
W z ,inf 5571 10 3 mm 3
y inf 537
El radio de giro de la sección respecto del eje z, iz:
Iz 299154 10 4
iz 346 mm
A 25000
b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensión de límite elástico del material y del
módulo resistente mínimo de la sección:
M el . z e W z ,min 235 5571 10 3 1309 10 6 N mm 1309 kN m
49. 5 Dimensionado de secciones o flexión 53
5 Dimensionado de secciones o flexión
50. 54 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.1
Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como máximo y
chapa de 10 mm de grosor.
C P
A B P = 9500 Kp
L=6m
= =
Acero A 42b
L
se = 1,5
E D C
E D C
Resolución:
Acero A 42 b 2600 Kp 2600
cm 2 1733 Kp 2
e
adm
1,5 1,5 cm
se
L2
L1
C
E D
A
x
+ P x
Momentos flectores M ( x) 4750 x
2
P L
MC 1425 103 Kp cm
4
Tramo A-E :
I 3890 cm 4
IPE 240 3
M max W adm 561 103 Kp cm
W 324 cm
561 · 103 = 4750·x x = 118,2 cm L1=115 cm
51. 5 Dimensionado de secciones o flexión 55
Tramo E-D: es necesario reforzar
1 1
I b e3 b e d 2 12 13 12 12.52 1 1875 1876 cm 4
b=120 mm 12 12
e =10
d 7642
I2 3890 2(1876) 7642 cm 4 W2 588 cm 3
13
M adm 588 1733 1019 10 3 kp cm
1019 · 103 = 4750·x x = 214,6 cm
L1 = 210 cm
Tramo D-C:
e 1
e I b e3 b e d 2 1 12 13,52 2188 cm 4
12
d
12018
I3 I2 2(2188) 12018 cm 4 W3 858 cm 3
14
M adm 858 1733 1487 10 3 kp cm
1019 · 103 = 4750·x x = 313 cm > 300 cm
no es necesario reforzar más
300 cm
210 cm
P
115
M (m·Kp)
5460 +
14250 Solicitación
5610 9970
Capacidad resistente
10180
14872
9500/2 = 4750 Kp
+ T (Kp)
-
4250 Kp
52. 56 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.2
Dimensionar un segmento de pistón de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro una
presión uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de max= 261,5 N/mm2 ( e =
340 N/mm2 , se = 1,3) (Fundición de grafito nodular).
Nota: Usar la simplificación de simetría,
R
h
suponiendo que es suficientemente
R
pequeño.
R = 40 mm
h
b
Resolución:
voladizo
Por razones de simetría consideramos: R
Diagrama de momentos flectores :
Momento producido por dp en el punto genérico C C p
R·d
2
dM c b p R d R sen c p b R sen c d
C dp
(dp = p · R · d )
B O A
Momento total para el punto genérico C:
53. 5 Dimensionado de secciones o flexión 57
c
p b R 2 sen p b R 2 cos p b R 2 1 cos
c
Mc c d c 0 c
0
Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es :
Mc p b R 2 1 cos c
M
tendremos el máximo: c = 180
Mmax = 2 · p ·b · R2
Mmax = 180 ==180
0
M h 2 p b R2 h 12 p R 2
261,5 N
max
I 2 1 h2
adm
mm 2
b h3 2
12
h 0,093R 3,7 mm h No depende de b
54. 58 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.3
Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado uno
junto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir a
comprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabe
cuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial y
le expone el problema:
He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura:
h
b
a a
100 cm a 15 cm b 20 cm p libros y apuntes 0,6 Kg/cm
En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes características
mecánicas:
adm 4 N/mm 2 E 10 000 N/mm 2
La cuestión es:
a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante?
b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por
razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál
sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del
estante?
c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su
punto central (con la distancia a inicial).
55. 5 Dimensionado de secciones o flexión 59
Resolución:
a) Determinación de h mínima.
p
A B C D h
b
a a
x p
RB RC
2
- - Tramo AB:
M
+ x2
M p
2
a2
MA 0 MB p
2
+
+
T T p x
- -
TA 0 TB p a
vE
Tramo BC:
x2 a2 a2
M p p x a MB p p a a p
2 2 2 2 2
a2
MC MB p
2
2 2 2
a a
xE ME p p p p p
2 8 4 2 8 2
56. 60 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
T p x p TB p a p
2 2
TC p a p p a p
2 2
Tramo CD:
x2 x2
M p p x a p x a p p x a x a
2 2 2 2 2
2
x2 a a2
M p p 2x MC p p 2 a p
2 2 2 2 2
2
MD p p 2 0
2 2
T p x p TC p a p p a
TD p p 0
Con = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados:
MB MC 112,5 p 67,5 cmKg
ME 500 p 300 cmKg
M máx ME ME b h2
máx adm 40,77 Kg/cm 2 W z , mín
Wz Wz 40.77 6
ME 6
hmín hmín 1,49 cm
b 20 40,77 20
b) Determinación de la distancia a óptima.
Óptimo resistente:
M máx M máx
MB ME
a2 2
a
p p p
2 8 2
57. 5 Dimensionado de secciones o flexión 61
2
a2 a 0
4
2 2
a
2 2 4
2 2
2 0,207 La segunda solución no
a a interesa, porque cae fuera
2 4 2 2 1,207
del intervalo analizado
Así pues, la distancia ‘a’ óptima es: a óptima 20,7 cm
Y se tiene, un momento máximo: M máx 128,7 cmKg
c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria.
F=1
A B C D Tramo BE:
E
1
M x a
2
Tramo EC:
a a
1
M x a 1 x
2 a
x
M’
+
W M 1 a x2 1 x2 1
M dx p 0 dx 2 p p x a x a dx 2
F EI EI o a EI a 2 2 2
2 x3 a a 2 a x a2
2 p p x2 p x p x p p dx
2 EI a 2 2 2 2 2 2
58. 62 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
P x4 x3 a x2 a x3 a x2 a2 x 2
EI 8 6 4 6 4 2 a
0,6
( 781,25 2083 937,5 312,5 937,5 562,5 6,328
EI
0,6 24724
56,25 84,375 8,437 84,375 168,75) 10 3 0,265 cm
100 000 5,513
bh 3 20 1,49 3
I 5,513 cm 4
12 12
59. 5 Dimensionado de secciones o flexión 63
Problema 5.4
Sea una viga de sección transversal en doble T, formada por 3 platabandas soldadas de dimensiones
las de la figura. Hallar el paso l de los cordones de soldadura a tramos de unión entre el alma y las
alas, si la garganta de soldadura es a= 5mm y la longitud de cada tramo de cordón es de ls = 10 cm. El
esfuerzo cortante máximo que soporta la viga es Ty= 40000 kg. La tensión cortante admisible en la
soldadura es adms = 1000 kg/cm2.
y
12 mm
6 mm
600 G x s s x
z z
220
Resolución:
Esfuerzo cortante por unidad de longitud en la superficie de contacto entre alma y platabanda
T mZ 1
A
f mzA1 : momento estático del ala
IZ
A
mZ 1 22 1,2 30,6 807,84 cm 3
1 1
IZ 2 22 1,2 3 22 1,2 30,6 2 0,6 60 3 49 446,14 10 800 60 246,14 cm 4
12 12
40 000 807,84
f 536,35 kg/cm
60 246,14 6
60. 64 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo cortante admitido por el cordón de soldadura,
Fadms 2 adms s a
Igualando esfuerzos
Fadms f
T m zA1
2 adms s a
Iz
2 1000 10 0,5 536,35
2 1000 10 0.5
18,64 cm 19 cm
536,35